i
Estudo numérico do escoamento
de fluidos newtonianos
num canal bidimensional com curvatura
João Pedro Caridade Lousinha
Dissertação do MIEM
Orientador na FEUP: Prof. Fernando Tavares de Pinho
Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
ii
iii
Resumo
Os escoamentos de fluidos newtonianos em curvas a 90º de secção circular e quadrangular foram estudadas no passado por via numérica e por via experimental, contudo a informação disponível na literatura clássica aborda sobretudo situações de regime turbulento, embora muitas aplicações industriais utilizem fluidos viscosos em regime laminar. O objectivo desta tese consiste precisamente em simular numericamente o escoamento laminar num canal com uma curva a 90º, com especial ênfase à determinação do respectivo coeficiente de perda de carga localizada, particularmente na vertente bidimensional, averiguando os efeitos do número de Reynolds e do raio de curvatura. Para este fim, recorreu-se a um código computacional barecorreu-seado na metedologia dos volumes finitos, que é propriedade do grupo de investigação onde decorreu este trabalho.
O coeficiente de perda de carga foi estudado para números de Reynolds, que variaram entre 0.01 e 100, assim como para raios de curvatura normalizados pelo diâmetro da conduta. Na análise de resultados, além de se comparar as previsões com resultados disponíveis na literatura, procurou-se separar os efeitos da curva propriamente dita e do desenvolvimento do escoamento a montante, e especialmente a jusante da mesma. Os cálculos numéricos foram realizados numa malha muito refinada para a geometria bidimensional; contudo, no caso tridimensional houve necessidade de utilizar malhas mais grosseiras, para que o tempo de cálculo não ficasse proibitivo.
Os resultados mostraram que o valor de perda de carga global, para todas as curvas, diminui quer com o aumento do número de Reynolds, quer com a redução do raio de curvatura. mais uma vez em diferentes condições de escoamento em regime laminar.
iv
Abstract
The flow of Newtonian fluids in 90 degrees curves with circular and quadrangular sections were studied in the past numerically and experimentally; nevertheless, the information available in the classical literature mainly addresses turbulent regime situations, even though a lot of industrial applications use viscous fluids in laminar regime. This thesis’ goal is precisely to simulate numerically the laminar flow in a channel with a 90º curve, emphasizing specially the determination of the loss coefficient of localized charge, particularly on a bi-dimensional slope, probing the effects of the Reynolds’ number and of the radius of the curve’s curvature. With this purpose, we resorted to a computational code based on the methodology of finite volumes, property of the research group that hosted this particular investigation.
The loss coefficient of pressure was studied for the range of the Reynolds’s numbers in a laminar regime in-between 0,01 and 100, as well as for radius of the curve’s curvature normalized by the conduct’s diameter. In the result’s analysis, besides comparing the predictions with the available results in the literature, we tried to separate the effects of the curve proper and of the development of the upstream flow and, specially, of the downstream flow. The numerical calculations were obtained through a very refined mesh for the bi-dimensional geometry; however, in the tri-bi-dimensional instance we had to resort to more gross meshes, in order to avoid a prohibitive time calculation
By interpreting all the results, we managed to conclude that the loss value of the global charge for all the different curves decreases both with the increase of the Reynold’s numbers and with the reduction of the curvature’s radius, once more under different conditions of flow in laminar regime.
v
AGRADECIMENTOS
A todos aqueles que de uma forma directa contribuíram para o desenvolvimento deste trabalho, o meu muito obrigado. Um agradecimento especial ao Professor Fernando Pinho por toda a colaboração, incentivo, disponibilidade e por vezes alguma benevolência, sem os quais seria impossível terminar este projecto. À minha família, pilar incondicional do meu percurso como homem e estudante, e que de uma forma omnipresente sempre contribuiu para o sucesso desta dissertação. Uma palavra de agradecimento à minha namorada, cujo conforto e apoio foram imprescindíveis nesta caminhada. Não posso deixar também de agradecer a todos os colegas, que de uma forma sempre prestável e solidária ajudaram na elaboração desta tese.
vi ÍNDICE DE CONTEÚDOS 1 – Introdução 1.1 - Nomenclatura______________________________________________________1 1.2 - Esquema representativo______________________________________________2 1.3 - Estado da arte______________________________________________________5 1.4 - Estrutura da tese____________________________________________________6
2 – Teoria / Equações governativas
2.1 - Escoamento viscoso / Fluido newtoniano________________________________8 2.2 - Movimento Browniano_____________________________________________10 2.3 - Escoamento ao longo de uma curva____________________________________11 2.4 - Separação________________________________________________________12 2.5 - Perdas___________________________________________________________13 2.6 - Equações governativas______________________________________________17 2.7 - Método numérico__________________________________________________18
3 - Apresentação do desenvolvimento do trabalho de projecto
3.1 - Constituição das malhas_____________________________________________21 3.2 - Metodologia utilizada_______________________________________________23
4 – Incertezas / Precisão do código
4.1 - Soluções analíticas_________________________________________________25 4.2 - Refinamento da malha______________________________________________ 26 4.3 - Ordem de convergência_____________________________________________ 26
vii
4.4 - Extrapolação Richardson____________________________________________ 27 4.4 - Erro associado____________________________________________________ 28 4.5 - Efeito da malha na precisão do código__________________________________29
5 – Apresentação e discussão de resultados
5.1 - Malhas bidimensionais______________________________________________30 5.2 - Malhas tridimensionais_____________________________________________ 44 6 - Conclusões_____________________________________________________________46 7 - Bibliografia_____________________________________________________________48 8 - Referências_____________________________________________________________49 9 - Anexos________________________________________________________________50
viii
NOMENCLATURA
Símbolos latinos
A = Área (m2)
a = Comprimento longitudinal característico (m)
D = Diâmetro da curva (m)
DH = Diâmetro hidráulico (m)
Dn = Número de Dean (-)
g = Aceleração da gravidade (m/s2)
H = Altura da conduta (m)
hp = Perda de carga em linha (-)
Leq = Comprimento equivalente (m)
Kn = Número de Knudsen (-)
Lent = Comprimento da conduta de entrada (m)
Lsai = Comprimento da conduta de saída (m)
Nx = Número de células computacionais na direcção x (-)
Ny = Número de células computacionais na direcção y (-)
Nz = Número de células computacionais na direcção z (-)
q = Ordem de convergência (-)
ix
R0 = Raio de curvatura da curva (m)
Re = Número de Reynolds (-)
Ux = Velocidade média na direcção x (m/s)
u = Velocidade axial (m/s)
V = velocidade do fluido (m/s)
Vy = Velocidade média na direcção y (m/s)
W = Largura da conduta (m)
Wz = Velocidade média na direcção z (m/s)
x,y,z = Coordenadas Cartesianas (-)
Símbolos Gregos
= Caminho livre médio (m) δ 0
= Ângulo ao centro da curva (º) δt = Avanço numérico no tempo (-)
∆P = Perda de carga (Pa) ε = Rugosidade (mm)
λ = Coeficiente de perda de carga por atrito/ unidade de comprimento relativo da curva (-)
µ = Viscosidade dinâmica (kg/(m*s))
ν = Viscosidade cinemática (m2
/s)
x
ξ M = Coeficiente de perda de carga localizada da curva (-)
ξ f = Coeficiente de perda de carga por atrito da curva (-)
ρ = Densidade relativa (kg/m3
) ζ = Tensão de corte do fluido (N/m2
1
1.INTRODUÇÃO
Um importante problema prático da Mecânica de fluidos, prende-se com o estudo do escoamento em condutas, e a forma como este varia com o caudal e com a geometria da mesma. Em quase todos os projectos de Engenharia, são encontrados sistemas de tubulações com os mais variados componentes adicionais, nomeadamente válvulas, derivadores, difusores, bifurcações assim como o acessório que é o objectivo deste trabalho, as curvas. A quantidade de informação disponível é maioritariamente de origem experimental, sendo pequeno o volume teórico, se desprezados efeitos importantes como a viscosidade e a compressibilidade. No entanto o grande desenvolvimento das ferramentas computacionais e dos computadores permite actualmente efectuar cálculos precisos e realistas, desde que os escoamentos decorram no regime laminar, pelo que a determinação numérica dos coeficientes de perda de carga é cada vez mais frequente em geometrias simples de caracterizar. Actualmente os cálculos em regime laminar são providos de um nível de precisão e confiabilidade acentuada, mas isso não invalida que possa ser necessário efectuar validação experimental. Neste trabalho, serão estudadas e pela via numérica, as características dinâmicas do escoamento laminar em curvas com particular ênfase na determinação do coeficiente de perda de carga localizada, usando para o efeito um programa de mecânica dos fluidos computacional baseado na metedologia dos volumes finitos. A geometria a estudar está tipificada na figura.1 que mostra esquematicamente uma curva a 90º. Estudar-se-ão essencialmente curvas bidimensionais, embora tenham sido realizadas simulações para curvas tridimensionais, assim como em condutas de secção quadrada. Uma curva colocada numa conduta ou num tubo, provoca sempre uma perda de pressão que é superior à perda por atrito simples numa conduta a direito com o mesmo comprimento, devido à separação do escoamento nas paredes bem como ao aparecimento de um escoamento secundário rotativo, consequência da aceleração centrífuga
2
Fig.1 – Esquema representativo da constituição do volume de controlo utilizado.
