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Curso: Relatividade 01/2019

Aula 8: 15 de abril

Profa. Raissa F. P. Mendes

8.23 Tensores 0-2

J´a vimos que o produto escalar entre dois vetores ´e um exemplo de tensor do tipo (0₂). De modo geral, tensores do tipo (0

2) s˜ao mapas (bi)lineares de dois vetores nos reais. O tensor mais simples desse tipo ´e o produto externo de duas 1-formas: o tensor ˜p ⊗ ˜q, que, aplicado em dois vetores ~A e

~

B, produz o número ˜p( ~A)˜q( ~B). (Note que o produto externo não é comutativo!)

Para especificar um tensor do tipo (0₂) qualquer, precisamos especificar 16 números, correspon-dentes, por exemplo, à atua¸cão do tensor em todas as combina¸cões dos vetores de base: f (~eα, ~eβ). Com as no¸cões naturais de adi¸cão e multiplica¸cão por escalar, o espa¸co de vetores (0

2) ´e um espa¸co vetorial de dimens˜ao 16.

Base: Da mesma forma que escolhemos uma base de 1-formas {˜ωα} dual `a base de vetores {~eβ}, podemos escolher uma base conveniente de tensores (0

2): os 16 tensores definidos como

wαβ = ˜ωα⊗ ˜ωβ. (8.15)

Escrevemos f = fαβwαβ, onde fαβ s˜ao as componentes do tensor f nessa base. Note que as componentes fµν podem ser obtidas simplesmente como (mostre! )

fµν = f (~eµ, ~eν).

Atua¸cão: A atua¸cão de f em dois vetores quaisquer é dada por

f ( ~A, ~B) = f (Aµ~eµ, Bν~eν) = AµBνf (~eµ, ~eν) = AµBνfαβωα(~eµ)ωβ(~eν) = AµBνfαβδµαδβν = AµBνfµν. Transforma¸c˜ao das componentes: Como as componentes de um tensor (0₂) se transformam quando vamos de um referencial inercial para outro? Temos:

fµ¯¯ν = f (~eµ¯, ~eν¯) = f (Λαµ¯~eα, Λβ¯ν~eβ) = Λαµ¯Λ β ¯ νf (~eα, ~eβ) = Λαµ¯Λ β ¯ νfαβ.

Tensor métrico: O produto escalar entre dois vetores define o que chamaremos do tensor métrico em Relatividade Restrita (e que será generalizado mais à frente!). Vimos que g( ~A, ~B) = ηµνAµBν, de modo que as componentes do tensor métrico em Relatividade Restrita são gµν = ηµν. Como qualquer tensor do tipo (0

2), as componentes do tensor m´etrico devem se transformar da forma ηµ¯¯ν = Λαµ¯Λ

β ¯

νηαβ. No entanto, vimos que as componentes do tensor métrico são as mesmas (diag(−1, 1, 1, 1)) em todos os referenciais inerciais! De fato, é fácil verificar, com a forma expl´ıcita

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da matriz de Lorentz, que η = ΛTηΛ. As transforma¸c˜oes de Lorentz podem ser definidas dessa forma, pelo fato de que deixam o tensor m´etrico invariante.

Simetrias. Um tensor (0₂) ´e dito sim´etrico se

f ( ~A, ~B) = f ( ~B, ~A)

para todo ~A e ~B. Ou, em termos de componentes, fαβ = fβα. Definimos a parte sim´etrica de um tensor como o tensor com componentes

h(αβ):= 1

2(hαβ+ hβα). Da mesma forma, um tensor anti-sim´etrico obedece

f ( ~A, ~B) = −f ( ~B, ~A)

para todo ~A e ~B. Ou, em termos de componentes, fαβ = −fβα. Definimos a parte anti-sim´etrica de um tensor como o tensor com componentes

h[αβ]:= 1

2(hαβ− hβα). Note que hαβ = h(αβ)+ h[αβ].

O tensor métrico é simétrico, pois vimos que g( ~A, ~B) = −A0B0+ A1B1+ A2B2+ A3B3 = g( ~B, ~A). Comparando linguagens: (a) Linguagem geométrica: g(~u, ~v); (b) Linguagem de componentes: ηµνuµvν; (c) Linguagem geométrica baseada em coordenadas: g = ηµνdx˜ µ⊗ ˜dxν. Note que existe uma correspondência entre a métrica, escrita como em (c) e o conceito de elemento de linha, ds2 = ηµνdxµdxν. O elemento de linha, assim como a métrica, representa o módulo ao quadrado de um deslocamento infinitesimal numa dire¸cão não especificada.

8.23.1 A m´etrica como um mapa entre vetores e 1-formas

Um papel muito importante da métrica é agir como um mapa entre vetores e 1-formas. Para todo vetor ~V , podemos construir o objeto g(~V , ). O que ele faz? Ele admite como argumento um vetor e expele um número, ou seja, é uma 1-forma! Chamamos essa 1-forma de ˜V :

˜

V ( ) = g(~V , ) = g( , ~V ).

