Filtragem otima na estimação de direção de chegada de ondas planas usando arranjo de sensores

(1)

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA E DE COMPUTA ¸C ÃO DEPARTAMENTO DE COMUNICA ¸C ÕES

Filtragem ´

otima na estima¸c˜

ao de dire¸c˜

ao de chegada de

ondas planas usando arranjo de sensores

Autor

Rafael Krummenauer

Orientador Prof. Dr. Amauri Lopes

Banca Examinadora:

Prof. Dr. Amauri Lopes (FEEC/UNICAMP) Prof. Dr. Carlos Antonio Alves (DEE/UNESP)

Prof. Dr. Renato da Rocha Lopes (FEEC/UNICAMP)

Prof. Dr. Romis Ribeiro de Faissol Attux (FEEC/UNICAMP)

Disserta¸cão apresentada à Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computa¸cão da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos para a obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Engenharia Elétrica.

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BIBLIOTECA DA ´AREA DE ENGENHARIA - BAE - UNICAMP

Krummenauer, Rafael

K942f Filtragem ótima na estima¸cão de dire¸cão de chegada de ondas planas usando arranjo de sensores / Rafael

Krummenauer. – Campinas, SP: [s.n.], 2007. Orientador: Amauri Lopes

Disserta¸cão (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computa¸cão.

1. Processamento de sinais. 2. Discriminadores de freqüência. 3. Filtros digitais (Matemática). 4. Otimiza¸cão matemática. I. Lopes, Amauri. II. Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Elétrica e de

Computa¸c˜ao. III. T´ıtulo.

T´ıtulo em Inglˆes: Optimum filtering on direction of arrival estimation of plane waves using array of sensors

Palavras-chave em Inglˆes: Signal processing, Array of sensors, Direction of arrival estimation, Digital filters (mathematics)

´

Area de concentra¸cão: Telecomunica¸cões e Telemática Titula¸cão: Mestre em Engenharia Elétrica

Banca Examinadora: Carlos Antonio Alves, Renato da Rocha Lopes e Romis Ribeiro de Faissol Attux

Data da defesa: 16/07/2007

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(4)

(5)

v

Resumo

Esta disserta¸cão trata do problema de estima¸cão de dire¸cão de chegada (DOA) de ondas planas usando um arranjo linear uniforme de sensores. Estamos interessados em situa¸cões nas quais a rela¸cão sinal-ru´ıdo é baixa e o espa¸camento angular entre as fontes de sinal é pequeno. Baseamos nossa proposta nos métodos MODE, MODEX e MODEX Modificado, que são métodos eficientes existentes na literatura. Inspirados em conceitos de filtragem linear e no critério da máxima verossimilhan¸ca, propomos um procedimento que ameniza o efeito do ru´ıdo no resultado da estima¸cão. Este procedimento consiste em filtrar os dados recebidos e modificar adequadamente a fun¸cão de verossimilhan¸ca utilizada no processo de obten¸cão das estimativas. Simula¸cões numéricas mostram que o desempenho do método proposto é melhor que aqueles correspondentes aos métodos MODE, MODEX e MODEX Modificado, alcan¸cando menores valores de erro quadrático médio e de polariza¸cão.

(6)

Abstract

This work deals with the problem of estimating the direction of arrival (DOA) of plane waves using a uniform linear array of sensors. We are concerned with situations where the signal-to-noise ratio is low and the signal sources are spatially close. Our proposal is based on MODE, MODEX and Modified MODEX, that are efficient methods proposed in the literature. Inspired in concepts of linear filtering and in the maximum likelihood criterion, we propose a procedure that reduces the effect of noise in the estimation result. This procedure consists on filtering the received data and on modifying the likelihood function used to obtain the estimates. Numerical simulations show that the performance of the proposed method is better than those of MODE, MODEX and Modified MODEX methods, achieving lower mean square error and lower bias.

(7)

Agradecimentos

Muito esfor¸co pessoal foi dedidado a este trabalho. Fico orgulhoso por isto. Porém, sei que a for¸ca que compôs tudo isto é muito maior, pois provém também de amigos.

Agrade¸co

Aos meus pais, Ruben e Etelried, e minha irm˜a, Grasiela, por todo o carinho e compreens˜ao. Aos meus familiares, que mesmo distantes me incentivaram e apoiaram.

`

A Liane, pelo amor e companheirismo.

Ao professor Amauri Lopes, pela orienta¸cão, pela confian¸ca e pela amizade. É uma honra poder conviver com alguém como ele.

Aos professores Carlos Antonio Alves, Renato Lopes e Romis Attux, por suas contribui¸c˜oes cuidadosas.

Aos amigos do Laboratório de Processamento de Sinais para Comunica¸cões - DSPCom, pela ajuda e discussões proveitosas. Obrigado Suyama, Gremista, Murilo, Fabiano, Glauco, Alam, Danilo, Leo, João, Celi, Amanda, Fábio, Cris, Michele, Panazio, Aline, Charles, Tarciano, Pablo, Mario.

`

A agência FAPESP pelo apoio financeiro e oportunidade, e ao assessor responsável pelo acom-panhamento do projeto, pela seriedade e considera¸cão.

(8)

(9)

Sum´

ario

1 Introdu¸c˜ao 1

1.1 Organiza¸c˜ao da disserta¸c˜ao . . . 3

1.2 Artigos Publicados . . . 4

1.3 Reuni˜oes Cient´ıficas . . . 6

2 Fundamentos de estima¸c˜ao de dire¸c˜ao de chegada 7 2.1 Modelo de Sinal . . . 7

2.2 Estimador ML para o modelo de sinal . . . 15

2.2.1 Reparametriza¸c˜ao . . . 20

2.2.2 O polinˆomio b(z) e suas restri¸c˜oes . . . 23

2.2.3 Imposi¸c˜ao da simetria complexa conjugada . . . 25

3 M´etodos baseados no crit´erio ML 27 3.1 O algoritmo MODE . . . 33

3.2 O algoritmo MODEX . . . 35

3.2.1 Discuss˜ao . . . 38

3.3 O algoritmo MODEX Modificado . . . 39

3.3.1 Discuss˜ao . . . 42

3.4 An´alise das estimativas do MODEX e MODEX Modificado . . . 43 ix

(10)

4 Proposta de filtragem em estima¸c˜ao DOA 47

4.1 Processo de filtragem . . . 48

4.2 Critério da maximiza¸cão da rela¸cão sinal-ru´ıdo . . . 51

5 Proposta de estimadores ML 57 5.1 Estimador ML para o modelo de ru´ıdo correlacionado . . . 58

5.2 Estimador ML para o modelo transformado . . . 64

6 Algoritmo Proposto 69 6.1 Introdu¸c˜ao . . . 69

6.2 Algoritmo . . . 69

6.3 Simula¸c˜oes . . . 74

6.3.1 Desempenho em rela¸c˜ao `a SNR . . . 74

6.3.2 Desempenho em rela¸c˜ao ao n´umero de snapshots . . . 77

7 Conclusões 83 A Deriva¸cão do algoritmo MODE 85 A.1 Procedimento de minimiza¸cão da fun¸cão custo . . . 85

B Detalhamento do processo de sele¸c˜ao das candidatas 95 B.1 Procedimento para os m´etodos MODEX e MODEX Modificado . . . 95

B.2 Procedimento para o m´etodo proposto . . . 96

C Filtro heur´ıstico 99 Referˆencias . . . 101

(11)

Abreviaturas

CM Conditional Model – Modelo Condicional CRB Cramér-Rao Bound – Limite de Cramér-Rao CRU Circunferência de Raio Unitário

DOA Direction Of Arrival – Dire¸c˜ao de Chegada

FIR Finite Impulse Response – Resposta ao Impulso Finita ESPRIT Estimation of Signal Parameters Via Rotational Invariance

Techniques

IIR Infinite Impulse Response – Resposta ao Impulso Infinita IQML Iterative Quadratic Maximum Likelihood

ML Maximum Likelihood – M´axima Verossimilhan¸ca

MLE Maximum Likelihood Estimator – Estimador de M´axima Verossimilhan¸ca

MODE Method Of Direction Estimation MODEX MODE with EXtra roots

MSE Mean Square Error – Erro Quadr´atico M´edio MUSIC Multiple Signals Classification

RADAR RAdio Detection And Ranging

RMSE Root Mean Square Error – Raiz do Erro Quadr´atico M´edio SF Subspace Fitting – Ajuste de Subespa¸co

SNR Signal-to-Noise Ratio – Rela¸c˜ao Sinal-Ru´ıdo

(12)

SSF Signal Subspace Fitting – Ajuste do Subespa¸co de Sinal SSS Strict Stationary Sense – Estacion´ario no Sentido

Estrito

TLS Total Least Squares – Quadrados M´ınimos Totais ULA Uniform Linear Array – Arranjo Linear Uniforme UM Unconditional Model – Modelo Incondicional

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Nota¸c˜

ao Matem´

atica

aou A escalar

a vetor coluna (letra min´uscula em negrito) A matriz (letra mai´uscula em negrito)

I matriz identidade

0 vetor ou matriz com todos elementos iguais a zero (·)∗ _{complexo conjugado de um escalar, vetor ou matriz}

(·)T transposto de um vetor ou matriz

(·)H _{complexo conjugado e transposto de um vetor ou matriz}

kak, kak2 norma 2 do vetor a

Tr{A} tra¸co da matriz A E{·} operador esperan¸ca f(·), g(·) fun¸c˜ao

arg min

a {f (·)} argumento a que minimiza a fun¸c˜ao f (·)

arg max

a {f (·)} argumento a que maximiza a fun¸c˜ao f (·)

P

i somat´orio com ´ındice i

det[A] determinante da matriz A δ_k,i operador delta de Kroneker

∽ N (a, A) possui distribui¸cão Gaussiana com média a e covariância A p(·) fun¸cão densidade de probabilidade

p(·|·) fun¸c˜ao densidade de probabilidade condicional

(14)