. Fruto da crescente necessidade de procura de novos materiais por parte de diversas indústrias, como por exemplo a da extracção e transformação de petróleo, geração de energia, alimentar, química, nuclear, refrigeração, construção naval entre outras, surgiram no mercado vários tipos de curvas, com as mais variadas formas, geometrias, materiais, métodos de produção, acabamento, etc. Existem curvas de secção circular, secção quadrada, secção rectangular e até mesmo geometrias mais complexas. No caso concreto em que estudamos curvas de secção rectangular e a variante simplificada de uma curva bidimensional, uma das grandes aplicações é a microfluidica, onde os escoamentos decorrem em sistemas cuja dimensão transversal é do valor de 1 a 50 µm, como se discute de seguida.
3
MICROFLUÍDICA
São sem dúvida ramos de investigação mais recentes, como a microfluídica e nano tecnologia que maior contributo tem dado para o desenvolvimento destes dispositivos com estas condições de escoamento (laminar). A Microfluídica é um ramo da engenharia que trata da manipulação de quantidades de fluidos muito pequenas (10-9 a 10-18 litros) através de canais, reservatórios, válvulas e bombas de dimensões microscópicas. As suas aplicações são principalmente nas áreas de análise e síntese química e biológica. Pode ser definida como a ciência e engenharia de sistemas na qual o comportamento dos fluidos difere da teoria tradicional devido às pequenas dimensões destes sistemas. A principal vantagem destes dispositivos está na contínua busca de novos efeitos, melhor desempenho e dimensionalidade. Estas vantagens são derivadas das quantidades microscópicas de fluidos que tais dispositivos podem manejar. Dispositivos microfluídicos podem ser utilizados para obter uma variedade de medidas, como por exemplo: pH, cinética de reacções, electroforese capilar, imunoensaios, citometria de fluxos, injecção de proteínas para analise através de espectrometria de massa, analise de DNA, manipulação de células, e muitas outras aplicações noutras áreas de aplicação.
A microfluídica teórica lida com a teoria de escoamento de fluidos e suspensões em sistemas de tamanho submilimétrico, influenciados por forças exteriores. Apesar de ser uma disciplina antiga da hidrodinâmica, foi o interesse científico e tecnológico no desenvolvimento da microfluídica que maior contributo acrescentou ao surgimento e desenvolvimento dos sistemas (lab-on-a-chip) assim como sistemas de micro tecnologias de fabricação de sistemas electromecânicos, cujo início remonta ao final da década de 80. O número de Reynolds típico neste tipo de sistemas é muito menor do que a unidade, devido à pequena escala de comprimento transversal, o que resulta num alto gradiente de velocidades.
Este campo científico é fundamentalmente guiado pelas aplicações tecnológicas, com o objectivo de desenvolver laboratórios bioquímicos na superfície de chips (silicone/polímeros). Nos últimos anos foram sobretudo os sistemas constituídos por
4
polímeros que mais se desenvolveram, contribuindo assim para a obtenção de sistemas mais baratos assim como ciclos de produção mais rápidos. Existem várias vantagens em diminuir as configurações padrão de laboratório por um factor de 1000, ou mais, desde uma escala decimétrica até uma escala de 100 µm. Uma vantagem óbvia é a dramática redução na quantidade da amostra necessária. A redução linear na ordem de 103 vai provocar uma redução de volume na ordem de 109, em vez de lidarmos com 1l ou 1ml, o lab-on-a-chip permite facilmente manipular quantidades de 1nl ou 1pl. Além disso, os pequenos volumes tornaram possível o desenvolvimento de sistemas compactos e portáteis, capazes de atenuar o bio manuseamento de produtos químicos assim como análise de sistemas.
Ao analisar as propriedades físicas dos micros sistemas, é útil introduzir o conceito de escala de leis. Uma lei de escala expressa a variação de grandezas físicas com o tamanho (l) do sistema ou objecto, enquanto mantém outras quantidades, assim como o tempo, pressão, temperatura, constantes. Esta lei de escala implica que quando é reduzida a escala dos chips (micro - escala) as forças de volume tornam-se insignificantes, ao contrário das forças nas superfícies que aumentam o seu significado físico, obrigando assim, a uma reconstrução da nossa intuição assim como estar preparado para algumas surpresas no caminho
Validação da hipótese de meio contínuo
O número de Knudsen é de grande utilidade na averiguação/validade da aplicação do modelo de meio contínuo. Se este é muito próximo ou superior a um, o caminho livre médio de uma molécula é comparado à escala de comprimento do problema, descartando assim a possibilidade de consideração de meio contínuo. Este mesmo número, adimensional, é calculado da seguinte forma:
5
Sendo = caminho livre médio e o L = escala de comprimento fisicamento representativo
1.1-.ESTADO DA ARTE
Thomson (1876), foi o primeiro a observar os significativos efeitos da curvatura, num escoamento de um canal aberto. Eustice (1876) observou as trajectórias de tinta, introduzidas num escoamento de água através de tubos de diferentes diâmetros. Dean (1927), foi o primeiro a estudar, usando uma perturbação técnica, o campo de escoamento secundário a partir do escoamento de Poisueille. Alguns dos seus mais famosos resultados incluem soluções para o fluxo secundário em tubos de curva. Segundo Dean, existe um escoamento secundário, na forma de um par de vórtices, que rodam em direcções opostas.
