Estudo crítico do método de contagem de ciclos de Wang & Brown para a estimativa de vida à fadiga multiaxial
123
0
0
Texto
(2) UNIVERSIDADE DE BRAS´ILIA FACULDADE DE TECNOLOGIA ˆ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECANICA. ´ ESTUDO CR´ITICO DO METODO DE CONTAGEM DE CICLOS DE WANG & BROWN PARA A ESTIMATIVA DE ` FADIGA MULTIAXIAL VIDA A FREDERICO ARANTES DE PAULA. ˜ DE MESTRADO SUBMETIDA AO DEPARTAMENTO DISSERTAC ¸ AO ˆ DE ENGENHARIA MECANICA DA FACULDADE DE TECNOLOGIA DA UNIVERSIDADE DE BRAS´ILIA, COMO PARTE DOS REQUISI´ ˜ TOS NECESSARIOS PARA A OBTENC ¸ AO DO GRAU DE MESTRE ˆ ˆ EM CIENCIAS MECANICAS. APROVADA POR:. Prof. Edgar Nobuo Mamiya, Dr. (ENM-UnB) (Orientador). Prof. F´ abio Comes de Castro, Dr. (ENM-UnB) (Co-orientador). Prof. Jorge Luiz de Almeida Ferreira, Dr. (ENM-UnB) (Examinador Interno). Prof. Antˆ onio Carlos de Oliveira Miranda, Dr. (ENC-UnB) (Examinador Externo). BRAS´ILIA/DF, 15 DE MARC ¸ O DE 2012. ii.
(3)
(4) ´ FICHA CATALOGRAFICA DE PAULA, FREDERICO ARANTES Estudo cr´ıtico do m´etodo de contagem de ciclos de Wang & Brown para a estimativa de vida `a fadiga multiaxial. [Distrito Federal] 2012. xviii, 103p., 297 mm (ENM/FT/UnB, Mestre, Ciˆencias Mecˆanicas, 2012). Disserta¸ca˜o de Mestrado - Universidade de Bras´ılia. Faculdade de Tecnologia. Departamento de Engenharia Mecˆanica. 1. Fadiga Multiaxial. 2. M´etodo de contagem de ciclos. I. ENM/FT/UnB. II. T´ıtulo (s´erie). ˆ ´ REFERENCIA BIBLIOGRAFICA DE PAULA, F.A. (2012). Estudo cr´ıtico do m´etodo de contagem de ciclos de Wang & Brown para a estimativa de vida a` fadiga multiaxial. Disserta¸c˜ao de Mestrado em Ciˆencias Mecˆanicas, Publica¸c˜ao ENM.DM-167A/2012, Departamento de Engenharia Mecˆanica, Universidade de Bras´ılia, Bras´ılia, DF, 103p. ˜ DE DIREITOS CESSAO NOME DO AUTOR: Frederico Arantes de Paula. ˜ DE MESTRADO: Estudo cr´ıtico do m´etodo de contaT´ITULO DA DISSERTAC ¸ AO gem de ciclos de Wang & Brown para a estimativa de vida a` fadiga multiaxial. GRAU / ANO:. Mestre / 2012. ´ concedida `a Universidade de Bras´ılia permiss˜ao para reproduzir c´opias desta disE serta¸ca˜o de mestrado e para emprestar ou vender tais c´opias somente para prop´ositos acadˆemicos e cient´ıficos. O autor reserva outros direitos de publica¸ca˜o e nenhuma parte desta disserta¸c˜ao de mestrado pode ser reproduzida sem a autoriza¸c˜ao por escrito do autor.. Frederico Arantes de Paula SMDB CJ 29 CS 03 LAGO SUL 71.680-290 Bras´ılia - DF - Brasil.. iii.
(5) AGRADECIMENTOS Ao meu orientador Prof. Edgar Nobuo Mamiya pelo incentivo, simpatia, presteza, generosidade e conhecimento sempre demonstrados no aux´ılio `a realiza¸ca˜o das atividades e discuss˜oes necess´arias ao desenvolvimento desta monografia. Ao Prof. F´abio Comes de Castro, meu co-orientador, que sempre se empenhou para que me fossem fornecidas `as condi¸c˜oes indispens´aveis ao preparo deste trabalho. ` minha fam´ılia que me apoiou nos momentos dif´ıceis ao longo deste traA balho. Especialmente a`s minhas tias Emely e Patr´ıcia pela dedica¸ca˜o dada a` organiza¸c˜ao e revis˜ao do texto. ` CAPES pelo apoio financeiro necess´ario ao desenvolvimento deste trabaA lho.. iv.