A† _{pseudo-inversa da matriz A}

posto(A) dimens˜ao da imagem da matriz A ˆ

(·) estimativa de um escalar, vetor ou matriz min(·) m´ınimo valor de (·)

max(·) m´aximo valor de (·) Re(·) parte real de (·)

Im(·) parte imagin´aria de (·)

∈ CA×A _{pertence ao espa¸co complexo de dimens˜ao A × A}

∈ RA×A _{pertence ao espa¸co real de dimens˜ao A × A}

(15)

Nota¸c˜

ao de s´ımbolos

am vetor de dire¸c˜ao (steering vector ) do m-´esimo sinal

A, A(φ) e A(θ) matriz de resposta do arranjo ˜

Ae AF matriz A transformada

˜

AF matriz AF transformada

b(z) polinˆomio de ordem M no dom´ınio transformado z b vetor dos coeficientes do polinˆomio b(z)

b1, b2 e b1 vetores dos polinˆomios usados no MODEX Modificado

¯

b vetor b estendido

B matriz que descreve a reparametriza¸c˜ao da fun¸c˜ao JL(θ) para JL(b)

¯

B matriz B estendida

C matriz de covariˆancia do vetor xk

d distˆancia entre os sensores

dB decibel

dm dire¸c˜ao da m-´esima fonte

E_m(t) amplitude do m-´esimo sinal

Fs fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca para o modelo incondicional (ou estoc´astico)

gk vetor auxiliar que comp˜oe a matriz G (estimadores ML)

G fator de Cholesky da matriz BHB, e matriz auxiliar h(n) resposta ao impulso do filtro

hl l-´esimo coeficiente do filtro

ho vetor dos coeficientes do filtro ´otimo

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h vetor dos coeficientes do filtro Hf(w) resposta em freq¨uˆencia do filtro

H_f(z) fun¸c˜ao de sistema do filtro

H matriz de filtragem e matriz auxiliar

Hsup, Hc e Hinf matrizes que comp˜oem a matriz de filtragem H

I(θ) matriz de Informa¸c˜ao de Fisher J fun¸c˜ao custo

J_L fun¸c˜ao custo de verossimilhan¸ca K n´umero de snapshots

L ordem do filtro

L(·) versão logar´ıtmica fun¸cão de verossimilhan¸ca M número de fontes de sinal

¯

M n´umero de sinais independentes

Mmax n´umero m´aximo de sinais a serem estimados

nn(t) ru´ıdo no n-´esimo sensor

n(t), n(t) e nk vetor de ru´ıdo nos sensores

N número de sensores N C número de combina¸cões

N matriz cujas colunas s˜ao os vetores de ru´ıdo nk

P número de ra´ızes extras no polinômio b(z) estendido PA matriz de proje¸cão da matriz A

P_A˜ matriz de proje¸c˜ao da matriz ˜A

P_A˜F matriz de proje¸c˜ao da matriz ˜AF

P⊥_A matriz de proje¸cão ortogonal da matriz A P⊥_A_˜ matriz de proje¸cão ortogonal da matriz Ã P⊥_˜

AF matriz de proje¸c˜ao ortogonal da matriz ˜AF

PB matriz de proje¸c˜ao da matriz B

Q fator de Cholesky da matriz de covariˆancia do ru´ıdo W Q1, Q2, Q3 e Q4 matrizes auxiliares resultantes de decomposi¸c˜ao QR

(17)

NOTA ¸C ˜AO xvii

Ry matriz de covariˆancia do vetor yk

Ry˜ matriz de covariˆancia do vetor ˜yk

Rz matriz de covariˆancia do vetor zk

R˜z matriz de covariˆancia do vetor ˜zk

sn(t) parcela de sinal no m-´esimo sensor

sn,m(t) sinal da m-´esima fonte no n-´esimo sensor

s(t), s(k) e sk vetor da parcela de sinal do vetor y(t), y(k) e yk

SNR rela¸c˜ao sinal-ru´ıdo

sm e Sm vetor e matriz auxiliares na descri¸c˜ao do MODE

Us matriz dos autovetores do subespa¸co de sinal da matriz Ry

Un matriz dos autovetores do subespa¸co de ru´ıdo da matriz Ry

V matriz auxiliar

V1, V2, V3, e V4, matrizes auxiliares (blocos de V)

vm autovetor da matriz ACAH associado ao seu maior autovalor

Wk matriz da covariˆancia do ru´ıdo no instante k

W matriz de simetria e matriz de covariˆancia do ru´ıdo ¯

W matriz de simetria estendida x(t), x(k) e xk vetor das formas de onda dos sinais

X matriz cujas colunas s˜ao os vetores xk

yn(t) sinal recebido no n-´esimo sensor

y(t), y(k) e yk vetor dos sinais recebidos pelo arranjo (vetor de snapshot)

Y matriz cujas colunas s˜ao os vetores yk

˜

yk vetor y transformado

zn vetor posi¸c˜ao do n-´esimo sensor

zk vetor de snapshot filtrado

zk(L + 1) (L + 1)-´esima linha do vetor zk

zks(L + 1) parcela de sinal de zk(L + 1)

z_kr(L + 1) parcela de ru´ıdo de zk(L + 1)

˜

(18)

Letras gregas

φ_m parâmetro do ângulo da m-ésima fonte (valor verdadeiro) φ vetor contendo os parâmetros φm

θ vetor das variáveis de decisão dos parâmetros de dire¸cão de chegada θcand vetor das estivativas candidatas dos parâmetros DOA

θbest estimativa do vetor de parˆametros DOA verdadeiros

Θ conjunto de todas as combina¸c˜oes de M elementos do vetor θcand

Ωm e Ω freqüência da partadora do m-ésimo sinal e freqüência da portadora

ϕm fase arbitr´aria do m-´esimo sinal no instante t = 0

λm e λ comprimento de onda do m-´esimo sinal e comprimento de onda

π n´umero pi, π = 3, 1415926539

νm vetor do n´umero de onda do m-´esimo sinal

ω_m freqüência angular do m-ésimo sinal relativa ao ângulo φm

ω vetor das freqüências angulares relativo aos M ângulos de chegada σ_k2 e σ2 variância do ru´ıdo no k-ésimo snapshot e variância do ru´ıdo

ρ vari´avel auxiliar indicando um fator arbitr´ario

β vetor composto pelos elementos reais e imagin´arios do vetor b β_{M ODE} estimativa MODE do vetor β

¯

β vetor β estendido

β₁, β₂, β₃ estimativas do MODEX Modificado que comp˜oem b1, b2 e b3

β0 e βM primeiro e ´ultimo elementos do vetor β

η vetor auxiliar que comp˜oem o vetor β

Λs matriz dos autovalores do subespa¸co de sinal da matriz Ry

Λn matriz dos autovalores do subespa¸co de ru´ıdo da matriz Ry

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Cap´ıtulo 1

Introdu¸c˜

ao

A pesquisa em processamento de sinais usando arranjo de sensores tem exercido um papel importante no desenvolvimento de muitas áreas da ciência aplicada. As primeiras aplica¸cões beneficiadas por este tipo de processamento ocorreram na primeira metade do século XX, na área de RADAR (RAdio Detection And Ranging), durante a Segunda Guerra Mundial, embora o desenvolvimento desta área tenha come¸cado na Primeira Guerra Mundial (Van Trees, 2001). Na mesma época, a área de comunica¸cões sem fio adotou o uso de arranjos para comunica¸cões transatlânticas de onda curta (Van Trees, 2001).

O sucesso destas aplica¸cões, analógicas àquela época, impulsionou as pesquisas na área de processamento de sinais de arranjos, a qual evoluiu naturalmente para o campo da matemática discreta. Com o advento dos microprocessadores e sistemas digitais, esta transi¸cão de sinais cont´ınuos para discretos viabilizou o projeto de sistemas de processamento mais complexos. Desde então, as pesquisas na área de processamento de sinais usando arranjos de sensores têm evoluido rapidamente, motivadas pelo avan¸co tecnológico em poder de processamento de informa¸cões e pelo crescente número de aplica¸cões que demandam o uso de arranjos.

Um arranjo de sensores é um conjunto de sensores (transdutores) dispostos segundo uma geometria no espa¸co tridimensional, com um ponto de referência em comum (Manikas, 2004). A fun¸cão dos elementos do arranjo é coletar amostras de sinais corrompidos por ru´ıdo para

(20)

podermos extrair informa¸cões espa¸co-temporais do cenário no qual o arranjo está inserido. Assim, dado um cenário com um certo número de sinais incidentes, destacamos o uso dos dados coletados pelo arranjo para resolver três tipos de problemas: i) estima¸cão do número de sinais incidentes, ii) estima¸cão de parâmetros de sinal e canal, e iii) estima¸cão das formas de onda de sinais.

Os problemas citados acima estão inter-relacionados de forma que a solu¸cão de um pode resultar na solu¸cão parcial ou completa do outro (Manikas, 2004). Como exemplo, se conhecer-mos o número de sinais incidentes, podemos estimar os parâmetros de dire¸cão de chegada, e, em seguida, estimar as formas de onda destes sinais. Este procedimento pode ser muito signifi-cativo, por exemplo, na melhora da qualidade de uma comunica¸cão por telefone móvel celular, na comunica¸cão de uma torre de controle de tráfego aéreo com uma aeronave, ou mesmo na trasmissão de dados multim´ıdia em altas taxas. Além da área de comunica¸cões, os benef´ıcios dos arranjos de sensores se estendem hoje às mais diversas áreas da ciência aplicada, com des-taque para sistemas de radar, sonar, rádio astronomia, sismologia e diagnóstico e tratamento médico (Van Trees, 2001).

Neste trabalho, consideramos conhecido o número de sinais incidentes e focamos nossa aten¸cão no problema de estima¸cão das dire¸cões de chegada destes sinais. Especializamos nossa proposta para uso em arranjos lineares de sensores uniformemente espa¸cados, e estamos inte-ressados em situa¸cões nas quais a rela¸cão sinal-ru´ıdo é baixa e as fontes de sinal estão fixas e pouco espa¸cadas angularmente.

