ANÁLISE DE CIRCUITOS

(1)

DEPARTAMENTO DE ENGª ELECTROMECÂNICA

ANÁLISE DE CIRCUITOS

APONTAMENTOS DAS AULAS TEÓRICAS

J

OÃO

P

AULO DA

S

ILVA

C

ATALÃO

(2)

Índice

Capítulo 1 Definições e Unidades ...1

1.1 Sistema Internacional de Unidades ...1

1.2 Carga Eléctrica...3

1.3 Corrente Eléctrica...4

1.4 Tensão Eléctrica ...5

1.5 Potência e Energia ...6

Capítulo 2 Leis Experimentais e Circuitos Simples...7

2.1 Elementos Eléctricos...7

2.2 Leis de Kirchhoff ...12

2.3 Circuitos com uma só malha ...13

2.4 Circuitos com apenas um par de nós ...14

2.5 Dualidade ...15

2.6 Associações de Elementos ...15

2.7 Transformação Triângulo-Estrela ...18

2.8 Divisor de Tensão e Divisor de Corrente ...19

Capítulo 3 Técnicas Simples de Análise de Circuitos ...21

3.1 Número de Equações Independentes...21

3.2 Método dos Nós ...22

3.3 Método das Malhas...24

(3)

Capítulo 4 Técnicas de Simplificação de Circuitos ...28

4.1 Fonte de Tensão e Fonte de Corrente Reais ...28

4.2 Fontes Equivalentes ...30

4.3 Teoremas de Thévenin e de Norton ...32

4.4 Transferência Máxima de Potência ...36

Capítulo 5 Amplificador Operacional ...38

5.1 Características Ideais do Amplificador Operacional ...38

5.2 Características Reais do Amplificador Operacional ...39

5.3 Circuito Inversor...43

5.4 Circuito Não Inversor ...44

Capítulo 6 Sinais ...45

6.1 Função Escalão Unitário ...45

6.2 Função Impulso Unitário ...45

6.3 Função Rampa Unitária ...46

6.4 Função Exponencial ...47

6.5 Função Sinusoidal ...47

Capítulo 7 Capacidade e Auto-Indução ...48

7.1 Condensador ...48

(4)

Capítulo 8 Circuitos de Primeira Ordem ...54

8.1 Circuitos RL e RC Simples ...54

8.2 Circuitos Diferenciador e Integrador ...56

8.3 Resposta Completa de Circuitos RL e RC ...58

Capítulo 9 Circuitos de Segunda Ordem...61

(5)

Capítulo 1 – Definições e Unidades

1.1 Sistema Internacional de Unidades

Unidades Básicas (7)

• m (metro) distância • kg (quilograma) massa • s (segundo) tempo

• A (Ampere) corrente eléctrica • K (Kelvin) temperatura

• mol (mole) quantidade de matéria • cd (candela) intensidade luminosa

Unidades Suplementares (2)

• rad (radiano) ângulo plano • sr (esterradiano) ângulo sólido

Algumas Regras

• Não se deve usar plural dos nomes (ou dos símbolos).

• Os símbolos de unidades com nomes de pessoas devem ser escritos com letras maiúsculas, mas o nome da unidade não necessariamente.

(6)

Nota

• O caso do kg (quilograma) é singular pois é a unidade básica do SI para massa e é múltiplo de uma outra unidade, o g (grama), que foi a unidade básica de massa do sistema CGS, que o SI veio a substituir.

Múltiplos e Submúltiplos

• deca (da) = 10× deci (d) = _×₁₀−1

• hecto (h) = _×₁₀2 _{centi (c) =} _×₁₀−2 • quilo (k) = _×₁₀3 _{mili (m) =} _×₁₀−3 • mega (M) = _×₁₀6 _{micro (μ ) =}_×₁₀−6 • giga (G) = _×₁₀9 _{nano (n) =} _×₁₀−9 • tera (T) = _×₁₀12 _{pico (p) =} _×₁₀−12 • peta (P) = _×₁₀15 _{fento (f) =} _×₁₀−15

• exa (E) = _×₁₀18 _{ato (a) =} _×₁₀−18

• zeta (Z) = _×₁₀21 _{zepto (z) =} _×₁₀−21

• yota (Y) = _×₁₀24 _{yocto (y) =} _×₁₀−24

Alguns Exemplos e Contra-Exemplos

• h h. hs

• mm • μ A • TJ

• 1 km2_{= 10}6_m2

• 0,2 nm, e não 0,2 mμ m (não se deve usar mais de um prefixo)

• 1 GHz, e não 1 kMHz (não se deve usar mais de um prefixo)

• 20 μ m, e não 20 μ (um prefixo associa-se sempre a uma unidade)

• 20 kg, e não 20 k (um prefixo associa-se sempre a uma unidade)

(7)

Unidades usadas no SI sem lhe pertencerem • min (minuto) = 60 s • h (hora) = 60 min = 3600 s • d (dia) 24 h = 86400 s • º (grau) = ( π /180) rad • ´ (minuto) = (1/60)º = ( π /10800) rad • ´´ (segundo) = (1/60)´= ( π /648000) rad • l, L (litro) = 1 dm3_{= 10}-3_m3 • t (tonelada) = 103_kg

Unidades derivadas do SI (usadas em Análise de Circuitos)

• Hz (Hertz) = s-1_{p/ frequência}

• N (Newton) = kg.m/s2_{p/ força}

• J (Joule) = N.m p/ trabalho, energia • W (Watt) = J s-1_{p/ potência}

• V (Volt) = J/C p/ tensão ou diferença de potencial • Ω (Ohm) = V/A p/ resistência eléctrica

• (Mho) = Ω-1_{p/ condutância eléctrica}

• C (Coulomb) = A.s p/ quantidade de energia eléctrica • H (Henry) = V.s /A = J/A2 p/ indutância eléctrica • F (Farad) = C/V = A3_s2 _/_{J p/ capacitância eléctrica}

1.2 Carga Eléctrica

• É uma propriedade intrínseca da matéria.

• Representa a quantidade de electricidade responsável por fenómenos eléctricos. • Unidade: C (Coulomb) em homenagem a Charles Coulomb, cientista francês

(1736-1806); carga de um electrão = – 1,602_×₁₀−19_{C; pelo que, 1 C representa}

a carga combinada de cerca de 6,24 _×₁₀18_electrões.

(8)

• Tem magnitude e polaridade (“+” ou “-”); cargas iguais repelem-se, cargas diferentes atraem-se.

• Carga eléctrica em movimento representa uma corrente eléctrica.

1.3 Corrente Eléctrica

• Taxa de variação, no tempo, da carga eléctrica que passa por um determinado ponto de referência.

• Unidade: A (Ampere) em homenagem a André-Marie Ampere, cientista francês (1755-1836). • Símbolo: i(t) • t d q d ) t ( i = 1 A = 1 C/s

• Tem magnitude e sentido.

3 A ⇔ - 3 A (a seta indica o sentido do fluxo de corrente)

• Relação carga - corrente eléctrica:

A carga eléctrica transferida entre os instantes t0 e t pode ser expressa como

dt i q ) t ( q ) t ( q t t t t 0 0 0 =

∫

= −

A carga eléctrica total transferida ao longo de todo o tempo é obtida ) t ( q dt i ) t ( q t ₀ t0 + =

_∫

• Alguns tipos de corrente eléctrica: i(t)

0 t

(9)

i(t)

0 t

Corrente alternada (corrente de sentido variável)

1.4 Tensão Eléctrica

Considere o seguinte elemento:

Terminal A

A corrente pode entrar ou sair de um elemento por dois caminhos diferentes: de A para B; de B para A.

