( y + 4) = = 0 y + 4 = 0 y = 4

(1)

Questão 1 – Uma circunferência de equação

x

2

+

y

2

−

8 x

+

8 y

+

16 =

0

é tangente ao eixo das abscissas no ponto

M

e tangente ao eixo das ordenadas no ponto

N

. Sabendo que

T

é o centro da circunferência, determine:

a) as coordenadas de

M

,

N

e

T

.

Primeiramente determinaremos o centro

T

da circunferência

C x

:

2

+

y

2

−

8 x

+

8 y

+

16 =

0

. Completando quadrado temos,

0 )

16

8 (

)

8 (

x

2

−

x

+

y

2

+

y

+

=

⇒

(

x

2

− +

8 x

16) 16 (

− +

y

2

+

8 y

+

16)

=

0,

ou seja, 2 2

: (

4)

(

4)

16. C

x

−

+ +

y

=

Logo

T

(4, 4)

−

.

Como

C

é tangente ao eixo das abscissas no ponto

M

, temos

M x

( , 0)

. Substituindo

y

=

0

na equação de

C

, obtemos

2 2

(

x

−

4)

+ +

(0 4)

=

16

⇒

(

x

−

4)

2

= − =

16 16

0

⇒

x

− =

4

0

⇒

x

=

4

Logo,

M

(4, 0).

Como

C

também é tangente ao eixo das ordenadas no ponto

N

, temos

N

(0, )

y

. Substituindo

x

=

0

na equação de

C

, obtemos

2 2

(0 4)

−

+ +

(

y

4)

=

16

⇒

(

y

+

4)

2

= − =

16 16

0

⇒

y

+ =

4

0

⇒

y

= −

4

Portanto,

N

(0, 4).

−

b) o comprimento do segmento

MN

.

Como

M

(4, 0)

e

N

(0, 4)

−

, temos que a distância entre esses dois pontos é

2 2

(

,

)

((4, 0), (0, 4))

(4 0)

(0 ( 4))

d M N

=

d

−

=

−

+ − −

⇒

d M N

(

,

)

=

16 16

+

=

4 2

u.c Logo a medida do segmento

MN

é

4 2

u.c.

c) a área do triângulo de vértices

M

,

N

e

T

.

Como a tangente a um círculo é perpendicular ao raio deste, segue que os segmentos

MT

e

NT

são perpendiculares ao eixo das abscissas e ao eixo das ordenadas respectivamente. Logo o triângulo de vértices

,

M N

e

T

é retângulo em

T

.

Os segmentos

MT

e

NT

correspondem ao raio da circunferência

C

, logo

MT

=

NT

=

4

u.c. Assim a área do triângulo de vértices

M

,

N

e

T

é

4 4

2

2 MT

NT

(2)

Questão 2 – Um estudante, ao dividir corretamente o polinômio

M x

( )

pelos polinômios

D x

₁

( )

= +

(

x

1)

, 2

( )

= −

(

1)

D x

x

e

D x

₃

( )

= +

(

x

2)

, obteve, respectivamente, os restos

R x

₁

( )

= −

1

,

R x

₂

( ) 1

=

e

R x

₃

( )

=

0

. Qual o polinômio resto

R x

( )

da divisão de

M x

( )

por

D x

( )

= +

(

x

1)(

x

−

1)(

x

+

2)

?

Ao dividir um polinômio

M x

( )

por um outro polinômio

P x

( ),

sabemos pelo algoritmo da divisão que existem polinômios

Q x

( )

e

R x

( )

tais que

( )

( ) ( )

( )

M x

=

P x Q x

+

R x

, com

0 ≤

gr R x

( ( ))

<

gr P x

( ( ))

. Assim, existem

Q x

₁

( ),

Q x

₂

( )

e

Q x

₃

( )

tais que

M x

( )

=

D x Q x

₁

( )

₁

( )

+

R x

₁

( )

⇒

M x

( )

= +

(

x

1)

Q x

₁

( )

+ −

( 1)

⇒

M

( 1)

− = −

1 M x

( )

