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Texto

(1)

Universidade de Cabo Verde

Departamento Ciˆencia & Tecnologia

Texto te´orico de An´alise Matem´atica III

Prof. Narciso Resende Gomes

Ano lectivo: 2012/2013

• Aten¸c˜ao: Este texto ´e apenas uma guia que poder´a ajudar o aluno nas aulas te´oricas. Para apoio complementar, o aluno tem a obriga¸c˜ao de consultar outros textos/manuais principalmente a biblio-grafia indicada pelo professor!!

(2)

1.1 Geometria anal´ıtica . . . 2

1.1.1 Recta e plano . . . 2

1.1.2 Superf´ıcies de revolu¸c˜ao . . . 4

1.1.3 C´onicas . . . 4

1.1.4 Qu´adricas . . . 7

2 Integrais duplos . . . 9

2.1 Integral iterado . . . 11

2.2 Integrais duplos e ´Areas . . . 14

2.3 Integrais duplos e Volumes . . . 14

2.4 Integrais duplos: Momentos e centro de massa . . . 15

2.5 Mudan¸ca de vari´aveis. Coordenadas polares . . . 16

2.5.1 Coordenadas polares . . . 16 2.5.2 Mudan¸ca de vari´aveis em Integrais duplos. Coordenadas polares . 16

Referˆ

encias

[1] A. Breda e J. Costa,C´alculo com fun¸c˜oes de v´arias vari´aveis. McGraw Hill-Portugal, Lisboa, 1996.

[2] E. Lima, An´alise Real - Vol. 2. Rio de Janeiro, Brasil, 2004.

[3] H. Bertolossi, C´alculo diferencial a v´arias vari´aveis. Edi¸c˜oes Loyola e editora PUC-Rio, S˜ao Paulo, Brasil, 2002.

[4] S. Lang, Calculus of Several Variables. Adison-Wesley, 1973.

[5] T. Apostol, C´alculo (Vol. 2). Editora Revert´e, 1996.

(3)

1

Integrais m´

ultiplos

Partindo do pressuposto que o aluno de An´alise Matem´atica III tem como pr´e-requisitointegrais de fun¸c˜oes a uma vari´avel dadas nas cadeiras de An´alise Matem´atica precedentes, pressup˜oe-se que n˜ao haver´a dificuldade em entender a no¸c˜ao de Integrais duplos e Integrais triplos, a ser introduzidos nesta sec¸c˜ao. Entretanto, para isso, ser´a tamb´em importante alguns conceitos degeometria anal´ıtica a ser introduzidos a seguir.

1.1

Geometria anal´ıtica

1.1.1 Recta e plano

Equa¸c˜ao vectorial da recta

Considere um pontoA(x1, y1, z1) e um vector n˜ao nulo~v = (a, b, c). S´o existe uma recta

r que passa por A e tem a direc¸c˜ao de~v. Um ponto P(x, y, z) pertence a recta r se, e somente se, o vector −→AP ´e paralelo a~v, isto ´e,

r

− →v

O

A

P

−→

AP =t~v (1) para algum real t.

De (1), vem

P A=t~v P =A+t~v (2) ou em coordenadas

(x, y, z) = (x1, y1, z1) +t(a, b, c) (3)

Qualquer uma das equa¸c˜oes (1),(2) ou (3) ´e denominada equa¸c˜ao vectorial der. O vector~v ´e chamadovector director da recta r et ´e denominado parˆametro.

A recta r que passa por (1,1,4) de direc¸c˜ao~v = (2,3,2) tem a seguinte equa¸c˜ao vectorial:

r: (x, y, z) = (1,1,4) +t(2,3,2)) onde (2,3,2) representa um ponto qualquer na recta.

Equa¸c˜oes param´etricas da recta

Da equa¸c˜ao vectorial da recta (x, y, z) = (x1, y1, z1) +t(a, b, c) ou

(x, y, z) = (x1+at, y1+bt, z1+ct) ent˜ao obt´em-se

 

x = x1+at

y = y1+bt (4)

(4)

As equa¸c˜oes (4) s˜ao chamadas equa¸c˜oes param´etricas da recta.

A recta r que passa por (3,4,2) paralela ao vector~v = (2,1,3) tem as seguintes equa¸c˜oes param´etricas:

r :

 

x = 3 + 2t y = 4 +t z = 23t.

