Universidade de Cabo Verde
Departamento Ciˆencia & Tecnologia
Texto te´orico de An´alise Matem´atica III
Prof. Narciso Resende Gomes
Ano lectivo: 2012/2013
• Aten¸c˜ao: Este texto ´e apenas uma guia que poder´a ajudar o aluno nas aulas te´oricas. Para apoio complementar, o aluno tem a obriga¸c˜ao de consultar outros textos/manuais principalmente a biblio-grafia indicada pelo professor!!
1.1 Geometria anal´ıtica . . . 2
1.1.1 Recta e plano . . . 2
1.1.2 Superf´ıcies de revolu¸c˜ao . . . 4
1.1.3 C´onicas . . . 4
1.1.4 Qu´adricas . . . 7
2 Integrais duplos . . . 9
2.1 Integral iterado . . . 11
2.2 Integrais duplos e ´Areas . . . 14
2.3 Integrais duplos e Volumes . . . 14
2.4 Integrais duplos: Momentos e centro de massa . . . 15
2.5 Mudan¸ca de vari´aveis. Coordenadas polares . . . 16
2.5.1 Coordenadas polares . . . 16 2.5.2 Mudan¸ca de vari´aveis em Integrais duplos. Coordenadas polares . 16
Referˆ
encias
[1] A. Breda e J. Costa,C´alculo com fun¸c˜oes de v´arias vari´aveis. McGraw Hill-Portugal, Lisboa, 1996.
[2] E. Lima, An´alise Real - Vol. 2. Rio de Janeiro, Brasil, 2004.
[3] H. Bertolossi, C´alculo diferencial a v´arias vari´aveis. Edi¸c˜oes Loyola e editora PUC-Rio, S˜ao Paulo, Brasil, 2002.
[4] S. Lang, Calculus of Several Variables. Adison-Wesley, 1973.
[5] T. Apostol, C´alculo (Vol. 2). Editora Revert´e, 1996.
1
Integrais m´
ultiplos
Partindo do pressuposto que o aluno de An´alise Matem´atica III tem como pr´e-requisitointegrais de fun¸c˜oes a uma vari´avel dadas nas cadeiras de An´alise Matem´atica precedentes, pressup˜oe-se que n˜ao haver´a dificuldade em entender a no¸c˜ao de Integrais duplos e Integrais triplos, a ser introduzidos nesta sec¸c˜ao. Entretanto, para isso, ser´a tamb´em importante alguns conceitos degeometria anal´ıtica a ser introduzidos a seguir.
1.1
Geometria anal´ıtica
1.1.1 Recta e plano
Equa¸c˜ao vectorial da recta
Considere um pontoA(x1, y1, z1) e um vector n˜ao nulo~v = (a, b, c). S´o existe uma recta
r que passa por A e tem a direc¸c˜ao de~v. Um ponto P(x, y, z) pertence a recta r se, e somente se, o vector −→AP ´e paralelo a~v, isto ´e,
r
− →v
O
A
P
−→
AP =t~v (1) para algum real t.
De (1), vem
P −A=t~v ⇒ P =A+t~v (2) ou em coordenadas
(x, y, z) = (x1, y1, z1) +t(a, b, c) (3)
Qualquer uma das equa¸c˜oes (1),(2) ou (3) ´e denominada equa¸c˜ao vectorial der. O vector~v ´e chamadovector director da recta r et ´e denominado parˆametro.
A recta r que passa por (1,−1,4) de direc¸c˜ao~v = (2,3,2) tem a seguinte equa¸c˜ao vectorial:
r: (x, y, z) = (1,−1,4) +t(2,3,2)) onde (2,3,2) representa um ponto qualquer na recta.
Equa¸c˜oes param´etricas da recta
Da equa¸c˜ao vectorial da recta (x, y, z) = (x1, y1, z1) +t(a, b, c) ou
(x, y, z) = (x1+at, y1+bt, z1+ct) ent˜ao obt´em-se
x = x1+at
y = y1+bt (4)
As equa¸c˜oes (4) s˜ao chamadas equa¸c˜oes param´etricas da recta.
A recta r que passa por (3,−4,2) paralela ao vector~v = (2,1,−3) tem as seguintes equa¸c˜oes param´etricas:
r :
x = 3 + 2t y = −4 +t z = 2−3t.
Equa¸c˜ao geral do plano
Seja um ponto A(x1, y1, z3) pertencente a um plano γ e ~n = (a, b, c), ~n 6= 0, vector
normal (ortogonal) ao plano (ver Figura).
γ
A
P
− →n
i
Sendo~n⊥γ,~n´e ortogonal a todo vector representado emγ. Ent˜ao, um pontoP(x, y, z) pertence a γ se, e somente se, o vector −→AP ´e ortogonal a~n, isto ´e,
~n·(P −A) = 0 ou (a, b, c)·(x−x1, y−y1, z−z1) = 0 ou
a(x−x1) +b(y−y1) +c(z−z1) = 0
ou ainda,
ax+by+cz−ax1−by1 −cz1 = 0.
Fazendo,
d=−ax1−by1−cz1,
obt´em-se
ax+by+cz+d= 0 (1)
A equa¸c˜ao (1) ´e a equa¸c˜ao geral do plano γ.
Equa¸c˜ao vectorial e param´etrica do plano
Seja A(x1, y1, z1) um ponto pertencente a um planoγ e~u = (a1, b1, c1) e~v = (a2, b2, c2)
dois vectores paralelos a γ, por´em~u e~v n˜ao-paralelos entre si.
− →v
− →u
t · −→v
h · −→u
Para todo o ponto P do plano, os vectores −→AP, ~u e ~v s˜ao coplanares. Um ponto P(x, y, z) pertence a γ se, e somente se, existem os n´umeros reais h et tais que
P −A=h·~u+t·~v ou P =A+h·~u+t·~v
ou em coordenadas,
(x, y, z) = (x0, y0, z0) +h(a1, b1, c1) +t(a2, b2, c2), h, t∈R (2)
Esta equa¸c˜ao ´e denominada equa¸c˜ao vectorial do plano γ. Da equa¸c˜ao (2) obt´em-se,
(x, y, z) = (x0 +a1h+a2t, y0+b1h+b2t, z0+c1h+c2t)
que, pela condi¸c˜ao de igualdade, vem
x = x0+a1h+a2t
y = y0+b1h+b2t
z = z0+c1h+c2t, h, t∈R.
Estas equa¸c˜oes s˜ao chamadasequa¸c˜oes param´etricas deγ eh ets˜ao vari´aveis auxiliares denominadasparˆametros.
Seja o plano ϕ que passa pelo ponto (2,2,−1) paralelo aos vectores ~u = (2,−3,1) e ~v = (−1,5,−3). Pretende-se obter a equa¸c˜ao vectorial, um sistema de equa¸c˜oes param´etricas e equa¸c˜ao geral do plano ϕ.
(a) Equa¸c˜ao vectorial: (x, y, z) = (2,2,−1) +h(2,−3,1) +t(−1,5,−3)
(b) Equa¸c˜oes param´etricas:
x = 2 + 2h−t y = 2−3h+ 5t z = −1 +h−3t
1.1.2 Superf´ıcies de revolu¸c˜ao
Superf´ıcie de revolu¸c˜ao´e a superf´ıcie gerada por uma curva plana (chamadageratriz) que gira 360o em torno de uma recta (chamada eixo) situada no plano da curva. Neste
caso, o tra¸co da superf´ıcie num plano perpendicular ao eixo ´e uma circunferˆencia e a equa¸c˜ao da superf´ıcie de revolu¸c˜ao ´e obtida atrav´es da equa¸c˜ao de geratriz.
Uma esfera x2+y2+z2 =r2 com r∈R+, ´e uma superf´ıcie de revolu¸c˜ao.
1.1.3 C´onicas
Chama-sesec¸c˜ao c´onica ou simplesmentec´onica, ao conjuntos de pontos que formam a intersec¸c˜ao de um plano com a superf´ıcie c´onica.
Quando uma superf´ıcie c´onica ´e seccionada por um planoγ qualquer que n˜ao passa pelo v´ertice O, a c´onica ser´a:
1. uma par´abola, se γ for paralelo a uma geratriz da superf´ıcie.
3. uma hip´erbole, se γ n˜ao for paralelo a uma geratriz e intercecta as duas folhas da superf´ıcie. A hip´erbole deve ser vista como uma s´o curva, constitu´ıda de dois ramos, um em cada folha de superf´ıcie.
Nota 1: Se a intersec¸c˜ao do plano com a superf´ıcie resultar em apenas em um ponto,
uma recta ouduas rectas, ent˜ao as c´onicas s˜aodegeneradas.
Defini¸c˜ao 1:
1. par´abola - ´e o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes de um ponto fixo e de uma recta fixa desse plano.
d(P, F) = d(P, P′)
Equa¸c˜ao reduzida
2. elipse - ´e o conjunto de todos os pontos de um plano cuja soma das distˆancias a dois pontos fixos desse plano ´e constante.
d(P, F1) +d(P, F2) = 2a
F1 F2
P
Equa¸c˜oes reduzidas:
x2
a2 +
y2
b2 = 1 (i)
x2
b2 +
y2
a2 = 1 (ii)
Onde o caso (i) se verifica quando o eixo maior est´a sobre o eixo dexe (ii) quando o eixo maior est´a cobre o eixo dey.
3. hip´erbole - ´e o conjunto de todos os pontos de um plano cuja diferen¸ca das distˆancias em valor absoluto, a dois pontos fixos desse plano ´e constante.
|d(P, F1)−d(P, F2)|= 2a
Equa¸c˜oes reduzidas:
x2
a2 −
y2
b2 = 1 (i)
y2
b2 −
x2
a2 = 1 (ii)
1.1.4 Qu´adricas
A equa¸c˜ao geral do segundo grau nas trˆes vari´aveisx, y e z
ax2 +by2+cz2+ 2dxy+ 2exz+ 2f yz+mx+ny+pz+q= 0 (1)
onde pelo menos um dos coeficientes a, b, c, d, e ou f ´e diferente de zero (a fim de assegurar grau 2 para a equa¸c˜ao) representa uma superf´ıcie qu´adrica, ou simplesmente uma qu´adrica. A seguir estudar-se-´a as superf´ıcies qu´adricas denominadas elips´oides,
hiperbol´oides eparabol´oides. Elips´oides
O elips´oide da maneira mais geral ´e representado pela equa¸c˜ao x2
a2 +
y2
b2 +
z2
c2 = 1
ondea, be crepresentam as medidas dos semi-eixos do elips´oide. S˜ao n´umeros reais positivos.
Se a =b =c, a equa¸c˜ao representa uma superf´ıcie esf´erica de centro (0,0,0) e raio a, isto ´e,
x2+y2+z2 =a2.
Hiperbol´oides
x2
a2 +
y2
b2 −
z2
c2 = 1
chamada forma can´onica do hiperbol´oide de uma folha ao longo do eixo Oz. As outras duas formas s˜ao
x2
a2 −
y2
b2 +
z2
c2 = 1 e −
x2
a2 +
y2
b2 +
z2
c2 = 1,
e representam hiperbol´oide de uma folha ao longo dos eixos Oy e Ox, respectiva-mente.
(ii) Hiperbol´oide de duas folhas - Umhiperbol´oide de duas folhas da maneira mais geral ´e representado pela equa¸c˜ao
−x
2
a2 +
y2
b2 −
z2
c2 = 1,
chamadaforma can´onica do hiperbol´oide de duas folhas ao longo do eixo Oy. As outras duas formas s˜ao
x2
a2 −
y2
b2 −
z2
c2 = 1 e −
x2
a2 −
y2
b2 +
z2
c2 = 1,
e representamhiperbol´oide de duas folhas ao longo dos eixos OxeOz, respectiva-mente.
Parabol´oides
z = x
2
a2 +
y2
b2,
chamada forma can´onica do parabol´oide el´ıptico ao longo do eixo Oz. As outras duas formas s˜ao
y= x2
a2 +z 2
c2 e x=
y2
b2 +z 2
c2,
e representam parabol´oide el´ıptico ao longo dos eixos Oy eOx, respectivamente.
(ii) Parabol´oide hiperb´olico - Umparabol´oide hiperb´olico da maneira mais geral ´e repre-sentado pela equa¸c˜ao
z = x
2
a2 −
y2
b2,
chamadaforma can´onica doparabol´oide hiperb´olicoao longo do eixoOz. As outras duas formas s˜ao
y = zc22 −
x2
a2 e x=
z2
c2 −
y2
b2,
e representamparabol´oide hiperb´olicoao longo dos eixosOyeOx, respectivamente.
2
Integrais duplos
As regi˜oes de integra¸c˜ao v˜ao ser agora subconjuntos deR2. Primeiramente considerar-se-´a regi˜oes de integra¸c˜ao rectangulares e depois considerar-considerar-se-´a regi˜oes mais gerais com fronteiras curvil´ıneas.
Defini¸c˜ao 2: Sejam a, b, c e d n´umeros reais tais que a < b e c < d. Considere o rectˆangulo
R={(x, y)∈R2 :a < x < b, c < y < d}
e as parti¸c˜oes dos intervalos [a, b] e [c, d], definidas respectivamente, por
P1 :a=x0 < x1 < . . . < xn−1 < xn=b e P2 :c=y0 < y1 < . . . < ym−1 < ym =d,
onde n e m s˜ao n´umeros naturais arbitr´arios. Designa-se por Parti¸c˜ao do rectˆangulo R
ao conjunto seguinte
Fig. 1: A Regi˜ao R e a parti¸c˜ao P, o s´olido S e um dos s´olidos Si.
Tal como se definiu anteriormente, a parti¸c˜ao P do rectˆangulo R determina mn sub-rectˆangulos de R:
Rij ={(xi, yj)∈R2 :xi−1 ≤x≤xi, yj−1 ≤y≤yj},
cujas ´areas s˜ao dadas por △xi△yj = (xi −xi−1)(yj −yj−1). A colec¸c˜ao destes
sub-rectˆangulos Rij, de facto, constitui a parti¸c˜aoP.
Defini¸c˜ao 3: Sejaf uma fun¸c˜ao definida num rectˆangulo R ⊂R2. Designa-se porsoma de Riemann da fun¸c˜aof no rectˆangulo R `a express˜ao seguinte:
n,m
X
i=0,j=0
f(x∗ij)△xi△yj ≡ m
X
j=0 n
X
i=0
f(x∗ij)△xi△yj ≡f(x∗00)△x0△y0+· · ·+f(xnm∗ )△xn△ym,
ondex∗
ij representa os pontos seleccionados aleatoriamente nos sub-rectˆangulosRij
res-pectivos.
Para a no¸c˜ao de integral duplo, interessa que as parti¸c˜oes sejam muito finas.
Defini¸c˜ao 4: Sejam f uma fun¸c˜ao definida num rectˆangulo R ⊂R2 e
P ={(xi, yj)∈R : 0≤i≤n, 0≤j ≤m}
uma parti¸c˜ao arbitr´aria de R. Diz-se que a fun¸c˜ao f ´e integr´avel (`a Riemann) no rectˆangulo R, se existir o limite finito seguinte:
lim
|P|→0 m
X
j=0 n
X
i=0
f(x∗ij)△xi△yj. (1)
No caso o limite (1) existir, esse limite designa-se por integral da fun¸c˜ao e denota-se por
Z Z
R
f(x, y)dxdy ou
Z Z
R
f(x, y)dA
2.1
Integral iterado
A proposi¸c˜ao seguinte permitir´a calcular alguns integrais duplos usando integra¸c˜oes simples repetidas, ou seja, usando fun¸c˜oes reais de uma vari´avel real.
Fig. 2: Volume sob a superf´ıciez =f(x, y).
Proposi¸c˜ao 1: (Fubini) Sejaf uma fun¸c˜ao integr´avel num rectˆangulo
R={(x, y)∈R2 :a < x < b, c < y < d}, onde a < bec < d.
Suponha-se que R
f(x, y)dxexiste para qualquer y∈[c, d], e queR
f(x, y)dyexiste para qualquer x∈[a, b]. Ent˜ao
Z Z
R
f(x, y)dxdy =
Z d
c
Z b
a
f(x, y)dx
dy =
Z b
a
Z d
c
f(x, y)dy
dx. (2)
Os dois ´ultimos integrais de (2) designa-se por integrais repetidos ou iterados. Note-se que na aplica¸c˜ao do Teorema Fundamental do C´alculo Integral ao c´alculo do integral entre parˆentesis rectos, se primitiva a fun¸c˜aof em rela¸c˜ao `a vari´avel a´ı referida, fixando a outra como constante.
Nota 2: Em algumas situa¸c˜oes, por muitas raz˜oes, ´e manifestamente imposs´ıvel calcular relativamente a uma das vari´aveis. A mais frequente ´e a impossibilidade de determinar a primitiva da fun¸c˜ao dada em rela¸c˜ao a essa vari´avel. Nestas situa¸c˜oes, calcula-se o integral repetido apenas numa ordem de integra¸c˜ao poss´ıvel.
Exemplo 1: Determine
Z Z
R
e−x−ydxdy sobre o rectˆangulo R= [0,1]×[0,1].
Resolu¸c˜ao: Resolvido na Te´orica.
Exemplo 2: Determine
Z Z
R
x2+y2dxdy sobre o rectˆanguloR = [−1,1]×[−1,1].
Resolu¸c˜ao: Resolvido na Te´orica.
Exemplo 3: Determine
Z π
0
Z 2
0
ysinxdydx.
A proposi¸c˜ao anterior permite generalizar a integra¸c˜ao a qualquer dom´ınio limitado
D ⊂R2.
1. Tipo I - Sejam g1 e g2 duas fun¸c˜oes reais de uma vari´avel real, cont´ınuas num
intervalo [a, b] ⊂ R, com a < b, e tais que, para cada a ≤ x ≤ b e g1(x) ≤ g2(x).
Considere ainda a fun¸c˜aof
D={(x, y)∈R2 :a≤x≤b, g
1(x)≤y≤g2(x)}.
Ent˜ao
Z Z
D
f(x, y)dxdy =
Z b
a
Z g2(x)
g1(x)
f(x, y)dy
dx.
Fig. 3: Tipo I,a ≤x≤b, g1(x)≤y≤g2(x). Tipo II, c≤y≤d, h1(y)≤x≤h2(y).
2. Tipo II - Sejam h1 e h2 duas fun¸c˜oes reais de uma vari´avel real, cont´ınuas num
intervalo [c, d] ⊂R, com c < d, e tais que, para cada c≤ y ≤ d e h1(y) ≤ h2(y).
Considere ainda a fun¸c˜aof
D={(x, y)∈R2 :c≤y≤d, h1(y)≤x≤h2(y)}.
Ent˜ao
Z Z
D
f(x, y)dxdy =
Z d
c
Z h2(y)
h1(y)
f(x, y)dx
dy.
Exemplo 4: Pretende-se determinar a regi˜ao D limitada pela recta x+y = 2 e pelos eixos coordenados, no primeiro quadrante.
A regi˜ao D={(x, y)∈R2 : 0≤y≤2, 0≤x≤2−y} ou
D={(x, y)∈R2 : 0≤x≤2, 0≤y≤2−x}.
1 2
1 2
0
Exemplo 5: Pretende-se determinar
Z Z
R
f(x, y)dA como integral iterado ou repetido,
onde R ´e a regi˜ao limitada pelos gr´aficos da fun¸c˜ao x=y2 e da fun¸c˜ao x= 2−y.
Fig. 4: Regi˜ao tipo I Fig. 5: Regi˜ao tipo II
Regi˜ao tipo I
Z Z
R
f(x, y)dA=
Z Z
R1
f(x, y)dA+
Z Z
R2
f(x, y)dA=
Z 1
0
Z √x
−√x
f(x, y)dydx+
Z 4
1
Z 2−x
−√x
f(x, y)dydx.
Regi˜ao tipo II
Z Z
R
f(x, y)dA=
Z 1
−2
Z 2−y
y2
f(x, y)dxdy.
Corol´ario 1: Considere duas fun¸c˜oes integr´aveis sobre o rectˆanguloRe seja kuma cons-tante. Ent˜ao f+g e kf s˜ao integr´aveis, e:
(i) Linearidade
Z Z
R
f(x, y) +g(x, y)
dA=
Z Z
R
f(x, y)dA+
Z Z R g(x, y)dA. (ii) Homogeneidade Z Z R
kf(x, y)dA =k
Z Z
R
f(x, y)dA
(iii) Monotonicidade
Sef(x, y)≥g(x, y), ent˜ao
Z Z
R
f(x, y)dA≥
Z Z
R
(iv) Aditividade
Se Ri, (com i = 1, . . . , m) grupos de rectˆangulos disjuntos tal que f ´e limitado e
integr´avel sobre cada Ri e se Q = R1∪ R2∪. . .∪ Rm for um rectˆangulo, ent˜ao
f :Q →R´e integr´avel sobre Qe
Z Z
Q
f(x, y)dA=
m
X
i=1
Z Z
Ri
f(x, y)dA.
(v) M´odulo
Z Z R
f(x, y)dA
≤ Z Z R|
f(x, y)|dA.
2.2
Integrais duplos e ´
Areas
A ´area de uma regi˜ao plana fechada e limitada R´e dada por
AreaR =
Z Z
R
dxdy.
Exemplo 6: Determine a ´area da regi˜ao R limitada pela par´abola y = x2 e pela recta
y=x+ 2.
Exemplo 7: Determine a ´area do c´ırculo de raio r= 2.
Exemplo 8: Encontre o volume do tetraedro limitado pelos planos 2x+y+z = 2 e os trˆes planos coordenados.
2.3
Integrais duplos e Volumes
Suponha-se que um plano intersecta um s´olido onde forma uma sec¸c˜ao de ´area no plano de referˆencia Px. Ent˜ao o volume do s´olido ´e dado por
volume = Z b a A(x)dx= Z b a Z d c
f(x, y)dy
dx, com A(x) =
Z d
c
f(x, y)dy,
onde a e b s˜ao as distˆancias m´ınima e m´axima do plano de referˆencia.
Exemplo 9: Determine o volume sob o plano z = 8x+ 6y sobre a regi˜ao R = {(x, y) : 0≤x≤1, 0≤y≤2x2}.
1 2
1 2
0
Resolu¸c˜ao: A regi˜ao R ´e representada na figura. Usando a tira vertical, fica: V =
Z Z
R
(8x+ 6y)dA=
Z 1
0
Z 2x2
0
(8x+y)dy
dx=
Z 1
0
Z 2x2
0
8xy+ 3y2
y=2x2 y=0 dx = Z 1 0
(16x3+ 12x4)dx= (4x4+12 5 x 5) 1 0
= 4 +12 5 =
32 5.
Pode-se usar atira horizontal para determinar o mesmo volume. Agora temos uma nova figura:
1 1
2
0
x=py/2
V =
Z Z
R
(8x+ 6y)dA =
Z 2
0
Z 1
√
y/2
(8x+y)dx
dy =
Z 2
0
4x2+ 6xy
1 √ y/2 dy = Z 2 0
4 + 6y−(2y+ √6
2y
√y)
dy =
Z 2
0
(4 + 4y−3√2y3/2) = 4y+ 2y2− 6
√ 2 5 y 5/2 2 0
= 8 + 8− 6
√
2√2
5 =
32 5 .
2.4
Integrais duplos: Momentos e centro de massa
Considere-se uma lˆamina fina (de espessura desprez´avel) ocupando uma regi˜aoRdo plano e cujadensidade (massa por unidade de ´area) ´e dada pela fun¸c˜aoρ(x, y), cont´ınua em R. Assim, amassa total m da lˆamina considerada ´e dada por
m=
Z Z
R
ρ(x, y)dA.
Chama-semomentode uma part´ıcula relativamente a um eixo, ao produto da sua massa pela distˆancia da part´ıcula ao eixo. Considerando a lˆamina fina de ´area R do plano de
densidade ρ(x, y), o momento relativamente ao eixo dosxx, Mx ´e dado
Mx=
Z Z
R
yρ(x, y)dA,
e o momento relativamente ao eixo dosyy,My ´e dado
My =
Z Z
R
xρ(x, y)dA.
Ocentro de massada lˆamina de regi˜ao R´e o ponto (¯x,y¯) do plano dessa regi˜ao tal que
¯
x= My
m e ¯y= Mx
m ,
com m a massa totalda lˆamina considerada.