=

D x Q x

₂

( )

₂

( )

+

R x

₂

( )

⇒

M x

( )

= −

(

x

1)

Q x

₁

( ) 1

+

⇒

M

(1) 1

=

M x

( )

=

D x Q x

3

( )

3

( )

+

R x

3

( )

⇒

M x

( )

= +

(

x

2)

Q x

1

( )

+

0

⇒

M

( 2)

− =

0

Como

D x

( )

= +

(

x

1)(

x

−

1)(

x

+

2)

é um polinômio de grau 3, ao dividir

M x

( )

por

D x

( )

, obtemos

( )

(

1)(

2) ( )

( )

M x

= +

x

−

x

+

Q x

+

R x

, com

0 ≤

gr R x

( ( ))

<

gr D x

( ( ))

=

3

. Logo podemos escrever

2

( )

R x

=

ax

+ +

bx

c

, onde

a b c

, ,

∈

_R

. Como,

( 1)

1 R

− =

M

− = −

,

R

(1)

=

M

(1) 1

=

e

R

( 2)

− =

M

( 2)

− =

0

obtemos,

1 ( )

4

2 0 (

)

a

b

c

I

a b

c

II

a

b c

III

− + = −





+ + =





₋

_{+ =}



Somando (I) e (II) segue que

2 a

+

2 c

=

0 ⇒

c

= −

a

.

Substituindo

c

= −

a

em (III) obtemos

4 a

−

2 b a

− =

0 ⇒

3

2 a

b

=

Substituindo

c

= −

a

e

3

2 a

b

=

em (II), temos

3

1

2 a

a

+

− =

a

⇒

2

3 a

=

. logo,

3

1

2 a

b

=

e

2

3 c

= − = −

a

. Portanto

( )

2

3

3 R x

=

x

+ −

x

.

(3)

Questão 3 – Após pesquisas na internet, um internauta construiu a seguinte tabela, com produtos de seu interesse: P R O D U T O S PENDRIVE LIVRO DVD R$ 30,00 (8GB) R$ 40,00 (Infantil) R$ 50,00 (Filme) CUSTO UNITÁRIO R$ 60,00 (16GB) R$ 70,00 (Técnico) R$ 55,00 (Musical)

Esse internauta efetuou compras, adquirindo um total de 120 objetos. Os produtos comprados foram: pendrives, livros e DVDs. Sabe-se que as quantidades adquiridas de pendrives de 8GB e 16GB foram iguais, e que valem afirmações análogas com relação aos tipos de livros e também aos tipos de DVDs. Além disso, sabe-se que o internauta gastou R$ 2.600,00, ao adquirir pendrives de 8GB, livros infantis e DVDs de música, e gastou R$ 3.700,00, ao adquirir pendrives de 16GB, livros técnicos e DVD’s de filme. Determine a quantidade de pendrives comprada por esse internauta.

Sejam

x y

,

e

z

as quantidades de pendrives, livros e DVDs adquiridas pelo internauta. Logo temos o seguinte sistema.

2

120

30

40

55 2600

60

70

50 3700

x

y

z

x

y

z

x

y

z

+

=





+

=





₊

₌



⇔

1 2 3

60 (E )

6

8

11 520 (E )

6

7

5

370 (E )

x

y

z

x

y

z

x

y

z

+

=





+

=





₊

₌



Escalonando o sistema: fazendo

E = E

₁' ₁,

E = E

'₂ ₂

−

6E

₁ e

E = E

₃' ₃

−

6E

₁, obtemos o sistema equivalente ' 1 ' 2 ' 3

60 (E )

2

5

160 (E )

10 (E )

x

y

z

y

z

y

z

+

+ =





+ =





_{− =}



Fazendo

E

"₃

=

E

'₂

−

2E

₃' obtemos " 1 " 2 " 3

60 (E )

2

5

160 (E )

7

140 (E )

x

y

z

y

z

+

+ =





+ =





₌



Logo

z

=

20

. Substituindo

z

=

20

em

E

"₂, obtemos

y

=

30

. Substituindo

z

=

20

e

y

=

30

em

E

"₁, obtemos

x

=

10

. Portanto, o internauta comprou 10 pendrives de cada tipo.