Equa¸c˜ao geral do plano

Seja um ponto A(x1, y1, z3) pertencente a um plano γ e ~n = (a, b, c), ~n 6= 0, vector

normal (ortogonal) ao plano (ver Figura).

γ

A

P

− →n

i

Sendo~nγ,~n´e ortogonal a todo vector representado emγ. Ent˜ao, um pontoP(x, y, z) pertence a γ se, e somente se, o vector −→AP ´e ortogonal a~n, isto ´e,

~n·(P A) = 0 ou (a, b, c)·(xx1, y−y1, z−z1) = 0 ou

a(xx1) +b(y−y1) +c(z−z1) = 0

ou ainda,

ax+by+czax1−by1 −cz1 = 0.

Fazendo,

d=ax1−by1−cz1,

obt´em-se

ax+by+cz+d= 0 (1)

A equa¸c˜ao (1) ´e a equa¸c˜ao geral do plano γ.

Equa¸c˜ao vectorial e param´etrica do plano

Seja A(x1, y1, z1) um ponto pertencente a um planoγ e~u = (a1, b1, c1) e~v = (a2, b2, c2)

dois vectores paralelos a γ, por´em~u e~v n˜ao-paralelos entre si.

− →v

− →u

t · −→v

h · −→u

(5)

Para todo o ponto P do plano, os vectores −→AP, ~u e ~v s˜ao coplanares. Um ponto P(x, y, z) pertence a γ se, e somente se, existem os n´umeros reais h et tais que

P A=h·~u+t·~v ou P =A+h·~u+t·~v

ou em coordenadas,

(x, y, z) = (x0, y0, z0) +h(a1, b1, c1) +t(a2, b2, c2), h, t∈R (2)

Esta equa¸c˜ao ´e denominada equa¸c˜ao vectorial do plano γ. Da equa¸c˜ao (2) obt´em-se,

(x, y, z) = (x0 +a1h+a2t, y0+b1h+b2t, z0+c1h+c2t)

que, pela condi¸c˜ao de igualdade, vem

 

x = x0+a1h+a2t

y = y0+b1h+b2t

z = z0+c1h+c2t, h, t∈R.

Estas equa¸c˜oes s˜ao chamadasequa¸c˜oes param´etricas deγ eh ets˜ao vari´aveis auxiliares denominadasparˆametros.

Seja o plano ϕ que passa pelo ponto (2,2,1) paralelo aos vectores ~u = (2,3,1) e ~v = (1,5,3). Pretende-se obter a equa¸c˜ao vectorial, um sistema de equa¸c˜oes param´etricas e equa¸c˜ao geral do plano ϕ.

(a) Equa¸c˜ao vectorial: (x, y, z) = (2,2,1) +h(2,3,1) +t(1,5,3)

(b) Equa¸c˜oes param´etricas:

 

x = 2 + 2ht y = 23h+ 5t z = 1 +h3t

1.1.2 Superf´ıcies de revolu¸c˜ao

Superf´ıcie de revolu¸c˜ao´e a superf´ıcie gerada por uma curva plana (chamadageratriz) que gira 360o em torno de uma recta (chamada eixo) situada no plano da curva. Neste

caso, o tra¸co da superf´ıcie num plano perpendicular ao eixo ´e uma circunferˆencia e a equa¸c˜ao da superf´ıcie de revolu¸c˜ao ´e obtida atrav´es da equa¸c˜ao de geratriz.

Uma esfera x2+y2+z2 =r2 com rR+, ´e uma superf´ıcie de revolu¸c˜ao.

1.1.3 C´onicas

Chama-sesec¸c˜ao c´onica ou simplesmentec´onica, ao conjuntos de pontos que formam a intersec¸c˜ao de um plano com a superf´ıcie c´onica.

Quando uma superf´ıcie c´onica ´e seccionada por um planoγ qualquer que n˜ao passa pelo v´ertice O, a c´onica ser´a:

1. uma par´abola, se γ for paralelo a uma geratriz da superf´ıcie.

(6)

3. uma hip´erbole, se γ n˜ao for paralelo a uma geratriz e intercecta as duas folhas da superf´ıcie. A hip´erbole deve ser vista como uma s´o curva, constitu´ıda de dois ramos, um em cada folha de superf´ıcie.

