RECORTE DE ESTOQUE UNIDIMENSIONAL

Texto

(1)u-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------o 1 RECORTE DE ESTOQUE UNIDIMENSIONAL 1 m-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. Engenheiro Vinicius Arcaro Orientador: Doutor Marcos Arenales julho 1988. 1.

(2) ~. ^. ’. Dissertacao apresentada ao Instituto de Ciencias Matematicas. de. ~. Sao. ’. Carlos,. da. Universidade. de. ~. Sao. Paulo,. como. parte. dos. ~ ’ ^ requisitos para a obtencao do titulo de Mestre em Ciencias de ’ ~ ’ Computacao e Matematica Computacional. ’. 2.

(3) RESUMO Uma. grande. variedade. de. materiais. ~. sao. manufaturados. em. grandes unidades por processos nos quais o tamanho da unidade de. ~. ’. ’. producao e restrito pela natureza da maquina utilizada. O problema. ’. ’ ~ das unidades de producao em pecas dos tamanhos encomendadas pelos ’ ’ de recorte de estoque e o de formular um esquema para o recorte clientes.. ~. Este estudo descreve modificacoes para o modelo de recorte de estoque. de. Gilmore-Gomory. ’. que. melhoram. as. ’. caracteristicas. das. ~ ~ ~ solucoes geradas. Mudancas sao propostas para as restricoes como ’’ ’ ’ ~ ’ ~ tambem para a funcao objetivo. O ponto principal e que maximizacao ’ ’ ’ ~ ’ do lucro, ao inves de minimizacao da perda percentual, e a real ’ ’. meta que deve ser perseguida. Um conjunto de problemas exemplo e. ~. resolvido e tempos computacionais sao fornecidos.. ABSTRACT A wide variety of processes. in. which. materials. the. size. are. of. manufactured. the. unit. of. in. bulk. by. production. is. constrained by the nature of the machinery being used. The cutting stock problem is that of formulating a scheme for the cutting of the. production. units. into. pieces. of. the. sizes. ordered. by. customers. This cutting. study. stock. solutions. describes. model. being. that. modifications improve. generated.. the. Changes. to. the. Gilmore-Gomory. characteristics are. proposed. of for. the the. constraints as well as for the objective function. The major point is. that. profit. maximization,. rather. than. percentage. waste. minimization, is the real goal that should be persued. A set of sample problems is solved and computational times are provided.. 3.

(4) ’ CONTEUDO 1 - RECORTE DE ESTOQUE. ~ introducao, 6 ’ ~ ’ ~ inspecao dos metodos para a solucao, 7 ’ ’ ~ classificacao dos problemas, 8 ’~ ’ classificacao dos metodos, 9 ’. 6. 2 - RECORTE DE ESTOQUE UNIDIMENSIONAL. 11. 3 - ALGORITMO SIMPLEX. 14. 4 - O PROBLEMA DA MOCHILA. 27. ’ reconhecimento historico, 11. ~ ~ reflexoes sobre a implementacao em computador, 14 ’ ~ programacao linear, 16 ’ ~ introducao, 27 ’ algoritmo, 28. ~. 5 - RECORTE DE ESTOQUE PELA PROGRAMACAO LINEAR. ’. ~ introducao, 33 ’. 33. o sistema de precos, 33. ’ ~ ’~ ’ formulacao como um problema de prog. fracionaria linear, 41 ’ formulacao como um problema de prog. linear, 34. ~. 6 - EXEMPLOS E CONCLUSAO. 45. ~ introducao, 45 ’ dados, 46. resultados, 49. ~. conclusao, 51. ^. ’. 7 - REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS. 53. 4.

(5) ~ NOTACAO ’ ’. ~. Em qualquer capitulo, escalares sao representados por letras. ~. ’. gregas, vetores sao representados por letras minusculas e matrizes. ~. ’. ’. sao representadas por letras maiusculas. Um vetor e sempre uma matriz coluna. [ a ] denota o maior inteiro menor ou igual a a.. 5.

(6) u----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------o 1 RECORTE DE ESTOQUE 1 m----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------.. ~ INTRODUCAO ’ Uma. grande. variedade. de. materiais. ~. sao. manufaturados. em. ~ ~ grandes unidades ( unidades de producao ) que serao recortadas ’ posteriormente em pedacos dos tamanhos encomendados pelos ’ clientes. Esta. ’. estrategia. de produzir grandes pedacos e depois ’~ ’ ^ recorta-los, e consequencia da necessidade de producao em massa, e ’ ~ ~ geralmente leva a uma reducao no custo da producao quando ’ ’ comparado com produzir diretamente os tamanhos encomendados pelos clientes. Considerando encomendados. a. pelos. maneira clientes. como e. ~. sao. distribuidos. as. ~ restricoes ’. ‘as. os. tamanhos. medidas. das. ~ ’ unidades de producao ( dependentes da natureza das maquinas ’ utilizadas ), surge o seguinte problema: Quais devem ser estas. ’. medidas, ou analogamente, os tamanhos do estoque?. Este problema e conhecido. na. literatura. como. Problema. da. ~. Classificacao. ~ ’ Assortment Problem ) e nao sera tratado neste trabalho.. ’. (. ’. Um outro problema, relacionado ao anterior e que sera aqui tratado,. conhecido. na. literatura. como. Problema. do. Recorte. de. ’ Estoque ( Cutting Stock Problem ) e o seguinte: Como devem ser ~ ‘ recortados os estoques ( unidades de producao ) para satisfazer as ’ encomendas requeridas pelos clientes?.. 6.

(7) ’. ‘. ’. O presente trabalho e dirigido a industria do papel, onde o. ’. Problema do Recorte de Estoque e particularmente comum, e procura. ~. ’. ~. mostrar que maximizacao do lucro, ao inves de minimizacao da perda. ’. ’. percentual, e a real meta que deve ser perseguida.. ’. ~ ’ ~ INSPECAO ’ DOS METODOS PARA A SOLUCAO ’ ’. ’. ~. Os metodos disponiveis para a solucao do Problema do Recorte. ’. de Estoque podem ser divididos em dois grupos: - ALGORITMICOS.. ’. - HEURISTICOS.. ’ ~ ’ ’ ’ ~ solucao otima, enquanto um metodo heuristico nao pode garantir ’ ~ ’ ~ ’ encontrar a solucao otima e frequentemente nao encontrara. ’ ’ ~ Na area em consideracao existem somente alguns poucos ’ ’ algoritmos disponiveis para cada classe de problemas, tornando ’ ~ facil a identificacao, dentro de cada classe, do algoritmo mais Um metodo algoritmico para um problema garante encontrar a. eficiente.. ’ ’ ’ ~ ’ ’ ~ sao "satisfatorios", isto e, quando acredita-se que a solucao dada ’ ’ ~ ’ ’ pela heuristica esteja "perto" da solucao otima. O metodo ’ ’ ’ heuristico e utilizado rotineiramente pelos seres humanos para a ~ execucao das mais variadas tarefas. ’’ ’ ~ ~ ’ Metodos heuristicos sao geralmente adotados onde nao e ’ ~ ’ possivel a utilizacao de metodos algoritmicos. Um algoritmo pode ’ ~ ’ nao estar disponivel, ou o custo computacional pode ser enorme ~ inviabilizando sua utilizacao. ’ ’ ’ ’ Em geral, um metodo heuristico e fortemente dependente das ’ particularidades do problema para o qual foi desenvolvido e tambem ’ ~ da regularidade estatistica dos dados. Portanto sua extensao a ’ problemas similares pode tornar-se dificil. Por exemplo, no ~ Problema do Recorte de Estoque onde acontece alguma condicao ’ Uma heuristica e aceitavel se os resultados que ela produz. 7.

(8) ’. ^. patologica nos dados como consequencia de alguma anormalidade no mercado,. ~. a. ’. solucao. heuristica. ’. pode. apresentar,. com. ’ ~ ’ probabilidade, um desvio inaceitavel da solucao otima. ’. alta. ~ CLASSIFICACAO ’ DOS PROBLEMAS ’. ~. Os problemas podem ser classificados pelo numero de dimensoes envolvidas,. devendo. ser. observado. que. ’ juntamente com este mesmo numero.. a. complexidade. cresce. ~. a) Problema de dimensao 1.. ~. ’. Existe somente uma dimensao do estoque que e significativa na. ~. determinacao. ~ producao ’. ’. ). ~. da. ’e. solucao. fixo,. diferentes.. ’. O. embora. tamanho. do. estoque. possam. existir. (. unidade. diversos. de. tamanhos. ~. Esta situacao ocorre, por exemplo, no corte de barras de aco. ’. ’. ’. e tambem, de uma maneira suficientemente aproximada, no corte de papel.. ~. b) Problema de dimensao 1,5.. ~. ~ ~ ~ ~ ’ determinacao da solucao. Numa das dimensoes o tamanho do estoque e ’ ’ ’ ’ fixo, enquanto que na outra e variavel. ’ Por exemplo, quando vidro plano e produzido por um processo ’ ’ de fluxo continuo, o resultado e uma fita de largura constante. O ~ ~ ’ problema de otimizacao, nesta situacao, e minimizar o comprimento ’ ’ O estoque tem duas dimensoes que sao significativas para a. da fita que deve ser produzido.. ~. c) Problema de dimensao 2. Os. tamanhos. das. duas. ~. dimensoes,. significativas. para. a. ~ ~ ~ ’ determinacao da solucao, sao fixos e neste caso o estoque e uma ’ ’ placa retangular.. 8.

