Prof. Dr. Alfredo Takashi Suzuki

(1)

JORNADA DE F

JORNADA DE FÍÍSICA SICA TETEÓÓRICARICA

INSTITUTO DE F

INSTITUTO DE FÍÍSICA TESICA TEÓÓRICARICA

U.N.E.S.P. U.N.E.S.P.

19 a 23

(2)

CAMPOS: CL

CAMPOS: CLÁÁSSICOS, QUSSICOS, QUÂÂNTICOS, DE NTICOS, DE GAUGE E POR AÍ AFORA

GAUGE E POR AÍ AFORA

Jornada de F

Jornada de Fíísica Tesica Teóórica 2010rica 2010

Instituto de F

Instituto de Fíísica Tesica Teóóricarica/UNESP/UNESP Prof. Dr. Alfredo Takashi Suzuki

(3)

•• CAMPOS: O QUE SCAMPOS: O QUE SÃÃO ?O ?

•• REALIDADE INVREALIDADE INVÍÍSIVEL CUJOS SIVEL CUJOS EFEITOS VIS

EFEITOS VISÍÍVEIS PODEMOS VEIS PODEMOS

OBSERVAR, ANALISAR, MEDIR… OBSERVAR, ANALISAR, MEDIR…

CAMPOS: CL

CAMPOS: CLÁÁSSICOS, QUSSICOS, QUÂÂNTICOS, NTICOS, DE GAUGE E POR AÍ AFORA

(4)

•• CAMPOS: O QUE SCAMPOS: O QUE SÃÃO ?O ? •• … E OLHAR?...… E OLHAR?...

CAMPOS: CL

(5)

CAMPOS: CL

DE GAUGE E POR AÍ AFORA

•• CAMPOS: O QUE CAMPOS: O QUE S

SÃÃO ?O ?

•• … E APRECIAR …… E APRECIAR …

(6)

CAMPOS: CL

•• CAMPOS: O QUE CAMPOS: O QUE S

SÃÃO ?O ?

•• … E APRECIAR …… E APRECIAR …

(7)

CAMPOS: CL

•• EXEMPLOS DE EXEMPLOS DE CAMPOS:

CAMPOS:



(8)

CAMPOS: CL

•• EXEMPLOS DE EXEMPLOS DE CAMPOS:

CAMPOS:



(9)

•• “CLÁSSICO”:“CLÁSSICO”:



 SIGNIFICA QUE É ANTERIOR À SIGNIFICA QUE É ANTERIOR À MECÂNICA QUÂNTICA,

MECÂNICA QUÂNTICA, ouou 

 QUE NÃO INCLUA CONCEITOS DA QUE NÃO INCLUA CONCEITOS DA MECÂNICA QUÂNTICA

MECÂNICA QUÂNTICA

1. CAMPOS CLÁSSICOS 1. CAMPOS CLÁSSICOS

(10)

•• EXEMPLOS DE CAMPOS EXEMPLOS DE CAMPOS (CLÁSSICOS): (CLÁSSICOS): •• GRAVITACIONAL,GRAVITACIONAL, •• ELÉTRICO,ELÉTRICO, •• MAGNÉTICO,MAGNÉTICO, •• …… 1. CAMPOS CLÁSSICOS 1. CAMPOS CLÁSSICOS

(11)

•• NOÇÃO DE CAMPO CLÁSSICO É NOÇÃO DE CAMPO CLÁSSICO É ABSTRAÍDO DO CONCEITO DE ABSTRAÍDO DO CONCEITO DE FORÇA. FORÇA. 1. CAMPOS CLÁSSICOS 1. CAMPOS CLÁSSICOS

(12)

•• COMO TAL, CLASSICAMENTE, COMO TAL, CLASSICAMENTE, CAMPOS

CAMPOS** TEM AÇÃO TEM AÇÃO

INSTANTÂNEA SOBRE ELEMENTOS INSTANTÂNEA SOBRE ELEMENTOS DE PROVA COLOCADOS SOB SUA

DE PROVA COLOCADOS SOB SUA AÇÃO. AÇÃO. * * CLÁSSICOS!CLÁSSICOS! 1. CAMPOS CLÁSSICOS 1. CAMPOS CLÁSSICOS

(13)

(14)

