JSFA
N O R M A C U N H A O S Ô R I O
A D A P T A C A OR I Z Z A D E A R A U J O P Ô R T O
N A I R T U L H A E V A N G E L I S T A
V A M O S
A P R E N D E R
M A T E M Â T I C A
Q U I A D O P R O F E S S O R ' T v ' ' J'j; >1
• ■ ■ 'C-.+ 2 = » + 3
I M N4
F G 1 0 >0u9»J^ H 1 0 2 0 3 0 4 0 S O 6 0*° IIVRO TÉCN1C0 s.
A.
0 '
A
Guid do Professor
V A M O S
A P R E N D E R
MATEMÂTICA
1. As atividades propostas no livro do aluno apresentam, muitas vezes, espaços destinados às soluçôes, assim represantados: '
2. Estes espaços aparecem preenchidds com reticula, a fim de que os alunos nao
escrevam nos livros, para nâo inutilizé-ios.
Oufras publicaçôes da nosso coleçâo Educasâo
COMUNICAÇÀO E EXPRESSÂO
Gent# Miûda que Brinc» e Aprende — Lia Dalva J. Grosso e Neide Scares — pré-livro. cadernos de atividades (1 e 2), guia para o professor, oiio livros de leiluras paralelas
e material didético (cartazes) Programa Integrado de Laitura Bisica
Supervisâo: Wanda Rollin Pinheiro Lopes
Leitura intermediéria — Brincando na Praça — Regina Yolanda — l'vro d® ajuno.
Caderno de atividades e guia para o professor — Cybele de O. Rebeiio . Reis de Almeida e Wanda Rcllln Pinheiro Lopes
Livro 1 — Juquinha e Sua Turma — Regina 'de ^o"°Rebello- Marisa
Caderno de atividades e guia para o professor Reis de Almeida e Wanda Rollin Pinheiro Lopes Livros de 2 a 8 — em prepare
EOUCAÇAO MORAL E CIVICA
Dayse Charpanal Pequano - livro do aluno e guia para
0 Brésil Conta Sua Hlstdrla —
p r o f e s s o r
- Uny Wernao. Dornellas Hvro do aluno a guia para o profsaaor
E S T U D O S
S O C I A I S
^
_ «u-ra Davse Charpene! Pequeno — livre do aluno, caderno C e n h a c e n d e a G u a n a o a r a r
e guia para o professor
Série Esludes Sociais
Coordenaçlo; Leny W. Dornelles e Therezinha Deusdarà
Introduçâo: Estudos Socials — Leny W. Dornelles e Therezinha Deusdarà
Livro 1 — Famflia Fellz / Na Escola / Bons Vîzinhos — Marlon Villas Boas de Sâ Rêgo
livre do aluno e guia para o professor
Livre 2 — O Lugar Onde Moramos — Ignez da Sîlva Oiîveîra do
derno de atividades e guia para o professor
Livre 3 — Nosso Estado — Solange Maria de MagalhSes — livro do lo^'^para cada
professer e caderno de atividades, acompanhados de um fasc c
e s t a d o d o B r a s i i '
Livro 4 — Brasii, Noiia Terrd, Nossa Gente — Marina Quintanilha Martinez
aluno (Vols. 1 e 2) e guia para o professor Livro 5 — Como o Brasii Creseeu -- Wilma Caruso de Carvalho
para o professor
livres do
livro do aluno e guia
Adaptaçâo de: NORMA CUNHA OSÛRIO • ^ m »
Professera de 1.° e 2." graus, especializada no ensmo de Matematica Técnica de Educaçâo do MEC
R I Z Z A D E A R A Û J O P Ô R T O _ ^ .
Professera de Introduçâo à Educaçâo e de Didâlica Teonca e
Pritica — Especializada no ensino de Matemélica
N A I R T U L H A E V A N G E L I S T A ,
Professera de 1e 2.' graus, especializada no ensino de Matematica
z. Gu/d do Professor
V A M O S
A P R E N D E R
M A T E M A T I C A
B T B M 0 T R C A E R C O î.u A R « M a C h a ri 0 r i 0 A s s i s » s I L V I A N Ô r 6 f, I i-i G . N . a R E G , L ' A T A—ji-lS--,»..-
U . ' l l - U o R I G E M0
AO LIVRO TÉCNICO S.A. Rio de Janeiro — GB
Authorized translation and adaptation from the English language edition' published by Scott, Fores-man and Company, Chicago, Illinois, U.S.A., Copyright © I9âS, 1966, in the United States of
America by Scott, Foresman and Company.
Apresentàçâo
Copyright © 1971, by AO LIVRO TÉCNICO S A.
Os autores brasileiros prepararam o présente texlo, baseando-se no original SEEING THROUGI-T ARITHMETIC, de Maurice L. Hartung, Henry Van Engen, Lois Knowles, E. Glenadine Gibb, James E. StochI e Ray Waich.
— A o L i v r o T é c n i c o S . A . IMPRESSO NO BRASIL
P R I N T E D I N B R A Z I L
Capa: Mario P. Amaral
liustraçôes: Equipe de Arte
1 . ' e d i c l o 1 9 7 1 ■ t.* reimpresslo 1973 2.* relmpresaîo 1974
Tiragem desta impressSo: ? 000 exemplares
F I C H A C A T A L O G R A F I C A .
( P r e p a r a d a p e l o C e n t r e d o C a t a l o g a ç S o - n a - f o i i t e d o S i n d i c a t o N a c i o n a l d o s E d i t o r e s d e L i v v o s , G B ) Va m o s a p r e n d e r m a t e m â t i c a : e u i a d o p r o f e s s o r ; a d a p t a ç â o
y295 de Norma Cunha Os6rio T e oiitros | Rio de Janeiro.
A o L i v r o T é c n i c o , 1 9 7 4 . 6 v . O u s t . 2 6 c m . V . 1 : 3 . e d . ; v . 2 : 2 . e d . ; v . 3 : 2 . é d . ; v . 4 : l . e d . " B a s e a d o n o o r i g i n a l S e e i n g t h r o u g h a r i t h m e t i c , d e M a u r i c e L . H a r t u n g . B i b l i o g r a fi a . 1 . M a t e m â t i c a ( l e g r a u ) — M a n u a l s . I . O s 6 r i o , N o r m a C u n h a . I I . H a r t u n g , M a u r i c e L . I I I . S e e i n g t h r o u g h a r i t h m e t i c . 7 4 - 0 1 1 2 C D D — 3 7 2 . 7 0 2 0 2 C D D — 3 7 2 . 7 ( 0 2 )
AO LIVRO nCNICO S.A.
Rua Bonfim, 250 — ZC-08 — C.P. 3655 R i o d e J a n e i r o — G B
Este é o Livro IV da cdiçâo brasilcira de uma série 'l""
escola de 1.» grau, publieada pela Scoll, Foreman and „ossos
estâmes adaptando para professores e alunos de nossas escola.,
p r o g r a m a s . u ; „ + ; , r r » a o f a z e r
Entregamos ao leltor o quarto volume de nœso ^ g °Glenadine Glbb,
a adaptaçâo dos livres de Maurice L. Hartung, Hen^ V^ Eng , ^
.lames E. StochI, Ray Walch c Lois Knoudes, é colocar o ^
ms-orlontaçâo modorna do ensino da Matematica e oferecer a p da crlança
trumonto do trabalho planejado culdadosamente para guiar a P
nessa matérla, per toda a escola de 1." grau.
Nosso traljalho obedecc ao scguinto esquema: ^ ^
1. uralcmdtica na Escola Primdria Moderna
-uma sintesc dos tôplcos que eonstltuem os Programas de dentro do
grau, distribuidos om seus iilveis do dificuldade, organizados
espîrlto do que se chama hoje MATEMÂTICA MODERNA.
Noie apareccm sugestaos para orlentar metodologleamente a apren ^^^i^ente
tdplco, de modo a tornar o Programa de Matemâtica-na E^co a M.temdtlca perca a
bdsico a todo o trabalho posterior, sem que o eonjunto da ^ «Inda,
organlcldado lndlspou.sâvel ao slstoma comente bâslcos a serem
fuiidamontaçâo do conteûdo, aprcsentando om cada tdpico os
a d q u i r i d o s
p o l o s
a l u n o s .