(9) Como exemplo, podem ser citados o corte de placas de vidro, aco ou madeira.. ’. ’E importante observar que para esta classe ainda nao ~ existe ~ um algoritmo para a solucao do problema na sua forma geral. ’ Entretanto. uma. ampla. sub-classe. de. problemas. bidimensionais,. ’ ~ encontrados na industria, possuem restricoes que permitem sua ’ ~ solucao de uma maneira eficiente. ’. ~ ’ CLASSIFICACAO ’ DOS METODOS ’. Os metodos algoritmicos usados para resolver o Problema do Recorte. de. Estoque. (. e. ’. tambem. o. Problema. da. ~. Classificacao. dividem-se nos seguintes grupos:. ’. ). ~ ’~ ^ - Programacao Dinamica. ’~ ~ - Ramificacao e Limitacao ( Branch and Bound ). ’ ’ ’E necessario ’ ~ salientar que para a resolucao de um determinado ’ ’ ’ problema, geralmente e usada uma mistura dos metodos anteriores ’ ’ ’ como tambem algumas heuristicas. Por exemplo, no proprio algoritmo ~ ‘ ’ simplex, para passar de uma iteracao a seguinte e utilizada uma ’ ’ heuristica. ’ ’ Em geral, no lugar onde um metodo algoritmico e iterativo, ’ ’ pode ser utilizada uma heuristica para forcar o termino antes de ’ ~ serem completadas todas as iteracoes. ’ ’ ’ ’ ~ Em contrapartida, tambem os metodos heuristicos sao baseados ’ na estrutura dos metodos algoritmicos e os sub-problemas advindos ~ ’ ~ das etapas de resolucao por uma heuristica sao frequentemente ’ - Programacao Linear.. solucionados por um algoritmo.. ’. ’. Os metodos heuristicos podem ser descritos com a ajuda de conceitos do tipo: - Procura em Espaco de Estados ( State-Space Search ).. ~. ’. - Reducao do Problema.. ’. 9.

(10) ~. Numa procura em Espaco de Estados, as potenciais solucoes. ~. ’. ’. ’. parciais do problema sao consideradas como nos num grafo, e uma. ’. procura e feita por um caminho neste grafo do estado inicial, representando. problema. totalmente. ~. nao. solucionado,. ao. estado. ~ ’ objetivo, ou seja a completa solucao otima. ’ ~ ’ Em Reducao do Problema, o problema inicial e decomposto em ’ ’. problemas menores que por sua vez tambem podem ser decompostos.. ~. ~. Decomposicoes alternativas podem ser consideradas. A uniao das. ’. ~ ’~ solucao do problema original. ’. ~. solucoes dos sub-problemas resultantes da decomposicao forma a. ’. 10.

(11) u-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------o 1 RECORTE DE ESTOQUE UNIDIMENSIONAL 1 m-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------.. ’ RECONHECIMENTO HISTORICO ’. O Problema do Recorte de Estoque Unidimensional esta entre as. ~ ’. primeiras aplicacoes da Pesquisa Operacional. Entre os primeiros. ~. ~. artigos estao os de Kantorovich [ 1960 - reedicao ], que produziu. ~. ’. ’. uma formulacao matematica do problema em 1939, e o de Paull e Wallter. [. ’. 1955. ],. no. qual. apresentam. uma. ~. formulacao. ’. como. um. ~ ’ ’ problema de programacao matematica. Ate hoje em dia [ 1988 ], o ’ ’ assunto continua a receber um consideravel interesse. Numa forma simplificada, o Problema do Recorte de Estoque Unidimensional pode ser aproximado, suficientemente para diversas. ~. situacoes. ’. ’. praticas,. por. um. problema. de. ~. programacao. ’. linear.. ’ Entretanto, mesmo quando o numero de tamanhos de estoque ( ~ ’ tamanhos padronizados que usualmente sao no maximo cinco no caso ’ ’ ’ da industria do papel ) e tambem o numero de encomendas de tamanhos diferentes ( encomendas de tamanhos iguais podem ser. ’ ’ ’ ~ ’ de decisao e muito grande tornando de pouca utilidade o algoritmo ’ simplex na sua forma normal. Problemas praticos, como por exemplo ’ ’ ’ um tipico da industria do papel, com um so tamanho para estoque e agrupadas ) e favoravelmente pequeno, o numero total de variaveis. quarenta tamanhos diferentes para encomendas envolvem de dez a cem. ~. ’. ~. aumento. significativo. milhoes de variaveis de decisao. Um. para. 11. o. tamanho. do. problema. que.

(12) poderia ser tratado, foi alcancado por Gilmore e Gomory [ 1961 ]. ~ ’. ’. ’. ~ ’. pela utilizacao de um metodo que envolve, em cada iteracao do. ~. algoritmo simplex, a solucao de um problema auxiliar conhecido na. ’. literatura como Problema da Mochila ( Knapsack Problem ). Posteriormente, Gilmore e Gomory [ 1963 ] apresentam uma. ~. ’. ’. formulacao adaptada a diversas caracteristicas da industria do papel.. ’. ’. Este metodo proposto por Gilmore e Gomory, quando utilizado. ’. ’. ~ ’. juntamente com os melhores metodos disponiveis para a solucao do Problema. da. apresentado.. Mochila,. ’. Tambem. leva. conduz. ao ao. mais mais. poderoso eficiente. algoritmo algoritmo. ’. ja para. ~ ~ problemas de duas dimensoes para os quais existe uma solucao ’ eficiente do Problema da Mochila associado.. ’. ’. As criticas existentes sugerem que o metodo proposto por. ’. ~. Gilmore e Gomory e apropriado somente em situacoes onde minimizar. ’. ’e o ’unico objetivo. Uma das pequenas ~ ’ sugestoes deste trabalho e justamente propor uma alternativa para ’ este objetivo no caso da industria do papel. ’ Pierce [ 1964 ], estudando problemas da industria do papel, ’ ’ ’ foi o primeiro autor a apresentar um metodo heuristico. O metodo ’ ~ adotado esta baseado no conceito de Reducao do Problema. ’ ’ ~ Pierce [ 1966 ] apresenta um metodo baseado em Ramificacao e ’ ~ ’ ~ Limitacao ( Branch and Bound ). Tambem faz consideracoes sobre um ’ ’ ’ equilibrio entre procedimentos exatos, que garantem encontrar a ~ ’ solucao otima embora tendam a ser caros do ponto de vista ’ ’ computacional, e procedimentos heuristicos que tendem a ser as. sobras. ou. retalhos. relativamente baratos. Haessler [ 1971 ], estudando problemas do corte de papel,. ’. ~. apresenta um metodo baseado no conceito de Reducao do Problema e. ’. ~. ’. introduz o termo nivel de aspiracao ( aspiration level ) como a. ’. ~ ’ ’ ~ ’ ~ ~ solucoes factiveis estao sendo geradas, a solucao a ser utilizada ’ ’ ~ ’ ( a primeira solucao a satisfazer tal criterio ). ’ ’ ~ Metodos baseados no conceito de Reducao do Problema ’ designacao de um criterio empregado para apontar, quando diversas. 12.

(13) juntamente. ’. com. ideias. ~. de. Penalizacao. foram. ’. apresentados. por. Marconi [ 1971 ] ( voltado para problemas do corte de papel ) e. ’. ’. tambem por Tilanus e Gerhardt [ 1976 ] ( voltado para a industria do aco ).. ’. Stainton [ 1977 ], estudando um problema do corte de barras. de. aco. para. ’. concreto. armado,. apresenta. um. ’. metodo. baseado. no. conceito de Procura em Espaco de Estados ( State-Space Search ). Haessler. [. ’. 1980. ],. apresenta. uma. nota. descrevendo. nova. abordagem. ~ modificacoes para o algoritmo de Gilmore e Gomory que melhoram as ’’ ~ ~ caracteristicas das solucoes geradas ( outras que nao a perda por ’ sobras ).. Dyckhoff. [. 1981. ],. apresenta. uma. para. o. problema do Recorte de Estoque Unidimensional, que dispensa a. ~. utilizacao. ’. do. problema. auxiliar. conhecido. como. Problema. da. ~ Mochila, para quando a operacao do corte de estoque ( unidade de ’ ~ producao ) produz somente dois novos pedacos. ’ ’ ’ O estado da arte e de tal maneira sofisticado que, a menos. ’. ’. que o metodo proposto por Gilmore e Gomory seja aplicavel, um novo. ’. metodo deve ser estudado e desenvolvido para o particular problema. ’. ’. encontrado. Tal metodo tem grande chance de ser heuristico.. ~. ~. ’. Nesta direcao estao os recentes metodos propostos nos artigos. ’. de Sumichrast [ 1986 ] ( voltado para um problema encontrado na. ’. industria de mantas de fibra de vidro ), e de Roodman [ 1986 ] (. ’. voltado para um problema de caracteristicas especiais encontrado. ’. na industria do aco ).. ’. ~. Como ultima observacao deve ser lembrado que os procedimentos. ’. ~. para tratar o Problema do Recorte de Estoque sao desenvolvidos comercialmente. e. portanto. tendem. a. ser. mantidos. ’ limitando a literatura atualmente disponivel.. 13. em. segredo.