Nota 1: Se a intersec¸c˜ao do plano com a superf´ıcie resultar em apenas em um ponto,

uma recta ouduas rectas, ent˜ao as c´onicas s˜aodegeneradas.

Defini¸c˜ao 1:

1. par´abola - ´e o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes de um ponto fixo e de uma recta fixa desse plano.

d(P, F) = d(P, P′)

Equa¸c˜ao reduzida

(7)

2. elipse - ´e o conjunto de todos os pontos de um plano cuja soma das distˆancias a dois pontos fixos desse plano ´e constante.

d(P, F1) +d(P, F2) = 2a

F1 F2

P

Equa¸c˜oes reduzidas:

x2

a2 +

y2

b2 = 1 (i)

x2

b2 +

y2

a2 = 1 (ii)

Onde o caso (i) se verifica quando o eixo maior est´a sobre o eixo dexe (ii) quando o eixo maior est´a cobre o eixo dey.

3. hip´erbole - ´e o conjunto de todos os pontos de um plano cuja diferen¸ca das distˆancias em valor absoluto, a dois pontos fixos desse plano ´e constante.

|d(P, F1)−d(P, F2)|= 2a

Equa¸c˜oes reduzidas:

x2

a2 −

y2

b2 = 1 (i)

y2

b2 −

x2

a2 = 1 (ii)

(8)

1.1.4 Qu´adricas

A equa¸c˜ao geral do segundo grau nas trˆes vari´aveisx, y e z

ax2 +by2+cz2+ 2dxy+ 2exz+ 2f yz+mx+ny+pz+q= 0 (1)

onde pelo menos um dos coeficientes a, b, c, d, e ou f ´e diferente de zero (a fim de assegurar grau 2 para a equa¸c˜ao) representa uma superf´ıcie qu´adrica, ou simplesmente uma qu´adrica. A seguir estudar-se-´a as superf´ıcies qu´adricas denominadas elips´oides,

hiperbol´oides eparabol´oides. Elips´oides

O elips´oide da maneira mais geral ´e representado pela equa¸c˜ao x2

a2 +

y2

b2 +

z2

c2 = 1

ondea, be crepresentam as medidas dos semi-eixos do elips´oide. S˜ao n´umeros reais positivos.

Se a =b =c, a equa¸c˜ao representa uma superf´ıcie esf´erica de centro (0,0,0) e raio a, isto ´e,

x2+y2+z2 =a2.

Hiperbol´oides

(9)

x2

a2 +

y2

b2 −

z2

c2 = 1

chamada forma can´onica do hiperbol´oide de uma folha ao longo do eixo Oz. As outras duas formas s˜ao

x2

a2 −

y2

b2 +

z2

c2 = 1 e −

x2

a2 +

y2

b2 +

z2

c2 = 1,

e representam hiperbol´oide de uma folha ao longo dos eixos Oy e Ox, respectiva-mente.

(ii) Hiperbol´oide de duas folhas - Umhiperbol´oide de duas folhas da maneira mais geral ´e representado pela equa¸c˜ao

−x

2

a2 +

y2

b2 −

z2

c2 = 1,

chamadaforma can´onica do hiperbol´oide de duas folhas ao longo do eixo Oy. As outras duas formas s˜ao

x2

a2 −

y2

b2 −

z2

c2 = 1 e −

x2

a2 −

y2

b2 +

z2

c2 = 1,

e representamhiperbol´oide de duas folhas ao longo dos eixos OxeOz, respectiva-mente.

Parabol´oides

(10)

z = x

2

a2 +

y2

b2,

chamada forma can´onica do parabol´oide el´ıptico ao longo do eixo Oz. As outras duas formas s˜ao

y= x2

a2 +z 2

c2 e x=

y2

b2 +z 2

c2,

e representam parabol´oide el´ıptico ao longo dos eixos Oy eOx, respectivamente.

(ii) Parabol´oide hiperb´olico - Umparabol´oide hiperb´olico da maneira mais geral ´e repre-sentado pela equa¸c˜ao

z = x

2

a2 −

y2

b2,

chamadaforma can´onica doparabol´oide hiperb´olicoao longo do eixoOz. As outras duas formas s˜ao

y = zc22 −

x2

a2 e x=

z2

c2 −

y2

b2,

e representamparabol´oide hiperb´olicoao longo dos eixosOyeOx, respectivamente.