^
a l u n o ,
2. Vamos Aprender Matemâtica Livres de 1 a S série a uma
em que a matéria é distribuîda gradativamente peloa oito volume ,
s e q û ê n c i a l o g i c a d o s a s s u n t o s . j e s e n h o s
Noies, tanto quanto possivel, as situa^es-pToUema de
ou série de dcsenhos articulados (como nas histônas em quadrtn o), p^^^amento
porguntas objetivas, buscando couduzir a cnança ao raciocînio at
r e fl e x i v o .
n t i d a d e
s u fi
-Os livres oferecerâo, alnda, exerciclos e problemas ™ J alcançada.
clentes para proporclonar trelno e manter a aprendizagem, à medi q
Uma constante avallaçâo da aprendlzagem também ^ como o
fréquentes, corn ênfaso na anto-avallaçâo, eonsagrada pela I sicolog
melhor rccurso para Icvar 0 aluno a progredir. • ^ tENTE
Nos oxcrdcios, aparcccrâo ordens como: '
FAZER, FAÇA etc., solicitando o pensamonto do aluno e orientan o
3. Aprender Malemilica ~ Omi, An r,..!
de manuals com orientaçâo ao nrof
■
k Professor — Livros de 1 a 8 — séné
acréscimo, sugestôes de atividades 0!^°! T criança, contendo, cm
Neles 0 professor en ^«riquecimonto.
e 03 métodos de ensino relatives tiobjetivos, o eonteddo cientîfico
atividades, material didâtico jocos et ^ j ° sugcstOos dotaihàdas de
e adaptâ-lo às diferenças individuals o ensino do contcudo da iiçâo
eis ou mais vagarosos, bem como sugestr se revclcm* estes mais
Quando a tendência ma" h n^elhor conduzi-los ao insight
a"tomâtiea""^u 'lIsV'!! ^ Promoçâo dos alunos é a
eha-e x b ^ « a t é n a P ^ g ^ eha-e s s i v o s " , n à o p o d eha-e r i a m o s
e"ança, ao ,nvés de périodes J i " desenvolvimento da
apren-um aluno poderâ d -"""Pues.
7 "--te 0 ano letivo, e'nqult;";-"'. Po-sibilidades, veneer mais de um
Aoreditamos que esta série de m "">•
^Primérir'""™'''de proparlT^^ grande utilidade e aplicaça»
Ns„ , ' P supervisores e nas escolas
«™P0 de pr?teTores^j'
'™"«âo de nossa tarefa, ma
Olga Barroca, HpIph t Ounha Osdrin 7>- ° trabalho e a orientaçâo
' — a Polaboraçao^""'; ^"'"
■■
'TPlha EvaLlTT Almcid^
sendo publicado esner -"ando nos '^^Sdalena del Valle Gomide
°'-Peramosatingi,„„3,„"'5;P^^^^^^^^^ -g^^tôes sobre o que
A «EDITORA
SUMÂRIO
A P R E S E N TA C Â O
P R I N C I P I O S B A S I C O S
F u n d a m e n t o s d e M a t e m â t i c a
Conteùdo Enriquecido e Ampliado Resoluçâo de Problemas
Técnicas de Apresentaçëo
Verificaçâo e Replane}amento do Ensino
1 2 1 0 13 1 5 1 C O N J U N T O S E S U B C O N J U N T O S F u n d a m e n t o s 1 9 I d e n t i f i c a ç â o e D e s c r i ç â o d e C o n } u n t o s e S u b c o n j u n t o s — P i g s . : 1 • 2 2 5 T a b u l a ç â o d e C o n j u n t o s — P i g s . : 3 e 4 2 8 U n i â o d e C o n j u n t o s — P i g s . : 5 e 6 3 1 I n t e r s e ç â o d e C o n j u n t o s — P i g s . : 7 e 8 3 3
Conjunto-soluçâo — Idéias de Maior que , Menor que e Igual a — Pigs.: 9 e 10 35
C o n j u n t o - s o l u ç â o — I n t e r v a l o — P i g . : 1 1 3 7 * V e r i f i c a ç â o d a A p r e n d i z a g e m — P i g . : 1 2 3 9 R e p r e s e n t a ç a o G r i f l c a d o C o n j u n t o - s o l u ç â o ( E n r i q u e c i m e n t o ) — P i g . : 1 3 4 2 2 R E S O L U Ç Â O D E P R O B L E M A S Problemas Verbais — Pâg.; 14 4 4 3 P R O P R I E D A D E S D O S N Û M E R O S E D A S O P E R A C Ô E S F u n d a m e n t o s
Sentenças Relacionadas de Adiçâo e Subtraçâo — Pigs.: 15 e 16 Sentenças Relacionadas de Multipllcaçâo e Divisâo — Pigs.: 17 • 18 Elemento-identidade da Adiçâo — Pig.: 19
Eiemento-identidade da Multiplicaçâo — Pig.: 20 Zero na Multiplicaçâo e na Divisâo — Pigs.: 21 • 22
Propriedade Associativa da Adiçâo é da Multiplicaçâo — Pigs.: de 23 a 25 Fatores — Pig.: 26
Verificaçâo da Aprendizagem — Pég.: 27 Divisâo por Zero (Enriquecimento) — Pég.: 28
4 6 5 0 5 2 5 3 5 4 5 5 5 7 6 0 6 2 6 3
10 PROPRIEDADES DOS NÛMEROS E DAS OPERAÇÔES 4 S I S T E M A D E N U M E R A C Â O
F u n d a m e n t o s
Conjunto dos Numéros Naturals de 0 a 9 999 — Pigs.: de 29 a 31
Numerals de Cinco e Seis Algarismos — Valor Posicional — Pigs.: 32 • 33 Milhlo — Valor Posicional — Pig.: 34
Verificaçlo da Aprendizagem — Pig.: 35
Numerals Romanes (Enriquecimento) — Pigs.: 36 • 37
6 6 6 9 7 2 74 7 6 7 7 5 R E S O L U C A O D E P R O B L E M A S F u n d a m e n t o s
Situaçôes Multiplicatives e de Divisâo — Senlenças do Tipo 6 X m = 60 e 6 0 m = 6 — P i g s . : d e 3 8 a 4 0
Produtos Cartesianos (Enriquecimento) — Pigs.: 41 e 42
8 2
8 2 8 7
6 G E O M E T R I A
F u n d a m e n t o s
Pianos — Linhas — Pig.: 43 Segmentes — Pig.: 44
Linhas Concorrentes e Linhas Paralelas — Pag.: 45 Raios e Angulos — Pig.: 46
Segmentes e Angulos Congruentes — Pig.: 47
Angulos Retos — Linhas Perpendtculares — Pigs.: 48 • 49
Polfgonos — Pigi.: 50 • 51
Classificaçâo dos Triângulos — Pigs.: 52 e 53
Construçôes Geomitricas (Enriquecimento) — Pig.: 54
9 0 9 7 9 9 1 0 0 1 0 1 1 0 3 105 1 0 7 1 0 8 1 1 3
7 PROPRIEDADES DOS NÛMEROS E OAS OPERAÇÔES
F u n d a m e n t o s 1 1 5
Use da Propriedade Associativa na Determinaçâo de Produtos — Pigs.: 55 • 56 116
Propriedade Distributiva: Multiplicaçâo sobre a Adiçâo — Pigs.: 57 * 58 120 P r o p r i e d a d e D i s t r i b u t i v a : D i v i s l o s o b r e a A d i ç â o — P i g s . : 5 9 # 6 0 1 2 2
R e s t e s n a D i v i s â o — P i g s . : 6 1 e 6 2 1 2 4
8 COMPUTAÇAO DE NÛMEROS INTEIROS
F u n d a m e n t o s 1 2 9
Multiplicadores de Dois e Très Algarismos — Pigs.: de 63 a 65 1 3 0
9 RESOLUÇAO DÉ PROBLEMAS
F u n d a m e n t o s 1 3 4
Média Aritmética — Pigs.; 66 e 67 1 3 4
Problemas de Virias Etapas — Pig.: 68 1 3 7
F u n d a m e n t o s 1 3 9
-Numéros Pares e fmpares — Pig.: 69 1 4 2
Conjunto de Falores — Numéros Primos e Comppstos — Pigs.: 70 • 71 1 4 3
Pares Ordenados — Pag.: 72 1 4 5
Use do Par Ordenado de Numéros — Pigs.: 7 3 e 7 4 1 4 6
Verificaçâo da Aprendizagem — Pag.: 75 1 4 9
Representaçâo Gréfica de Pares Ordenados ( E n r i q u e c i m e n t o ) — P i g . ; 7 6 1 5 1
11 COMPUTAÇAO DE NÛMEROS INTEIROS
F u n d a m e n t o s 1 5 4
Arredondamento de Numéros — Pigs.: 77 • 78 1 5 5
Divisores de Dois e Très Algarismos — Pigs.: de 79 a 83 1 5 8
1 2 R A Z A O
F u n d a m e n t o s 1 6 2
Conceito de Razâo — Pigs.: 84 t 85 1 6 7
Conceito de Razôes Proporcionals — Pigs.: 86 e 87 1 6 8
Uso das Razôes Proporcionais — Pigs.: da 88 a 90 1 7 0
Conjunto de Razôes Proporcionais — Pigs.: 91 e 92 1 7 3
1 3 RESOLUÇAO DE PROBLEMAS
Uso de Razôes — Pigs.: de 93 a 98 1 7 6
Verificaçâo da Aprendizagem — Pég.: 99 1 8 2
Uso de Razâo em Sentenças Reiacionadas (Enriquecimento) — Pig.: 100 1 8 3
1 4 G E O M E T R I A
F u n d a m e n t o s 1 8 8
Quadriléteros — Pigs.: d# 101 a 103 1 9 0
CiVculos — Pigs.: 104 • 105 1 9 3
Construçôes Geométrîcas (Enriquecimento) — Pig.: 106 1 9 7
1 5 FRAÇÔES E NÛMEROS RACIONAIS
F u n d a m e n t o s