(14) u-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------o 1 ALGORITMO SIMPLEX 1 m-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------.. ~ SOBRE A IMPLEMENTACAO ~ REFLEXOES ’ EM COMPUTADOR Como bem observou Becker [ 1973 ], um dos fardos da nossa. ’epoca, que o homem nunca imaginou sustentar, ’e a superproducao ~ de ’ ’ verdades impossiveis de serem consumidas. Neste contexto, ~ ’ ~ aparentemente, a introducao de um capitulo sobre o tao discutido ’ ’ ~ algoritmo simplex pode parecer desnecessaria. Por que, entao, ’ ’ ~ acrescentar um outro texto a uma ja inutil superproducao?. ’ Em primeiro lugar porque na grande maioria dos algoritmos. ’. ~ ’. ~. existentes, salvo rarissimas excecoes, existe uma enorme confusao entre. tipos. relativamente. de. dados. comum. e. estrutura. encontrar. a. de. dados.. ~. Por. recomendacao. exemplo, de. ’. que. ’e. os. ~ coeficientes da funcao objetivo sejam armazenados na primeira ’ ‘ ~ linha da matriz que se refere as restricoes do problema. O fato ’ ’ grave e que a partir deste pequeno embaralhamento desenvolve-se ~ todo o algoritmo de uma maneira que nao poderia deixar de ser absolutamente confusa.. ’. ~. Uma falsa justificativa para tal procedimento e a alegacao de que. o. programa. coeficientes. da. de. computador. ~ funcao ’. objetivo. codificado armazenados. desta na. ’. maneira matriz. ( das. ~ ’ restricoes ) seria mais eficiente. E muito mais evidente perceber ’ ’ que esta maneira de descrever o algoritmo simplex esta intimamente ’ associada ao que e conhecido na literatura como quadro simplex (. 14.

(15) ’. ~ ’. tableau ). Aqui cabe a necessaria observacao que deve ser escrita com todas as letras: O algoritmo simplex na forma de quadro, por. ~ de uma inversao ~ de matriz, ’e ’ ’ ’ ’ extremamente instavel. Tambem e importante deixar claro que a ’ ’ ~ forma em quadro condiciona uma no minimo discutivel, para nao ~ dizer pobre, maneira de conceber a resolucao de um problema de ’ ~ ~ ’ programacao linear, uma vez que as operacoes algebricas formais do ’ ’ ~ ~ algoritmo simplex sao substituidas por operacoes, evidentemente ’ ’ equivalentes, aplicaveis ao quadro ( tableau ). ~ Uma segunda razao para um outro texto sobre o algoritmo ’ ~ ’ ~ simplex e a constatacao de que os textos disponiveis estao ’ ~ direcionados ao uso da linguagem de programacao fortran, e como ’ ^ ’ consequencia apresentarem alguns vicios da escolha de tal ~ linguagem. Uma alternativa para a codificacao deve ser decidida ’ ~ pelo paradigma de linguagem de programacao conhecido como pascal. ’ estar. baseado. na. atualizacao. Esta escolha pode ser. legitimada. por. uma. maior. facilidade. de. ~ ’ expressao do algoritmo e tambem tendo em vista que para resolver ’ ~ ’ qualquer problema pratico, cuja formulacao matematica seja um ’ ~ ’ ’ ~ problema de programacao linear, sera necessario uma interacao com ’ ’ ’ ’ o usuario que seria dificil de ser programada utilizando a linguagem fortran.. ’E muito apropriado o comentario ’ de Gill e Murray, em recente ^ ~ ’ artigo sobre tendencias do software de programacao matematica: One ’ trend that should be noted initially is that optimization software will tend to involve more software and less optimization. Finalmente,. ’. tambem. pode. ser. observado. nos. algoritmos. ’ ~ disponiveis que partes insignificantes sao desproporcionalmente ~ ampliadas, enquanto outras fundamentais para uma boa compreensao e ’ ~ tambem boa implementacao ficam mendigando reparo. Por exemplo, um ’ ’ ’ fato que e absolutamente desprezivel como o vetor segundo membro ~ ~ ~ ’ das restricoes ser ou nao ser nao-negativo e muitas vezes ’ ’ realcado, enquanto que raramemte e escrito de maneira clara e ’ ’ indubitavel, embora esteja fracamente subentendido, que a passagem ~ ~ de uma iteracao a outra envolve, como nao poderia deixar de ser, ’ 15.

(16) ~. os valores das derivadas direcionais da funcao objetivo. Outro. ’’. ’. fato irrelevante que tem merecido injustificavel destaque e sobre. ~. ’. a inicializacao do algoritmo simplex por um metodo conhecido na. ’. ’ ’ ’ ~ autores chegam ate mesmo ao ponto de, apos longa discussao deste ’ ~ ~ metodo seguida de uma exposicao do algoritmo, declarar que ele nao ’ literatura como metodo do m grande ( big m method ). Alguns. deve ser utilizado. Um. assunto. cuja. ^. ausencia. ’e. ’. notavel. em. textos. sobre. o. ~ algoritmo simplex, embora nao esteja relacionado ao algoritmo ’ ~ propriamente, e o levantado pela seguinte questao: Como gerar ~ ~ problemas de programacao linear com solucoes conhecidas com a ’ ’ ~ finalidade de avaliar ou mesmo testar uma implementacao?. ’ ’ ’ ~ A finalidade deste capitulo, alem de preparar a apresentacao ’ ’ do metodo de Gilmore e Gomory para o Problema do Recorte de ’ Estoque Unidimensional, e mostrar de uma maneira simples e suficiente o algoritmo simplex.. ~ PROGRAMACAO ’ LINEAR ~. O problema de programacao linear, na sua forma geral, pode. ’. ser escrito da seguinte maneira:. S = { x 1 A x = b, 0 < x < u } ’ onde A e uma matriz m x n com posto m.. seja :. ,. f = ctx ‘ sujeito a : x e S. minimizar :. 16.

(17) ~. restricoes. A x = b. ’. A = [ B 1 N ] t. x. t. t. = [ x. 1 x. B. +++++6. B x. ~. N. t. t. = [ c. 1 c. B. f = ct x. +++++6. B. = B. t. B. + c. B. -1. x. ( b - N x. ,. p. f = ptb. t. = c. B t. + ( c. N. B. ,. ( b - N x. N. ). mas. x. N. N. logo. t. - p N ) x. N = { ’indices. seja :. + c. N. -1. ,. N. t. B. seja :. = B. logo. f = ct B-1b - ct B-1N x B. x. N. ). N. t. B. ]. N. f = ctx. -1. x. f = ctx. ’. t. +++++6. = b - N x. B. funcao objetivo. c. ~. onde B e m x m nao-singular. ]. N. A x = b. ’. ,. N. j. 1 x. j. f = ptb + S ( c - pta ) x j j j j e N. ’e componente do vetor x } N ’ , onde a e coluna de A. ,. logo. j. ’. estrategia simplex:. ~. ’. ’. ~. Definicao 1 : Uma matriz basica e uma matriz nao-singular m x. ’. m formada de m colunas da matriz A.. ~ ’. ~ ’. ’. ’. ’. Definicao 2 : Uma solucao basica factivel e um ponto x e S. ~. para o qual n - m componentes sao ou zero ou u. ~ ’ restantes m estao associadas com uma matriz basica.. 17. j. enquanto as.

(18) ~. ’. ’. Teorema Fundamental : Se existe uma solucao factivel otima,. ~. ’. ’. ’. ’. existe uma solucao basica factivel otima.. ’. ~ ’. ’. ’. Supondo uma solucao basica factivel inicial, verificar se o. ~. valor de f pode ser diminuido passando para uma nova solucao. ’. ’. ’ ~ ~ ~ ’ ’ ’ ’ solucao entao e otima. E facil verificar que o valor de f pode ser ’ diminuido se para algum j e N ocorrer:. basica factivel. Quando o valor de f nao puder ser diminuido, a. t. ( c. - p a. j. ou. ) < 0. j. t. ( c. - p a. j. j. e. ) > 0. x. = 0. j. e. x. = u. j. j. Supondo um certo l e N onde isto acontece, o novo valor da ~ ~ ’ funcao objetivo, pela alteracao de somente x ( caracteristica do ’ ’ l algoritmo simplex ), pode ser calculado como seguinte:. aumentar somente x. ( x. l. + d. x ’ = x l. l. +++++6. l. + d e. x ’ = x N. = 0 ,. N. e N ). l. ’. ,. (n - m) , com componentes iguais a zero exceto a componente que. =. N. k. l. = B. B. +++++6. ). N. -1. q = -B. x ’ = x B. B. a. ,. l. B. l. B. a. l. logo. + d q. ( x. l. l. -1. - d B. x ’ = x. diminuir somente x x ’ = x. - d. +++++6. x ’ = x. l. N. N. = u. ,. l. - d e. ,. l. e N ) ’. N. k. =. l. ’. que e igual a um.. 18. ~. onde e e um vetor de dimensao. (n - m) , com componentes iguais a zero exceto a componente que. tal. ’. ( b - N x. seja :. k. que e igual a um.. -1. x. ~. onde e e um vetor de dimensao. k. tal.

