Fundamentos de Análise Tempo-Frequência

(1)

Princípio da Incerteza Densidades e Funções Características Referências

Fundamentos de Análise Tempo-Frequência

com Aplicação a Processamento de Sinais - 2

Luiz W. P. Biscainho

1

Paulo A. A. Esquef

2

1_{Programa de Engenharia Elétrica do COPPE}

Universidade Federal do Rio de Janeiro

2_{Coordenação de Sistemas e Controle}

Laboratório Nacional de Computação Científica

(2)

Sumário

1

Princípio da Incerteza

2

Densidades e Funções Características

Introdução

Densidades Unidimensionais

Densidades Bidimensionais

Transformação de Variáveis

(3)

Princípio da Incerteza

De que se trata?

Ideia: Um sinal

não pode ser arbitrariamente estreito

no

tempo e na frequência simultaneamente

Definições:

Sinal: s(t) com transformada de Fourier S(ω) Densidades de energia: temporal: |s(t)|2 espectral |S(ω)|2 Larguras: temporal: T =qR (t − hti)2_|s(t)|2_dt espectral: B =qR (ω − hωi)2_|S(ω)|2_dω

Enunciado: TB ≥

1₂

(4)

Princípio da Incerteza

Demonstração

Simplificação: s(t) tem médias nulas

Desvio-padrão independe da média.

Para sinal original ˆs(t) com hti e hωi, constrói-se s(t) = e−jhωits(t + hti), e a reversão é imediata.

Esboço da demonstração:

T2₌_{R t}2_|s(t)|2_dt B2₌_{R ω}2_|S(ω)|2_dω T2B2=R |ts(t)|2_dt_{R |s}0_(t)|2_{dt ≥} R ts∗_(t)s0_(t)dt 2 (desigualdade de Schwartz) ResolvendoR ts∗_(t)s0_{(t)dt = −}1 2+jCovtω: TB ≥−1 2+jCovtω = q 1 4+Cov 2 tω ≥12

(5)

Sinais com Incerteza Mínima

Que sinais têm TB =

1₂

?

Condições:

Igualdade na desigualdade de Schwartz, o que exige integrandos proporcionais Covtω =0

Resultado:

s(t) = α π 14_e−α 2t 2

Família mais geral: ˆs(t) = α π

14_e−α 2(t−hti)

(6)

Princípio da Incerteza para a STFT

Interpretação

Transformada de Fourier de Curta Duração de sinal s(t):

Finalidade: estudar propriedades espectrais de segmento de sinal em torno do instante t Segmentação no tempo: multiplica-se sinal s(t) por janela h(t) de duração limitada, centrada em t Formulação: St(ω) = √1_2πR s(τ )h(τ − t)e−jωτdτ

Para nosso propósito:

ˆ st(τ ) = √_{R |s(τ )h(τ −t)|}s(τ )h(τ −t) 2_dτ ⇒R |ˆst(τ )| 2_{dτ = 1} ˆ St(ω) = √1_2πR ˆst(τ )e−jωτdτ Definem-se Ttde ˆst(τ ), Bt de ˆSt(ω)

Princípio da incerteza

TtBt≥ 1₂

Inclui o efeito dajanela h(t)

(7)

Princípio da Incerteza Densidades e Funções Características Referências Introdução Densidades Unidimensionais Densidades Bidimensionais Transformação de Variáveis

Primeiros Conceitos

Densidade P:

Quantidade de uma grandeza por unidade(s) de outra(s)

grandeza(s) x1,x2, . . .

No curso:considera-se a densidade normalizada pela quantidade total.

Descreve adistribuição daquela grandeza por x1,x2, . . ..

Exemplos (casos unidimensionais):

P(t) = |s(t)|2é a densidade de energia no tempo P(ω) = |S(ω)|2_{é a densidade de energia na frequência}

(8)

Introdução

Densidades Unidimensionais

Densidades Bidimensionais Transformação de Variáveis

Densidade em uma Dimensão

Definições-1

Densidade Normalizada P(x ): Fração de uma grandeza

por unidade de outra x , ao longo de x .