Exemplo 10: Pretende-se determinar o centro de massada regi˜ao limitada pelos gr´aficos y=x2 e y= 4 com a densidade dada por ρ(x, y) = 1 + 2y+ 6x2.
2.5
Mudan¸
ca de vari´
aveis. Coordenadas polares
2.5.1 Coordenadas polares
SejaOum ponto fixo do plano e considere-se um semi-eixo com origem emO. Diz-se que O ´e o p´olo e que o semi-eixo ´e o eixo polar. Seja P um ponto do plano distinto do p´olo O e considerem-se a distˆancia, r, de P a O e o ˆangulo, θ, orientado no sentido anti-hor´ario e medido em radianos que o eixo polar faz com OP.
P
eixo polar r
O
θ
Sendor =||OP||, comP = 0, tem-se6 r >0. Impondo que−π≤θ ≤πo par (r, θ) assim definido ´e ´unico e representa o ponto P. Diz-se que (r, θ) s˜ao as coordenadas polares de P 6= 0. Todo o par da forma (0, θ), com θ ∈ [−π, π] ´e uma representa¸c˜ao do p´olo O. Assim, a representa¸c˜ao ´e ´unica para todos os pontos em coordenadas polares. Se um pontoP do plano tem coordenadas cartesianas (x, y) e coordenadas polares (r, θ), ent˜ao
x=rcosθ y=rsinθ
2.5.2 Mudan¸ca de vari´aveis em Integrais duplos. Coordenadas polares
Considere a fun¸c˜ao integr´avel f em coordenadas cartesianas (x, y). Considere ainda a fun¸c˜ao cont´ınua, portanto, integr´avelg em coordenadas polares (r, θ) definida a partir def, ou seja, g(r, θ) = rf(rcosθ, rsinθ).
Assim, considerando que a fun¸c˜ao g ´e diferenci´avel em [a, b]×[α, β], conclui-se que
Z Z
R
f(x, y)dxdy=
Z Z
[a,b]×[α,β]
=
Z Z
[a,b]×[α,β]
f(rcosθ, rsinθ)·r·drdθ
=
Z b
a
Z β
α
r·f(rcosθ, rsinθ)dθ
dr
=
Z β
α
Z b
a
r·f(rcosθ, rsinθ)dr
dθ
Pode-se tamb´em fazer mudan¸ca de coordenadas cartesianas para coordenadas polares no caso da regi˜ao de integra¸c˜ao ser uma regi˜ao polar de Tipo I ou de Tipo II.
Proposi¸c˜ao 2: 1. Tipo I - Sejam R = {(r, θ) :a ≤ r ≤ b e h1(r) ≤ θ ≤ h2(r)} uma
regi˜ao polar do Tipo IIe f uma fun¸c˜ao cont´ınua em R.
Ent˜ao
Z Z
R
f(x, y)dxdy=
Z b
a
Z h2(r)
h1(r)
rf(rcosθ, rsinθ)dθ
dr.
2. Tipo II - Sejam R ={(r, θ) : α ≤ θ ≤ β e g1(θ) ≤r ≤ g2(θ)} uma regi˜ao polar
doTipo I e f uma fun¸c˜ao cont´ınua em R.
Ent˜ao
Z Z
R
f(x, y)dxdy =
Z β
α
Z g2(θ)
g1(θ)
rf(rcosθ, rsinθ)dr
Exemplo 11:
1. Calcular o volume do s´olido S limitado superiormente pela superf´ıcie de equa¸c˜ao z =x2+y2 e inferiormente pela regi˜ao
R={(x, y)∈R2 : 1≤x2+y2 ≤4e x≥0}.
Resolu¸c˜ao: Resolvido na Aula Te´orica.
2. Determine o integral
Z Z
R
ex2+y2dydx
usando a coordenada polar onde R ´e a regi˜ao do semic´ırculo limitada pelo eixo coordenado 0x e a curvay=√1−x2.
Resolu¸c˜ao: Resolvido na Aula Te´orica.
3. Use coordenadas polares para determinar a ´area do c´ırculo de raio r= 2.
4. Use coordenadas polares para determinar a ´area do semi-c´ırculo de raio r= 1,no primeiro e segundo quadrante.