Terminal B

• A tensão eléctrica é o trabalho (ou energia) necessário para mover uma carga positiva de 1 C através do elemento, de um terminal para o outro.

• Unidade: V (Volt) • Símbolo: V ou v(t) • q d w d ) t ( v = 1 V = 1 J/C

• Tem magnitude e direcção. Pode ser positiva ou negativa.

- vBA +

A B v_AB = - v_BA + vAB -

os sinais “+” e “-”, ou a seta, indicam o sentido positivo da diferença de potencial

(10)

A energia dispendida para fazer a corrente passar pelo elemento pode manifestar-se de várias formas: armazenada para ser usada (baterias); calor (resistências); energia acústica; luz (lâmpadas).

1.5 Potência e Energia

i(t) A + v(t) - B • Potência: p(t) =v(t)i(t) ou p=vi

• Unidade: W (Watt) em homenagem a James Watt, inventor escocês (1736-1819).

• A potência mede a taxa de variação, no tempo, da energia transformada.

• vi t d q d . q d w d t d w d ) t ( p = = = 1 W = 1 J/s

Convenção passiva: Se a corrente atravessa o elemento de A para B, a tensão

criada vai ter o pólo positivo em A, e o pólo negativo em B; neste caso, a potência i

v

p= diz-se como sendo “absorvida” pelo elemento, se for positiva; de outro

modo, diz-se que a potência é “fornecida” pelo elemento.

i1 i2 + + v1 v2 - - 1 1 1 v i

(11)

+ vs – + 6 V – + 6 V –

Capítulo 2 – Leis Experimentais e Circuitos Simples

2.1 Elementos Eléctricos

• Elementos Activos – São elementos que, normalmente, fornecem potência para outros elementos do circuito. Exemplos: Fontes de Tensão; Fontes de Corrente. • Elementos Passivos – São elementos que absorvem potência. Exemplos:

Resistências.

Fonte de Tensão (ideal)

i

A tensão nos terminais do elemento (i.e., da fonte de tensão) é totalmente independente da corrente que passa por ele. Portanto, se vs (t) = 10 t2 V, então, em t = 1 s, vs (t) = 10 V;

em t = 2 s, vs (t) = 40 V, seja qual for o fluxo de corrente que

passa pelo elemento. Potência fornecida pela fonte de tensão: i

v

p= s×

Fonte de tensão constante ou bateria

(12)

+ 12 V – + 1 2 V – is + – v 2 A 2 A

A bateria está a fornecer A bateria está a absorver

24 W de potência 24 W de potência

(descarregar) (recarregar)

Fonte de Corrente (ideal)

Acorrentequeatravessaoelemento(i.e.,afontedecorrente)

é totalmente independente da diferença de potencial nos seus terminais.

Se is é constante fonte de corrente contínua.

Resistência

i R

Lei de Ohm: v=Ri

R = Resistência constante de proporcionalidade

Unidade: Ω (Ohm) em homenagem a George Simon Ohm,

físico alemão (1787-1854); 1 Ω = 1 V/A.

Potência absorvida pela resistência: p₌vi₌R i2 ₌v2/R Um curto-circuito corresponde a uma resistência nula – fio ideal; um circuito aberto corresponde a uma resistência infinita.

(13)

+ –

v

Código de cores para as resistências: os valores das

resistências disponíveis no mercado são identificados por um conjunto de riscas coloridas obedecendo a uma codificação pré-definida. Cor 1ª e 2ª Cor 3ª Cor (nº de zeros) Preto Castanho Vermelho Laranja Amarelo Verde Azul Violeta Cinzento Branco 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 00 000 0 000 00 000 000 000 0 000 000 00 000 000 000 000 000 Cor Tolerância Prateado Dourado 10 % 5% Condutância i R=1/G

A condutância é o inverso da resistência: G = 1/R

Unidade: (Mho) ou S (Siemens) = Ω-1

A Lei de Ohm fica: i =Gv; potência absorvida pela

resistência: p₌vi₌G v2 ₌i2/G

A ligação de dois ou mais elementos denomina-se rede. Se a rede possui pelo menos um caminho fechado, de modo a que a corrente eléctrica possa fluir continuamente, denomina-se circuito eléctrico. Portanto, todo o circuito é uma rede, mas nem toda a rede é um circuito. A rede que possui pelo menos um elemento activo denomina-se

rede activa. Se a rede não contém qualquer elemento activo denomina-se rede passiva.

Tolerância

3ª cor 2ª cor 1ª cor

(14)

+ v R2 R3 – 1 2 1 2 + vs αv₁ – is 2 i γ = + vs βi₁ – = = is 2 v δ = + vs αv₁ – is 2 i γ = + vs βi₁ – = = is 2 v δ =

Um nó é um ponto onde dois ou mais elementos se conectam. Uma malha ou circulação é um percurso fechado quando nós vamos de nó em nó, começando e acabando no mesmo nó. Um ramo é um caminho com apenas um elemento. Ou seja, um ramo consiste em um elemento e os dois nós (um em cada terminal). Um caminho é um percurso sem repetir o mesmo nó. Uma malha independente é uma malha que não inclui no seu interior nenhuma outra circulação.

Um grafo orientado do circuito consiste num redesenho do circuito com cada ramo substituído por uma linha que contém apenas o sentido da corrente segundo a convenção passiva.

R1

Fontes Dependentes

Uma fonte dependente fornece uma tensão/corrente de saída que depende de alguma outra variável do circuito. Assim, podemos ter:

onde v1, v2, i1 e i2 são tensões e correntes em outra parte do circuito. A seguinte

(15)

+ – v + v – + U – + I0 v – I0 Características Tensão-Corrente Resistência Díodo i R i i i tgθ=1/R θ 0 v 0 v

O díodo permite efectuar a rectificação da corrente eléctrica. O díodo deixa passar a corrente num dos sentidos e impede a sua passagem em sentido inverso. A partir de um dado valor positivo da tensão o díodo começa a conduzir, mas não de uma forma linear.

Fonte de Tensão (ideal) Fonte de Corrente (ideal)

i

i i

(16)

+ – v1 1 2 v2 – + + – v3 3

2.2 Leis de Kirchhoff

As duas Leis de Kirchhoff são as ferramentas básicas para a análise de circuitos, e as suas aplicações simplificam esta análise. Geralmente faz-se uso dessas leis para encontrar correntes e tensões desconhecidas.

Lei dos Nós (KCL) – Baseada na conservação de cargas, i.e., não há acréscimo ou

desaparecimento de cargas num nó; no nó a carga é constante:

D C B

A i i i

i + = + iA iB

A soma das correntes que entram em iC iD

um nó é igual à soma das correntes que saem desse mesmo nó

Equivalentemente: i_A+i_B−i_C −i_D =0 (considerando positivas as correntes

que entram e negativas as que saem)

ou −i_A−i_B +i_C +i_D =0 (vice-versa)

Ou seja, a Lei dos Nós fica: N i 0

1 n

n =

∑

=

Lei das Malhas (KVL) – A conservação da energia requer que por qualquer percurso

fechado, ou malha, a soma algébrica das tensões seja igual a zero: 0

v v

v₁+ ₂− ₃ =

Ou seja, a Lei das Malhas fica: N v 0

1

n n

=

∑

(17)

+ + v1 R2 vR₂ – (1) – + – R1 i + –

2.3 Circuitos com uma só malha

Considere o seguinte circuito simples, com uma só malha (1):

vR₁ v2

As resistências nos fios são desprezáveis ou estão incluídas nas resistências R1 e R2.