2

Integrais duplos

As regi˜oes de integra¸c˜ao v˜ao ser agora subconjuntos deR2. Primeiramente considerar-se-´a regi˜oes de integra¸c˜ao rectangulares e depois considerar-considerar-se-´a regi˜oes mais gerais com fronteiras curvil´ıneas.

Defini¸c˜ao 2: Sejam a, b, c e d n´umeros reais tais que a < b e c < d. Considere o rectˆangulo

R={(x, y)R2 :a < x < b, c < y < d}

e as parti¸c˜oes dos intervalos [a, b] e [c, d], definidas respectivamente, por

P1 :a=x0 < x1 < . . . < xn−1 < xn=b e P2 :c=y0 < y1 < . . . < ym−1 < ym =d,

onde n e m s˜ao n´umeros naturais arbitr´arios. Designa-se por Parti¸c˜ao do rectˆangulo R

ao conjunto seguinte

(11)

Fig. 1: A Regi˜ao R e a parti¸c˜ao P, o s´olido S e um dos s´olidos Si.

Tal como se definiu anteriormente, a parti¸c˜ao P do rectˆangulo R determina mn sub-rectˆangulos de R:

Rij ={(xi, yj)∈R2 :xi−1 ≤x≤xi, yj−1 ≤y≤yj},

cujas ´areas s˜ao dadas por xi△yj = (xi −xi−1)(yj −yj−1). A colec¸c˜ao destes

sub-rectˆangulos Rij, de facto, constitui a parti¸c˜aoP.

Defini¸c˜ao 3: Sejaf uma fun¸c˜ao definida num rectˆangulo R ⊂R2. Designa-se porsoma de Riemann da fun¸c˜aof no rectˆangulo R `a express˜ao seguinte:

n,m

X

i=0,j=0

f(x∗ij)xi△yj ≡ m

X

j=0 n

X

i=0

f(x∗ij)xi△yj ≡f(x∗00)△x0△y0+· · ·+f(xnm∗ )△xn△ym,

ondex∗

ij representa os pontos seleccionados aleatoriamente nos sub-rectˆangulosRij

res-pectivos.

Para a no¸c˜ao de integral duplo, interessa que as parti¸c˜oes sejam muito finas.

Defini¸c˜ao 4: Sejam f uma fun¸c˜ao definida num rectˆangulo R ⊂R2 e

P ={(xi, yj)∈R : 0≤i≤n, 0≤j ≤m}

uma parti¸c˜ao arbitr´aria de R. Diz-se que a fun¸c˜ao f ´e integr´avel (`a Riemann) no rectˆangulo R, se existir o limite finito seguinte:

lim

|P|→0 m

X

j=0 n

X

i=0

f(x∗ij)△xi△yj. (1)

No caso o limite (1) existir, esse limite designa-se por integral da fun¸c˜ao e denota-se por

Z Z

R

f(x, y)dxdy ou

Z Z

R

f(x, y)dA

(12)

2.1

Integral iterado

A proposi¸c˜ao seguinte permitir´a calcular alguns integrais duplos usando integra¸c˜oes simples repetidas, ou seja, usando fun¸c˜oes reais de uma vari´avel real.

Fig. 2: Volume sob a superf´ıciez =f(x, y).

Proposi¸c˜ao 1: (Fubini) Sejaf uma fun¸c˜ao integr´avel num rectˆangulo

R={(x, y)R2 :a < x < b, c < y < d}, onde a < bec < d.

Suponha-se que R

f(x, y)dxexiste para qualquer y[c, d], e queR

f(x, y)dyexiste para qualquer x[a, b]. Ent˜ao

Z Z

R

f(x, y)dxdy =

Z d

c

Z b

a

f(x, y)dx

dy =

Z b

a

Z d

c

f(x, y)dy

dx. (2)

Os dois ´ultimos integrais de (2) designa-se por integrais repetidos ou iterados. Note-se que na aplica¸c˜ao do Teorema Fundamental do C´alculo Integral ao c´alculo do integral entre parˆentesis rectos, se primitiva a fun¸c˜aof em rela¸c˜ao `a vari´avel a´ı referida, fixando a outra como constante.

