P R O G R A M A DE P Õ S - G R A D U A Ç Ã O E M E N G E N H A R I A DE P R O D U Ç Ã O
A N Á L I S E DE UM A L G O R I T M O DE FLUXO EM REDES COM R E M O Ç ÃO DE ARCOS
D I S S E R T A Ç A O S U B M E T I D A Ã U N I V E R S I D A D E F E D E R A L T A R I N A P A R A A O BT E N Ç Ã O DO GRAU DE MESTRE EM N E L C Y D A B R O W S K I DE ARAÚJO DE SANTA CA E N G E N H A R I A F L O R I A N Ó P O L IS S ANTA C A T A R I N A - BRA S I L S ETEMBRO - 1981
AN Á LISE DE UM A L G O R I T M O DE FLUXO EM REDES COM R E M O Ç Ã O DE ARCOS
N E LCY D A B R O W S K I DE ARAÜJO E S T A D I S S E R T A Ç Ã O FOI J UL G A D A P A R A A O BT EN Ç Ã O DO T ÍT U L O DE "MESTRE EM E N G E N H A R I A " E S P E C I A L I D A D E E N G E N H A R I A DE P R O D U Ç Ã O E A P R O V A D A E M SUA F O R M A FINAL PE L O CURSO DE P Õ S - G R A D U A Ç Ã O . PROF. JO # N i^OBERT M A C K N E S S JRDENADOR A P R E S E N T A D A P E R A NT E A B A N C A E X A M I N A D O R A C O M P O S T A DOS P R O FESSORES: PojuÍÍLq
PROF. P A ULO R E N É CIO N A S C l M E N T O ,M .S c . P R E S I D E N T E / «o ts t» ^r ts O ro :,rn 1 'O CM ill • D
... / ^ A & x ÍIa/íA/IqJ L
PROFA. M A R C I A A G U I A R R A B U S K E , D.Sc.
y C - J , jhs cktkj
Adao e E d v i g e s .
A G R A D E C I M E N T O S
P e l a excelente, o ri e n t a ç a o e pelo est i m u l o na e xe c u ç ã o deste trabalho, meu a g r a d e c i m e n t o s i n c e r o ao p r o f e s sor P A ULO R. N A S C IM EN T O.
Aos colegas R OS I T A S.V. T R I D A P A L L I , V Â NIA C. T A VA RE S e F R E D E R I C O A. A L VA R E Z a g radeço pelo i n c entivo, à RITA
de C.B. N A S C I M E N T O pela d a t i l o g r a fi a.
à amiga E V A N I L D A T E I X E I R A sou g rata pela c o l a b o r a ç a o .
R E S U M O
O p r e se n t e trabalho trata do p ro b l e m a de r e m oç ão de arcos em uma rede de fluxo, tal que a redução no fluxo m á x im o e n
tre a fonte e o s u m i d o u ro é maxim i z a d a .
I n i c i a l me nt e e feito um estudo de caminho mais c u r to em grafos e fluxo em redes..
S eg ue - s e uma anál i s e do a l g o r i t m o de Wol l m e r , que é d iv id i d a em duas partes. A primeira, para a o b t e n çã o do v al o r do c a m i n h o mais curto, e a s e g u n d a para obter esse c a m inho e os arcos que falharam. Depois de vários testes, a análise foi c o n c l u í d a com a o b s e r v a ç a o de que esse e um p r o ce ss o vá l i d o para probl e m a s parti culare s .
Pro p õ e - s e , entao, um a l g o r i t m o g e n é r i c o para fazer a a n á l is e de s e n s i b i l i d a d e em uma rede. Na p r i m e i r a parte u ti li z a - se o a lg o r i t m o em estudo, com algumas m o d i f i c a ç o e s ; na s eg u n d a a- p l ic a - s e a t é c nica de apo n t a d o r e s . Um e x e mplo i l u stra o processo.
A B S T R A C T
This d i s s e r t a t i o n analyses the p r o b l e m of r e m o v i n g arcs in a n e t w o r k such that the r e d u c t io n in the m a x i m u m flow b e t w e e n an o r i g in and d e s t i n a t i o n is max i m i s e d .
I n i t i a l l y a study of critical path m e t ho ds is made. This is fol l o w e d by an analysis of the W o l l m e r A l g o r i t h m w h ich is d iv i d e d in two parts. The first part is used to ob t a i n the flow v a lue of the c ritical path and the second part to o b t a i n the set of arcs w h i c h make up the critical path and those w h ich are removed. The analysis shows that this a l g o r i t h m works only for s p e c i f i c problems.
The d i s s e r t a t i o n p roposes a general a l g o r i t h m for s e n s i t i v i t y analysis of a network. The first part, w hi c h some m o d i f i c at i on s, is e q u i v a le nt to the W o ll me r A l g o rithm; in the second part the use of the critical path indicators is made to speed up
the c o m p u t a t i o n process.
S U M Ã R I 0 Pag . C AP lT UL O I 1 . I N T R OD UÇ ÃO ... ... 1 1.1. O E s t ud o de um A l g o r i t m o de Fluxo em Redes com R em o ç ã o de Arcos ... 2 1.1.1. Obj etivo ... ... 2 1.1.2. I m p o r t â n c i a ... 2 1.1.3. L i m i t a ç õ e s ... 3 1.1.4. M e t o d o l o g i a d e s e n v o l v i d a ... 4 1.2. E s t r u t u r a do Traba l h o ... 4 C A P lT U L O II 2. C AMINHOS E FLUXOS ... 6 2.1. Def i n i ç õ e s ... 6
2.2. Caminho mais Curto em Grafos ... 9
2.3. A Rede Dual ... 12
2.4. 0 P r o b l e m a de Caminho mais Curto com Remoção de Arcos ... 13
C AP ÍT U L O III 3. A NÃ L I S E DO A L GO R I T M O DE W O L L M E R ... 14
3.1. P r i m e i r a Parte do A l g o r i tm o de Wollmer: D et e r m i -n açao do Valor do Cami-nho mais Curto ... 14
3.1.1. F l u x o g r a m a da P r i m e i r a Parte do A l g o r i t m o de Wo 1 lme r ... ... 15
3.1.2. E x em pl o s do A l g o r i t m o O r i gi na l ... 16 3.2. M o d i f i c a ç o e s ... ... ... . 20 3.2.1. E x e m p l o do A l g o r i t m o com M o d i f i c a ç o e s ... 23 3.3. C o m pa ra ça o do A l go r i t m o de W o l l m e r com o A l g o r i t m o M o d i f i c a d o ... 25 3.4. S e g u nd a P a rte do A l g o r i t m o de W o l lm e r : D e t e r m i
-n açao do C a m i-nho mais Curto ... . 36 3.4.1. O b s e r v a ç õ e s R e l a t i v a s à S e g u n d a P a rte do
A 1 go r itrao ... 44
C AP Í T U L O IV
4. A L G O R I T M O P R O P O S T O - CAMI ... ... 45 4.1. F l u x o g r a m a do A l g o r i t m o CAMI para obten ç ã o
do Valor do Caminho mais Curto ... 49 4.2. E x e m pl o de CAMI ... . 49
C AP Í T U L O V
5. S U G E ST ÕE S P A R A N OVAS P E S Q U I S A S ... 53
1 . I N T R OD UÇ ÃO
A te o r i a dos grafos foi d e s e n v o l v i d a para s u p r i r a n e c e s s i d a d e da r e s o l u ç ã o de p r o b l e m a s práticos de várias e s p e c i a lidades, tendo e s t ru tu r as e p r o p r i e d a d e s comuns. A teoria t r ata das r e l a ç õ e s e x i s t e n t e s entre os e l e m e n to s de um ou mais c o n j u n tos, nao se p r e o c u p a n d o com o con t e ú d o desses e l e m e n t o s 1 .
São muitos os p r o b l e m a s p r áticos que e x i g e m esse tratam e n t o , como aqueles e nv o l v e n d o P e s q u i s a O p e r a c i o n a l , t r a n s porte, q uímica, o r g a n i z a ç a o , economia, s o c i o l o g i a , etc.
A t u a l m e n t e tem sido i mp or t a n t e a f o r m a l i z a ç a o d e s ses c o n c eitos em c i ê ncia de c o mputaçao. Por isso vê m - s e d e s e n v o l v e ndo técnicas cada vez mais e f i c i e n t e s p a r a p r o c e s s a r em c o m p u ta dor p r o b l e m a s que e n v o l v a m grafos, sendo que os que t r a t a m do flu xo em redes sao c o n s id er a do s os mais impo r t a n t e s .
Em geral, q u a n d o não for n e c e s s á r i o fazer d i s t i n ção, será u t i l i z a d o o termo "rede" tanto pa r a uma rede como para o grafo que lhe serve de suporte. Por exemplo, um m a p a r o do vi ár io def i n e um grafo. 0 m e s m o m a p a é c o n s i d e r a d o uma rede se sobre ele sao c o l o c a d a s as d i s t â n c i a s das d i f e re nt es posiçoes.
Pelo grande n ú m e r o de a p l icações a p r o b le ma s b a s tante div e r s o s o d e s e n v o l v i m e n t o da teoria gerou p r o bl em as de n o tação, de n o m e n c l a tu ra , e até quanto a i m p o r t â n c i a de d e t e r m i n a
dos topicos. Este d e s e n v o l v i m e n t o é m o t i v a d o por duas c o n s i d e r a ções princi p a i s . No plano prático, p r o b l e m a s de o t i m i z a ç ã o , i m por tantes por suas apl i c a ç õ e s concretas. Por outro lado, e x i s t e m pro bl e m a s onde o c onceito de rede nao a p a rece d i r e t a m e n t e , mas cuja s o l u ç ã o p as s a p el a p e s q u i s a de um caminho ou de um fluxo em uma rede a s s o c i a d a (por e xemplo, rede de i n v e s t i m e n t o s ) .
