Filtro morfológico aplicado à estimação fasorial baseada em mínimos quadrados

Filtro morfológico aplicado à estimação fasorial

baseada em mínimos quadrados

Hugo M.T.C. Gome

_{, Luiz H.S. Silva}

_{, Alfeu J. S. Filho}

_{, Jose A.T. Altuna}

_{, and Fabiano F. Costa}

_,

_{Universidade Federal da Bahia, hugo.cotrim@ufba.br, luizhss@ufba.br,fabiano.costa@ufba.br}

†

_{Universidade Federal do ABC, alfeu.sguarezi@ufabc.edu.br, jose.torrico@ufabc.edu.br}

Resumo—Neste trabalho, propõe-se uma nova técnica de estimação fasorial baseada em uma combinação do método dos mínimos quadrados com um filtro morfológico. A estimação da amplitude e fase, referentes ao fasor, é executada pelos mínimos quadrados que atua em uma curta janela do sinal sob análise. O filtro morfológico, então, é aplicado para suavizar e acelerar a convergência da estimativa. A técnica é adequada para sistemas de controle nos quais o desempenho seja fortemente dependente da velocidade e confiabilidade da estimativa fasorial de sinais senoidais. O método proposto é aqui testado em sinais sintéticos e experimentais.

Palavras-chaves—Estimação fasorial, Geração Distribuída, Mí-nimos Quadrados, Morfologia Matemática

I. INTRODUÇÃO

Nos últimos anos, tópicos de pesquisa relacionados à fontes de energia renováveis, como a eólica e a fotovoltaica, vêm tendo crescente relevância [1]–[3]. Mesmo com a redução in-ternacional do preço do petróleo, é provável que esta tendência de crescimento seja mantida e até fortalecida. Por sua vez, a presença progressiva de fontes na rede impulsiona estudos sobre a coordenação e gerenciamento de fontes alternativas conectadas à rede de distribuição [4]. Neste contexto, técnicas para estimação fasorial fornecem uma informação fundamental aos operadores e sistemas de controle da rede elétrica [5].

Algoritmos para estimação fasorial são utilizados em inú-meros esquemas de controle e de monitoramento em sistemas elétricos de potência. O desempenho de tais sistemas depen-dem fortemente da rapidez e confiabilidade da estimativa de amplitudes e fases de tensões e correntes. Entre tais sistemas, podem-se destacar sistemas de controle de filtros ativos de potência [6], de restauradores dinâmicos de tensão [7], acio-namentos [8] ou sistemas de retificação [9]. No que se refere a qualidade energia, um amplo interesse está na obtenção dos fasores sincronizados de diferentes pontos do sistema para a determinação do estado da rede e do fluxo de potência. Aqui, os dados fasoriais são reportados de 30 (ou mais) vezes por segundo [10]. Ou seja, a estimativa deve ser realizada, pelo menos a cada dois ciclos da freqüência da rede.

Várias são os algoritmos propostos na literatura para esti-mação fasorial. Boa parte deles, são baseados na transformada discreta de Fourier de um ciclo [11], ou em sua versão mais rápida, porém menos robusta, de meio ciclo [12]. Outra abordagem popular é a aplicação da transformada wavelet para

The authors would like to thank the Brazilian Research Council CNPq and FAPESP for the support through project numbers 447674/2014-5 and 201305100-3

aprimorar a estimação fasorial [13], [14], geralmente realizada por um método de mínimos quadrados.

Na estimativa realizada por mínimos quadrados, a veloci-dade da resposta pode ser obtida, por exemplo, pela utilização de janelas temporais menores do sinal sob análise. No entanto, esta abordagem leva a impulsos ou picos elevados para a estimativa antes da convergência. Esses picos podem ser proibitivos para diversos sistemas de controle. Uma alternativa para mitigá-los seria a utilização de filtros lineares. No entanto, isso acarretaria atrasos excessivos. Esse trabalho propõe a apli-cação de um filtro morfológico a ser aplicado na estimativa dos mínimos quadrados. O filtro foi originalmente proposto para remoção de interferências impulsivas de sinais enviados por meio de redes sem fio [15]. Observou-se que estes impulsos são semelhantes aos picos obtidos com os mínimos quadra-dos aplicaquadra-dos em janelas curtas. Essa observação inspirou o método proposto.