Resultados experimentais são apresentados por Cheng & Akiyama (1970), que publicaram uma análise numérica de fluxo laminar em canais curvos de secção quadrada e rectangular. A partir destes dados experimentais foram feitas correlações simples que permitem a extrapolação de dados para situações reais. Em escoamento laminar e utilizando fluidos que obedecem ao modelo de Ostwald de Waele, o procedimento analítico para obter o perfil de velocidade para fluidos não - Newtonianos é exactamente o mesmo que para fluidos Newtonianos, com excepção da especificação da tensão de cisalhamento na equação de quantidade de movimento. Sob as suposições de um escoamento laminar plenamente desenvolvido através de um tubo circular recto, substituindo o modelo de Ostwald-de Waele, na tensão de cisalhamento, obtemos o perfil de velocidade plenamente desenvolvido. O factor de atrito de Fanning (λ) é definido por Garcia & Steffe (1987), onde ∆P corresponde à queda de pressão observada em um comprimento a direito de um tubo; onde a velocidade média U é obtida a partir da integração do perfil de velocidade. Determinações experimentais de perda de carga em tubos circulares no escoamento laminar confirmam este pressuposto (Tung et al., 1978). Coeficientes de perda de carga de fluidos Newtonianos em regime laminar, também são apresentados por Kittredge & Rowley (1957). Como se constata, o
6
número de trabalhos sobre o assunto é reduzido, sendo algumas referências bastante antigas, dados experimentais para coeficientes de perda de carga foram obtidos utilizando válvulas e acessórios em aço carbono. À luz de tais considerações, o objectivo deste trabalho foi a determinação computacional de coeficientes de perda de carga de fluidos newtonianos, escoando em regime laminar em vários tipos de curvas. Acredita-se que o presente trabalho é de grande interesse prático para indústrias envolvidas com o processamento de fluidos, uma vez que os resultados obtidos contribuirão para optimizar projectos e processos, permitindo a utilização mais racional de recursos e materiais.
O presente trabalho está estruturado da seguinte forma, depois de apresentados todos os estudos e investigações relacionadas com o tema deste trabalho, inicia-se um capítulo dois, constituído pela análise de um escoamento ao longo de uma curva, do estudo das perdas associadas a esta abordagem, respectivas equações governativas assim como o método numérico utilizado. Depois de aprofundada e investigada toda a teoria relacionada com este estudo, iniciou-se um terceiro capítulo onde é apresentado a constituição de todas as malhas estudadas e todo o procedimento e metodologia seguida. Numa fase seguinte é abordada a incerteza associada ao grau de refinamento das malhas e a precisão do código desenvolvido. Depois de apresentados e discutidos todos os valores de perda de carga obtidos para todas as geometrias estudadas e diferentes condições de escoamento, foi possível tirar todas as conclusões inerentes a este estudo.
7
8
2.-TEORIA E EQUAÇÕES GOVERNATIVAS
Quando por exemplo um líquido flui numa canalização, parte da energia inicial dissipa-se sob a forma de calor, junto à parede dos tubos não há movimento do fluido, a velocidade eleva-se de zero até o seu valor máximo junto ao eixo do tubo. Pode-se assim imaginar uma série de camadas em movimento, com velocidades diferentes e responsáveis pela dissipação de energia. Quando o escoamento se faz em regime turbulento, a resistência é o efeito combinado das forças devidas à viscosidade e à inércia. Neste caso, a distribuição de velocidades na canalização depende da turbulência, maior ou menor, e esta é influenciada pelas condições das paredes. A experiência tem demonstrado que, enquanto no regime laminar a perda por resistência é uma função da primeira potência da velocidade, no movimento turbulento ela varia, aproximadamente, com a segunda potência da velocidade.
Na prática, as canalizações não são constituídas exclusivamente por tubos rectilíneos e nem sempre compreendem tubos de mesmo diâmetro, além de terem também peças especiais, tais como, curvas, reduções, derivações e afins, todas elas responsáveis por novas perdas. Devem ser então consideradas, dois tipos de perdas. As perdas por resistência ao longo da conduta, ocasionada pelo movimento da água na própria tubulação, admitem-se que essas perdas sejam uniformes em qualquer trecho de uma canalização de dimensões constantes, independentemente da posição da canalização; e as perdas locais, localizadas, provocadas pelas peças especiais e demais singularidades de uma instalação. Essas perdas são relativamente importantes no caso de canalizações curtas com peças especiais; nas canalizações longas, o seu valor frequentemente é desprezável, comparado ao da perda de carga pela resistência ao escoamento. As dificuldades que se apresentam ao estudo analítico da questão são tantas que levaram os pesquisadores às investigações experimentais. Assim foi que, após inúmeras experiências conduzidas por Darcy e outros investigadores, com tubos de secção circular, concluiu-se que a resistência ao escoamento da água é directamente proporcional ao comprimento da canalização; inversamente proporcional a uma potência do diâmetro; função de uma potência da velocidade e variável com a natureza das paredes dos tubos.
9
A teoria do escoamento viscoso, foi disponibilizada mas não explorada, depois de Navier (1785-1836) e Stokes (1819-1903) acrescentarem com sucesso os termos viscosos newtonianos às equações do movimento. Foi grande o contributo trazido por Prandtl, ao observar que escoamentos de fluidos de baixa viscosidade, como por exemplo água ou ar, podem ser divididos numa fina camada viscosa (camada limite), próxima das superfícies sólidas ou nas interfaces, e numa camada externa aproximadamente não - viscosa, na qual as equações de Euler e Bernoulli se podem aplicar. Definimos um fluido como uma classe de materiais que não suporta uma tensão de corte sem que se deforme continuamente. Estudaremos um modelo especial de fluido em que as tensões viscosas são proporcionais às taxas de deformação e ao coeficiente de viscosidade, (fig.2)
Fig.2 - Tensão de corte versus gradiente de velocidade (taxa de deformação).
Então, a tensão de corte aplicada pode ser representada na seguinte forma, (eq.1).
(1)
Existe um conceito de grande importância na análise de escoamentos, que define camada de velocidade igual a zero junto às paredes da conduta, (Fig.3).
10
Fig.3 - Perfis de velocidade em desenvolvimento numa conduta, (White, 1979).
A resistência é função das tensões tangenciais que promovem a transferência da quantidade de movimento. Tanto no regime laminar como no turbulento, além do fenómeno descrito acima, existe ainda perda de energia nos choques moleculares oriundos do movimento desordenado das partículas, conhecido por movimento Browniano, (Fig.4).
Fig.4- Demonstração do movimento Browniano (http://br.geocities.com).
O movimento Browniano é o movimento aleatório de partículas macroscópicas num fluido como consequência dos choques das moléculas do fluido nas partículas.
11
2.3 - ESCOAMENTO AO LONGO DE UMA CURVA
O objectivo deste estudo está relacionado com curvas e com as respectivas perdas, sempre maiores do que a perda em linha, consequência da separação do escoamento nas paredes, assim como do aparecimento de um escoamento secundário rotativo que surge da aceleração centrípeta. A perda de carga em linha, consequência do comprimento axial da curva, deve ser calculado separadamente, ou seja ao comprimento rectilíneo do tubo deve-se adicionar o comprimento da curva, (Fig.5).
Fig.5 - Comprimento característico de uma curva.
Sempre que o sentido do fluxo é mudado numa curva, a distribuição da velocidade através da tubulação é alterada. Um efeito centrífugo faz com que a velocidade máxima ocorra para a parte externa da curvatura, por sua vez, no interior da curva o fluxo é retardado ou invertido. Estabelecendo-se assim um fluxo secundário, segundo ângulos normais à secção transversal da tubulação, o que aumenta o gradiente da velocidade e consequentemente a tensão de corte junto da parede. A figura ilustra o padrão do escoamento (Fig.6).
12
Fig.6 - Escoamento ao longo de uma curva (Idelcik, 1971).
O movimento em espiral duplo produzido surge em consequência do encurvamento gradual numa passagem fechada de uma massa líquida. Durante o escoamento a força centrífuga gera um gradiente de pressão na direcção transversal/radial, nas partículas mais próximas das superfícies, a estabilidade é abalada, o que produz a redução da força centrífuga que actua sobre as partículas, resultando numa pressão menor. A estabilidade ocorrerá no escoamento ideal quando o gradiente de pressão for contra balanceado pelas forças centrífugas e centrípetas que actuam sobre as partículas. A energia no escoamento secundário é obtida pela energia disponível do fluido, que ficará indisponível sobre o corpo sólido.
