Universidade Federal de Uberlˆandia Faculdade de Matem´atica
Disciplina : Matem´atica Financeira (GMA046)
Assunto: Porcentagem, juros simples e compostos e aplica¸c˜oes Prof: Sato
1a
Lista de exerc´ıcios
1
Juros simples
1. Desenhe o diagrama de fluxo de caixa para uma pessoa que, durante 6 meses, fez dep´ositos de R$ 25.000,00 numa Caderneta de Poupan¸ca, sempre no in´ıcio de cada mˆes. Nos trˆes meses que se seguiram, perdeu o emprego e foi obrigada a fazer retiradas de R$ 30.000,00, tamb´em no in´ıcio de cada mˆes, tendo esgotado o seu saldo.
2. Represente com um diagrama de fluxo de caixa as seguintes opera¸c˜oes financeiras:
(a) Uma aplica¸c˜ao de R$ 50.000,00 pela qual o investidor recebe R$ 80.000,00 ap´os dois anos. (b) A compra de um objeto, cujo pre¸co a vista ´e R$ 30.000,00, em 12 presta¸c˜oes mensais de
R$2.600,00, vencendo a primeira na data da compra.
(c) Dep´ositos de R$ 5.000,00 na Caderneta de Poupan¸ca, no fim de cada mˆes durante um ano, e retirada de R$ 61.677,81 dois meses ap´os o ´ultimo dep´osito.
3. Comprei uma cole¸c˜ao de livros de R$250,00. Por quanto devo vender para lucrar 50% a) Sobre a venda
b) Sobre o custo
4. Sobre uma fatura foram feitos descontos de 30% e posteriormente 5%. Calcular o valor l´ıquido da fatura cujo valor era de R$200,00.
5. Sobre uma compra de R$500,00 concederam os descontos de 20% e 10%. Qual o valor a ser pago?
6. Sobre uma fatura de R$400,00 foi obtido um desconto de 10% em seguida outro que a reduziu a um l´ıquido de R$288,00. De quanto porcento foi o segundo desconto?
7. Qual a taxa ´unica que dever´a substituir a de 8%, 10% e 20%: a) Nos abatimentos sucessivos sobre uma fatura.
b)Nos acr´escimos sucessivos sobre uma fatura.
8. Uma escola tem 600 alunos dos quais 40% s˜ao meninas e os demais meninos. Sabendo-se que apenas 10% dos meninos ainda n˜ao aprenderam a ler, indique quantos meninos j´a sabem ler. 9. Um comerciante adquiriu 2.000 cadernos a R$ 3,60 cada um. Vendeu 14 por R$ 2.000,00 e o
restante por R$ 6.000,00. De quanto por cento foi o lucro.
10. Ap´os um aumento de 3,5%, certo empregado passou a ganhar R$ 2.173,50. Qual era seu sal´ario antes do aumento?
11. Um investidor comprou uma casa por R$ 50.000,00 e gastou 80% do custo em reparos. Mais tarde vendeu a casa por R$ 120.000,00. Qual foi o seu lucro? De quanto por cento foi o seu lucro?
12. Calcule o montante de uma aplica¸c˜ao de R$ 50.000,00, `a taxa de 2,5% ao mˆes, durante 2 anos. Resp:- R$ 80.000,00
13. Uma pessoa aplicou R$ 90.000,00 no mercado financeiro e, ap´os 5 anos, recebeu o montante de R$180.000,00. Qual foi a taxa anual? Resp: 20%
14. Um negociante obteve R$ 441.000,00 de empr´estimo, `a taxa de 21% ao ano. Alguns meses depois tendo encontrado quem lhe oferecesse a mesma importˆancia a 18% ao ano, assumiu o compromisso com essa pessoa e, na mesma data, liquidou a d´ıvida com a primeira. Um ano depois de realizado o primeiro empr´estimo, saldou o d´ebito e verificou que pagou ao todo R$ 82.688,00 de juro. Calcule o prazo do primeiro empr´estimo? Resp:- 3 meses
15. Um t´ıtulo foi resgatado por R$ 3.000,00. Se a taxa de juros simples aplicada foi de 180% a.a.e os juros ganhos totalizaram R$ 1.636,36. Quantos meses durou a aplica¸c˜ao?