(19) -1. x. B. = B. ( b - N x. +++++6. ). N. -1. seja :. q = -B. ,. l. B. B. a. l. logo. - d q. x ’ = x B. a. -1. + d B. x ’ = x. B. Para os dois casos anteriores, pode ser escrito x ’ = x + d v. t. ,. t. onde v. t. = [ q. 1 e. ]. logo. f ’ = f + d ctv. derivada direcional:. ~. Considere as particulares direcoes dadas pelos vetores abaixo. ’. ~. ( direcoes simplex ) :. ’. t. t. v. = [ q. t. t. 1 e. ]. ,. = 1, ... ,(n - m). k. 1/2. @v@ = ( q q + 1 ). Dftv = ctq + ct e = -pta B. N. D f = ( c. t. v. l. + c. l. l. t. - p a. 1/2. ) / ( q q + 1 ). l. estrategia. geral,. ’e. e N. l. ’ ~ caminhar na direcao ’ ’ ~ simplex de maximo decrescimento da funcao f. Entretanto, deve ser ’ ~ ’ observado que calcular tal direcao e muito dispendioso do ponto de ’ ~ Como. ’. ,. desejavel. vista computacional ( basta olhar para o denominador da expressao. ’. ~. da derivada direcional ) e tambem pode ser notado que esta direcao. ~. ’. ’. ’. nao conduz necessariamente ao maior decrescimo possivel no valor de f.. ~. Com a finalidade de escolher uma direcao simplex, obviamente. ’. 19.

(20) ’. de descida, pode ser utilizada a heuristica que consiste em dar. ^. ‘. ~. preferencia a direcao onde ocorrer o seguinte:. ’. ( ’ ’ ’ t l = minimo { minimo { c - pta } , minimo { p a - c } j j j j | | x = 0 | x = u j e N 9 j j j ’ ~ e seja l o indice associado a tal direcao. ’. ) } | 0. ’ ’ ~ ’ solucao otima. ’. Observe que, uma vez calculado l, e facil verificar se a. ~. ’ ’. solucao e otima, ou seja: l > 0. ’. ~ ’. ’. +++++6. 0 < x < u. canalizacao das variaveis. Como o novo ponto x deve pertencer a S, deve ser imposto para. ’. 0 < x ’ < u. cada um dos dois possiveis casos, que:. aumentar somente x. ( x. = 0 ,. /q. 1 q. l. x ’ = x B. x. B. x. B. B. l. +++++6. d < -x. B. i. i. + d q < u. B. l. l. e N ). + d q. + d q > 0. x ’ < u. l. +++++6. +++++6. d < (u. - x. B. i. ~. d < u. l. < 0. i. )/q. B. i. i. 1 q. ,. i. = 1, ... ,m. i. > 0. ,. i. = 1, ... ,m. ’. ( nao muda a matriz basica ).. ’. Considerando que quanto maior for o valor de d, maior sera o. ’. decrescimo no valor de f, d deve ser escolhido como seguinte:. ’ d = min e seja. d. ( ) ’ { -x /q } , min ’ { (u - x )/q } , u { min } l | | q < 0 Bi i ? | q > 0 Bi Bi i | 9 0 i i ’ ’ o indice associado a d , ( d = 8 +++++6 f e ilimitada ).. 20.

(21) diminuir somente x. = u. ,. x ’ = x B. x. B. x. B. B. /q. 1 q. > 0. l. +++++6. d < x. B. i. i. - d q < u. +++++6. B. +++++6. l. l. l. - d q. - d q > 0. x ’ > 0. e N ). ( x. l. d < (x. - u. B. )/q. B. i. ~. d < u. i. = 1, ... ,m. i. 1 q. i. i. ,. < 0. i. ,. = 1, ... ,m. i. ’. ( nao muda a matriz basica ).. l. ’. Considerando que quanto maior for o valor de d, maior sera o. ’. decrescimo no valor de f, d deve ser escolhido como seguinte:. ’ d = min e seja. d. ( ’ { x /q } , min ’ { (x - u )/q } { min B i B B i | | q > 0 i i i ? | q < 0 9 i i ’ o indice associado a d.. ,. ) } | 0. u. l. ’. nova matriz basica. ~. Considerando a expressao q. d. $ 0. +++++6. a. l. = -B q. os vetores a. ,a. , ... ,a. independentes. e. portanto. linearmente. ’. B 1. B 2. ’e facil ’ mostrar que. ,. ,a ,a. B. l. d-1. formam. ~. , ... ,a. B. d+1. uma. sao. B. nova. m. matriz. basica.. esforco computacional. ’. ~. ’. Para resolver um problema de programacao linear pelo metodo simplex,. uma. ~. solucao. ’. ’. basica. ’. factivel. ’. deve. ser. primeiramente. ~ ’ ’ encontrada. A tarefa de encontrar uma solucao basica factivel ’ ~ inicial pode ser formulada como um problema de programacao linear, ’ ~ ’ ’ ’ para o qual uma primeira solucao basica factivel e conhecida ( ’ ’ ’ ’. metodo das variaveis artificiais ). O metodo simplex deve ser. 21.

(22) ~. executado em duas fases, cada uma consistindo na aplicacao de. ~ ’ ‘ ~ ^ associado a resolucao dos tres seguintes sistemas lineares: ’. ’. ’. sucessivas iteracoes nas quais o maior custo computacional esta. -1. x. B t. p. = B. ( b - N x. t. +++++6. B x. +++++6. B p = c. +++++6. B q = -a. ). N. -1. = c. B. B -1. q = -B. a. l. = ( b - N x. B. N. ). t. B l. ,. l. e N. Estes sistemas lineares devem, em geral, ser resolvidos pela. ~. decomposicao da matriz B num produto de uma matriz triangular. ’. inferior por uma matriz triangular superior ( B = L U ). Tal. ~. ’e sempre possivel ’ se forem permitidas trocas de ’ ’ ’ linhas ( colunas tambem, mas no contexto do metodo simplex isto e decomposicao. ’. inconveniente ).. ~. Maiores detalhes, suficientes para uma implementacao, podem. ’. ser buscados no classico artigo de Bartels [ 1971 ].. algoritmo simplex enquanto l < 0 faca. ’. comeco. ’. { calcula q } { encontra d } { testa objetivo ilimitado }. ’. ~. se nova-matriz-basica entao comeco. ’. { atualiza B } { calcula p } fim { calcula x fim. B. }. 22. ’.

(23) ~. programacao linear. ’. { leitura dos dados }. ’ ’ { adiciona as variaveis artificiais } { adiciona as variaveis de folga } { inicializa: B, p, x. }. B ’ ~ se fase1-necessaria entao. comeco. ’. { simplex - fase1 - problema artificial } { verifica factibilidade }. ’. ’. ’. { elimina possiveis variaveis artificiais basicas } { inicializa: B, p, x. }. B. fim. { simplex - fase2 - problema original } { imprime respostas }. ’. variaveis duais. ’. ~. ’. ’. Em varias aplicacoes praticas e muito interessante saber o. ’. ’. ~ ’. que acontece com o valor otimo da funcao objetivo quando ocorre. ~ ~ ’ ’ ^ ~ Tal tendencia da funcao objetivo pode ser mostrada pelos valores ’ ’ das variaveis duais.. uma pequena perturbacao no vetor segundo membro das restricoes.. f = ptb + ( ct - ptN ) x N. N. +++++6. df/db. i. = p. ,. i. i. = 1, ... ,m. ’. variaveis artificiais. ~. ’. ’. Para encontrar uma solucao basica factivel inicial para:. ’. 23.

(24) minimizar :. ‘. sujeito a :. f = ctx A x = b 0 < x < u. considere o seguinte problema auxiliar: minimizar :. ‘ sujeito a :. m. f = 0tx + S. y. i = 1. i. A x + E y = b 0 < x < u 0 < y < 8. onde. ’e coluna de E com componentes iguais a zero exceto a componente ’ que e igual a + 1 ( -1 para b < 0 ).. e. i. i. i. ’. Observe que o problema auxiliar tem facilmente disponivel uma. ~ ’’. ’ ’ = | b |. i i ’ E facil verificar que se o problema auxiliar tem um valor ’ ~ minimo de zero com y = 0, entao o problema original tem uma ~ ’ solucao factivel. Por outro lado, se o problema auxiliar tem um ’ ’ ~ ~ valor minimo maior do que zero, entao o problema original nao tem ~ ’ solucao factivel. ’’ ’ ~ E possivel, ao final da resolucao do problema auxiliar, ter ’ ’ presente na matriz basica colunas da matriz E. Para prosseguir com ~ a resolucao do problema original, basta trocar as colunas da ’ ’ ’ matriz basica associadas a variaveis y ( artificiais ) com colunas ’ ~ associadas a variaveis x ( nao artificiais ) de maneira que a nova ’ ~ matriz basica continue nao singular. Observe que sem alterar os ’ ~ ’ ’ valores das variaveis x ou y, a solucao continuara factivel. Para ’ ’ ~ encontrar uma nova matriz basica, mantendo a solucao sem ’ ~ alteracao, basta considerar o seguinte: ’ ’ a uma coluna associada a variavel x 1 l e N , l ’ ’ e uma coluna da matriz basica associada a variavel y. solucao basica factivel inicial com x = 0 e y. B. d. ~. Lembre que partindo da expressao a q. d. $ 0. +++++6. os vetores a. B 1. linearmente independentes.. ,a. B 2. l. = -B q com. , ... ,a. ,a ,a. B. d-1. 24. l. ~. , ... ,a. B. d+1. sao. B. m.