1.1. 0 E s tu do de um A l g o r i t m o de Fluxo em Redes com R e m o ç ã o de A r cos
1.1.1. Obj e t ivo
0 o b j e t i v o foi o bter um a l g o ri tm o que fosse e f i c i ente para a s o l ução de p r o b l e m a s genér i c o s de redes com remoção de
arcos, e c o m p u t a ci o n a l m e n t e vi á v e l em termos de tempo de e x e c u ção.
Este o bj e t i v o s u r g i u quando da a n á lise do a lg or it
-2 ~
mo de W o l l m e r que nao a p re s e n t o u os r e s ul t a d o s e s p e r a do s pa r a certos p ro bl e m a s .
1.1.2. Impor t an ci a
Quando se de s e j a e x e c u t a r o p ro ce ss o de o bt en ç ã o do c a m inho mais curto em redes, nao c o n s i d e r a n d o a r em o ç ã o de a r cos, e x i s t e m v á r i o s alg o r i t m o s que p o d e m e s p e c i f i c a r até d e t e r m i nadas c a r a c t e r í s t i c a s p a r t i c u l a r e s do problema. Porém, se o p r o
cia que s of r e r á quando um ou mais arcos forem s u p r i m i d o s , não ha mui tas o p ç o e s .
N e st e tr a b a l h o foi feita uma analise c r i t i c a do al g o r i t m o de W ol l m e r , cuja r e f e r e n c i a é "WOLLMER, R. R e m o v i n g Ares f rom a N e t W o r k . O p e r a t i o n s Research, 12:934-40, 1964", que será citado d ur a n t e todo o trabalho. M o s t r o u - s e que nao a p r e s e n t a r e s ul t a d o s s at i s f a t ó r i o s para algumas redes sendo, então, p ro p o s t o um a l g o r i t m o que p r e t e n d e r e s o l v e r o p r o b l e m a f o r m u l a d o com um pe q u eno tempo c o mp ut a ci on a l. Uma rede de 50 nós e 71 arcos levou me nos de um s eg u n d o de CPU em um c o m p u t a d o r IBM 4341.
Este a l g o r i t m o será de grande v a l i a pa r a que v á rios tipos de d e cisões p o s s a m ser tomadas. Por exemplo: em termos de p r e p a r a ç a o da rede para o c o r r ê n c i a de r e duções p la n e j a d a s ( re des de t r a n s p o r t e ) , ou t r atando de custos, a s e n s i b i l i d a d e da r e de (redes de inve s t i m e n t o ) .
1.1.3. L i mi t a ç õ e s
0 p r o c e s s o de d e t e r m i n a ç a o de falhas nos arcos no p r o b l e m a primai c o n s i de ra que os mesmos t e n h a m seus com p r i m e n t o s r e d u zi do s a zero no p r o b l e m a dual; nao foi e s t u d a d a a p o s s i b i l i d a de de falhas parciais.
Uma r e s t r i ç ã o na aplic a ç a o do p r o c e s s o é que a r e de se j a p l a n ar f o n t e - s u m i d o u r o .
1.1.4. M e t o d o l o g i a D e s e n v o l v i d a
Na p e s q u i s a inicial sobre o a s s unto t r a tado p r o c u r ou-se t ra b a l h o s com o b j e t i v o s s e m e l h a n t e s pa r a que se p u d e s se fa zer i n t e r p r e t a ç õ e s e até m e smo c o m p a r a ç o e s de pro c e s s o s . Estes não f or a m e nc o nt ra d o s.
In iciou-se, entao, a fase de p r o g r a m a ç ã o do a l g o ritmo de W o l l m e r na qual a p a r e c e r a m d e t e r m i n ad os p r o b l e ma s que e- x i g i r a m b a s t a n t e atençao. Alguns deles foram r e s o lv id os pelas pró prias técnicas de p r o g ra m aç ão . Outros, chegou-se a conclusão, e- ram defeitos do p r o p r io algoritmo. 0 passo seg u i n t e foi fazer mo- di f i c a ç o e s , p r o c u r a n d o - s e não alte r a r c o m p l e t am en te a e s t r u t u r a deste a l g oritmo, como o c o r r e u na p r i m e i r a parte. Ja na s eg u n d a parte foi m a i or a c o n v e n i ê n c i a de não u ti l i z a r o a l g o r i tm o o r i g i nal. Neste alg o r i t m o , depois de c a l c u l a d o o v a l o r do caminho mais
curto, era n e c e s s á r i o r e f azer todos os cálculos pa r a o bter o cami nho p e rc or ri do , p a re c e n d o , por isso, ser c o m p u t a c i o n a l m e n t e inefi ciente, m esmo que fosse corrigido.
1.2. E s t r u t u r a do T r a b a l h o
A l g umas d e f i n i ç õ e s e c o n s i d e r a ç o e s sobre o caminho mais curto em grafos, o p r o b l e m a de fluxo em redes e a o bt en ç ã o da rede dual sao feitas no capitulo 2. Este co n t ê m ainda a e s pe- c i f i c a ç a o do p r o b l e m a a ser tratado, que é o de caminho mais c u r to em redes com arcos sujeitos a falhas, que r e l a c i o n a todos os tópicos a p r e s e n t a d o s .
Uma análise do a l g o r i t m o de W o l l m e r I feita no c a pitulo 3, dando exemplos, m o s t r a n d o seus d e f e i t o s e fazendo modi- ficaçoes. A i n d a n e st e c apitulo e a p r e s e n t a d a uma c o m p a r a ça o entre o a l g o r i t m o o r i g i n a l e o m o d i f i c a d o .
0 c a pítulo 4 c o n té m um a l g o r it mo que propoe r e s o l ver o p ro b l e m a formulado, a par t i r das m o d i f i c a ç o e s já a p r e s e n t a
das no c ap ít u l o anterior. Este a l g o r i t m o ao p r o c u r a r o v alor do caminho mais curto gu a r d a em um v e tor qual é o c a m inho p e r c o r r i do, que está r e l a c i o n a d o ao n u m e r o p e r m i t id o de falhas.
Al g umas s u g e stões para novas p e s q u i s a s sao a p r e s e n tadas no ca p í t u l o 5.
2. CAMINHOS E FLUXOS
A uma rede na qual se c o n s i d e r a a c i r c ul aç ão de fluxo, a s s o c i a - s e um grafo; por analogia, esse grafo é c om u m e n t e cham a d o rede. Em P es q u i s a O p e r a c i o n a l os p r o b le ma s de c i r cu la çã o de fluxo sao c o n s i d e ra do s pela m a i o r i a dos autores como sendo os mais i m p o r t a n t e s da teoria dos g r a f o s , pelo nú m e r o de a pl ic a ç õ e s e x i s t e n t e s e pela d i v e r s i da de de contextos nos quais eles sao e n contrados .
Os p r o b lemas de fluxo p o d e m ser:
- o do m o v i m e n t o em uma rede existente, na qual se deseja uma p o l í t i c a de circulaçao; por exemplo, para um p r o b l e m a de t r a n s p o r t e , no qual a rede é f o r mada por pontos de a b a s t e c i m e n to e o fluxo e r e p r e s e n t a d o por veículos. D e s e ja -s e e n c o n t r a r qual o m e l h o r i t in e rá r io a ser p e r c o r r i d o , p a s s a n d o por todos os p o n tos de a b a st ec i m e nt o;
- o de c o n s t r uç ão ou m o d i f i c a ç ã o de uma rede, na qual se deseja que o fluxo p o ssa ser e sp ec if i c a d o . Por exemplo, pa ra redes tel e f ô n i c a s , em pri m e i r o lugar tem-se o p r o b l e m a de im- p l a n t a ç a o de um sist e m a tel e f o n i c o em uma cidade, e em segundo, o p r o b l e m a de a m p l i a ç a o de um s i s tema t e l ef o n i c o já exi s t e n t e .
2.1. D e f i n i ç õ e s
. Um grafo G é d ef in i d o por um par (X,U), onde: X e um c onjunto {x. , x„ , . . . ,x } de e l e m e n t o s chamados v ér ti ce s ou
nós, e U ê um c o nj u n t o ( u , , u , . . . . ,u ) de e l e m e n t o s chamados
ar-1 2. m
cos, ligando todos ou alguns destes nós.
. Para um arco u=(x,y), o vértice x ê chamado e x t r e m id ad e inicial e o v é r t i c e y é chamado e x t r e m i d a d e terminal.
. Um v é r tice y é chamado um s u c es so r do v é r t i c e x se ha um arco com x como sua e x t r e m i d a d e inicial e y como sua e x t r e m i d a d e terminal. Um v é r t i c e y é chamado a n t e c e s s o r do v é r t i c e x se há um arco da forma (y,x) .
. Uma cadeia é uma s e q ü ê n c i a u = (u. ,u„ , . . . , u ) de
1 2 q
arcos de G tal que cada arco da s e q ü e n c i a tem uma e x t r e m i d a d e em c o m u m com seu a n t e c e s s o r na s e q ü ê n c i a e sua outra e x t r e m i d a d e em c omum com seu s u ce ss o r na seqüência. 0 n u m e r o de arcos da s e q ü ê n cia ê o c o m p r i m e n t o (ou valor) da cadeia u.
. Um caminho de c o m p r im en to (ou valor) q é uma c a deia u=(u ,u , . . . , u ., . . . , u ) na qual a e x t r e m i d a d e te r m i n a l do ar
1 / i q —
co u . ê a e x t r e m i d a d e inicial do arco u. , para todo i<q.
i 1 + 1 ^
. Um ciclo ê uma cadeia tal que:
1) n e n h u m arco aparece duas vezes na seqüência, e 2) as duas e x t r e m i d a d e s da cadeia estao no m e smo vêr t i c e .
. Um c ircuito ê um ciclo u=(u, ,u„ , • . . , u ) tal que
1 2 q
para todo i<q a e x t r e m id a de terminal de u ^ ê a e x t r e m i d a d e i n i cial de u . , .