16. Comprei uma bicicleta por R$210,00. Quero vender com 30% de lucro sobre a venda. Por quanto devo vendˆe-la?
17. Ao vender um terreno ganhei 20% sobre o pre¸co dessa venda. Quanto recebi se paguei R$160.000,00? 18. De quanto porcento foi meu preju´ızo sobre a venda de um objeto que custou R$150,00 e foi
vendido por R$105,00?
19. Uma mercadoria est´a sendo vendida por R$ 75,90. Se o percentual das despesas incidentes sobre o pre¸co de venda ´e 29% e o lucro 15% sobre o mesmo valor, quanto custou esta mercadoria? 20. Um comerciante vendeu um artigo por R$ 5.250,00. De quanto foi o lucro, em reais, se ele
representa 25% sobre o pre¸co de custo?
21. Calcular os juros produzidos por uma aplica¸c˜ao de R$ 2.000,00, `a taxa de 30% a.a. de juros simples, durante 4 meses e 18 dias.
22. Calcule os rendimentos referentes a uma aplica¸c˜ao financeira R$ 1.470,00, durante 95 dias, `a taxa de juros simples de 21%a.a..
23. Um t´ıtulo no valor R$ 22.500,00, vencido em 18/03 foi liquidado no dia 12/04, do mesmo ano. Se o valor pago na liquida¸c˜ao foi de R$ 23.287,50, qual a taxa mensal de juro simples?
24. Uma TV em cores ´e vendida nas seguintes condi¸c˜oes: Pre¸co `a vista = R$ 1.800,00;
Condi¸c˜oes `a prazo = 30% de entrada e R$ 1.306,00 em 30 dias. Determinar a taxa de juros simples cobrada na venda a prazo.
25. Uma pessoa contrai um empr´estimo de R$ 75.000,00 `a taxa linear de 3,3% ao mˆes. Em deter-minada data l´ıquida este empr´estimo pelo montante de R$ 92.325,00 e contrai nova d´ıvida no valor de R$ 40.000,00 pagando uma taxa de juros simples mais baixa. Este ´ultimo empr´estimo ´e resgatado 10 meses depois pelo montante de R$ 49.600,00.
Pede-se calcular:
a) o prazo do primeiro empr´estimo e o valor dos juros pagos; atingir˜ao o mesmo montante.
26. Um capital de R$ 4.000,00 foi aplicado a juros simples por 72 dias; um outro capital de R$ 5.000,00 foi tamb´em aplicado a juros simples, `a mesma taxa durante 45 dias. Determinar a taxa anual, sabendo-se que a diferen¸ca entre os juros da 1a
aplica¸c˜ao e da 2a
aplica¸c˜ao s˜ao iguais a R$ 31,50.
27. Um t´ıtulo de R$ 108.000,00 venc´ıvel no dia 31 de mar¸co foi pago da seguinte maneira: R$ 28.000,00 no vencimento
R$ 20.000,00 em 15/04 R$ 15.000,00 em 20/04
R$ 24.000,00 em 30/04 R$ 21.000,00 em 10/05
Qual foi o atraso m´edio no pagamento do t´ıtulo se todos os pagamentos foram feitos no mesmo ano?
28. Uma empresa adquiriu um equipamento no valor de R$ 200.000,00. Pagou 25% no ato e o restante foi amortizado em 15 parcelas mensais iguais acrescidas de juro simples a no seu vencimento. Sabendo-se que o total dos juros pagos no financiamento foi de R$ 24.000,00, qual a taxa mensal do juro simples?
29. Calcular os juros de um investimento de R$ 2.500,00, `a taxa de 3% ao mˆes, pelo prazo de 1 ano, 4 meses e 10 dias. Resp:- R$ 1.225,00
30. Duas aplica¸c˜oes, uma `a taxa de 4,8% ao mˆes e a outra a 3,6 ao mˆes, renderam, em 1 ano e 3 meses, R$ 99.000,00 de juros. Calcular cada uma dessas aplica¸c˜oes, sabendo que os juros da primeira excederam os da segunda em R$1.800,00 Resp:- 70.000,00 e
31. Por uma mercadoria foram feitas as seguintes propostas:
a) R$ 500,00 de entrada, R$ 200,00 no fim de 3 meses e R$ 300,00 no fim de 5 meses. b) R$ 300,00 de entrada, R$ 350,00 no fim de 1 mˆes e R$ 350,00 no fim de 2 meses.