A separação (Fig.7), é um fenómeno predominante do fluido quando escoa por condutas com curvas. As linhas de corrente de separação, dividem camadas de linhas de corrente principal dos redemoinhos, onde as velocidades são maiores e onde haverá grande tensão de corte. A separação tem grande influência no desempenho de certos sistemas, produzindo séria degradação da eficiência das máquinas.
13
Fig.7 - Escoamento sobre uma superfície curva com separação.(https://dspace.utl.pt/bitstream).
À uma certa altura, representada na figura pelo ponto D, em que o fluido junto à parede é levado a um estado de repouso. Este ponto é normalmente chamado de ponto de separação. A jusante desse ponto, as velocidades junto às paredes são negativas e o fluido descola das mesmas, a este fenómeno chama-se separação. Fenómeno este, que vai ser constatado e apresentado no capítulo 5. A separação só ocorre, quando existe um gradiente de pressões adverso, que vai provocar não só uma zona de recirculação, como também um consequente aumento da espessura da camada limite e da dissipação de energia. A separação pode ocorrer tanto em escoamentos laminares como turbulentos, contudo é mais fácil de ocorrer em regime laminar, uma vez que, o aumento da velocidade com a distância à parede e junto a ela é feito de uma forma mais gradual do que em regime turbulento.
2.5-PERDAS
A perda de carga está directamente relacionada com a turbulência que ocorre na conduta, posto isto é possível imaginar que, numa tubulação rectilínea, a perda de carga seja menor se comparada com uma tubulação semelhante, mas com uma série de peças especiais, tais como, curvas, cotovelos, etc. As peças especiais provocam perdas
14
localizadas pela maior turbulência na região da peça, pois alteram o paralelismo das linhas de corrente. Além da perda de carga por atrito, consequência do comprimento dos tubos, existem pois, outro tipo de perdas adicionais, chamadas localizadas. Estas surgem em consequência de perturbações provocadas pelas entradas e saídas dos tubos, contracções ou expansões nos mesmos, curvas, cotovelos, válvulas, etc. As perdas localizadas podem ter alguma relevância, contudo como o padrão de escoamento é bastante complexo, existe pouca teoria disponível, usualmente as perdas são medidas experimentalmente e correlacionadas com os parâmetros de escoamento em tubos.
Existem dois procedimentos básicos para o cálculo da perda de energia por atrito que ocorre nas curvas e noutros equipamentos na linha de processo, o primeiro denomina-se método do coeficiente de perda de carga localizada, o segundo, método do comprimento equivalente.
Experimentalmente observa-se que a perda de carga em regime turbulento tem uma relação linear com o termo da energia cinética, representado na figura, (Fig.8).
Fig.8 - Comportamento da perda de carga de um acessório em função do regime de escoamento.
15
Estas perdas, são medidas como a razão entra a perda através do dispositivo, e a altura de velocidade do sistema de tubos associados. O coeficiente de perda localizada pode ser representado da seguinte forma, (eq.2).
(2)
No regime laminar, como não há uma relação linear, a determinação do é mais complexa e necessita de constatação experimental a diferentes números de Reynolds. Foi necessário determinar o diâmetro hidráulico (eq.3), uma vez que a conduta em estudo é de secção não circular, para posteriormente calcular o número de Reynolds (eq.4) (3) (4)
Apesar de ser adimensional, existem poucas referências na literatura, de correlações com o número de Reynolds e com a rugosidade relativa, existem sim algumas para condições de escoamento turbulento.
É importante também referir, que é possível considerar um procedimento alternativo, que defende que a perda de carga por atrito é consequência de um comprimento equivalente Leq (comprimento do tubo que apresentaria perda de carga
igual à do acessório em questão), que satisfaz a equação de Darcy
16
A separação do escoamento nas paredes e o escoamento secundário rotativo, que surge da aceleração centrípta, induzem uma perda de carga por atrito, esta, fruto do comprimento axial da curva deve ser calculada separadamente, ou seja, tem que se somar o comprimento da curva ao comprimento rectilíneo da curva. O cálculo do factor de fricção (λ) foi efectuado da seguinte forma, (eq.8).
(6)
(7)
Com este valor calculado, a partir dos dados obtidos computacionalmente, foi possível calcular o coeficiente de perda de carga por atrito, (eq.10) ou fricção das curvas em estudo
(8)
(9)
Posto isto, foi calculado o valor de perda de carga global da curva, resultado da soma algébrica das duas componentes, (eq.11)
17
De seguida será apresentado um gráfico, (Fig.9) com valores de coeficientes de perda de carga localizadas para vários tipos de curva, encontrados na literatura, É de ressalvar, que a maioria destes dados foi obtida experimentalmente.
Fig.9 - Coeficientes de perda de carga localizada de várias curvas. (White,1979).
O número de Dean, número adimensional que dá a relação entre a força da viscosidade que actua sobre um fluído que flui por um tubo curvado, e a força centrífuga. É portanto igual ao número de Reynolds multiplicado pela raíz quadrada entre o raio da curva e o raio de curvatura da mesma, (eq.12).
( ) (11)
2.6
-
EQUAÇÕES GOVERNATIVASPara um fluido newtoniano com viscosidade e massa volúmica constantes, a equação diferencial da quantidade de movimento pode ser escrita da seguinte forma:
18
( ) (12)
( ) (13)
( ) (14)
As equações de Navier - Stokes, são equações parciais, não lineares de segunda ordem, com alguma complexidade, mas de grande utilidade. Terão contudo que ser conjugadas com a relação de continuidade incompressível, onde as variações de massa volúmica são desprezadas.
A equação diferencial parcial que envolve derivadas da massa volúmica e da velocidade é vulgarmente conhecida como equação da continuidade, comprovando a conservação da massa num volume infinitesimal.
(15)
2.7 - MÉTODO NUMÉRICO
Para a determinação da perda de carga localizada da curva, a partir do cálculo das equações de Navier-Stokes, foi utilizado um método númerico já comprovado e testado por Oliveira e Pinho (1997), onde foram comparados dados experimentais e numéricos. A resolução numérica das equações de Navier-stokes foi efectuada com o auxílio de um método numérico, o método dos volumes finitos, onde foram usadas células não - ortogonais. Os métodos de discretização e interpolação utilizados foram todos de segunda ordem de precisão. Para aproximar as primeiras derivadas dos termos
19
convectivos utilizou-se o esquema de montante linear (também designado por esquema de montante de segunda ordem), enquanto para os termos difusivos usou-se o esquema das diferenças centradas. Algumas características de cálculo e geração das malhas computacionais, foram particularmente testadas com variações de raio de curvatura e condições de escoamento diferentes. O refinamento da malha mostrou que o aumento da precisão só acontece com a diminuição do tamanho do volume de controlo (célula computacional), imediatamente antes e depois da curva em estudo.
O método de volumes finitos, ao contrário do das diferenças finitas, tem base física, como já foi referido, uma grande parte dos modelos matemáticos utilizados em Engenharia são baseados nos princípios de conservação. Estes princípios quando são expressos de uma forma matemática para uma região infinitesimal, obtém-se uma equação diferencial, que é a chamada equação de conservação da grandeza envolvida. Este método numérico, aplica a equação diferencial de conservação a subdomínios de uma determinada malha através da sua integração em cada volume. Os termos de transporte convectivo são os responsáveis pelas maiores dificuldades numéricas na solução de equações diferenciais parciais onde funções de interpolação devem ser aplicadas. Esta aproximação pode ser obtida de duas formas, na primeira forma é utilizado o balanço da propriedade conservada para cada um dos subdomínios, no segundo modo é a integração da equação de conservação, na forma conservativa, no volume do subdomínio. Considerando a equação da continuidade em duas dimensões espaciais, utilizando a geometria cartesiana, um subdomínio do domínio bidimensional da equação e onde está descrita a nomenclatura de determinados pontos dentro e à superfície deste subdomínio. O principal objectivo da aproximação discreta de uma equação de conservação, pelo método dos volumes finitos é dividir o domínio de cálculo em vários subdomínios, nos quais a lei física de conservação é verificada, com um certo grau de aproximação. A aproximação discreta é obtida pelos dois procedimentos, normalmente, e porque é mais fácil, obtêm-se a equação aproximada através da integração da equação de conservação na forma divergente. Contudo a equação discretizada já não é necessariamente uma expressão exacta para a conservação de massa no volume em questão. A introdução do erro de aproximação numérica é
20
consequência da aproximação destas grandezas utilizando os seus valores em pontos discretos da malha, num dado instante.