Nas últimas 3 decadas, vários métodos têm sido desenvolvidos para tratar deste problema de estima¸cão, dentre os quais destacamos as abordagens baseadas nos critérios de ajuste de subes-pa¸co (SF, do inglês Subspace Fitting) e da máxima verossimilhan¸ca (ML, do inglês Maximum Likelihood ). Os métodos SF são técnicas baseadas na decomposi¸cão da matriz de covariância dos sinais recebidos. Entre as mais populares técnicas SF estão o MUSIC (do inglês Multiple Signals Classification) (Schmidt, 1986) e ESPRIT (do inglês Estimation of Signal Parameters Via Rotational Invariance Techniques) (Roy, 1987). Os métodos ML, por sua vez, são técnicas

(21)

1.1. ORGANIZA ¸C ÃO DA DISSERTA ¸C ÃO 3 para maximiza¸cão da fun¸cão densidade de probabilidade dos sinais recebidos. Entre as mais populares estão o IQML (do inglês Iterative Quadratic Maximum Likelihood )(Bresler & Ma-covski, 1986) e MODE (do inglês Method of Direction Estimation)(Stoica & Sharman, 1990). Em geral, os métodos baseados no critério ML têm melhor desempenho que os métodos SF quando a rela¸cão sinal-ru´ıdo é baixa ou o número de snapshots é pequeno (Grover, Medley, & Pados, 2007).

Neste contexto, desenvolvemos um método de estima¸cão baseado no critério da máxima verossimilhan¸ca. O método proposto divide o problema de estima¸cão em duas etapas, baseando-se em uma estratégia de gera¸cão de estimativas preliminares (candidatas) e na posterior baseando-sele¸cão das estimativas que melhor representam os ângulos de chegada segundo o critério ML. A idéia central da proposta consiste em melhorar a eficiência do processo de sele¸cão das estimativas candidatas, intervindo diretamente nos dados recebidos através de um processo de filtragem.

1.1 Organiza¸c˜

ao da disserta¸c˜

ao

O restante da disserta¸c˜ao est´a organizado da seguinte maneira:

• Cap´ıtulo 2: São apresentados os aspectos básicos do problema de estima¸cão de dire¸cão de chegada usando um arranjo linear de sensores uniformemente espa¸cados. Especifica-mente, descrevemos o modelo de sinal, o estimador de Máxima Verossimilhan¸ca (ML) e uma forma alternativa de parametriza¸cão da fun¸cão de verossimilhan¸ca, a qual elimina a necessidade de uma busca multidimensional no espa¸co de parâmetros.

• Cap´ıtulo 3: Os métodos de base para o desenvolvimento do método proposto são descritos e analisados.

• Cap´ıtulo 4: As primeiras inova¸cões do trabalho são apresentadas. Neste cap´ıtulo, apre-sentamos uma proposta de filtragem para o problema de estima¸cão de dire¸cão de chegada

(22)

e uma proposta de otimiza¸cão da filtragem baseada no critério da maximiza¸cão da rela¸cão sinal-ru´ıdo.

• Cap´ıtulo 5: Os fundamentos do estimador utilizado para a composi¸cão do método pro-posto são introduzidos. Derivamos estimadores ML referentes a diferentes modelos de sinal, os quais serão usados na formula¸cão do algoritmo proposto no Cap´ıtulo 6.

• Cap´ıtulo 6: O método proposto é moldado na forma de algoritmo e simula¸cões numéricas mostram o desempenho da técnica proposta frente aos métodos de base e o limitante de Cramér-Rao.

• Cap´ıtulo 7: As conclus˜oes gerais sobre o trabalho e as perspectivas de trabalhos futuros s˜ao apresentadas neste cap´ıtulo.

1.2 Artigos Publicados

Durante o per´ıodo do mestrado, foram produzidos os seguintes artigos:

• R. Krummenauer, F. J. Silva and A. Lopes, “Modified MODEX method for direction finding with improved threshold performance”, IEEE International Telecommunications Symposium (ITS’2006), Set. 2006, Fortaleza, CE - Brasil.

• R. Ferrari, R. Suyama, R. R. F. Attux, R. Krummenauer, C. Junqueira, A. Lopes, P. Larzabal, “A clustering-based method for DOA estimation in wireless communications”, EUSIPCO’2007, (aceito).

• R. Krummenauer, A. Lopes, “Filtragem ´otima para melhorar o desempenho de estima-dores de dire¸c˜ao de chegada”, SBrT’2007, (submetido).

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1.2. ARTIGOS PUBLICADOS 5 Resumo do trabalho - Modified MODEX method for direction finding with im-proved threshold performance

Neste artigo, propomos modificar o algoritmo MODEX para estima¸cão de dire¸cão de chegada de ondas planas usando um arranjo linear de sensores uniformemente espa¸cados. O MODEX é um algoritmo baseado no estimador MODE que aumenta o número de estimativas MODE através do aumento da ordem de um polinômio, cujas ra´ızes (candidatas) estimam os parâmetros DOA. Para selecionar o melhor conjunto de candidatas, o MODEX emprega um procedimento de máxima verossimilhan¸ca.

O método proposto afeta o processo de sele¸cão das candidatas e melhora seu desempenho. Este ganho em desempenho é alcan¸cado através de uma filtragem para redu¸cão de ru´ıdo nos snapshots. O procedimento de sele¸cão modificado melhora o desempenho do MODEX e reduz significativamente a rela¸cão sinal-ru´ıdo limite.

Resumo do trabalho - A clustering-based method for DOA estimation in wireless communications

Este artigo trata de um novo método de estima¸cão de dire¸cão de chegada de sinais digi-talmente modulados em sistemas de comunica¸cões sem fio. O método é baseado na idéia de explorar o caráter digital das fontes através de uma estratégia de clusteriza¸cão. Por constru¸cão, a técnica proposta é capaz de tratar de casos nos quais há mais fontes de sinal que sensores, e, adicionalmente, o método de clusteriza¸cão empregado é responsável pela mitiga¸cão dos efeitos resultantes do ru´ıdo. O desempenho da abordagem proposta é verificada através de simula¸cões numéricas focadas em resolu¸cão espacial e capacidade. Os resultados revelam a vantagem de levar em considera¸cão a informa¸cão da modula¸cão dos sinais no estimador, em contraste com os estimadores clássicos MUSIC, ESPRIT e MODE.

(24)

Resumo do trabalho - Filtragem ´otima para melhorar o desempenho de estima-dores de dire¸c˜ao de chegada

Este artigo aborda a utiliza¸cão de arranjo de sensores para a estima¸cão da dire¸cão de che-gada (DOA) de ondas planas. Propomos um avan¸co do método apresentado em (Krummenauer, Silva, & Lopes, 2006), onde se empregou uma filtragem emp´ırica para melhorar o desempenho dos métodos de estima¸cão DOA. Embora a filtragem emp´ırica proporcione um ganho significa-tivo de desempenho, conta com vários aspectos que demandam uma abordagem mais robusta. Este trabalho apresenta uma solu¸cão propondo um filtro ótimo que maximiza a rela¸cão sinal-ru´ıdo de sa´ıda. Esta nova abordagem resolve todos os problemas da anterior e os resultados de simula¸cões mostram que seu desempenho é melhor ou igual àquele anterior.

1.3 Reuni˜

oes Cient´ıficas

Entre os dias 09 e 14 de novembro de 2006, os integrantes do DSPCOM (Lab. de Processa-mento de Sinais para Comunica¸c˜oes) receberam a visita do Prof. Pascal Larzabal, professor da

´

Ecole Normale Sup´erieure de Cachan, e pesquisador do grupo de pesquisas em processamento de sinais do Laboratoire SATIE (Syst`emes et Applications des Technologies de l’Information et de l’Energie), Fran¸ca.

A reunião cient´ıfica foi organizada em fun¸cão do convênio FAPESP-CNRS (Processo no

2006/50340-9) entre Brasil e Fran¸ca. Durante os turnos da manhã e tarde do dia 13 de no-vembro, foi realizado o Workshop DSPCOM/SATIE. No contexto da disserta¸cão, o mestrando apresentou um seminário entitulado “Improving the asymptotic properties of some direction finding methods using transformations on the data vectors”.

As discussões com o Prof. Pascal resultaram em idéias para análise da polariza¸cão do método proposto nesta disserta¸cão. Alguns resultados, cab´ıveis ao contexto desta disserta¸cão, são mostrados no Cap´ıtulo 6.

(25)

Cap´ıtulo 2

Fundamentos de estima¸c˜

ao de dire¸c˜

ao

de chegada

O conteúdo deste cap´ıtulo fundamenta o caminho que será percorrido ao longo da disserta-¸cão. Os fundamentos são compostos pelo modelo de sinal considerado e pelo critério empregado na tarefa de estima¸cão.

2.1 Modelo de Sinal

Dois diferentes tipos de modelo de sinal são usados em aplica¸cões que visam a estima¸cão de dire¸cão de chegada de sinais de banda estreita usando arranjos de sensores: 1) o modelo condicional (CM, do inglês Conditional Model ), o qual assume que os sinais são não-aleatórios (ou determin´ısticos), e 2) o modelo incondicional (UM, do inglês Unconditional Model ), o qual assume que os sinais são aleatórios (Stoica & Nehorai, 1990). Estes dois modelos levam a diferentes estimadores e limitantes de desempenho, sendo os últimos expressos através dos limites de Cramér-Rao (CRB, do inglês Cramér-Rao Bound ). Neste trabalho, serão focados os estimadores referentes à hipótese de modelo condicional (CM), uma vez que o algoritmo de base para este trabalho é derivado a partir deste.

