Um esquema adapativo para um sistema de pouso automático para avião

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA COÒRÒENAÇffÒ DOS^ PROGPAMAS DÉ PÕS-GRADUAÇ/ÍO

ENGENHARIA

ESOüEf^A ADAPATIVO PARA UM SISTEMA DE POUSO AUTÓMATÍCO PARA AVÍ^iO

J0fl;0 BOSCO OA WOTA ALVES

TESE SUBMETIDA A APRECIAÇflIO COMO REQUISITO PARCIAL PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE:

MESTRE Ef1 CIÊNCIAS DE ENGENHARIA

FLOPIAwPPOLIS

SANTA CATARINA - BRASIL ; JUNHO - 1973

A OBTENÇffO DO TITULO* DE

"r^iESTRE E^rCIÊNCIAS"

E APROVADA EH SUA F0RP1A FIMAL PELO ORIEM- ' TADOP E PELO CURSO DE POS-GRADUAÇTTO.

PROF. RAOAMA^)I DORAISWAMI ORIENTADOR

PROF. DOHINI^S ^ E C H A T ALVEÍ

INTEGRADOR 00 C ip m DE PÔS-GRADÜAÇÃO

RANCA EXAHINADÓPA:

¥•-

---PROF. r>AJAf1AMl DO^AISWAMI

PROF. \.!ALTER CELSO DE LIMA

- Ao P r o f . Rajamani Ooraiswarai, o r ie n t a d o r , pela maior boa vontade que sempre demonstrou na solução das d if ic u ld a d e s en­ c o n tra d a s , c o n trib u in d o para que o o b je t iv o da pesquisa fosse c o n c re tiz a d o .

- Aos P ro fe ss o re s Mi c o le P o u liq u e n , fíoger Pouliquen e Mal- t e r Celso de Lima, por assegurarem o in c e n t iv o n e c e ssá rio em assuntos de c o n t r o le s .

- Aos orgãos CAPES e BNOE pelo financiam ento que p o s s i b i l i ­ tou e ste t r a b a lh o .

- Ao departamento dç F T s ic a , pela boa vontade e colaboração p r e s t a d a s .

- Ao Departamento de C iê n c ia s E s t a t í s t i c a s e da Computação pela p a c iê n c ia e pelo ca rin h o dispensados.

- Aos colegas Vânia Conceição T a v a r e s , João ^M^do de Souza- Vlana e Luiz C arlos Duelos, pela Cooperação ha elàboração de programas de computação.

- Aos alunos do Centro de Estudos Básicos e Pós-Graduação - da UFSC, cu jo relacionam ento p o s s i b i l i t o u condições p s ic o ló g i­ cas que tornaram mais f á c i l e ste tr a b a lh o .

- Aos p ro fe s s o r e s , alunos e fu n c io n á rio s do Centro Tecnoló­ gico da UFSC, pela boa vontade em qualquer o ca siã o .

-Ao D lr e t p r ijjt d o Centro de Estudos Básico s dá-BFSC pelò t r a balho de impressão.

- A minha mulher, B e rn a rd e te , e ao meu irmão, A d ils o n , pela v a lio s a colaboração nos s e r v iç o s de d a t i l o g r a f i a e impressão.

- Aos amigos Mery e F l a v i o pelo se rv id o de impressão.

Sem qualquer dos presentes acima e ste tra b a lh o de t ç s e j a ­ mais s e r i a p o s s ív e l.

Resumo ... ... ..01

Summary... ... ... ... 02

CAPITULO 1 - In tro d u çã o ... ... 03

CAPITULO 2- D efin ição do Problema... 07

2.1- D escrição resumida da sustentação do avião no a r . . . . 07

2.2- D escrição resumida do pouso... ... 09

2.3- Pressuposições g e r a i s ... 10

CAPITULO 3 - Modelo Matem ático... ... 12

3.1- Equações do a viã o para o movimento lo n g e t u d in a l... 12

3.2- U t i l i z a ç ã o da t é c n ic a de espaço de ^^spaço de e s t a d o .16 CAPITULO à~ indTce de Desenpenho... .. ... 18

4.1- U t i l i z a ç ã o do Conceito 10... ...18

4.2- Seleção do ID para o sistema de pouso em q u e s t ã o .. . . 2 0 CAPITULO 5- Otimização ... ... 26

5.1- Problema de p o u s o . . . ... 25

5.2- Problema de "TRACKING"... 26

5.3- Lei de c o n t r o l e ... 32

CAPITULO 6 - Sim u lação ... ... 36

6.1- C on sid eraçõ es... ... ...36

6.2- Programa Executado... 36

6.3- Exatidão do programa... 36

CAPITULO 7- C on trolab i lid a d e e Observabi 1 id a d e ... 39

7.1- C o n sid erações... 39

7.2- Control abi 1 id a d e ... 39

7.3- Observabi l i d a d e ... 42

CAPITULO 8- E s t a b i l i d a d e ... ... 8.1- C onsiderações... ...43

8.2- Método D ire to de LYAPUNOV... 43

8.3- A n a lis e da E s t a b ilid a d e do Sistema dePouso do A v iã o .44 CAPITULO 9- S e n s i b i l i d a d e ... ... 46

9.1- C o n sid erações... 46

9.2- A n á lis e da s e n s i b i l i d a d e ... ... . . . 4 7 9.3- S e n s ib ilid a d e dos estad o s... 49

CAPITULO 10- Esquema A d a p ta tiv o ... ...56

10.1- C onsiderações... 56

10.2- Esquema A d a p ta tiv o ... 58 10.3- ín d ic e de Desenpenio para o esquema a d a p t a t iv o .60

z ação ... .. 10.5- Resumo da a p l i c a b i l i d a d e p r á t ic a do esquema a d a p t a t i­

v e ... .. CaPîTULO 11- Conclusõ es... 66

Bi bl i og raf i a - ... ..

fi

R . i % U H 0

0 presente tra b a lh o f o i d esenvolvido no sen tido de 2s sa g u ra r c o n fo rto e segurança no pouso do a v iã o . Consta de üin sistem a de pouso autom ático, o qual f o i otimizado e depo­ is sugerido um Esquema A d ap tativo que cumprirá esta exigenci^ â»

Apesar do sistema de pouso em questão j á haver sido b a sta n te testad o e u t i l i z a d o , alêm da o tim iz a ç ã o , foram efe tu sdas a n ô l i s i s sobre a c o n t r o l a b ili d a d e e o b s e r v a b ilid a d e , no- s€.itido de se v e r i f i c a r a v i a b i l i d a d e de o tim iz á - lo . Tambem- fo l f e i t a uma a n á li s e sobre a E s t a b ilid a d e do mesmo, o que - Rüstrou a e f i c i ê n c i a do modelo.

Após a o tim iz a çã o , f o i , o siste m a , simulado no com­ putador d i g i t a l 1130 e dessa simulação a d q uirid o muito conhe­ ci mertto p r á t ic o do mesmo.

Porim, a s e rie d a d e de uma terrisag em não admite fa- lliâs no sistem a de pouso autom ático. Dai a necessidade de náo

se

a d m i t i r v a ria ç õ e s nas t r a j e t ó r i a s de estado do processo. CoiTi esse problema em v i s t a , f o i f e i t a uma a n á lis e da S e n s i b i H dade, na qual tomou-se conhecimento sobre a v a r ia ç ã o da t r a j e t S r t a tíe estado com cada parâmetro do modelo matemático do avi^

Io.

Em seg u id a, um esquema a d a p ta tiv o fo i su g e rid o , com a f in a lid a d e de compensar a t r a j e t ó r i a do a viã o quando, por v a r ia ç õ

es

dos parâmetros do a v i ã o , raeio ambiente, e t c . , se f i z e r neces s a r l o .

0 esquema a d a p ta tiv o não dispensa a otim ização do s i ^ tenias v i s t o que suas c o rre ç õ e s , por motivos de problemas de es­

The present vfork was developed in order to assure so n fo r t and s e c u r i t y on the landing of the plane. I t c o n s is ­ ts of Q system o f automatic la n d in g , which has been optimiza V";.- arsd a f t e r suggested an a d a p ta tiv e scheme t h a t w i l l per - form t h i s exigence.

In s p i t e of the landing system r e f f e r r e d had a lr e a dy been te ste d and used, besides the o p tim iz a tio n , a n a l y s i s ' have been made over the Control and o b s e r v a tio n , in order to fin d out the v i a b i l i t y of o p tim iz a te i t . Also v*ias made an a- n a l y s i s over the s t a b i l i t y of the same, th a t showed the effi^ c1 ence of the model.

A f t e r the o p tim iz a tio n , the system was simulated ' 1n the computer 1130, and, fron t h is s im u la t io n , a gre at de- el of p r a c t i c a l le a r n in g o f the same was acq uired .

However, the seriousness of a la n d in g , does not ad >1)1 t mistakes in the autom atic landing system. So, the neces­ s i t y of non admitance of v a r i a t io n s in the t r a j e c t o r y o f the s t a t e of the process. With t h is problem in v ie w , was made an a n a l y s i s of the s e n s i b i l i t y , from which knowledge was taken- aboyt the v a r i a t i o n of the t r a j e c t o r y of s t a t e with each par^ metar of the mathematic model of plane. A f t e r , an a d a p ta tive - scheme was suggested, w ith the f i n a l i t y of compensate the pla Fig's t r a j e c t o r y when, by v a r i a t io n s o f the p la n e 's parameters environment, e t c , w i l l be need.