(6) RESUMO O modelo proposto por Mamiya, Ara´ ujo e Castro para estimativa de vida a` fadiga sob carregamentos multiaxiais apresenta resultados adequados para situa¸co˜es com amplitude de carga constante. Entretanto, a aplica¸c˜ao deste modelo para a previs˜ao de vida sob condi¸c˜oes de carregamento com amplitude vari´avel necessita de um m´etodo de contagem de ciclos. O objetivo deste trabalho foi realizar um estudo cr´ıtico da utiliza¸c˜ao do m´etodo proposto por Wang & Brown para identifica¸c˜ao e contagem de ciclos no contexto da fadiga multiaxial. O trabalho compreendeu (i) a implementa¸c˜ao computacional do m´etodo em linguagem Matlab, (ii) a implementa¸ca˜o computacional, tamb´em em linguagem Matlab, de um algoritmo de simula¸c˜ao do comportamento elastopl´astico para condi¸c˜oes de carregamento multiaxial n˜ao proporcional do tipo tra¸ca˜ocisalhamento, (iii) a simula¸ca˜o num´erica do comportamento elastopl´astico correspondente e (iv) a verifica¸ca˜o da possibilidade de associa¸ca˜o de pares de semiciclos para a forma¸ca˜o de ciclos relacionados aos caminhos de histerese elastopl´asticos, da mesma forma que a observada no caso do m´etodo rainflow no contexto unidimensional. O estudo confirmou que o m´etodo de Wang & Brown ´e consistente com o m´etodo rainflow nas situa¸c˜oes de hist´orias uniaxiais de carga, mostrou que o conjunto de semiciclos pode variar sob efeito de pequenas perturba¸co˜es na hist´oria de carregamento e, finalmente, concluiu que nem sempre este m´etodo ´e capaz de definir os ciclos necess´arios ao c´alculo das amplitudes de tens˜ao cisalhante demandadas pelo modelo.. v.
(7) ABSTRACT The multiaxial model for fatigue life estimation proposed by Mamiya, Ara´ ujo and Castro shows suitable results for constant amplitude loading situations. However, the model’s application to fatigue life prediction under variable amplitude loading requires a cycle counting method. The aim of this work is to analyze the capability of the method proposed by Wang & Brown for cycle identification and counting in the setting of multiaxial fatigue. The work includes (i) the computational implementation of the method in Matlab, (ii) the computational implementation of the algorithm in Matlab to simulate the elastoplastic behavior for multiaxial non-proportional tensileshear loading conditions, (iii) the numerical simulation of the elastoplastic behavior and (iv) the assessment of whether each pair of semicycles (obtained by Wang & Brown method) can be related to an elastoplastic hysteresis path, as observed in the case of the rainflow method under one-dimensional loading. The study confirmed that the Wang & Brown’s method is consistent with the rainflow method in uniaxial loading situations, showed that a set of semicycles can vary under the small perturbations’ effect in the loading history and finally concluded that this method is not always capable to define the needed cycles for computing the shear stress amplitude demanded by the model.. vi.