(25) ~. problema com solucao conhecida. ’. ’E evidente que existe a necessidade de avaliacao ~ de uma ’ ~ ~ implementacao do algoritmo simplex, mas como raramente estao ’ ’ ~ disponiveis grandes problemas com solucoes conhecidas, torna-se ’ ’ ’ indispensavel uma maneira de gerar problemas de tamanho arbitrario como, por exemplo, o exposto a seguir.. considere o seguinte problema:. f = dty. maximizar :. ‘. t. e y = b. sujeito a :. 0 < y < u onde e : vetor r x 1 d. 1. > d. 2. > d. 3. 1. e. = 1. i. > ... > d. r. ~. ’. para. i. = 1, ... ,r. > 0. ’. *. Uma solucao otima y , para este problema, e facilmente obtida. ’. ~. por inspecao da seguinte maneira:. ’. *. y. i. i-1. *. = min( ( b - S. y. k. k = 1. ) , u. i. ’. Adicionando. variaveis. ). de. ,. = 1, ... ,r. i. ’e. folga. ’. possivel. reescrever. o. problema original como:. f = dty + 0ts. maximizar :. ‘. t. t. e y + 0 s = b. sujeito a :. I y + I s = u y > 0 , s > 0 ~ ’ * * cuja solucao e dada por y e s ’ *. s. i. = u. *. i. - y. i. ,. i. ,. onde. = 1, ... ,r. ’. ~. Considerando uma matriz arbitraria H ( r x r ) nao-singular, o problema original pode novamente ser reescrito como:. 25.

(26) f = dty + 0ts. maximizar :. ‘. t. t. e y + 0 s = b. sujeito a :. H y + H s = H u y > 0 , s > 0 ou finalmente,. f = ctx. minimizar :. ‘. sujeito a :. A x = b 0 < x < 8. onde t. c. t. A =. = [-d. t. 1 0. ]. u t t o e 1 0 1 1 --------------------k-------------------1 1 H 1 H m .. u o 1 b 1 1 --------------- 1 1 H u 1 m .. b =. algoritmo. ’. ’. ’. { gerar atraves de numeros aleatorios vetor d } { ordenar vetor d } { completar vetor c }. ’. ’. ’. { gerar atraves de numeros aleatorios vetor u }. ’. ~. *. { calcular b para uma certa % de numeros nao nulos em y. ~ * { calcular solucao y } ’ *. { calcular folgas s. }. ’ ’ ’ { gerar atraves de numeros aleatorios matriz H } { completar matriz A } { calcular vetor b }. 26. }.

(27) u-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------o 1 O PROBLEMA DA MOCHILA 1 m-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------.. ~ INTRODUCAO ’ A capacidade de carga da mochila e a escolha do carregamento. ~. ’. potencial sao os dados do problema, cujo objetivo e encontrar o carregamento. ’. de. maxima. utilidade.. Especificamente,. existe. um. ’ numero ilimitado de cada um dos n tipos de itens com cada item do ’ tipo i tendo peso a e utilidade c . E evidente que existe a i i ~ ’ ’ restricao de um numero inteiro x de itens do tipo i, e e ’ i ’ exatamente neste ponto que esta todo o problema. Supondo b a capacidade de carga da mochila, e assumindo a. i. positivo, o problema pode ser escrito da seguinte maneira: maximizar :. ‘. t. a x < b | x. sujeito a :. i. f = ctx. ’e inteiro nao-negativo ~ ~ ’’. ~. Os algoritmos existentes para a solucao deste problema sao principalmente de dois tipos: O primeiro esta baseado na abordagem. ~. ^. ’. pela programacao dinamica ( Dreyfus [ 1977 ] ) que e eficiente. ’. ’. para valores relativamente pequenos de b. O segundo esta baseado na abordagem enumerativa ( Akinc [ 1983 ] ) permitindo tratar valores relativamente grandes de b.. 27.

(28) ’ adotada a primeira abordagem, sendo ~ conveniente lembrar, como bem observou Dreyfus, que programacao ’ ^ ’ ^ ’ dinamica e mais arte do que ciencia e o fundamental e utilizar, de Neste. uma. ’. capitulo. maneira. sera. eficiente,. o. bom. senso,. a. coisa. do. mundo. melhor. ~ ~ ’ partilhada nas palavras de Descartes, e nao a manipulacao logica. ’. ALGORITMO ~ ’ ~ * > c para a < a entao ’ ’ i k i k * x = 0 , pois caso contrario a pode substituir a mantendo ou k i k aumentando o valor de f, portanto o problema original pode ser reduzido de maneira que se tenha somente c < c para a < a . i k i k ’ Entretanto, se existir a = a a variavel correspondente ao menor i k ’ ’ valor entre { c , c } pode ser anulada. Tambem e evidente que se Considere uma solucao otima x . Se c. existir c. i. i. *. < 0, x. generalidade, que:. i. k. = 0. Logo, pode ser assumido, sem perda de. - 0 < a. < a. < ... < a .. - 0 < c. < c. < ... < c .. 1 1. 2 2. n n. Por uma escolha adequada das unidades, os valores a. podem. i ’ ’ ser convertidos em numeros inteiros. Seja d o maximo-divisor-comum de a , a , ... , a . No caso de d > 1, o problema pode ser 1 2 n transformado num outro problema equivalente fazendo a J----- a /d e i i ’ tambem b J----- [b/d]. O algoritmo de Euclides deve ser utilizado ’ para o calculo de d. Logo, tambem pode ser assumido que: ~ - Os valores a sao inteiros. i ’ ’ - O maximo-divisor-comum dos valores a e um ( d = 1 ). i. 28.

(29) ~. ^. relacao de recorrencia. ’. ’ existam alguns itens na mochila e que a ’ capacidade restante deva ser preenchida de uma maneira otima com a ’ escolha de um item por vez. Para executar esta tarefa, somente e ’ necessario o conhecimento da capacidade restante, uma vez que com ~ ’ ~ ’ a adicao de um item do tipo i, o acrescimo na funcao objetivo sera ’ ’ ’ ( independentemente do que ja estiver na mochila ) c . Portanto a i ’ ’ capacidade restante x e a variavel de estado e pode ser definida a ~ ’ funcao utilidade otima por: ’ ’ ’ f(x) = a maxima utilidade alcancavel com capacidade x ’ ~ ^ Tornando claro a seguinte relacao de recorrencia para os valores ’ de x = 0, 1, ... ,b : ( ) ’ f(x) = maximo { c + f(x - a ) } , i = 1, ... ,n i 9 i 0 ~ com condicao de contorno dada por: ’ f(x) = 0 para x = 0, 1, ... ,(a - 1) 1 ~ ~ ’ * Observe que para a deducao da solucao otima x , deve ser ’ ’ guardada, para cada valor de x, qual a escolha que maximiza f(x). ’ ’ Esta escolha sera denotada por p(x). No caso de empate p(x) tera ’ varios valores. Suponha. ’. que. ja. ~. multiplas solucoes. ’. ~. ~. ’. Para evitar representacoes diferentes da mesma solucao otima,. ’. ’. ~. basta estipular que os itens serao colocados na mochila somente em. ~. ’. ~. uma ordem tal que a designacao do tipo do item e nao-crescente, ou. ’. ~. seja, serao colocados os itens mais pesados em primeiro lugar.. ~. ’. ~ ’ ’ ~ Com o proposito de limitar-se a somente tais representacoes, ’ *. Obviamente, cada solucao otima x. ’. 29. tem somente uma tal enumeracao..

(30) escolha que maximiza f(x), quando for ~ considerada a colocacao de um item do tipo i, seja examinado o ’ ~ ’ ’ menor valor de p(x - a ) ( pode nao ser unico ). Se min p(x - a ) i i ~ ~ ’ ~ ~ > i, entao esta nao e uma enumeracao nao-crescente e portanto este ’ ~ particular item i nao deve ser considerado, podendo ser verificado ’ o proximo tipo de item. ’ ~ ’ ~ ’ Para restringir-se a uma unica solucao otima nao-crescente, e ’ suficiente guardar somente o menor valor de p(x). basta. que. durante. a. ’. criterio de parada. ’. ~. ~. ’. ’. Para a determinacao da solucao otima, pode ser desnecessario. ’. ’. o calculo de f(x) para todo x menor ou igual a b. Primeiramente,. ’. ~. deve ser notado que o item ( assumido unico ) com a maior razao utilidade/peso desempenha um papel especial. Seja. r. o tipo deste. ’ ’ ~ ’ item. Sempre que x e um multiplo inteiro de a , a solucao otima ’ r ’ consiste somente de itens do tipo r. Quando x e tal que o item r ~ ’ nao pode ser usado sem alguma folga e que outros itens entram na ~ ’ solucao otima, possivelmente substituindo completamente o item ’ ’ tipo . Seja a = c /a , e claro que: r. r. r. a. r. Seja. s. r. x - c. r. < c. r. [x/a ] < f(x) < a r. r. ~. x. o tipo do item de segunda maior razao utilidade/peso dada. por a . Note que para o problema auxiliar, onde o tipo s. ~ x. Pela imposicao ’ de: x < a x - c 4+++++6 x > c /(a. r. ~. ’. nao e. permitido, f’(x) < a. s. a. s. r. r. r. r. - a ) s. conclui-se que existe um x’ tal que para todo x > x’, f’(x) < f(x) e portanto para todo x > x’ o item tipo. ’otima.. ’. ~. esta presente na solucao. r. ’. Seja z o maior valor de x tal que ocorra pela primeira vez a valores consecutivos de x tendo o item. ~ ’. ’. ’. n. r. ’. presente numa de suas. solucoes otimas. E claro que f(z+1) tera o item tipo. 30. r. numa de.