The a d a p t a t iv e does not d is p e rs e the o p tim iz a tio n - of the system, due th a t i t s c o r r e c t io n s , by reasons o f s ta b i-l i ty probi-lems, must be i-l i t t i-l e and as f a s t as p o s s ib i-le .

c a p T t u l o i

INTRODUÇffO

Quando se f a l a em automatismo, i praxe lembrar em ma­ quinas s u b s titu in d o o homem em t a r e f a s r e p e t i t i v a s , no sen tido de f a z e r com que o homem descanse um pouco de tra b a lh o b ra ça l e a r r a n j e tempo para r a c i o c i n a r um pouco mais.

Se rã que i is s o mesmo que o co rre ? Serã que o automa - tismo i d i r i g i d o somente ao lado humano da c i v i l i z a ç ã o ? Serã que 0 homem f o i a peça fundamental de toda uma c r ia ç ã o e seu de c o r r e n te desenvolvim ento? Acha-óe. quz não.

Ê la s t im á v e l que e ste mesmo automatismo, tan to explo­ rado como colaborador p rim ord ial do desenvolvimento te cn o ló g ico tenha sido c ria d o e desenvolvido com a f i n a l i d a d e p rim eira de e n riq u e ce r m ilita rm e n te impérios que, fazendo c r e s c e r armas do mais a l t o poder de d e s tr u iç ã o e, p orisso mesmo, a g a r a n tia de que as possuindo, possam d i t a r as l e i s que regem o comportamen­ to do mundo a t u a l , segundo seus in t e r e s s e s , na m aio ria das ve ­ zes, f in a n c e i r o s .

A grande m aio ria de l i v r o s e p erió d icos e s p e c i a li s t a s no assunto trazem, geralm ente, vasta ferram enta ilu s t r a d a d o r a ' de problemas de automatismo, em forma de m ísseis b a l í s t i c o s com a lv o s f ix o s ou móveis, ou qualquer co isa que o v a lh a .

A automatização de uma in d ú s t r ia tr a z co n sigo, i n e v i ­ ta v e lm e n te , 0 desemprego.

E s t a s , dentre t a n t a s , são as p r in c ip a is desvantagens' da má a p lic a ç ã o do automatismo. As vantagens da boa a p lic a ç ã o ' (re s p e ita n d o os d i r e i t o s humanos) dispensa o com entário, pois ' os acima c ita d o s d is p o s it i v o s de publicação trazem com seus e- xemplos b a l í s t i c o s uma grande va rie d a d e de t a i s a p lic a ç õ e s .

Uma pergunta se faz n e c e s s á r ia : Pa.Aa quem e poKqaz a± òlm Ae JLZizfLZ?

de c o n c ie n t iz a ç ã o , pois acreditamos que os a n t ig o s , responsá­ v e is ou não pela mã a p lic a ç ã o desta t é c n ic a , ja devem se r con

c ie n t i z a d o s , e s e ja qual f ô r sua f i l o s o f i a , é bem d i f í c i l mu- d ã - la , embora tenhamos, também, c o n c iin c ia de que esses novos serão futuram ente, responsáveis ou não pela mã . . . e tc .

E ê exatamente por não acreditarm os no fu tu ro das ' soluções para esse problema, por não possuirmos nenhuma, men apelos que mereçam c r é d it o s por p arte competente, que chegan­ do, não a um abandono, porém, à uma forma de lu t a ha muito e^ quecida Ic o n ò c lz n t lz a ç ã o ), noa peopomos propomos a esp erar ' que desapareça o anim al l/t/LaclonaZ dentro da esp écie humana ,

embora s e j a , para n õ s, um pouco d i f í c i l de a d m it í- lo .

0 nosso tra b a lh o não se a f a s t a muito dessas conside ra çõ es. C o n siste em uma óugeótão no òzntld o dz apQ.KÍzlçooA a otim ização de. uma àlAtzm a dz poa&o aotomã.tlc.0 poAa a v iã o .

0 pouso e decolagem de a v iã o , são operações r e p e t i ­ t i v a s . A p rim eira exige melhor desenpenho que a segunda, e- se rã d is s o que tratarem os.

Por mais- e x p e rie n te que s e ja o p i l o t o , cada vez- que 0 mesmo efetu a um pouso, e ste se transforma em uma te n t£ t i va. Os mesmos atenção e cuidados, exigidos na p rim e ira vez se fazem n e c e s s ã r io s . P o r ta n to , com um mecanismo autom ático, desde que o mesmo tenha um bom desenpenho, nas mais v a ria d a s condições de tempo do a e ro p o rto , o pouso pode d e ix a r de con^ t i t u i r uma forma de perigo aos passageiros e t r i p u l a ç ã o do ^ v iã o .

Porém, e ste sistema de pouso automático não dispeii sa to talm ente o p i l o t o , pois não pode haver v a r ia ç ã o na velo cidade do a v iã o , o que pode d i f i c u l t a r sua adaptação à misse i s , embora saibamos da p o s s ib ilid a d e de se p r o je t a r um s i s ­ tema para esse fim , mesmo que d ele não tomemos p a rte .

Resumidamente, podemos mostrar o desenvolvimento-- de nosso t r a b a lh o . E le dispõe básicamente de tr e s p a r t e s , das quais faremos um comentário na t e n t a t i v a de uma melhor - compreenção por p arte dos l e i t o r e s .

A prim ei ra parte se c o n s t i t u i de uma apresentação do p r o j e t o do Sistema de pouso e sua oti mização.

Nos segundo e t e r c e i r o c a p ít u lo s , i d e fin id o o proble ma e apresentado um modelo tem ático para o sistem a, b astan te '

testad o e p r á t ic o .

Oo t e r c e i r o ao o i t a v o , se mostra a otim ização do s i s ­ tema de pouso e o n e c e ss á rio para se poder o tim iz a r um sistem a,

que sào: ContfLoZaZ<.bllÁ.dadz, Ob&Q.fLvabltldadz z E ò ta b llld a d z .

Também nessa segunda p a rte Í colocado um c a p ít u lo so­ bre a simulação do computador d i g i t a l , no qual é explanada com d e ta lh e s as d if ic u ld a d e s encontradas em sim u lar um sistema com­ plexo como e s te . A p r in c ip a l razão da in c lu s ã o de um c a p it u lo ' sobre a sim u lação , r e s id e na d if ic u ld a d e p r á t ic a na computação da o tim iz a çã o .

A t e r c e i r a p a r te , a qual c o n s t it u i a p arce la mais im­ p ortante no presente t r a b a lh o , podemos s u b d iv i d i r em outras t r i p a rte s . ^ p rim e ira que é uma a n á li s e da s e n s i t iv i d a d e do s i s t e ­

ma de pouso j á otim izado, cuja necessidade mora no f a t o de que: 1) 0 sistema e otimizado segundo o modelo matemático esco­ lh id o , que mesmo sendo um modelo j á b astan te testad o e p r á t ic o , nunca re p re s e n ta rá idealm ente o siste m a , portanto é passivo de algumas m o d ifica çõ e s.

2) Com essas m o d ific a ç õ e s , a t r a j e t ó r i a deixará de se r oti^ ma, v i s t o que esta t r a j e t ó r i a ótima fo i desenvolvida a p a r t i r ' de v a lo re s supostamente co n sta n te s.

3) Se a t r a j e t ó r i a não é Ótima, o a viã o pode a t e r r i s a r em um ponto-de-toque não s itu a d o na p i s t a , ou mesmo, as c o rre ç õ e s '

podem s e r abruptas o que o c a s io n a ria um pouso, caso pousasse , não suave.

Por estas t r ê s razões fizemos uma a n á li s e da s e n s i t i ­ vid a d e , cujo v a l ó r p r in c ip a l está em se conhecer a v a r ia ç ã o dos estados do siste m a , com a v a ria ç ã o de cada parâmetro do modelo* do a v iã o .

Em seguida e proposto um esquema a d a p t a t iv o , que f a r S a compensação para a v a ria ç ã o que houver na t r a j e t ó r i a , decor - re n te da m odificação nos parâmetros do modelo, e tc .

m entário sobre o proposto desenvolvim ento, fo i colocado também' um c a p ít u lo i n t e i r o sobre as co n clu sõe s, nas q u a is , na medida ‘ do p o ssT ve l, se incluem alguns tó p ico s re fe r e n te s a e x p e riê n cia por nós a d q u irid a s no assunto em questão.

Sabemos que, por não sermos donos de nossas própias ' v i d a s , não o somos, tambem, da dos o u tro s.

E, tampouco achamos que v a le a pena construirmos uma \>lda, a nossa, com a f i n a l i d a d e de outxoò d estru irm o s.

C A P T t U L O I I

DEFINIÇ/ÍO DO PROBLEflA

2*1 - DESCRIÇ??0 RESUMIDA DA SUSTEMTAÇSp PQ AVI^O NO AR

2.1.1 - Sustentação do avião no ar

■5 a o :

Antes se definam as coordenadas e ângulos / ^

U = angulo de r e f le x ã o elevadora

V = v e lo c id a d e (c o n s t a n t e ) do avião

9 = ângulo de i n c l i n a ç ã o do avião ( p i t c h angle) « = ângulo de ataque do avião

Y = ângulo de caminho de planeio ( g l i d e path angle) v! - peso do avião

CG= centro de gravidade do avião

Quando 0 avião se encontra en pleno vôo, i . a presença de um f lu xo continuo de ar i n c i d i n d o sobre sua asa.

de um movimento l o n g i t u d i n a l , em um plano v e r t i c a l (movimento cc; rotação em torno do centro de g r a v i d a d e ) , c^-iusado por intermedio da v a r i a ç ã o do “ angulo de deflexão e l e v a d o r a " , U ( t ) . Ver-se-a ' que esse angulo e l i m i t a d o , pois ao avião não é permitida uma ro

tação de 360° e aquele e x i s t e tambem l i m i t a ç ã o por paradas mecâ­ n i c a s . P o r t a n t o , ve ja - se como se processam essas l i m i t a ç õ e s .