Os valores de v1, v2, R1 e R2 são conhecidos. Pretende-se determinar: tensões vR₁ e

2

R

v ; corrente que passa por cada elemento; potência absorvida por cada elemento. Pelas Lei dos Nós, a corrente i é a mesma para todos os elementos deste circuito. Pelo que, Elementos em Série têm a "mesma" corrente.

Aplicando a Lei das Malhas (considerando o sentido dos ponteiros do relógio como sendo positivo), e a Lei de Ohm, obtém-se:

2 1 2 1 2 2 1 1 R 2 R 1 R R v v i 0 i R v i R v 0 v v v v 2 1 + − = ⇔ = + + + − ⇔ = + + + − Se R₁ = 30Ω, R₂ = 15Ω, v₁ =120V, v₂ =30V, então: A 2 i= , Vv_R₁ =60 , Vv_R₂ =30 .

Potência absorvida pela fonte de 120 V: p=120×(−2)=−240W (fornece 240 W)

Potência absorvida pela fonte de 30 V: p=30×2=60W

Potência absorvida pela resistência de 30Ω: p=v_R₁ i=60×2=120W

ou p R i2 30 22 120W

1 = × =

=

Potência absorvida pela resistência de 15Ω: p=v_R₂ i=30×2=60W

ou p R i2 15 22 60W

2 = × =

=

Potência total absorvida pelos 4 elementos do circuito: −240+60+120+60=0W

É importante observar que se a corrente i tivesse sido escolhida com o sentido contrário, isso não iria alterar as respostas obtidas: o resultado seria o mesmo.

(18)

i1 G1 G2 i2 1 G i iG₂ + v – A B

2.4 Circuitos com apenas um par de nós

Considere o seguinte circuito simples, com apenas um par de nós (A-B):

Os valores de i1, i2, G1 e G2 são conhecidos. Pretende-se determinar: correntes i e G₁

2

G

i ; tensão nos terminais de cada elemento; potência absorvida por cada elemento.

Pelas Lei das Malhas, a tensão v é a mesma para todos os elementos deste circuito. Pelo que, Elementos em Paralelo têm a "mesma" tensão.

Aplicando a Lei dos Nós (considerando, para o nó A, positivas as correntes que entram e negativas as que saem), e a Lei de Ohm, obtém-se:

2 1 2 1 2 2 1 1 G 2 G 1 G G i i v 0 v G i v G i 0 i i i i ₁ ₂ + − = ⇔ = − − − ⇔ = − − − Se G₁ = 30Ω, G₂ = 15Ω, i₁ =120A, i₂ =30A, então: V 2 v= , i 60A 1 G = , iG2 =30A.

Potência absorvida pela fonte de 120 A: p=2×(−120)=−240W (fornece 240 W)

Potência absorvida pela fonte de 30 A: p=2×30=60W

Potência absorvida pela condutância de 30Ω: p=vi_G₁ =2×60=120W

ou p G v2 30 22 120W

1 = × =

=

Potência absorvida pela resistência de 15Ω: p=vi_G₂ =2×30 =60W

ou p G v2 15 22 60W

2 = × =

=

Potência total absorvida pelos 4 elementos do circuito: −240+60+120+60=0W

É importante observar que se a tensão v tivesse sido escolhida com a polaridade contrária, isso não iria alterar as respostas obtidas: o resultado seria o mesmo.

(19)

+ + v R2 v2 – – + – R1 i v3 – + R3

2.5 Dualidade

O estudo de um circuito simples está sempre ligado a uma dualidade. De facto, se substituirmos correntes por tensões (e vice-versa), resistências por condutâncias (e vice-versa), par de nós por malha única (e vice-versa), Lei dos Nós por Lei das Malhas (e vice-versa), paralelo por série (e vice-versa), obtemos num e noutro caso as mesmas equações, as mesmas conclusões e até os mesmos resultados numéricos.

Esta propriedade que acompanha permanentemente a análise de circuitos designa-se por dualidade. A dualidade ajuda-nos a melhor compreender e assimilar as técnicas de análise de circuitos.

2.6 Associações de Elementos

Resistências em Série

v1

Aplicando a Lei das Malhas e a Lei de Ohm, obtém-se:

i R v i ) R R R ( v i R i R i R v 0 v v v v+ ₁+ ₂+ ₃ = ⇔ = ₁ + ₂ + ₃ ⇔ = ₁+ ₂ + ₃ ⇔ = _eq −

Portanto, as resistências em série (R1, R2 e R3) podem ser substituídas no circuito por:

3 2 1

eq R R R

R = + +

De forma geral, a resistência equivalente a um conjunto de resistências em série é

dada por:

∑

= = I 1 i i eq R R

(20)

+ v1 R – + – i – + + veq R – i i R1 R2 R3 i1 i3 + v – i2

Fontes de Tensão (ideais) em Série

As fontes de tensão em série também podem ser combinadas, devendo-se ter em conta a polaridade da tensão. Considere, por exemplo, o seguinte circuito:

v2 v 3

Este circuito pode ser representado, de maneira equivalente, por:

sendo: v_eq =v₁−v₂+v₃

Resistências em Paralelo

Aplicando a Lei dos Nós e a Lei de Ohm, obtém-se:

v R 1 i v R 1 R 1 R 1 i R v R v R v i 0 i i i i eq 3 2 1 3 2 1 3 2 1 ⎟⎟ ⇔ = ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + = ⇔ + + = ⇔ = − − −

(21)

i1 i2 R i3 + v – ieq R + v –

Portanto, as resistências em paralelo (R1, R2 e R3) podem ser substituídas no circuito

por: 3 2 1 eq R 1 R 1 R 1 1 R + + =

Em termos de condutância, têm-se: G_eq =G₁+G₂ +G₃

De forma geral, a resistência equivalente a um conjunto de resistências em paralelo é dada por:

∑

= = _I 1 i _i eq R 1 1 R

No caso particular de apenas duas resistências em paralelo, tem-se:

2 1 2 1 eq R R R R R + × =

Fontes de Corrente (ideais) em Paralelo

As fontes de corrente em paralelo também podem ser combinadas, devendo-se ter em conta o sentido da corrente. Considere, por exemplo, o seguinte circuito:

Este circuito pode ser representado, de maneira equivalente, por:

(22)

)

3 2 C B A B A C _R _R R R R R R R ₌ ₊ + + + ×

(

)

3 1 C B A C A B _R _R R R R R R R ₌ ₊ + + + ×

Assim, uma ligação em triângulo pode ser substituída por uma ligação em estrela, e vice-versa, atendendo a que:

3 3 2 3 1 2 1 A R R R R R R R R = + + C B A B A 1 R R R R R R + + = 2 3 2 3 1 2 1 B R R R R R R R R = + + C B A C A 2 R R R R R R + + = R R R R R R + + R R

(23)

+ + v R2 v2 – – + – R1 i i i R1 R2 i1 i2 + v –

As relações anteriores podem ser obtidas pelas duas regras seguintes:

• Transformação Υ−Δ: Qualquer resistência do triângulo é igual à soma dos

produtos, dois a dois, das resistências da estrela, dividida pela resistência da estrela que lhe é oposta.

• Transformação Δ−Υ: Qualquer resistência da estrela é igual ao produto das

duas resistências adjacentes do triângulo, dividido pela soma das três resistências do triângulo.