í + l
. Um grafo conexo é um grafo que c o n tê m uma cadeia u[x,y] para cada par (x,y) de v é r t i c e s distintos.
s e nt á - l o em um plano no qual os vér t i c e s sao pontos distintos, os arcos sao curvas simples e q u a i s q u e r dois arcos nao se cruzam. A r ep r e s e n t a ç a o de G que s a tisfaz os r e q u i s i t o s acima, em um plano, é chamado grafo pl a n a r t o pológico. (Durante todo o tr a b a l h o o ter mo grafo pl a n a r i n dicará tanto o p r ó p r i o grafo, como sua r e p re se n taç ão) .
. Uma face de G e d e f i n i d a como uma região do p l a no l im it a d a por arcos tais que q u a i s q ue r dois pontos em uma r e gião p od e m ser ligados por uma curva c on tí n u a que nao contém a r cos ou vértices.
. C o ns id e re -s e um grafo que a cada arco (x,y) tem a s s o c ia do um nu m e r o i n t eiro nao n e g a t i v o ^ Xy> chamado sua c a p a c i dade, que r e p r e s e n t a a q u a n t id a de de fluxo que pode p a s sa r a t r a vés de cada arco. Um fluxo é um c o njunto de núme r o s inteiros nao negat i v o s f x y se sat i s f a z as seguintes r estrições:
-v se y = s 1 . 1 f - E f = < O s e y ^ s , t xy k yk v s e y = t 2. 0 < f < b , sendo s e t dois nós e s p e c i ai s do xy xy — — r
grafo, chamados fonte e s u m i douro, r es p e c t i v a m e n t e , e v um v a lor nao n eg at iv o chamado v a lor do fluxo.
A p r i m e i r a r e s t r i ç ã o e x p r e s s a o fato de que o fluxo que entra em um nó é igual ao fluxo que sai deste nó, e x c e to no no fonte e no nó sumidouro. A s e g unda r e s tr iç ão m o s t r a que o fluxo é sempre l i mi t a d o pela c a p a c i d a d e do arco.
. C o n s i d e r a - se uma rede como um grafo com um fluxo de a l gum tipo em seus arcos.
. Uma rede é pl a n a r f o n t e - s u m i d o u r o quando c o n t i nua planar, se um arco c o n e c t a n d o fonte e s u m i d o u r o é a d i c i o n a d o a uma rede planar.
. Um corte é o conjunto dos arcos que l i gam um no em A a um nó em B, sendo A e B p a r t i ç õe s de nós, tal que a fonte está em A e o s u m i d o u r o em B. 0 v a lor do corte é a soma das c a p a cidades desses arcos. Um corte s e p a r a n d o a fonte do s u m i d o u r o com v al o r m í n i mo é chamado corte mínimo.
. T e o r e m a (Ford e F u l k e r s o n 3): Fluxo m á x i m o - c o r t e mínimo. Para q u a l q u e r rede o v a lor do fluxo m á x im o da fonte para o s um i d o u r o é igual à c a p acidade de um corte m í n i m o s e p a r a n d o a fonte e o s u m idouro.
2.2. Caminho mais Curto em Grafos
Dos p r o b l e m as de caminhos em grafos o p r o b l e m a de c a m inho mais curto é c o n s i d e ra do o mais i m p o r t a n t e por sua v asta apl i c a ç a o ; por e xemplo, em redes de t e 1e c o m u n i c a ç o e s , a s s o c i a d a s as d i s t â n c i a s físicas, ou para outro tipo de rede, caminhos c o n s t i t u í d o s por etapas d e c i s ó r i a s .
Na p r o c u r a do caminho mais curto p o d e-se c o n s i d e rar vá r i o s itens como:
- o i n t e resse na o b t en çã o de caminhos de um v é r t i ce dado aos v ér ti c e s res t a n t e s , ou entre todos os pares de v é r t i ces ;
- a e x i s t ê n c i a ou nao de circuitos;
- a e x is t ê n c i a ou nao, de r e s trições relat i v a s ao v a lor do caminho ou ao nu m e r o de arcos;
- a n e c e s s i d a d e de se d e t e r m i n a r o caminho ou ape nas seu valor;
- o p r ob l e m a ê r e p e t i t iv o ou b a s t a r e so lv ê- lo uma vez.
E ss a grande d i v e rs id ad e de s i t ua çõ es deu o r i g e m a um grande nú m e r o de a l g o r i t m o s que p o d e m ser c l as si fi ca do s por ti p o s , de acordo com as técnicas de b u s c a u tilizadas.
B o a v e n t u r a N e t t o 1* faz a c l a s s i f i c a ç ã o dos algorit mos em duas classes:
- por ajustes sucess i v o s : seja ° c om p r i m e n to do m en o r c a m inho entre e x^ ; e uma e s t i m a t i v a de £(11^ ) . Como o v alor correto de £ ( u , .) ê d e s c o n h e c i d o , este v a lor é subs
ki 5 —
tituído por X ^ . P r o cu ra - se m e l h o r a r essa e s t i m a t i v a c o n s i d e r a n do os caminhos que p a ss am pelos v ér ti c e s x^. que sejam a n t e c e s s o res de x ^ : = minj l ^ k i ’^kj + ^jiI * ^ ssa e x p re ss ão ê a pl ic ad a s u c e s s i v a m e n t e aos v é rt ic e s até que nao seja pos s í v e l r e a j u s t a r n e n h u m v a lor de com p r i m e n t o , quando terao sido ating i d o s os c o m pr i m e nt os dos caminhos mínimos;
- por indução e ajuste: o p e r a m com subgrafos p r o g r e s s i v a m e n t e m aiores, até que se tenha abran g i d o todo o grafo; os v al o r e s vao se t o rnando d e f i n i t i v o s e quando isso o c o r r e r com todos os v ér ti c e s se p r o c u r a o i t i n er ár io c or re sp o n d e n t e ao v a lor m í ni mo achado, v ol ta nd o para trás.
D i s t i n g u e - s e ainda os alg o r i t m o s d e s t i n a d o s a e n c on t r a r os caminhos m í n i m o s a partir de um vértice dado e os m a triciais, que p e r m i t e m d e t e r m i n ar os caminhos m í n i m os entre todos os pares de vértices.
S e g u n d o B o a v e n t u r a N e t t o 5 , os a l g oritmos mais c o n h e c i d o s , dados pelos nomes de seus autores s a o :
1. Ajus t e s s u cessivos: - um v e r t i c e fixo: Ford B e 1 lma n - K a l a b a Roy Moore D an t z i g Yen Dijks tra
- todos os pares de vértices: Be 1 l m a n - K a l a b a g e n e r a l i za do F a r b e y - L a n d - M u r c h l a n d Hu 2. I n d ução e ajuste: - um v e r t ic e fixo: D a n t z i g - B l a t t n e r - R a o
- todos os pares de vértices: D an t z i g
Floy d Sh imb e 1 Yen
2 . 3 . A Rede Dual
A rede dual de uma rede, c h a mada primai, quando de finida, ê o u t r a rede na qual os arcos em vez de terem c a p a c i d a des, tem c o m p ri me n to s. Uma rede dual ê d ef i n i d a se e s o m ente se a rede primai I p l a n a r f o n t e - s u m i d o u r o .
A c o n st ru ç ão de uma rede dual qu a n d o d e f i n i d a pode ser f eita da seg u i n t e forma:
a) C o l o q u e um nó em cada face da rede primai. A fonte será o nó na face finita, que é d e f i n i d a pelo arco a r t i f i cial (ligando fonte e sumidouro) e o s u m i d o u r o s e r á o no na face i nfinita, l i m i t a d a pelos arcos externos.
b) Pa r a cada arco na rede primai (exceto o arco ar t ificial) c o n s t r u a um arco na rede dual que o i n t e r c e p t e e ligue os nos das faces vizin h a s .
c) A t r i b u a a cada arco da rede dual um c o m p r i m e n t o igual a c a p a c i d a d e do arco primai que ele corta.
R e p e t in do a o pe ra ç ao com a rede dual obtida, encon tra-se n o v a m e n t e a rede primai, uma p r o p ri ed ad e dos pares p r im al - dual, qu a n d o a rede primai ê conexa.
Ha uma c o r r e s p o n d ê n c i a b i u n í v o c a entre os cortes da rede primai e as rotas da rede dual, sendo que uma rota a t r a vés da rede dual é q u a l q u e r caminho de sua fonte pa r a seu s um i d o u
r o . Assim, o p r o b l e m a de e n co n t r a r o corte mí n i m o pode ser t r a n s formado em um p r o b l e m a de e n c o n t ra r o caminho mais curto.
2.4. 0 P r o b l e m a de Caminho mais Curto com R e m o ç ã o de Arcos
Pa r a q u a l q u e r rede o valor do fluxo m á x i m o é igual a c a p a ci da d e de um corte mí n i m o s e p a r a n d o a fonte e o s u m i d o u r o ( t eorema do fluxo m a x i m o - corte m í n i m o ) , que e igual ao v a l o r do caminho mais curto através da rede dual. Para r e s o l v e r o p r o b l e m a de caminho mais curto quando nao há redução na c a p ac id ad e de n e n h u m arco, p o d e m ser u t il i z a d o s vários a l g o r i t m o s , como por e x e m plo os citados no item 2.2.
N e ste tra b a l h o será tratado o p r o b l e m a de remover n arcos em uma rede, de forma que a r e d ução no fluxo m á x im o entre os nos fonte e s u m i d o u r o seja m ax i m i z a d a . Ê e s p e c i f i c a d o i n i c i a l m e nte o n ú m er o m á xi m o e nao quais os arcos que s o f re r ã o r e d u ç ã o . A gora, o p r o b l e m a de d e t e r m i n a r qual o valor do fluxo má x i m o que p a s s a p el a rede com a r e ti r a d a de n arcos, ê e q u i v a l e n t e a obter o v al o r do caminho mais curto na rede dual, com a r e t i r a d a de n a r c o s .