VSem-se as l i n h a s de fl u x o i n c i d i n d o sobre a mesma. E n tr e A e B (dois planos perf.cndiculares ãs li n ha s de f l u x o ) , as li n h a s de

flux o levam o mesmo tempo de percurso. Como a t r a j e t ó r i a acima ‘ da asa ê maior que abaixo da mesma, a ve lo cid a d o do f l u x o , acima i maior. P el o prin cTp io de B e r n o u i m , sabemos que a v e l o c id a d e ' deste flu xo é aumentada devido a uma queda de pressão no l o c a l ' Ja o c o r r ê n c i a . P o r t a n t o , concluimos que a pressão sobre a asa e menor que sob a mesma, logo o avião será impelido para cima ( ern g e r a l , sera impelido à uma d ireç ão perpendical ar ã dir eç ão do rc vimento do a v i ã o ) , por intermedio de uma f o r ç a , conhecida como “ L I F T , e que i d i r i g i d a perpendicularmente a d ir e ç ã o do movimento do a v i ã o .

E ev ide nte que, quanto maior a v e lo c id a d e do avião mai or serã essa f o r ç a . Mais precisamente, o empuxo L ( l i f t ) e d i r e ­

tamente proporcional ao quadrado da v e lo c id a d e do avião V:

V2 L =

onde K deve co n te r um f a t o r que é a s u p e r f í c i e da asa, outro que a densidade do a r , p , e f in a lm e n t e , um f a t o r Cl , que depen úe do ângulo “ p". In te g r a lm e n t e ,

Com i s t o , e sta g a ra n tid a a sustentação do a viã o no a r .

2 .1 .2 - L im ita çã o do ''Movimento L o n g itu d in a l V e r t i c a l

K medida que se aumenta o angulo " p " , vai au -

mentando, tambem, o L IF T , a té que para um determinado v a l o r des­ te angulo, teremos o surgimento de t u r b u lê n c ia , fazendo com que 0 L IFT c a ia o s u f i c i e n t e para não mais haver su stentação do a v i ­ ão no ar (provocando uma queda brusca do a v i ã o ) . E s te v a lo r limi^ te de " p " , le v a ao chamado angulode STALL.

P o r ta n to , sabendo da lim it a ç ã o de ''r '’ , pelo ‘ mesmo m otivo, de U ( t ) , e a in d a , que esses v a lo re s variam de acor do com o modilo de a v iã o , aqui se rá fix a d o , para e f e i t o de re so ­ lução d este problema, em

OO < a < 180 ,

onde a é 0 angulo de ataq u e, e seu l i m i t e s u p e r io r , é o "angulo de s t a l l “ . E

-35° < U ( t ) < 150

Adicio nalm e nte , para v a lo re s de U ( t ) f o r a , i im p o ssível o processamento, pois esta lim it a ç ã o ê efetuada por ’ paradas mecanicas. E , dentro da p ró p ria lim it a ç ã o , podemos v a r i ­ a r U ( t ) com o compromisso do angulo de s t a l l . Porêm* esta restri^ ção é colocada na apresentação das r e s t r iç õ e s r e f e r e n te s aos ân­ gulos d e fin id o s do a v iã o . P o r ta n to , esta r e s t r i ç ã o ao ’’ t ) é su­ f i c i e n t e .

2.2 - DESCRIÇÃO RESU^^IDA 00 POUSO 2.2.1 - Quanto â v e lo c id a d e do avião

Até 0 enquadramento da p i s t a , a t r a v i s do conta to pelo r ã d io , com a t o r r e , o a viã o s o fr e apenas uma diminuição* de v e lo c id a d e . Apôs esse enquadramento, hã a necessidade de se r a v e lo c id a d e do a v iã o :

a) Tão pequena, de modo que o mesmo não pare após o término da p is t a .

b) Tão grande, para que o avião não perca a s u s t e n t a ­ ção no a r .

c ) C onstante, pelas razões "a " e " b " .

Is t o se dã hã poucas dezenas de metros do chaõ para que, ao a t i n g i r uma a l t i t u d e de poucos centim etros da p is t a possa c a i r suavemente, garan tid o pelo sistema de suspenção do a- v i ã o , não a fe ta n d o , assim , sua e s t r u t u r a .

2 .2 .2 - Quanto à t r a j e t ó r i a

A t r a j e t ó r i a deve se r t a l que, ao se r iniciade. a fa se do pouso, deve-se fa z e r com que, ao a t i n g i r o i n i c i o da p i s t a , 0 a viã o e s t e ja a baixa a l t u r a , e, sua aproximação v e r t i - cal em re la ç ã o à p i s t a , s e ja bem suave, e ao mesmo tempo, a t i n j a 0 ponto de toque a uma d is t a n c ia b a sta n te cu rta em re la ç ã o ao i- n i c i o da p i s t a .

2.3 - PRESSUPOSIÇÕES GERAIS

A t i 0 enquadramento da p i s t a , com o avião a uns 100 pés de a l t i t u d e , aproximadamente, o contato é f e i t o pelo r a ­ d io , a tra v é s do sistema de instrumento de pouso ( I L S ) . A p a r t i r - d a i , ou s e j a , i n i c i a d a a fa se de pouso, o contato pelo rad io não é mais p o ssT vel, devido as perturbações e le tro m a g n é tic a s , o que obriga ao p il o t o fa z e r contato v is u a l com a t e r r a . I s t o se r e f o r ça pela necessidade do p il o t o e s c o lh e r um c o n fo r tá v e l e suave - "ângulo de caminho de p la n e io " ( g l i d e path a n g le ) , o qual g ir a - em torno de -3®, aproximadamente.

0 problema de pouso d e s c r it o aqui se r e la c io n a a pemas com a fa s e de pouso i , é , a p a r t i r dos 100 pés de a l t i t u d e '

do movimento descendente do a v iã o . P o r ta n to , a té esse ponto, o a viã o é guiado pelo c o n t r o le de trá fe g o aéreo, E , ao a v iã o , é ’ perm itida uma entrada na fase de pouso com v a ria ç õ e s de a l t i t i i d s e razões de a l t i t u d e de 120 a 80 pés, e, -16 a -24 pés/s, respec^ tivam en te. Para v a lo re s fo ra desta v a r ia ç ã o , o Sistema de Pouro' Automático, em a n á l i s e , não deve se r a p lic a d o . Fin a lm e n te , ap^ ' nas 0 movimento lo n g it u d in a l (movimento em um plano v e r t i c a l ) , d e ve s e r considerado. P r e c is a - s e do movimento l a t e r a l a té os 100 ' pés acima c it a d o s , i . é , a té o i n í c i o da fa s e de pouso

n Durante esta fa se de pouso, o avião e s ta r á s u j e i t o a ra jad as de vento e vento brando permanente. Rajadas de vento são de p rim o rd ia l im p o rtâ n c ia , pois tendem a se r a l e a t ó r i a s , o que ' podem d e s lo c a r o a viã o para fo ra da p is t a . J ã o vento brando per manente pode se r considerado como um deslocamento permanente do a v iã o . A qui, n e ste problema, as ra jad as de v e n to , por não poder- rem se r medidas, assume-se seu v a lo r médio zero.

C A P I T U L O I I I

HOOELO MATEflSTICO

3.1 - EQUAÇaES DO AVIffO PARA 0 ^lOVniENTO LONGITUDINAL Em qualquer p ro je to de sistemas de c o n t r o le , uma d e s c r iç ã o matemática s u s c in ta se faz n e c e s s á r ia . E sta d e s c r iç ã o ' pode, então , s e r f e i t a a t r a v i s de uma equação d i f e r e n c i a l de or dem " n ” , "n " equações d i f e r e n c i a i s de p rim eira ordem, ou, uma função de t r a n s f e r e n c ia . E, tambem, n e c e s s á r io , r e s t e caso parti^ c u l a r , uma d e s c riç ã o completa do a v fã o , re la ta n d o as v a r i á v e i s ' de r e s p o s ta , v a r i á v e i s de c o n t r o le e v a r i á v e i s de estado mensura v e i s . As equações do a viã o : 0( s ) = 1 Ü * , M| U (s ) eq. 3.1.1 M s ) S (T^S ₁₎ 0 (s ) eq . 3.1 .2

foram d esen vo lvid as procedendo-se de uma consideração dos momen­ tos e fo rç a s aerodinamicas e da a p lic a ç ã o das l e i s fundam entais' da mecanica. Para l i n e a r i z á - l a s , assumiu-se que o desvio da con­ d ição de e q u i l i b r i o de vôo ê pequeno.

Assume-se que o ângulo de caminho de p la n e io , y» é s u fic ie n te m e n te pequeno, a ponto de considerarmos sen y= y e cos Y = 1 . I s t o i v á lid o devido a geometria de pouso. Fin a lm e n te ,a ^ sume-se que a v e lo c id a d e , V, e mantida essencialm ente constante* durante o pouso, u t i l i z a n d o , para i s s o , o TROTTLE CONTROL;

P o r ta n to , o movimento lo n g it u d in a l do avião é governado i n t e t r a * mente pelo ângulo de d eflexão elevadora U ( t ) , o q u a l, e a única v a r i á v e l de c o n t r o le .

0 uso dessas assunções le v a âs tào conhecidas equa - ções de "p erío do c u r t o " , do movimento do a v iã o . Assumiremos , ^s* '''s ® '•'^variantes no tempo e as d efinim os, para este caso

p a r t i c u l a r como:

Kg s -0.95 s ” ^ , Ganho de período cu rto ( p . c . ) Tg = 2.5 s , Constante de tempo de p .c .

