Modelos Matemáticos: Uma Lista de Funções Essenciais

Modelos Matem´

aticos:

Uma Lista de Fun¸c˜

oes Essenciais

Universidade Tecnol´ogica Federal do Paran´a Campus Francisco Beltr˜ao

Disciplina: C´alculo Professor: Jonas Joacir Radtke

Um modelo matem´atico ´e a descri¸c˜ao matem´atica de um fenˆomeno do mundo real, como por exemplo:

o tamanho de uma popula¸c˜ao, a demanda de um produto,

a concentra¸c˜ao de um produto em uma rea¸c˜ao qu´ımica ou o custo da redu¸c˜ao de poluentes.

Modelos Lineares

Quando dizemos que y ´e uma fun¸c˜ao linear de x , queremos dizer que o gr´afico da fun¸c˜ao ´e uma reta; assim, podemos usar a forma inclina¸c˜ao-intersec¸c˜ao da equa¸c˜ao de uma reta para escrever uma f´ormula para esta fun¸c˜ao, ou seja

f (x ) = mx + b

onde m ´e o coeficiente angular da reta e b ´e a intersec¸c˜ao com o eixo y .

Exemplo:

(a) A medida que o ar seco move-se para cima, ele se expande e` esfria. Se a temperatura do solo for 20o_{C e a temperatura a}

uma altitude de 1 km for de 10oC , expresse a temperatura T (emoC ) como uma fun¸c˜ao da altitude h (em km), supondo que um modelo linear seja apropriado.

(b) Fa¸ca um gr´afico da fun¸c˜ao obtida. O que representa a inclina¸c˜ao?

Exemplo: A tabela 1 fornece uma lista de n´ıveis m´edios de di´oxido de carbono na atmosfera, medidos em partes por milh˜ao em um observat´orio do Hava´ı, de 1980 a 2002. Use os dados da tabela para encontrar um modelo para o n´ıvel de di´oxido de carbono.

Figura: Modelo linear usando regress˜ao.

Polinˆ

omios

P(x ) = anxn+ an−1xn−1+ · · · + a2x2+ a1x + a0

onde

n ´e um inteiro n˜ao negativo.

a0, a1, ..., an s˜ao coeficientes do polinˆomio.

Exemplo:

P(x ) = 2x6− x4+2 5x

3₊√₂

Exemplo: Um polinˆomio de grau 1 ´e da forma P(x ) = mx + b e, portanto, ´e uma fun¸c˜ao linear.

Exemplo: Um polinˆomio de grau 2 ´e da forma P(x ) = ax2+ bx + c

e ´e chamado fun¸c˜ao quadr´atica. O gr´afico de P ´e sempre uma par´abola que abre-se para cima se a > 0 e para baixo quando a < 0.

Exemplo: Um polinˆomio de grau 3 tem a forma P(x ) = ax3+ bx2+ cx + d

Exemplo: Uma bola ´e solta a partir do posto de observa¸c˜ao no topo da Torre CN, 450 m acima do ch˜ao, e sua altura h acima do solo ´e registrada em intervalos de 1 segundo na tabela 2. Encontre um modelo para ajustar os dados e use-o para predizer o tempo ap´os o qual a bola atinge o ch˜ao.

449, 36 + 0, 96t + 4, 90t2= 0 ⇒ t ≈ 9, 67

Fun¸c˜

oes Potˆ

encias

Uma fun¸c˜ao da forma

f (x ) = xa

onde, a ´e uma constante, ´e chamada fun¸c˜ao potˆencia.

(i) a = n, onde n ´e um inteiro positivo.

Se n for par, ent˜ao f (x ) = xnser´a uma fun¸c˜ao par e seu gr´afico ´e similar ao da par´abola y = x2_.

Se n for ´ımpar, ent˜ao f (x ) = xn _{ser´a uma fun¸c˜ao ´ımpar e seu}

(ii) a = _n1, onde n ´e um inteiro positivo.

Para n = 2 ela ´e a raiz quadrada f (x ) =√x , cujo dom´ınio ´e [0, ∞) e cujo gr´afico ´e a parte superior do gr´afico da par´abola x = y2_.

Para n = 3, temos a fun¸c˜ao raiz c´ubica f (x ) =√3_{x cujo}

(ii) a = −1

O gr´afico da fun¸c˜ao rec´ıproca f (x ) = x−1 = 1_x est´a na figura abaixo. Seu gr´afico tem a equa¸c˜ao y = 1_x, ou xy = 1, e ´e uma hiperbol´oide com eixos coordenados como suas ass´ıntotas.

Exemplo: A fun¸c˜ao rec´ıproca aparece em f´ısica e qu´ımica em conex˜ao com a Lei de Boyle, que afirma que, sendo constante a temperatura, o volume de um g´as ´e inversamente proporcional `a press˜ao:

V = C P onde C ´e uma constante.

Fun¸c˜

oes Racionais

Uma fun¸c˜ao racional f ´e a raz˜ao de dois polinˆomios f (x ) = P(x )

Q(x )

em que P e Q s˜ao polinˆomios. O dom´ınio consiste em todos os valores de x tais que Q(x ) 6= 0.

Exemplo: A fun¸c˜ao

2x4− x2_{+ 1}

x2_{− 4}

Fun¸c˜

oes Alg´

ebricas

Uma fun¸c˜ao ´e chamada fun¸c˜ao alg´ebrica se puder ser constru´ıda por meio de opera¸c˜oes alg´ebricas (como adi¸c˜ao, subtra¸c˜ao, multiplica¸c˜ao, divis˜ao e extra¸c˜ao de raiz) a partir de polinˆomios.

f (x ) =px2_{+ 1} g (x ) = x 4_{− 16x}2 x +√x + (x − 2) 3 √ x + 1

Exemplo: Um exemplo de fun¸c˜ao alg´ebrica ocorre na Teoria da Relatividade. A massa de uma part´ıcula com uma velocidade v ´e

m = f (v ) = qm0 1 −v_c22

em que m0 ´e a massa da part´ıcula em repouso e

c = 3, 0 × 105km/s ´e a velocidade da luz no v´acuo.

Fun¸c˜

oes Trigonom´

etricas

Em c´alculo convenciona-se dar a medida de ˆangulos em radianos (exceto quando explicitamente mencionado).

Observe que tanto para a fun¸c˜ao seno quanto para a fun¸c˜ao cosseno o dom´ınio ´e (−∞, ∞), e a imagem ´e o intervalo fechado [−1, 1]

Uma propriedade importante das fun¸c˜oes seno e cosseno ´e que elas s˜ao peri´odicas, com um per´ıodo 2π. Isto significa que para todos os valores de x :

sen (x + 2π) = sen (x ) e cos(x + 2π) = cos(x )

A natureza peri´odica dessas fun¸c˜oes torna-se adequadas `a modelagem de fenˆomenos repetitivos, tais como mar´es, cordas vibrantes e ondas sonoras.

A fun¸c˜ao tangente relaciona-se com as fun¸c˜oes seno e cosseno pela equa¸c˜ao

tg (x ) = sen (x ) cos(x )