1. CAMPOS CLÁSSICOS 1. CAMPOS CLÁSSICOS grav grav ₂ ˆ grav ₂ ˆ mM M G G r m r   F   F r G r   

Tomando-se o raio da Terra como distância do centro à superfície, ou regiões próximas à superfície da Terra, obtém-se a aceleração da gravidade local,

grav grav ₂ 2 Terra ˆ ˆ M G m r GM R    F G r g r   

(15)

(16)

(17)

1. CAMPOS CLÁSSICOS 1. CAMPOS CLÁSSICOS elet elet ₂ ˆ elet ₂ ˆ qQ Q K K r q r   F   F r E r   

(18)

1. CAMPOS CLÁSSICOS 1. CAMPOS CLÁSSICOS elet elet ₂ ˆ elet ₂ ˆ qQ Q K K r q r   F   F r E r   

(19)

(20)

elet

elet elet elet

q



F



E

F



grav

grav grav grav

m



F



G

F



(21)

mag



(22)

(23)

(24)

1. CAMPOS CLÁSSICOS 1. CAMPOS CLÁSSICOS mag

q

c





F



v B



(25)

1. CAMPOS CLÁSSICOS 1. CAMPOS CLÁSSICOS elet ₂ elet ₂ 2 mag 2 2 2 mag 2 2 mag ˆ ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ˆ qQ Q K K r r qQ v K qQ v r c K r c         _ _  _  _  _    _ _{ } _ _   _    _  F r E r F r F r F r v r B v r      _  _ mag ₂ mag Q v q K r c c     B F v B 

(26)

m



F



a



Vetor Vetor

(27)

1. CAMPOS CLÁSSICOS 1. CAMPOS CLÁSSICOS • FORMALISMO LAGRANGIANO:

• 2a. Lei de Newton… Força em componentes

  ( ) 1, 2, 3,..., 3 i i i i i d F m v m x i N dt     ; 

(28)

1. CAMPOS CLÁSSICOS 1. CAMPOS CLÁSSICOS • FORMALISMO LAGRANGIANO: • Energia cinética: 2 2 1 1 ( ) 1, 2, 3,..., 3 2 i i 2 i i ; i i K  _ m v  _ m x i  N 2 1, 2, 3,..., 3 2 j j ij i i ; j i K m x m x i N x    _     

(29)

1. CAMPOS CLÁSSICOS 1. CAMPOS CLÁSSICOS • FORMALISMO LAGRANGIANO: • PORTANTO… ( ) i i i i i i i i d F m x dt d K F K _dt _x m x x   _  _     _ _   _ _ _    _     2a. Lei de Newton

(30)

1. CAMPOS CLÁSSICOS 1. CAMPOS CLÁSSICOS •• FORMALISMO LAGRANGIANO:FORMALISMO LAGRANGIANO:

•• Em sistemas Em sistemas conservativosconservativos, a força é o gradiente de um potencial: ( ) 1, 2, 3,..., 3 ; i i i V x F i N x     

(31)

•• Em sistemas Em sistemas conservativosconservativos…

( ) ( ) i i i i i i i i d K F dt x d K V x dt x x V x F x   _   _ _ _    _     _ _{ }       _ _ _     _   2a. Lei de Newton

(32)

•• Sistema cartesiano de referência … Sistema cartesiano de referência …

( )

_i i i

V x

d

K

dt

x



_



_

 













2a. Lei de Newton

(33)

1. CAMPOS CLÁSSICOS 1. CAMPOS CLÁSSICOS 1 2 3 3 ( , , , ..., ; ) ( ; ) i i N i j q  q x x x x t  q x t

•• FORMALISMO LAGRANGIANO:FORMALISMO LAGRANGIANO:

•• Coordenadas cartesianas Coordenadas cartesianas  Generalizadas Generalizadas

Transformação Inversa (não singular)

( ; )

j j i

(34)

1. CAMPOS CLÁSSICOS 1. CAMPOS CLÁSSICOS j j j j i i _i dx x x x q dt q t     _      ( ; ) j j i x  x q t

•• FORMALISMO LAGRANGIANO:FORMALISMO LAGRANGIANO:

•• Da transformação inversa …Da transformação inversa …

j j x x q q       

(35)

1. CAMPOS CLÁSSICOS 1. CAMPOS CLÁSSICOS 2 1 ( ) 2 _j j j K  _m x

•• ENERGIA CINÉTICA:ENERGIA CINÉTICA:

j j j j i i j j j j _i x K m x q q x m x q               

(36)