Sabendo-se que a taxa corrente de juro simples ´e de 8%a.m., quanto deveria dar mais, de entrada o portador da menor oferta para igualar-se com a maior?
32. Um comerciante devedor de um t´ıtulo no valor de R$ 17.050,00, venc´ıvel em 60 dias, prop˜oe ao credor a substitui¸c˜ao deste t´ıtulo por dois novos t´ıtulos, sendo um no valor de R$ 7.200,00 para 30 dias e um outro para 45 dias. Calcular o valor deste outro t´ıtulo considerando uma taxa de desconto igual a 2% a.m.. taxa de juros simples empregada na transa¸c˜ao.
33. Queremos substituir dois t´ıtulos, um de R$ 50.000,00 para 90 dias e outro de R$ 120.000,00 para 60 dias, por trˆes outros, com o mesmo valor nominal, venc´ıveis, respectivamente, em 30, 60 e 90 dias. Calcular o valor nominal comum, sabendo que a taxa de desconto comercial da transa¸c˜ao ´e de 3% a.m.
34. Uma pessoa tem dois compromissos a pagar: R$ 5.000,00 daqui a 60 dias e R$ 8.000,00 daqui a 75 dias. Desejo trocar esse d´ebitos por dois pagamentos iguais, um daqui a 3 meses e outro a ser pago daqui a 4 meses. Determine o valor desses pagamentos, sabendo que a taxa de juros simples usada ´e de 6%am.
35. Uma duplicata de R$ 230.000,00 foi resgatada antes do seu vencimento por R$ 191.360,00. Calcular o tempo de antecipa¸c˜ao, sabendo que a taxa de desconto comercial foi de 4,5% ao mˆes.
Resp: 3 meses e 22 dias
36. 3. Calcular o tempo de antecipa¸c˜ao do resgate de uma nota promiss´oria, sabendo que o seu valor nominal ´e seis vezes o do desconto comercial, a 5% ao mˆes. Resp:- 3 meses e 10 dias.
37. Duas promiss´orias, uma de R$ 50.000,00, venc´ıvel em 90 dias e outra de R$ 90.000,00, venc´ıvel em 150 dias, dever˜ao ser resgatadas por um s´o pagamento, a ser efetuado dentro de 60 dias. Qual ´e o valor desse resgate `a taxa de desconto comercial de 3,5% ao mˆes? Resp:- R$ 128.800,00 38. Uma empresa tem trˆes t´ıtulos descontados num banco com valores de R$ 50.000,00, R$ 180.000,00 e R$ 70.000,00,a vencerem respectivamente em 90, 150 e 180 dias. Desejando substitu´ı-los por dois outros de valores nominais iguais, para 60 e 120 dias, calcular o valor nominal comum, supondo que a taxa de desconto comercial ´e de 3,5% ao mˆes para todas as transa¸c˜oes. Resp:-R$ 138.854,75
39. Trˆes t´ıtulos cujos valores s˜ao: R$ 230.000,00, R$ 180.000,00 e R$ 140.000,00, com vencimento para 30, 60 e 90 dias, respectivamente, foram substitu´ıdos por dois outros de R$ 300.000,00 cada um, venc´ıveis em 120 e 180 dias. Calcular a taxa de desconto comercial, supondo que seja a mesma para toda a transa¸c˜ao. Resp:- 2,51% ao mˆes.O diagrama de fluxo a seguir que ilustra a equivalˆencia (na data focal 2) a juro simples de 10% de dois capitais, o primeiro no valor de R$ 3.636,35 que ocorre na data 1 e outro de R$5.600,00 na data 6.
40. Uma pessoa tem os seguintes compromissos a pagar: R$2.000,00 daqui a 3 meses, R$2.500,00 daqui a 8 meses. Ela quer trocar esses d´ebitos por dois pagamentos iguais, um para 10 meses e outro para 15 meses. Calcular o valor desses pagamentos considerando uma taxa de juros simples de 10% a.m. sendo a renegocia¸c˜ao hoje.