3. A N ÃL I S E DO A L G O R I T M O DE W O L L M E R
P r o c u r a - s e aqui d e t e r m i n a r qual o v alor do fluxo m áx i m o que p as s a por uma rede, com a r et i r a d a de n arcos. Isto i
feito através da o b t e n ç ã o do valor do c a m i n h o . m a i s curto na rede dual, com a r e t i r a da de n arcos. D e t e r m i n a - s e o c o m p r i m e n t o do ca m i nho da fonte s até o no a com os com p r i m e n t o s de i ou menos de seus arcos r e d u z i d o s a zero, D .; até que se o b t e n h a o m e n o r com
a , x
primento, L .. Para i = 0 , l , . . . , n , tem-se D D D , tal que
a ,1 aj u a ,l a,n
i ni c i a l m e n t e D . > L .. C al cu l a - s e até que todos os D . = L
a , i “ a ,i a,i a,i
Assim, D será o c o m p r i me n to do caminho desejado, t , n
3.1. P r i m e i r a Parte do A l go r i t m o de W o l l m e r : D e t e r m i n a ç a o do V a lor do C a m inho mais Curto
Na a p r e s e n t a ç a o do a l g o r i t m o de W o l l m e r e nas modi^ f icaçoes e f e t u a d a s , p r o c u r o u - s e u t i l i z a r a n o m e n c l a t u r a original, para m o s t r a r a d i f i c u l d a d e de i n t e r p re ta ça o e e v i ta r p r o b le ma s de£ sa natureza.
Sej a : s - fon te t - s u m i d o u r o
£(a,b) - c o m p r im en to do arco (a,b)
0 a l g o r i t m o é c o n s t i t u í d o dos s e g u i n t e s passos: 1. Para i = 0 , l , . . . , n faça D .=0 e D .=°°(para a^s)
s f i â ) i Seja. k = 0 .
2. Para cada arco (a,b), v e r i f i q u e : a) Se D a, k > V k + l ( a 'b) f a 5 a D a , k ' D b , k + ,l(a’b) b) Se D b , k > D a,k + U a -b) £ a 5 a D b , k " D a , k * t < a >b) c) Se k>l e D , >D faça D , =D, . . a,k b,k-l * a,k b,k~l d) Se k>l e D >D 1 faça D, , =D , , b,k a ,k -1 * b ,k a,k-l Até que n e n h u m a m u d a n ç a p o s s a ser feita.
3 . E n t a o :
a) Se k<n aumente k de 1 e vã a 2.
b ) Se k=n termine, com D sendo o v a lor dese-t , n
j ado .
3.1.1. F l u x o g r a m a da P r i m e i r a Parte do A l g o r i t m o de W o l l m e r
3.1.2. E xe mp lo s do a l g o r i t m o o riginal
E x e mp 1 o 1: A figura 2 m o s t ra uma rede onde as capa. cidades dos arcos da rede primai (ou os c o m pr im en to s dos arcos na rede dual) estao indicados. A rede pri m a i esta in d i c a d o com linha c o n t í n u a e a rede dual, tracejada.
10
7 \
F I GU R A 3 - Rede dual a p r e s e n t a d a na F i g u r a 2
A p l i c a n d o o a l go r i t m o de W o l l m e r para a rede da F i g u r a 3, com i=0,l,2, obtém-se:
M t 0 NUME RO í)t N CS REDE = 10 N Ê 0 NU P E R O D E A R C C S A S E R E p :> F D U ? I D C S = 2 N V E 0 N U M E R O D b A R C C S D A R b D E = 1 6 c< 0) = 30. OC D ( 3, 0) = AO. oc C< 0) = 60. OC D ( 7, 0) - ^0. oc C( 5, 0) ■= 35 .OC D ( 6 , C) = 70. OC C ( **■ f 0) = 5 5 . OC D ( 10, 0) = 1 3r>. 0 C D ( B , C) ■= o . 0 C C( 9, C) = ■) 0 . 0 C ü ( 10, 0) = 1 05 . OC H( 10, 0) = 1 0 0 • 0 C C VALOR f; F S E J A [':0 E 0 ( 1 0 , 0 = ICO. CG dual
D ( 2 , ] ) = .3 0 .. 0 C D ( 2 , 1 ) = 0 .. 0 Q ( 3 , 1 ) = 4 0 ,.OC C í 3 , 1 ) = C . . 0 D { 4 , 1 ) = 6 0 «. O C D í A , 1 ) = 0 ,. 0 D ( 7 , 1 ) = 9 0 .. 0 c D ( "7 > * 1 ) = 0 , D ( 5 » 1 ) = 5 *. O C D ( 6 , 1 ) = 3 0 .. O C D ( 1 0 , 1 ) = 3 0 .. O C C ( 1 0 , 1 ) = 5 5 .. O C D ( 8 » 1 ) = 3 5 .. O C C ( à , 1 ) = 2 ü . . 0 c D ( 1 ) = 4 0 . oc C ( 1 0 , 1 ) = 5 0 .OC 0 V A L O R Dr 5 , r J A C ( 2 , 2 ) = 3 0 .oc C ( 2 , 2 ) = o . o C ( 3 , 2 ) - 4 C . 0 c C ( 3 , 2 ) = C . f) C ( A , 2 ) = óO • o c. C ( A , 2 ! = 0 . 0 C ( 7 ’ f 2 ) ~- K ) . o c D ( 7 , 2 ) = o # D ( 5 , 2 ) = b * íh; C ( 5 , . 2 ) = 0 .r. D ( 6 T 2 ) = 3 0 .O C C ( 6 t 2 ) = 0 .n C ( 1 0 , 2 ) - H O . o C C { 1 0 , 2 ) = 0 . Q r ; ( e , 2 ) = 3 0 .o C D ( 8 , 2 ) = i:> . 0 c D ( 2 ) = 2 0 . oc D { 9 , 2 ) = 1 0 . OC G V A L O R Ü C S 1c J A f . C u M 2 M C CS c A L ’ U N D n C C O P I V F N T C E O . C E xe m p l o 2 : Na F i gu ra 4 temos a rede p r i m ai nua) e sua dual (tracejada). Para a F i g u ra 5 t r a n s p o r t a - s e duâl.
(contí- a rede
8 / *N
F I GU RA 4 - Par dual de redes do e x e mplo 2.
F I G U R A 5 - Rede dual a p r e s e n t a d a na F i g u r a 4.
M E c; N U v F 5 0 U‘ r: v L, 'j \l c í • o r Í W E C v [j.v. r u11 " D ( 2 , C ) = 3 0 . 0 0 C ( 3 , 0 ) = 1 . 0 0 0 ( P t 0 ) = 1 1 . 0 0 D ( 4 t 0 ) = i / . 0 0 C f 5 , 0 ) = 3 . 0 0 D ( 6 t 0 ) - 2 ? . 0 0 D (
7t
0 ) = 1 s . o c C {à,
0 ) = 1 ? . 0 C C í B» 0) = 2 2 . 0 0 0 V A L O R D r SiT J A i D ( 2 ♦ 1) = 3 0 . 0 C D { 2 , 1 ) - 0 . 0 C( 3 , 1 ) - 1 . 0 0 C ( 3 , 1) = 0 . 0 D ( 4 f 1) = 1 . 0 0 C( 5» 1 ) = 2 . 0 0 C( 5, 1) = 1 . 0 0 D ( 6 , 1 ) = 1 1 . 0 0 C( 6» 1) = 3 . 0 0 D ( 7 , 1 ) = 1 6 . O C C< 7, 1 ) = 3 . 0 0 D ( 8 , 1 ) = 6 . 0 0 2 2 . C 0 0 V A L G R D E S E J A D O £ ü ( 8 j 1 ) - f c. c : C C M 1 A ^ C C S F A L H A N D O C C C ^ P R I M t N T C E 6 . ; 3.2• M o d i f i c a ç o e s F a z e n d o c o n s i d e r a ç o e s sobre a e n tr ad a de dados e o b s e r v a n d o que em a l g umas redes o v alor do c am i n h o mais curto da fonte ate a l g um nõ i n t e r m e d i á r i o não era ob t i d o c o r r e t a me nt e, a l gumas m o d i f i c a ç o e s f o r am i nt ro du zi da s no a l g o r i t m o de W o llmer.P r im e i r a M o d i f i c a ç ã o
R e f e r e - s e â inicia 1 izaçao das v a r i á v e i s . Qu a n d o k = 0, far-se-ã D =0 e D =°° (¥a^s) . Dep o i s de o b t idos todos os
D , =L , far-se-á k=k+l e D =D , ,, isto é, a cada a c r é s c i m o de k
a,k a,k a,k a,k-l
as v a r i á v e i s D serao inicia 1 izadas com os v a l o r e s anteri o r e s . I s to pode ser j u s t i f i c a d o , c o n s i d e r a n d o que um c am i n h o viável de s a q u a l q u e r nó a com k arcos fal h a n d o e D , , pois D , <D , -. 0
3 j tC” i, â j K 3 j K. i. a l g o r i t m o ficará:
1. Para i = 0 faça D .=0 e D . =co (-Va^s) s , i a , i k = 0 E x e c u t a - s e o passo 2 e 3 . Ent a o : a) Se k<n faça k=k+l e D =D (¥a) 3 ) K â j K J_ e v a "ao p asso 2 .
b) Se k=n termine, com D sendo o valor dese-t »n
j ado .