2.8 Divisor de Tensão e Divisor de Corrente

Divisor de Tensão

v1

Aplicando a Lei de Ohm, obtém-se: v₂ =R₂ i

A resistência equivalente é dada por: R_eq =R₁+R₂

Logo: v R R R v R v i 2 1 2 2 eq + = ⇒ = De forma semelhante: v R R R v 2 1 1 1 = ₊ Divisor de Corrente

(24)

Aplicando a Lei de Ohm, obtém-se: 2 2 R v i =

A resistência equivalente é dada por:

2 1 2 1 eq R R R R R + × = Logo: i R R R i i R R R R R i i R v 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 eq ⇔ = ₊ + × = ⇒ = ou i G G G i 2 1 2 2 = ₊ De forma semelhante: i R R R i 2 1 2 1 = ₊ ou i G G G i 2 1 1 1 = ₊

(25)

Capítulo 3 – Técnicas

Simples

de

Análise

de

Circuitos

3.1 Número de Equações Independentes

Considere um determinado circuito em que: • N = nº de nós

• B = nº de ramos = nº de elementos

Circuito Planar – Se é possível desenhar o diagrama do circuito numa superfície plana

de tal forma que nenhum ramo cruze outro ramo.

Teorema 1

Existem exactamente

(

N− equações independentes extraídas da Lei dos Nós 1

)

aplicada em

(

N− nós do circuito. 1

)

Teorema 2

Todas as tensões nos ramos podem ser expressas em termos de apenas

(

N− tensões 1

)

nodais independentes.

B N 1

)

L= − + correntes de malha independentes.

Um circuito pode ser resolvido por um sistema de

(

N− equações, se usarmos o 1

)

Método dos Nós, ou por um sistema de L=

(

B−N+1

)

equações, se usarmos o

Método das Malhas. Ou seja, dependendo da topologia do circuito, pode ser mais fácil

resolvê-lo pelo Método dos Nós ou pelo Método das Malhas. Estes métodos são seguidamente descritos em mais pormenor.

3.2 Método dos Nós

Um circuito com N nós terá

(

N− tensões nodais como incógnitas e 1

)

(

N− 1

)

equações. Considere, por exemplo, o seguinte circuito com 3 nós:

Vamos enumerar os nós e definir 2 tensões nodais como incógnitas: v₁ é a tensão

entre os nós 1 e 3; v₂ é a tensão entre os nós 2 e 3. Assim, o nó 3 é designado por nó

de referência, o que nos permitirá simplificar a representação das tensões no circuito.

(27)

A tensão entre os nós 1 e 2 é dada por:

(

v₁−v₂

)

; a tensão entre os nós 2 e 1 é dada por:

(

v₂ −v₁

)

; a tensão entre os nós 3 e 1 é dada por: − ; a tensão entre os nós 3 e 2 v₁ é dada por: −v₂.

Aplicando a Lei dos Nós para os nós 1 e 2, temos:

(

)

(

)

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = − + = − + 2 5 v v 1 v 3 5 v v 2 v 1 2 2 2 1 1 ou seja: ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + − = − 2 v 2 , 1 v 2 , 0 3 v 2 , 0 v 7 , 0 2 1 2 1

o que dá o seguinte resultado: V

5

v₁ = ; v₂ =2,5V

e a tensão entre os nós 1 e 2 é:

(

v₁−v₂

)

=2,5V

Agora qualquer corrente ou potência associadas com elementos deste circuito podem ser determinadas.

Por exemplo, a corrente na resistência de 2Ω é dada por:

A 5 , 2 2 v i= 1 =

sendo a potência absorvida pela resistência de 2Ω dada por:

W 5 , 12 i 2 2 v p 2 1 2 1 = = =

(28)

+ – 42 V 3Ω 10 V – + + – 42 V i1 3Ω i2 10 V – +

3.3 Método das Malhas

Um circuito com N nós e B ramos/elementos terá L=

(

)

(

)

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − + − = − + + − 0 10 i 4 i i 3 0 i i 3 i 6 42 2 1 2 2 1 1

(29)

ou seja: ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + − = − 10 i 7 i 3 42 i 3 i 9 2 1 2 1

o que dá o seguinte resultado: A

6

i₁ = ; i₂ =4A

e a corrente na resistência de 3Ω, no sentido descendente, é dada por:

(

i i

)

2A

i₃ = ₁− ₂ =

Agora qualquer tensão ou potência associadas com elementos deste circuito podem ser determinadas.

Por exemplo, a tensão na resistência de 3 é dada por: Ω

V 6 i 3

v = ₃ =

sendo a potência absorvida pela resistência de 3Ω dada por:

W 12 3 v i 3 p 2 2 3 = = =

3.4 Linearidade e Sobreposição

Um circuito linear que contenha duas ou mais fontes independentes pode ser analisado para obter as várias tensões e correntes nos ramos fazendo com que as fontes actuem uma de cada vez e daí sobrepondo os resultados.

O Princípio da Sobreposição afirma então que a resposta (uma determinada corrente ou tensão) em qualquer elemento de uma rede linear, contendo mais de uma fonte, pode ser obtida pela soma das respostas produzidas por cada fonte actuando isoladamente.

(30)

ia 2 Ω 1 Ω ib v1 v2 5Ω

• Fontes de tensão que são suprimidas, enquanto uma única fonte actua, são substituídas por curto-circuitos.

• Fontes de corrente que são suprimidas, enquanto uma única fonte actua, são substituídas por circuitos abertos.

A sobreposição não pode ser directamente aplicada ao cálculo da potência, visto que, a potência é proporcional ao quadrado da corrente ou ao quadrado da tensão, não sendo assim linear.

Considere, por exemplo, o seguinte circuito com 3 nós:

Aplicando a Lei dos Nós para os nós 1 e 2, temos:

(

)

(

)

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = − + = − + b 1 2 2 a 2 1 1 i 5 v v 1 v i 5 v v 2 v ou seja: ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + − = − b 2 1 a 2 1 i v 2 , 1 v 2 , 0 i v 2 , 0 v 7 , 0

e a solução destas equações dá-nos as tensões v₁ e v₂.

Estas mesmas equações, e portanto, o mesmo resultado seria obtido se resolvêssemos o

(31)

Para i_a = : 0 Para i_b = : 0

(

)

(

)

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = − + = − + b ' 1 ' 2 ' 2 ' 2 ' 1 ' 1 i 5 v v 1 v 0 5 v v 2 v

(

)

(

)

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = − + = − + 0 5 v v 1 v i 5 v v 2 v '' 1 '' 2 '' 2 a '' 2 '' 1 '' 1 ou seja: ou seja: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + − = − b ' 2 ' 1 ' 2 ' 1 i v 2 , 1 v 2 , 0 0 v 2 , 0 v 7 , 0 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + − = − 0 v 2 , 1 v 2 , 0 i v 2 , 0 v 7 , 0 '' 2 '' 1 a '' 2 '' 1

o que nós dará v₁' e v₂' o que nós dará v₁'' e v₂''

As tensões v₁ e v₂ do circuito completo podem ser obtidas somando-se:

'' 1 ' 1 1 v v v = + e '' 2 ' 2 2 v v v = +

e isto pode ser verificado somando-se as equações anteriores:

v₁ v₂

(

)

(

)

(

)

(

)

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + + + − = + − + b '' 2 ' 2 '' 1 ' 1 a '' 2 ' 2 '' 1 ' 1 i v v 2 , 1 v v 2 , 0 i v v 2 , 0 v v 7 , 0 v₁ v₂

(32)

+ 1 V R – i + + 12 V RL vL – – 0,01 Ω iL

Capítulo 4 – Técnicas de Simplificação de Circuitos

4.1 Fonte de Tensão e Fonte de Corrente Reais

Considere a fonte de tensão ideal de 1 V abaixo indicada:

Se R = 1 kΩ ⇒ i = 0,001 A

Se R = 1 Ω ⇒ i = 1 A

Se R = 1 mΩ ⇒ i = 1000 A

Se R = 1 µΩ ⇒ i = 1000000 A

Na prática, no mundo físico real, não existe uma fonte que se comporte desta forma. Na prática, somente para correntes ou potências relativamente pequenas é que a fonte se comporta como ideal.