1. CAMPOS CLÁSSICOS 1. CAMPOS CLÁSSICOS •• ENERGIA CINÉTICA:ENERGIA CINÉTICA:

j j j j i i j j j j j j j j i i i x K m x q q x x d K d m x m x dt q q dt q            _   _  _ _ _   _ _            

(37)

j j j k k i k i i j j k k i k j j i i x x x d q dt q q q t q x x q q q t dx x q dt q      _   _    _         _  _  _  _  _              __  _    _   _      _ _     _ _    

(38)

j j j j j j j j i i i j j j j j j j _i j _i x x d K d m x m x dt q q dt q x x m x m x q q  _  _  _   _  _ _ _   _ _           _  _        

(39)

2 1 2 j j j j j j j j i i i j j j j j j _i _i j j j j x x d K m x m x dt q q q x m x m x q q x _K F q q    _   _  _         _      _  _   _ _  _  _         

(40)

  j j j i i i j j _j _i _i i i i x d K K F dt q q q x V K x q q K V V K q q q   _  _  _          _ _{ } _    _    _  _ _              

(41)

1. CAMPOS CLÁSSICOS 1. CAMPOS CLÁSSICOS •• R E S U M I N D O … :R E S U M I N D O … : ( ) i i d K K V dt q q  _  _ _         ( ) ( ) i i i i d K V K V dt q q d L L dt q q         _  _  _ _        ) (q_i V V 

(42)

1. CAMPOS CLÁSSICOS 1. CAMPOS CLÁSSICOS •• R E S U M I N D O … :R E S U M I N D O … :

i

d

L

dt

q

L

K

V



_



_



















EQUAÇÕES DE EULER-LAGRANGE

(43)

1. CAMPOS CLÁSSICOS 1. CAMPOS CLÁSSICOS •• PARTÍCULAS CLÁSSICAS: PARTÍCULAS CLÁSSICAS:



 SISTEMAS MECÂNICOS DISCRETOSSISTEMAS MECÂNICOS DISCRETOS

•• Vamos considerar o seguinte sistema discreto e Vamos considerar o seguinte sistema discreto e estudar seu movimento oscilatório:

(44)



•• Segunda lei de Newton, e lei de Hooke:Segunda lei de Newton, e lei de Hooke:



 





1 1



i i i i i

(45)



•• Energia Cinética:Energia Cinética:

2 1 2 i i K   mq _ _2 1 1 2 i i i V  _ k q _  q Sistema conservativo

(46)



•• Lagrangiana do sistema:Lagrangiana do sistema:

 



₂ 2



1 1 2 _i i i i L  K V  _ mq  k q _  q

(47)

 

2 , 1 2 j j j j j i i i j i j i j i i q L m q mq q q q mq mq d L mq dt q        __ _  _   __ __   _               

(48)

•• Equação de EulerEquação de Euler--Lagrange:Lagrange:

                2 1 1 1 1 1 , 1 1 , 1 1 1 2 j j j i i j j j j j j j _i _i j j i j j j i j j i i i i L k q q q q q q k q q k q q q q k q q k q q L k q q k q q q                    _  _   __ __  _ _{ }                  _            

(49)



•• Lagrangiana do sistema:Lagrangiana do sistema:

 



₂ 2



1 1 2 _i i i i L  K V  _ mq  k q _  q

(50)



•• Densidade Lagrangiana (linear) do sistema:Densidade Lagrangiana (linear) do sistema:

2 2 1 1 1 2 2 i i i i i i q q m L a q ka a a a   _ _ _      _  _ _ _        _L

(51)



 INDO DO DISCRETO PARA O CONTÍNUO:INDO DO DISCRETO PARA O CONTÍNUO:

•• N N  ∞∞     1 N i a dx a _dx      _  1 i i m a ka Y q q q a x        

(52)

1. CAMPOS CLÁSSICOS 1. CAMPOS CLÁSSICOS •• ONDASONDAS CLÁSSICAS: CLÁSSICAS:



 INDO DO DISCRETO PARA O CONTÍNUO:INDO DO DISCRETO PARA O CONTÍNUO:

•• N N  ∞∞ 2 2 onde 1 2 L dx q q Y x     _ _                  L L = Note que ( , ) i q  q  q t x