Fraçâo como Par Ordenado — Pigs.: de 107 m 109 Conceito de Fragâo — Pigs.: 110 • 111
"Fraçôes Imprôprias" — Pigs.: de 112 a 114 Fraçôes Equivalentes — Pigs.: de 115 a 117
Conjunto de Fraçôes Equivalentes — Pigs.: 118 e 119
Ccnjuntos Especiais de Fraçôes Equivalentes — Pigs.: 120 e 121 Delerminaçâo de Fraçôes Equivalentes — Pigs.: 122 e 123
2 0 0 2 0 5 2 0 7 2 1 0 2 1 2 2 1 5 2 1 7 2 1 9
V e r i f i c a ç l o d a A p r e n d i z a g e m — P i g . : 1 2 4 2 2 1
F r a ç ô e s n a L i n h a N u m e r a d a — P i g s . : 1 2 5 e 1 2 6 2 2 3 Conjunto de Fraçôes Equivalentes e a Ltnha Numerada — Pigs.: de 127 a 130 226
V e r i f i c a ç â o d a A p r e n d i z a g e m — P i g . ; 1 ^ 1 2 3 1
C o m p a r a ç â o d e N u m é r o s R a c i o n a i s — P i g s . ; 1 3 2 e 1 3 3 2 3 2
D e n o m i n a d o r e s C o m u n s — P i g s . : 1 3 4 e 1 3 5 2 3 4
D e t e r m i n a ç â o d e D e n o m i n a d o r e s C o m u n s — P i g s . : 1 3 6 e 1 3 7 2 3 6
Idéias de Maior que , Menor que e Intervaio Aplicadas aos Numéros Racionais
— P i g s . : 1 3 8 e 1 3 9 2 3 8
] 6 S I S T E M A D E N U M E R A C Â O
F u n d a m e n t o s
Leitura, e Escrita de Décimais — Pigs.: de 140 a 143 Verificaçâo da Aprendizagem — Pig.: 144
2 4 1 2 4 4 2 4 7
17 COMPUTAÇÂO DE NÛMEROS RACIONAIS Fundamentos
Adiçao de NOmeros Racionais — Pigs.: de 145 a 151 Subtraçâo de Numéros Racionais — Pigs.: de 152 a 158
2 4 9 2 5 2 2 5 8
18 SISTEMA DE NUMERAÇÂO — DECIMAIS
Conversâo de Numerals Fracionérios em Décimais — Pigs. 159 e 160
Conversao de Décimais em Numerals Fracionirios — Pig.: 161 linha Numerada dos Numéros Racionais — Pigs.: 162 • 163 Adrçâo e Subtraçâo de Décimais — Pigs.: de 164 a 168
2 6 4 2 6 5 2 6 6 2 6 7 1 9 R A Z A O Fundamentos Porcentagem — Pigs.: da 169 a 171 2 7 2 2 7 2 20 MEDIÇÂO Fundamentos
Mediçao de Segmentos — Idéia de Escala — Pigs.: 172 e 173 Perfmetro — Pigs.: de 174 a 176
Idiia de Area — Pigs.: de 177 a 179
Unidades-Padrâo de Superficie — Pigs.: de 180 a 183 Area de Retângulos e de Quadrados — Pigs.: de 184 a 186 Area de Paralelogramos — Pigs.: 187 e 188
2 7 5 2 7 8 2 7 9 2 8 1 2 0 3 2 8 8 2 8 9 21 VERIFICAÇÂO DA APRENDIZAGEM
Principios Bâsicos
ObjetivosDcsenvolvinionto da eonipreensâo dos conceitos matcmâticos compatîveis com o
nî-vel da criança nesse estagio c considcrados
importantes eomo base sobre a quai
poder-se-â, apoiar o prosseguimcnto da aprendi
zagem da Matemâtica em estâgios
poste-fi o r e s .
Acpiisit^âo de liabilidades nocossurias
nâo apcnas à aplicaeâo, eomo também à con-tinuaçâo da aprendiza'gom em ^latemâtica. Cinco principal aspectos l'oram cuida-ilosamente planejados para ajudar o aluno
a atingir os objetivos visados em VAMOS
A P K E N D E R M AT E M Â T I C A :
1 . I n c l u s â o ' d e m a t e r i a l e i n d i c a ç â o d o
eomo usa-lo, de modo a desenvoîver a
comprecnsâo de conceitos matemàticos
b â s i c o s .
2. Apresentaçâo de um conteûdo lico, numa scqiiência que. constantemente aumenta c aprofunda a experiência matemâtica
d o a l u n o .
3. Desenvolvimento de um processo siste-mâtico, pedagogicamento vâlido, para a
resolucâo de problemas.
n
4 Einprego de técnicas aperfeiçoadas lU
apresentaçâo da materia que conduzam
à deseoberta.
5. Inclusâo de exorcîcios e testes para
fi-, xaçâo e avaliaçâo continua da apren
dizagem.
fundamentos de matemâtica
As solicita(:5es de uma socicdadc em
la-pida mudança eriaram a necessidadc de s
encarar de maneira diferente o ensino t
■
M a t e m â t i c a . , . . .
- Tradicionalmente, esse ensino consu ^
em fatos numéricos e processos compu
cionais quo podian, ser aprendidos por^™- * ..s,n.t,..-al bi.sico cn.âo
tina. Este ponto do vista nao e ma.
tina. Este ponto uo msi<> -
aI'KBK-tavol. OS autores da séno Ob
DBR iMATEJlATlCA
ch-materia é primordia ji^gonb/
,.„neeitos baaicos. Sua apron ,
tanto, nâo dove focaliza P
<ii-(lesses coneeitos, iTias tani
ferentcs maneiras do ' pjplos o
levam ao reconhecinionto ^ ..^gp^es exatas
delos, levar o alimo a' j(, dc reso^*
desenvolvimonto da ha ' compu
CONTEÛDO ENRIQUECIDO E AMPLIADO A niiulanoa rjuc considcra os coneeitos
hasieos como fundjinu-nto para" o cnsino de
Matomatiea oxigo urn planojanionto
euida-jIoso para desonvolvor niu pi'ograrna <Ie
loMiatica so ostcnda da oscola do 1'.'
à t'scolji d,> 2" grail. Ohviaiiionto. tioiilm'"
copeoito basico poflcra .sor plonaniente
de-« n n v o l v w î . • d e s . s o s d o i s
■ ^ / w i n ' i u . V
p - , » . . A . s ; , , t " » "
■
« »
-nais prceisam tambemje
n i b e m s e r g , d a ^.rcendidas cm
—.. OS eonccitos ecdo demais e
devem ser eompreeuu...-^, - introduzidos, eles sojam
rcforça-idéias fundamentais em que sc P dos aprofundados em cada nivcl. TambeP
Ha uma tcndência erescentc no ^ " progrania ostabelecido
de aereditar que a ênfasc em «fJ^'^niatieo e giro cm torno dc idéias
ba-sieos desenvolvidos de mancjra «uti'a forma, pode-se gastar o temp
va alimenta a eficiêneia da apien ' dan o-sp as crianças uni poiuiuinho de cada
va alimenta a eficiêneia da apien ' , dan o-sp às crianças uni pouquinho de cada
Além do mais, a neeessidade de. e esc eois< e levando-as a, possîvelniento, nunca
a prontidao para o estudo '^cer as idéias bâsicas eonio idéias
vas idéias matemâticas requer a ap' " forinando uni todo, o que constitui
çâo e 0 desenvolviniento de certes ^ ^ a esseneia do eonlieciniento mateinâtieo. ^
fundamentais mais ccdo do que cos i 0 conteiido do livre VAMOS
,^IATEMÂT1CA 4 inclui capîtulos
d c d i c a d o s a , . . , .
C O U '
-
ope-onipiitaçâo, resoluçao
donar c organizar essas idéias funUamon- raeion' ""
tais num progrania que contîniiamente am- Aseei ' ^ ^uediçâo. ..'ndc
plie e aprofunde a experiência inatematica , . ypresentamos unia
da eriança. ^ <^onteiuio. 0 leitor dcvérâ obbci^
Aprender a pensai' em torno de idéias
bâsieas de nianoira organizada prépara as
crianças para cncara-Ias como idéias
iinifi-cadoras que integram os assuntos dc
Mate-mâtica num todo. E.ssas idéias serao
ensina-das como componentes de iima cstruiura
matemâtica.
A medida que ps.ses eonceitos basi
C O S a s
. ® ^ p r e s e n t a m o s u n i a d i s c u s s "
' de eonteiuio. 0 leitor dcvérâ obse
-\ar q e nossa Edieâo do Professor
hâ-"Punda-mentos", que aco>";
iLntirP ** de eonteûdo, ondc_s«^
'lo matp'^v 'déias matemâticas
apresentado no livro do alu
Con juntos
N o
A medida que ps.ses eonceitos bâsi- proo-ra.,, .. xrAJlO^
e, sua organizaçâo ficam elaros para APRENDEjj **^^710050
erianças, novas idéias podem ser inte- conjuntos é , EMATICA, a
usada para dar unidade e
nar mais elaros os eonceitos apresentados. Por exemple, desenvolve-se o significado de n u m é r o n a t u r a l r e l a e i o n a n d o o s n u m é r o s à caTdinalidadc dos conjuntos de objetos c usando as idéias de correspondêneia um-a--iim e equivalência entre conjuntos.