3.APRESENTAÇÃO DO DESENVOLVIMENTO DO TRABALHO DE PROJECTO
Numa primeira fase foi estudado o caso de um só bloco, correspondendo ao estudo de um típico exemplo de escoamento entre placas paralelas, (Fig.10) foram construídos gráficos de perfil de velocidade e comparados os resultados obtidos com os valores da teoria; em seguida uma expansão súbita 2D; um escoamento em torno de cilindro colocado no interior de um canal 2D, e por fim o estudo de uma curva L.
Fig.10 – Representação de um escoamento através de duas placas paralelas (http://www2.peq.coppe.ufrj.br/Pessoal/Professores/Arge/COQ862/
trabalhos/COQ862_2010_Thais.pdf)
Numa segunda fase, e com o objectivo de constatar de que forma é que o refinamento da malha contribua para um valor de perda de carga mais preciso, ou seja para uma menor do erro computacional, foram geradas 4 malhas (A.B.C.D), (Tab.1).
21
Tab.1 - Constituição das 4 malhas.
Malha Nº total de células computacionais
A 1540
B 6600
C 27652
D 112644
Será agora apresentado um esquema, referente à malha A, onde é possível observar as características dimensionais deste exemplo, assim como o número de blocos em que o volume de controlo foi dividido, e as respectivas constituições no que diz respeito ao número de células computacionais de cada bloco (x,y,z), (Fig.11).
22
Foram obtidos gráficos de perfis de velocidade, gráficos de variação de perda de carga ao longo de toda a conduta, gráficos de evolução de velocidades nas paredes e no centro da conduta e calculados os valor de perda de carga localizada das curvas.
Numa terceira fase foram geradas oito malhas, todas elas com parâmetros dimensionais iguais, excepto no valor do raio de curvatura dos oito exemplos. Assegurou-se o total desenvolvimento do escoamento, com comprimento da conduta de entrada como o da saída, igual a 3000mm, foi utilizado um valor de 200mm para o diâmetro de toda a instalação assim como valores de raio de curvatura das curvas, iguais a: 750, 500, 250, 200, 150, 100, 50, 25.
Foram efectuados cálculos computacionais para nove situações de escoamento distintas, com os seguintes valores de Reynolds: 100, 50, 10, 5, 2, 1, 0.5, 0.1, 0.01. Posteriormente foi calculado o valor da perda de carga, através dos valores de ∆P da curva, de todas as situações simuladas. O valor de pressão utilizado foi obtido a partir da extrapolação de duas rectas, aproximadas aos valores das zonas de escoamento desenvolvido (conduta de entrada e saída), interceptadas com o plano médio da curva. Além dos cálculos efectuados, verdadeiro objectivo deste estudo, foram também construídos vários gráficos de evolução não só do ∆P, como também de velocidades, nas paredes e no eixo da curva. Na interpretação desses mesmos gráficos foi possível identificar algumas zonas de refluxo ou descolamento do fluído junto das paredes. Por fim, foram geradas 5 malhas tridimensionais, (Tab.2).
Tab.2. Constituição das malhas tridimensionais.
Malha Nº de células da curva nas 3 direcções (x,y,z) Nº total de células computacionais Z1 7, 7, 7 6076 Z2 15, 15, 7 16380 Z3 15, 15, 15 35100 Z4 21, 21, 15 56700 Z5 31, 31, 15 102300
23
3.2- METODOLOGIA UTILIZADA
Se a conduta é não-circular, a análise do escoamento totalmente desenvolvido segue a análise do tubo circular. Uma vez que todo o estudo será feito em regime laminar, com Reynolds compreendido entre valores de 0.01 e 100, será suficiente a resolução das equações exactas da continuidade e da quantidade de movimento. No âmbito deste trabalho foi facultado diverso material computacional já existente e ferramentas numéricas, imprescindíveis para o estudo desta investigação. Um desses programas, foi o gerador de malha tridimensional MESH3d. Esta aplicação, depois de estudada, permitiu subdividir o volume de controlo em estudo, constituído por uma conduta de entrada, uma curva e uma conduta de saída, em blocos constituídos por células nas direcções x, y e z. Permitindo assim obter valores de velocidade e pressão em todas as células computacionais do volume de controlo em todos os pontos de interesse fulcral, no estudo do objectivo deste trabalho. As malhas geradas, foram visualizadas com o recurso a um programa comercial para pós-processamento, de nome Tecplot. Numa primeira abordagem o cálculo realizado foi 2D (plano x-y) (bidimensional), contudo em termos de geração de malha estas só se apresentam em forma 3D, este problema contornou-se com a aplicação de uma célula computacional na direcção z, com planos de simetria em bottom e top. As células geradas computacionalmente são hexaedros (6 faces), com o objectivo de reduzir ao máximo o erro numérico, estas não deveram ter tamanhos muito diferentes, nem muito compridas nem muito largas, assim como foi de evitar também, células em forma de charuto nas direcções em que houve cálculo. Foi também importante assegurar que a passagem de um bloco para o subsequente não apresentasse espessuras muito diferentes, isto porque variações bruscas nas dimensões das células, levam a um aumento da incerteza numérica. Antes de se escrever o mesh3d.dat foi planeado que tipos de malhas se pretendiam, domínio de cálculo, características dimensionais, número de células nas várias direcções, factores de compressão e de expansão, espaçamento, etc. Foram também fornecidos códigos para conversão para Tecplot, um código de cálculo de
24
escoamentos, e um código de pós-processamento. O ficheiro mesh3d.dat é criado a partir de um algoritmo, (que foi profundamente modificado) que ajudou a automatizar a geração de malha, respondendo assim às necessidades pretendidas. Trata-se de um programa para gerar o ficheiro de input do gerador de malha. Depois de familiarizado com o código na perspectiva do utilizador, foram simulados alguns casos propostos e não só, posteriormente tratados e comparados com soluções analíticas. Foram implementadas diversas geometrias com diferentes curvas, em condições de escoamento diferentes com o objectivo de obter o coeficiente de perda de carga. Foram garantidos comprimentos de entrada e saída suficientemente longos, assegurando assim uma região bem definida do escoamento desenvolvido. Com os valores de pressão e velocidade obtidos calculou-se não só ξ, como também se comparou os perfis de velocidade e o factor de fricção local com os valores da literatura.
4.1-OBTENÇÃO DE SOLUÇÔES ANALÍTICAS
O código criado, para a situação de escoamento bidimensional numa curva, permitiu automatizar o processo de geração de malha, com as seguintes variáveis constitutivas: comprimento da conduta de entrada; diâmetro da conduta; raio de curvatura da curva; comprimento da conduta de saída; nº de blocos na conduta de entrada, curva e saída, nº de células computacionais nas 3 direcções (x, y, z) de todos os blocos; assim como factores de compressão e expansão de todas as células. Foi possível definir o tipo de escoamento, os respectivos valores das componentes da velocidade (Ux,
Vy, Wz), a viscosidade, o intervalo de iteração, o critério de paragem do método computacional, condições de fronteira (entrada, saída, planos de simetria, paredes) e não só. Depois de assegurar a convergência do processo iterativo, foi possível recolher dados que foram posteriormente utilizados no cálculo do coeficiente de perda de carga da curva (Idelcik, 1971). A obtenção de perfis de velocidade parabólicos nas zonas de escoamento totalmente desenvolvido, tanto à entrada como à saída da conduta, e os
25
valores de pressão em todas as células do volume de controlo, permitiram confirmar a versatilidade, assertividade, e eficácia do código utilizado. A metodologia utilizada no cálculo do coeficiente de perda de carga chegou a resultados credíveis, quando comparados com a escassa literatura disponível.