(8) Sum´ ario. ˜ 1 INTRODUC ¸ AO 1.1 1.2. 1. TRABALHOS RELACIONADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˜ DO TRABALHO . . . . . . . . . . . OBJETIVOS E ORGANIZAC ¸ AO. ˜ 2 DEFINIC ¸ OES E CONCEITOS PRELIMINARES 2.1. 2.2. 1 3 4. FADIGA UNIAXIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. 2.1.1. Descri¸c˜ao do processo de fadiga . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. 2.1.2. Descri¸c˜ao de carregamento c´ıclico . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. 2.1.3. Plasticidade c´ıclica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. 2.1.4. Abordagem baseada em medidas de tens˜ao . . . . . . . . . . . .. 8. 2.1.5. Abordagem baseada em medidas de deforma¸ca˜o . . . . . . . . .. 10. 2.1.6. Amplitude vari´avel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11. FADIGA MULTIAXIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15. ´ 3 O METODO DE CONTAGEM DE CICLOS DE WANG & BROWN 19 ˜ GERAL DO METODO ´ 3.1 DESCRIC ¸ AO . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2. EXEMPLO ILUSTRATIVO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20. 3.3. O ALGORITMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26. ˜ DO COMPORTAMENTO ELAS4 MODELAGEM E SIMULAC ¸ AO ´ TOPLASTICO 31 ´ ˜ 4.1 MODELO ELASTOPLASTICO SOB SOLICITAC ¸ OES DO TIPO ˜ TRAC ¸ AO-CISALHAMENTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 31. 4.1.1. O estado de tens˜ao tra¸ca˜o-cisalhamento . . . . . . . . . . . . . .. 32. 4.1.2. Rela¸c˜ao tens˜ao-deforma¸ca˜o el´astica . . . . . . . . . . . . . . . .. 33. O modelo elastopl´astico com encruamento cinem´atico linear . . ˜ NUMERICA ´ APROXIMAC ¸ AO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34. 4.2.1. Discretiza¸c˜ao temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 40. 4.2.2. Integra¸ca˜o do modelo: mapeamento de retorno . . . . . . . . . .. 41. O Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˜ DO ALGORITMO . EXEMPLOS ILUSTRATIVOS DE APLICAC ¸ AO. 43. 4.1.3 4.2. 4.2.3 4.3. vii. 40. 46.
(9) 4.3.1. Ensaio uniaxial de tra¸c˜ao-compress˜ao . . . . . . . . . . . . . . .. 46. 4.3.2. Ensaio uniaxial de tor¸c˜ao alternada . . . . . . . . . . . . . . . .. 46. 4.3.3. Ensaio biaxial de carregamento n˜ao proporcional . . . . . . . . .. 47. 5 ESTUDO DE CASOS. 49. 5.1. ˜ COM O ALGOCARREGAMENTOS UNIAXIAIS: COMPARAC ¸ AO 49. 5.2. RITMO DE RAINFLOW SIMPLIFICADO . . . . . . . . . . . . . . . ´ ˜ PROPORCIONAIS . . . HISTORIAS DE CARREGAMENTO NAO 5.2.1. Carregamento n˜ao proporcional, harmˆonico e s´ıncrono . . . . . .. 53. 5.2.2. Carregamento trapezoidal I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 57. 5.2.3. Carregamento trapezoidal II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 59. 5.2.4. Carregamento cruciforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 61. 5.2.5. Carregamento n˜ao proporcional, harmˆonico e ass´ıncrono . . . .. 65. 5.2.6. Carregamento retangular por partes . . . . . . . . . . . . . . . .. 68. ˜ ˜ 6 CONCLUSOES E RECOMENDAC ¸ OES 6.1. TRABALHOS FUTUROS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 52. 79 80. ˆ ´ REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS. 81. ˆ APENDICES. 86. A LISTAGEM DO ALGORITMO DE CONTAGEM DE CICLOS DE WANG & BROWN. 87. A.0.1 Rotina WBmain 01 strain.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 87. A.0.2 Subrotina equivStrain.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 91. A.0.3 Subrotina semicycle.m. 91. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ˜ ENTRE TENSAO ˜ E DEFORMAC ˜ SOB ESTADO DE B RELAC ¸ AO ¸ AO ˜ DE TRAC ˜ TENSAO ¸ AO-CISALHAMENTO 95 C. 97. D LISTAGEM DO ALGORITMO DE MAPEAMENTO DE RETORNO101 D.0.4 Rotina plastic step.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101. viii.
(10) Lista de Tabelas. 3.1. Hist´oria da deforma¸ca˜o n˜ao proporcional ap´os transla¸ca˜o no tempo. . .. 21. 5.1. Hist´oria de deforma¸ca˜o contida na norma ASTM E1049. [33]. . . . . .. 49. ix.
(11) Lista de Figuras. 2.1. Processo de fadiga: um componente mecˆanico sob carregamento c´ıclico. Adaptada de Lee et al. [24] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 2.2. Hist´oria de carregamento c´ıclico com amplitude constante. . . . . . . .. 6. 2.3. Ciclo estabilizado de histerese. Adaptada de Stephens et al. [25] . . . .. 8. 2.4. Diagrama t´ıpico de S-N. Adaptada de Stephens et al. [25]. 9. 2.5. Diagrama esquem´atico de deforma¸c˜ao-vida. Adaptada de Stephens et. . . . . . . .. al. [25] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11. 2.6. Hist´oria de carregamento com amplitude vari´avel. . . . . . . . . . . . .. 12. 2.7. (a) Hist´oria de carregamento com amplitude vari´avel e (b) curva de amplitude de tens˜ao versus n´ umeros de ciclos at´e a falha. . . . . . . . .. 2.8. Condi¸co˜es para identificar o ciclo por meio do m´etodo de rainflow simplificado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2.9. 12 13. Exemplo da contagem de rainflow simplificado para uma hist´oria repetida. (a) a hist´oria de carregamento com amplitude vari´avel; (b) a hist´oria ´e reordenada de modo que inicie e termine com o valor m´aximo; (c) o primeiro ciclo EF E ∗ ; (d) o segundo ciclo ABA∗ ; (e) o terceiro ciclo HCH ∗ ; e (f) o quarto ciclo DF D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15. 2.10 Envelope prism´atico circunscreve uma trajet´oria de tens˜ao arbitr´aria no espa¸co desviador. Adaptado de Mamiya et al. [20] . . . . . . . . . . . .. 16. 2.11 Envelopes prism´aticos circunscreve dois tipos de carregamento: (a) proporcional e (b) n˜ao proporcional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7. 17. Hist´oria de carregamento n˜ao proporcional. (a) εx , γxy × t e (b)γxy × εx . 21. (a) εrel oria do primeiro semiciclo (ABB ∗ C) no gr´afico de eq × t e (b) trajet´. γxy × εx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 22. γxy × εx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23. (a) εrel oria do segundo semiciclo (BDD∗ E) no gr´afico de eq × t e (b) trajet´. (a) εrel oria do terceiro semiciclo (DF ) no gr´afico de γxy × εx 23 eq × t e (b) trajet´. (a) εrel oria do quarto semiciclo (F D∗ ) no gr´afico de γxy ×εx . 24 eq ×t e (b) trajet´ (a) εrel oria do quinto semiciclo (EG) no gr´afico de γxy × εx 24 eq × t e (b) trajet´. (a) εrel oria do sexto semiciclo (GH) no gr´afico de γxy × εx . 25 eq × t e (b) trajet´ x.
(12) 3.8 3.9. (a) εrel oria do s´etimo semiciclo (HB ∗ ) no gr´afico de γxy ×εx . 25 eq ×t e (b) trajet´ (a) εrel oria do oitavo semiciclo (CA) no gr´afico de γxy × εx . 26 eq × t e (b) trajet´. 3.10 Fluxograma da rotina principal do algoritmo de Wang & Brown. . . . .. 28. 3.11 Fluxograma da sub-rotina para c´alculo preliminar e endere¸camento de semiciclos e de nova subtrajet´oria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29. 3.12 Fluxograma da sub-rotina para identifica¸c˜ao de semiciclos e de nova subtrajet´oria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30. 4.1. Estado de tens˜ao tra¸ca˜o-cisalhamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 31. 4.2. Dom´ınio el´astico de origem β para um estado de tens˜ao tra¸c˜ao-cisalhamento. 35. 4.3. Curva idealizada descrevendo a tens˜ao σx em fun¸ca˜o da deforma¸c˜ao pl´astica εpx em um ensaio de tra¸ca˜o simples. . . . . . . . . . . . . . . .. 4.4. Fluxograma do mapeamento de retorno para carregamento do tipo tra¸ca˜ocisalhamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4.5. 46. Ensaio uniaxial de cisalhamento puro. (a) Hist´oria de carregamento e (b) resposta da simula¸ca˜o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4.7. 45. Ensaio uniaxial de tra¸ca˜o-compress˜ao. (a) Hist´oria de carregamento e (b) resposta da simula¸ca˜o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4.6. 38. 47. Hist´oria de deforma¸c˜oes: (a) deforma¸c˜ao cisalhante em fun¸ca˜o da deforma¸ca˜o normal. Respostas da simula¸ca˜o: (b) tens˜ao cisalhante em fun¸ca˜o da tens˜ao normal; (c) tens˜ao cisalhante em fun¸c˜ao da deforma¸c˜ao cisalhante e (d) tens˜ao normal em fun¸ca˜o da deforma¸c˜ao normal. . . . .. 5.1. (a) Ilustra¸c˜ao da hist´oria da deforma¸ca˜o original e (b) la¸cos de histerese obtidos por meio da simula¸ca˜o elastopl´astica. . . . . . . . . . . . . . . .. 5.2. 48. 50. Compara¸c˜ao entre os m´etodos de Wang & Brown e de rainflow simplificado. Representa¸c˜ao do primeiro semiciclo (ABB ∗ D); do terceiro semiciclo (DEE ∗ I); e do ciclo (ADI). (a) hist´oria de deforma¸ca˜o e (b) la¸cos de histerese elastopl´astico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5.3. 51. Compara¸c˜ao entre os m´etodos de Wang & Brown e de rainflow simplificado. Representa¸c˜ao do segundo semiciclo (BC); do quarto semiciclo (CB ∗ ); e do segundo ciclo (BCB ∗ ). (a) hist´oria de deforma¸c˜ao e (b) la¸cos de histerese elastopl´astico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5.4. 51. Compara¸c˜ao entre os m´etodos de Wang & Brown e de rainflow simplificado. Representa¸ca˜o do quinto semiciclo (EF F ∗ H); do s´etimo semiciclo (HE ∗ ); e do terceiro ciclo(EHE ∗ ). (a) hist´oria de deforma¸c˜ao e (b) la¸cos de histerese elastopl´astico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. xi. 52.
(13) 5.5. Compara¸c˜ao entre os m´etodos de Wang & Brown e de rainflow simplificado. Representa¸c˜ao do sexto semiciclo (F G); do oitavo semiciclo (GF ∗ ); e do quarto ciclo (F GF ∗ ). (a) hist´oria de deforma¸ca˜o e (b) la¸cos de histerese elastopl´astico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5.6. 52. (a) Carregamento n˜ao proporcional harmˆonico e s´ıncrono; (b) carregamento trapezoidal I; (c) carregamento trapezoidal II; (d) carregamento cruciforme; (e) carregamento n˜ao proporcional harmˆonico e ass´ıncrono e (f) carregamento retangular por partes. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 53. 5.7. Hist´oria de deforma¸co˜es γxy e εx descrita pelas Eq. (5.1) e (5.2) . . . .. 54. 5.8. Respostas elastopl´asticas: (a) tens˜ao normal em fun¸ca˜o da deforma¸c˜ao normal; (b) tens˜ao cisalhante em fun¸c˜ao da deforma¸c˜ao cisalhante; e (c) resposta mecˆanica ao carregamento, em termos de tens˜oes. . . . . . . .. 5.9. 54. Amplitude de tens˜ao em fun¸c˜ao da amplitude da deforma¸c˜ao: curva de Ramberg-Osgood (experimental) e curva aproximada. . . . . . . . . . .. 55. 5.10 Representa¸ca˜o do primeiro semiciclo AB e do segundo BA nas curvas: (a) deforma¸ca˜o cisalhante em fun¸c˜ao da deforma¸c˜ao normal; (b) tens˜ao normal em fun¸c˜ao da deforma¸c˜ao normal; e (c) tens˜ao cisalhante em fun¸ca˜o da deforma¸c˜ao cisalhante; e (d) tens˜ao cisalhante em fun¸ca˜o da tens˜ao normal.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 56. 5.11 Ciclo de histerese descrito em termos da deforma¸ca˜o e tens˜ao equivarel lentes de Mises εrel eq e σeq . O primeiro AB e o segundo BA semiciclos. fecham em um ciclo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 56. 5.12 Hist´oria de deforma¸co˜es em: (a) γxy , εx × t e (b) γxy × εx . . . . . . . . .. 57. 5.13 Respostas elastopl´asticas: (a) tens˜ao normal em fun¸c˜ao da deforma¸ca˜o. normal; (b) tens˜ao cisalhante em fun¸c˜ao da deforma¸c˜ao cisalhante; e (c) resposta mecˆanica ao carregamento, em termos de tens˜oes. . . . . . . .. 57. 5.14 Representa¸ca˜o do primeiro semiciclo AB e do segundo BA nas curvas: (a) deforma¸ca˜o cisalhante em fun¸ca˜o da deforma¸c˜ao normal; (b) tens˜ao normal em fun¸c˜ao da deforma¸ca˜o normal; (c) tens˜ao cisalhante em fun¸ca˜o da deforma¸c˜ao cisalhante; e (d) tens˜ao cisalhante em fun¸ca˜o da tens˜ao normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 58. 5.15 Ciclo de histerese descrito em termos da deforma¸ca˜o e tens˜ao equivarel lentes de Mises εrel eq e σeq . O primeiro semiciclo AB e o segundo BA. formam um ciclo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 59. 5.16 Hist´oria de deforma¸co˜es em: (a) γxy , εx × t e (b) γxy × εx . . . . . . . . .. 59. xii.