41. Considerando o exemplo anterior, calcule o valor atual.
42. Um t´ıtulo de valor nominal equivalente a R$70,40 com vencimento para 5 meses substituiu outro de valor nominal equivalente a R$66,00 venc´ıvel em 2 meses. Qual a taxa mensal dessa transa¸c˜ao sabendo-se que a negocia¸c˜ao foi feita hoje?
43. Uma pessoa deve pagar R$200,00 daqui a 2 meses e R$400,00 daqui a 5 meses a juros simples de 5% a.m.. Determinar o valor de um pagamento ´unico a ser efetuado daqui a 3 meses que liquide a d´ıvida (data focal mˆes 3).
44. Em quantos dias um capital de R$800,00 aplicado `a taxa de 0,1% a.d. gera um montante de R$1.000,00?
45. Calcular o valor do capital que aplicado `a taxa de 50,4% a.a. durante 2 anos e 3 meses produz um montante de R$600.000,00.
46. Uma empresa descontou um t´ıtulo de R$ 20.000,00, 39 dias antes de seu vencimento, num banco que opera com uma taxa de desconto de 6% a.m.. Qual a taxa efetiva de juro paga pela empresa nesta opera¸c˜ao?
47. Uma empresa comercial possui em seu grupo de contas a receber um cheque pr´e-datado no valor de R$ 5.000,00 e cuja data de dep´osito est´a programada para daqui a cinco meses. Sabendo que a empresa pensa em descontar esse t´ıtulo em um banco que cobra uma taxa de desconto de 3% a.m. mais uma taxa operacional igual a 0,7% do valor nominal, calcule o desconto sofrido pelo t´ıtulo.
48. Um pequeno comerciante leva a um banco o seguinte conjunto de cheques pr´e-datados para serem descontados `a taxa de desconto de 2,8% a.m.
Cheque Valor Prazo de antecipa¸c˜ao A R$ 500,00 2 meses
B R$ 1.500,00 1 mˆes C R$ 2.000,00 45 dias
Determinar o valor l´ıquido recebido pela empresa.
49. O dono de uma pequena ind´ustria metal´urgica leva a um banco as duplicatas A, B e C para serem descontadas.
Duplicatas Valor Prazo de antecipa¸c˜ao A R$ 4.000,00 2 meses
B R$ 14.000,00 50 dias C R$ 8.000,00 75 dias
Se o banco utilizar uma taxa de desconto de 2,5% a.m., qual ser´a o valor l´ıquido recebido pela empresa?
50. O valor atual de um t´ıtulo de R$ 158.750,00, descontado racionalmente, 90 dias antes do seu vencimento ´e R$ 125.000,00. Calcular a taxa da transa¸c˜ao.
51. Calcular o desconto por dentro sobre um t´ıtulo de R$ 3.225,00 venc´ıvel no final de 75 dias e negociado `a taxa utilizada na opera¸c˜ao ´e de 36% a.a.?
52. Um t´ıtulo com valor nominal de R$ 110.000,00 foi resgatado dois meses antes do seu vencimento, tendo sido concedido um desconto racional simples `a taxa de 60% a.m. De quanto foi o valor pago pelo t´ıtulo?
2
Juros compostos
1. Alan investiu $10.000 num fundo de investimento. Exatamente quatro meses depois resgatou $10.877,34. O gerente do fundo informou que as taxas de rentabilidade mensais do fundo durante o prazo do investimento de Alan foram 1,8%, 2%, 2,2% e 2,5% ao mˆes. Alan gostaria de verificar se o resgate recebido correponde realmente `as taxas mensais de juro informadas e qual foi a taxa de juro efetiva durante o per´ıodo de quatro meses?
2. O excesso de caixa de uma empresa $ 18.000 foi aplicado em um fundo durante cinco dias coma taxa de juro de 0,3% aos cinco dias. A seguir o valor resgatado foi reaplicado em renda fixa durante oito dias com taxa de juro de 0,48% aos oito dias. Finalmente, o valor resgatado da aplica¸c˜ao em renda fixa foi aplicado durante doze dias com taxa de juro de 0,75% aos doze dias. Qual o resgate dessa opera¸c˜ao? Resp: VF = $ 18.276,71
3. Uma pessoa depositou R$2.000,00 em uma poupan¸ca. Dois meses depois deposita mais R$2.500,00 e 2 meses depois desse ´ultimo dep´osito realiza uma retirada de R$1.300,00. Qual ser´a o saldo da poupan¸ca ao fim do 5o
mˆes. Considerando que a taxa de juros compostos ganha ´e de 15% a.m. 4. Um t´ıtulo de valor nominal igual a R$ 800,00 foi resgatado dois anos e meio antes do vencimento a 22% a.a. capitalizados trimestralmente. Qual o valor atua do t´ıtulo? Qual o desconto concedido? ( desconto composto banc´ario)
5. Qual o desconto comercial de uma duplicata de valor nominal equivalente a R$220,00 resgatada 3 meses antes do vencimento `a taxa de 18% a.a.