S e g u n d a M o d i f i c a ç a o :
O b s e r v a n d o que, ao s a t i sf az er a i ne q u a ç a o D i, >0, . + £(a,b) , entao D =D + £(a,b), quando b = t, teremos um
a j K D , R â j K- D j R
c a m i n h o que sai da fonte passa pelo s u m i d o u r o e chega ati o nó a. Foi incluída, entao, a r e s t r i ç ã o de que b^m n e s t a inequaçao. A s sim, no algoritmo:
2. a) Se D , >D . + £ ( a , b ) e b<t faça D , =D, ,+£(a,b)
a , k b , k * a , k b , k
C o n s i d e r a n d o que os nós da rede sao n u m er ad os de tal forma que s e o p r i m e i r o e t e o ultimo; a e n t ra da de dados é feita; a, b, £(a,b), isto e, cada arco (a,b) e seu v a lor £(a,b), sendo que ¥a,b, a<b .
T e r c e i r a M o d i f i c a ç a o
V e r i f i c a - s e que, em geral, Ò, >D +£(a,b) e quan
do k>0, D. , >D . Ocorre ta m b é m que se D, , >D , + £ (3 ^ ) entao
b ) k â ) k 1 b j k s j k
D, =D +£(a,b) , p o rt a n t o nao será p o s sí ve l que D , +£(a,b)
D , k a , k â * iC D , K.
para os m e s mo s v a l o r e s de a e b ; e se D, i_ ^ t-t entao D, =D v
-d ) K a , k i d j k. a,K. i e nao será p os s í v e l D , >D, , . V e r i f i c a - s e ainda que só uma
3 ^ K. 0 y K. 1.
s u b s t i t u i ç ã o de D =D . +&(a,b) fará n e c e s s á r i a uma n o v a it e r a -a y te b j te
çao de p e s q u i s a do caminho mais curto, pois a p a rt ir do no a o u tros p o de rã o ser alc a n ç a d o s com d i s ta n c i a s m e n o r e s . Q u a n d o a subs_ t it ui ç a o é feita para o nó b, os nós a s er e m a l c a n ç a do s a partir dele ainda serao p e s q ui sa do s na m e sm a iteraçao.
No al gor i tmo :
2. Para cada arco (a,b), v er i f i q u e :
a) Se Db , k > D a,k-l f a ? a Db , k = D a,k-l 6 vã a c)
b) Se D a , k > D b,k-l faça D a , k =Db,k-l
C) Se Db , k > D a , k + A ( a *b) faça Db , k = D a,k + £ ( a ’b) 6 vá ao p r ó x imo arco (a,b)
d) Se D a , k > D b , k + U a 'b) fa ç a D a , k " D b , k + U a , b >
Até que n e nh u m a m u d a n ç a em d) seja v e r if ic ad a.
Q u a r ta M o d i f i c a ç a o :
0 p r o b l e m a de d e t e r m i n a r o v a lor do caminho mais curto quando n arcos sao rem o v i d o s , se n=0 t o r n a - s e o p r o b l e m a c l ás si co de o bt e n ç ã o do valor do caminho ma i s curto e e r e s o l vi do pelo a l g o r i t m o sem os itens: 2c), 2d), 3a). Para que nao seja n e c e ss á r i o q u e s t i o n a r sempre o v alor de n, o passo 2 do a l g o r i t m o se rá d e s m e m b r a d o em duas partes:
2. Para cada arco (a,b), ver i f i q u e :
3) Se D b Jk > D a , k + £ ( a *b) f a ? a D b , k = D a , k +£(a}b) e vS ao p r ó x i mo arco (a,b)
b) Se D a > k >Db j k + £(a,b) faça ° a ,k = D b ,k + *( a ,b ) e vã ao p r ó x i m o arco (a,b)
Até que n e n h u m a m u d a n ç a em b) seja v e r if ic a d a . Se k=n, termine.
Senao, faça k=k+l
3. Para cada arco (a,b), v e r if i q u e :
a) Se Db , k > D a,k-l f a ? a Db,k = D a ík-l 6 va P a r a c > b) Se D a , k >Db ,k - l f a ? a D a , k =Db , k-l e va P a r a c ) C) Se D b , k > D a sk + £ ( a ’b) f a ? a D b sk = D a , k + £ ( a >b) e
va ao p r ó x i m o arco (a,b)
d) Se D a j k >Db j k + £Ca,b) faça ^k =D fe^k + £ ( a ,b ) e vã ao p r ó x i m o arco (a,b).
Até que n e n h u m a m u d a n ç a em d) seja v e r if ic a d a .
3.2.1. E xe mp lo s do a l go r i t m o com m o d i f i c a ç õ e s
E x e m pl o 3 : Para o m esmo p r o b l e m a do e xe m p l o 1, c u ja rede é a p r e s e n t a d a nas Figuras 2 e 3, com as m o d i f i c a ç õ e s m e n c i o n a d a s , o b t e v e - s e a saída: K E n M i ^ r a o D E MC S ... • - 1 0 N tf D M U K E R O Lie A 9 C C S A <£ N V £ 0 N U M E RC3 ü E í . R Co ó l; ■*. C f 2 , 0 ! = 3 0 . 0 C n ( 0 ) = 4 0. o c 0 ! 4 » 0 ) = 6 0 . 0 C C ( 11 0 ) = 9 0 . 0 C
D ( 4 , 0 ) = 5 . •' z D ( 1 0 , o ) = 1 3 1>»0 c i : ( tí , 0 ) = dS .0 0 o ( 9 » 0 ) •= 9 0 . o c c ( 1 0 , C ) = 1 i; s ^ o c D ( 1 0 , C ) = 1 0 0 . O C 0 V A L C R D f J A D f l £ P ( 1 0 , 0 ) = Í U O . C . C ( z . 1 ) = 0 . o 0 ( 3 , 1 ) = 0 . o c < 4 , 1 ) - 0 . ') C ( 7 , 1 1 = 0 . !) D ( 5 , 1 ) - A f''\ • « r; r D ( 5 , 1 ) = C',J • r'C C ( 6 > 1 ) = 4 0 . <"> r- ' i : < 6 , 1 ) = 3 0 . O C c ( 1 0 , 1 ) = 3 |3 . J ^ O t s , 1 ) = 3 ~ . 0 C C ( 6 , 1 ) = 2 0 . '- c D ( 9 , 1 ) = 7 0 . 0 C C ( O > f 1 ) = ’ '■ f' C ( 1 0 , 1 ) --- - o . '"1r' G v' L . ’ ! ■ JA: C ( 5 , 2 ) = . r ( 6 t 2 ) - 0 . f t: ( 1 0 , 2 ) = 0 . '■ r ( 3 , 2 ) - ) C C ( 9 , 2 ) = c 1 . ) c C V > L 0 R i 5-: ■J í ; ; r C O M 2 i r cC S F l -( 10,1)= ( 1. ÍJ , ) - q t ,
E x e m p l o 4 : Aqui a rede e igual à do e x e m p l o 2, a- p r e s e n t a d a nas Figuras 4 e 5. A r e s p o s t a foi:
F E 0 N U M E R O L'r'ic MC N 5 0 N U M E R O DF A Ri NV L- Q N U M E R O DE A 0( 2, 0) = 3 0. OC C( 3, 0) = 1 .OC C ( 2, 0) = 11 . OC C( 4, 0J = 12. 0C D ( 5, 0) = 3. 0C C ( 6, 0) = 22. 0 0 C( 7, 0) = 18. OC o I 1 ?
C ( r>( 6, 0 0 ) = 1 9 . 0 C 0 ) = 2 2 . O C O VALQR s c j a n o 0 ( 8 , 0 C ( 2, 1) = 0.0 D ( 3 , 1) = 0.0 L M A , 1 ) = 1—* • o O D ( 4 , 1) = 1 . O C D ( 5 , 1) = 1 . 0 c C ( 6, 1) = 1 2 . 0 C C ( 6, 1 1 = 1 1 . 0 C 0( 6 , 1) = 3 . O C D í 7 , 1 ) - 3 . 0 C D ( 8, 1 ) = 1 9 . 0 C 0( 8, 1) = f: . 0 C 0 V A L O R D F £ . £ J A Í X . E D ( 8 , 1 ) = ; r V ' . c.c
P o d e - s e o b s e r v a r nestes e x e m p los que as mo d i fi c a çoes introduzidas reduzi ram o n u m e r o de cálculos e fe t u a d o s , já que a p a r e c e m i m p r e s s a s todas as m u da n ç a s de valor de D
â ) R
3.3. C o m p a r a ç a o do A l g o r i t m o de W o l l m e r com o A l g o r i t m o Modificado
Para e f et u a r uma c o m p a r a ç a o dos tempos de ex e c u ç ã o dos dois a l g o r i t m o s : o o r i g i n a l e o m od i f i c a d o , era n e c e s s á r i o que os dois f o r n e c e s s e m as mesmas r e s postas. Por isso c o n s i d e r o u - se a s e gu nd a m o d i f i c a ç a o t a m b é m no a l g o r i t m o original. Os algorit mos f or a m p r o g r a m a d o s em F O RTRAN. F o r a m e x e c u t a d o s testes em r e des de div e r s o s tamanhos, com d i f e r e n t e s tipos de conex i d a d e , p a ra 2 e 4 falhas, no c o m p u t a d o r IBM 4341 da U n i v e r s i d a d e Federal de Santa C at a r i n a . Os v a l ores dos arcos f o ram o bt i d o s através de uma geraçao de números a l e a t ó r i o s u n i f o r m e m e n t e d i s t r i b u í d o s em
torno de uma m é d i a e s p e c i f i c a d a . Os res u l t a d o s obtidos estão m o s trados nas tabelas abaixo, onde M é o n ú m er o de nos e NA o núm e r o de arcos. As redes a) e b) são s i m p l e s m e n t e conexas, com os v al o r e s dos arcos sendo v a r i á v e i s a l e atórias u n i f o r m e m e n t e dis tribu í d a s com m é d i a 20, testadas para 2 falhas. As redes c) e d) sao f or te m e n t e conexas, com os valores dos arcos gerados com m é dia 10, sendo testadas para 2 e 4 falhas.