Wg = 1.0 rad/s , Frequencia de ressonancia de p .c . ç * 0.5 , Razão de amortecimento de p .c .

As equações do a v iã o , no plano s , são: eq. 3.1.1 e eq. 3 .1 .2 . Reunindo as duas, tem-se:

13 h ( s ) = --- h -í--- U (s ) S2 (S2/u | + 2 ç s/ü j ♦ 1) S " h ( s l ^ Z j S ^ h í s ) ^ S 2 h (s ) , Kj V U ( s ) ou + 2 ç w ^ - lÜ líll + w |_s[i!U LLi = Kg V w| u ( t ) dt*» dt3 -dt2

Üa equação no tempo acima, como se n ota, serã razoa­ velmente d i f í c i l medir todos os estados h ‘ , h ' ' , h ' * ' e h . No ma ximo, são fa c ilm e n te mensuráveis h e h ' , com o a u x í l i o de um r a ­ dar a l t i m é t r i c o e um medidor de raz~ao b a ro m é trica , r e s p e c t iv a - mente, h '* se rã muito d i f í c i l m edi-lo, assim como h ' * ' . Duas r a ­ zões f o r t e s levam a abandonã-los:

a) Deseja-se um pouso bem suave, porisso h *' é quase imper c e p t i v e l , tornando-se b a sta n te d i f í c i l sua l e i t u r a .

b) Para medí-lo a tr a v é s de d if e r e n c ia ç ã o , é p io r , pois sua am plitude se confunde com o ru id o , d i f ic u lt a n d o a l e i t u r a . As i- lu s tr a ç õ e s mostram t a l d if ic u ld a d e .

h ' ' ' , por sua vez, com muito mais razão, serã abandonado como v a ­ r i á v e l de e stad o , pois e muito mais d i f í c i l medT-la.

Em v i s t a d iss o f o i esco lh id o 8 { t ) e 0* ( t ) , para substi^ t u i r h *' e h ' ' ‘ , pois sao fa c ilm e n te mensuráveis a t r a v i s do 6YR0S

f o r t a n t o , p re c is a r e l a c io n a r h, h *, 0 e 0*, que a p a r t i r de ago ra, serão sas v a r i á v e i s de estado. Encontra , então, essa re la ç ã o a s e g u ir ; h ( s ) S ( T ^ S + 1 ) e ( s ) T g S ^ h í s ) + S h ( s ) V e ( s ) T = V 0 ( t ) 5 d t 2 d t = J L e(t) - - L h'(t) h ' " { t ) = - ï- h " ( t ) ^ % h “"(t) =•— e “(t) ti‘" (t) — 6"(t) h " '

I ü

± .

9 " ( t ) - — (— 9 tt) - — h " ( t ) ) + Ts T, T, ze'tC — 0 ’(t) — L h " ( t ) + v'i ( V 6{t) h'(t)) = VK.M2u(t) S J S S T. 's _V_ T. 9 “(t) V e'(t) - - L ( - l _ e ( t ) — i-h'(t))} + s T. + M|{— e (t) — L-h'(t)) - VK H|U(t) S t t S S (t) - e'(t) * 0(t) - - ! - h ‘(t) + n . T. + e(t) - HJ h'(t) = VK,lJ|U(t) T| _T| + M v ) 0(t) - ( - L + ü ü s + - ^ ) h'(t) = VK W|U(t) T3 _'s T2 _'s T _'s Eq. 3 .1 .3 " n = T - “ 2ÇW5 "32 = V a,«= W2 -lif ^ s n

i3 —_VT| *---- -'i _VTg h _{V 11 S S S}

St -5 =

3.2 - UTILIZAÇ/S:o OA TECWICA DE ESPAÇO DE ESTADO

Em g e r a l , a n a lis e e p ro je to de sistemas li n e a ' res podem ser tr ata d o s u t iliz a n d o - s e duas té c n ic a s fundamentais

A p r i m e i r a , faz uso da TRANSF0Rí1AÇA'0 LAPLACE, função de t r a n s f e r e n d a , diagrama de blocos ou diagrama de flu x o de s i n a l . 0 ou í r o , 0 qual tem ganho im portante s i g n i f i c a ç ã o na t e o r ia moderna de sistemas de c o n t r o l e e engenharia, é a té c n ic a de v a r i a v e l ' de estado.

A f a m i l i a r i d a d e desta últim a Í também e v id e n c i­ ada pelo fa t o de a grande m aio ria de té c n ic o s de p ro je to em s i £ tGii^es tíe c o n t r o l e moderno, são baseados em uma formulação u tili^ zando v a r i á v e i s de estado.

A u t i l i z a ç ã o de v a r i á v e i s de estado, dentre ou­ t r a s , tem as seguintes vantagens sÔbre a t é c n ic a c o n ve n cio n a l:

1) A formulação em v a r i á v e l de estado é n a tu ra l e convenr ento para a solução em computadores.

2) 0 método de v a r i á v e l de estado nos le v a a.uma represen tação u n i f i c a d a de sistemas a m útiplas ou a uma simples v a r i á ­ vel .

3) Pode ser a p l i c a d o , também, i sistemas não lin e a r e s e tanibém, sistemas v a r i a n t e s no tempo.

4) F a c i l i t a a a n a l i s e por otim ização .

F.n gsral um sistema a dados co n tín u o s, o mes­ mo é representado por um conjunto de equações d i f e r e n c i a i s de

primeira ordem, chamadas equações de estado. .

Por essas razões acima i que se p r e fe r e a uti_ li z a ç ã o da t é c n i c a de v a r á v e is de estado.

Por t a n t o , passando a equação 3 .1 .3 para e- quações de estado.

x ^ ( t ) = e ( t ) X 2 ( t ) = 9 ( t ) X 3 ( t ) = h ' { t ) X 4 ( t ) 5 h ( t )

17 U ( t ) = U ( t ) x j ( t ) ® n ^ i ( t ) + "1 2"2Í t ) * « 1 3 ^^3( t ) • Xg ( t ) — x^( t ) x^( t ) = ( t ) + 3( t ) X4( t ) X3( t ) x^( t ) ' ' ^ 1 1 ® 1 2 ® 1 3 0 X i ( t ) ' t 1 x^( t ) 1 0 0 0 Xgí t ) 0 s ₊ x j ( t ) 0 ® 3 2 ® 3 3 0 X3( t ) .•n o* x ^í t ) u. 0 0 1 0 x^í t ) í o , x ( t ) = AX( t ) + B U { t ) U ( t )

0 qual serã nosso modelo do avi ão. Mote que os elementos das ma­ t r iz e s A e B são constantes.

C A P I T U L O IV

PERFORMANCE INDEX

4.1 - UTILIZAÇÃO DO COMCEITO DE P I .

De posse do modilo matemático, e com os estados e r e s t r i ç õ e s determinados, estamos â f r e n t e de um novo problema: "d et er m in ar o PI a se r u t i l i z a d o " . 0 o b j e t i v o i f o r n e c e r motiva - ção f T s i c a para a se leção desse P I .

Como j á vimos, as t é c n ic a s c l á s s i c a s de proj et o „ tem sido a p l i c a d a ; com sucesso em Sistemas L i n e a r e s , lnvafUa.ntQ.6' no to.mpo, zntfiada e ia Z d a í í o Iíò ( c a r a c t e r i z a d a s por "tempo dc s u b i d a " , "tempo de a s s e n t a n e n t o " , "p ico de sobretensão" e "acurs- cidade do estado de regime") com condições i n i c i a i s n u l a s , e

poòta zm ^^2.quznc.la ( c a r a c t e r i z a d a por "margem de f a s e e ganho" ,

"amplitude de pico" e " f a i x a de passagem".). P o r t a n t o , em m u i t a s ’ a p li c a ç õ e s podemos u t i l i z a r as t é c n ic a s c l á s s i c a s , cujo sucesso 5 g a r a n t id o . Porém, precisamos co n s id e r a r sistemas de uma maneira ' mais g e r a l , com o b j e t i v o s de desempenho não f a c i lm e n t e d e s c r i t o s ' por t é c n ic a s c l á s s i c a s . Dai a necessidade de uma forma matemática ( P I ) que re pre sen te realmente o si st em a, s e j a qual e l e f o r . Em suíTia, para um dado PI r e p r e s e n t a t i v o de um si st e m a , este último ' não pode se r melhor que o P I , sob pena do PI não r e p r e n t a - l o . Ob- viamente, no P I , colocamos todos os r e q u i s i t o s e r e s t r i ç õ e s do problema, e assim minizando o P I , estaremos minizando o sistema.

Ha seleção de um P I , o Engenheiro de Contro le a~ tenta em d e f i n i r uma expressão matemática que quando minizada, in dica que o sistema est á desempenhando o seu papel da forma mais ' d e s e j á v e l . Então, esc ol her um P I , e p a s s a r 'p a r a o papel, os re - q u i s i t o s f í s i c o s do sis te m a , ou s e j a , r e p r e s e n t a r os o b j e t i v o s do sistema sob uma forma matemática.

Evidentemente, o PI J e I (onde I é um campo es ca ­ l a r , ou s e j a , todos os seus elementos sofrem das seguintes propri edades abaixo:

se ja O-j, Jg» e as re la çõ e s < e - .

P.J - Das tr ês expressões, apenas uma é v e r d a d e i r a : < ^2 » '^■j ■" *^2^ '^2'^ '^1

Pg - Se

19 Observação: 0 Campo se rã o dos números r e a i s .

J sendo iuncÃ.onal, i uma transformação de um Espaço Ve

t o r i a l em um Campo E s c a l a r . Ilu s t r a n d o ,

j

i

’

V e T o r ■ <;í !