Nota 2: Em algumas situa¸c˜oes, por muitas raz˜oes, ´e manifestamente imposs´ıvel calcular relativamente a uma das vari´aveis. A mais frequente ´e a impossibilidade de determinar a primitiva da fun¸c˜ao dada em rela¸c˜ao a essa vari´avel. Nestas situa¸c˜oes, calcula-se o integral repetido apenas numa ordem de integra¸c˜ao poss´ıvel.

Exemplo 1: Determine

Z Z

R

e−x−ydxdy sobre o rectˆangulo R= [0,1]×[0,1].

Resolu¸c˜ao: Resolvido na Te´orica.

Exemplo 2: Determine

Z Z

R

x2+y2dxdy sobre o rectˆanguloR = [1,1]×[1,1].

Resolu¸c˜ao: Resolvido na Te´orica.

Exemplo 3: Determine

Z π

0

Z 2

0

ysinxdydx.

(13)

A proposi¸c˜ao anterior permite generalizar a integra¸c˜ao a qualquer dom´ınio limitado

D ⊂R2.

1. Tipo I - Sejam g1 e g2 duas fun¸c˜oes reais de uma vari´avel real, cont´ınuas num

intervalo [a, b] R, com a < b, e tais que, para cada a x b e g1(x) ≤ g2(x).

Considere ainda a fun¸c˜aof

D={(x, y)R2 :axb, g

1(x)≤y≤g2(x)}.

Ent˜ao

Z Z

D

f(x, y)dxdy =

Z b

a

Z g2(x)

g1(x)

f(x, y)dy

dx.

Fig. 3: Tipo I,a xb, g1(x)≤y≤g2(x). Tipo II, c≤y≤d, h1(y)≤x≤h2(y).

2. Tipo II - Sejam h1 e h2 duas fun¸c˜oes reais de uma vari´avel real, cont´ınuas num

intervalo [c, d] R, com c < d, e tais que, para cada c y d e h1(y) ≤ h2(y).

Considere ainda a fun¸c˜aof

D={(x, y)R2 :cyd, h1(y)≤x≤h2(y)}.

Ent˜ao

Z Z

D

f(x, y)dxdy =

Z d

c

Z h2(y)

h1(y)

f(x, y)dx

dy.

Exemplo 4: Pretende-se determinar a regi˜ao D limitada pela recta x+y = 2 e pelos eixos coordenados, no primeiro quadrante.

A regi˜ao D={(x, y)R2 : 0y2, 0x2y} ou

D={(x, y)R2 : 0x2, 0y2x}.

1 2

1 2

0

(14)

Exemplo 5: Pretende-se determinar

Z Z

R

f(x, y)dA como integral iterado ou repetido,

onde R ´e a regi˜ao limitada pelos gr´aficos da fun¸c˜ao x=y2 e da fun¸c˜ao x= 2y.

Fig. 4: Regi˜ao tipo I Fig. 5: Regi˜ao tipo II

Regi˜ao tipo I

Z Z

R

f(x, y)dA=

Z Z

R1

f(x, y)dA+

Z Z

R2

f(x, y)dA=

Z 1

0

Z √x

−√x

f(x, y)dydx+

Z 4

1

Z 2−x

−√x

f(x, y)dydx.

Regi˜ao tipo II

Z Z

R

f(x, y)dA=

Z 1

−2

Z 2−y

y2

f(x, y)dxdy.

Corol´ario 1: Considere duas fun¸c˜oes integr´aveis sobre o rectˆanguloRe seja kuma cons-tante. Ent˜ao f+g e kf s˜ao integr´aveis, e:

(i) Linearidade

Z Z

R

f(x, y) +g(x, y)

dA=

Z Z

R

f(x, y)dA+

Z Z R g(x, y)dA. (ii) Homogeneidade Z Z R

kf(x, y)dA =k

Z Z

R

f(x, y)dA

(iii) Monotonicidade

Sef(x, y)g(x, y), ent˜ao

Z Z

R

f(x, y)dA

Z Z

R

(15)

(iv) Aditividade

Se Ri, (com i = 1, . . . , m) grupos de rectˆangulos disjuntos tal que f ´e limitado e

integr´avel sobre cada Ri e se Q = R1∪ R2∪. . .∪ Rm for um rectˆangulo, ent˜ao

f :Q →R´e integr´avel sobre Qe

Z Z

Q

f(x, y)dA=

m

X

i=1

Z Z

Ri

f(x, y)dA.