»
^
"^"n -P*
e " C4 C o n l u n t o 1 B Conjvito J ^
L Otw e flg. *. D«icf«io e cenluM I « wn aubcontunto do conjtfito I. M ' Oho a Nb- 9. Docrcvo o conjvite J • un nAcsfiJwita do tonjunto i. N A ngulr epmoniamc* o con|unte H. Oé um m^con]L«ile do eanjiooo H. -CoijuMoH: poiM, goto, boi ogolo
O i i c i i i o e o d o c v i j t o o o o , c m a o g u l d o , t o n
O A Mgutr opcesonlemoo o confiinto S. DvKrwo wn ik^con)iOMo do S. Conjunio S: Peuio, Ane, Luio o-tron
f A g o r a e p r a M n i e m e o e e e n j w i r a M .
M um Kibeviiwito de cer<)«««e M. Cenfunto M: tâpio. coIko, posto,
conoto. bocrocho 0 opontodoc • ^ e o n l u n r a d o c o d e u n d o i t » .
4t.
ConpaitoC Conismio B
Canjume G; r oiul. bote etuI, fl O r f O O m ! * O T M *
Contioite H: mtlo, oopoto, >iii«ldB,
œ i a , b h o o
Conjunto P; Noir, Cdir, Nemn, lois, Jodo. Fomendo, Carte
Con]«m(D F: ptecgo, boio. inaçd, bolo. laren|o. bioeoito
N o s l i v r e s 1 e 2 d a s é r i e V A M O S
A P R E N D E R M AT E M Â T I C A , i n t r o d u z - s c a idéia de conjunto de maneira intuitiva e sem atençâo ao uso explicite da
temiinolo-gia especîfica dos conjuntos. No livro 3, as
idéias de conjuntos c subeonjuntos sâo in-troduzidas aconipanhadas de certa
temiino-logia apropriada, aparecendo como onrique-cimento à noçao de uniâo dc conjuntos.
Neste livro, ampliaiii-sc as idéias
ixîla-tivas a conjuntos para incluir,
propriamen-te, a uniâo e a intei-seçâo dc conjuntos. As
idéias dc conjuntos sâo cntâo estendidas ao trabalho de gcomctria e usadas em conc-xâo corn o conjunto dos nûmeros naturais,
o conjunto dc fraçoes équivalentes e o con
junto de razôes proporcionais.
Operaçôes e Propriedades
Até G quarto cstagio, a maior paTte do
progrania desta série é relacionada ao con
junto de numéros naturais — o conjunto cujo^ elementos sâo 0, 1, 2, 3 etc. — e às operaçôes com nûmeros naturais. Nos pri-meiros niveis, as erianças começam a tra-balhar com a adiçâo e a multiplicaçâo. A Matemâtica tradicional, que dava ênfase à
resposta coniputacional, considerava uma
adiçâo como 13 4- 54 incomplcta c a erian
ça prccisava vencer mais um passe para
ex-primir a soma como 67. Nâo se reconhecia
que, ao somar 54 coin 13, jâ se tem a soma logo que se pensa em 13 -f 54 . Segundo o ponte de vista moderno, a representaçâo 13 + 54 apresenta vantagem sobre a repre
sentaçâo 67 porqiie 13 + 54 eselareee a si-tuaçâo que clou origem à resposta, isto é, que 54 foi adicionado a 13. Essa situaçâo «îifere daquelas em que 28 é somado a 39 ou
.53 é subtraîdo de 120 — cujas respostas
1 1 1 4
A Obttrv* « ilg. I. A («Mcnço A + 3 • 7 mostra o qua csâ eeentacando na figura? I Dl 0 tcr^tcnça qua mottra
q qua aatâ oconiacende no
fig. 2. No lig. 3. No fig. 4.
C A j a m t c n ( e t w a d o s n c a
aartlclat A a B opcracam abai">.
Ete rflo waiBodairoa?
F ObMrva coda senranço
mgtamdtiCQoboiaa a vt)0 u 4 vardodalro. I l - 2 » 9 9 1 - 2 = 1 1 1 1 - 9 = 2 2 i - 9 . « n 4 + 3 = 7 7- 3- 4 3 + 4 - 7 7 - 4 = 3 0 O i m a v n o s n u m é r o s s 4 o
utodoa am coda santcn^o' Quels sdoaics? E Vo c 4 p o d a a i o b o r a r o u t r e s , s c n i a n c o s w r d o d a i r o s d a o d K i o r d a t u b i r o c à o corn 4. 3 a 7? A s s a n t t n ç o s d o a x a r c I e i o C sâo santar>ços rcloclonodos da odicâo a subtrocôo.
G O s n u m é r o s u s o d o a t m coda sentcnfo sâo os mcsmq^ Quois sâo alas?
H Vo c 4 p o d a a i o b o r o r o u t r e s santartços vardodalros da odifâoada subtrofâocom 2. 9 a 11? I Al santanfos doaxarckioF s â o l a n t a n f o s r t l o c i o n o d o s da odifâe a subtrofâo? Nca asarcklof 7 a L, por qua
sâo raioclonodosos santancos? J S + 4 - 9 L 1 3 - â - 7
9 - S = 4 7 + 6 - 1 3 9 - 4 - 5 1 3 - 7 - â
4 + 5 - 9 6 + 7 - 1 3
também serâo 67. Do inesino modo, mimii si- Além disso, sabo que u ordoni das parcflns
tuapâo de multiplieaÇâo que envolva 4 gin- nao alterarâ o total — propriedade
conni-o'Ar. n nhietos tem-se o produto descle o tativa da adiçâo. As.sim, pode dcduzir a
sen-pos de 13 Obje os t ^ ^ jg . Ex- tença -706 = + 399 ',06 - 399 = a.
Fi-momento em ® J 52 é dar um outro naimente, usando novamente a relaçâo entre
pressar 0 produto .. . produto. os processes, pode deduzir a sentença
nome, talvez f,,ndanientais das oi>e- 706 - 399 = de 706 = n 399. Note que.
As ^ desenvoividas no usando a propriedade eonuitativa e as
rela-,^çôes sao ÇUidado^me^ ,oes entre os proeossos, a crianea dcduziu 3
programs desta se comutativa senteneas de 706 - a = 399 : 706 = 399 +
me, se e da multip]>caçao> 4- « 706 = ^ 39g ^ _ 399 ^
Ago-0 Ago-0 %ero como la, ela poderâ coneluir que 7Ago-06 -z 399 - »
a da adiçâo c 0 1 com a sentença que niostra diretaniente 0 ca
-d n -da-de ou elemento neu ro culo que -deverâ ser efetua-do para -
determieiementoid n'ida^o p^^p^eda '^«r 0 nun.ero que .substitut a : 706 399
-ttnlnadas nâo « apreaentadas en> ^ 307. 3^,
linguagem matemâtiea fomal. seua «^ntonca vendra"'™'"'
Além disse, as crianças
conhecimontos relatives aos "f;,
rais. Aprendem a déterminai' os a
um numéro natural e adquirem a n ^
que um numéro natural pode ser pai o
par e primo ou composte.
A idéia de fatores é usada para ajudai'
li aluno a entender meihor a multipHcaçao c
a divisâo. Ele aprende que pode tomar
vei-dadeiras sentenças como a: X 4 = 96 ou
96 4 = X porque 4 é um fator de 36 e nâo
pode tomar verdadeiras sentenças c^omo
z X 4 = 95 ou 95 4 = z porque 4 nao é
um fator de 95. Aprende ainda a interpre-tar 95 -f 4 como 23 eonjuntos de 4, com
uma sobra de 3, e a elaborar a sentença vcr-dadeira 95 = (23 X 4) -f 3.
Nos estagiosAnteriores, as crianças
usa-ram a propriedade comutativa da adiçâo e
da multiplicaçâo e estudaram as relaçôes
adiçio-subtraçâo e multiplieaçâo-divisâo.
Neste livre, o aluno, jâ familiarizado com as
relaçôes entre os processes, estarâ pronto
para eneontrar diferentes sentenças
mate-mâtieas envolvendo o mesmo conjunto.
Suponhamos que uma' eriança deva
achar o numéro que substitui n em 706
--n-= 399. Ela sabe que, usando as rela
çôes entre os processes, pode deduzir a sen
tença 706 = 399 -b H de 706
tcneas^^"^ ^ aprende
+ n. c o m o706 - = 399, 706
= 399 + s a o d e■
entenças relacionadas ou équivalentes
r o f - p o r q u e o n i e s n i o
trên ' " nessas sentenças e os
0 sâo usados. Do mesnio J
X d9UC sentença's comO
^ 47 = d, d X 47 - 235^^
niiiit* i- scntcneas relaeioiiaua-''
'^'t^Pl^caçâc e divisâo. ' . 3^
USO de sentenças relacionadas ajii
lias "T ? desenvolver maior eon.pree"^
M f â o p r o c e s s o s . O u t w
«ona.]""""" '""portante das sentenças
"'S- 12'eneont
te açj Pcontra-se um comentano r
soInf>3^^^, sentenças relacionadas ^a
fie problemas.