Fonte de Tensão (real)

considera-se uma resistência em série, embutida, que absorve parte da tensão que vai para a carga RL.

(33)

12 V 6 V fonte ideal fonte real + + vs RL vL – – Ri i_L vL 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 RL

Neste exemplo, quando a carga RL é igual à resistência interna de 0,01 Ω, a tensão de

12 V divide-se em 6 V para a resistência interna e 6 V para a carga.

Portanto, na prática, representa-se uma fonte de tensão real como uma fonte de tensão

ideal com uma resistência interna Ri:

Fonte de Tensão Carga

s L i L L v R R R v + = pelo que, 2 v v s L = quando RL =Ri ainda, _s L i L v R R 1 i + =

Uma fonte de corrente ideal também não existe. Na prática, a corrente que vai para a

(34)

+ is RL vL – Ri' iL is 2 is fonte ideal fonte real

Fonte de Corrente (real)

considera-se uma resistência em paralelo, embutida, que absorve parte da corrente que vai para a carga RL.

iL 0 Ri' 2Ri' 3Ri' 4Ri' 5Ri' RL s L ' i ' i L i R R R i + = pelo que, 2 i i s L = quando ' i L R R = ainda, _s L ' i L ' i L i R R R R v + =

4.2 Fontes Equivalentes

Duas fontes são equivalentes se elas produzem correntes e tensões idênticas, e portanto potências idênticas, para qualquer carga ligada aos seus terminais.

(35)

3 A 2 Ω icc icc + 6 V – 2 Ω é equivalente a: is Ri + vs – Ri is Ri + vs – Ri + vca – + vca –

Assim, para cargas RL iguais, a fonte de tensão e a fonte de corrente reais são

equivalentes se: s L ' i ' i s L i i R R R v R R 1 + = + ou s L ' i L ' i s L i L _i R R R R v R R R + = + então: ' i i R R = e v_s =R_i i_s Por exemplo: Corrente de Curto-Circuito (RL =0):

Se forçarmos que seja igual para as duas fontes, tem-se:

i s s cc R v i i = = , ou seja, v_s =R_i i_s

Tensão de Circuito Aberto (RL =∞):

Se forçarmos que seja igual para as duas fontes, tem-se:

s i s

ca v R i

(36)

+ + 12 V 6 Ω vL RL – – 3 Ω 7Ω A B + 4 A 3Ω 6 Ω vL RL – 7Ω A B + + 8 V vL RL – – 7 Ω 2Ω

4.3 Teoremas de Thévenin e de Norton

Os Teoremas de Thévenin e de Norton permitem realizar uma análise parcial do circuito, nomeadamente, determinar a corrente, a tensão e a potência absorvida por

uma simples resistência RL. O Teorema de Thévenin diz que é possível substituir tudo

menos a resistência RL por um circuito equivalente que contém apenas uma fonte de

tensão em série com uma resistência. Considere, por exemplo, o seguinte circuito:

Se transformarmos primeiro a fonte de 12 V com a resistência de 3 Ω em série temos o circuito:

Agora transformando a fonte de 4 A com a resistência de 2 Ω (3 Ω // 6 Ω) em paralelo temos o circuito:

(37)

+ + 8 V vL RL – – A B 9Ω 9 Ω RL A B A 9 8 iL

O circuito anterior equivale a:

ou seja, a parte A do circuito original foi substituída por uma fonte de tensão (8 V) em série com uma resistência (9 Ω) – circuito Equivalente-Thévenin.

Do ponto de vista da carga RL o circuito Equivalente-Thévenin é equivalente à parte A

do circuito original. A tensão em RL e a potência absorvida são dadas por:

8 R 9 R v L L L × + = L 2 L L 2 L L L 2 L L R R 9 8 R 8 R 9 R R v p _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ _× + = = Se RL =∞ (circuito aberto), vL =8 V.

O Teorema de Norton é semelhante ao Teorema de Thévenin, na verdade é um

corolário deste. Diz que é possível substituir tudo menos a resistência RL por um

circuito equivalente que contém apenas uma fonte de corrente em paralelo com uma resistência. Considerando o exemplo anterior, tem-se:

(38)

+ vca – RTh icc RTh

ou seja, a parte A do circuito original foi substituída por uma fonte de corrente (8/9 A) em paralelo com uma resistência (9 Ω) – circuito Equivalente-Norton.

Do ponto de vista da carga RL o circuito Equivalente-Norton é equivalente à parte A

do circuito original. A corrente em RL é dada por:

9 8 R 9 9 i L L = ₊ × Se RL =0 (curto-circuito), iL =8/9 A.

Assim, tem-se que:

• Qualquer rede linear acessível através de dois terminais pode ser substituída por um circuito equivalente à rede original, consistindo em uma fonte de tensão (vca) em série com uma resistência (RTh) – Equivalente de Thévenin.

• Qualquer rede linear acessível através de dois terminais pode ser substituída por um circuito equivalente à rede original, consistindo em uma fonte de corrente (icc) em paralelo com uma resistência (RTh) – Equivalente de Norton.

O Equivalente de Thévenin é dado por:

em que vca é a tensão de circuito aberto, e RTh é a resistência de Thévenin.

O Equivalente de Norton é dado por:

(39)

+ Rede v 1 A – + Rede 1 V – i

Assim, o Equivalente de Thévenin e o Equivalente de Norton podem ser obtidos um a partir do outro por transformação da fonte: v_ca =R_Th i_cc

A resistência de Thévenin, R_Th, é a resistência equivalente obtida quando todas as

fontes são suprimidas (as fontes de tensão são substituídas por curto-circuitos, enquanto que as fontes de corrente são substituídas por circuitos abertos).

No caso de redes onde existem fontes independentes e dependentes, R_Th apenas pode

ser calculada através de:

cc ca Th

i v

R = . Pelo que, neste caso é necessário determinar v_ca e

cc

i , sendo R_Th obtida pela equação anterior.

No caso de redes onde existem apenas fontes dependentes, R_Th pode ser calculada

considerando:

• Uma fonte externa de corrente de 1 A nos terminais da rede:

sendo 1 v R_Th =

• Uma fonte externa de tensão de 1 V nos terminais da rede:

sendo i 1 R_Th =

(40)

+ +

vca vL RL

– –

RTh iL

No caso anterior (apenas fontes dependentes), o Equivalente de Thévenin não tem

fonte de tensão (v_ac = ), e o Equivalente de Norton não tem fonte de corrente 0

(i_cc = ). Ou seja, ambos os Equivalentes de Thévenin e de Norton são constituídos 0

apenas por R_Th.

4.4 Transferência Máxima de Potência

Considere o seguinte circuito:

A potência absorvida pela resistência RL é dada por:

2 L L

L R i

p =

O valor da resistência RL para o qual a potência absorvida é máxima é determinado

através de:

(

)

₀ R i R 0 R p L 2 L L L L = ∂ ∂ ⇔ = ∂ ∂ Sendo Th L ca L R R v i + = tem-se que:

(

)

₌ _⇔ ∂ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ∂ ⇔ = ∂ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ∂ 0 R R R R v 0 R R R v R L 2 Th L L 2 ca L 2 Th L ca L

(

)

(

)

)

⇔ + = ⇔ = + ⇔ ⇔ _L _L _Th Th L L 2 Th L 3 Th L L ₁ ₂_R _R _R R R R 2 R R 1 R R R 2 Th L R R = ⇔

Pelo que, a transferência máxima de potência ocorre quando R_L =R_Th

A potência máxima é então dada por:

2 ca 2 Th Th L 2 Th ca Th L 2 Th Th ca Th L 2 L Th L v R 4 R p R 2 v R p R R v R p i R p _⎟⎟ ⇔ = ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⇔ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = ⇔ = Th 2 ca L R 4 v p = ⇔ pL 0 RTh RL

(42)

– + i – i + Entrada inversora v – Alimentação (+15V) + vCC

Entrada não inversora v +

– v CC Alimentação (–15V) i – i + v o i o

Capítulo 5 – Amplificador Operacional

5.1 Características Ideais do Amplificador Operacional

O Amplificador Operacional (AMPOP) é um circuito integrado activo com ganho elevado. O AMPOP pode ser visto como uma fonte dependente de tensão, em que a tensão de saída é a amplificação da "tensão-diferença" de entrada.