(v) M´odulo

Z Z R

f(x, y)dA

≤ Z Z R|

f(x, y)|dA.

2.2

Integrais duplos e ´

Areas

A ´area de uma regi˜ao plana fechada e limitada R´e dada por

AreaR =

Z Z

R

dxdy.

Exemplo 6: Determine a ´area da regi˜ao R limitada pela par´abola y = x2 e pela recta

y=x+ 2.

Exemplo 7: Determine a ´area do c´ırculo de raio r= 2.

Exemplo 8: Encontre o volume do tetraedro limitado pelos planos 2x+y+z = 2 e os trˆes planos coordenados.

2.3

Integrais duplos e Volumes

Suponha-se que um plano intersecta um s´olido onde forma uma sec¸c˜ao de ´area no plano de referˆencia Px. Ent˜ao o volume do s´olido ´e dado por

volume = Z b a A(x)dx= Z b a Z d c

f(x, y)dy

dx, com A(x) =

Z d

c

f(x, y)dy,

onde a e b s˜ao as distˆancias m´ınima e m´axima do plano de referˆencia.

Exemplo 9: Determine o volume sob o plano z = 8x+ 6y sobre a regi˜ao R = {(x, y) : 0x1, 0y2x2}.

1 2

1 2

0

(16)

Resolu¸c˜ao: A regi˜ao R ´e representada na figura. Usando a tira vertical, fica: V =

Z Z

R

(8x+ 6y)dA=

Z 1

0

Z 2x2

0

(8x+y)dy

dx=

Z 1

0

Z 2x2

0

8xy+ 3y2

y=2x2 y=0 dx = Z 1 0

(16x3+ 12x4)dx= (4x4+12 5 x 5) 1 0

= 4 +12 5 =

32 5.

Pode-se usar atira horizontal para determinar o mesmo volume. Agora temos uma nova figura:

1 1

2

0

x=py/2

V =

Z Z

R

(8x+ 6y)dA =

Z 2

0

Z 1

y/2

(8x+y)dx

dy =

Z 2

0

4x2+ 6xy

1 √ y/2 dy = Z 2 0

4 + 6y(2y+ √6

2y

y)

dy =

Z 2

0

(4 + 4y3√2y3/2) = 4y+ 2y2 6

√ 2 5 y 5/2 2 0

= 8 + 8 6

2√2

5 =

32 5 .

2.4

Integrais duplos: Momentos e centro de massa

Considere-se uma lˆamina fina (de espessura desprez´avel) ocupando uma regi˜aoRdo plano e cujadensidade (massa por unidade de ´area) ´e dada pela fun¸c˜aoρ(x, y), cont´ınua em R. Assim, amassa total m da lˆamina considerada ´e dada por

m=

Z Z

R

ρ(x, y)dA.

Chama-semomentode uma part´ıcula relativamente a um eixo, ao produto da sua massa pela distˆancia da part´ıcula ao eixo. Considerando a lˆamina fina de ´area R do plano de

densidade ρ(x, y), o momento relativamente ao eixo dosxx, Mx ´e dado

Mx=

Z Z

R

yρ(x, y)dA,

e o momento relativamente ao eixo dosyy,My ´e dado

My =

Z Z

R

xρ(x, y)dA.

Ocentro de massada lˆamina de regi˜ao R´e o ponto (¯x,y¯) do plano dessa regi˜ao tal que

¯

x= My

m e ¯y= Mx

m ,

com m a massa totalda lˆamina considerada.

Exemplo 10: Pretende-se determinar o centro de massada regi˜ao limitada pelos gr´aficos y=x2 e y= 4 com a densidade dada por ρ(x, y) = 1 + 2y+ 6x2.