(4)

Questão 4 – Uma loja, no ano de seu centenário, lançou um cartão de crédito para seus clientes vips (especiais).

Para a codificação destes cartões foram utilizadas sequências de 5 algarismos, sem repetição, dentre os algarismos

0,1, 2,

…

, 9.

Para fins de propaganda, determinou-se que o último algarismo, em cada código, deve ser ímpar, pois a loja considera seus clientes vips “ímpares”. Sabendo-se que um cartão se diferencia de outro cartão pela disposição de seus algarismos, na sua respectiva codificação, determine:

a) quantos cartões de crédito para clientes vips foram fabricados.

Como o ultimo algarismo deve ser impar, temos 5 possibilidades para o mesmo. Pelo principio multiplicativo temos

ímpar

9 ×

8 ×

7 ×

6 ×

5 =

15120.

Ou seja, foram fabricados 15120 cartões de crédito para os clientes vips.

b) entre os cartões de crédito fabricados, quantos possuem a soma de seus dois últimos algarismos igual a 10.

Como o ultimo algarismo deve ser impar e a soma de seus dois últimos algarismos deve ser igual a 10, temos as seguintes possibilidades:

1

9

8 ×

7 ×

6 × ×

1

1 =

336

9

1

3

7

3

Pelo principio multiplicativo temos

4 (8 7 6 1 1)

× × × × × = ×

4 336 1344

=

cartões de crédito fabricados, cuja a soma de seus dois últimos algarismos é igual a 10.

(5)

Questão 5 – Nas Olimpíadas de Londres (2012), verificou-se que, em uma partida de basquete entre EUA e

Nigéria, 70% dos lances livres marcados a favor do time norte-americano foram cobrados por jogadores com mais de 2 metros de altura. Sabe-se que, de acordo com estatísticas desse jogo, a probabilidade de um lance livre a favor do time dos EUA ter sido convertido é 82%, se o jogador tivesse mais de 2 metros de altura e 75% em caso contrário.

Usando essas informações, responda com argumentos matemáticos os itens a e b.

a) Sabendo que no terceiro quarto da partida uma falta foi marcada a favor do time dos EUA e foi cobrado

um lance livre, qual a probabilidade de o lance livre ter sido cobrado por um jogador com altura superior a 2 metros e ter sido convertido?

Seja

X

o jogador do time dos EUA que cobrou o lance livre. Sabemos que 70% dos lances livres marcados a favor do time norte-americano foram cobrados por jogadores com mais de 2 metros de altura. Logo

70 (

2 metros)

100 P X

>

=

7

10 =

.

Como a probabilidade de um lance livre a favor do time dos EUA ter sido convertido é 82%, se o jogador tivesse mais de 2 metros de altura temos que a probabilidade pedida é:

7

82

574 10 100

1000

P

=

×

=

⇒

P

=

0, 574

.

Cobrador do

lance livre a favor

do time dos EUA

Altura superior

a 2 metros

Acerta o lance livre

Erra o lance livre

7

10

82

100 Altura inferior ou

igual a 2 metros

Acerta o lance livre

Erra o lance livre

18

100

75

100

25

100

3

10

(6)

b) Sabendo que uma falta foi marcada a favor da equipe dos EUA no último minuto da partida e o lance livre

foi desperdiçado, qual a probabilidade de o cobrador desse lance livre ter sido um jogador com altura superior a 2 metros?

Suponha que foram marcados

Y

lances livres a favor do time dos EUA. Pelas informações da questão, temos que

7

18 10 100

Y





×









, ou seja,

0,126 Y

×

foram desperdiçados por jogadores norte americanos com altura superior a 2 metros e

3

25 10 100

Y





×









, ou seja,

0, 075 Y

×

foram desperdiçados por jogadores norte americanos com altura inferior ou igual a 2 metros. Logo, a probabilidade pedida é: