Sistemas de controle. Prof. André Schneider de Oliveira

(1)

Sistemas de controle

(2)

Estrutura da apresentação

•  Conceitos fundamentais do sistemas de controle

•  Características da resposta

•  Introdução à estabilidade

•  Polos e zeros

•  Conceito de estabilidade

(3)

Estrutura básica de controle

(4)

Deﬁnição

•   Sistema de controle deve alcançar e estabilizar sua

resposta no valor desejado.

•   A precisão está relacionada com o erro do sistema

(diferença entre o desejado e obtido) após estabilizar sua

resposta.

(5)

Estágios da resposta

•  O período entre o estímulo de entrada e a estabilização da resposta do sistema é denominado de resposta em regime transitório

•  O período após a transição da resposta do sistema, onde, o sistema estabiliza em um determinado valor é denominado de resposta em regime permanente

(6)

Es7mulo degrau

•   As estratégias de controle modiPicam suas ações corretivas

de acordo com os estímulos de entrada.

•   Na análise da resposta de sistema de controle

tradicionalmente é realizado um estímulo de degrau na

estrada do controlador para analisar a saída.

(7)

Es7mulo degrau

•   O degrau é uma transição instantânea do sinal de

referencia do regime permanente inicial (geralmente nulo)

para o valor desejado.

(8)

Tempo de subida

•  Tempo de subida (rise time) é o tempo gasto para que a resposta do sistema a um degrau vá de seu valor (normalmente zero) até o valor Pinal

•  Tradicionalmente especiPicado como o tempo gasto para a

resposta aumentar de algum percentual indicado (por exemplo 20%) para outra porcentagem especiPicada (por exemplo 70%).

(9)

Tempo de subida

•   Quanto menor for o valor do tempo de subida menor será o

atraso do sistema para responder ao estímulo do degrau

(10)

Tempo de pico

•  O tempo de pico (peak time) é o tempo gasto para a resposta ir do valor nulo até o primeiro valor de pico.

•  Tempo necessário para a resposta do sistema sair do repouso e ir para o primeiro pico.

(11)

Tempo de estabilização

•  Intervalo para que as oscilações na resposta do sistema

desapareçam.

•  Tempo necessário para a resposta diminuir e permanecer dentro de um percentual desejado, como por exemplo, 1% do valor Pinal

(12)

Sobre-‐passagem

•  Sobre-‐passagem (sobre-‐sinal ou overshoot) é a quantidade máxima em que a resposta ultrapassa o valor de referencia

•  Ou simplesmente, é quanto a resposta do sistema ultrapassa o valor desejado

(13)

Estabilidade

•  A principal forma de determinar o desempenho de um sistema de controle é a estabilidade do sistema.

•  A estabilidade de um sistema de controle está associado com a capacidade desse sistema gerar uma resposta única

invariante no tempo.

•  É possível dePinir o conceito de estabilidade como:

“Um sistema de controle é estável, se e somente se, um sinal de entrada de amplitude limitada promove uma resposta

(14)

Instabilidade

•  O termo instabilidade, está relacionado com geração de uma saída que tende a inPinito, ou seja, variante no tempo, e pode ser dePinido como:

“Um sistema de controle é instável, se a resposta do sistema é variante no tempo e, naturalmente, tende ao inBinito.“

•  A estabilidade de um sistema de controle não é uma medida única, ou seja, um sistema não é unicamente estável ou instável

•  Para o entendimento é preciso discutir os elementos que compõem um sistema de controle: os polos e os zeros

(15)

Sistema de Controle

•   Um sistema de controle pode ser entendido como uma

relação de sua saída por sua entrada que gera a função de

transferência do sistema

G s =

y(t)

u(t)

=

!

_!

!

_{+ !}

!

!!!

+ ⋯ + !

!!!

+ !

!

_!

!

_{+ !}

!

!!!

+ ⋯ + !

!!!

+ !

!

(16)

Polos e zeros

•   Os polos e zeros podem ser entendidos como soluções

para a função de transferência G(s)

•   “ O polo é um numero real ou complexo n, que quando

aplicado a função de transferência G(s) resulte em

inBinito, ou seja, |G(n)| = ∞.”

•   “ O zero é um numero real ou complexo n, que quando

aplicado a função de transferência G(s) resulte em

zero, ou seja, |G(n)| = 0.”

(17)

Polos e zeros

•   Exemplo 01: Extrair os polos e zeros do sistema

•  Zeros: são obtidos através das soluções do numerador da função de transferência do sistema, ou seja, solucionando a equação s +2=0. Assim, o único zero do sistema é s=-‐2

•  Polos: são obtidos através das soluções do denominador da função de transferência do sistema, ou seja, solucionando a equação s2_{+4s=0.

Assim,
os
polos
do
sistema
são
s=0
e
s=-‐4}

! ! =

! + !

!

_{+ !"}

(18)

Polos e zeros

•   Exemplo 02: Extrair os polos e zeros do sistema

•   Zeros: Solução da equação s+2=0 à s=-‐2

•   Polos: Solução da equação s

2

+4=0 à s=+2i e s=-‐2i

! ! = ! + ! !! _{+ !}

(19)

Diagrama de polos e zeros

•  O diagrama de polos e zeros demonstra os aspectos de

estabilidade do sistema

•  É construído no plano S que é um plano com um eixo Real e um eixo Imaginário

(20)

Diagrama de polos e zeros

•  Os polos e zeros são desenhados no plano S de acordo com seu valor.

(21)

Diagrama de polos e zeros

•   Exemplo 01:

•  Zeros: o único zero do sistema é s=-‐2

•  Polos: os polos do sistema são s=0 e s=-‐4

! ! =

! + !

(22)

Diagrama de polos e zeros

•  %-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐

•  % Exemplo 01

•  %-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐

• 

•  clc %limpa o console

•  close all %fecha todas as janelas existentes

•  clear all %limpa todas as variaveis

• 

•  s = tf('s'); %deBine a variavel simbolica "s"

• 

•  numerador = s+2;

•  denominador = s^2+4*s;

•  sistema = numerador/denominador

• 

•  zeros = zero(sistema) %extrai os zeros do sistema

•  polos = pole(sistema) %extrai os polos do sistema

• 

•  Bigure %cria uma nova janela

•  pzmap(sistema) %desenha os polos e zeros

• 

•  grid % coloca grid no graBico

•  title('Exemplo 01')

•  xlabel('Eixo real');

•  ylabel('Eixo imaginario');

(23)

Diagrama de polos e zeros

•   Exemplo 02:

•   Zeros: único zero s=-‐2

•   Polos: s=+2i e s=-‐2i

! ! = ! + ! !! _{+ !}

(24)

Diagrama de polos e zeros

•  %-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐

•  % Exemplo 02

•  %-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐

• 

•  numerador = s+2;

•  denominador = s^2+4;

•  sistema = numerador/denominador

• 

•  zeros = zero(sistema) %extrai os zeros do sistema

•  polos = pole(sistema) %extrai os polos do sistema

• 

•  axis([-‐3 .5 -‐5 5]);

(25)

Conceito de estabilidade

•  A estabilidade está associada com a localização dos polos e zeros no plano S, em relação ao eixo imaginário.

•  Os polos são os principais fatores que afetam a estabilidade do sistema e sua localização no plano S está diretamente relacionada com o tipo de resposta do sistema.

•  O eixo imaginário é como um “limite” entre a região de estabilidade e instabilidade.

(26)

Conceito de estabilidade

•  Os polos devem estar à esquerda do eixo imaginário para o sistema ser considerado estável.

•  Polos à direita do eixo imaginário introduzem instabilidades ao sistema.

(27)

Conceito de estabilidade

•   A estabilidade depende diretamente da localização dos

polos da função de transferência do sistema

•   Um sistema não é dito unicamente estável ou instável,

existem outras denominações de estabilidade que estão

relacionadas com a localização dos polos.

“Um sistema é chamado assintoticamente estável se

todos os polos da função de transferência encontram-‐se

no lado esquerdo do eixo imaginário do plano S”

(28)

Conceito de estabilidade

“Um sistema é chamado de marginalmente estável se

existe um polo real simples na origem ou pares

conjugados simples no eixo imaginário; e todos demais

polos à esquerda do eixo imaginário do plano S”

“Um sistema é chamado de instável se pelo menos um

polo estiver à direita do eixo imaginário do plano S, ou se

ocorrerem raízes múltiplas no eixo imaginário”

(29)

Critérios de estabilidade de

Routh-‐Hurwitz

•   O critério de Routh-‐Hurwitz é uma metodologia para a

determinação da localização dos polos de uma função de

transferência sem a necessidade de calcula-‐los

•   É possível determinar também as condições de estabilidade

do sistema, prevendo quantos polos estão localizados a

(30)

Critérios de estabilidade de

Routh-‐Hurwitz

(31)

Critérios de estabilidade de

Routh-‐Hurwitz

https://drive.google.com/file/d/0B_Iu05AZenzUZGhXVjBBOUdpR2s/ view?usp=sharing

(32)

Critérios de estabilidade de

Routh-‐Hurwitz

•  Exemplo 03 – Determine a distribuição dos polos no plano S utilizando o critério de Routh-‐Hurwitz para a função de

transferência abaixo. s4 1 5 4 0 s3 1 2 0 0 s2 b₁ b₂ 0 0 s1 c₁ 0 0 0 s0 d₁ 0 0 0

! ! =

!

_+!

!

_+!"

!

_{+ !" + !}

!_! = −!"# ! !! ! ! = ! !_! = −!"# ! !! ! ! = !

(33)

Critérios de estabilidade de

Routh-‐Hurwitz

!_! = −!"# ! !! ! ! = ! ! = !. !" s4 1 5 4 0 s3 1 2 0 0 s2 3 4 0 0 s1 0.67 0 0 0 s0 d₁ 0 0 0 !! = − !"# ! ! !. !" ! !. !" = ! s 4 ₁ _{5 4 0} s3 1 2 0 0 s2 3 4 0 0 s1 0.67 0 0 0 s0 4 0 0 0

Não é possível identificar trocas de sinais na primeira coluna.

Então, todas as raízes então

localizadas ao lado esquerdo do eixo imaginário do plano S.

(34)

•  %-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐ •  % Exemplo 03

•  %-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐-‐

• 

•  •  numerador = 1; •  denominador = s^4+s^3+5*s^2+2*s+4; •  •  sistema = numerador/denominador • 

•  Zeros = zero(sistema) %extrai os zeros do sistema

•  Polos = pole(sistema) %extrai os polos do sistema

• 

•  RHpolos=Routh(sistema); %determinacao do criterio de Routh-‐Hurwitz e

•  %calculo da quantidade de polos no lado direito

•  %do eixo imaginario do plano S

• 

•  fprintf('\n Numero de polos do lado direito do eixo imaginario =%2.0f\n',RHpolos)

• 

(35)

Exercícios

•  Determine se os sistemas descritos abaixo são estáveis ou instáveis, justiBicando sua resposta em relação ao

posicionamento dos polos em relação do Plano S, utilizando o critério de Routh-‐Hurwitz:

1. ! ! = ! !!_!!"!_!!!!_!!"!! 2. ! ! = ! !!_!!"!_!!!!_!!"!! 3. ! ! = ! !!!_!!"!_!!"!! 4. ! ! = ! !!_!!!_!!! 5. ! ! = ! !!_!!!_!!!_!! 6. ! ! = ! !!!!!!!!!!"

Sistemas de controle. Prof. André Schneider de Oliveira