Na tabela 1 sao c o n s i d e r a d a s redes cujas duais pos suem 10 nós. Sao a p r e s en ta d as na F i gu ra 6. M = 10 a) NA = 1 2 b) NA= 1 3 c) NA= 19 d) N A = 2 1 n = 2 n = 2 n = 2 n =4 n = 2 n = 4 . . -2 O r i g i n a l x 10 s 21,83 22,3 24,0 25 , 5 2 4,33 27,0 . . -2 M o d i ficado x 10 s 21,67 21,67 23,67 24,67 24,0 26 , 5
T A B E L A 1 - C o m p a r a ç a o dos tempos de e x e c u ç ã o de redes com 10 nós.
Na tabela 2 as redes testadas p o s s u e m 30 nós. E s tas estao a p r e s e n t a d a s na Fi g u r a 7. i 1 I 1 O CO II S a) b) c ) d) NA = 40 NA = 4 3 NA= 6 6 NA = 7 7 n = 2 n = 2 n = 2 n = 4 n = 2 n = 4 . . -2 O ri gi na l x 10 s 3 2,33 3 5,17 41,17 46,67 47,33 51,67 . . -2 M o d i f i c a d o x 10 s 30 , 67 3 3,83 <3- o 00 CO 44,17 46,5 50,67
Os testes para redes com 50 nos sao apresentados na tabela 3. Suas r e p r e s e n t a ç õ e s estao na Fi g u r a 8.
M = 5.0 a) b) c) d) NA = 7 1 NA = 7 2 NA=129 NA = 131 n = 2 n = 2 n=2 n = 4 n = 2 n = 4 O r ig in al x 10 ^ s 46,83 57,5 60,67 70,5 68 ,67 78,83 . . -2 M o d i f i c a d o x 10 s 46,17 56,67 58,5 64,67 67,33 74 ,5
T A B EL A 3 - C o m p a r a ç a o dos tempos de e x e cu ç ã o de redes com 50 nós.
Para redes com 100 nos os r e s u lt ad os estao na tabe la 4. Suas c on f i g u r a ç o e s a p a r e c e m na F i g u r a 9. 1 M = 100 ! a) b) c) NA = 1 4 7 NA = 1 5 7 i NA = 271 1 d) NA = 2 71 n=2 n=2 'n=2 | n=4 n=2 n=4 . . -2 O r i g i n a l x 10 s 107,33 120 ,67 , 125,0 115 2,33 183 ,67 ; 217 ,0 : . . -? ■ M o d íficado x 10 s , 108,5 120 ,67 ' 123,0 1 148,5 170 ,17 i203,67 !: T A B EL A 4 - C o m p a r a ç a o dos tempos de e x e c u ç ã o de redes com 100 nos
Os tempos de e x e c u ç ã o para redes de 500 nos estão a p r e s e n t a d o s na tabela 5. As redes testadas a p a r e c e m na F i g u r a 10.
M = 500 a) NA = 598 b) NA= 715 c) N A = 1 4 26 d) N A = 14 3 7 n = 2 n= 1 n = 2 n = 4 n = 2 0 li -F* . . -2 O r i g i n a l x 10 s 5425 4048 4146,2 6097,2 3402,3 5202,6 . . -2 M o d i f i c a d o x 10 s 5070,5 3932,7 3561 5577,7 3395,8 5179,8
Ü) c o CO a o o « Q) *"0 <u Pi ] F I G UR A
rû F I G U R A 8 - R e d e s c o m 50 n o s
F I G U R A 1 0 b - R e d e c o m 5 0 0 n o s
CO to c o o m g o o QJ T3 (U P£j O O < PÚ P> o H
F I G U R A 1 0 d - R e d e c o m 5 0 0
Temos q u e , em geral, o a l go ri tm o m o d i f i c a d o e x e c u ta o p r o c e s s o mais rápido que o original. P o d e - s e v e r i f i c a r que isto se a c e n t u a a me d i d a que o n u m e r o de falhas aumenta.
3.4. S e g unda P a rte do A l g o r i t m o de W o l l mer: D e t e r m i n a ç a o do C a m i - nbo m ais C urto
Tendo obtido o valor do c a m inho mais curto da f o n te até o sum i d o u r o , W o l l m e r a p r e s e n t a um a l g o r i t m o pa r a a o b t e n ção do c am i n h o mais curto e para a i n d i c a ç ã o dos arcos que falha- r a rn.
0 p r o c e d i m e n t o inicia no s u m i d o u r o e p es q u i s a os nos na d i r e çã o da fonte, a p r o c u r a dos nos que c o m p o e m o caminho.
No p r i n c i p i o i=n, isto e, o n ú m er o m á x i m o de falhas e depois vai d i m i n u i n d o .
0 a l g o r i t m o é o seguinte:
1. Seja k = 1, a (1)=t é i (1)= n . 2. E n c o n t r e um nó a(k+l), tal que:
D a (k +1) , i ( k + l ) = D a ( k ) , i ( k ) ” £ la ( k ) , a ( k + 1 ) J e i(k+l)=i(k) OU D a ( k + l ) , i ( k + l ) = D a(k),i(k) 6 i ( k +l )= i( k) -l . 3. Se a(k.+ l)7ís, faça k--k+l e vá a 2. Sena o , termine. 0 c a m in h o d es ej ad o ê s = a ( k + 1 a (1)= t . Os arcos que f a l h a r a m f or a m a qu e l e s [a (k) , a (k+1) ] tais que i ( k ) / i(k+l).
Os arcos da rede primai que d e v e m ser removidos sao a q u eles que i n t e r c e p t a m estes arcos da rede dual.
Sendo : s - fonte
t - s u m i d o u r o k - c o ntador
a - nos p e r t e n c e n t e s ao caminho
i - q u a n t i d a d e de arcos que p o d em sofrer re duç a o .
E x e m p lo 5 : C o n s i d e r a n d o a rede dual como a da Figu ra 6a), com os v a l o r e s c o r r e s p o n d e n t e s sendo a,b, í (a ,b ), entao:
1 2 O • 1 3 7 * 1 <+
27.
2 T29
. 3 5 1 2 » 3 D 3 9 .u
y 1 9 . 5 8 3 5 a 6 3 ò » 7 1 0 2 3» 8 1 0 3 . 9 1 0 3 3 . K E 0 n u m e r o D ENCS
R t D E = 1 0 N ê 0 ^ U v E R O D E A P C C S A S = ? . E V ° E N V E G N U M E R O O t A R C O S R E C E -n ( 2 * C ! = 6 . 0 0 0 0 0 r ( 3, O = 7 . 0 0 C 0 0 . o < 4 , C ) = 2 7 . 0 0 C 0 0 ( 7 » C ) = 3 “5 . C 0 C 0 0 1 ( •3 , C ) = i ^ . o o c o c D ( ( , t C ) •= A f c . C O C O O 'l ( 1 , C! = A 6 . C 0 C 0 0 C í t C) = ‘3 A . 0 0 C C 0 ( Li , C ) = j 2 . 0 0 0 0 0 r, ( 1 0 , C ) = o 3 . 0 0 C O O ) ( 1 0 ? L ) = - j . 0 n C 0 0 D U Z i D f S 1 ?0 { oc- t 1 ) - * 0 0 C O 0 1) ( / ? i ) = c . k 1 O f ■? -> 1 1 ) = 7 . 0 0 3 0 0 0 ( 3 , 1 1 = C . 0 D Í 4 -, 1 ! = 2 7 . 0 0 0 0 Ü n ( Í ,. , 1 ) = X.,• 0 ( 7 , I ) - ? ■. 0 0 0 0 0 ü i 7 , 1 ) = ■- » 0 0 c o o D { 5 » L ) 1 2 . 0 0 0 0 0 0 ( 5 » 1 ) - ? t 0 0 G O O J { 6 , 1. ) - 0 0 0 0 0 0 ( 6 ? 1 } I « 0 0 c o c D ( V ! 1 ) = 1 9 . 0 0 0 0 0 D ( 8 » 1 I = ^ 2 « c e o o o D i a , I ï = 1 9 . 0 0 0 0 0 0 Í 8 , 1 ) = 1 3 . 1 ) 0 0 0 0 D ! 1 0 , 1 ) - 3 4 . 0 0 0 0 0 n ( 1 0 » 1 ) •- 1 6 . 00 c o o A R O T A D E S í r J A ü A E O ( 1 0 , I ) = U . O O D ( 2 , 2 ) = 6 . 0 0 0 0 0 D ( 2 , 2) = 0 . 0 CM 3 , ? )= 7 . 0 0 0 0 0 0 ( 3 , 2) - 0 . 0 c ( 4 , 2 ) = 2 7 . 0 0 0 0 0 1.: ! 4 , 2 ) r: 0 . 0 J ( 7 , 2 ) = 2 * 3 . 0 0 C O O p ( 7 , 2 ) = 0 . 0 r i 0 i ) = 1 2 . 0 0 0 0 0 0 ( » 2 ) ■= 0 . 0 0 ( f' ? 2 ) = 0 0 0 0 0 D { * 2 ; = 0 .» 0 !'■ ( • •>“ * 2 ) l w . 0 0 0 0 0 i ? 2 ) = C . 0 0 ( t 2 ) = ^ » 0 0 o ( / o 0 Í ■ ? 2 ) = 7 . 0 0 C 0 0 r { s t 2 ) = f t . C O c o o i: i 1 0 , 2 ) = 2 H, 0 0 0 0 0 .) ( 1 0 , 2 ) = 6 . 0 0 C O O Í' r ^ - J A H i 0 ( 1 0 , û K C C S c1A L h M N D T 1 0 7 ? 1
AS RfcüUCftS CCCRRdRAP. NCS \RU' 1C 7 7 ? 2 1 □ C A I N M 'J w I NI PO P A R A 1 A R C T 1 0 O h 3 1 A S Rfc C (X Jc S C CC R R t RA M N C S A R C f ' í: 3 3 1 0 C A i - ; i N H 2 PI N I V í? P A R A O A R C " 1 -í t 3 1 Este p r o c e d i m e n t o é v e r d a d e i r o em a l g umas s i t u a ções, mas d e p e n d e n d o da c o n f i g u r a ç a o da rede e dos valores dos ar cos, não fornece os r e s u l t a d o s esp e r a d o s . P o d e - s e o b s e r v a r no e- x e mp l o 5, qüe o c a m i n h o mais curto e seu valor f o r a m obtidos c o r r et am e n t e , mas na r es o l u ç ã o do p r o b l e m a com p o s s i b i l i d a d e de um arco falhar, f or a m a p o n t a d o s dois arcos. 0 arco que une o nó 1 ao no 3 s o f r e u r e d u çã o no cami n h o mais curto da fonte ate o no 3; o arco que une o no 3 ao no 6 sofreu r e d ução no c am i n h o mais curto da fonte até o nó 6; a s sim o arco que falhou é o de m a i or c o m p r i mento. 0 m es m o oc o r r e para o p r o c e s s o com duas falhas.