R P(x)dx = 1

Média

hxi =R xP(x)dx

Indica ocentro da distribuição

hf (x)i =R f (x)P(x)dx

Fazendo-se f (x ) = u e obtendo-se P(u), pode-se fazer hf (x )i =R uP(u)du hx1+x2i = hx1i + hx2i

(9)

Introdução

Densidade em uma Dimensão

Definições-2

Variância

σ2_x =R (x − hxi)2_{P(x )dx = hx}2_{i − hxi}2

Mede oespalhamento da distribuição em torno da média

Desvio Padrão

σx = p σ2 x, (mesma unidade de x ) Para constante c: σc=0 σcx= |c|σx

Momento de Ordem n

hxn_{i =}_{R x}n_{P(x )dx}

(10)

Introdução

Função Característica em uma Dimensão

Definição e Propriedades

É a

média da exponencial complexa e

jθx

de“frequência” θ ao longo de x

M(θ) =

R P(x)e

jθx

_dx

Pode ser vista como a

transformada inversa de Fourier

da densidade, na variável θ

Reversamente, P(x ) =

_2π1

R M(θ)e

−jθx

_dθ

hx

n

_{i =}

1 jn ∂nM(θ) ∂θn

θ=0

(via expansão de e

jθx

_{em série de}

Taylor)

M

∗

(−θ) =

M(θ)

(função simétrica-conjugada)

|M(θ)| ≤ M(0) = 1

(para P(x ) normalizada)

(11)

Função Característica

Restrições

Condição necessária e suficiente para M(θ) ser função

característica própria:

Existir g(θ) de energia unitária tal que

M(θ) =

R g

∗

_{(ϑ)g(ϑ + θ)dϑ,}

_{(i.e. M(θ) ser função de}

autocorrelação de alguma g(θ))

Nesse caso, P(x ) =

_2π1

R g(θ)e

−jθx

_dθ

2

,

(P(x ) ≥ 0)

(12)

Introdução

Densidades Bidimensionais

Transformação de Variáveis

Densidade em Duas Dimensões

Definições

Densidade Normalizada P(x , y ): Fração de uma

grandeza por unidade de x e de y , no ponto (x , y ).

R R P(x, y)dxdy = 1

Densidades

Marginais

:

P(x ) =R P(x, y)dy P(y ) =R P(x, y)dx

(13)

Introdução

Densidades Bidimensionais

Transformação de Variáveis

Função Característica em Duas Dimensões

Definições

É a

média da exponencial complexa e

jθx +jτ y

de “frequências” θ e τ ao longo de (x , y )

M(θ, τ ) =

R R P(x, y)e

jθx +jτ y

_{dx dy}

Pode ser vista como a

transformada inversa de Fourier

da densidade, nas variáveis θ e τ

Reversamente, P(x , y ) =

_4π12

R R M(θ, τ )e

−jθx−jτ y

dθdτ

Funções Características das

Marginais:

M(θ) = M(θ, 0) M(τ ) = M(0, τ )

(14)

Momentos e Correlação

Momento de ordem n + m:

hxn_ym_{i =}_{R R x}n_ym_{P(x , y )dx dy} hxn_ym_{i =} 1 jn+m ∂ n+m ∂θn_∂τmM(θ, τ ) θ=0,τ =0

Correlação entre x e y : hxy i

hxy i = −∂2_∂θ∂τM(θ,τ )

θ=0,τ =0

Se x e y sãodescorrelacionados, hxy i = hx ihy i

Medida do grau de correlação entre x e y pode ser o excesso de hxy i sobre hx ihy i

(15)

Correlação e Independência

Coeficiente de correlação:

rxy

=

Covxy

σxσy

É a covariância normalizada −1 ≤ rxy ≤ 1:

rxy =0: descorrelação

rxy =1: máxima correlação favorável rxy = −1: máxima correlação contrária

Independência de x e y : P(x , y ) = P(x )P(y )

Consequências:

M(θ, τ ) = M(θ)M(τ ), sendo M(θ) e M(τ ) as funções características das marginais hf (x)g(y )i = hf (x)ihg(y )i

hxy i = hxihy i, ou seja,

(16)

Quantidades Locais

Distribuições Condicionais

Densidades Condicionais

:

Densidade da variável x quando y assume um dado valor: P(x |y ) = P(x ,y )_{P(y )}

Densidade da variável y quando x assume um dado valor: P(y |x ) = P(x ,y )_{P(x )}

Independência: P(x |y ) = P(x ) ou P(y |x ) = P(y )

Médias locais:

hg(y )ix

=

R g(y)P(y|x)dy =

1

(17)

Medidas Locais

Relação com medidas globais

Média condicional: hy i

x

=

_{P(x )}1

R yP(x, y)dy

Relação com médiaglobal: hy i =R hyixP(x )dx É a média da média condicional

Variância condicional: σ

2

y |x

= hy

2

i

x

− hy i

2x

Relação com variânciaglobal:

σ2

y =R σ2y |xP(x )dx +R (hyix− hy i)2P(x )dx Contribuições:

média da variância local

(18)

Conversão de Distribuições

entre variáveis

Uma variável x em uma variável u:

Se u = f (x ), P(u) =R δ(u − f (x))P(x)dx =X i P(xi) |f0_(x i)| _x i|f (xi)=u