(17)

2.5

Mudan¸

ca de vari´

aveis. Coordenadas polares

2.5.1 Coordenadas polares

SejaOum ponto fixo do plano e considere-se um semi-eixo com origem emO. Diz-se que O ´e o p´olo e que o semi-eixo ´e o eixo polar. Seja P um ponto do plano distinto do p´olo O e considerem-se a distˆancia, r, de P a O e o ˆangulo, θ, orientado no sentido anti-hor´ario e medido em radianos que o eixo polar faz com OP.

P

eixo polar r

O

θ

Sendor =||OP||, comP = 0, tem-se6 r >0. Impondo queπθ πo par (r, θ) assim definido ´e ´unico e representa o ponto P. Diz-se que (r, θ) s˜ao as coordenadas polares de P 6= 0. Todo o par da forma (0, θ), com θ [π, π] ´e uma representa¸c˜ao do p´olo O. Assim, a representa¸c˜ao ´e ´unica para todos os pontos em coordenadas polares. Se um pontoP do plano tem coordenadas cartesianas (x, y) e coordenadas polares (r, θ), ent˜ao

x=rcosθ y=rsinθ

2.5.2 Mudan¸ca de vari´aveis em Integrais duplos. Coordenadas polares

Considere a fun¸c˜ao integr´avel f em coordenadas cartesianas (x, y). Considere ainda a fun¸c˜ao cont´ınua, portanto, integr´avelg em coordenadas polares (r, θ) definida a partir def, ou seja, g(r, θ) = rf(rcosθ, rsinθ).

Assim, considerando que a fun¸c˜ao g ´e diferenci´avel em [a, b]×[α, β], conclui-se que

Z Z

R

f(x, y)dxdy=

Z Z

[a,b]×[α,β]

(18)

=

Z Z

[a,b]×[α,β]

f(rcosθ, rsinθ)·r·drdθ

=

Z b

a

Z β

α

r·f(rcosθ, rsinθ)dθ

dr

=

Z β

α

Z b

a

r·f(rcosθ, rsinθ)dr

Pode-se tamb´em fazer mudan¸ca de coordenadas cartesianas para coordenadas polares no caso da regi˜ao de integra¸c˜ao ser uma regi˜ao polar de Tipo I ou de Tipo II.

Proposi¸c˜ao 2: 1. Tipo I - Sejam R = {(r, θ) :a r b e h1(r) ≤ θ ≤ h2(r)} uma

regi˜ao polar do Tipo IIe f uma fun¸c˜ao cont´ınua em R.

Ent˜ao

Z Z

R

f(x, y)dxdy=

Z b

a

Z h2(r)

h1(r)

rf(rcosθ, rsinθ)dθ

dr.

2. Tipo II - Sejam R ={(r, θ) : α θ β e g1(θ) ≤r ≤ g2(θ)} uma regi˜ao polar

doTipo I e f uma fun¸c˜ao cont´ınua em R.

Ent˜ao

Z Z

R

f(x, y)dxdy =

Z β

α

Z g2(θ)

g1(θ)

rf(rcosθ, rsinθ)dr

(19)

Exemplo 11:

1. Calcular o volume do s´olido S limitado superiormente pela superf´ıcie de equa¸c˜ao z =x2+y2 e inferiormente pela regi˜ao

R={(x, y)R2 : 1x2+y2 4e x0}.

Resolu¸c˜ao: Resolvido na Aula Te´orica.

2. Determine o integral

Z Z

R

ex2+y2dydx

usando a coordenada polar onde R ´e a regi˜ao do semic´ırculo limitada pelo eixo coordenado 0x e a curvay=√1x2.

Resolu¸c˜ao: Resolvido na Aula Te´orica.

3. Use coordenadas polares para determinar a ´area do c´ırculo de raio r= 2.

4. Use coordenadas polares para determinar a ´area do semi-c´ırculo de raio r= 1,no primeiro e segundo quadrante.

Imagem

Fig. 1: A Regi˜ao R e a parti¸c˜ao P , o s´olido S e um dos s´olidos S i .
Fig. 2: Volume sob a superf´ıcie z = f(x, y).
Fig. 3: Tipo I, a ≤ x ≤ b, g 1 (x) ≤ y ≤ g 2 (x). Tipo II, c ≤ y ≤ d, h 1 (y) ≤ x ≤ h 2 (y).
Fig. 4: Regi˜ao tipo I Fig. 5: Regi˜ao tipo II

Referências

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