(31) ~. ’. suas solucoes otimas. O mesmo argumento pode ser aplicado para os. ’. ’. valores de x = z+1, z+2, ... ,b. Portanto o calculo pode ser. ’. ^. valores consectivos de x. interrompido apos a ocorrencia de a tendo o item. n. ~. ’. ~. presente numa de suas solucoes otimas. A solucao. r. ’. ’. ’otima para qualquer b > z tera ’ x = [(b - z + a )/a ] e para r n r ~ ’ completar a solucao otima, p(x) pode ser utilizado partindo-se de ’ x = b - a x . r r. algoritmo { ordenar vetores: a, c } { encolher vetores: a, c }. ’. { calcular maximo-divisor-comum das componentes do vetor a }. ~. ’. { divisao pelo maximo-divisor-comum } { determinar: a , c r. r. }. { inicializar vetores: f, p }. ’. para x = 0 ate (a - 1) faca. ’. para. ’. 1. comeco. ’. = 1 ate n faca se c. i. ~ entao. ’. comeco. > f(x + a ) i. ’ f(x + a ) J----- c ; i i p(x + a ) J----- i fim. fim;. i. ’. para x = a. i. ate (a - 1) faca. 1. comeco. ’. para. ~ entao. i. ’. r. ’. = p(x) ate n faca se c comeco. ’. + f(x) > f(x + a ). i. ’ f(x + a ) J----- c + f(x); i i p(x + a ) J----- i fim. i. fim;. 31. i.

(32) l J----- 0; x J----- a - 1; r enquanto (x < b) e (l < a ) faca ’ n comeco ’ x J----- x + 1; ’ para i = p(x) ate n faca se c + f(x) > f(x + a ) ’ i i ~ entao comeco ’ f(x + a ) J----- c + f(x); i i p(x + a ) J----- i i. fim; se c. r. ~. ~. + f(x - a ) = f(x) entao l J----- l + 1 senao l J----- 0 r. fim;. z J----- x;. ~. ’. { determinar a solucao otima }. ’. 32.

(33) u----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------o ~ LINEAR 1 RECORTE DE ESTOQUE PELA PROGRAMACAO 1 ’ m----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------.. ~ INTRODUCAO ’ ~. ~. Para uma justificativa da funcao objetivo proposta, nao se. ’. pode dispensar um claro entendimento do que significa o preco de. ’. uma mercadoria. Com a finalidade deste esclarecimento, apresento um pequeno resumo de como deve ser entendido o sistema de precos,. ’. como proposto originalmente por Hayek [ 1945 ].. O SISTEMA DE PRECOS ’ ’E de fundamental importancia ^ ~ a distincao entre dois tipos de ’. conhecimentos existentes em nossa sociedade. O primeiro tipo, que. ’. poderia ser classificado de cientifico segundo Hayek, como sendo o conhecimento. de. leis. gerais. e. um. segundo. tipo. como. sendo. o. ^ ’ conhecimento das particulares circunstancias de tempo e lugar. E ’ neste segundo tipo que praticamente todo individuo tem alguma ~ ’ vantagem sobre todos os outros pois ele possue informacos unicas ’ ’ ~ das quais um uso benefico pode ser feito, desde que as decisoes ~ sobre tal uso sejam tomadas por ele ou com sua participacao. ’ Seguindo o pensamento de Hayek, que considera o problema. 33.

(34) ^. ~. ‘ ~ ^ ’ alteracoes nas particulares circunstancias de tempo e lugar e ’ ~ ‘ claro que as decisoes finais devem ser deixadas as pessoas que ^ estejam familiarizadas com estas circunstancias, que conhecem ~ ’ diretamente as alteracoes relevantes e tambem os quais os recursos ’ ’ ’ ~ ~ ’ disponiveis para a necessaria adaptacao. A descentralizacao e ’ ’ ’ necessaria para assegurar que o conhecimento das particulares ^ circunstancias de tempo e lugar sejam prontamente utilizadas, mas ~ ’ resta ainda garantir que as decisoes de um particular individuo ^ sejam coerentes com o resto do sistema economico. ^ Num sistema economico no qual o conhecimento dos fatos ’ ’ ’ relevantes esta disperso entre muitas pessoas, e necessario ’ associar a cada tipo de recurso escasso um valor numerico que ^ reflita a relativa importancia de cada particular recurso dentro ~ da estrutura global deste sistema. Desta maneira as decisoes de um ’ determinado individuo podem ser tomadas, com base nestes valores ( ^ ^ precos ), em concordancia com o resto do sistema economico. ’ ~ O sistema de precos coordena as acoes separadas das pessoas, ’ ’ ^ fazendo com que o sistema economico atue de uma maneira organizada ~ ’ como um todo, nao porque os individuos possuam pleno conhecimento, ~ mas porque o limitado conhecimento de cada um sobrepoe-se de uma ’ ’ ~ maneira tal que atraves de muitos intermediarios a informacao ’ ’ relevante e comunicada a todos. economico da sociedade como sendo principalmente de adaptacao as. ’. ~ ~ FORMULACAO ’ COMO UM PROBLEMA DE PROGRAMACAO ’ LINEAR ~. ~. ’. Definicao : Um padrao-de-corte e uma determinada maneira de. ’. recortar a largura l do rolo de papel em pedacos dos tamanhos encomendados pelos clientes, ou seja, a. 1. pecas de largura l , ... , a. ’. 2. m. ’. pecas de largura l , a. ’. pecas de largura l .. ’. 34. m. 1. 2.

(35) w. j. |J-----L|. u---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------o 1888 1 1 1888 1 1 1888 1 1 1888 m---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. |J-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------L| l l. :. largura do rolo de papel. w. :. largura de apara no padrao-de-corte. l. :. largura da peca. g. :. peso de uma unidade de largura do rolo de papel. v. :. preco de uma unidade de peso da peca i. n. :. preco de uma unidade de peso de apara. m. :. custo de uma unidade de peso do rolo de papel. a. :. numero de pecas. z. :. ’ ~ i no padrao-de-corte j ’ ’ ~ numero de rolos recortados no padrao-de-corte. q. :. quantidade em peso encomendada da peca. a. :. m. :. m. :. P. :. j i. i. ij j i i 1 2. ~. j. i. ’. ’ ’. ’. j. ’ i ~ ’ variacao percentual aceitavel na quantidade q i ’ ’ numero de encomendas com fibra especificada ’ numero de encomendas com fibra livre ’ ~ { indices j | a coluna a representa um padrao-de-corte } j. ~. funcao objetivo. ’. = ( S g v l a. (lucro). j. w. j. i i ij. i. S l a. = l -. i. i ij. ,. j. i. = g z. r. = (v - n) l /(m - n). i ij. j. i. ,. j. logo. x. i. - g m l ) z. j. = - (m - n) ( l - S r a. (lucro). j. + g n w. i. 35. ) x. j. ,. onde. mas.

(36) ’E interessante observar que l x ’e o peso total de todos os j ~ ’ ~ rolos recortados no padrao-de-corte j, e tambem que o valor r nao i ’ depende da unidade monetaria escolhida. lucro = - (m - n) S ( l - S r a j. seja :. f = j. e P. i. ) x. i ij. j. S ( l - S r a ) x i ij j e P i ’. ’. Como o valor (m - n) e positivo, minimizar f e equivalente a. ’. maximizar o lucro. E claro que objetivos alternativos poderiam ser. ’. colocados, mesmo para o sistema capitalista, entretanto e oportuno. ~. observar que em muitas situacoes, incluindo firmas operando em. ’. ~. ~. ’. sistemas nao-capitalistas, a maximizacao do lucro e consistente. ’. ~. com a realizacao de objetivos alternativos de longo prazo ( Leland [ 1972 ] ).. ’. ~ ’. restricoes. ’. ’. ’. Uma das caracteristicas especiais da industria do papel e o fato. de. que. as. quantidades. encomendadas. ~. nao. precisam. ser. ’ satisfeitas exatamente. Isto e, se um cliente encomenda uma ’ quantidade em peso q da largura l , ele aceitara qualquer i. quantidade entre os valores (1 - a ) q. i. e (1 + a ) q . Em geral, o. i i i i ’ ~ valor a e funcao da quantidade q sendo comum encontrar a no ’ i i i ’ intervalo de 0.05 ate 0.15.. 36.

(37) l. w. i. j. |J-------------------------L|. |J-----L|. u---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------o 1 1 1888 1 1 1 1 1888 1 1 1 1 1888 1 1 1 1 1888 m---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. p l. i. |J-------------------------L|. u-----------------------------------o --------------I 1 1 1 1 1 1 1 1 < 1 1 l’ i 1 1 1 1 1 1 < m-----------------------------------. ---------------. ~. ’. Cada padrao-de-corte produz um certo numero de bobinas de. ’. largura l . Posteriormente cada bobina e cortada, ao longo de todo i. ^. o seu comprimento, em pequenos retangulos de tamanho l. i. por l’. i. Na verdade, cada cliente especifica uma encomenda por uma. ^. quantidade em peso de retangulos medindo l. por l’, indicando. i ^i ainda qual o sentido da fibra dentro do retangulo ( observe que o ’ ’ ’ papel e ortotropico ). E importante ressaltar que para alguns ’ ~ ^ clientes e irrelevante a orientacao da fibra no retangulo, sendo ’ ’. perfeitamente aceitavel uma parte da quantidade encomendada com. ~. ~. uma orientacao e o restante com outra orientacao. Uma encomenda. ’. ’. ’. ’. deste ultimo tipo sera referenciada como encomenda de fibra livre.. ‘. Imaginando cada encomenda de fibra livre como equivalente a. soma de duas outras encomendas de fibra especificada ( uma para. ^. ~. cada lado do retangulo ), as restricoes podem ser escritas da. ’. seguinte maneira:. 37.