C A

0 processamento pode se r f e i t o da se g u in te maneira: sii ponhamos que dois c o n tro le s a d m issíve is (que sa tisfa ça m todos os

r e q u is it o s e r e s t r i ç õ e s ) foram e s p e c ific a d o s , i c la r o que os me£

mos causam t r a j e t ó r i a s a d m is s ív e is : "selecionarem os o melhor" Para evoluirmos e sta s e le ç ã o , desenvolveremos o t e s t e mostrado ' na f ig u r a abaixo:

U T ( t ) . U 2 { t )

P rim e iro aplicamos o c o n tro le ( t ) , ao sistem a e de­ terminamos 0 v a lô r do P I , , então repetimos o processo para Ug

( t ) , encontrando J 2 - Se desiqnamos ( t ) melhor que

U2 ( t ) . Caso c o n t r a r i o , se dã 0 in v e r s o . E se = ^2» <?ualquer' um dos dois s e r v i r á . Meste caso, u tiliz a re m o s 0 de mais simples* construção.

Devemos l e v a r em conta a in t e r p r e t a ç ã o do P I mínimo Se m u ltip lic a rm o s todos os pesos no P I por uma c o n s ta n te , desde que s e ja p o s i t i v a , " K " , o v a l o r do P I f i c a r á m u lt ip lic a d o por K,

porém, 0 c o n t r o le e t r a j e t ó r i a s ótimas não se a lte ra m , ê c la r o . Em g e r a l , o v a l o r numérico do PI não rep resenta uma quantidade f is ic a m e n te o b s e r v á v e l.

4.2 - SELEÇ/^0 DO PI PARA 0 SISTEHA DE POUSO QUESTffO 4.2.1 - R e q u isito s

Um sistema de pouso de avião é s a t i s f a t Õ r i o somente se c e rto s r e q u is it o s forem s a t i s f e i t o s . Frequente - mente, são d e s c r it o s em termos de s i n a i s de c o n tr o le e respos - tas desejadas e em termos de li m it e s desses s i n a i s .

Os seg u in tes r e q u is it o s são considerados f a t o r e s es­ s e n c ia is n este problema:

1 - A ltitu d e , dzòzjada h ^ ( t ) do a v iã o , em cada instan^

te de tempo, e d e s c r it o gura abaixo :

(

2

)

_{pela curva mostrada na p rim e ira f i}

-TOO 7 5 50 2 o X , - t/ c

X

10 pes/5 5 ^0 S T A 15 —> ''i ^ _Q,<í '< : KJ ar ' J ^2G - 1 V 1 5 ^ t $ 3 t

21

Esta prim ei ra f i g u r a acima i n d i c a que o caminho consi^ t e de uma função exp on en cia l, seguida de uma função l i n e a r ,

100.e” ^^^ para 0 ^ t ^ 15 20 - t para 15^ t <_ 20

Um caminho exponencial l i n e a r desta forma, assegura um pouso suave, c o n fo r t á v e l e seguro.

['!ote que a duração desejada i de 20 segundos, i n c l u i n ­ do os 5 segundos sobre a p i s t a , a t i o ponto de toque. Est e v a l o r i apropriado para um avião voando a aproximadamente 175 mi/ horn e começando a fa se de pouso a uma a l t i t u d e de uns 100 pés.

2 - Razão de cu>ce.nção h ^ ( t ) , é dada pela derivada no

tempo de a l t i t u d e d esejada, mostrada acima.

Observação; A razão de ascenção i de v i t a l importancia no ponto de toque. Um v a l o r d i f e r e n t e de zero, é de se jã ve l para- p r e v e n ir o avi ão de choques " s e c o s " , os quais podem a b a la r sua - e s t r u t u r a e, tambem, t r a z e r desconforto i n d e s e j á v e l . Um v a l o r mu i t o negativo pode f o r ç a r uma descida r á p id a , e é, igualmente in^ d e s e j á v e l . 0 v a l o r de -1 pS/s no ponto de toque e igual a -60 -- pés/min, que está na f a i x a do v a l o r máximo permitido para um avi_ ão moderno.

4.2.2 - R e s t r i ç õ e s .

1- 0 ângulo de i n c l i n a ç ã o do avi ão e ( t ) d^ ssjado no ponto de toque t=T deve e s t a r compreendido e n t r e ;

00 ^ 0 (^ ) < 10° ■

0 l i m i t e i n f e r i o r é ne ces sá rio para e v i t a r ' que 0 n a r iz do avião toque antes do tempo tíe pouso, na p i s t a . 0 l i m i t e s u p e r io r é requerido para que o mesmo não aoonteça i cau- d s .

2- Durante o i n t e r v alo i n t e i r o da f a s e de ' pouso, 0 ângulo de ataque, a ( t ) , deve permanecer abaixo do d£ '

ncninado s t a l l , j á d e f i n i d o na página 9: menor que l í ° .

0 avião entra na fa se de pouso com um angulo

de ataque de aproximadamente de 80% de seu v a l o r de s t a l l . 15^ sendo o v a l o r de s t a l l , é permitido um acréscimo de 20%:

Resumindo,

a ( t ) < 18» A a ( t ) < 3 .6 °

3 - 0 angulo de deflexão elevadora U ( t ) , que c o n t r o la ' a resposta lo n g it u d in a l do a v iã o , i r e s t r i t o ao movimento e n t r é "

^ R e fe re n c ia do avião

paradas mecanicas. Sieste caso sua r e s t r i ç ã o se rã : - 3 5 0 < U ( t ) < 15

Para um c o n tro la d o r l i n e a r , não é perm itido chegar à esses v a lo re s l i m i t e s , exceto instatãneam ente. Deverão se r e v i ­ tados também, neste problema, e f e it o s de sa tu ra çã o .

4.2.3 - Pressuposições

1 - 0 movimento l a t e r a l é ignorado; somente se leva em conta 0 movimento no plano X-^Z.

2 - Perturbações a l e a t õ r i a s , como rajadas de vento, se­ rão desprezadas.

3 - 0 ângulo de caminho de p lan eio ( g l i d e path angle) ' nominal, » é sufucientem ente pequeno a ponto de considerarmos ' que cos = 1 e sen = , em rad ian o s, é da ordem de -0.063 rad aproximadamente, 0 que faz com que is so s e ja p o s s ív e l,

4 - A Ve lo cidad e nominal do avião com r e s p e ito ã t e r r a é mantida essencialm ente constante no valÕ r de 175 mph, por um d i s p o s it i v o que c o n tro la automàticamente 0 a c e le r a d o r .

5 - 0 movimento lo n g it u d in a l do a viã o é controlado i n ­ teiram ente pelo ângulo de d eflexão elevadora U ( t ) , 0 qual é a úni^ ca v a r i á v e l de c o n t r o le .

6 - A dinâmica do avião é d e s c r it a por um conjunto de equações d-^ f erenci ai s , lin e a r iz a d a s a p a r t i r do f a t o em que 0 de^

v io da condição de e q u i l í b r i o de võo é pequeno e pode se r despre­ zado .

23 4.2 .4 - Seieção

Como j ã selecionamos h, h‘,0 e e ' , como v a r i á v e i s de estado, definimos = ô X2 = 6 X , = h X4 =H u = u

as equações de estado r e s u l t a n t e s serão r e e s c r i t a s , x ^ ( t ) = a^ ^x^( t) ®13’'3^^^ b^^U(t) X2( t ) = 1 . x ^ { t ) ^32*2“ > * ®33*3<^) 1 . X j í t ) *3<‘ ) X 4 ( t ) ou ain da, onde. X ( t ) = A . X ( t ) + B . U ( t ) X, ( t ) _{®12 ®13 ° h l} X g í t ) 1 0 0 0 0 X ( t ) = A = B = X j í t ) 0 «32 833 0 0 X 4 ( t ) 0 0 1 0 0

e, os a'si e b , d e fin id o s anteriormente.

E s c r e v e r 0 PI i a prÕxima etapa. 0 PI i escolhi^ do como a i n t e g r a l de uma soma ponderada de termos q u a d r á t i c o s . Pode-se e deve-se ponderar, devido a importancia dos termos s e r r e l a t i v a . Quadráticos por duas razões:

1. Os desvios negati vos e p o s i t i v o s são igualmente inde s e j a v e i s .

2. Pel o Ttem 1, pode-se e sc o lh er para PI forma quadratic c a, v a l o r absoluto ou qualquer função convexa. Como a forma qu^ d r á t i c a ê mais f á c i l de manusear matematicamente, el a será ado­ tada. Então,

’20 ₉ i3 = 0 q ^ i ( t ) - X .j^ (t) + q 2 2 (t) X 2 (t ) - X 2 j ( t ) + q a a í t ) _{^3^^^ ■ "3dí^^} P 4 4 (t ) + U ( t ) d t.

Observação: A r e s t r i ç ã o sobre a v a r i a v e l de c o n tr o le ê necessary a, pois se não se c o n s id e r a , pode-se o tim iz a r o sistema com valo res da v a r i a v e l de c o n t r o le não p r á t ic o s . E por esta razão que e ste termo a d ic io n a l aparece no P I . No próximo c a p ít u lo pode-se' v e r is s o mais detalhadamente.

Os q 's são funções do tempo devido alguns estados ' serem im portantes em, apenas, parte do percurso. P o r ta n to , dsver^ v a r i a r com o tempo. Como, neste problema, o ponto de toque i cru c i al , toma-se

q i i ( t ) = q,.,- + h . . ( 2 0 )

onde q^.^ S con stan te e h .^ (2 0 ) são impulsos que mostram a impor- ta n c ia maior no f i n a l do pouso, i . e , no in s t a n t e de tempo igual a 20 segundos. 0 P I tambem poderá se r e s c r i t o como

2 Xi(T) - x,^(T) 2 + ^22 2 XgíT) - X2^(T)' ^ ^ 3 2 X3(T) - X3^(T)' 2 + ^44 2 X4ÍT) - x^^(T) Í 2 0 0 ( t ) " ' * ‘'22 X2( t ) - q2d<^^ 2 + ^^33 X j í t ) - X j j í t ) ' ^ ‘’ 44 X 4 ( t ) - q 4 d ( t ) 2 + U ( t ) d t .