Este artigo está organizado conforme as seguintes seções. Na segunda seção, descreve-se brevemente a teoria básica sobre o algoritmo de mínimos quadrados. Na terceira seção, fundamenta-se os princípios sobre a morfologia matemática bem como o filtro morfológico específico empregado neste trabalho. Na quarta seção, descreve-se como se realiza a junção do algoritmo de mínimos quadrados e do filtro morfológico. Na quinta seção, apresentam-se os resultados. Na última seção, as conclusões sobre o trabalho são delineadas.

II. ALGORITMO DE MÍNIMOS QUADRADOS EM BATELADA

O algoritmo de mínimos quadrados é uma técnica de estima-ção paramétrica utilizada para resolver o seguinte problema: deseja-se ajustar uma função modelo yb a um conjunto de

N amostras de uma grandeza y qualquer. O ajuste deve minimizar a soma dos erros quadráticos das diferenças entre os valores das amostras e da função modelo. Se o ajuste resultar da estimação de parâmetros nos quais a função depende linearmente, o algoritmo de mínimos quadrados é dito linear. Suponha que um sinaly[n],n= 1,2,· · ·, N, é modelado por:

b

y[n] =ϕ1[n]α1+ϕ2[n]α2+...+ϕp[n]αp, (1)

em que as funções ϕ1, ϕ2,· · ·, ϕn são os regressores do

modelo dependente de p parâmetros: α1, α2,· · ·, αp. Para

a compactação das equações, é conveniente expressar os regressores e os parâmetros por:

ϕn= [ϕ1[n]ϕ2[n] · · · ϕp[n]] T

αn= [α1α2 · · · αp]T. (3)

Como foi mencionado acima, no método de mínimos quadra-dos os parâmetros são estimaquadra-dos de forma a minimizarem o erro quadráticov fornecido por:

v[n] =

n

X

i=n₋m+1

(yb[i]−y[i])2. (4)

Pode-se observar que este erro se refere a mamostras, cuja a última é a amostran. A solução deste problema é muito bem conhecida e é fornecida por [16]:

b αn=

MTM−

1

MTy, (5)

em queyé o vetor cujo os elementos são as amostras do sinal

y e a matriz dos regressoresMé fornecida por:

M=



  

ϕ1[n−m+ 1] ϕ2[n−m+ 1] · · · ϕp[n−m+ 1]

ϕ1[2] ϕ2(2) · · · ϕp[2]

..

. . .. ...

ϕ1[n] ϕ2[n] · · · ϕp[n]

    . (6)

O produto MTM−

1

MT se chama pseudoinversa. A esti-mação fornecida na equação (5) é dita solução em batelada, ou solução em lote. Ela utiliza de uma única vez todas as amostras do sinal analisado. Observa-se que a matrizMpossui

m linhas.

A. Aplicação do método de mínimos quadrados para estima-ção fasorial

Os sinais de tensão ou corrente da rede elétrica podem ser modelados por:

b

vg(n∆t) =vbg[n] =

p

X

m

(VGmcos(mω0n∆t+θm) (7)

em queVGm eαmsão respectivamente a amplitude e fase da

senóide de freqüenciamω0.∆té o período de amostragem. A

primeira senóide está relacionada com o fasor da fundamental. O modelo descrito pela equação (7) não está adequado para ser utilizado pelo método de mínimos quadrados. Os parâmetros

θmnão são lineares em relação ao modelobvg. Assim, pode-se

reescrevê-lo como:

b

vg[n] =

p

X

m=1

[Vc

Gmcos(mω0n∆t)−VGms sin(mω0n∆t)],

(8) em que Vc

GM eVGMs são relacionados ao modelo (7) por:

VGM =

q

(Vc

Gm)2+ (VGms )2 (9)

θm = −arctan

Vs

Gm

Vc

Gm

. (10)

A equação (8) pode ser compactamente escrita por:

b

vg[n] =ϕTnαn, (11)

em que φn é um vetor de regressores, fornecido por:

ϕn=

     

cos(ω0n∆t)

sin(ω0n∆t)

· · · cos(pω0n∆t)

sin(pω0n∆t)

    

, (12)

eαé o vetor de parâmetros a serem determinados e expressos por:

α= [V1c V1s · · · Vpc Vps]T. (13)

A matrizM pode ser expressa por:

M=     

ϕTn−m+1 ϕTn₋m

.. . ϕTn

   

. (14)

III. MORFOLOGIAMATEMÁTICA

A morfologia matemática é uma teoria que foi desenvolvida primeiramente para extração de características geométricas de imagens digitais. Sua aplicação em processamento de sinais remonta dos anos 1980 [17]. As duas operações mais básicas da morfologia matemática são a dilatação e a erosão. A primeira, denotado por⊕, é definida por:

y[n]⊕g[n] = max

k {y[n+k] +g[k]} (15)

em queyé o sinal a ser processado egé o chamado elemento estruturante (EE). O operadormaxretorna o máximo de um determinado conjunto e D denota o domínio de uma função ou sinal.

Para compreensão dessa operação, considere que o elemento estruturante possui dois elementos g[1] e g[2]. Assim, a dilatação dey porg é fornecida por:

y[n]⊕g[n] = max{y[n+ 1] +g[1], y[n+ 2] +g[2]]}, (16)

Para manter a causalidade da filtragem, pode-se armazenar sua resposta na variávelw[n], de acordo com:

w[n+ 2] =y[n]⊕g[n], (17)

dessa forma, por exemplo, os dois elementos do sinal dilatado,

w[n], são fornecidos por:

w[1] = max{y[0] +g[1], y[1] +g[2]}

w[2] = max{y[1] +g[1], y[2] +g[2]}.

A dilatação, como sugerido pelo nome, tem o efeito de dilatar o sinal processado. Outra operação básica da morfolo-gia matemática, como mencionado anteriormente, é a erosão, denotada por⊖. Assim, novamente considerando um elemento estruturanteg[n], a erosão é expressa por:

y[n]⊖g[n] = min

e da mesma maneira que a dilatação, pode-se armazenar o resultado da erosão em uma variável discreta w[n], analoga-mente à equação 17. A erosão possui o efeito de atrofiar o sinal processado.

Dois outros operadores podem ser derivados da dilatação e erosão. O primeiro é a abertura, denotada por ◦ e definida como:

y[n]◦g[n] = (y[n]⊖g[n])⊕g[n]. (19)

O segundo é o fechamento, •, fornecido por:

y[n]•g[n] = (y[n]⊕g[n])⊖g[n]. (20)

O filtro morfológico aplicado neste trabalho é uma variação da seguinte expressão [18]:

yf[n] = (y[n]◦g[n]•g[n] +y[n]•g[n]◦g[n])/2. (21)

Esse filtro possui a propriedade de rejeitar interferências menores do que o tamanho do EE. A seguir, explica-se a mencionada variação deste filtro:

A. Filtro morfológico aplicado

O desempenho do filtro descrito pela equação (21) está diretamente relacionado com a correlação do sinal processado com o elemento estruturante. Assim, selecionou-se um EE liso, com todos seus elementos iguais a zero, tendo em conta que, a estimativa de amplitude e fase de um fasor são lisas ou estáveis na convergência. O tamanho do EE é fixado para que seja maior do que a base dos picos impulsivos da estimativa. Esse é um procedimento ad-hoc que deve ser executado por meio de simulações preliminares.

Este trabalho utiliza um esquema de janelamento do sinal que permite a execução da equação (21) em tempo real. Esse janelamento é efetuado em uma janela móvel de tamanhoL, em queLé o tamanho do EE. A Fig. 1 ilustra o janelamento de um sinaly[n]em um sinal janeladoyj[n]. Deve-se observar

que o sistema janelamento recebe como entrada uma amostra do sinal y[n] e responde com uma janela de tamanhoL.

y[n]

Janelamento

y_j[1] y_j[2] y_j[2] y_j[3]

y_j[L-1] y_j[L] y_j[L] y[i]

y_j

Figura 1. Estágio de janelamento.

Média y[n]

y_f[n] y_j[L] = y_f[n]

y_j

Janelamento ye11[n]

Erosão _Dilação

y_d12[n]

y_e11 y_d12

Dilação Erosão

y_d11[n] y_e12[n] Janelamento Janelamento

Janelamento Janelamento

Dilação Erosão

Janelamento Janelamento

Erosão Dilação

y_d11 y_e12\

y_d21[n]

y_d21

yp1[n]

y_e22[n]

y_e22

y_p2[n]

Abertura _Fechamento

Fechamento Abertura

Retroalimentação

min{y_j[k]-g[k]} k=1:L

max{y_j[k]+g[k]} k=1:L

max{y_e11[k]+g[k]} k=1:L

min{y_d12[k]-g[k]} k=1:L

max{y_d11[k]+g[k]}

k=1:L k=1:Lmin{ye12[k]-g[k]}

min{y_d21[k]-g[k]} k=1:L

max{y_e22[k]+g[k]} k=1:L

Figura 2. Esquema do algoritmo.

A Fig. 2 mostra o diagrama de blocos para filtragem morfológica a ser utilizada em conjunto com o algoritmo de mínimos quadrados. Ele reflete a equação (21), exceto pela pelo bloco de retro-alimentação. Esse retroalimentação torna a filtragem mais eficiente na filtragem dos impulsos. Nesta figura, as variáveis em negrito e associadas a um duplo traço são vetores de tamanhoL. As outras variáveis são escalares.

IV. MÉTODO PROPOSTO

Mínimos Quadrados

Filtro Morfológico

Estimativa (Amplitude e Fase)

Estimativas filtradas Sinal de tensão (ou corrente)

Figura 3. Diagrama simplificado do método proposto.

V. RESULTADOS

A. Resultado de simulação

Na Figura 4, mostram-se as estimativas de amplitude para o sinal desenhado em cor preta. O período de amostragem do sinal é de 5×10−5s. Dessa forma, tem-se por volta de 333 amostras por ciclo. As janelas do algoritmo de mínimos quadrados e do filtro morfológicos são iguais correspondendo à 10 amostras do sinal. A estimativa realizada apenas pelo método de mínimos quadrados é mostrada na curva em vermelho. A estimativa efetuado pelo método proposto é representada pela cor azul. Nota-se que devido ao janelamento muito curto, a estimativa de mínimos quadrados apresenta um pico elevado, logo após a mudança de amplitude da senóide. Também, observa-se que devido à aplicação do filtro morfológico proposto a eliminação deste pico é obtida com um mínimo de atraso.

0 0,02 0,04 0,06

0 50 100 150

Tempo (s)

Amplitude

Sinal

Estimativa de amplitude (método proposto) Estimativa de amplitude (mínimos quadrados)

Figura 4. Estimativa de amplitude para sinal senoidal simulado.

B. Resultado experimental

Para testar robustez da técnica aqui proposta, a aplicou-se em um sinal de tensão obtido por meio de um experimento resumido no diagrama mostrado na Figura 5. Para se obter o afundamento de tensão, as chaves K1, inicialmente fechada, é aberta ao mesmo tempo que a chave K2, inicialmente aberta,

é fechada. Dessa forma, o motor de indução consome uma corrente de partida elevada com uma tensão reduzida. O sinal foi adquirido por uma placa de um processador digital de sinais no qual os algoritmos em teste foram embarcados. O período de amostragem do sinal foi de10−5s. As janelas do algoritmo de mínimos quadrados e do filtro morfológico são iguais e correspondem a 1/8do período fundamental.

A Figura 6 mostra, além do sinal gerado experimental-mente, a estimativa realizada exclusivamente pelo método de mínimos quadrados, representada pela curva em vermelho, e a estimativa efetuada pelo método proposto, descrita pela curva em azul. Novamente, percebe-se que a aplicação do filtro morfológico reduz os picos de estimativa do algoritmo de mínimos quadrados sem atrasos significativos.

Figura 5. Montagem experimental.

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

−2 −1 0 1 2

Tempo

Amplitude

Sinal

Estimativa (método proposto) Estimativa (mínimos quadrados)

Figura 6. Estimativa de amplitude para sinal experimental.

VI. CONCLUSÕES

parte dos autores para aplicar ferramentas não lineares no problema da estimativa fasorial e, portanto, espera-se que ainda sejam apresentados resultados mais significativos em trabalhos futuros.

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