(26)

Suponha M ondas planas de banda estreita incidindo em um arranjo linear (ULA, do inglês Uniform Linear Array) de N (N > M ) sensores. Os sensores são espa¸cados uniformemente e as ondas incidem com ângulos φ = [φ1 ... φm] medidos em rela¸cão à normal ao eixo do arranjo.

A Figura 2.1 ilustra o cen´ario enfatizando a geometria do arranjo e a m-´esima onda plana incidente.

Figura 2.1: Ilustra¸c˜ao do cen´ario usando um arranjo linear uniforme de N sensores e M fontes de sinal.

O m-ésimo sinal captado pelo primeiro elemento (z = 0) ou elemento de referência do arranjo é expresso por

s0,m(t) = Em(t)ej(Ωmt+ϕm), (2.1)

onde Em(t) é a amplitude variante no tempo, Ωm é a frequência da portadora e ϕm é uma fase

arbitr´aria no instante t = 0.

Considere que a frente de onda associada ao m-ésimo sinal captado esteja se propagando na dire¸cão dm com uma inclina¸cão φm em rela¸cão à normal ao eixo do arranjo e que o vetor

posi¸c˜ao zn do n-´esimo elemento seja tal que |zn| = nd. Considere que o comprimento de onda

do m-ésimo sinal captado seja λm. O número de onda νm é definido por dm/λm. Desta forma,

(27)

2.1. MODELO DE SINAL 9 Podemos expressar esta defasagem na forma

2π (νm· zn) = 2π

nd λm

sin φm (2.2)

e portanto, para o n-´esimo elemento teremos

sn,m(t) = Em(t)ej(Ωmt+

2π

λmnd sin(φm)+ϕm). (2.3)

O produto escalar entre νm e zn aponta para trˆes parˆametros importantes ao arranjo: φm

que representa o ˆangulo de chegada da m-´esima onda incidente, λm que representa o respectivo

comprimento de onda e d que representa a distância entre os elementos n e n + 1. Definindo o ângulo de fase elétrica de sensor para sensor ao longo do arranjo como

ωm =

2πd λm

sin φm, (2.4)

podemos simplificar a equa¸c˜ao (2.3) para

sn,m(t) = Em(t)ej(Ωmt+nωm+ϕm). (2.5)

Assumindo que todas as ondas planas são de faixa estreita e que todas as portadoras têm freqüência igual a Ω, podemos considerar Ω1 = Ω2 = . . . = ΩM = Ω e λ1 = λ2 = . . . = λM = λ.

Usando (2.4), podemos constatar que, como conseq¨uˆencia da desigualdade −π/2 < φm <

π/2, temos −2πd/λ < ωm < 2πd/λ. ´E usual adotar d = λ/2 de modo a maximizar o intervalo

de valores de ωm mantendo a biunicidade da rela¸c˜ao (2.4).

Assumindo ainda que o sinal recebido ´e demodulado, geramos uma vers˜ao correspondente1

em banda base, dada por

sn,m(t) = Em(t)ej(nωm+ϕm). (2.6)

1

(28)

Somando as contribui¸c˜oes produzidas pelas M ondas planas que atingem o n-´esimo sensor obtemos sn(t) = M X m=1 sn,m(t) = M X m=1 Em(t)ejnωmejϕm. (2.7)

O sinal total no n-ésimo elemento do arranjo é composto pelo sinal de (2.7), mais um ru´ıdo e possivelmente sinais interferentes. Assumiremos que não teremos sinais interferentes expressivos e que o ru´ıdo será aditivo. Desta forma, o modelo de sinal segue a equa¸cão

yn(t) = sn(t) + nn(t), n = 0, 1, . . . , N − 1 (2.8)

onde nn(t) ´e o ru´ıdo no n-´esimo sensor. Usando (2.7) em (2.8) vemos que

yn(t) = M

X

m=1

Em(t)ejnωmejϕm+ nn(t), n = 0, 1, . . . , N − 1. (2.9)

Usando nota¸c˜ao matricial, reescrevemos (2.9) na forma mais compacta

y(t) = s(t) + n(t)

= A(φ)x(t) + n(t) (2.10)

onde, y(t) ∈ CN ×1 _{´e o vetor dos sinais recebidos definido por}

y(t) =          y0(t) y1(t) ... yN −1(t)          , (2.11)

(29)

2.1. MODELO DE SINAL 11 s(t) ∈ CN ×1 _{´e o vetor de sinal definido por}

s(t) =          s0(t) s1(t) ... sN −1(t)          , (2.12)

n(t) ∈ CN ×1_{´e o vetor de ru´ıdo definido por}

n(t) =          n0(t) n1(t) ... nN −1(t)          , (2.13)

x(t) ∈ CM ×1 _{´e o vetor das formas de onda dos sinais definido por}

x(t) =          E1(t)ejϕ1 E2(t)ejϕ2 ... EM(t)ejϕM          , (2.14)

A(φ) ∈ CN ×M _{´e a matriz de resposta do arranjo definida pela estrutura de Vandermonde}

A(φ) =          1 . . . 1 ejω1 _{. . .} _ejωM ... ... ej(N −1)ω1 _{. . . e}j(N −1)ωM          . (2.15)

O vetor y(t) ´e historicamente denominado snapshot e representa os sinais recebidos pelos sensores em um instante particular t. Em geral, a estimativa DOA ´e realizada com base em

(30)

v´arios snapshots, recebidos nos instantes tk, de modo que a equa¸c˜ao do modelo descrita no

modo cont´ınuo pode ser expressa na forma discreta:

y(k) = s(k) + n(k)

= A(φ)x(k) + n(k), k = 1, 2, . . . , K (2.16)

onde y(k) = y(tk) e K ´e o n´umero total de snapshots considerados.

Para um cenário estacionário no sentido estrito (SSS), a dura¸cão de um intervalo de tempo relativo aos K snapshots deve ser pequeno o bastante para que os ângulos de chegada não mudem significativamente. Com isto, a matriz de resposta do arranjo A(φ) será uma matriz com parâmetros desconhecidos determin´ısticos e constantes. Ao contrário da matriz A(φ), o vetor x(k) tipicamente varia com o tempo e é modelado por um processo estocástico, uma vez que a caracter´ıstica das fontes responsáveis pela sua gera¸cão é, em geral, aleatória (Haykin, 1985).

Por conveniência, podemos ver o problema de estima¸cão DOA como um problema de esti-ma¸cão de frequências

ω= [ω1, ω2, . . . , ωM]T, (2.17)

no seguinte modelo:

ωm = π sin(φm), m = 1, ..., M, (2.18)

yk= Axk+ nk, k = 1, ..., K, (2.19)

onde o espa¸camento entre sensores ´e tal que d = λ/2.

O número M de fontes é assumido ser conhecido. Quando o número de fontes é desconhecido, M pode ser estimado usando uma das técnicas dispon´ıveis na literatura (Wax & Kailath, 1985), (Bienvenu & Kopp, 1983), (Kaveh, Wang, & Hung, 1987), e (Larocque & Reilly, 2002). Assumimos também que a matriz A = A(φ) possui posto cheio em colunas. Outras hipóteses

(31)

2.1. MODELO DE SINAL 13 no modelo (2.19) s˜ao as seguintes:

H1: O ru´ıdo n(k) é um processo aleatório complexo Gaussiano de média zero, circularmente simétrico, temporal e espacialmente descorrelacionado e com os momentos de segunda-ordem

E{n(k)nH(i)} = σ2Iδk,i (2.20)

E{n(k)nT(i)} = 0 (para todo k e i). (2.21)

onde δk,i ´e o operador delta de Kronecker, E{·} ´e o operador estat´ıstico

espe-ran¸ca, H e T denotam conjugado transposto e transposto, respectivamente, de uma matriz ou vetor, e I denota uma matriz identidade.

H2: A sequência dos vetores de sinal x(k) (para k = 1, 2, . . . , K) é um processo aleatório complexo Gaussiano de média zero, circularmente simétrico e descor-relacionado temporalmente. Assim

E{x(k)xH(i)} = Cδk,i (2.22)

E{x(k)xT(i)} = 0 (para todo k e i). (2.23)

H3: Os vetores de sinais x(k) e de ru´ıdo n(i) s˜ao descorrelacionados para todo k e i.

Adicionalmente, fazemos uma distin¸cão entre as caracter´ısticas estat´ısticas das fontes de sinal, da qual surgem dois modelos: 1) suposi¸cão de Modelo Condicional (CM): O sinal x(k) é aleatório ao longo de uma seqüência de snapshots {y(k)}K

k=1; por´em, o conjunto {x(k)}Kk=1

n˜ao se altera para realiza¸c˜oes distintas dos dados {y(k)}K

k=1; nestas ´ultimas, apenas o conjunto

{n(k)}K

k=1 varia de realiza¸cão para realiza¸cão. 2) suposi¸cão de Modelo Incondicional (UM): O

sinal x(k) é aleatório e varia de realiza¸cão para realiza¸cão da mesma forma que {n(k)}K k=1.

(32)

Os modelos CM e UM são, frequentemente, denominados “determin´ıstico” e “estocástico”, respectivamente. No entanto, estas denomina¸cões são um tanto contraditórias, uma vez que o modelo é estocástico mesmo para a suposi¸cão de modelo condicional. A terminologia “modelo condicional/incondicional” foi aparentemente introduzida em (Sandkühler & Böhme, 1987), e parece mais adequada (Stoica & Nehorai, 1990).

Note que a distribui¸c˜ao dos dados {y(k)}K

k=1 para a suposi¸c˜ao CM ´e dada por

y(k) ∽ N ( Ax(k) , σ2I ), (2.24)

enquanto para a suposi¸c˜ao UM

y(k) ∽ N ( 0 , Ry), (2.25)

onde

Ry = E { ykyHk}

= ACAH + σ2I . (2.26)

Para finitas amostras, aproximamos a matriz de covariância teórica pela média aritmética

ˆ Ry= 1 K K X k=1 ykyHk (2.27) de modo que lim K→∞ ˆ Ry = Ry (2.28)

para ambos os modelos. Para o modelo incondicional, isto é uma consequência da Lei dos Grandes Números. Para o modelo condicional, é consequência da ergodicidade de x(k) e n(k) (Stoica & Nehorai, 1990).