Temos que ˜V ( ~A) = ~V · ~A. Quais s˜ao as componentes de ˜V ? Elas s˜ao:

Vα = ˜V (~eα) = g(~V , ~eα) = g(Vβ~eβ, ~eα) = Vβg(~eβ, ~eα) = ηαβVβ.

Ou seja, se ~V →O (a, b, c, d), então ˜V →O (−a, b, c, d). Mais tarde, quando a métrica for mais complicada, essa regra também será!

Temos que Vα = ηαβVβ. Podemos inverter essa rela¸c˜ao, escrevendo: (η−1)αγVα= (η−1)αγηαβVβ = δγβV

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Por simplicidade, vamos chamar as componentes da métrica inversa simplesemente de ηαβ_{. No} espa¸co-tempo plano, e em coordenadas cartesianas, a métrica inversa tem as mesmas componentes da métrica.

Em particular, podemos associar à 1-forma ˜df o vetor ~df , que é o vetor gradiente. Como mostrar que ele corresponde à no¸cão usual, sendo ortogonal às superf´ıcies de n´ıvel de f ? Seja ~V um vetor paralelo a uma superf´ıcie de n´ıvel de f , de modo que ˜df (~V ) = dfνVν = 0. Temos que ~df · ~V = ηµνdfµVν = dfνVν = 0. Como ˜df →O(∂tf, ∂xf, ∂yf, ∂zf ), temos que ~df →O(−∂tf, ∂xf, ∂yf, ∂zf ): as componentes tridimensionais são as mesmas e é por isso que identificamos esses objetos no espa¸co Euclideano.

Note que a dualidade entre vetores e 1-formas é a mesma que aparece entre vetores coluna e vetores linha em álgebra, ou, em Mecânica Quântica, entre bras e kets: hφ|ψi =R φ∗_(~_x)ψ(~_x)d3_x.

Magnitude de 1-formas. Definimos a magnitude de uma 1-forma como a magnitude do vetor associado:

˜

p2 = ~p2 = ηαβpαpβ = pβpγηγβ = −(p0)2+ (p1)2+ (p2)2+ (p3)2.

8.23.2 Formas diferenciais

Uma forma diferencial ou p-forma é um tensor do tipo (0_p) que é antissimétrico em todos os ´ındices. Formas diferenciais são úteis porque podem ser derivadas e integradas sem o aux´ılio de estruturas geométricas adicionais. E nessa linguagem tamb´´ em que as leis do Eletromagnetismo assumem

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sua forma mais elegante. No nosso curso, não veremos p-formas em mais detalhes. Para mais informa¸cões, ver a discussão no livro do Sean Carroll!

8.24 Tensores N-0

Um tensor do tipo (N

0 ) é definido como uma fun¸cão multilinear de N 1-formas nos reais. Se definirmos a atua¸cão de um vetor em uma 1-forma como

~

V (˜p) = ˜p(~V ) = pαVα, ent˜ao vetores ser˜ao exemplos de tensores do tipo (1

0). Toda a nossa discuss˜ao anterior se aplica a como construir tensores do tipo (M

0 ); uma base para vetores do tipo (20) ´e ~eα⊗ ~eβ, e assim por diante.

8.25 Tensores M-N

Por fim, definimos um tensor do tipo (M_N) como um mapa multilinear de M 1-formas e N vetores nos n´umeros reais. Por exemplo, se R ´e um tensor (1

1), ele atua numa 1-forma ˜p e num vetor ~V produzindo o número R(˜p, ~V ). Uma base para esse espa¸co é {~eµ⊗ ˜ων}. As componentes do tensor R nessa base são R(˜ωα, ~eβ) = Rα_β. Em outro referencial inercial,

Rα¯_β¯= R(˜ωα¯, ~e_β¯) = R(Λα¯_µω˜µ, Λν_β¯~eν) = Λα¯µΛν_β¯R(˜ωµ, ~eν) = Λα¯µΛν_β¯Rµν.

A transforma¸cão é simples: cada ´ındice traz um Λ com ´ındices nas posi¸cões adequadas para permitir a conven¸cão de soma.

Note que podemos tamb´em interpretar um tensor (1

1) como um mapa de vetores em vetores: Tµν : Vν → TνµVν e pode-ser verificar que este ´ultimo se transforma como um vetor.

´

E interessante que alguns livros vão definir tensores como um conjunto de números que se trans-forma apropriadamente por transtrans-forma¸cões de Lorentz. Essa defini¸cão é operacionalmente útil, mas obscurece o significado mais profundo de tensores como entidades geométricas. Note também que alguns tensores, como a métrica, a métrica inversa, a delta de Kronecker e o s´ımbolo de Levi-Civita (µνρσ é igual a 1 se µνρσ é uma permuta¸cão par de 0123, −1 se é uma permuta¸cão ´ımpar e 0 caso contrário), são tais que, embora suas componentes se transformem de acordo com a lei de transforma¸cão de tensores, elas são invariantes por essas transforma¸cões.