(

+− −

)

= ⇔ =Av v A v v v₀ _i ₀ , sendo i 0 v v A= o ganho do AMPOP

O AMPOP ideal tem as seguintes características: • Resistência de entrada infinita (Ri =∞);

• Resistência de saída nula (Ro =0);

• Ganho de tensão infinito (A=∞);

• Largura de banda infinita (BW=∞); i.e., o AMPOP responde igualmente para

todas as frequências, sendo o ganho independente da frequência;

• Tensão de offset nula; i.e., quando v₊ = v₋ (v_i = ) tem-se que 0 v_o = ; 0

• Drift nulo; i.e., quando te

i c

v = tem-se que te

o c

(43)

Destas características ideais podemos deduzir duas propriedades muito importantes: • Tensão diferencial de entrada nula (v – =v +);

• Corrente nos terminais de entrada nula (i – =0 e i + =0).

A primeira propriedade determina que os terminais de entrada estão ao mesmo potencial, i.e., em curto-circuito. Contudo, a segunda propriedade faz o curto-circuito como não condutor de corrente, ou como sendo um circuito aberto. Pelo que, diz-se um curto-circuito virtual, sendo um conceito muito importante na análise de circuitos com AMPOP’s.

5.2 Características Reais do Amplificador Operacional

No AMPOP real nem a resistência de entrada é infinita nem a resistência de saída é nula. Tipicamente, a resistência de entrada apresenta valores que vão desde alguns

MΩ até aos TΩ, enquanto a resistência de saída apresenta valores que vão desde

algumas centenas de Ω até apenas alguns Ω.

O ganho a que se referiu anteriormente é o chamado ganho em malha aberta, i.e., o ganho do amplificador em si. O valor do ganho pode ser modificado por convenientes ligações exteriores, obtendo-se nesse caso o chamado ganho em malha fechada.

Obviamente um ganho infinito não é possível, mas esse ganho é efectivamente muito elevado: tipicamente, entre 10000 e 10000000.

Ainda, deve notar-se que a tensão de saída é limitada pela tensão de alimentação: não

podemos ter uma tensão de saída com uma amplitude maior do que – v CC a + v CC.

Os valores de v CC são, em geral, inferiores a 20 V: tipicamente 15 V. Quando a tensão

de saída atinge + v CC ou – v CC ela satura e aí permanece, e quanto maior for o

(44)

+ v CC

A = declive da recta (Ganho)

Saturação negativa Saturação positiva – v CC Zona de funcionamento linear A vCC + A vCC −

Por exemplo, seja _A₌₁₀5_{e a tensão de alimentação}_±₁₅_V_{. A máxima variação}

permitida à tensão de entrada, antes de se entrar em saturação, é portanto neste caso dada por: mV 15 , 0 10 15 v_i = ₅ =

Se o ganho fosse ₁₀4_{, a tensão de entrada já poderia ser 10 vezes superior, i.e.,}

1,5 mV. Portanto, para se ter um funcionamento linear de um AMPOP, a tensão de entrada tem que ser da ordem dos mV.

Seguidamente, é apresentada a característica de transferência de um AMPOP, i.e., o traçado da tensão de saída em função da tensão de entrada:

vo vi • A v v CC

i < ⇒ v0 =Avi ⇔v0 =A

(

v+−v−

)

; zona de funcionamento linear;

• A v v CC i +

> ⇒ v₀ =+ v_CC; AMPOP saturado positivamente;

• A v v CC i −

(45)

O ganho do AMPOP pode traduzir-se numa distorção do sinal à entrada, sendo tanto maior essa distorção quanto maior for o ganho. Contudo, o valor do ganho poderá ser controlado mediante ligações externas, dando assim ao AMPOP maior flexibilidade. No AMPOP real a largura de banda (espectro de frequências ao longo do qual o

AMPOP funciona com as suas características nominais) é finita. Além disso, não se

pode ter num AMPOP real um ganho elevado com uma largura de banda também elevada. Aliás, estas duas características são naturalmente incompatíveis. Verifica-se no entanto que em geral, para cada AMPOP, o produto do ganho pela largura de banda é sensivelmente constante, constituindo um parâmetro característico: factor de mérito (gain bandwidth).

Anteriormente foi referido que o AMPOP amplifica a "tensão-diferença" entre as entradas não inversora e inversora. Contudo, se existir uma componente comum às

duas entradas, de acordo com a equação v0 =A

(

v₊−v₋

)

essa componente não

aparecia na saída.

Na realidade a tensão de saída depende não só da diferença das tensões de entrada, mas também da semi-soma das tensões de entrada. Assim, num AMPOP real tem-se que:

(

)

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + − = + − − + 2 v v A v v A v₀ _d _c

sendo A_d o ganho de modo diferencial e A_c o ganho de modo comum.

O facto da tensão de saída depender de A_c é tipicamente indesejável, pelo que se

procura ter A_d >> A_c de modo a minimizar a influência de A_c na tensão de saída. A razão entre os dois ganhos é denominada de factor de rejeição do modo comum (CMRR – Common Mode Rejection Ratio):

c d

A A

(46)

Um elevado CMRR é particularmente importante quando se pretende amplificar pequenas diferenças de sinal na presença de um elevado sinal comum, i.e., na presença de elevados valores de ruído.

A suposição de que nos terminais de entrada do AMPOP não há corrente também não é real. Os valores típicos para esta corrente variam entre 300 e 1500 nA.

Um caso particular do funcionamento em modo comum é aquele em que os terminais de entrada são curto-circuitados. Nessas condições seria de esperar que a tensão de saída fosse nula. Na prática tal não acontece, pelo que deve ser aplicada uma tensão diferencial à entrada de modo a fazer com que a tensão de saída seja nula. A esta tensão que aparece sobreposta a qualquer sinal de saída do amplificador dá-se o nome de tensão de desequilíbrio à entrada (input offset voltage). Esta tensão é variável com a temperatura, sendo denominada input offset voltage drift.

Num AMPOP ideal a tensão de saída segue, sem atraso, a tensão de entrada. Num

AMPOP real há sempre atrasos, i.e., taxas de crescimento temporal limitadas.

É costume definir uma grandeza (slew rate) que traduz a velocidade máxima de resposta da saída a sinais de grande variação. Por exemplo, um slew rate de 0,5V/μ s

significa que o AMPOP demora 20μ a variar s 10V a sua tensão de saída. O efeito

do slew rate é distorcer o sinal quando este ultrapassa a capacidade de resposta do

AMPOP.

Dada a importância das montagens de AMPOP’s com realimentação (feedback), apresentam-se a seguir algumas montagens, que servem para exemplificar como se pode obter a relação entre a tensão de saída e a tensão de entrada.

Deste modo, consegue-se que as características de um AMPOP dependam de componentes passivos e não de componentes activos (cujas características são sempre mais difíceis de controlar). Contudo, o ganho com realimentação é menor do que sem realimentação.