A seguir, é dado um e xe m p l o que m o s t r a que este p r o c e s s o tam b é m nao e m u i t o se g u r o para a d e t e r m i n a ç a o do caminho mais curto em uma rede.
E x em p l o 6 : Seja a rede dual a p r e s e n t a d a na Fi g u r a 6c), pelo a l g o r i t m o de Wol l m e r , com os valores dos arcos sendo os s e g u i n t e s : a b A( 1 2 i 9 1 3 19 . 2 3 19 . 2 4 13. 2 3 1 5 . 2 5 5. 3 ó ò * 3 7 3 . 4 3. cs» 4 8 ò » 5 6 19 . 5 ò 8 0 ó 7 12. 6 tí 3 . 6 9 4. 7 o 1 3 . 8 14, 8 1 0 ó . 9 l ü 19. V t a N u v t v 0 ütr ; C S R'[C E 1! t-~4 o N E 0 N U M t ? - C 0 z i R Crc A S F P F N N V t C N L Ml R ' L-t a * c n D 4 R E C E = 0 ( 2s o 1 . C O 0 0 0 !' ( A C ) ~ 1 9.0 0 C O O 0 ( 4* c )= 1 9 . c o c o o ( 5 t o = 1fc. C D C D O o 0 ( h t C ) = íi .■> •o o c o o 7 í C ) = 27 c o c o o » C ) = c 0 0 c1- 0 f C) r o o c c o ( , C ) = / i•o o o o o 1 Wt C ) C •0 0 0 0 0 a : .>r.J i o r. r Í i o , n ) CL 7 19 v : . c. o j ( ' » 1 ! 1 . o o c o o r ( ? , 1 ! = n ^ • 0 :■ ( ^ , 1 ) 1 9 . '■',0 0 0 0 D í 1 )- c » 0 0 ( ^ , 1 != 1 s . o o c o o !; ( *1 f i )= 1.c o c o 0 ri / 5 , 1 >- i '.o o c o o » 1 )= 1. o o c o o
Yj Í o » i ) = 6 . O O C O O l? ( 7 , l ) = H . 0 0 C O O 0 { « , 1 ) = 7 . C O C C O 0 ( 9 , 1 ) = I C . 0 0 C O O D ( 1 0 t 1 ! = 1 3 . 0 0 C O O A 3 t S fi J A 0 A c "i ( 1 0 , D ( 2 , 2 ) _ 1 . 0 0 C O O D ( 2 , 2 ) C . 0 D ( 3 , 2 ) = 1 9 . 0 0 C O O ü ( 5 » 2 ) C . 0 ü ( A * 2 ) = 1 8 . 0 0 0 0 0 D ( 4 » 2 ) = C . 0 n ( 5 t 2 ) - 1 5 . 0 0 C O O D ( 3 T 2 ) = C . 0 D ( 6 » 2 ) = 6 . O O C O O D { 6 y
2)
= 0 . 0 D < 7 ,2)
= a . o o c o o 0 ( 7 »2)
- C . 0 D ! P ,2)
= 6 . 0 0 0 0 0 C ( - »2)
- 1 . C O C O 0 Ü ( 9 ,2
) - A . O O C O O D ( 1 0 » 2 ) - 7 . O O C O O 1 ", 00 A R O T A I f c S F J A O A F D f 1 0 , 2 ! - 7 , 0 0 C O M 2 A R C C S F A L H A MO G C C C ^ P - I f-'t-'NTH il 7 . 0 0 P C ' » v í N H T ; r ' I M f - ' O P A R A 2 A R C O ' - . ;; 1 r>c
c
>
3 2 1 A S o. E 0 L C O t S C C C R R t - R A M N C S A R C C 'A 3 3 3 2 2 1 - c l '.h ■) f-lM'-j Pû'U 1 A R C r: r : * a 2 i A -, R h O O C l t S C C ^ ^ R b R A M O C S A R C 0 S A 2 > 1 r C A f ' I N H T . - A * A 0 A 3 C H : •' 1 C S 5 2 1to, pois:
0 caminho mais curto para n e n h u m a falha está corre
£ ( 1 , 2 ) = 1
£(2,5) = 15 £(5,8) = 8
£(8,10) = 6, t o t a li za nd o D ( 10 ,0 )= 30
0 c a m inho mais curto para uma falha tam b é m está cor reto £ ( 1 , 2 ) = 1 £(2,4) = 18 £(4,8) = 6 £(8,10) = 6, s u p r im in do £(2,4)=18, que ê o m a i o r , entao D ( 10 ,l )= 1 3.
0 caminho mais curto para duas falhas:
£ ( 1 , 2 ) =■ 1
£(2,3) = 19 £(3,5) = 5 £(5,8) = 8
£(8,10) = 6, s u p r im in do £ ( 2 , 3 ) = 1 9 e £(5,8)=8, D ( 10 ,2 ) = 1 2 , que nao está correto.
Para m o s t r a r como estes valo r e s foram obtidos, p o de-se a c o m p a n h a r a s e g unda p a rte do a l g o r i t m o de Wollmer.
Tendo D ( 1 0 , 2 ) = 7 inici a - s e a p e s q u i s a do c a m inho fa
k = 1 a (1)=10
i ( 1 ) = 2
E n c o n t r a - s e um no a(2)=8, tal que: °8,2 = D 10,2 ~ £ (8 ’1 0 )
1 = 7 - 6
E n c o n t r a - s e um nó a(3)=5, tal que: ° 5 ,1 = D 8 ,2
1 = 1
E n c o n t r a - s e um nó a(4)=3, tal que: ° 3 ,1 = °5 j 2
0 = 0
E n c o n t r a - s e um no a(5)=2, tal que: D 2,l = D 3,2
0 = 0
E n c o n t r a - s e um nó a(6)=l, tal que:
D l , 1 * D 2 , 2 0 = 0
N este caso p a r t i c u l a r em que D g 2 =1 a c o n t e c e que
5 ^1 = 1 e =1, s i g n i f i c a n d o que ambas s a t i s f a z e m a i g u a l d ad e
D a(k+1) ,i(k+l) = D a(k),i(k) e = i (k) -1 . Como o a l g o r i t m o não faz seleção, q u a l q u e r um d e les pode p e r t e n c e r ao caminho, por isso o c a m inho e n c o n t r a d o não e o c a m i n h o mais curto cujo c o m p r i m e n t o ê 7.
3 •4 * 1 • O b s e r v a ç õ e s R e l a t i v a s à S e gu nd a Parte do A l g o r i t m o
P r i m e i r a O b s e r v a ç ã o
W o l l me r quando a p r e s e n t a o a lg o r i t m o para d et er m i - n a çao do c a m i n h o ma is curto depois de obtido seu valor, e s c o l h e p a ra r e c o n s t i t u i -1 o , a q u eles nõs em que:
D a ( k + l ) , i ( k + l ) * D a < k ) , i ( k r t'(a(k)’a(k+1)) 6 i t t + D - i W ou D a ( k + l ) , i ( k * l ) = D a(k),i(k) e i ( k + 1 ) - i < k > -1.
Ê v e r d a d e que todos os nõs p e r t e n c e n t e s ao caminho mais curto s a t i s f a z e m a pelo m e nos uma destas c o n diçoes. Mas p o dem existix" nos para cujos v a l o r e s estas condiçoes sao verificadas e que nao p e r t e n c e m ao c a m i n h o desejado. Pa r a i l u s t r a r b a s ta veri ficar o e x e m p l o 6.
S e g u n d a O b s e r v a ç a o
D e p o i s de obtido o caminho mais curto, o a l g o r i t m o a p r e s e n t a os arcos [a(k), a(k+l)J onde i(k)^i(k+l) como aqueles que falharam. Na r e a l i d a d e estes arcos sao aqueles que f a l h a r a m na de t e r m i n a ç a o de D^ ^ , nao n e c e s s a r i a m e n t e a = t ) . Ocorre que um arco que falha no c a m i n h o mais curto do nó s até o nó a^t, pode ser um que nao falhe no c a m i n h o mais curto do nó s até o nó t, co mo pode ser v isto no e x e m p l o 5.
Após estas o b s e r v a ç o e s t e rem sido feitas, p ro cu r o u -se d e s e n v o l v e r um a l g o r i t m o pa r a d e t e r m i n a ç a o do caminho mais curto e dos arcos que f a l h a r a m u t i l i z a n d o o p r ó p r i o p ro c e s s o de d e t e r m i n a ç a o do valor do caminho mais curto. A s s i m é o a l g or it mo p r o p o s t o - C A M I .