Sist de Num e r a ç â o lO
n = 399. que dâ à
Numeraçâo de
r o n i t l ' e p r e s e n t a r , „ i o S ^ses siml f relative ou P<"'r"'",pnei"'
a compre ^"""sr'qûentcmente, e e ..
aue do sistema de base l».
de dar nomes aos nûmcros naturals. Os pro cessos do computar, que sTio basieamentc
ma-n c i r a s d e d a r o u t r e s ma-n o m e s a o s ma-n u m é r o s ,
também ilopondcm do vnua compreonsâo exa-t i i d o s i s f c exa-t n a d e c i m a l c l c u u m c r a c n n . t
A
^■continue ^■a p r e n d e n d o ^ H m Il 1 0 ' 0 1 0 t 1 1 1 0 0 1 0 I 0 1 i c n o t t f r t m i l h o r 1 0 0 0 0 t à e t m j f r wEsta série de livres dâ especial atençâo
ao desenvolvimcnto da compreensao do Sis tema Decimal de Numeraçâo. No livre
VA-ilOS APRENDER MATEMÂTICA 1, de
acordc com a modema téndência de inieiâr eedo a introduçâo de certes conceitos
mate-mâtieos, estabeleceu-se cuidadoso desenvol-vimento do sistema de numeraçâo, abordan-do os numerais até 99. No livre 2, esse desen
volvimcnto amplia-se pava ineluir os mime rais de 3 algarismos.
■ E m VA M O S . A P R E N D E R M AT E I V I Â
-TICÀ 3, o sistema,'vài além, ineluindo nu
merais de até 4 algarismos. Além disse, de-senvolve-se intensivam'cmte a habilidadc de
reagrupar como preparaçâo para computar, o que reduz as dificuldades que as crianças
costumam aprosentar com rclaçao as
técni-cas eomputacionais dà "rescr\'a" na ediçâo o do "rccurso à ordcm superior" na
subtra-çâo.
N'ostc volume, sâo maiitidos os recur-.sos apresentados nos niveis anterioros c o
sistema de minieraçâo amplia-se até ineluir numerais de 9 algarismo.s, estendendo-sc a
décimes e centésimos.
0 ensino de sistemas de numeraçâo com
bases diferentes de 10 sô sera feito no livre 5. Os aiitoros acrcditam que, para crianças
dos estagios antoriorcs, é suficicntc um en
sino baseado na eompreensâo do sistema do base 10. No livro 5, quando se admite a pos-.sibilidade de a eriança jâ ter entendido as propriedades de um sistema de numeraçâo,
serâo apresentados outros sistemas e, entâo,
0 aluno reforçarâ sua eompreensâo sobre
numeraçâo eni gérai. Computaçâo
ENRIQUEÇA SEUS CONHECIMENTOS
1
uA<ima oponet um çrâFico. Um per erdcrredo de rvjmerei pode Mr rvprcuntedo per um pereo rie grdiico A Preeur* o ponte para (S, 3).
Ek <lea o 5 «pefos no horitontel t ■ n e w r t i e o l ,
■ Preeute e pente pare (3 , S).
E>« lica o ■ tspoçei rM horlzcrttel
■ S n e ^ ^ t o e l .
C Quœido voc* leeolize ifn par erdcrrade «m un c^tlee. ô primtira
nCmtra corroipa^)» ooi «papa* ne linho horizontal. E o Mgurdo? D Ovte M locallioo ponto para Q. I)? Pora <3. 4P E para (4, 3)7
■ Qu« par ofdonodo eocmpcrtd*
o o p o M e U P
P Dt o> pem ordrttaAa qu* correipcndzm 00* ponta T, V, X • Z.
0 > 2 3 « t C 7 * 9 M l l
Q ObMrvaogrdfiooaeime. Qu* por ordartode Indka e ponto A? H Voeé pode ossocior (9. 7) a
z « z - 2 .
Qu* rrdrrr*ra «m <9 -, 7) rcpraMrrte z?
E z - 2 ?
I Qut par ordtnode «std r«pc*Mntado p*lo ponto B?
Vo c 4 o u o c l a r l o * t t « p o n t e o z * z — 2 ? J Q u * o u t i o s p b n i t * d o g r â f i c e r * p r « i * n t a m p o t * * o r d a n o d e * q u * • * o a a o c i o m o z * z - 3 ? L Q u * v o c 4 n o t e n o * p o n t o * q u * m o m c i o m g z • z - 2 ?
M M mol* ttEipom erdanedo* porozaz — 2*
r a p r t M n t * . * * n o g t d f k o .
cHauça uma maneira
Por muitos atios, houve no ensino da
Matematica uma tendêneia para aumentar a
coniplexidade na organizaçâo dos assuntos.
0 processo da adiçâo, por
dividido em mais de uma ^
dades que deviam ser desenvo m
eâo envolvendo numerals eraos eon. "reserva" era deixach pa_
manas ou niesmo meses depois e
nada a adieao sem "reserva . ^
.rdflieio-Por causa dessa organizacao
nal, as crianças nâo compreendiani a
reza do processo como urn fodo. •
plo, quando a adiçâo com "reserva e
nada primeiro, a criança nao pode en en
por que se diz que se dove começar a som ^
pelas unidades, pois ela podera ehegar a
resposta. certa somando as dezenas em pn
nieiro lugar. Dcsse modo, ficara dificil para
0 professor acompanhar os passos do tra
a-Iho do aluno para ver se elc esta operan o
de maneira eerta. As vezes, ele podera estar
trabalhando erradamente, escapando à
ob-, 1 ^ I f T : * ^ . • i 4 - r \ A 3 O i
fînM.-2 subti-aeao,
n.ul-f'nvolvendo os numéros
introduzidos no livre 3, sendo •
I finan"l^ ^nsmados e ampliados no livro
sac introduzidos, entâo, os
pro-ce. <^omputacionais do adioâo o subtracâo
envolvendo os numéros racionais.
n f t o t n < > m e n o s ê n f a s o . a o s
h fl b i l i d - i fi a J I a t e n i a t i c a , a
• nnrtn\^ ^"mputar ainda é uni nbjetivo
' Mma IT ^ Poi" qualfiuer
pro-nr exJrr!^^ ('-^pro.sso come 123X417,
^'tnaedes ^ P^'f>Porcionàrâ, oni muitas
, / ' J'esposta satisfatoria.
I'ortan-l'ecoiTer a uni processo
como 9 591."" """PP™''""'
.nilifp"'*!. ''"'""P'" ''ustra quo, en. ultima
.
n o m e
« « b a t i t u i r
Os nr " "ûniero por uni outro.
sentadon „rstr"sé
. I f . s e n v o l v » . . ! " " d f . s e n v o l v e r n r i m » - ■
tiaoainanuo erraoamenie, cscapauuv/ - — ^ > pnmeiro, a coinproonsâo c, pu'
scn.a<;âo do professor. Em muitos casos, a m. as labilidaclps que os alunos deverSo
f o l f n i . _ m « T « ( 1 1 - a u ( j u i i i i
V 4 V p i W l C C O U l . A J l t l
-falta do "insight" toma a situaçâo mais ficil para o aluno e para o professor.
Na série de livres VAMOS
APKEN-DE)R MATEMATICA, tem-se por
princi-pio introduzir urn processo pelo uso de exem
ples que -sejain significatives do processo
c o m o u m t o d o .
A dificuldade principal dc uma
aprcn-dizagem é considerada logo no inicio do seu
desenvolvihiento, situada dentro da
estru-tura geral em que se encontra. Quando a
fTianea eompreende como trabalhar com os
exemples mais representatives de uma
de-erminada situaçâo de aprendizagem, nâo
era dificuldade em lidar com os casos
par-iculares mais simples, assoeiando-os aos
ja aprendeu. Além disso,
apresenta-se urn processo eomputacional somente
de-Pois de as crianças terem aprendido todos
OS atos basieos relatives àquele processo e
erem adquirido suficiente eonhecimento do
sis ema de numeraçâo para compreender o
reagrupamento exigido para computar.
adquirir para i^odm
cessas .sào clcseuvn •, P''"'
uso (le figuras ^ P""'"™""'""' Pf"
(les fundanientai i' P™P""
por exemplo a Z • P™™"'"' ''"T
multiplicaçâo (listributiva d»
«esse e.stàgio do Quu crianço'^'
p a z e s d e j u s t i fi a ' ' ' ' '
em termes da ?^^a.etapa do processo
mas esse aspenfn se-apoia,
dido se expIieaH melhor
entcn-objetos. ° ^nieia-lmente pelo uso àe
Re.ol«çâo de Proble^as
Um obietivrt ■
m o d e m o d e d o p r o g c a ' " ' ^
coneeitos e as t' ® desenvolver
solver problema^^"^^^^ «eeessarias para
titativos. Mo ^nvolvam dados qua*^'
série de livres elaborado para esta
uma boa base n ^ que proporcionaur
sâo e as Iiabipd^? ^^envolver a compreew
tiva resolucan ^ ^ecessarias a uma
Pï-oblemas; identificaçaode conjuntos, correspondência uin-a-um — biunivoca — reconhecimento da açâo envol-vida em situaeoes ilustradas por desenhos, fatos bâsicos e a elaboraçâo da sentonça ma tematica apropriada para descrever a situa çâo' apresentada.