6. Uma d´ıvida no valor de R$1.000,00 para 2 meses foi substitu´ıda por 2 pagamentos iguais para 4 e 5 meses respectivamente. Calcular o valor desses pagamentos empregando `a taxa de 2% a.m.. 7. Uma pessoa tomou um empr´estimo a juros simples de 9% a.a., 45 dias depois pagou a d´ıvida e
contraiu um novo empr´estimo, duas vezes maior do que o 1o
, pelo prazo de 10 meses a juros de 6% a.a.. Sabendo-se que pagou ao todo R$111.250,00 de juros. Calcule o valor do 1o
empr´estimo.
8. Dois capitais, um de R$2.400,00 e outro de R$1.800,00 foram aplicados a uma mesma taxa anual de juros simples. Calcular a taxa considerando que o 1o
capital em 48 dias rendeu R$17,00 a mais do que o 2o
em 30 dias.
9. H´a 13 meses e 10 dias um capital de R$10.000,00 foi aplicado `a taxa de juros simples de 6% a.a.. Se hoje fosse aplicada a importˆancia de R$8.000,00 a juros simples de 12% a.a. e o primeiro capital continuasse aplicado `a mesma taxa, em que prazo em dias , os montantes respectivos seriam iguais?
10. Um terreno est´a sendo oferecido por R$450.000,00 `a vista ou R$150.000,00 de entrada e mais uma parcela de R$350.000,00 no final de 6 meses. Sabendo-se que no mercado a taxa m´edia para aplica¸c˜ao em t´ıtulos de renda pr´e-fixada gira em torno de 3,5% a.m. ( taxa l´ıquida, isto ´e, com imposto de renda j´a computado). Determinar a melhor op¸c˜ao para um interessado que possua recursos dispon´ıveis para compr´a-lo.
11. Foram aplicados R$ 1.800,00 durante cinco trimestres a uma taxa de 8% a.t., no regime de juros compostos. Calcular o montante.
12. Uma certa pessoa concedeu um empr´estimo de R$ 10.000,00 `a taxa efetiva de 4,8% a.m.. Qual o valor a ser cobrado na liquida¸c˜ao, um ano, trˆes meses e seis dias ap´os a realiza¸c˜ao do empr´estimo: a) Calculado atrav´es da conven¸c˜ao linear.
b) Calculado atrav´es da conven¸c˜ao exponencial.
13. Calcular o montante de R$ 18.000,00 durante 2 a 4 m 8 d, a juros de 5% a.t., capitalizados trimestralmente :
a) Pela conven¸c˜ao linear. b) Pela conven¸c˜ao exponencial.
14. Foram aplicados R$ 20.000,00 durante 35 anos, a uma taxa de juro composto de 15% ao ano nos primeiros dez anos, 18% ao ano nos dez anos seguintes e 17% ao ano nos ´ultimos 15 anos. Determine o montante obtido.
15. Certo capital foi aplicado a juros compostos durante quatro meses. As taxas de juros foram de 1,95%, 2,24%, 2,73% e 2,08%, respectivamente. O total de rendimentos calculado foi de R$ 2.723,14.
a) Determine o capital aplicado.
b) Determine a taxa acumulada no per´ıodo.
c) Determine o valor dos juros recebidos no terceiro mˆes.
d) Se o capital permanecer aplicado ao quinto mˆes qual deve ser a taxa recebida neste mˆes. 16. Certo capital foi aplicado a juros compostos de 3% a.m., durante cinco meses. O montante de R$ 1.022,94, da´ı resultante, foi novamente aplicado a juros compostos, agora por sete meses, gerando um montante de R$ 1.392,08. Calcule:
a) a taxa de juros da aplica¸c˜ao.
b) o total de juros recebido nas duas aplica¸c˜oes.