(38) fibra especificada. S a x = q (1 + a )/l - x i i i i e P ij j 0 < x < 2a q /l j. i. i. i i. i. = 1, ... ,m. 1. fibra livre. S a x = (1 - x + ) q (1 + a )/l - x (i m ) i i i i e P ij j 2 S a + x = x q (1 + a )/l (i m ),j j (i+m ) i i (i+m ) j e P 2 2 2 0 < x < 2a q /l j. i. i i. 0 < x. (i+m ) 2. i. =. (m. i. < 1. +1), ... ,(m +m. 1. 1. ). 2. ~. ~. ,resultando num sistema de equacoes lineares, com canalizacao nas. ’. incognitas, da forma:. ’. ’. u-----------------------------------------------------------------------------------------------i------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------o \ ! 1 1 \ 1 1 \ ! 1 1 \ 1 1 \ ! 0 1 0 1 \ 1 1 \ ! 1 1 \ 1 1 \! 1 j-----------------------------------------------------------------------------------------------k------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------l \ 1\ 1 ! \ \ 1 1 0 \ 1 \ 1 ! \ \1 1 j----------------------------------------------------------------------,-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------l 1 1‘ 1 1 ! ‘ 1 0 0 1 ‘ 1 1 ! ‘ m----------------------------------------------------------------------,--------------------,------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------.. ’. ~ ’. u---------------o 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 m---------------.. u---------------o 1 1 1 1 1 1 1 1 j---------------l 1 1 1 1 j---------------l 1 1 1 0 1 m---------------.. =. ’. Observe que o numero total de equacoes e igual a (m +2m ),. ’. isto e m = m +2m . 1. 2. 38. 1. 2.

(39) ~. geracao de colunas. ’. ~. O problema de programacao linear pode ser escrito na seguinte. ’. forma: t. minimizar :. f = c x. sujeito a :. A x = b. ‘. 0 < x < u onde = 0 |. c. j. c. = 1, ... ,m. j m. S r a. = l -. j. |. i ij. e P. j. i = 1. |. b. = q (1 + a )/l. b. = 0 |. u. = 2a q /l. u. = 1 |. j. = (m +m +1), ... ,m. u. = 8 |. j. e P. i. i. i j. i. i. j j. j j. i. i. = 1, ... ,(m +m ) 1. 2. = (m +m +1), ... ,m 1. j. |. 2. j. 1. = 1, ... ,(m +m ) 1. 2. 2. ~. ’. ~. A dificuldade para encontrar a solucao atraves da utilizacao. ’. ’. ’. do algoritmo simplex na sua forma normal, esta no fato de que em. ’ ’ ~ ’ ’ ~ ordem de milhoes. Esta dificuldade pode ser superada simplesmente ’ gerando uma nova coluna quando necessario, ou seja, no momento em ~ ’ que for procurada uma nova solucao basica factivel que ’ ~ possivelmente diminua o valor da funcao objetivo. ’ ~ Lembre que, com a finalidade de escolher uma direcao simplex ’’ obviamente de descida, pode ser utilizada a heuristica que ^ ‘ ~ consiste em dar preferencia a direcao onde ocorrer o seguinte: ’ problemas praticos, o numero de padroes de corte possiveis e da. ’. minimo j. e N. ( ’ t { minimo { c - p a } j j | | x = 0 9 j. ,. ’. t. minimo { p a. | x. j. 39. j. = u. j. - c. j. }. ) } | 0.

(40) ~. ~. Observe que para as colunas que nao estao associadas com. ~. padroes de corte, ou seja para as primeiras m colunas da matriz A,. ~. ~ ~ ~ para as colunas que estao associadas com padroes de corte, deve a expressao anterior nao representa problema algum. Entretanto, ser resolvido o seguinte problema auxiliar:. ’. t. minimo { c. } |. - p a. j. j. e N. j. ou t. maximizar :. j = (p + r) a. j. ‘. t. sujeito a :. ~. - l. ~. < l | componentes de a. l a. j. inteiros nao-negativos. j. ’. ’. solucao basica factivel inicial. ’. ~. Considere os seguintes padroes de corte representados pelas colunas a. da matriz A, para. P. = 1, ... ,(m +m ) |. j. 1. j. onde = 0 |. a. i,P. $. i. 2. P. j. e P,. j. j. a. = [b ]. j,P. j. j. ’. e tambem as colunas a. j. da matriz A, para. = (m +m +1), ... ,m.. j. 1. 2. A matriz formada por estas colunas anteriores, ou seja, por a. , a. P. 1. , ... , a. P. P. 2. (m. +m. , a. 1. ). (m. 2. +m +1). 1. , a. 2. (m. +m +2). 1. 2. , ... , a. m. ’e uma ’. matriz triangular superior com determinante diferente de zero, e e. ’. ’. ’. portanto uma matriz basica. E facil verificar que o ponto x dado por componentes iguais a zero, exceto: x. = b /a. P. x. j. j. j. = 0. ,. ,. j,P. j. = 1, ... ,(m +m ) | 1. j. j. 2. P. j. e P. = (m +m +1), ... , m 1. 2. ’ ~ ’ ’ ‘ , e uma solucao basica factivel, associada evidentemente, a matriz ’ ’ basica anterior. 40.

(41) ^. ~. ’. tendencia do lucro na solucao otima. ’. ’E muito interessante, para a formacao ~ de precos, ou para o ’ ’ ’ estabelecimento de uma politica de descontos diferenciados em ~ ^ funcao do cliente, saber qual a tendencia do lucro para pequenas ’ ~ ^ alteracoes nas quantidades encomendadas. Tal tendencia pode ser ’ ’ mostrada com a ajuda dos valores das variaveis duais. lucro = - (m - n) f. d(lucro)/dq db /dq i. i. i. = - (m - n) p. = (1 + a )/l i. i. ,. i i. db /dq i. i. ,. mas. = 1, ... ,(m +m ) 1. 2. logo. d(lucro)/dq. i. = - (m - n) p. i. (1 + a )/l i. ,. i. i. = 1, ... ,(m +m ) 1. 2. ~ ~ ’ FORMULACAO ’ COMO UM PROBLEMA DE PROGRAMACAO ’ FRACIONARIA LINEAR Considerando que perda percentual total representa uma medida. ^. ’. ~. da eficiencia tecnica da operacao de recorte de estoques, Gilmore. ’. ~. e Gomory [ 1963 ] introduzem-na como funcao objetivo.. ’. S w x / S l x j e P j j j e P ~ ’ Desta maneira, o problema de programacao fracionaria linear ’ f =. j. pode ser escrito na seguinte forma: t. t. minimizar :. f = w x / d x. sujeito a :. A x = b. ‘. 0 < x < u. onde. 41.

(42) w. = 0 |. w. = l -. j j. = 1, ... ,m. j. S l a. |. i ij. i. e P. j. d. = 0 |. j. = 1, ... ,m. d. = l |. j. e P. b. = q (1 + a )/l. b. = 0 |. u. = 2a q /l. u. = 1 |. j. = (m +m +1), ... ,m. u. = 8 |. j. e P. j j i i j j j. i. i. i. j j. |. i. i. = 1, ... ,(m +m ) 1. 2. = (m +m +1), ... ,m 1. j. |. 2. = 1, ... ,(m +m ). j. 1. 1. 2. 2. ’. estrategia simplex. ’. Considerando que o denominador de f e positivo para todo x e. S = { x | A x = b, 0 < x < u }, pode ser mostrado que f e’ ’ ’ estritamente quasiconvexa e portanto um minimo local de f em S e ’ ’ tambem global. Considerando ainda que S e limitado, pode ser ’ ’ ~ ’ mostrado que o valor minimo de f e obtido numa solucao basica ’ ’ ’ factivel de S. Finalmente, e simples mostrar que o sinal da ’ derivada direcional de f e constante ao longo de qualquer reta, ’ desde que calculada em pontos onde o denominador e diferente de ’ zero. Portanto, a estrategia simplex pode ser utilizada para ’ encontrar o minimo de f em S ( Lasdon [ 1972 ] ).. ~ ’. geracao de colunas. ~. A derivada direcional de f na direcao simplex dada pelo vetor. ’. h, pode ser escrita como:. 42.

(43) D f = (w h. t. - r d. j. |. - p a )/d/ @h@. j. j. j. e N. onde t. t -1. p. = (w. w. = w x. d. = d x. r. = w/d. - r d ) B. B. B. t t. t. ’. t. Observe que w x = w x. B B. ’. poderem existir variaveis x d. j. j. ’e igual a zero.. t. t. e tambem d x = d x , pois apesar de B B. |. = u. j. e N, o correspondente w. j. j. ou. ~. Com a finalidade de escolher uma direcao simplex, obviamente. ’. ’ ^ ‘ ~ ’ preferencia a direcao onde ocorrer o minimo, para ’. de descida, pode ser utilizada a heuristica que consiste em dar j. e N, entre os. dois valores seguintes:. ’. minimo { ( w. j. ’. minimo { (-w. t. - r d. - p a )/d }. j. + r d. + p a )/d }. j. |. x. = 0. |. x. = u. j. t. j. j. j j. j. ~. ~. Observe que para as colunas que nao estao associadas com. ~. padroes de corte, ou seja para as primeiras m colunas da matriz A,. ~. ~ ~ ~ para as colunas que estao associadas com padroes de corte, deve a expressao anterior nao representa problema algum. Entretanto, ser resolvido o seguinte problema auxiliar:. ’. minimo { (w. j. t. - r d. j. - p a )/d } j. |. j. e N. ou maximizar :. ‘. sujeito a :. t. j = ((p + l) a. j. t. l a. j. - l(1 - r))/d. ~. < l | componentes de a. j. 43. inteiros nao-negativos.