(33)

2.2. ESTIMADOR ML PARA O MODELO DE SINAL 15

2.2 Estimador ML para o modelo de sinal

O método da Máxima-Verossimilhan¸ca (ML) é baseado na idéia de que diferentes popula¸cões geram diferentes amostras e que qualquer dada amostra é mais provável ter vindo de algumas popula¸cões do que de outras (Mendel, 1995).

De acordo com o método ML, para derivarmos o estimador ML de θ dado um único snapshot, precisamos determinar uma expressão para a fun¸cão densidade de probabilidade p(y; θ)2_.

Retome o modelo condicional (CM) de snapshot

yk = Axk+ nk, (2.29)

para k = 1, . . . , K, onde nk é um processo aleatório complexo Gaussiano de média zero, com

matriz de covariˆancia W = σ2_I.

Podemos reescrever (2.29) na nota¸c˜ao mais compacta

Y = A(θ)X + N, (2.30)

onde Y = [y1, y2, . . . , yK], X = [x1, x2, . . . , xK] e N = [n1, n2, . . . , nK].

A fun¸c˜ao densidade de probabilidade do ru´ıdo, p(nk), para nk complexo, ´e dada por

p(nk) = 1 πN_det[W]exp−n H kW−1nk = 1 πN_(σ2₎N exp − 1 σ2n H knk (2.31)

e, portanto, a fun¸c˜ao densidade de probabilidade de yk ser´a dada por

p(yk; θ, xk, σ2) = 1 πN_(σ2₎N exp − 1 σ2[yk− Axk] H_[y k− Axk] . (2.32) 2

Note que o vetor variável θ denota o parâmetro de dire¸cão de chegada, enquanto o vetor constante ω denota os valores verdadeiros dos parâmetros de dire¸cão de chegada.

(34)

No caso de m´ultiplos snapshots independentes, precisamos da fun¸c˜ao densidade de proba-bilidade conjunta p(Y; θ, X, σ2) = K Y k=1 1 πN_(σ2₎N exp − 1 σ2[yk− Axk] H_[y k− Axk] . (2.33)

A versão logar´ıtmica da fun¸cão de verossimilhan¸ca é definida por

L(θ, X, σ2) = ln{p(Y; θ, X, σ2)}. (2.34)

Usando o resultado (2.33) na express˜ao (2.34) obtemos

L(θ, X, σ2) = ln ( _K Y k=1 1 πN_(σ2₎N exp − 1 σ2[yk− Axk] H_[y k− Axk] ) = lnnπ−N K σ2−N Ko + ln ( exp ( − 1 σ2 K X k=1 [yk− Axk]H[yk− Axk] )) = −N K ln{π} − N K ln{σ2} − 1 σ2 K X k=1 [yk− Axk]H[yk− Axk]. (2.35)

Ignorando o primeiro termo (constante) em (2.35), obtemos a vers˜ao logar´ıtmica da fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca para sucessivos snapshots independentes

L(θ, X, σ2) ∝ − N K ln{σ2} + 1 σ2 K X k=1 [yk− Axk]H[yk− Axk] ! . (2.36)

Podemos concentrar3 _{a fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca para L(θ) atrav´es das estimativas ML de}

X = [x1, . . . , xK] e σ2. Podemos obtˆe-las atrav´es dos argumentos que satisfazem as igualdades

∂L(θ, X, σ2₎

∂xk

= 0 (2.37)

3

O termo concentrar está sendo usado no sentido de eliminar a dependência de um parâmetro desconhecido na fun¸cão em questão. Este procedimento é bem conhecido na literatura da área, e pode ser encontrado em (Kumaresan & Shaw, 1985) e (Kumaresan, Scharf, & Shaw, 1986).

(35)

2.2. ESTIMADOR ML PARA O MODELO DE SINAL 17 e

∂L(θ, X, σ2₎

∂σ2 = 0 . (2.38)

Para o cálculo de (2.37) mudamos o ´ındice k da variável de deriva¸cão xk para o ´ındice l.

O motivo desta mudan¸ca de nomenclatura é devido a uma poss´ıvel confusão no cálculo da derivada da equa¸cão (2.37) que envolve uma derivada de uma somatória em k.

Calculando (2.37) para l = 1, . . . , K temos

∂L(θ, X, σ2₎ ∂xl = − ∂N K ln{σ 2_} ∂xl + ∂ ∂xl 1 σ2 K X k=1 [yk− Axk]H[yk− Axk] !! 0 = ∂ ∂xl 1 σ2 K X k=1 [yk− Axk]H[yk− Axk] ! 0 = K X k=1 ∂ ∂xl [yk− Axk]H[yk− Axk].

Todas as derivadas onde l 6= k s˜ao naturalmente nulas. Logo, resta impor apenas que

∂ ∂xk [yk− Axk]H[yk− Axk] = 0 . (2.39) Definindo J = [yk− Axk]H[yk− Axk] (2.40) = y_kHyk− yHkAxk− xHkAHyk+ xHkAHAxk, (2.41)

resolvemos (2.39) na seguinte forma:

∂J ∂xk

= 0 − [AHyk]∗− 0 + [AHAxk]∗

(36)

A equa¸c˜ao (2.42) leva a

AH_Ax

k = AHyk,

e portanto, o argumento que verifica a idenditade (2.39) e que representa a estimativa de xk ´e

dado por

ˆ

xk = [AHA]−1AHyk (2.43)

= A†_y

k, (2.44)

onde A† _{= [A}H_A]−1_AH _{´e a pseudo-inversa de Moore-Penrose}4 _{da matriz A. Podemos tamb´em}

representar as estimativas ML de xk usando a forma mais compacta

ˆ

X = [AHA]−1AHY . (2.45)

Resolvendo agora (2.38) vemos que

∂L(θ, X, σ2₎ ∂σ2 = − ∂N K ln{σ2_} ∂σ2 + K X k=1 ∂ ∂σ2 1 σ2[yk− Axk] H_[y k− Axk] ! 0 = −N K σ2 + 1 (σ2₎2 K X k=1 kyk− Axkk22 0 = −N K + 1 σ2 K X k=1 kyk− Axkk22 N K = 1 σ2 K X k=1 kyk− Axkk22. (2.46) 4

(37)

2.2. ESTIMADOR ML PARA O MODELO DE SINAL 19 Usando em (2.46) a estimativa ML de xk dada em (2.44), obtemos

ˆ σ2 ₌ 1 N K K X k=1 kyk− Aˆxkk22 = 1 N K K X k=1 kyk− AA†ykk22 = 1 N K K X k=1 k(I − PA)ykk22 = 1 N K K X k=1 kP⊥ Aykk22 = 1 N K K X k=1 [P⊥Ayk]H[P⊥Ayk] = 1 KN K X k=1 [y_kH(P⊥ A) H_P⊥ Ayk] , (2.47)

onde PA = AA† é a matriz de proje¸cão no subespa¸co de sinal e P⊥A = I − AA† é a matriz de

proje¸c˜ao no subespa¸co de ru´ıdo.

Usando as propriedades do operador de proje¸c˜ao5

(PU)H = PU (2.48) PUPU = PU (2.49) em (2.47), chegamos a ˆ σ2 ₌ 1 N K K X k=1 yH_kP⊥ Ayk. (2.50) 5

(38)

Usando a propriedade Tr{c} = c, onde c ´e um escalar, temos ˆ σ2 ₌ 1 N K K X k=1 Tr{yH_kP⊥Ayk} = 1 N K K X k=1 Tr{P⊥AykyHk} = 1 NTr{P ⊥ A 1 K K X k=1 ykykH} = 1 NTr{P ⊥ ARˆy} . (2.51)

A fun¸c˜ao de verossimilhan¸ca (2.36) pode ser concentrada com respeito a σ2 _{e {x}

k}. Desta

forma, usando em (2.36) as estimativas de ˆxk e ˆσ2 obtidas, temos que

L(θ) ∝ − N K ln 1 NTr{P ⊥ ARˆy} + N K Tr{P⊥ ARˆy} Tr{P⊥ARˆy} ! ∝ − ln{Tr{P⊥ ARˆy}} + ln{N } − 1

e ignorando os termos constantes temos finalmente

L(θ) ∝ − ln{Tr{P⊥

ARˆy}}. (2.52)

Lembrando que a estimativa ML de θ é a que maximiza a fun¸cão L(θ) e que a fun¸cão logar´ıtmica é monotônica, as estimativas ML de θ são dadas então por

ˆ θM L = arg min θ Tr{P ⊥ ARˆy}. (2.53)

2.2.1 Reparametriza¸c˜

ao

O processo de otimiza¸cão dado pelo estimador ML de θ pode ser visto como a obten¸cão da matriz A que leva a fun¸cão de verossimilhan¸ca L(θ) ao máximo global ou, em outros termos,

(39)

2.2. ESTIMADOR ML PARA O MODELO DE SINAL 21 leva a fun¸c˜ao custo

L(θ) = Tr{[I − A(AH_A)−1_AH_{] ˆ}_R

y} (2.54)

ao m´ınimo global.

Para facilitar a tratabilidade matemática deste problema de otimiza¸cão, Kumaresan et al. propuseram em (Kumaresan & Shaw, 1985) e (Kumaresan et al., 1986) modificar a matriz de proje¸cão P⊥

A tendo por base a estrutura de Vandermonde da matriz A presente na sua

formula¸cão. A modifica¸cão é baseada em uma reparametriza¸cão do problema de estima¸cão, como mostrado a seguir.

Seja o polinˆomio b(z) , b0zM + b1zM −1+ ... + bM , b0 M Y m=1 (z − ejωm ), (2.55)

com zeros na circunferˆencia de raio unit´ario dados por ejω1, ejω2, . . . , ejωM. Isto implica em

M

X

k=0

bM −kej(k−q)ωm = 0 , m = 1, 2, . . . , M (2.56)

para qualquer inteiro q.

Escrevendo as identidades em (2.56) na forma matricial, notamos que

BHA = 0, (2.57) onde BH =          bM bM −1 . . . b0 0 0 . . . 0 0 bM . . . b1 b0 0 . . . 0 ... ... 0 0 . . . bM bM −1 . . . b0          (N −M )×N . (2.58)

(40)

e, portanto, geram o espa¸co ortogonal da matriz A, fazendo com que as matrizes PB e P⊥A

tenham a mesma proje¸c˜ao.

A propriedade que garante a afirma¸c˜ao acima ´e a seguinte (Kumaresan et al., 1986):

Sejam Ai, i = 1, 2, . . . , k matrizes N × pi de posto ri, para i = 1, 2, . . . , k. Se

Pk

i=1ri = N e se AHi Aj = 0 para todo i 6= j, ent˜ao I =Pk_i=1Ai(AHi Ai)−1AHi .

Seguindo a propriedade para B com posto = N − M e A com posto = M , temos que

posto(A) + posto(BH) = N (2.59)

BHA = 0 (2.60)

AH_{A 6= 0 .} _(2.61)

Desta forma, chegamos `a identidade

I = A(AHA)−1AH + B(BHB)−1BH (2.62)

e portanto

P⊥

A = PB = B(BHB)−1BH. (2.63)

Usando a identidade das matrizes de proje¸cão de (2.63) na fun¸cão custo de (2.54), obtemos a fun¸cão custo reparametrizada

L(b) = Tr{PBRˆy} (2.64)

= Tr{B(BHB)−1BHRˆy} , (2.65)

onde b = [b0, b1, . . . , bM]T ∈ C(M +1)×1 ´e o vetor formado pelos coeficientes do polinˆomio b(z)

(41)

2.2. ESTIMADOR ML PARA O MODELO DE SINAL 23 estimador ˆ bM L = arg min b Tr{B(B H_B)−1_BH_R_ˆ y}. (2.66)

Uma vez estimado o vetor b, formamos o polinômio b(z) correspondente. As ra´ızes deste polinômio são estimativas para ω.

2.2.2 O polinˆ

omio b(z) e suas restri¸c˜

oes

A reparametriza¸cão descrita na se¸cão anterior faz uso do polinômio

b(z) = b0 M Y m=1 (z − ejωm ) = b0(z − ejω1)(z − ejω2) . . . (z − ejωM) (2.67)

onde ejω1_{, e}jω2_{, . . ., e}jωM são M zeros na circunferência de raio unitário (CRU).

Os coeficientes do polinômio b(z) são variáveis complexas. Portanto, para determinarmos completamente o polinômio, precisamos de 2(M +1) parâmetros reais, correspondentes às partes reais e imaginárias dos M + 1 coeficientes. Convenientemente, podemos reduzir este número de parâmetros para M +1

2 no caso de M ser ´ımpar, e ( M

2 + 1) no caso de M ser par, impondo

uma simetria complexa conjugada aos coeficientes do polinˆomio.

Tal simetria não é nem necessária nem suficiente para garantir que os zeros do polinômio estejam sobre a CRU, como será demonstrado a seguir. Entretanto, todo polinômio com ra´ızes na CRU pode ser convertido, mediante um fator multiplicativo, em um polinômio com a simetria proposta. E a imposi¸cão desta simetria é conveniente por reduzir o número de parâmetros.

A verifica¸cão de que a simetria não é necessária nem suficiente pode ser feita da seguinte forma:

1. necess´aria: Contra-exemplo. Seja z1 = ejω1 e z2 = ejω2

(42)

o qual n˜ao apresenta simetria complexa conjugada. Por´em,

e−j(ω1+ω2)/2 b(z) = e−j(ω1+ω2)/2 z2₋ej(ω1−ω2)/2_{+ e}−j(ω1+ω2)/2 z + ej(ω1+ω2)/2

apresenta simetria complexa conjugada.

2. suficiente: Contra-exemplo. Seja z1 = ρ ejω e z2 = _ρ1e−jω.

b(z) = z2− ρ ejω+1 ρe jω z + 1 ∴ _b₀ _{= b}_M _{= 1} mesmo com ρ 6= 1.

Em resumo, a restri¸cão de simetria complexa conjugada pode ser considerada, rigorosa-mente, apenas conveniente por reduzir pela metade o número de incógnitas em b(z). Com o uso desta restri¸cão, o problema de minimiza¸cão para o método ML passa a ser dado por

ˆ bM L = arg min b Tr{B(B H_B)−1_BH_R_ˆ y} sujeito a bm = b∗M −m, m = 0, ..., M e b 6= 0 , (2.68)

onde b 6= 0 é uma restri¸cão de não-trivialidade.

Vamos agora realizar algumas considera¸cões sobre as implica¸cões da imposi¸cão da simetria sobre os coeficientes b0 e bM. Partindo de (2.67), podemos escrever:

b(z) = b0zM + b1zM −1· · · + b0(−1)M M Y m=1 ejωm .

Usando a identidade (−1)M _{= e}−jM π _{e definindo Ω}

M =PMm=1ωm, chegamos a

(43)

2.2. ESTIMADOR ML PARA O MODELO DE SINAL 25 onde constatamos que bM = b0ej(ΩM−M π).

Para o caso dos coeficientes b0 e bM, a simetria ´e naturalmente alcan¸cada multiplicando b(z)

por e−j ΩM −M π 2 , levando a b0 = b∗M = α e j M π_−ΩM 2 , α = |b0| = real 6= 0

onde apenas α ´e arbitr´ario.

Este resultado é importante para analisarmos a forma como alguns métodos para DOA, como o MODE e o MODEX, impõem a condi¸cão b 6= 0 da expressão (2.68). Uma forma usada é impor Re{b0} = α cos

M π−ΩM

2 = 1. Entretanto, tal restri¸cão não é consistente para os casos

em que ΩM é múltiplo ´ımpar de π, pois então Re{b0} = 0. Em (Stoica & Sharman, 1990) é

proposto que neste caso seja usada a restri¸c˜ao Im{b0} = 1.

2.2.3 Imposi¸c˜

ao da simetria complexa conjugada

Seja o polinˆomio b(z) = b0zM + · · · + b0∗ e o respectivo vetor b = [b0 · · · b∗0]T.

Podemos escrever: • M = par: b =hb0 b1 · · · bM 2−1 b M 2 b ∗ M 2−1 · · · b∗ 0 iT • M = ´ımpar: b =hb0 b1 · · · bM −1 2 b ∗ M₋₁ 2 · · · b∗ 0 iT

A imposi¸c˜ao destas simetrias pode ser feita definindo-se

b , Wβ, (2.70)

onde β ∈ RM +1×1 _{´e um vetor com os elementos reais b}

k,r e bk,img, respectivos `as partes reais e

imagin´arias dos coeficientes bk, e W ∈ CM +1×M +1 ´e uma matriz de simetria composta por 1, 0

(44)

1. Quando M for par: β =hb0,r b1,r · · · b(M 2−1),r b M 2 (∈ R) b0,img b1,img · · · b( M 2−1),img iT (2.71) W =                           1 0 0 · · · 0 0 j 0 0 · · · 0 0 1 0 · · · 0 0 0 j 0 · · · 0 ... ... ... ... ... 0 0 · · · 1 0 0 0 · · · j 0 0 · · · 0 1 0 · · · 0 0 0 · · · 1 0 0 · · · −j 0 0 · · · 1 0 0 0 −j 0 ... ... ... ... ... 1 0 · · · 0 0 −j 0 · · · 0                           . (2.72)

2. Quando M for ´ımpar:

β=hb0,r b1,r · · · b(M −1 2 ),r b0,img b1,img · · · _b(M −1 2 ),img iT (2.73) W =                        1 0 · · · 0 j 0 · · · 0 0 1 · · · 0 0 j · · · 0 ... ... ... ... ... 0 0 · · · 1 0 0 · · · j 0 0 · · · 1 0 0 · · · −j ... ... ... 0 1 · · · 0 −j · · · 1 0 · · · 0 −j 0 · · · 0                        . (2.74)

(45)

Cap´ıtulo 3

M´

etodos baseados no crit´

erio ML

Técnicas de estima¸cão de dire¸cão de chegada (DOA) baseadas no critério da Máxima-Verossimilhan¸ca (ML) exercem um importante papel em processamento de sinais de arranjos de sensores (Krim & Viberg, 1996). O principal motivo está no excelente desempenho estat´ıs-tico inerente aos estimadores ML. Por outro lado, o excelente desempenho destes estimadores é obtido a custo de complexos procedimentos de otimiza¸cão, dado que a implementa¸cão dos algoritmos geralmente requer a minimiza¸cão (ou maximiza¸cão) de uma fun¸cão custo não-linear no espa¸co multidimensional dos parâmetros. Este fato pode comprometer o resultado da busca pela melhor solu¸cão no processo de otimiza¸cão, dado que as estimativas podem convergir para m´ınimos locais distantes, em termos de custo, do m´ınimo global.

Uma demonstra¸cão dos cenários nos quais os algoritmos baseados no critério ML operam no problema de estima¸cão DOA pode ser vista nas Figuras 3.1 a 3.4, as quais apresentam as superf´ıcies e as curvas de n´ıvel da fun¸cão de verossimilhan¸ca dada por (2.54), em fun¸cão dos parâmetros a serem estimados1_{. O cenário para as figuras é composto por duas fontes de banda}

estreita descorrelacionadas e de mesma potência atingindo um arranjo linear uniforme de 10 sensores com ângulos de chegada em φ1 = 10◦ e φ2 = 15◦ relativos à normal ao eixo do arranjo,

para rela¸c˜oes sinal-ru´ıdo de 0 dB, −5 dB, −10 dB e −15 dB. Nos quatro casos s˜ao usados 100

1

Todas as simula¸c˜oes apresentadas nesta disserta¸c˜ao foram executadas usando o software MATLAB R_.

(46)

snapshots. A matriz de covariância do sinal é dada por C = I e a rela¸cão sinal-ru´ıdo é definida como SNR = 1/σ2_{, onde σ}2 _{é a variância do ru´ıdo.}

Antes de analisarmos as Figuras 3.1 a 3.4, é importante salientar que a superf´ıcie da fun¸cão de verossimilhan¸ca L(θ) é simétrica. Este fato é devido à matriz de proje¸cão PA ser a mesma,

seja qual for a ordem dos ˆangulos na matriz A(θ) que a gera.

Analisando cuidadosamente os pontos de m´ınimo global da fun¸cão de verossimilhan¸ca L(θ) mostrados nas Figuras 3.1 a 3.4, notamos que estes pontos se afastam dos valores verdadeiros, φ1 = 10◦ e φ2 = 15◦, à medida que os valores da rela¸cão sinal-ru´ıdo decaem. Este fato nos

permite afirmar que, utilizando esta fun¸cão de verossimilhan¸ca como fun¸cão custo na tarefa de estima¸cão dos ângulos desconhecidos, é de se esperar que, mesmo encontrando os m´ınimos globais através de algum método de otimiza¸cão, seja de busca local (como os métodos iterativos) ou mesmo global (como os algoritmos genéticos), haverá um erro de estima¸cão cuja magnitude dependerá do valor da SNR.

A proposta do método desenvolvido nesta disserta¸cão é, de certa forma, minimizar este erro de estima¸cão. O ponto principal é uma transforma¸cão da fun¸cão de verossimilhan¸ca com o objetivo de amenizar o efeito do ru´ıdo tanto no deslocamento dos pontos de m´ınimo global como na forma acidentada da sua superf´ıcie, e assim melhorar o resultado final da estima¸cão. A proposta é descrita ao longo dos Cap´ıtulos 4, 5, e 6.

Neste cap´ıtulo apresentaremos um algoritmo que explora a reparametriza¸cão descrita na Se¸cão 2.2.1 para contornar a caracter´ıstica multidimensional da fun¸cão de verossimilhan¸ca L(θ) e que implementa de forma iterativa o processo de otimiza¸cão da fun¸cão custo (2.68). Apresentaremos ainda dois algoritmos baseados no algoritmo anterior, mas que, adicionalmente, propõem solu¸cões alternativas para uma convergência mais provável para o m´ınimo global.

(47)

29 −30 −20 −10 0 10 20 30 40 50 60 −40 −20 0 20 40 60 4 6 8 10 12 14 16 θ1 θ₂ L( θ ) (a) Superf´ıcie de L(θ), SNR = 0 dB θ₁ θ 2 −30 −20 −10 0 10 20 30 40 50 60 −30 −20 −10 0 10 20 30 40 50 (b) Curvas de n´ıvel de L(θ), SNR = 0 dB

Figura 3.1: Análise da superf´ıcie e curva de n´ıvel da fun¸cão de verossimilhan¸ca L(θ) para M = 2, N = 10, 100 snapshots e rela¸cão sinal-ru´ıdo de 0dB.

(48)

−30 −20 −10 0 10 20 30 40 50 60 −40 −20 0 20 40 60 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 θ1 θ₂ L( θ ) (a) Superf´ıcie de L(θ), SNR = −5 dB θ₁ θ 2 −30 −20 −10 0 10 20 30 40 50 60 −30 −20 −10 0 10 20 30 40 50 (b) Curvas de n´ıvel de L(θ), SNR = −5 dB

Figura 3.2: Análise da superf´ıcie e curva de n´ıvel da fun¸cão de verossimilhan¸ca L(θ) para M = 2, N = 10, 100 snapshots e rela¸cão sinal-ru´ıdo de −5dB.

(49)

31 −30 −20 −10 0 10 20 30 40 50 60 −40 −20 0 20 40 60 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5 5.1 5.2 θ1 θ₂ L( θ ) (a) Superf´ıcie de L(θ), SNR = −10 dB θ₁ θ 2 −30 −20 −10 0 10 20 30 40 50 60 −30 −20 −10 0 10 20 30 40 50 (b) Curvas de n´ıvel de L(θ), SNR = −10 dB

(50)

−30 −20 −10 0 10 20 30 40 50 60 −40 −20 0 20 40 60 4.1 4.15 4.2 4.25 4.3 4.35 4.4 4.45 4.5 4.55 4.6 θ1 θ₂ L( θ ) (a) Superf´ıcie de L(θ), SNR = −15 dB θ₁ θ 2 −30 −20 −10 0 10 20 30 40 50 60 −30 −20 −10 0 10 20 30 40 50 (b) Curvas de n´ıvel de L(θ), SNR = −15 dB

(51)

3.1. O ALGORITMO MODE 33

3.1 O algoritmo MODE

Desenvolvido por Petre Stoica e K. C. Sharman e publicado em 1990 em (Stoica & Sharman, 1990), o algoritmo MODE (Method of Direction Estimation) é um estimador baseado no critério ML Condicional que faz uso da reparametriza¸cão da fun¸cão custo apresentada em (2.68) e de uma restri¸cão ao subespa¸co de sinal da matriz de covariância dos dados recebidos2.

A restri¸cão ao subespa¸co de sinal é implementada através da decomposi¸cão em autovalores e autovetores de ˆRy dada por

ˆ

Ry = ˆUs Λˆs UˆHs + ˆUn Λˆn UˆHn, (3.1)

onde ˆΛs´e uma matriz ¯M × ¯M diagonal contendo os ¯M = min{M, posto(C)} maiores autovalores

de ˆRy, chamados de autovalores do subespa¸co de sinal. Os (N − ¯M ) autovalores restantes,

aqueles do subespa¸co de ru´ıdo, est˜ao na matriz diagonal ˆΛn. As colunas das (N × ¯M ) e N ×

(N − ¯M ) matrizes Ûse Ûnsão os autovetores dos subespa¸cos de sinal e ru´ıdo, respectivamente.

O problema de minimiza¸c˜ao do algoritmo MODE ´e dado por

bM ODE = arg min

b Tr{B(B H_B)−1_BH_U_ˆ sΛMUˆHs } sujeito a bm = b∗M −m, m = 0, ..., M, e b 6= 0, (3.2) onde b = [b0 ... bM]T, BH =       bM · · · b0 0 . .. . .. 0 bM · · · b0       , (3.3) BH _{∈ C}(N −M )×N_{, Λ} M = ( ˆΛs− ˆσ2I)2Λˆ−1s e ˆσ2 = Tr{ ˆΛn}/(N − ¯M ). 2

(52)

A simetria complexa conjugada ´e imposta usando a equa¸c˜ao

b = Wβ, (3.4)

conforme descrito na Se¸c˜ao 2.2.3.

Para evitar a solu¸c˜ao trivial b = 0, um dos elementos do vetor β ´e normalizado, assumindo valor 1 (um). Assumimos por simplicidade que β0 = 1.

A idéia básica da deriva¸cão do algoritmo MODE é minimizar a fun¸cão L(b) (2.65) explo-rando a forma quadrática que ela pode assumir (Stoica & Sharman, 1990). Ao invés de resolver o problema (3.2), o MODE resolve o problema quadrático equivalente

βM ODE = arg min

β kVβk

2

sujeito a β0 = 1,

(3.5)

onde k · k denota a norma Euclidiana. O Apˆendice A apresenta os detalhes da transforma¸c˜ao do problema (3.2) no problema (3.5).

O problema equivalente (3.5) é um problema de otimiza¸cão não-linear cuja matriz V depende de BH_{B, a qual depende de β. O método MODE resolve este problema em dois passos por}

meio do seguinte algoritmo (Stoica & Sharman, 1990):

Passo 1. resolva o problema usando a matriz V correspondente a BH_{B = I de}

modo a determinar um valor inicial para o vetor β.

Passo 2. compute BH_{B usando o vetor β determinado no passo anterior e}

b = Wβ. Ent˜ao resolva o problema (3.5) com V atualizado com o novo valor de BH_B.

O passo 2 pode ser repetido algumas poucas vezes visando melhorar a exatidão da estimativa, especialmente quando o número de snapshots for pequeno. O Apêndice A mostra como o MODE computa a solu¸cão do problema (3.5) em cada passo do algoritmo acima.

(53)

3.2. O ALGORITMO MODEX 35 O valor final de β, obtido após os passos 1 e 2, é usado na expressão (3.4) para calcular o vetor bM ODEe as freqüências são estimadas computando as ra´ızes correspondentes do polinômio

b(z) .

A Figura 3.5 mostra o desempenho do MODE para um arranjo linear uniforme de N = 10 sensores com duas fontes de banda estreita descorrelacionadas com mesma potência e ângulos de chegada φ1 = 10◦ e φ2 = 15◦ relativos à normal ao eixo do arranjo. A matriz de covariância

do sinal é C = I e o número de snapshots é 100. A rela¸cão sinal-ru´ıdo é definida como SNR = 1/σ2_{. O desempenho para cada valor de SNR é medido pela Raiz Quadrada do Erro}

Quadrático Médio (RMSE) das estimativas DOA para 105 _{simula¸cões de Monte Carlo}3_{. A}

Figura 3.5 também mostra o limite de Cramér-Rao (CRB) (Stoica & Nehorai, 1990) para este cenário, que representa o limite teórico de variância das estimativas de qualquer estimador não-polarizado (Kay, 1993).

O MODE é, para um grande número de amostras, uma aproxima¸cão do método ML. Isto confere ao MODE uma eficiência assintótica tanto para fontes descorrelacionadas como para fontes correlacionadas. Sua complexidade computacional é comparável à do algoritmo MUSIC (Stoica & Sharman, 1990). No entanto, para pequenos valores de SNR e pequeno número de snapshots, o MODE sofre uma degrada¸cão em desempenho que o leva a resultados limitados (A. B. Gershman & Stoica, 1999), (Li, Stoica, & Liu, 1998). Esta degrada¸cão em desempenho é denominada efeito de limiar.