25 X ( T ) - X j ( T ) U ( t ) 2 R H 2 dt 2ÒÍ 0 X ( t ) - X j ( t ) 2 n

onde H e Q são m atrizes s im é tr ic a s r e a is p o s it iv a s s e m id e fin i dcc e R ê uma m atriz r e a l s im é t r ic a p o s i t iv a d e f in id a . Neste p ro b le ­ ma, R=1.

Observação; Os termos de fo ra da i n t e g r a l , mostram a im portancia que é dada aos erro s para quantidades c r u c i a i s no ponto de t o ­ que. H e Q, são assim d e f in id a s :

H = '11 22 33 44 Q = 0 0 0 0 ^^22 0 0 0 0 ^^33 0 0 0 0 ^^4

0 engenheiro, quando da escolha do P I , p re c is a s e l£ c io n a r os q ' s , h ‘ s e os elementos da m atriz R, que neste caso a

u n i t a r i a ig u a l a unidade, mas poderia se r de segunda, t e r c e i r a , e t c . , de acordo com o níjmero de v a r i a v e i s de c o n t r o le .

Neste exemplo, o desvio da t r a j e t ó r i a p re c is a ser minimizado, p o rta n to , os elementos de 0 e K, devem s e r não nega­

t i v o s , i . é , maiores ou ig u a is a zero, sendo este u ltim o ( i g u a i s ' a zero) quando a im portancia r e l a t i v a de alguns termos, f o r des- p r e z iv e l em re la ç ã o aos demais. Por estas razões é que a m a triz ' Q, assim como H, é POSITIVA SEMIDEFINIDA. J ã os c o e f ic i e n t e s das v a r i a v e i s de c o n t r o le devem se r todos maiores que z ero, devido a v i t a l im portancia dessas v a r i a v e i s . R, então, é uma m atriz PO SI­ TIVA DEFIMIOA.

E ste PI admite s u f i c i e n t e f l e x i b i l i d a d e para s a t i s ­ fa z e r os r e q u is it o s e r e s t r iç õ e s do sistema e, tambem, le v a à L E I OE CONTROLE ÕTino, o que se verá no próximo c a p ít u lo .

C A P I T U L O V

OTIMIZAÇÃO

5.1 - PROBLE^^A DO POUSO

Uma vez formuladas as equações dinamicas do pro­ cesso e 0 P I , a Te or ia da Otimização pode s e r a p li c a d a para ob »

t e r direta mente ambos, a configu raç ão e os parametros do sisteme. de c o n t r o l e . Neste p r o je t o em p a r t i c u l a r , o processo dinâmico e l i n e a r e o PI q u a d r á t i c o . P o r t a n t o , se está a f r e n t e de um pro - blema bem conhecido que o "problema de t r a c k i n g " , apresentado da se guin te maneira:

- z n c o n tfia n . ama f u n ç ã o , ch a m a d a c o n ifio Z e . U ( t ) pa/io, o

é.Uttma. X { t ) = A X ( t ) V B U ( t ) t a t q a& mZn4,m/,z2. o PI •20 ü =■1 X (T )- X ^ (T ) 0 X ( t ) - X j ( t ) 0 U ( t ) dt. Eq. 5.1.1

P o r t a n t o , e ne c e s s á ri o r e v e r alguns tÕpicos sobre o assunto.

5.2 - PROBLEMA DE TRACKIMG

0 problema l i n e a r de t r a c k i n g i o mesmo probleina do re g u la d o r , sõ que e mais g e r a l , i . é , o v a l o r desejado do v e ­ t o r de estado não e a origem.

A equação de estado é: X ( t ) - A X ( t ) + B U ( t ) e 0 PI i , para

27 J »-2 1 2 1 X ( t ^ ) - r ( t ^ ) rzo " X ( t ) - r ( t ) X ( t . ) - r ( t . ) Q ( t ) U ( t ) H 2 } d t. d t. X ( t ) - r ( t ) Q (t ) X ( t ^ ) - r { t ) 2 R ( t )

onde r ( t ) e o va^or desejado ou de r e f e r e n c ia do v e to r de estado do siste m a . 0 tempo e f ix a d o , X (t|r) ê l i v r e , e os estados e con­ t r o l e s não estão amarrados. H e Q são m atrizes r e a is s i m é t r ic a s , p o s it iv a s s e d e f in id a s . R é uma m atriz re a l , s i m é t r i c a , p o s it iv a d e f i n id a .

Sabe-se que m inim izar J , e q ü iv a le a m inim izar o Ha- m ilt o n ia n o , a tra v é s do máximo de P o n try a g in .

P o r ta n to , minimizar-se-a , apenas o Hami It o n ia n o , pai ra con seg uir U ( t ) .

As t r a j e t ó r i a s ótimas serão dadas pelas condições ' n e c e s s a r ia s , como se verá a d ia n te .

0 Ham iltoniano é dado por:

H < X ( t ) , U ( t ) , P ( t ) , t ) = 1/2 X { t ) - r ( t ) Q (t ) + 1/2 U ( t ) 2 + P ( t ) ^ A ( t ) X ( t ) + P ( t ) ^ B ( t ) U ( t ) . R ( t ) Tem-se, p o rta n to , X * ( t ) = = A X * (t ) + B ü ( t )

De onde se t i r a as equações de estado. Do Ham iltoniano tambem sa em as equações de ceestado:

P * ( t ) = = - Q ( t ) X * ( t ) - a‘ P * ( t ) + Q ( t ) r ( t ) . P ( t ) são os m u lt ip lic a d o r e s de Lagranqe.

Observação:

a) Para achar U*, tem-se que minimizzar o H am iltoni-M

ano, 0 que s i g n i f i c a fa z e r = 0•

b) vê-se, consequentemente, que se é colocado ü ( t )

3 l i c a que

no P I , m inimizar o H am iltoniano, que agora é l i n e a r , im

U* = “'sgn P B

-h ;

Ê por esta rszão q ie se e obrigado a r e s t r i n g i r tambem U ( t ) , a t r a v i s do termo q u a d r s t ic o no P I , o que s i g n i f i c a r e s t r i £ giv’ a energ ia gasta no c o n t r o l e .

E as reiaçi5es a lg é b r ic a s que devem s e r s a t i s f e i t a s :

portanto j

l E =: R ( t } U * ( ( : ) -i- 3 ^ ( t ) P * ( t )

9U

ü * ( t ) - - R ( t ) “ ' B'^(t) P * ( t ) Eq. 5.2.2

S u b s t it u in d o a equação 5 .2 .2 , ne equação de estado , conduz às equações de astado e coestado:

A ( t ) - B ( t ) R ' ^ ( t ) B ' ’’{ t ) X * ( t ) P * ( t ) " Q ( t ) -A X * ( t ) + 0 P ^ t ) Q ( t ) r ( t )

''ote que 0 { t ) r ( t ) é uma função e x c it a ç ã o ; essas equa­ ções d i f e r e n c i a i s são I h i e a r e s e v a r i a n t e s no tempo, mas não são homogeneas. A solução tem a forma:

X M t ) X M t ) 0

= <?(ï^c,t) + <}> ( t^ , t )

P * ( t ) p * ( t ) V Q ( t ) r ( t )

d t.

onde é matriz de t r a n s i ç ã o do sistema, dado pela equação « t • I «

Se a n a t r i z de t r a n s i ç ã o i p a r t i c i o n a d a , e a i n t e g r a l e s c r i t a sob a forma v e t o r i a l , por um v e t o r (2n x 1 ) , tem-se:

Í-£ ( t )

f , ( t )

X*(t^) = <|.,^(t^,t)X*(t) +

^

1

Í^)

Eq .5 .2 .3

P*(tf) = <K2i(t^,t)X*(t) + <t.22(t^,t)P*(t) + f 2 ( t )

E q . 5.2.4

As condições de f r o n t e i r a são:

P * ( t f ) = H X *(t^ ) - H r ( t ^ )

Recolocando P * ( t ^ ) na equação 5 .2 .4 , e então s u b s t i t u ­ indo X * ( t ^ ) da equação 5 .2 .3 , obtem-se:

< ^ , l ( t ^ , t ) X * ( t ) + 4 > T 2 (t f ,t )P * (t ) + f , ( t ) | - H r ( t ^ ) = = < í> 2 i{tf.t)X * (t) + < |.2 2 (tf.t)P * (t) + f 2 ( t ) . Tirando o v a l o r de P * ( t ) , f n co r,tra r- se - ã : 1 ( t ) ” 4*21 { *^) X * ( t ) H f , ( t ) - H r ( t ^ ) - f2( t ) P * ( t ) = K ( t ) X * ( t ) + S ( t ) Su b stitu in d o - o na função de c o n t r o le : U * { t ) = -R"^B^KX* - R " ’b^S = FX* + V.

com todos v a r ia n t e s no ttrupo, daT a a u s in c ia de ( t ) . Onde F é a m atriz ganho de realim en tação e V ê o s i n a l de comando. Mote - que V depende dos parâmetros do sistema e do s in a l de r e f e r i n - c i a r ( ) . De f a t o , V depende dos fu tu ros v a lo re s do s i n a l de re f e r ê n c i a , o que leva a d iz e r que o c o n tr o le õtimo tem uma quali^ dade a n te cip a d a . Is t o ê reforçado por razões f í s i c a s , que dizen; que se deve determ inar a e s t r a t i g i c a preser^te na base de (onde- se e stá e o que se q u e r ). Abaixo, encontra-se o diagrama de blo CO da planta e do c o n tro la d o r:

29

p * ( t ) = _4>22^^f - H<j).j2( t ^ , t ) -1

cessidade de se determ inar a m atriz de t r a n s iç ã o , porém, como - a n te s , e x is t e um caminho computacional t r a n c u i lo para i s t o . Co- meça-se com a equação:

P ( t ) = K ( t ) . X ( t ) + S ( t ) E q . 5.2.4 Note que não se esta mais dando a atençao para o a s t e r î s c o , po­ is 0 X ( t ) e P ( t ) são v a lo re s õtim os, e despreza-los s i g n i f i c a - menos tr a b a lh o .