(44) ^. ~. ’. tendencia da perda percentual total na solucao otima. ’. ’E interessante saber qual a tendencia ^ da perda percentual ~ total para pequenas alteracoes nas quantidades encomendadas. Tal ’ ^ tendencia pode ser calculada como a seguir: df/db. = p /d. i. db /dq. i. i. = (1 + a )/l. ,. i. = p (1 + a )/l /d. ,. i. i. i. = 1, ... ,(m +m ) 1. 2. logo. df/dq. i. i. i. i. i. = 1, ... ,(m +m ) 1. 44. 2.

(45) u--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------o ~ 1 EXEMPLOS E CONCLUSAO 1 m--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------.. ~ INTRODUCAO ’ Os programas de computador foram codificados na linguagem de. ~. ~. ‘. ~. programacao PASCAL e os tempos de execucao referem-se a utilizacao. ’. de um micro-computador do tipo IBM-PC.. ^. ’. ~. ’. ~. Os tres exemplos, que serao mostrados a seguir, sao extraidos de casos reais e foram escolhidos por bem representarem os limites. ’. ’. ~ ~ ’ ’ ’ ’ tipico problema mensal encontrado na pratica. A unidade utilizada ’ ’ ’ para comprimento e o centimetro e a unidade utilizada para peso e ( minimo e maximo ) do tempo de execucao para a resolucao de um. o kilograma-forca ( denotado abreviadamente por Kg ). Os precos. ’. ~. empregados nestes exemplos estao dispostos na tabela abaixo.. u----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------o 1 Precos em junho de 1987 ( Cz$ / Kg ) 1 ’ F++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++T+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++H 1 Preco do Rolo de Papel 1 30.00 1 ’ j------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------k-----------------------------------------------------------------l 1 Preco da Apara 1 6.00 1 ’ j------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------k-----------------------------------------------------------------l 1 Custo do Rolo de Papel 1 15.00 1 m------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------,-----------------------------------------------------------------.. 45. ’.

(46) ’E importante lembrar que no caso do objetivo ser maximizar o ’ ~ lucro, e facultada a imposicao de precos diferenciados, que ’ ’ ^ ’ poderiam ser consequencia por exemplo, de uma politica de ~ ’ ’ descontos em funcao da quantidade encomendada. Uma tal politica e ’ exemplificada na tabela abaixo.. u---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------o ’ 1 Politica de Descontos 1 F+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++T+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++H 1 Toneladas 1 Desconto 1 j-----------------------------------------------------------------k-----------------------------------------------------------------l 1 11 - 20 1 2.00% 1 j-----------------------------------------------------------------k-----------------------------------------------------------------l 1 21 - 30 1 4.00% 1 j-----------------------------------------------------------------k-----------------------------------------------------------------l 1 31 - 40 1 6.00% 1 j-----------------------------------------------------------------k-----------------------------------------------------------------l 1 41 - 50 1 8.00% 1 j-----------------------------------------------------------------k-----------------------------------------------------------------l 1 51 1 10.00% 1 m-----------------------------------------------------------------,-----------------------------------------------------------------.. ^. As tres tabelas seguintes mostram os dados particulares do correspondente exemplo.. 46.

(47) u------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------o 1 Exemplo 1 ( l = 246.0 ) 1 j------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------l 1 l l’ q a 1 F++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++H 1 1 66.0 52263.0 0.05 1 1 1 71.0 5958.0 0.15 1 1 1 72.0 16358.0 0.10 1 1 1 73.0 6126.0 0.15 1 1 1 74.0 6210.0 0.15 1 1 1 77.0 64618.0 0.05 1 1 1 78.0 6545.0 0.15 1 1 1 81.0 7074.0 0.15 1 1 1 83.0 6966.0 0.15 1 1 1 85.0 13079.0 0.10 1 1 1 86.0 6744.0 0.15 1 1 1 88.5 11142.0 0.10 1 1 1 90.0 65468.0 0.05 1 1 1 92.0 6300.0 0.15 1 1 1 93.0 53274.0 0.05 1 1 1 94.0 6575.0 0.15 1 1 1 107.0 11976.0 0.10 1 1 m------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------.. 47.

(48) u------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------o 1 Exemplo 2 ( l = 250.0 ) 1 j------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------l 1 l l’ q a 1 F++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++H 1 1 48.0 5000.0 0.10 1 1 1 50.0 30000.0 0.10 1 1 1 60.0 8500.0 0.10 1 1 1 61.0 4000.0 0.10 1 1 1 63.0 5000.0 0.10 1 1 1 70.0 6000.0 0.10 1 1 1 72.0 5000.0 0.10 1 1 1 77.0 8500.0 0.10 1 1 1 84.0 10000.0 0.10 1 1 1 85.0 6000.0 0.10 1 1 1 86.0 46000.0 0.10 1 1 1 87.0 5000.0 0.10 1 1 1 93.0 30000.0 0.10 1 1 1 100.0 4000.0 0.10 1 1 1 104.0 13000.0 0.10 1 1 1 96.0 66.0 72000.0 0.10 1 1 1 100.0 70.0 7800.0 0.10 1 1 1 113.0 77.0 21000.0 0.10 1 m------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------.. 48.

(49) u------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------o 1 Exemplo 3 ( l = 414.0 ) 1 j------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------l 1 l l’ q a 1 F++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++H 1 1 25.0 15000.0 0.05 1 1 1 27.0 10000.0 0.05 1 1 1 27.9 9200.0 0.05 1 1 1 29.5 15000.0 0.05 1 1 1 31.8 5700.0 0.05 1 1 1 35.5 4900.0 0.05 1 1 1 38.0 30000.0 0.05 1 1 1 39.0 5400.0 0.05 1 1 1 42.0 20000.0 0.05 1 1 1 43.2 5400.0 0.05 1 1 1 46.0 20000.0 0.05 1 1 1 46.5 30000.0 0.05 1 1 1 47.0 344000.0 0.05 1 1 1 47.5 30000.0 0.05 1 1 1 48.0 170000.0 0.05 1 1 1 51.0 5000.0 0.05 1 1 1 55.0 4000.0 0.05 1 1 1 55.9 5000.0 0.05 1 1 1 66.0 120000.0 0.05 1 1 1 75.0 30000.0 0.05 1 1 1 80.0 65000.0 0.05 1 1 1 89.0 10000.0 0.05 1 1 1 102.5 15600.0 0.05 1 1 1 110.0 70000.0 0.05 1 1 1 90.0 56.0 10000.0 0.05 1 1 1 96.0 66.0 41000.0 0.05 1 1 1 92.0 75.0 5000.0 0.05 1 1 1 112.0 76.0 10000.0 0.05 1 1 1 112.0 92.0 10000.0 0.05 1 1 m------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------.. 49.

(50) RESULTADOS SEM DESCONTOS. u-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------o ~ ~ 1 Tempo de Execucao ( minutos ) / Iteracoes 1 ’ ’ F+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++T+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++T+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++H 1 Exemplo Pedidos l ( mm ) 1 Perda% 1 Lucro 1 j-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------k-----------------------------------------------------------------k-----------------------------------------------------------------l 1 1 17 2460 1 0.5 / 120 1 0.2 / 34 1 j-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------k-----------------------------------------------------------------k-----------------------------------------------------------------l 1 2 21 2500 1 0.7 / 121 1 0.4 / 42 1 j-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------k-----------------------------------------------------------------k-----------------------------------------------------------------l 1 3 34 4140 1 8.6 / 173 1 5.5 / 48 1 m-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------,-----------------------------------------------------------------,-----------------------------------------------------------------.. u--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------o ^ ’ 1 Eficiencia Tecnica ( % ) 1 F++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++T+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++T+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++T+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++H ~ 1 Exemplo 1 Perda% 1 Lucro 1 Variacao 1 ’ j--------------------------------------------------k-----------------------------------------------------------------k-----------------------------------------------------------------k-----------------------------------------------------------------l 1 1 1 99.43 1 98.94 1 -0.49% 1 j--------------------------------------------------k-----------------------------------------------------------------k-----------------------------------------------------------------k-----------------------------------------------------------------l 1 2 1 99.89 1 99.79 1 -0.10% 1 j--------------------------------------------------k-----------------------------------------------------------------k-----------------------------------------------------------------k-----------------------------------------------------------------l 1 3 1 100.00 1 99.98 1 -0.02% 1 m--------------------------------------------------,-----------------------------------------------------------------,-----------------------------------------------------------------,-----------------------------------------------------------------.. u--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------o 1 Lucro ( Milhares de Cruzados ) 1 F++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++T+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++T+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++T+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++H ~ 1 Exemplo 1 Perda% 1 Lucro 1 Variacao 1 ’ j--------------------------------------------------k-----------------------------------------------------------------k-----------------------------------------------------------------k-----------------------------------------------------------------l 1 1 1 5161.72 1 5551.54 1 7.55% 1 j--------------------------------------------------k-----------------------------------------------------------------k-----------------------------------------------------------------k-----------------------------------------------------------------l 1 2 1 4268.67 1 4726.33 1 10.72% 1 j--------------------------------------------------k-----------------------------------------------------------------k-----------------------------------------------------------------k-----------------------------------------------------------------l 1 3 1 17038.80 1 17562.55 1 3.07% 1 m--------------------------------------------------,-----------------------------------------------------------------,-----------------------------------------------------------------,-----------------------------------------------------------------.. 50.