4. A L G O R I T M O P R O P O S T O - CAMI
A anál i s e do a l g o r i t m o de W o l l m e r m o s t r o u que a l guns probl e m a s p o d e m surgir quando de sua aplicação. Para evitar estas situa ç õ e s e r e s o l v e r o p r o b l e m a com um p e q ueno tempo de exe cução, as m o d i f i c a ç õ e s já a p r e s e n t a d as no item 3.2. e algumas o u tras -foram i n c o r p o r a d a s ao programa, r e s u lt an do o a l g or it mo CAMI.
P r o c e d i m e n t o para d e t e r m i n a ç a o do caminho mais cur to, seu valor e os arcos que s o f r e r a m redução:
I N I C I O i<-0 P a r a t o d o n ó a ^ s f a ç a D .-f-co . a , i D .-<-0 s , 1 k ^ O E n q u a n t o k < n f a ç a Inicio a l t e r a ç a o + 1 Se k = 0 e n t a o I n i c i o E X E C U T E B L O C O K Z E R O . i n d-'- 1 M E . 1 i n d E X E C U T E B L O C O C A M I N H O l F i m S e n a o E X E C U T E B L O C O K M A I O R Z E R O . P a r a todo. r, 5 a f a ç a n u l o 0 . — a kk-<-k ind-<-l M E . ,-c-t a n d E X E C U T E B L O C O C A M IN 1 10 2 . k + k + l Se k<n entao E X E C U T E B L O C O R E IN 1 C I A L I Z A Ç Ã O . F i m F I M .
E n qu an to a l t e r a ç a o = 1 faça
I n i c i o
alt e r açao+O
Para cada arco (a,b)
Se D > D + £(a,b) entao b , k a , k Inicio °b,k D a , k £ ( a ’b) L E , ■<- a b , k Fim Senao Se k > ^ + £(a,b) e b<t entao I n i c i o D a,k ' °b,k + £ ( a ’b) LE , -«-b a , k a 11 e r aç ao+-1 Fim Fim FIM B LOCO KZERO.
BLOCO C A MINH01 E n qu a n t o ME. , > 1 faça m d * Inicio c ME . , i nd ME . , . «- LE , ind+1 a , k ind ■*- ind+1 Fim FIM BLOCO C A M I N H 0 1 .
I n i c i o
alter aç ao +■ 0
Para cada arco (a,b)
Se Db,k > D a,k-1 então I n i c i o Db,k ^ D a ,k-1 LE, +■ a b , k f a l h a . . -«-1 b , k F im S ena o S e D > D entao a , k b , k- 1 Inicio Fim D a , k ! Dkb , k ! -11 LE , b a , k falha , 1 a , k
Se °b,k > D a,k + £ <a ’b > então Início °b,k " D a,k + £ ( a ’b) L E b,k * a falha, . +■ 0 b , k Fim Senao Se D a ,k > °b,k + £ (a >b ) e b < I n í c i o D a,k * D b ,k * L I a , k lha a lt e r a ç a o 1 f a l h a , +■ 0 a , k. F i m Fim
FIM BLOCO K M A I O R ZERO.
BLOCO CAMINH02 E n qu a n t o ME. , > 1 faça m d * I n i c i o c <- ME . , i nd ME •«- LE , . ind+1 c,kk Se falha = 1 faça C , KK Inicio Nulo. +■ ME . , _ m d ind+1 kk <- kk-1 Fim ind ■<- ind+1 Fim FIM B L O C O C A M I N H 0 2 . B L OCO RE I N I C I A L I Z A Ç Ã O P a r a todo nó a faça Início D a,k ^ D a,k-1 L E a,k LE a , k - 1 Fim FIM BLOCO R E I N I C I A L I Z A Ç Ã O .
0 caminho mais curto e dado pelos nós ME. ind 0 v a l or deste caminho é D
t , n
Os arcos que f a lh a r a m f o ram aqueles ME ,, ME tais que nulo 4 0
4.1. F l u x o g r a m a do A l g o r i t m o CAMI para O b t e n ç ã o do V a lor do C a m i nho mais Curto
Para melhor m o s t r ar as m o d i f i c a ç õ e s que foram f e i tas no a l g o r i t m o de Wol l m e r , é a p r e s e n t a d o a seguir o f lu x o g r a m a do a l g o r i t m o CAMI, apenas para o bt en çã o do valor do caminho mais curto .
4.2. E x e m p l o de CAMI
Pa r a m o s t r a r o r e s u l t a d o da a p l i c a ç ã o do a l g o r i t mo CAMI, este foi a p li ca d o a uma rede de 50 nós e 129 arcos, cuja s aída do c om p u t a d o r a p a r e c e no e x e mplo 7.
E x e m pl o 7: Pa r a a rede da Fi g u r a 12 (Figura 8c), o a l g or it mo CAMI fornece:
F I GU R A 11 - F l u x o g r a m a de CAMI para obter o v alor do
M Ç 0 N U ^ F R G Of : ' J C S Rrl'Æ - *>0 N e 0 \’ U M E R 0 Í--F A R C C 5 A S F R F V R 2 - ) U 7 I I f f - = 4 N V F 0 N U M E R 3 Di r A R C C S D A ? F 0 h = l 2 S C V A L C R O F S F J A D O !? ! ) ( S O f O ) = 4 1 . 0 0 C C A M I N H 3 ?* I \; I y 3 P ä S S ü o i •_ f ü 3 3 5 0 4 8 4 1 3 6 3 0 2 4 1 « 1 Í 6 1 H V A L C R J A C C . t 3 ( ^ 0 , 1 ) = - Í . 0 0 ( ! c A M I N H n K I N I iw C P ^ S S i P fc L ! ' \ 3 5 0 4 P 4 1 3 ^ 3 G 2 4 U ' 1 . ’ • 6 1 U<M A R C O OUf c F A L h G L F 3 1 4 1 4 " C T ' K V A L O R 1 2 . 0 0 0 V A L O R D t S r j f t L; n t n ( 5 0 , ? ! = - 0 . 0 0 3 C A M I \ ! n 3 1 3 1 i ' 3 A S S A ?l L f S 3 3 S 5 0 4 t 4 1 Í 4 2 7' 2 2 H I C 4 ! L v a r c o c u r t a L hin 4 i 4 r . ' - w v a l o ,j i 2.00 L v A R C U WUi l 'L L h L r ï ; I 1 4 C : w V A l 0 R lí.O C 3 V A L ' < ' S ‘‘ J V ' O - ! / ( -'■<() , !■ ) = I 4 . 0 0 ! C A V I O H " ' '• ] ! ' : ; , A S S A - H L f S ' - , 0^ 5 0 4 ï} >< 2 7 2 2 1 : i '' 4 i U v A R G 3 C U : : F - » L i * ^ U !- 0. j uf- -, ;; c "*'• V A L D R 7 . 0 0 Ui-' A P C . 3 C ü r L H . ' l, M I 2 7 3 C i v V . U U R 1 1 . 0 0 U w A R C O Cü'. F A 13 'p ü Í " ! 1 4 C 3 ' V A L 3 « 1 2 . 0 0 C! V A L C R 0Í S t j . V . : r : - o ( = / . 0 0
r. C A M ! N H " ! r- I 'j I f ' , ; n : U ; , 5 0 ^ ‘3 '-Î9 > 2 7 2 c b f' A » C r i C U E P £ . I M ' X K M ^ ^ t >' A R C " C u : r ‘i L i r L P O M 3 L VI A i C H C U " - 4 < M, 1 '■ / ! A R C r C u : : F h ? i o Ù ; V V A !. ; ^ C y VUi.Q V ALv'^ C V â L ,J ’ "> • ;f' !■ \ rr: 1 r.' .00 l t . 0 0 11.00
5 • S U G E S T Õ E S PARA NOVAS P E S Q U I S A S
Uma futura p e s q u i s a pode ser feita de forma a c o n s i d e r a r r e duções parciais nos fluxos dos arcos. Neste caso pode- se e s t i p u l a r quais serao as reduções per m i t i d a s ou então fazer u- ma a n á l i s e de s e n s i b i l i d a d e c on si de ra nd o várias r e soluçoes.
O u tro estudo pode ser d e s e n v o l v i d o con s i d e r a n d o que os arcos s e jam funções e nao valores fixos. D e ssa forma, o algo ritmo a p r e s e n t a d o aqui pode ta m b é m ser apl i c a d o para que a l t e r n a tivas de i n v e s t i m e n t o s s ej a m obtidas. Neste caso, cada a l t e r n a t i va de invest i m e n t o , r e p r e s e n t a d a por uma rede, c o n s t i t u i r á um nó da rede de decisão.
B I B L I O G R A F I A
1. B O A V E N T U R A N E T TO, P.O. T e o r i a e m o d e l o s de g r a f o s . Sao Paulo, Edgar B lücher, 1979.
2. DOULLIEZ, P.J. & RAO, M.R. C apacity of a n e t w o r k with i n c r e a sing demands and arcs subject to failure. Operations research, 19 (4) :905-15 , jul./aug. 1971.
3. DREYFUS, S.E. An A p p r a i s al of some s h o r t e s t-path algoritms. O p er a t i o n s R e s e a r c h , 1 7 ( 3 ) : 3 9 5 - 4 1 2 , 1969.
4. FORD, L.K. & FULKERSON, D.R. Flows in n e t w o r k s . Princeton, 1974.
5. FURTADO, A.L. T e or ia dos Grafos - A l g o r i t m o s . Livros Técnicos e Cie n t í f i c o s , 1973.
6. HU, T.C. I nt e g e r p r o g r a m m i n g and n e t w o rk flows. U . S .A ., Addison -Wesley, 1970.
7. S AK AR OV I T H , M. O p t i m i s a t i o n dans les réseaux. T e ch ni qu es M a t h é m a t i q u e s de la R ec h e r c h e O p é r a t i o n n e l l e . Grenoble, 19 7 7 .
8. WOLLMER, R. R e m o v i n g arcs from a network. O pe r a t i o n s R e s e a r c h , 12:934-40, 1964.