Soluções analíticas, placas paralelas
Admite-se que as placas estão separadas por uma distância a, e que são consideradas infinitas na direcção z (perpendicular ao plano do papel), sem a variação de qualquer propriedade do fluido nessa mesma direcção. O volume de controlo diferencial utilizado, possui um volume dV=dx*dy*dz. Sabe-se também que a componente Ux da velocidade, deve ser zero tanto na placa superior como na inferior, consequência da condição de não - escorregamento nas paredes, (Fox, 1998). Para que ocorra este escoamento é necessário que exista uma diferença de pressão entre os pontos inicial e final do escoamento. Assim, o aparecimento de uma camada - limite implica numa aceleração da velocidade na região central da conduta, esta é a forma do escoamento obedecer a lei da conservação da massa.
Para o escoamento incompressível, a conservação da massa exige que a velocidade na linha de centro do tubo aumente com a distância em relação à entrada. A velocidade média, em qualquer secção do trajecto deve ser igual à velocidade de entrada. Para realizar as simulações, foi calculado o comprimento de entrada, ou seja, a distância a partir da qual o escoamento fica completamente desenvolvido e onde o perfil de velocidades não muda mais na direcção x. É nessa região que deve entrar o perfil de velocidades que será comparado com a solução analítica.
Primeiramente, é necessário verificar se o número de Reynolds é = 2000, caracterizando um escoamento laminar. Para o escoamento laminar, o comprimento de
26
entrada, (Le), é função do número de Reynolds, obedecendo à expressão apresentada por Fox (1998), (eq.16).
(16) A velocidade máxima do escoamento é encontrada em , com . O valor de é obtido através do gráfico de pressão ao longo da direcção do escoamento, como este apresenta um comportamento praticamente linear, esse valor corresponde ao próprio declive da recta.
4.2- REFINAMENTO DA MALHA
Em consequência da literatura inexistente, no que se refere a soluções analíticas para um escoamento numa curva, efectuaram-se cálculos em malhas progressivamente mais refinadas e estimou-se um valor “correcto” pelo método extrapolação de Richardson. Depois de determinado este valor, foi comparado com os demais valores calculados com as diferentes malhas. Vão ser apresentados no capítulo seguinte, resultados que quantificam a incerteza numérica e a variação da incerteza com o grau de refinamento da malha. Sejam as soluções computacionais B, C e D, referentes às malhas B, C e D respectivamente.
4.3- ORDEM DE CONVERGÊNCIA
A ordem de convergência q das soluçõesnuméricas com o nível de refinamento da malha estima-se por (Ferziger e Peric, 1996), foi calculado da seguinte forma:
(
)
27
Sendo n a dimensão característica da malha mais refinada, D. A incerteza associado a esta solução pode estimar-se por:
(18)
4.4- EXTRAPOLAÇÂO DE RICHARDSON
Face à ordem de convergência verificada, os valores de incerteza apresentados neste trabalho referem-se simplesmente à diferença entre o valor obtido pela técnica de extrapolação de Richardson (Fig.12) e o valor produzido pela mais refinada das malhas usadas na simulação deste escoamento.
(19) a (20)
c (21)
b
Fig.12- Demonstração da extrapolação de Richardson.
Vai ser demonstrada a aplicação do método para a situação de Re=10, com ζ 1 = 8.8304,
ζ 2 =8.1218 e ζ 3 =8.094.
28
(22)
(23)
(24)
4.5- ERRO ASSOCIADO
O cálculo do erro associado foi realizado da seguinte forma:
(25)
(26)
Ainda em relação à estrutura de malha usada, refira-se a dificuldade verificada em se estimar o avanço numérico no tempo (δt) capaz de proporcionar um processo de cálculo convergente. Uma relação minimamente óbvia entre uma dimensão característica do escoamento e esse parâmetro numérico δt, tudo o resto igual, não foi encontrada. Isto sugere uma dependência de factores geométricos inerentes à estrutura da malha computacional. Verifica-se assim que o cálculo se revela dependente da malha. A
29
adequação do código a malhas não estruturadas surge assim de especial interesse na resolução de escoamentos com fronteiras claramente definidas.
4.6- MALHAS E SEU EFEITO NA PRECISÃO DO CÓDIGO
Pretende-se neste capítulo avaliar o nível de incerteza do cálculo em função do grau de refinamento da malha com base em simulações de situações limite para as quais são conhecidas soluções teóricas e numéricas de referência. O objectivo desta tese não passa por desenvolver soluções de referência do escoamento 3D ao longo de uma curva de 90º. Tal seria praticamente impossível no tempo limitado disponível à concretização deste trabalho. Pretende-se antes tipificar correlações físicas entre parâmetros geométricos e dinâmicos do escoamento. Em consequência, a quantificação precisa da incerteza associada a resultados específicos não é de grande relevância; note-se a inexistência na literatura de soluções para este tipo de escoamento padrão a três dimensões no que respeita aos aspectos estudados. Contudo, a pertinência de caracterizar o nível de confiança nos resultados produzidos é inquestionável. A capacidade preditiva do código numérico usado nesta tese, no estudo deste e de outros tipos de escoamentos 2D, revelou-se muito assertiva, contudo, neste estudo em particular as malhas 3D usadas são manifestamente grosseiras do ponto de vista bidimensional (projecção sobre o plano z=0). O objectivo deste capítulo é assim o de definir o nível de confiança quanto ao número e distribuição das células da malha no plano da secção da conduta, e verificar a adequação desse número à caracterização de escoamentos estacionários em canais curvos para diferentes geometrias. A aferição do grau de confiabilidade é aqui realizada pela comparação de resultados numéricos com os que decorrem da solução analítica, pela comparação de soluções bidimensionais em malhas refinadas com soluções 3D geradas. O refinamento das malhas, contribuiu significativamente para a precisão do código utilizado, como comprovam os valores de incerteza calculados, foi também constatado que maiores números de Reynolds, ou seja velocidades superiores, originam menores erros. Foi a situação de compromisso entre a
30
velocidade de iteração, convergência e incerteza/erro associado que regulou todo o processo prático.
5. - APRESENTAÇÃO E DISCUSSÃO DE RESULTADOS
Numa primeira fase, como já foi referido, foi estudado o efeito do refinamento da malha, nos valores de perda de carga obtidos algebricamente. Para tal, foram geradas 4 malhas com as características expressas na seguinte tabela, (Tab.3). É importante também referir que estas malhas são constituídas por dois blocos exactamente iguais na conduta de entrada, 4 na curva e 2 na conduta de saída. Em todos estes quatro exemplos foi considerado um comprimento de entrada igual a 1 m, e o de saída igual a 3 m, assim como um diâmetro de conduta igual a 200 mm e um raio de curvatura igual a 250 mm. O comprimento de entrada foi suficientemente longo para que do ponto de vista do desenvolvimento do escoamento (totalmente desenvolvido), se tenha obtido um perfil de velocidades parabólico, comprovando assim este pressuposto.
Tab.3- Número de células nas duas direcções (Nx,Ny), em todos os blocos.