(47)

– + v o + vi – i1 R1 i2 R2

5.3 Circuito Inversor

Considerando o AMPOP ideal, tem-se: • v – =v + ⇒ v – = 0V

• i – =0 ⇒ i1 =i2

Atendendo ao curto-circuito virtual, tem-se:

2 i 2 2 2 i R v i 0 i R v + = ⇔ = − 1 o 1 o 1 1 R v i 0 v i R + = ⇔ =−

Pelo que, obtém-se:

i 2 1 o 2 i 1 o 2 1 v R R v R v R v i i = ⇔− = ⇔ =−

Assim, o ganho é exclusivamente definido por componentes externos (R1 e R2) e não

depende do próprio AMPOP, i.e., das suas características e componentes internos. O AMPOP funciona na zona linear (i.e., não está saturado) quando:

2 1 CC i CC i 2 1 CC o R / R v v v v R R v v < ⇔ − < ⇔ <

A realimentação permite então projectar o ganho para o valor desejado, muito embora

com redução do ganho global, além de permitir uma tensão de entrada vi

(48)

+ – v o + vi – i1 R1 i3 R3 R2 i2

5.4 Circuito Não Inversor

Considerando o AMPOP ideal, tem-se: • v – =v +

• i – =0 ⇒ i1 =i2

• i + =0 ⇒ v + =vi

Atendendo ao divisor de tensão, tem-se:

o 2 1 2 _v R R R v + = −

i 2 1 o i 2 2 1 o i o 2 1 2 _v R R 1 v v R R R v v v R R R ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = ⇔ + = ⇔ = +

O AMPOP funciona na zona linear quando:

CC 2 1 2 i CC i 2 1 CC o v R R R v v v R R 1 v v + < ⇔ < ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⇔ <

(49)

Capítulo 6 – Sinais

6.1 Função Escalão Unitário

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > < = 0 t , V 0 t , 0 ) t ( v 0 v(t) V0 0 t

Escalão unitário: u₁(t) ⇒ Amplitude = 1

6.2 Função Impulso Unitário

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > < ≤ ≤ = 1 1 0 t t e 0 t , 0 t t 0 , V ) t ( v

(50)

v(t) V0

0 t1 t

Impulso ⇒ t₁→ e 0 V₀ →∞

Impulso unitário: u₀(t) ⇒ Área = 1

6.3 Função Rampa Unitária

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ < = 0 t , t k 0 t , 0 ) t ( v v(t) 0 t

Rampa unitária: u2(t) ⇒ Declive = 1

As funções singulares podem ser expressas em função de u₀(t), u₁(t) e u₂(t). Ainda, de notar que:

t d ) t ( u d ) t ( u 1 0 = t d ) t ( u d ) t ( u 2 1 =

(51)

6.4 Função Exponencial

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > < = − _, _t ₀ e V 0 t , 0 ) t ( v at 0 v(t) V0 0 t

6.5 Função Sinusoidal

) wt sin( V ) t ( v = ₀ +θ v(t) V0 0 t -V0

(52)

i + . ε v – i + v C – A

Capítulo 7 – Capacidade e Auto-Indução

7.1 Condensador

d d A C= ε sendo: • C ⇒ Capacitância

Unidade: F (Farad) em homenagem a Michael Faraday, cientista britânico (1791-1867)

1 F = 1 C/V

v q

C=

• A ⇒ Área das placas • d ⇒ Distância entre placas

• ε ⇒ Permitividade ou constante dieléctrica

para o vazio: 10 F/m 36 1 9 0 − × π = ε

(53)

+ + v C2 v2 – – + – C1 i v3 – + C3

Assim, se a tensão é constante, a corrente é nula. Neste caso, o condensador é um

circuito aberto. Por outro lado, a tensão não pode variar instantaneamente, pois isto

exigiria uma corrente infinita. A tensão é dada por:

) t ( v dt i C 1 ) t ( v t ₀ t0 + =

_∫

A potência é dada por: t d v d v C p i v p= ⇔ =

A energia armazenada no condensador é dada por:

[

∑

= = _I 1 i _i eq C 1 1 C

No caso particular de apenas dois condensadores em série, tem-se:

2 1 2 1 eq C C C C C + × = Condensadores em Paralelo

Aplicando a Lei dos Nós, obtém-se:

(

)

t d v d C i t d v d C C C i t d v d C t d v d C t d v d C i 0 i i i i− ₁− ₂− ₃ = ⇔ = ₁ + ₂ + ₃ ⇔ = ₁+ ₂ + ₃ ⇔ = _eq

Portanto, os condensadores em paralelo (C1, C2 e C3) podem ser substituídos no

circuito por: C_eq =C₁+C₂ +C₃

De forma geral, o condensador equivalente a um conjunto de condensadores em

paralelo é dado por:

∑

= = I 1 i i eq C C

(55)

i + N v – i + v L – A

7.2 Bobina

l l A N L 2 μ = sendo: • L ⇒ Indutância

Unidade: H (Henry) em homenagem a Joseph Henry, cientista norte-americano (1797-1878) 1 H = 1 V.s/A • μ ⇒ Permeabilidade para o vazio: 4 10 7 H/m 0 − × π = μ • N ⇒ Número de espiras • A ⇒ Área seccional • l ⇒ Comprimento A tensão é dada por:

t d i d L ) t ( v =

Assim, se a corrente é constante, a tensão é nula. Neste caso, a bobina é um

curto-circuito. Por outro lado, a corrente não pode variar instantaneamente, pois isto

exigiria uma tensão infinita. A corrente é dada por:

) t ( i dt v L 1 ) t ( i t ₀ t0 + =

_∫

(56)

+ + v L2 v2 – – + – L1 v3 i – + L3

A potência é dada por: t d i d i L p i v p= ⇔ =

A energia armazenada na bobina é dada por:

[

i (t) i (t )

]

L 2 1 W di i L W dt t d i d i L W dt p W i(t) 2 2 ₀ ) t ( i t t t t0 0 0 − = ⇔ = ⇔ = ⇔ =

_∫

assumindo que i(t₀)= , então tem-se que: 0

2 i L 2 1 W = Bobinas em Série v1

Aplicando a Lei das Malhas, obtém-se:

t d i d ) L L L ( v t d i d L t d i d L t d i d L v 0 v v v v+ 1+ 2+ 3 = ⇔ = 1 + 2 + 3 ⇔ = 1+ 2 + 3 − t d i d L v = _eq ⇔

Portanto, as bobinas em série (L1, L2 e L3) podem ser substituídas no circuito por:

3 2 1

eq L L L

L = + +

De forma geral, a bobina equivalente a um conjunto de bobinas em série é dada por:

∑

= = I 1 i i eq L L

(57)

i L1 L2 L3 i1 i3 + v – i2 Bobinas em Paralelo

Aplicando a Lei dos Nós, obtém-se:

) t ( i dt v L 1 ) t ( i dt v L 1 ) t ( i dt v L 1 i 0 i i i i t ₃ ₀ t 3 0 2 t t 2 0 1 t t 1 3 2 1 0 0 0 + + + + + = ⇔ = + + + −

_∫

considerando: i₁(t₀)+i₂(t₀)+i₃(t₀) =i(t₀), tem-se que: ) t ( i dt v L 1 v ) t ( i dt v L 1 L 1 L 1 i t ₀ t eq 0 t t 3 2 1 0 0 + = ⇔ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + =

_∫

Portanto, as bobinas em paralelo (L1, L2 e L3) podem ser substituídas no circuito por:

3 2 1 eq L 1 L 1 L 1 1 L + + =

De forma geral, a bobina equivalente a um conjunto de bobinas em paralelo é dada por:

∑

= = _I 1 i _i eq L 1 1 L

No caso particular de apenas duas bobinas em paralelo, tem-se:

2 1 2 1 eq L L L L L + × =

(58)

– +

vR R L vL

+ –

i

Capítulo 8 – Circuitos de Primeira Ordem

8.1 Circuitos RL e RC Simples

Quando um circuito é comutado de uma condição para outra ocorre um período de

transição. Depois desse período transitório, diz-se que o circuito atinge o estado

estacionário.