(53)



 PRINCÍPIO DE HAMILTONPRINCÍPIO DE HAMILTON

0

0 A

dtL

A

dtL

dt dx





_







 

_



_



_L

(54)



 EQUAÇÃO DE EULEREQUAÇÃO DE EULER--LAGRANGE:LAGRANGE:

0 ' d d dt q dx q q  _   _  _                L L L ' dq q dx 

(55)



 



₂ 2



1 ' 2  q Y q L = 0; ; ' ' q q q Yq q                       L L L

"

0 q Yq









(56)



2 2 2 2 '' 0 0 q Yq d q Y d q d t d x        _ _   

 Equação de onda parapropagação linear em um sólido elástico

unidimensional de uma perturbação com velocidade:

Y v

 

(57)

1. CAMPOS CLÁSSICOS 1. CAMPOS CLÁSSICOS •• PARTÍCULAS & ONDASPARTÍCULAS & ONDAS CLÁSSICAS: CLÁSSICAS:



 R E S U M O A T É A Q U I R E S U M O A T É A Q U I

•• PartículasPartículas que oscilam harmonicamente geram que oscilam harmonicamente geram

ondas

ondas elásticas no meio em que se propagam.elásticas no meio em que se propagam.

•• Conexão é estabelecida quando passamos do caso Conexão é estabelecida quando passamos do caso discreto para o contínuo.

(58)

•• FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!):FORMALISMO LAGRANGIANO (DE NOVO!):



 No caso de sistemas No caso de sistemas nnãão conservativoso conservativos…

j j j i i i x d K K F dt q q q   _  _  _          i

(59)



No caso de sistemas No caso de sistemas nnãão conservativoso conservativos…

Suponha que as componentes da força generalizada sejam da forma

i i i

d

M

Q

dt

q



_



_



_

_











(60)



 E no caso de sistemasE no caso de sistemas nnãão conservativoso conservativos ……

 Exemplo: Cargas elétricas num campo E.M.

?

1 F

e E

v

B

c







_





_







_



(61)



1 A E c t B A       _  _     _    

(62)



( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) 1 ( , , ) ( , , ) ( , , ) x y z x y z z x y y z x x y z A E x y z c t A A B y z x z x y    _               _ _  1 A E c t B A       _  _     _    

(63)







( , , ) ( , , ) _{( , , )} 1 x y z x y z _{x y z} F e E v B c    _   _  

(64)



1 _x y _x _x _z x A A e A A A F e y z x c t c x y z x                  _  _   _  _  _  _         _ _ _  _  

(65)



1 1 1 y x x x z x y _z x x A A e A A A F e y z x c t c x y z x A _A F e y z y z A x c x x c t y z    _  _             _  _   _  _  _  _         _ _ _  _  _   _  _ _ _ _ _   _  _  _  _   _ _          _ _           

(66)



1 1 1 1 y _z x x y x z x A _A F e y z y z A x c x x c t y z A A A e x y z x y z A x c x x x c t x y z    _   _  _ _ _ _ _     _  _ _   _         _ _       _  _  _  _ _ _ _ _ _   _  _   _ _    _ _            _ _               

(67)



  1 1 1 1 y x z x x x A A A F e x y z x y z A x c x x x c t x y z e v A x y z A x c c t x y z    _  _  _  _ _ _ _ _ _   _  _   _ _    _ _            _ _       _ _ _ _ _ _ _ _ _     _ _   _  _    _ _  _ _                     

(68)



( , , , )

t x y z

A

A t x y z











(69)



x x x x x x dA A A A A x y z dt t x y z x y z A t x y z                    _    _            

(70)











x x y z A xA yA zA x v A x                

(71)







x x x x x A A A A d v A x y z dt x t x y z x y z A t x y z                       _    _               

(72)



1 1 0 1 x x x x x A A A A d v A x y z dt x c c t x y z x y z A c t x y z               _    _    _ _ _     _         _    _                1 1 0 1 x x x x x A A A A d v A x y z dt x c c t x y z x y z A c t x y z               _    _    _ _ _     _         _    _               

(73)



1 1 1 x d F e v A v A dt x c x c d e v A dt x x c     _ _ _ _ _ _  _ _   _  _   __  _ _  _ _    _ _ _ _  _  _{ }   _   _ _          

(74)