[senten^aj
Lio guardou 42 bolot «m 3 coizei. Ouai}tos botn celecaj em coda coixe>
Vaeé iob« guaniin bolos f o r ^ n g u a r d o d o »
Voci ndo >cbe guontot
fiCûrv. em coda cojko. —Niimeeo de grjpcn
NCenero em cedo gn*o
r '
S X /
-Voc4 ube que Lio uteu oo ledo
4 2 b c i o L
0 O O
3 x / « 4 2
Voeè preciio «hor quoRtoi botoi Lia eokcou em coda coiw. Pom o (voblemo A. vœ* pcde forer tomWrii umo sentenco
d e d i v i s d o .
• N j m e r o t o t a l
Numéro em codo gmpo
'Nûmere'de grupo»
4 2 - 1 - / - 3
0 mevtw numéro ujbetitulrd I noi lementoi 3 X f > 42 e 42 -■ ( s 3'
l>esde 0 livro 2 iisa-se o problema ver
bal, isto é, o problema foiTnulado em pala-vras para dcscrever uma situaçâo fisica e
proper uma pergunta envol"vendo uma idéia
quantitativa. As crianças aprendem a
orga-nizar a sentença matematica que descreve o
que esta acontecendo no problema e, cm sc-guida, completam a sentença, tornando-a
verdadeira, e dâo a resposta do problema. Neste livro, o-aluno reencontra os tipos
de problemas que aprenderam a resolver nos estâgios 2 e 3 e tratam de problemas
que requerem achar a média, interprétai' restes, usar razôes e proporçôes e
resol-vef problemas que podem ser descritos por
sehtenças do tipo 12 X m = 60 ou 60 -ï- m =
= 12 (divisâo partitiva). Às pâgs. de 9 a
12 aparece um eomcntario relativo a
téeni-cas de resolueâo do problemas. G e o m e t r i a
A (îeometria, para muitas pessoas,
su-gere a (loometria formai, dcmcnstrativa, '|ue (la ("uifasc à prova c 'pic se julga so dt ver ser tratada na escola de 2^ grau. No nitanto, ccrlos conceitos geoinél ricos Ijasi-cos potbMii ser introilnzii!'»s infonnalnieutc ùs crianças em cada estagio do l'' grau.
No pi'ogruiiui lU'seiivolvido na séi'ie tie livres VAMOS APRENDP^R MATEMATI
CA, muitos dos eonceitos- geométricos fun
damentals sâo introduzidos por meio de
re-presentaçôes grâficas c de situaçôes cotidia-n a s f a m i l i a r o s a o s a l cotidia-n cotidia-n o s .
As linhos 7 é 8 s8o linhot • As Unhos 7 • 9 sào linhos •
4 As linhos 8 *9 lAo
linhoft-Na apresentaçâo dessus eonceitos, as
ex-periências partem de situaeoes familiarcs ao mundo da criança para as que nâo Ihes sâo f a m i l i a r e s .
Nos livres 1 e 2 desta série, as crianças
linhas que se iiitei-eeptam, linhas paralelas
e fazem o reconhecimento de alguns
poligo-no3 simples. No livro 3, ampliam sens
eonhc-eimcntos geométricos, incluindo segmentes
de reta- e angulos,e sâo introduzidos os
eon-ceitos de triângulo e quadrilâtero. N'este li
vro, ampliam mais ainda sens
conhecimen-tos, fazem uma rcvisâo das noeôes jâ
desen-volvidas e estudam as semi-rc-tas, o eirculo,
os paralelogramos e a eongniêneia de
seg-iiientos e ângulos. Aprendem tanibém a iden-tificaT linhas perpendiculares.
lia Oconietria em loijos
s'l-au é uma '.las i-aracli A i n e l u s â o
o s i n v e i . s d o 1 ' ^
n'sticas de um currieulo modcrao de
Mate-mâtica. A seqûêneia de idéias geométricas do3 livres desta série foi pîanejada de modo
a promover um desenvolvimento
sistemâti-eo (' cumiilativo através de lodo o 1" grau.
R a z â o CONTINUE APRENOENDO S S g m a A Oh* o 1.9. I.
0 prato i de ■ Moi por • ciu>*i.X4
Voei pode uisr um por ofdiado pvs diMT este pftîo Primeiro leM pmcjie decidir o que code nimero cndtferâ
(6.5) i
'Cbiene que e primeùo rxrnem
rafce-M ài 6 boiei 0 legundo re^nero ' relere-w c S ciuiei/ee.
I. Quondo voc« ma |d. 5) poro >nd«ar
preqo. nte por ordenodo conuitu. wna rozdo Vocd podt etcrevtr ce reenerort ccmo mcirromos dboied. A que If référé oprimerio . —. »6 r û n e i o P 5 ^ — E o M ç i e ^ e P 6 pore S C Olhe 0 (I9. Z Hd ■ chepéus e # veMidOf.
D Podwnos user leno reiôo pere
eemporor e numéro de cfiopdus
c e m o n û m e t s d e > 0 ( ( i d H . Otwfteque o primeiro ndmero ^ i c A e ç A M . 4 lerefereeet _ _Q^rtde:oe legunde nijmeraP 3poro4
A idéia de relaçào é de grande signil'i-eado matemâtico. Embora difîcilmente as
8
erianças poss<nu entendor uma" dcfinii.'iîo
précisa de rolaçâo, nûo Ihes sera dificil
aprender algumas das muitas aplicaçôes de
uma jelaçâo a situaçôes coneretas. Entre as
relaçoes matemâticas mais simples ostâo as
que se estabeleeem entre parcs de numé
ros. ^as relaçôes referem-se a pares de
numéros que se associani a situaçôes que
envo\ein preço, veloeidade ou eomparaçâo.
m ea a uma dessas situaeôes, um par
or-(tenado de numéros é usado para
ostabele-vido^ ^^'itre os dois numéros
envol-Suponhames, por exemplo, que 12
Icn-eos eustam 15 enizoiros. O par ordenado do
■
eros 15 usado para
expri-^enços nessa situaçâo.
® o r d e n a d o , e s
-^ primeiro numéro do
(irien^n 15) refere-se ao numéro
tmndn ' ^ Podem ser comprados. 0
se-Da»-1 r'nm^ "^"lero de cruzeiros necessarios
para comprar os lenços.
nûmerof r 'l» I"® P"'"
\lmns rlr «Pnmir o preço dos lenços.
i5Ml6
ro de cada par if' ® P"™"™
ços e o .iPm. r ao numéro de Ic"'
pares de m" ""mero de cruzeiros. Os
(encem ao rolacionados acima P«J'
mcEos e quaTl^" ''"nounto de pares de n"'
a«o pertenca ^ de* nûmero»
par e.xprimir ! '''"'•i""!» Podc ser usa''"
O u t r a .
™tre dois unl"'^^'' involve a relaç»"
Pereorre 20 quîî^'^°'' ® ^
30) pode ser ? 30 miuutos. (^0,
dade. 0 prim P®""^ expriniir a
veloC-se ao numéro''de OesveloC-se par
refera-ao numéro dr- • o o segund
lueros que penen^^^""^* P^^"
que portenee con con junto
exprimir essn i' ^ Pode ser usado
bém envolve rein Sïtuaçâo que taiP
uquela na quni dois numéros
• comparam doisnumer^>^-Suponluimos, pur exemplo, (pie haja 12
ma-(;âs e 24 laranjas. Pode-se usai* (12, 24) pa
ra comparar o iiûmero do maçâs e o de la
ranjas. Outre par de numéros que
pertcn-ça' a esse eonjunto de numéros pode sei usado ncsm eomparaçâo.
Nos livres desta série, ao par de numé ros usado om situaçôes que envolvam preço, veloeidade ou eomparaçâo, chamar-se-â
ra-z d o .
No livro 3, as eiianças aprendem que podem usar um par de numéros quando que-rem falar de preços ou comparar dois numé
ros e (lue esses pares ordenados eonstituem razôes. Neste livro, comecain a desenvolver a
noeao de proporçâo entre razôes que per-teneeni ao mesmo eonjunto, aprendendo a organizar ou formar eon juntos de razôes
é q u i v a l e n t e s p a r t i n d o d e f r a c ô e s d a d a s .
Aprendem tambéni a resolver alguns tipos
de problemas usando as razôes. Fraçôes e Numéros Racîonais
E x fi t k i o I
E a c r r. ^ d d i n u m o r a i i p o r o n p c t a q m o r
a poi^ colorlda da« obirlo*.