Conduta entrada Curva Conduta saida
N x N y N x N y N x N y Nº total de células computacionais Malha A 24 7 7 7 7 72 1540 Malha B 48 15 15 15 15 144 6660 Malha C 96 31 31 31 31 288 27652 Malha D 192 63 63 63 63 576 112644
Depois de geradas as 4 malhas e escolhidos os 3 valores de Reynolds para o escoamento e os respectivos valores de velocidade média (0.025 m/s; 0.125 m/s; 0.25 m/s), deu-se início à recolha dos dados de simulação ou computacionais e posterior tratamento dos
31
mesmos, com o objectivo de calcular a perda de carga da curva em questão. É importante também salientar que foram os valores de velocidade média, assim como os valores de pressão (resultado da extrapolação e intercepção com o plano médio da curva), (Tab.4) que foram utilizados para o cálculo do nosso objectivo de estudo.
Tab.4- Valores obtidos para as 3 malhas.
∆ Pressão * = Valor extrapolado e interceptado com o plano médio da curva
ε = Erro associado à medição do coeficiente de perda de carga relacionado com o refinamento
da malha
Nº células Nº Reynolds ∆ Pressão * ζ curva Erro (ε) Incerteza
Malha B 6660 10 0.6129 8.8304 8.84% 8.1138
Malha C 27652 10 0.3928 8.1218 0.10% 8.1127
Malha D 112644 10 0.3878 8.094 0.23% 8.0837
Nº células Nº Reynolds ∆ Pressão * ζ curva Erro (ε) Incerteza
Malha B 6660 50 4.8506 2.9803 10.55% 1.8397
Malha C 27652 50 3.213 2.6944 0.06% 1.8394
Malha D 112644 50 3.0789 2.6868 0.34% 1.8277
Nº células Nº Reynolds ∆ Pressão * ζ curva Erro (ε) Incerteza
Malha B 6660 100 14.0021 2.1989 17.39% 1.8735
Malha C 27652 100 10.9355 1.8648 0.44% 1.8733
32
Fig.13- Esquema representativo do procedimento de obtenção do ∆P perdas loc.
Como já foi referido anteriormente, o cálculo do ξM foi efectuado da seguinte forma:
(27)
Contudo, existia também um outro processo alternativo, (eq.28) para a determinação de ξM:
33 ̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅ (28)
A partir da análise dos dados obtidos, foi possível observar que foi com número Reynolds igual a 10, que foram obtidas maiores diferenças do valor de perda de carga,
entre a malha com menos e a malha com mais células computacionais. Todos os valores de perda de carga calculados, diminuíram com o aumento de Reynolds, aliás como era expectável e constatável na literatura existente. Através dos resultados, é bem visível o efeito do refinamento da malha, nos valores obtidos experimentalmente. Todos os valores de ∆P, retirados e posteriormente tratados, para os três números de Reynolds estudados, diminuíram ligeiramente, com aumento do número de células totais de cada malha. A queda de pressão provocada pela introdução da curva no escoamento é expressa no gráfico abaixo (Fig.14), em função do comprimento de toda a instalação. Ao fim de um metro, correspondente ao comprimento de entrada, foi constatável em todos os gráficos realizados, um queda abrupta de pressão consequência da mudança de direcção do escoamento assim como a todo o processo de adaptação do fluído as paredes da curva.
Fig.14- Queda de pressão ao longo da malha C (27652 células) com Re=10. -5,0 -4,5 -4,0 -3,5 -3,0 -2,5 -2,0 -1,5 -1,0 0 1 2 3 4 5 Pr essão
34
Construíram-se para todos os 4 exemplos, gráficos da velocidade junto às paredes de toda a instalação, com o objectivo de ver a evolução da mesma em cada ponto de interesse para o meu estudo. De seguida é apresentado um gráfico com a evolução dos perfis de velocidade retirados em vários pontos da conduta de entrada, (fig.19) e de saída da malha C (Fig.15), com Re = 50. É bem visível a evolução de um perfil não desenvolvido, referente à entrada da conduta, até uma situação de escoamento completamente desenvolvido (identificado pelo perfil de velocidades parabólico), até uma situação final de distorção do próprio perfil (vermelho), antevendo o início da curva.
Fig.15- Evolução dos perfis de velocidade da malha C na conduta de entrada. 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 -1 -0,8 -0,7 -0,6 -0,5 -0,3 -0,2 -0,1 0,1 0,2 0,3 0,5 0,6 0,7 0,8 1 ux ( m/s ) y' Evolução dos perfis de velocidade
na conduta de entrada
35
Fig.16- Evolução dos perfis de velocidade na conduta de saída da malha C.
De seguida serão apresentados gráficos da evolução do valor de velocidade junto à parede superior e inferior das condutas de entrada, da malha A (1540 células), com um número de Reynolds = 10 (Fig.17/18). Os valores de velocidade obtidos, correspondem ao valor das células computacionais mais próximas das paredes, e estes são, logicamente função do grau de refinamento das malhas. É possível observar que na conduta de entrada (parede inferior), a velocidade decresce ao longo da conduta até um ponto, (antecedendo o inicio da curva) em que a velocidade aumenta; logo a seguir ao fim da curva (parede inferior), é observável uma queda de velocidade abrupta, seguida de um aumento significativo até uma situação de valor constante.
0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 -1 -0,8 -0,7 -0,6 -0,5 -0,3 -0,2 -0,1 0,1 0,2 0,3 0,5 0,6 0,7 0,8 1,0 vy ( m / s ) y' Evolução dos perfis de velocidade
36
Fig.17- Evolução da velocidade junto à parede inferior na conduta de entrada.
Fig.18- Evolução da velocidade junto à parede inferior na conduta de saída.
Serão agora apresentados os mesmos gráficos, só que desta vez referentes à parede superior, da conduta de entrada e de saída, (fig.19/20). Neste caso a velocidade na conduta de entrada vai decrescendo gradualmente até o início da curva, o comportamento da velocidade na conduta de saída é contrário ao que foi descrito na
0,010 0,012 0,014 0,016 0,018 0,020 0,022 0,024 0,026 -1, 0 -0, 9 -0, 9 -0, 9 -0, 8 -0, 8 -0, 7 -0, 7 -0, 7 -0, 6 -0, 6 -0, 5 -0, 5 -0, 4 -0, 4 -0, 4 -0, 3 -0, 3 -0, 2 -0, 2 -0, 2 -0, 1 -0, 1 0, 0 Ux ( m /s)
Comprimento conduta de entrada
Parede inferior / conduta de entrada
0,008 0,008 0,009 0,009 0,010 0,010 0,011 0, 0 -0, 1 -0, 3 -0, 4 -0, 5 -0, 6 -0, 8 -0, 9 -1, 0 -1, 1 -1, 3 -1, 4 -1, 5 -1, 6 -1, 8 -1, 9 -2, 0 -2, 1 -2, 3 -2, 4 -2, 5 -2, 6 -2, 8 -2, 9 Vy (m /s)
Comprimento conduta saída
37
parede inferior, ou seja depois de um pequeno aumento de velocidade logo apôs o fim da curva, verifica-se uma redução abrupta do valor de velocidade até uma situação de valor constante.
Fig.19- Evolução das velocidades na parede superior, da conduta de entrada.
Fig.20- Evolução das velocidades na parede superior, da conduta de saída.