8.25.1 Levantando e baixando ´ındices

Da mesma forma que a m´etrica oferece um mapa entre um vetor ~V e uma 1-forma ˜V , ela mapeia um tensor (M

N) num tensor ( M −1

N +1). De forma semelhante, a métrica inversa mapeia um tensor do tipo (M_N) em um do tipo (M +1_{N −1}) . Geralmente indicamos os tensores relacionados dessa forma com a mesma letra, só os distinguindo pela posi¸cão dos ´ındices. Por exemplo, se Tαβγ são as componentes

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de um tensor (2

1), Tαβγ = ηβµTαµγ s˜ao as componentes de um tensor (1₂) (existem outros tensores do mesmo tipo associados aquele; quais s˜ao?).

Essas opera¸cões são chamadas de levantar e baixar os ´ındices; quando dizemos isso, nos referimos ao mapa fornecido pela métrica. Às vezes nos referimos aos ´ındices de cima como “contravariantes” e aos ´ındices de baixo como “covariantes”.

O que seria o tensor ηα

β = ηαµηµβ? ´E ηαβ = δαβ. Levantando outro ´ındice, obtemos a identidade ηαβ _{= η}αβ_{. Ent˜}_{ao podemos considerar η}αβ _{como componentes de um tensor (}2

0) obtido a partir de g por g−1. (Pergunta: quanto d´a ηµνηµν?)

Observa¸cões: (i) Existem espa¸cos sem métrica, como o espa¸co de fase em Mecânica Clássica. (ii) A métrica é uma estrutura adicional na álgebra vetorial. (iii) A métrica da Relatividade Restrita ´

e sim´etrica. Se fosse antissim´etrica, ter´ıamos um espa¸co espinorial.

8.26 Derivando tensores

Vamos lembrar o nosso objetivo, que é escrever as leis da F´ısica (Eletromagnetismo, Mecânica, Hi-drodinâmica, Gravita¸cão, etc.) de uma forma que seja explicitamente invariante (ou covariante) por transforma¸cões de Lorentz. Para isso, gostar´ıamos de escrevê-las em termos de tensores. Embora talvez seja mais elegante usar a linguagem geométrica, como F = 0, é equivalente escrevemos em termos de coordenadas Fα..._γ...= 0. Note que se essa expressão é válida em um referencial inercial, é válida em todos os outros: pela lei de transforma¸cão de tensores, Fα...¯ _¯_γ...= Λ_µα¯. . . Λν_β¯. . . Fµ...ν... = 0 em outro referencial. A forma da lei é a mesma, dizemos que a lei está escrita de forma covariante. As leis da F´ısica são geralmente expressas como equa¸cões diferenciais parciais. Para isso, vamos precisar discutir bastante a no¸cão de derivadas, especialmente quando estivemos interessados em espa¸cos-tempos mais gerais. Qual é a dificuldade em se definir uma derivada? Em cada ponto do nosso espa¸co-tempo, podemos definir um espa¸co vetorial e nesse espa¸co sabemos somar e comparar vetores. Mas derivada envolve a compara¸cão de vetores ou tensores definidos em pontos diferentes. Nesse caso, não é óbvio como somar ou comparar esses objetos. Uma op¸cão é estabelecer uma forma de carregar vetores de um ponto a outro, para fazer a mesma compara¸cão no mesmo local. Discutiremos isso mais à frente!

Por hora, vamos considerar derivadas em Relatividade Restrita. Vimos que uma fun¸cão é um vetor (0₀) e o gradiente é um tensor (0₁). Derivar uma fun¸cão produz um tensor de ordem maior. E isso se aplica a tensores de qualquer tipo.

Suponha, por exemplo, um campo tensorial do tipo (1

1), T = Tαβ~eα ⊗ ˜ωβ. Suponha que nos movamos ao longo de uma curva parametrizada por um parˆametro τ (como o tempo pr´oprio ao longo de uma linha de mundo). Podemos definir

dT

dτ = lim∆τ →0

T(τ + ∆τ ) − T(τ )

∆τ .

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temos que dT dτ = dTα_β dτ ~eα⊗ ˜ω β _{= (∂} γTαβ~eα⊗ ˜ωβ)Uγ, onde Uγ é o vetor tangente à curva. Agora, o tensor dT/dτ é do tipo (1

1). Mas podemos definir o tensor “gradiente” como o tensor (1₂)

∇T = (∂γTαβ~eα⊗ ˜ωβ⊗ ˜ωγ).

Note que as componentes desse tensor, ∂γTαβ se transformam adequadamente sob transforma¸cões de Lorentz. Isso não será verdade em geral!

8.26.1 Outras opera¸c˜oes com tensores

Contra¸c˜ao: reduz o rank em 2. Por exemplo, M(~u, ~v) = R(~eα, ~u, ˜ωα, ˜v) transforma um tensor do tipo (2

2) em um tensor do tipo (11). Em componentes, Mµν = Rαµαν.

Outras opera¸cões são o divergente, em que o ´ındice da derivada é contra´ıdo com um dos ´ındices originais do tensor, transposta, simetriza¸cão e antissimetriza¸cão, etc.

Para casa: Ler o cap´ıtulo 3 do Schutz. Fazer as quest˜oes 1, 2 e 3 da Lista 3!