D ife re n cia n d o ambos os lados com r e s p e it o ã t , obten-se

P ( t ) = K ( t ) . X ( t ) + K ( t ) . X ( t ) + S ( t ) ,

s u b s titu in d o das equações de estado e coestado P ( t ) e X ( t ) e u- sando a equação 5.2.4 para e lim in a r P ( t ) , ten-se

K (t)+ Q (t)+ K ( t ) A { t ) + ; ^ : t ) K ( t ) - K ( t ) B ( t J R " ^ ( t ) B ^ ( t ) X (t)+ S ( t ) + A " ^ (t )S (t )- K { t ) 8 ( t ) R ‘ \ t ) B ' ’’( t ) S ( t ) - Q (t ) r ( t ) =0

Is t o deve se r s a t i s f e i t o para todos os r*s e X 's Õ t i ­ mos, portanto c o n c lu i- s e que

- _ ^ ^

^ t ) = - K ( t ) A ( t ) - A ( t ) K ( t ) - Q ( t ) + K ( t ) B ( t ) R ( t ) B ( t ) K ( t )

31

Como K i s i m é t r i c a , da equação em K ' s , que dã para no­ t a r que é a equação de RICCATI, t i r a - s e (n+1) . n/2 equações de prime ira ordem, e da equação m a t r i c i a l em S ' s , t i r a - s e n. Por c o nse gui nte, tem-se um t o t a l de n+n.(n+l)/2 equações d i f e r e n c i - a i s de ordem 1.

Observação; Nos problemas de r e g u la d o r , p r e c is a - s e apenas resol^ ve r a equação de RICCATI, pois o v a l o r desejado r ( t ) = 0, o que mostra s e r o mesmo um caso p a r t i c u l a r do TRACKING.

As condições n e c e s s a ri e s para c o n t r o l e õtimo, são:

X ( t ) = P ( t ) = 0 3 H 3P(t) 3 H 3 X ( t ) 3 H X ( t ) , U ( t ) , P { t ) , t X ( t ) , U { t ) , P ( t ) , t X ( i : ) . U ( t ) , P ( t ) , t 3 U ( t ) e, as condições de f r o n t e i r a . equação de estado equação de coestado

equação que dã o con t r o l e õtimo. 0 = 3

h

3X. H X ( t|r) , t^ - P ( t . ) 3

X,

X ( t ^ ) , U ( t ^ ) , P ( t ^ ) , t ^ 3h 3 tf X( t ^ ) , t^ 3

t,

onde h é função que aparece f o ra da i n t e g r a l , no P I ; W é o Hamil^ toniano e 9X^ e 3 t ^ , são, re sp ec tiva m en te , as v a r i a ç õ e s dos estí^ dos e tempo f i n a i s . Como no problema de pouso o tempo f i n a l é fi^ xo, 3 = 0. P o r t a n t o ,

: ( t ^ ) = HX(t^) - H r ( t ^ )

que é derivada de h em r e l a ç ã o a X ( t ^ ) , e d e f i n i d a anteriormente como

P ( t ^ ) = K ( t ^ ) X ( t ^ ) + S ( t ^ ) ,

de onde t i r a - s e as condições de contorno, para a solução dos pa­ râmetros K' s e s 's ,

K ( t ^ ) = H

Para se determ inar F ( t ) e V (.t ), in te g ra - s e as equações 5 .2 .5 no i n t e r v a l o de t f para t

• ü •

5.3 - Lei de C on tro le

Como se vê d e fin id a no problema de TRACKIf^lG, e - fazendo a s u b s t it u iç ã o em função das componentes m a t r i c i a i s , ten se: U ( t ) = -1 b^, 0 0 0: U ( t ) ^11 Ki 2 _{^i3 ^14 ’^l ( t )} '<22 *<23 ^24 X2 ( t ) |<31 1 ^ 2 *<33 ^34 ^^3( t ) k , ^42 h 3 ^44 "4 ( t ) 0 0 0 | _^1( t ) ' ^2( t ) ( t ) ( t ) f₁ 11^13^1^ 14 X ’‘ l ( t ) ' -( t ) Í ' 3 ( t ) i X t ’‘4 + K,2 X 2 (t ) + _*<13X j í t ) + b ^ , S i ( t ) ^

onde b^^ = Wg . , p o rta n to , conhecendo-se os parâmetros K's e s ' s , conhece-se o c o n t r o le ótimo. Das equações 5 .2 .5 , escre ve -se :

" i s ' n ( t ) l < , 2 ( t ) K , 3 ( t ) l < , ^ ( t ) ■^i t ) K^2^t ) K^^i t ) K^^{ t ) _{" n "12^13 ®} '^21(t)K22(t)'<23<‘ ''^24<*> K 2 , ( t ) K 2 2 ( t ) K 2 3 ( t ) K 2 4 ( t ) 1 0 0 0 K 3 , ( t ) K 3 2 ( t ) , 3 3 { t ) , ^ ^ { t ) 0 «32^33 ^41 (^)'^42^^^®**'43^^^'^'44^^^. _{^41 ^*^K42^^^K43^*^'^44^^^.} 0 0 1 0 ia^^ 1 0 0 ^1 2° a.320 0 0 0 0 K'jl (t)K'j2(^)*^'j3(^)K'j4(^) K 2 i ( t ) K 2 2 ( t ) K 2 3 ( t ) K 2 ^ ( t ) Ksi (t)!<32(t)K33(t)|^3^{ t ) 0 0 q220 ^ 1 1 0 0 0 q33 0 0 0 q₄₄ b,,0 0 0] K , , ( t ) K , 2 ( t ) K , 3 ( t ) i < , ^ ( t ) 1 0 l^ 2 l( t) K 2 2 ( t ) K 2 3 < t ) K 2 ^ ( t ) 1 0 K s , ( t ) K 3 2 ( t ) K 3 3 ( t ) K 3 ^ ( t ) ►IlO , K 4 , ( t ) K 4 2 ( t ) K 4 3 ( t ) K 4 4 ( t ) i ( a ^ l K n { t ) + K i 2 ( t ) ) { a i 2 K n ( t ) + a 3 2 K ^ 3 ( t ) ) ( a , 3 K , i ( t ) + a 3 3 K ^ 3 ( t ) + 23^^^^^®12^13^^^^®32^33^^^^^®13^13^^^^®33*^33^^^^ + K ,4( t ) ) 0 + K 2 4 ( t ) ) 0 + K3^ ( t ) ) 0 + K ^ 4 ( t ) ) 0.

(a ^ 3 k , l ( t ) + a 3 3 k i 3 ( a i l k ' j2( t ) + k2/ j { t ) ) (ai2k<|2(t)+a32k23(t) ) (a^3k^2(t)+®33'^23^^^'^’^24^^^ ^ 0 ( a ^ l k ^ ^ { t ) + k2^ ( t ) ) a^2k^ 3 ( t )+ a 3 2 k3 3 (t) ) ^®12*^14^^^'*'®32*^34^^^^ 0 0

das quais tiramos as equações em k

‘14 ‘22 '23 ‘24 33 '34 ^ 1 1 0 0 _^*22 0 0 0 0 quai s ( t ) = -9 t ) S -, ( t ) ss •• ( t ) = -( t ) =: -( t ) s -( t ) s -( t ) s -( t )

0

0 0 0 ^33 ° 0 _q44 ‘^ l l ’^ll ( t ) b i i k ^2( t ) b i i k i 3 ( t ) ^11^14^^^^ b i i k n ( t ) b n k i 2 ( t ) b n k i 3 ( t ) b n k i 4 ( t ) .2 , 2

®llkn{t)-ki2(t)-aiikn(t)-ki2{t)-qii+b^lkii(t)

^13*^11 ( t ) k-| 2( t ) ' - k 2 3 ( t ) = -a^ 1 k-| ^-k2^ ( t ) - 0+b-j ^ k ^ ^ ( t ) k ^ ^ ( t ) ®13'<12^^^"®33'^23^^^‘ ®12’^13^^Î'’^24^^^''®32'^33^^^“ " 0 ‘* ' ^ l l k i 2 ( t ) k i 3 ( t ). ®13*^13^^^'®33'^33^^^” '^34^^^“ ®13’^13^^^“ ®33*^33^^^" “ k34(t)-q33+b^^k^2(t) ^44+bll'<14(t) •