Numa segunda fase foi construído um volume de controlo com condutas de entrada e saída iguais a 3 metros, com um diâmetro das mesmas, igual a 200mm. Foram
0,003 0,008 0,013 0,018 0,023 0,028 -1, 0 -0, 9 -0, 9 -0, 9 -0, 8 -0, 8 -0, 7 -0, 7 -0, 7 -0, 6 -0, 6 -0, 5 -0, 5 -0, 4 -0, 4 -0, 4 -0, 3 -0, 3 -0, 2 -0, 2 -0, 2 -0, 1 -0, 1 0, 0 Ux (m /s)
Comprimento conduta de entrada Parede superior / conduta de entrada
0,010 0,011 0,011 0,012 0,012 0,013 0,013 0,014 0,014 0,015 0, 0 -0, 2 -0, 3 -0, 4 -0, 6 -0, 7 -0, 9 -1, 0 -1, 2 -1, 3 -1, 5 -1, 6 -1, 8 -1, 9 -2, 1 -2, 2 -2, 3 -2, 5 -2, 6 -2, 8 -2, 9 Vy ( m /s)
Comprimento conduta de saída Parede superior / conduta de saída
38
testados raios de curvatura iguais a 750, 500, 250, 200, 150, 100, 50 e 25mm e a influência de vários números de Reynolds (0.01, 0.1, 0.5, 1, 2, 5, 10, 50 e 100) no cálculo da perda de carga das oito curvas. A fim de facilitar cálculos e estudos, foi introduzida uma noção de comprimento equivalente. As perdas de carga em linha e localizadas são convertidas para um Leq, com o mesmo valor de perda de carga.
Os valores de pressão utilizados foram obtidos da seguinte forma; para o cálculo do ζM escolheram-se duas zonas de escoamento totalmente desenvolvido na conduta de entrada e na de saída, onde foram aproximadas duas rectas, da extrapolação destas duas rectas com o valor do plano médio da curva foi obtido o ∆P loc. Para o cálculo de ζf (Fig.21),a metodologia foi diferente, o valor de ∆P utilizado correspondia ao declive da recta aproximada na conduta de entrada, numa zona totalmente desenvolvida.
39
Todos os valores de velocidade e pressão retirados das simulações, assim como os valores calculados de perda de carga das curvas estão apresentados nos anexos, com a excepção da malha H, apresentada na seguinte tabela, (Tab.5).
Tab.5- Valores calculados para a malha H (17732 células) em função de Re.
Nº células Diâmetro R curvatura Rey ∆ Pressão loc ∆P (cálculo de λ) ζ Curva ζ =λ*L/D
Malha H 17732 200 150 0.01 0.0000057 0.0005 21410.4302 3200 Malha H 17732 200 150 0.1 0.00115 0.0055 2389.9409 352 Malha H 17732 200 150 0.5 0.0053 0.0274 475.7008 70.144 Malha H 17732 200 150 1 0.0108 0.0549 238.3422 35.136 Malha H 17732 200 150 2 0.0212 0.1100 119.353 17.6 Malha H 17732 200 150 5 0.0434 0.2752 47.6526 7.0451 Malha H 17732 200 150 10 0.0465 0.5499 23.6759 3.5194 Malha H 17732 200 150 50 1.8809 2.8620 5.1387 0.7327 Malha H 17732 200 150 100 10.546 6.7147 3.2103 0.4297
Numa primeira observação dos valores obtidos, foi possível dizer que o aumento do Nº de Reynolds provoca sempre uma diminuição do valor de ξ, em consequência da forma como a dimensionalização foi feita, por outro lado podemos dizer que o valor do coeficiente de perda de carga varia inversamente com o valor de velocidade média do escoamento. Quanto maiores são os raios de curvatura, menores são as diferenças entre os valores de ξ calculados pelos dois métodos, o que é compreensível, uma vez que, quanto mais lenta e suave é a mudança de direcção (maiores raios de curvatura), mais tempo tem o fluído de se adaptar as mudanças geométricas, aproximando - se muito mais da hipótese de que a perda de carga, pode ser considerada apenas pelo valor de
40
perda em linha. Logicamente quanto maiores os números de Reynolds, maiores as velocidades à entrada da curva, assim como valores superiores de variação de pressão das curvas. Depois de calculados os valores de ξ, foi possível perceber que para valores de Reynolds inferiores a 0.1, não há alteração significativa do valor de perda de carga, isto mesmo foi testado com Re = 0.01. O mesmo aconteceu com raios de curvatura superiores a 500mm, os cálculos efectuados demonstraram que a partir deste raio não há alteração significativa do valor de perda. No seguinte gráfico, (Fig.22) são comparados os valores obtidos para os 6 raios de curvatura em função dos números de Reynolds estudados.
Fig.22- Coeficiente de perda de carga localizada das curvas estudadas
Vamos analisar com mais detalhe e cuidado a malha H, que tem um raio de curvatura igual a 150 mm e um número total de células computacionais igual a 17732, (Tab.6).
1 10 100 1000 10000 100000 0 20 40 60 80 100 ζ c u rv a Re R curvatura=500mm R curvatura=200mm R curvatura=150mm R curvatura=100mm R curvatura=50mm R curvatura=25mm
41
Tab.6- Valores calculados para a malha H (17732 células) em função de Re.
Nº células Nº Reynolds ζ curva (total) Desvio Padrão ζ =λ*L/D Malha H 17732 0.01 3105.0594 1397.15 1032.2802 Malha H 17732 0.1 310.7596 124.18 103.3124 Malha H 17732 0.5 62.3962 15.51 20.7437 Malha H 17732 1 31.374 7.72 10.4303 Malha H 17732 2 15.9256 4.59 5.2945 Malha H 17732 5 6.7476 1.50 2.2432 Malha H 17732 10 3.7393 1.17 1.2433 Malha H 17732 50 1.4045 0.48 0.467 Malha H 17732 100 0.4393 ---- 0.0955
De seguida serão apresentados gráficos (fig.23/24) referentes à malha H, da evolução das componentes da velocidade, em x e em y na curva em questão, assim como um pequeno esquema demonstrativo das zonas onde foram retirados estes mesmos perfis de velocidade
42
Fig.23- Evolução dos perfis de velocidade (Ux) em 4 posições consequentes da curva.
Fig.24- Evolução dos perfis de velocidade (Vy) em 4 posições consequentes da curva.
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 -1,0 -0,8 -0,7 -0,6 -0,5 -0,3 -0,2 -0,1 0,1 0,2 0,3 0,5 0,6 0,7 0,8 1,0 U'x ( m/ s ) 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 -1,0 -0,8 -0,7 -0,6 -0,5 -0,3 -0,2 -0,1 0,1 0,2 0,3 0,5 0,6 0,7 0,8 1,0 Vy ( m/ s ) 1 2 3 4 1 2 3 4
43
Sendo os dois gráficos apresentados em cima, valores das componentes de velocidade (Ux,Vy), vamos calcular a norma da velocidade da seguinte forma √ , e apresentar a evolução do perfil de velocidade da mesma ao longo da curva, (Fig.25)
Fig.25 – Evolução do perfil de velocidades (total) ao longo da curva.
Serão de seguida apresentados dois gráficos, das duas componentes da velocidade num escoamento bidimensional com curvatura, cujo raio é igual 50mm e Re = 100, (Fig.26). Neste mesmo exemplo é possível identificar zonas onde existe recirculação, ou seja valores de velocidade com sinais opostos na parede inferior da curva, comprovando assim os pressupostos apresentados na introdução.
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 -1 -0,8 -0,7 -0,6 -0,5 -0,3 -0,2 -0,1 0,1 0,2 0,3 0,5 0,6 0,7 0,8 1 Vto ta l ( m/ s ) 1 2 3 4
44
Fig.26- Componentes da velocidade (Vy) numa malha com Rcurvatura=50 e Re=100.
Fig.27- Componentes da velocidade (Ux) numa malha com Rcurvatura=50 e Re=10.
Numa fase final foi efectuado o mesmo estudo, mas considerando o volume de controlo tridimensional, ou seja com células na direcção z, superior ao valor unitário. As
-0,1 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1,1 -1,0 -0,8 -0,7 -0,6 -0,5 -0,3 -0,2 -0,1 0,1 0,2 0,3 0,5 0,6 0,7 0,8 1,0 Vy ( m/ s ) -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 -1 -0,8 -0,7 -0,6 -0,5 -0,3 -0,2 -0,1 0,1 0,2 0,3 0,5 0,6 0,7 0,8 1 Ux ( m/ s )