® ® ®
ExcrckiO 2
O i g o q u o l t a > f r o ( & n q u *
rqpuMutowi um ob|«lo Intairo ou mai» qua ipn ob]«lo.
* T n ' - b " ! " ' T ' ? - T " n
B f 4 4 - p i i
^ T T T T T ^ T T T ' T
n S * 1 ) 9 1 u 4 1 9 S »
^ T T T T T T " T T Û ' T T
EiCfVi^ cem olgoritmet <m nurarolt.
A v n « M i t o i i s v e t
B M t * • d o i t t M Ç O
C c t n c o • u m m * < o
D I r é t e q u o t r o i d t i m o t
E d o i t « q u o r r o t f quotro • dtt onze ovoi C Mit t trftt qulntoi
H d n • c i i x o n e r « i
Como vimos, um par de numéros pode ser usado em situaçôes que envolvem pre ço , veloeidade ou eomparaçâo. Nessas si tuaçôes, referimo-nos ao par ordenado de
numéros eomo razâo, Hâ outras situaçôes
fî-sieas que podem ser assoeiadas a pares de
iiûmcros e que nâo eonstituem razôes. Essas situaçôes fîsicas envolvem uma relaçâo par
t e < — > t o d o .
Suponhamos, por exemplo, que um
pe-daço do eartolina seja dividido em 8 partes iguais e 7 dessas partes sejain eoloridas.
Pode-se a.ssociar a essa situaçâo fîsiea o par
de numéros 7, 8. 0 primeiro numéro desse
par refere-se ao numéro de partes eolori
das. O segundo, ao numéro de partes do
ob-jeto inteiro.
Quando se associa um par de numéros
a uma situaçâo fîsiea que envolva uma rela
çâo parte <—> todo, o par é uma fraçâo.
No livro 3, as erianças aprendem que uma fraçâo é uip par ordenado de numéros
e começam a desenvolver a compreensâo de
fraçôes équivalentes. Na linha de eonteûdo
deste volume, as erianças ampliam seus
co-nheeimentos sobre fraçÔes .équivalentes^ e
aprendem a formar eonjuntos de fraçoes
équivalentes. Começam a desenvolver, assim,
a noçâo intuitiva de numéro racional como
eonjunto de fraçôes équivalentes. Apren
dem tambéni a encontrar um denoniinador
eomum, a comparar numéros raeionais c a
usar uma linha numerada para ordenaT os numéros raeionais. Ampliam ainda sens
co-nhecimentos relatives à computaçâo, incluin
do a adiçâo e a subtraçâo de numéros raeio
n a i s , Mediçâo
As mediçôes, que eonstituem uma
coin-binaçâo de idéias geométricas e idéias
nuine-ricas, sâo introduzidas dcsde os primeiros
cstagios. Dcsenvolve-sc a idéia do (jue
signi-fica medir, eomo medir de maneira
apro-priada, ressaltando-se a necessidade do use
(la unidade-padrâo de medida. 0 litro, o
metro, o eentîmctro, o quilômetro, o quiln c
a tonelatla sâo al^iiiias das unidades
padro-nizadas introduzidas nos estâgios ], 2 e 3.
Neste livra, fixam-se as idéias
apVcscn-fadas nos estagios anteriores, que sâo am-pliadas pai'a incluir oiitras unidades padro-nizadas de. medida, como a de superficie. A."»
crianças aprendeiii a usai* os conceitos de razâo e proporçâo para encontrar luedidas
équivalentes.
q u o d r a d o
N Afig. àopretfnfaonwtroquûdrodft
« m i r n n r h o r t ^ i d o « u r w c u t r o
(^^*dode de madir superficie
Q u û l é e i c ^
0 Cado lodp do rnetro qucdrodo
Aiede ■ eenrifftf fce
to 900 ceMfiiiefiiA puodrod»
900 neeeudrio» ptn cc6r»r o metro »odrodo.
P Codo lodo do qviâmetfo
Quodrodo mode ■ metrot Quoitoe metrce quodfqd*
«do rMceuâno» poro cobnr
o quftàmetre quodrod^
m
Q Umo dree de I quitômefro
^lodrodo i iguoi o umo éreo
■ métros qiedrodos. 1 OÛOOOO mefree -• 1 quildmetrw q v o d r o d o e ( m * ) g u o d r o d o
t o o m m * ^ t c m *
100 cm* -• 1 dm'
r O û d m * - » t m ' l Û O O O O O m ' - i k m *
Ainda no estâgio 4, as crianças
apren-«ieni que o perimetro de uni poligono é a so
ma dos comprimentos dos lados do poligono
e sâo levadas a concluir que podem achar o
perimetro adieionando os comprimentos do.s
lados do poligono..
Inicia-se. tanibéni o ostudo do metro
quadrado e da idéia de area c o aluno
aprende a determiner a area do interior de
um poligono, contando o numéro de métros
quadrados que pode eobrir o interior dessc
poligono. .
1 0
RESOLUÇAO DE PROBLEMAS
Um dos mais importantes aspectos do
insino da Matemâtica o que nâo teni
mcre-CKlo tratamento adeiiuado é o
(io.scnvolvi-nient^o da habilidade de anali.sar
situacôes-• p r o b l e n i a .
f . h . " P o i a d o e m p a l a v r a . s
-enni.-)-^+ ' t ^'^t'onicndaçôos que nâo têm
ajuda para o aluno. Édos'in ' ^ dizer; "J^eia
cuida-com n 0 problema"; "Pense no que fazcr
dïL]d."r''^ a operaeiio". A
r o s o l u e n p e l o a l u n o n a
Wenia " ' '""''"'"'"'I'' Jiniilisar n
pro-quelx^remle'To""'' P''"»''»»'''-'-''
ta é -1 fU " difieuldade da
crian0 f a t " ^ ' p r o b l e
-capaz de reoLf gcralniento é
^ Q u e G n r n f p a l a v r a s .
é
q u e
0
a t ' i n i i a
-«« situacôes dll^°- interprciar
bais. 'fiitas polos probleiiias
ver-I*c| Soi* Il
o aluno précisa
do proeesso deeisâo na escolha
peoblenia e ^ ^ ^'ondiizira à resposta do
o u s e j a 1 d a s i t u a c â o
!'-™vo.viZ como um todo. O
lima das n
■■
^'^^"ipi'eensâo
consti-autores desse Preocupaçocs dos
[^^fatizar um -ny^ procura^
^ l'esoluç^ (1 gérai que se apliq"*^
" ^ '
■
l ' ^ n â o t i p o . s d e p r o b l e
-«cntem. Promn' ^ifieuldade (,ue
apre-(1) élabora!. seguintes
pas-descreve o r mateinâtiea
eoniputar yp/"®. "<> problema;
^^es matemâtiei«."To^^. ecrtas
eonvcn-final eni '"terpretar o
resul-^ Coïivém situaçâo original
'-f e levada a primeiro, a
crian-ica qun a sentença
mateina-■
^^0 "^^orridanom^*^ "»aPeira clara, a
situa-• " « n d o
criqâo t'cita pelo problema verbal. IJma vc/
obtida a sentença, o aluno encontrar-sc-â
no "niuiido nialemâtico", onde devera pro
curai* a soluçâo. Finalmente, retoniarâ ao
immdi) fisico para interprétai* a sua respos
ta eni termos da situaçâo original.
Construçâo da Sentença Matemâtica
lOm VAMOS APKriNDFR MATKMA-TK'A 4, nas liçôes relativas à resolueâo de
problomas, o aluno aprende como analisar
a situaçâo descrita e cscrever a' sentença matemâtica para dcscrever a
situaçao-pro-blema aprcscntada. Essa parte da liçâo é
intitulada SENTENÇA e nela o aluno é
Icvado a analisar a situaçâo, em vez do ser
apressadamente conduzido a fazcr a opera-çâo, que pode ou nâo sor apropiiatlanicntc c s c o l h i d a .
A s e n t e n ç a m a t e m â t i c a f u n c i o n a c o
mo rcgistro da maneira segundo a quai o aluno vê a situaçâo e pensa no problema.
Se a criança* nâo for capaz de analisar a situaçâo, sera va qualquer tentativa de
eonduzi-la à fase computacional.
Para conipreender a natureza de um
problema, o aluno deverâ, ser capaz de rcco-nhceei* o tipo de açâo que nele oeorre. Se um eonjunto se reûne a outre, a açâo é
adi-tiva. Outras vezes, p problema leva a pensai*
primeiro em um ûnico eonjunto, dele se re-tirando uma parte. Nessas situaçôes, tem
lugar uma açâo suhtraiiva. Em outras si tuaçôes, nô entanto, as açôes ocorridas sâo multipUcativas ou de divisào.
Situaçôes hâ em que os objetos nâo se "moveni" por si prôprios e sera necessario imaginai' a oeorrência de açôes de combi
n a i * o u s c p a r a r .
As açôes, reais ou iniaginârlas,
consti-tuem sempre importantes aspectos para
conipreender a situaçâo como um todo.