35 e. S i ( t ) l -i S2( t ) C- < S3( t ) a , , 1 = 1 2 “ a, 3 0 0 0 ®33 1 0 0 S | ( t ) i S 2 ( t ) ! 4-S 4 ( t ) j ^21Í^)^22^^^^23^^^^24^^^ ^31 .®^41 (^)*^42(^)^43(^)'^44(^) 0 0 0 qg2 0 0 0 0 q33 0 “ n 0 0 0 . ■v^, b ,iO 0 0|| 0 0 0 ^44. ^T(t)' T g í t ) r3( t ) r 4 Í ^ l a^1 1 0 0 a^2 0 8320 a^3 0 0 3 3! 0 0 0 0 b n k , i ( t ) b , l k i 3 ( t ) ^ b n k i 4 { t ) ] b^^O 0 0 J S i ( t ) S2( t ) S3( t ) cS4( t ) . q ^ ^ r iC t ) h 2 2’"2<^^ q 3 3 r 3 ( t ) a,,-l>?,k,,(t) 0 0 o'! ®12‘^ h ^ U ^ t ) 0 a 32 0 ®i3"^ ii'^i3 ^*^ ^ ® n ^ -b2^ k ,4( t ) 0 0 0 S i ( t ) _{q n " i ( t )} S2( t ) + ^2 2*^2^ ^ ^ S3( t ) ■'3 3' '3( * > S4( t ) j 0<,4»'4( t ) j s-jít) = “ ^i 1 s 1 ( t )+b ^ 1 k.| 1 { t )s 1 ( t) - $ 2 ( t ) +q-| 1 ( t ) ^2^^^ * " 31 pS 1 ( t ) +b 1 1 k^2( ^) s^ { t ) -8 3 2 53 ( t ) + q2 2^^2^^^ ^ s í t ) = 1 3S-j { t)+b 1 1 k-j 3Í t ) s^ ( t ) - a3 3S3( t ) +q3 3T3( t ) -S4( t ) S4( t ) = b-j ^ k ^ t ) ( t )+q^4T^( t )

e con i s s o , pode-se e f e t u a r os c á l c u lo s dos parametros, 0 que se ver á a s e o u i r

SIHULAÇJ^O

_ c o n s i d e r a ç õ e s

Devido a a l t a acuracidade exigida pelo método, - era de se espera r a d i f i c u l d a d e na execução de t a l c á l c u l o . Por t a n t o , um cpTtulo ã p a r t e , do qual este é o o b j e t i v o p r i n c i p a l , - fo i n e c e s s á r i o , no sen tido de s u p r i r uma d e f i c i ê n c i a , não muito- r a r a , nos problemas de otimização de sistemas de c o n t r o l e : A d l ^IcuZdadz da execução doA pfLogficLmaA d e it e tip o em computado^e4> - d lg lt a l- i. fi^credi tamos que quanto maior a s i m p l ic id a d e na e l a b o r a ­

ção da solução encontrada, tanto melhor será a compreenção por - parte dos l e i t o r e s .

6.2 - PROGRAMA EXECUTADO

No c á l c u l o dos parâmetros e estados do sistema- f o i es col hid o um programa, ainda que ura tanto p r o l i x o , f á c i l em compreensão e adaptação ã outros problemas semelhantes, embora-d de ordens d i f e r e n t e s . E s te programa foi adaptado de uma m o d i f i ­ cação no Método de'í^&nge-Kutta de 4a. ordem,

Foi usado o seg uin te fluxograma g e r a l :

L e i t u r a de dados: tempo t o t a l , v a lo r e s f i n a i s dos parâmetros K e S, e va lo re s i n i c i a i s das v a r i á v e i s de estado h, h ' , e , e ' .

I ii'

c á l c u l o dos parâmetros K e S de 20 segundos a t é 0 segundo

i .

Com os v a l o r e s de K e S em t = 0^ adicionados aos v a lo r e s i n i c i a i s d a s v a r i á v e i s de estado, c a l c u l a - s e os v a lo r e s de cada estado (4) e cada parâmetros k(10) e S ( 4 ) , de 0 à 20 segundos.

A impressão i efetuada simultaneamente com os c á j - c u l o s , em um i n t e r v a l o H.

37

0 programa para o IBH-1130 usado na execução do c á l c u l o e st á contido' no APÊND. I , e a d e f i n i ç ã o de cada v a r i á v e l usada, está contida no APtND. I I .

6.3 - EXAIDâO DO PROGRAI'^IA A c r e d i t a - S G que e s t e Ttem m e r e ç a u m a a t e n ç ã o e s p e c i a l d e v i d o ã o b s e r v a ç ã o f i n a l d e t o d o o c á l c u l o i n c l u i d o a t é a g o r a . S i m , p o i s s e m u m a s i m u l a ç ã o d o s i s t e m a , é r e a l m e n t e d i f í ­ c i l d e s e v e r o m e s m o a n t e s de s e r c o n s t r u í d o . E c o m e s t a f a b u l o s a t é c n i c a , q u e e a s i m u l a ç a o , n e s t e c a s o em c o m p u t a d o r d i g i t a l , é p e r m i t i d o o b s e r v a r o c o m p o r t a m e n t o d o s i s t e m a j á o t i m i z a d o , n a s u a m e l h o r p e r f o r m a n c e . C o m o j á f o i d i t o , e s t a s i m u l a ç ã o d i g i t a l f o i e f e t u a d a em um c o m p u t a d o r IBM 1130.

0 sistema em questão, o qual congrega 18 equaçõ­ es d i f e r e n c i a i s de primeira ordem, exige uma precisão quase que sem l i m i t e s (em termos p r á t i c o s ) , pois devido ã própria c o n f i g u ­ ração de seus estados deseja dos, podem l e v a r o computador 5 in - t e r p r e t a ç õ e s i n c o r r e t a s de dados. Como um exemplo c i t a r - s e - á um problema que surgiu quase que constantemente na execução de t a l programa: " 0 estado h ( t ) , d e fin id o ante rior men te , é uma exponen. c i a i até t = 15 segundos e l i n e a r de 15 a 20 segundos. Esta últi_ ma é Óbvia, pois se continuasse expon enc ial , jamais t o c a r i a a p i s t a . Antes de a t i n g i r a metade do percurso, no eixo dos tempos a ex pon en cial, em termos macroscÓpios, tende a se con fundir com uma p a r a l e l a ao eixo acima r e l a t a d o . E, se o computador i n t e r p r e ta desta maneira, quando na r e a l i d a d e a curva possui uma l e v e in^ c l i n a ç ã o , i . é , despreza a i n c l i n a ç ã o que a d i f e r e n c i a , para pe - quenos i n t e r v a l o s , de uma reta h o r i z o n t a l , o c o n t r o l e ótimo t e n ­ de a ser i n f i n i t o , para t o r n a - l a h o r i z o n t a l , c o n t r a r i a n d o , por­ t a n t o , 0 sistema de equações de estado, e, levando todos os est£ dos a v a l o r e s i n f i n i t o s . È c e r t o , e n t r e t a n t o , que antes da curva se aproximar o s u f i c i e n t e para uma i n t e r p r e t a ç ã o errada pelo com putador, o sistema tem um comportamento e x c e le n t e . Tambem, quan­ do diminuimos o passo de in t e g r a ç ã o , o ponto de onde começa esta

mã lntz^pfLZta.q.ão se aproxima do ponto f i n a l , levando a se acredi^

t a r que é n e c e s sá r io d im in uir -s e paulatinamente o v a l o r do passo até que se consiga a siirulação em todo o i n t e r v a l o desejado, s em pre com o compromisso de minimizar o tempo de execussão do pro - qrama.

Iss o pode c o r t s t i t u i r , è àicredita-se que s e j a , u- ma desvantagem de nosso programa, porôni, âè estâ d e f i c i ê n c i a p£ der ser sup rim id a, pode-se t e r em mão utti éXeíente prògKama de si^ fflulação neste t i p o de problema.

Para que se tenha uma i<iêia, cjliâhti t a t i v a , cons- t r õ i - s e a se g u in te t a b e l a : Passo Seg. t . ( a p r o x . ) 1 tg j seg. i minutos ! 0.1 7.9 10 0.05 8.5 15 0.01 Completo { 2 h 58Min.

ONDE t^ é 0 tempo em que os estados começam a tomar v a l o r e s i n f ^ n it o s t^ ê 0 tempo re a l de execução até o estouro do proqrama.

Se nota a acuracidade exigida pelo programa e q- tempo gasto de execução dos mesmos.

As curvas obtidas no processo de elaboração do programa podem ser v i s t a s no A P Ê M D . I I I .

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C A P I T U L O V I I

CONTROLABILIDADE E OBSERVASILIDADE

7.1 - Consi d e r a ç õ e s .

Ê c l a r o que sem um estudo prévio da c o n t r o l a b i 1 i d a ­ de e observabi 1 idade do sistema, não se pode i n i c i a r o desenvol_ vimento de sua o t im iz aç ão. E, sobre o assunto, agora é que se mani f e s t a .

Como f o i d it o no c a p i t u l o 1 ( i n t r o d u ç ã o ) , o propos­ to desenvolvimento, i s t o é, o o b j e t i v o da e t s e , que é uma suge^ tão ao emprego de um esquema a d a p t a t i v o , tin h a de p a r t i r de um sistema j ã em j ã b as ta n te testad o e bem p r a t i c o , o que a c a r r e t a em um sistema j ã otim iza do, portanto com esse estudo prévio de suas c o n t r o l a b i 1idade e o b s e r v a b i1idade j ã efet uado s, e v i d e n t e ­ mente.

Fa r- se - a , no entanto um resumo de t a l estudo, no sentido de e l u c i d a r possTveis dúvidas e, ao mesmo tempo j u s t i f i _ car 0 que acima afirmamos.

7.2 CONTROLABILIDADE

Tomar-se-a o mais simples exeraplo de um sitema en-tr a d a - sa T da .

u

A

Se a chave A e s t i v e r d e s l ig a d a , qualquer que s e j a ' 0 v a l o r de U, este jamais i n f l u e n c i a r á a saTda X.

Agora, um outro exemplo um pouco mais s o f i s t i c a d o A

ü - ô --»^2

ií ...

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