17. Suponhamos que vocˆe precise de $ 3.000 no ano que vem para comprar um computador novo. A taxa de juros ´e de 8% ao ano. Quanto dinheiro vocˆe deveria alocar para poder pagar pela compra? E se adiarmos a compra do mesmo computador para daqui a dois anos?
18. Em 1995, a Coca-Cola precisou tomar emprestado quase um quarto de bilh˜ao de d´olares em-prestado por 25 anos. Ela fez isso vendendo IOU, ou notas promiss´orias, e prometendo pagar por cada uma $1.000 ao portador no final de 25 anos1. A taxa de juros do mercado naquela ´epoca era de 8,53%. Quanto vocˆe estaria disposto a pagar por uma das notas promiss´orias da empresa?
19. A Canguru Autos est´a oferecendo uma promo¸c˜ao para os carros de $ 10.000. Vocˆe paga $ 4.000 de entrada e o saldo no final de 2 anos. A loja ao lado, a Tartaruga Motors, n˜ao oferece essa facilidade, mas desconta $ 500 do pre¸co de tabela. Se a taxa de juros for de 10%, qual das empresas est´a oferecendo o melhor neg´ocio?
20. Suponha que lhe seja oferecido uma oportunidade de investimento que pagar´a $805,26 daqui cinco anos. Vocˆe pesquisou investimentos alternativos e determinou que uma taxa de retorno apropriada sobre investimentos de risco similares ´e 10 por cento. Neste caso 10% ´e referida como o custo de oportunidade, ou a taxa de retorno que vocˆe deveria ganhar em investimentos similares. Vocˆe pagaria quanto por aquele investimento?
21. ´E o anivers´ario de dez anos de seu irm˜ao, e ele recebeu um savings bˆonus de $100 a vencer daqui a cinco anos. Este tipo de obriga¸c˜ao n˜ao paga nada at´e a data do seu vencimento. Somando-se a isto ele foi “enganado” no dia do seu anivers´ario, estava escrito o valor de $100 para este bˆonus. Quanto ele realmente vale, se a taxa de desconto ´e 8% ao ano e o bˆonus n˜ao vence at´e chegar o quinto ano? Como vocˆe poderia explicar o erro para o seu irm˜ao, de modo que ele entendesse?
22. Vocˆe acabou de herdar $25.000 do seu querido tio Bessie e decidiu, ao inv´es de gastar o dinheiro num carro novo, economizar para a sua aposentadoria. Vocˆe planeja se aposentar daqui a 50 anos e acredita que poderia viver confortavelmente se vocˆe tivesse $2.000.000. Qual ´e a taxa de retorno que vocˆe teria que ganhar para atingir esta meta?
23. Calcular o valor do desconto banc´ario composto de um t´ıtulo de R$ 20.000,00, 1 ano antes do vencimento `a taxa de 5% ao trimestre, capitaliz´avel trimestralmente.
24. A caderneta de poupan¸ca paga juros de 6% a.a. com capitaliza¸c˜ao mensal. Qual a taxa efetiva dos juros?
25. Em juros compostos, qual a taxa mensal equivalente `as seguintes taxas:
a) 75% a.a. b) 50% a.s. c) 21% a.t. d) 6,5% a.b. e) 0,12% a.d. 26. Calcular a taxa efetiva anual equivalente a taxa nominal de 36% a.a.:
a) capitalizada mensalmente. b) capitalizada diariamente. 27. Em juros compostos, qual taxa em 65 dias equivalente a 2% a.m.? 28. Dadas as taxas a seguir encontre as respectivas taxas efetivas anuais.
a) 24% a.a. com capitaliza¸c˜ao di´aria. b) 24% a.a. com capitaliza¸c˜ao mensal. c) 24% a.a. com capitaliza¸c˜ao bimestral. d) 24% a.a. com capitaliza¸c˜ao semestral.
29. A taxa anual de juros cobrada por uma loja ´e de 40%a.a. Qual a taxa real de juros, se a taxa de infla¸c˜ao resultar em 15% no mesmo per´ıodo?
30. Se a taxa de juro aparente for 7,2%a.m., qual a taxa de ganho real se: a) A infla¸c˜ao mensal for de 6%?