3.2 O algoritmo MODEX

Na busca por modifica¸cões do método MODE visando melhorar o limite de desempenho e preservar a eficiência assintótica e a moderada complexidade, Alex B. Gershman e Petre Stoica (A. Gershman & Stoica, 1999) apresentaram como solu¸cão em 1998 o algoritmo MODEX

3

Este cenário é comumente empregado na literatura para análise de desempenho dos métodos de estima¸cão de dire¸cão de chegada relacionados ao contexto desta disserta¸cão.

(54)

−15 −10 −5 0 5 10 15 10−1 100 101 SNR (dB) RMSE (graus) MODE Limite de Cramér−Rao

Figura 3.5: Desempenho do algoritmo MODE em fun¸c˜ao da rela¸c˜ao sinal-ru´ıdo usando 100 snapshots. Fontes descorrelacionadas.

(MODE with EXtra roots).

O MODEX é baseado na observa¸cão de que o efeito de limiar observado no desempenho do MODE resulta de uma grande diferen¸ca entre os subespa¸cos de sinal amostrado e exato (Thomas, Scharf, & Tufts, 1995). Esta diferen¸ca faz com que algumas ra´ızes geradas pelo MODE sejam alocadas em ângulos distantes dos parâmetros {ωm}. Para evitar este efeito o

MODEX emprega o vetor estendido

¯ b = b0 ... bM b(M +1) ... b(M +P ) T (3.6)

na matriz definida pela expressão (2.58), onde P é um inteiro arbitrário tal que 0 < P < (N − M ). O objetivo é gerar ra´ızes extras visando melhorar os modelos para ambos subespa¸cos de sinal e ru´ıdo.

(55)

3.2. O ALGORITMO MODEX 37 apenas na dimensão do vetor dos coeficientes do polinômio ¯b, e, portanto, é dado por

bM ODEX = arg min ¯ b Tr{ ¯B( ¯B H_B)_¯ −1_B_¯H_U_ˆ sΛMUˆHs } sujeito a bm = b∗M +P −m, m = 0, 1, . . . , (M + P ), e ¯b 6= 0, (3.7) onde ¯ BH =       bM +P · · · b0 0 . .. . .. 0 bM +P · · · b0       , (3.8) ¯ BH _{∈ C}(N −M −P )×N_{, Λ} M = ( ˆΛs− ˆσ2I)2Λˆ−1s e ˆσ2 = Tr{ ˆΛn}/(N − ¯M ).

A simetria complexa conjugada ´e implementada por

¯

b = ¯W ¯β, (3.9)

onde ¯W ∈ C(M +P +1)×(M +P +1) _{denota a matriz cujas entradas s˜ao 1, 0 ou ±j. Estas entradas}

são arranjadas levando em considera¸cão que ¯β ,[β0... βM βM +1 ... βM +P]T de maneira análoga

`a descrita anteriormente para o algoritmo MODE.

A solu¸cão do problema (3.7) pode ser obtida exatamente da mesma maneira que para o problema de minimiza¸cão MODE, isto é, usando o procedimento de 2 passos descrito na Se¸cão 3.1.

Para garantir um desempenho assintótico similar àquele alcan¸cado pelo MODE, as M ra´ı-zes do MODE convencional são calculadas e mantidas juntas com as (M + P ) novas ra´ıra´ı-zes, levando a um conjunto de (2M + P ) candidatas. A sele¸cão das melhores M ra´ızes dentre todas (2M + P ) canditadas é feita analisando todas as poss´ıveis combina¸cões de M ra´ızes via critério ML dado por (2.53) com θ ⊂ Θ, onde Θ é o conjunto de todas as combina¸cões poss´ıveis das ra´ızes MODEX.

(56)

−15 −10 −5 0 5 10 15 10−1 100 101 SNR (dB) RMSE (graus) MODE MODEX Limite de Cramér−Rao

Figura 3.6: Desempenho assintótico do algoritmo MODEX em fun¸cão da rela¸cão sinal-ru´ıdo usando 100 snapshots. Fontes descorrelacionadas. P = 4 ra´ızes extras.

O número de combina¸cões (NC) a ser analisado é condicionado pelo fato de P⊥

A ser

inde-pendente da ordem das ra´ızes de cada combina¸c˜ao. Portanto, NC ´e dado por

N C = (2M + P )!

M ! (M + P )! . (3.10)

A Figura 3.6 mostra o desempenho do algoritmo MODEX para os mesmo cen´ario da Figura 3.5.

3.2.1 Discuss˜

ao

Note que os resultados do MODE e do MODEX tendem ao limite de Cramér-Rao com o aumento da SNR. Por outro lado, o efeito de limiar do MODE ocorre aproximadamente para uma SNR = 2.5 dB enquanto que o MODEX alcan¸ca um bom desempenho para valores de SNR tão baixos quanto −6 dB. Esta melhora significativa no limite de desempenho é alcan¸cada

(57)

3.3. O ALGORITMO MODEX MODIFICADO 39 a custo de um esfor¸co computacional adicional. O esfor¸co extra é necessário para resolver o problema (3.5) novamente (desta vez usando o vetor estendido ¯b) e para selecionar as melhores M ra´ızes. Além disso, é necessário otimizar o número de ra´ızes extras P , dados os valores de N e M .

´

E importante salientar que a capacidade (máximo número de ângulos a serem estimados) do MODEX é limitada pelo número de ra´ızes extras P inseridas no problema. Assim, para um determinado valor de P e conhecendo a restri¸cão 0 < P < N − M , a capacidade do método MODEX é dada por

Mmax= N − P − 1 , (3.11)

enquanto a capacidade do MODE é dada por N − 1. A restri¸cão dada por (3.11) pode impedir o uso do MODEX para casos em que o número de sensores N é pequeno.

3.3 O algoritmo MODEX Modificado

Em 2003, Amauri Lopes et al. (Lopes, Bonatti, Peres, & Alves, 2003) apresentaram um novo método baseado no algoritmo MODE, semelhante ao MODEX, no entanto mais eficiente e de menor complexidade computacional. O novo método, denominado aqui de MODEX Modificado, propõe modificar o método de gera¸cão de ra´ızes extras do método MODEX com o objetivo de gerar menos ra´ızes extras e de melhor qualidade.

A idéia central do MODEX Modificado reside em explorar o subespa¸co de sinal com mais frentes de busca, com o objetivo de encontrar na diversidade das estimativas, um aumento de probabilidade de boas solu¸cões para o problema de otimiza¸cão não-linear e multidimensional que a fun¸cão de verossimilhan¸ca impõe.

O método MODEX tenta contornar este problema aumentando o grau do polinômio b(z). No entanto, P das (M + P ) ra´ızes extras geradas pelo MODEX não são, em geral, boas estimativas das frequências verdadeiras ω (Lopes et al., 2003).

(58)

O método MODEX Modificado propõe um novo gerador de ra´ızes extras, composto por três diferentes solu¸cões MODE, obtidas a partir de três diferentes restri¸cões de não-singularidade. Naturalmente, a diferen¸ca entre os subespa¸cos de sinal amostrado e exato irá afetar as solu¸cões MODE. Porém, nem sempre as três solu¸cões serão afetadas simultaneamente e/ou nem sempre serão afetadas na mesma ra´ız em cada solu¸cão.

O método de gera¸cão das candidatas é implementado segundo o procedimento:

Solu¸c˜ao 1. Resolva o problema

β = arg min β kVβk 2 sujeito a kβk = 1, (3.12) com β ∈ R(M +1)×1_,

Passo 1. Determine a matriz V inicial correspondente a BH_{B = I.}

O valor inicial do vetor β1 ´e dado pelo autovetor associado ao

menor autovalor da matriz VH_V.

Passo 2. Usando β₁do passo anterior, calcule a matriz BH_{B e a}

par-tir dela atualize a matriz V. A solu¸c˜ao β₁ ´e dada pelo autovetor associado ao menor autovalor da matriz VH_V.

Solu¸c˜ao 2. Restri¸c˜ao β0 = 1.

Passo 3. Usando a última versão da matriz V da Solu¸cão 1, calcule β₂ através da equa¸cão β₂ =    1 −R−1₁ QH 1 V1   . (3.13)

(59)

3.3. O ALGORITMO MODEX MODIFICADO 41 R2 ¯M (N −M )×M_{. A decomposi¸c˜ao QR de V} 2 leva a V2 = [Q1 Q2]    R1 0   , (3.14)

onde Q1 ∈ R2 ¯M (N −M )×M e R1 ∈ RM ×M ´e uma matriz triangular

superior.

Solu¸c˜ao 3. Restri¸c˜ao βM = 1.

Passo 4. Usando a última versão da matriz V da Solu¸cão 1, calcule β₃ através da equa¸cão β₃ =    −R−1 3 QH3 V4 1   . (3.15)

onde V = [V₃ V4] tal que V3 ∈ R2 ¯M (N −M )×M e V4 ∈

R2 ¯M (N −M )×1_{. A decomposi¸c˜ao QR de V} 3 leva a V3 = [Q3 Q4]    R3 0   , (3.16)

onde Q3 ∈ R2 ¯M (N −M )×M e R3 ∈ RM ×M ´e uma matriz triangular

superior.

Os valores finais de β1, β2 e β3, obtidos ap´os os 4 passos, s˜ao usados para calcular o

vetores b1, b2 e b3, e as freqüências são estimadas computando as ra´ızes correspondentes dos

polinˆomios b1(z), b2(z) e b3(z), respectivamente. O processo de sele¸c˜ao das candidatas geradas

´e exatamente o mesmo do algoritmo MODEX.

A Figura 3.7 apresenta o desempenho do MODE, do MODEX e do MODEX Modificado para as mesmas condi¸c˜oes de simula¸c˜ao da Figura 3.6.