        1 1 1 1 x y i i i z d F e v A dt x x c d d F e v A F e v A dt y y c dt x x c d F e v A dt z z c            _  _{ }   _ _   _ _     _ _            _  _{ }   _ _  _  _ _   _   _ _   _ _            _  _  _{ }   _    _ _               MM

(75)







1 i i i d F M dt x x M e v A c   _ _   _  _        _   _      onde

(76)



j j i j j _i j _j _j _i x _d _M _M x Q F q dt x x q    _ _     _  _          

(77)



j j i j _j _i _j _i j j j j _j _i _j _i _j _i x x d M M Q dt x q x q x x x d M M d M dt x q x dt q x q _ _ _{ } _ _       _{ }  _  _  _ _ _ _ _     _ _ _ _ _ _ _ _ _ _       _ _  _ _  _    _ _  _ _ _ _  _ _        

(78)



j j j i j _j _i _j _i _j _i x x x d M M M Q dt x q x q x q  _ _ _ _ _ _ _ _ _ _       _ _  _ _  _    _ _  _ _ _ _  _ _           j j i i x x q q        j j i i x x d dt q q         _  _    j j i i x x q q       

(79)



i i i

d

M

Q

dt

q



_



_



_

_











(80)



0 1 onde i i d L L dt q q L K M K e v A c   _  _               _   _      RESUMO PARA SISTEMAS NÃO CONSERVATI VOS: CAMPO E.M.

(81)

•• FORMALISMO HAMILTONIANO:FORMALISMO HAMILTONIANO:



 Momento generalizadoMomento generalizado

0 i i i i i i d L L dt q q d L p dt q L p q  _  _                 Se a Lagrangiana não depender explicitamente da coordenada generalizada, o momento se conserva.

(82)



 Momento generalizadoMomento generalizado

2 1 1 2 _i i L K M m q e v A c       _  _   _      i i i i L e p mq A q c       

(83)



 Por um lado …Por um lado …

( ,_i _i , ) i i i _i _i L L q q t dL L L L q q dt t q q         _{ }  _  _   _    

(84)



 Por outro lado …Por outro lado …

i i i i i i i i i i d L d L L q q q dt q dt q q L L q q q q  _   _  _    _ _                           

(85)



 Então, consequentemente …Então, consequentemente …

i i _i i i _i i i i dL L d L q dt t dt q d L L q L dt q t d L p q L dt t    _  _    _ _  __ __  _  _    _  _             __  _           ( _i , _i , ) _{i i} i H p q t  _ p q  L

(86)



 Por um lado …Por um lado …

( _i , _i , ) i i i _i i _i H H p q t H H H dH dt dp dq t p q       _  _   

(87)

FORMALISMO HAMILTONIANO: FORMALISMO HAMILTONIANO:



 Por outro lado …Por outro lado …

i i i i i i i i i H p q L dH p dq q dp dL  _   _  _    

(88)

  Mas…Mas… ( ,_i _i , ) i i i _i i _i i i i i i i L L q q t L L L dL dt dq dq t q q L dL dt p dq p dq t       _  _       _  _      

(89)

  Então…Então… i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i dH p dq q dp dL L dH p dq q dp dt p dq p dq t L dH dt q dp p dq t                     _  _         

(90)



 ComparandoComparando--se as duas expressões para se as duas expressões para dHdH……

i i i _i i _i i i i i i i i i i L H H H H t t dH dt dp dq t p q _H q L p dH dt q dp p dq t _H p q           _     _  _ _     _ _ _     _ _     _  _    _ _          

(91)



 Equações de Hamilton para o movimento…Equações de Hamilton para o movimento…

i i i i H H q p p q L H t t               

(92)



 COLCHETES DE POISSON: Se F = F(p,q,t):COLCHETES DE POISSON: Se F = F(p,q,t):

 ,  _, i i i _i i _i i _i _i _i _i q p dF F F F F p q dt t p q F F H F H t q p p q F F H t       _  _             _{ }  _  _     _      _ _

(93)



 COLCHETES DE POISSON: Se F = F(p,q,t):COLCHETES DE POISSON: Se F = F(p,q,t):



,



_, q p F F F H t     



,



_, q p i _i _i _i _i F H F H F H q p p q  _ _ _ _   _{ }  _      

(94)



 COLCHETES DE POISSON ESPECIAIS:COLCHETES DE POISSON ESPECIAIS:



 







,

0;

,

;

i j i j i j ij

q q

p p

q p





(95)

(96)

(97)

•• MECMECÂNICA RELATIVISTAÂNICA RELATIVISTA::



 ALÉM DA MECÂNICA NEWTONIANA…ALÉM DA MECÂNICA NEWTONIANA… 

 Da experiência Da experiência –

– Interação instantânea não existe na natureza;Interação instantânea não existe na natureza; –

– O tempo é relativo;O tempo é relativo; –

(98)



 EVENTO:EVENTO:

Qualquer fenômeno especificado pelas coordenadas do Qualquer fenômeno especificado pelas coordenadas do local e pelo instante de tempo em que ocorre.

(99)



 EVENTO 1:EVENTO 1:

* Emitir um sinal de luz em * Emitir um sinal de luz em



 EVENTO 2: EVENTO 2:

* Chegada do sinal de luz em * Chegada do sinal de luz em

1 ( ,1 1, 1 1, )

P  x y z t

2 ( 2, 2, 2, 2)

(100)



 Distância percorrida pelo sinal luminoso:Distância percorrida pelo sinal luminoso:



 Intervalo entre dois eventos:Intervalo entre dois eventos:

2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) c t t  x  x  y  y  z  z 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 (x  x )  (y  y )  (z  z )  c t( t )  0 2 2 2 2 2 12 ( 2 1) ( 2 1) ( 2 1) ( 2 1) s  c t t  x  x  y  y  z  z

(101)



 Intervalos são invariantes:Intervalos são invariantes:



 Intervalo infinitesimal:Intervalo infinitesimal:

2 2 12 '12 s  s 2 2 2 2 2 2 ds  c dt  dx  dy  dz 2 2 ' ds  ds

(102)



 Da invariância dos intervalos: Da invariância dos intervalos:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ' ' ' ' ds c dt dx dy dz c dt dx dy dz        

(103)



 No referencial K’, relógios fixos:No referencial K’, relógios fixos:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ' ' 1 ds c dt dx dy dz c dt ds dx dy dz dt dt c _{c dt}            2 2 2 2 2 2 2 2 dx dy dz x y z v dt         

(104)



 No referencial K’, relógios fixos:No referencial K’, relógios fixos:

2 ' ds 1 dt dt c v c      

(105)



 TRANSFORMATRANSFORMAÇÕES DE LORENTZÇÕES DE LORENTZ

  2 ' ' ; '; '; ' ' x x vt y y z z v t t x c          _  _    2  1/2 1    

(106)

  QUADRIVETORES:QUADRIVETORES: 0 1 2 3 , , , x ct x x x y x z    



0

 

0 1 2 3



, , , , x  x x  x x x x

(107)

  QUADRIVETORES:QUADRIVETORES: 0 1 2 3 , , , x ct x x x y x z         0,   0, 1, 2, 3  x_  x  x  x  x  x  x

(108)



 PRODUTO ESCALAR (INVARIANTE):PRODUTO ESCALAR (INVARIANTE):

3 2 0 0 1 2 3 0 1 2 3 0 2 1 2 2 2 3 2 0 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x x x x x x x x x x x x x x                   x

(109)

•• MECMECÂNICA RELATIVISTAÂNICA RELATIVISTA: : PARTÍCULA LIVREPARTÍCULA LIVRE



 AÇÃO E O PRINCÍPIO DE HAMILTON:AÇÃO E O PRINCÍPIO DE HAMILTON:

2 1 t t S _{ } L dt 2 2 ' 1 b a b a t t S ds cdt c dt             _  2 1 L  c  

(110)



2 1 L  c   2 2 1 1 2 2 v L c c c         _   _         1

mc





(111)



2 2 2 2 2 1 1 v L mc mc c       

(112)



 MOMENTO LINEAR:MOMENTO LINEAR:

i i L p q L       p v    2 2 2 2 2 2 1/ 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 v L mc mc c c L mc c c m               _  _ _ _    _ _ _ _   v v v v v p v       

p







m

v



(113)

  FORÇA:FORÇA: m t      p F v   _

(114)

  ENERGIA:ENERGIA: H pq L L     p v    E

(115)

  ENERGIA:ENERGIA: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 m mc c c mc c c c        _   _      v v v v v v       E 2 2 2 1 mc mc      E

2

0 

mc

E