A aplicação das Leis de Kirchhoff a um circuito que contenha elementos capazes de armazenar energia resulta em uma equação diferencial.

Seguidamente, é analisada a resposta transitória ou resposta natural de circuitos simples RL e RC (com energia armazenada na bobina, para o circuito RL, e no condensador, para o circuito RC) e sem fontes.

Circuito RL Simples

Aplicando a Lei das Malhas, obtém-se: 0 i L R t d i d 0 t d i d L i R 0 v v_R + _L = ⇔ + = ⇔ + =

(59)

+

R v C

–

iC

iR

resolvendo a equação diferencial, obtém-se:

τ − − = ⇔ = Lt ₀ t R 0 e i(t) I e I ) t ( i i(t) I0 0 τ t ) 0 ( i

I₀ = representa a energia armazenada

R L =

τ é a constante de tempo

A energia total transformada em calor na resistência é dada por:

2 0 I L 2 1 W =

que corresponde à energia total armazenada na bobina no instante inicial t = . 0

Circuito RC Simples

Aplicando a Lei dos Nós (para o nó superior), obtém-se: 0 C R v t d v d 0 t d v d C R v 0 i i_R + _C = ⇔ + = ⇔ + =

(60)

– + v o + vi – i2 R C i1 + – vC

resolvendo a equação diferencial, obtém-se:

τ − − = ⇔ = RC ₀ t t 0 e v(t) V e V ) t ( v v(t) V0 0 τ t ) 0 ( v

V₀ = representa a energia armazenada

C R =

τ é a constante de tempo

A energia total transformada em calor na resistência é dada por:

2 0 V C 2 1 W=

que corresponde à energia total armazenada no condensador no instante inicial t = . 0

8.2 Circuitos Diferenciador e Integrador

(61)

– + v o + vi – i1 R C i2 + – vC

• i – =0 ⇒ i1 =i2

Atendendo ao curto-circuito virtual, tem-se:

i C C i v 0 v v v + = ⇔ = − R v i 0 v i R o 2 o 2 + = ⇔ =− Ainda: t d v d C i t d v d C i i 1 C 1 = ⇔ =

t d v d C R v R v t d v d C i i i o o i 2 1 = ⇔ =− ⇔ =− Se RC= tem-se: 1 t d v d v i o =−

Deste modo, a tensão de saída é proporcional à derivada da tensão de entrada.

(62)

• i – =0 ⇒ i1 =i2

Atendendo ao curto-circuito virtual, tem-se: R v i 0 i R v i 1 1 i+ = ⇔ = − C o o C v 0 v v v + = ⇔ =− Ainda: t d v d C i t d v d C i o 2 C 2 = ⇔ =−

) t ( v dt v C R 1 v C R v t d v d t d v d C R v i i t _C ₀ t i o i o o i 2 1 0 + − = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ =

_∫

Se RC= e 1 v_C(t₀)= tem-se: 0 dt v v t t i o 0

∫

− =

Deste modo, a tensão de saída é proporcional ao integral da tensão de entrada.

8.3 Resposta Completa de Circuitos RL e RC

A resposta completa de um circuito é composta de duas partes: • resposta natural ou resposta transitória;

• resposta forçada ou resposta estacionária.

A resposta natural é a solução geral da equação diferencial que representa o circuito, quando a entrada é nula. A resposta forçada é a solução particular da equação diferencial que representa o circuito.

(63)

+ C v (t) – + vca – RTh icc RTh L i Entrada Constante

Devem usar-se os Equivalentes de Thévenin e de Norton para simplificar a análise do circuito. Posteriormente, um de dois tipos de circuitos pode ser considerado:

• Circuito de primeira ordem com condensador

Neste caso, a tensão no condensador é dada por:

(

₋

)

−τ + =v_ca v(0) v_ca e t ) t ( v

sendo: respostacompleta=v(t); ca v forçada resposta = ;

(

₋

)

−τ = v(0) v_ca e t natural resposta ; C R = τ

• Circuito de primeira ordem com bobina

Neste caso, a corrente na bobina é dada por:

(

₋

)

−τ + =i_cc i(0) i_cc e t ) t ( i

sendo: respostacompleta=i(t); cc i forçada resposta = ;

(

−

)

−τ = i(0) i_cc e t natural resposta ; R L = τ

(64)

Entrada Variável

A equação diferencial que descreve um circuito RL ou RC é representada de forma genérica por: ) t ( y ) t ( x a t d ) t ( x d ₊ ₌

A solução genérica é dada por:

f n t a t a t a _e _y_e _dt _x _x _x e K x= − + −

_∫

⇔ = +

A resposta natural é sempre dada por: at

n Ke

x ₌ − _{; K obtém-se das condições iniciais.}

A resposta forçada é dada por: • a M x_f = , se y(t)=M • b a e x t b f = ₊ , se t b e ) t ( y =

(65)

Capítulo 9 – Circuitos de Segunda Ordem

9.1 Circuito RLC

Neste capítulo é determinada a resposta completa de um circuito com dois elementos capazes de armazenar de energia (L e C). Este circuito é descrito por uma equação diferencial de segunda ordem, que pode ser dada genericamente por:

) t ( f ) t ( x ) t ( x t d d 2 ) t ( x t d d 2 0 2 2 = ω + α + em que: • α é o coeficiente de amortecimento • ω é a frequência de ressonância ₀

Usando o operador diferencial: n n_n

t d

d

s = , obtém-se a equação característica de um

circuito de segunda ordem, dada por: s 2 s 2 0

0 2₊ _α ₊_ω ₌

Esta equação característica tem duas soluções:s₁ e s₂. Estas soluções são denominadas de frequências naturais do circuito de segunda ordem.

Um circuito de segunda ordem pode ser caracterizado como:

• Sobreamortecido, se s₁ e s₂ são reais e diferentes, ou, α>ω₀;

• Criticamente amortecido, se s₁ e s₂ são reais e iguais (pólo duplo), ou, α=ω₀; • Subamortecido, se s₁ e s₂ são complexos conjugados, ou, α<ω₀.

(66)

A resposta completa de um circuito de segunda ordem é a soma da resposta natural com a resposta forçada: x=x_n +x_f

A resposta natural depende das frequências naturais do circuito. No caso de um circuito: • Sobreamortecido, 2 0 2 2 1,s s =−α± α −ω ⇒ st 2 t s 1 n A e 1 A e 2 x ₌ − ₊ − _; • Criticamente amortecido, s₁,s₂ =−α ⇒

(

)

t 2 1 n A A t e x ₌ ₊ −α _; • Subamortecido, 2 2 _d 0 2 1,s j j s =−α± ω −α =−α± ω ⇒

(

)

t d 2 d 1 n A cos t A sen t e x ₌ _ω ₊ _ω −α _.

A resposta forçada depende da entrada do circuito, sendo dada por: • x_f = , se A f(t) = (constante) K

• x_f =A+Bt, se f(t)=Kt (rampa)

• x_f =Acosωt+Bsenωt, se f(t)=Kcosωt ou f(t)=Ksenωt (sinusoidal)

• bt

f Ae