A orientaçâo do ensino de problemas
nesta série de livros baseia-se mima
distin-çâo Clara entre a' adistin-çâo descrita pelo proble
ma e o processo computacional cmpregado
para detci-minar a resposta, ou seja,
resol-vê-lo. P:ss{i distinçâo é importante porqiic oprocesso usado para resolvcr o problema
nom sempre é o processo sugcridô pela açao
cnvolvida na situaeâo-problenia.
t^onsideremos, por exemplo, o problema
seguinte:
Mario tinlia unia eolcçâo de 78 selos.
Dopois de ganhar
verificoii que possuia 105 seios. ij
tos selos Jlârio ganhou de dose.
A açâo claramentc «"g^"^''V"ïrcxige
blema é a de a'diçâo, mas sua soluç _
o cmprego da subtraçno. Na
hlcmas dessa natureza, a criança i
conheeer que ela conhecc o nmnerojle o ^
tos quc havia inicialniente i»
algun. objetos fc-om reunulos aos 78
tos inifiais, omboi-a ela nao saiba qu
sâo os objetos que se reumram
— X. Mas ele conhece o numeio
objetos — 105.
Assbu, para o problema
o aluno escrevera a sentença .8
para deserever o que realmente nele ocoriei.
Considerenios agora um ''"go
açâo é subtrativa, mas que exige o emp g
<la adiçâo para se chegar ao resultado.
Um comerciante tinha alguns
-para vender. Depois de vender 1 ,
rificou que ainda dispunha
Quantos discos ele possuîa inicialmente.
Ao analisar o segundo problema, o alu
no deverâ reconhecer que ele nao ^be q
tos objetos havia antes - Oonhece
mero de objetos que foram retirados
e conhecc ainda quantos objetos jestam
19. Assim, escrevera a sentença n 1 '
que reflete o que realmente aconteceii no pro
b l e m a .
Busca da Resposta
eidir^„,f ™ "P^^der a
dc-eidir que processo computacional usar para
eneontrar a resposta. Neste livro esta fase
a hçao e intitulada HESPOSTA
Em VAMOS APRENDER
MATEMA-aestazer a açao sugerida pelo problema
■
na. a;6s ~
f-n estazer a açao de reuf-nir ImatH
primeiro problema. é a subtnt^So 0 p7e^
ar, imagina que os 15 discos que foram rb
fiearat Z
„ "am. Essa açao de "desfazer" sugere aue
no segundo problema, seja usado 0 procès-'
a computacional de subtracâo para se che
gar a resposta.
TTpf'", APRENDER
JIATEIIA-murifln ' t ^ trabalhar no
"undo matematico, procurando-se leva-la a
desprcnder-se do nmndo fisico. Ela aplicarâ
ngoia as noçoes que adquiriu sobre a
pro-Pnedade eomutativa, a relaçâo entre os
di-~ ; , s r
■
■■
—
-. -. i T f / " ï r-. î " ' " r
spnfo»' 1 . ' podem derivar as
sentenças reJaeionadas 78 = 105 - r t
4-;™ = 7- = '".^-V8.Sabetambém
dica'' r . "" ™ ^ que Ihe
in-n ca diretamein-nte que ealculo fazer para
nchar o numéro que substitui a: _ 27 En
= " i o r e f " b 7 " ^ « + - =
' n m a s e n f e n ç a v c r d a d e i r a-do acimaTatr' ™'"° ° ncgun-do-sugeri- '
i-elaeionaias-a a-15-7 'i'"" '
« = 15 + 10 « •'''<10 « = 19 + 15'
que n = 19 J ~ Aprende ainila
tencas nnn
■
t ^ 19 sao as
sen-••^er feito nr,! T"' o ealculo a
substituir T tT' " 'P""
34 = 15 + iT 1 . 34 = 19 + 15 on
34 em _ 15 «"bstituindo a. po^* :
ça verdadeii-a obtorâ ûniu
seiiten-O b s e r v e n n o i
mente com n ^ Irabalhar
mateinatica-com OS nuniei ' ®
tipo de objeto m,' Pi'eoeiipar com o
numéros enm "®icamente se associa aos
9Ue ele esta trabalhanclo.
'"'-P-taçào da Resposta
tar à situa^Vr^^^^^*?^^' ®
posta em terme .^"^^^P^otando a
res-apresentada. Nn^ original nd''
sentado acima e) problema aprO'
mo 0 numéro' interpreter 27 co
de José, dizendo "t ganhou
l o s " . N o s e m i n 1 ^ 2 7 s e
-mero inicial 34 seria o
nû-possuia e o gi,, 9ue o eomerciaTitc
mereiante pos-sn'^ ^overd responder "0
co-Pnm ^"i<=mlmente 34 discos"
bomo vimn« .i
um proeesso e-râi neste livi'O
mas, um procn<i^ resoluçâo de
proble-diante de qualni) de procedd
eada liedo, Problema aritmético. Em
blema.' "m certo tipo do pi'O'
1 2
Com isso n«n .
recouheça um fi P^^tendemos que o alu*^''
sen tipo nem quV^T*"^^^ problema pel®
meeânica pai-g ^ siga uma rotina oU
que é e.ssencial é ^ problema. ^
lisar eada situaeân^'^ ^ otuno aprenda a
ana-c a lidar adeom / ^'fere uma da outrU;
'"^damente com toclas elas.
TÉCNICAS DE APRESENTAÇÀO
O método da descoberta vein reeebendo cada voz mais tnfa.sc atualmente porque
promovc eompreensâo creseente. Os autores
d a s é r i e V A M O S A P R E N D E R J I A T E M A
-TICA advogam o use aniplo dos métodos Indutivo e da descoberta. Acreditam que a
m e l b o r m a n e i r a d e l e v a i * o a l u n o a d e s c o -b r i r o s c o n c e i t o s m a t e m a t i c o s é :
• dosonvoiver esses conceitos pelo uso dc
m a t e r i a l e o n c r e t o e d e s e n b o s ;
• desenvolver os conceitos diretamente, seni
subterfugios, relaeionando-os a
experiên-cias significatives da vida cotidiana do alimo;
• introduzir os simbolos e outros aspectos
formais somcntc depois de terem siclo
inf o r m a l m e n t e d e s e n v o l v i d a s a s i d é i a s r e -presentadas por esses smibolos;
• desenvolver bons métodos dc estudo; • variai* os processos de ensino, para
ajiis-ta-Ios às difercnças individuais.
U s o d e D e s e n b o s e d e M a t e r i a l C o n c r e t o
A s i d é i a s m a t c m â t i c a s s â o a b s t r a t a s e
u m a d a s m u i o r e s d i fi e u l d a d e s n a s u a i n t r o
-diiçâo é toi*nâ-las signifieativas para as crian-ç a s . O s a u t o r e s d e VA M O S A P R E N D E R
MATEMATICA apresentam duas sugestocs para sc veneer esta dificuldade: 1) relacio-n a r s i s t e m a t i c a m e relacio-n t e a s i d é i a s m a t e m â t i c a s às cxperiêneias diârias da criança; 2) pi*o-porcionar muitas o variadas experiências que ajudem a criança a eompreendei* as
idéias matemâticas. Tais experiências
deve-râo incluir gravuras, ilustraçôes c material
concreto. A criança sera levada a deixar
gradualmentc o mundo fîsico para ingrcs-s a r n o n i u n d o d a M a t e n i â t i c a .
No livm do aluno, o desenbo de cada pagina foi planejado de modo a apresentar as idéias cm situaçôes signifieativas, com a
finalidadc de auxiliai* o professer a intro;
duzir a idéia e de ajudar o aluno a com-preendê-la. As figuras nâo sâo meras ilus traçôes, mas auxîlios visuais a serem usados pelo professer e pelo aluno. Podem ser
usa-das ainda como sugestôes para outras
ativi-dades que envolvam representaçôes no
fla-nelografo ou no quadro, sen'indo também
'como modelo para o uso de objetos que
pos-sam ser manipulados.
Introduçâo Direta das idéias
0 método dc apresentaçâo da matéria
usado neste livro caraeteriza-se pela intro
duçâo direta dos conceitos matematicos bâ-sicos.
Muitas vezes, no passadp, esses concei
tos eram diluidos cm atividades e métodos
indiretos, que conduziam a uni ensino
roti-neiro de fates. Os autores desta série acre
ditam que as idéias essenciais nâo devem
ser masearadas por jogos ou atividades
lûdi-eas empregadas como meios de apresentar
um coneeito; mais tarde, de forma
modera-da, tais atividades podem ser usadas para
desenvolver prâtica das noçôes o
habilida-des jâ adquiridas.
Uso do Simbolismo Matemitico
Os smibolos constitueni instrumentes
in-dispensâveis ao estudo da Matemâtica. Sâo
usados nos processos de computar e na
reso-luçâo de problèmes, conipondo as sentonças m a t e m â t i c a s .
Nesta série dc livres, a introduçâo de
um sîmbolo qualquer sô é feita (luando o alu
no jâ adquiriu alguma familiaridade com
a idéia por de traduzida e no estâgio
ade-quado a ele usar o simboIo aprcndido. A
introduçâo prematura de simbolos suja
sig-nifieaçâo nâo esteja suficientemente daru
para a criança pode interferir
negativamon-te na aprendizagem.