(14) 5.17 Respostas elastopl´asticas: (a) tens˜ao normal em fun¸c˜ao da deforma¸ca˜o normal; (b) tens˜ao cisalhante em fun¸c˜ao da deforma¸c˜ao cisalhante; e (c) resposta mecˆanica ao carregamento, em termos de tens˜oes. . . . . . . .. 60. 5.18 Representa¸ca˜o do primeiro semiciclo AB e do segundo BA nas curvas: (a) deforma¸ca˜o cisalhante em fun¸ca˜o da deforma¸c˜ao normal; (b) tens˜ao normal em fun¸c˜ao da deforma¸ca˜o normal; (c) tens˜ao cisalhante em fun¸ca˜o da deforma¸c˜ao cisalhante; e (d) tens˜ao cisalhante em fun¸ca˜o da tens˜ao normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 61. 5.19 Ciclo de histerese descrito em termos da deforma¸ca˜o e tens˜ao equivarel lentes de Mises εrel eq e σeq . O primeiro semiciclo AB e o segundo BA. formam um ciclo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 61. 5.20 Hist´oria de deforma¸co˜es em: (a) γxy , εx × t e (b) γxy × εx . . . . . . . . .. 62. 5.21 Respostas elastopl´asticas: (a) tens˜ao normal em fun¸c˜ao da deforma¸ca˜o. normal; (b) tens˜ao cisalhante em fun¸c˜ao da deforma¸c˜ao cisalhante; e (c) resposta mecˆanica ao carregamento, em termos de tens˜oes. . . . . . . .. 62. 5.22 Representa¸ca˜o do primeiro semiciclo AB e do segundo BCC ∗ A nas curvas: (a) deforma¸ca˜o cisalhante em fun¸ca˜o da deforma¸c˜ao normal; (b) tens˜ao normal em fun¸c˜ao da deforma¸ca˜o normal; (c) tens˜ao cisalhante em fun¸ca˜o da deforma¸c˜ao cisalhante; e (d) tens˜ao cisalhante em fun¸ca˜o da tens˜ao normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 63. ∗. 5.23 Representa¸ca˜o do terceiro semiciclo CD e do quarto DC nas curvas: (a) deforma¸ca˜o cisalhante em fun¸ca˜o da deforma¸ca˜o normal; (b) tens˜ao normal em fun¸c˜ao da deforma¸c˜ao normal; (c) tens˜ao cisalhante em fun¸c˜ao da deforma¸c˜ao cisalhante; e (d) tens˜ao cisalhante em fun¸c˜ao da tens˜ao normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 64. 5.24 Ciclo de histerese descrito em termos da deforma¸c˜ao e tens˜ao equivalenrel tes de Mises εrel eq e σeq . (a) o primeiro semiciclo AB e o segundo BA. formam-se em um ciclo e (b) o terceiro CD e o quarto DC ∗ semiciclos n˜ao se fecham em um ciclo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 65. 5.25 Hist´oria de deforma¸co˜es em: (a) γxy , εx × t e (b) γxy × εx . . . . . . . . .. 65. 5.26 Respostas elastopl´asticas: (a) tens˜ao normal em fun¸c˜ao da deforma¸ca˜o. normal; (b) tens˜ao cisalhante em fun¸c˜ao da deforma¸c˜ao cisalhante; e (c) resposta mecˆanica ao carregamento, em termos de tens˜oes. . . . . . . .. xiii. 66.
(15) 5.27 Representa¸ca˜o do terceiro semiciclo AB e do quarto BCC ∗ A nas curvas: (a) deforma¸ca˜o cisalhante em fun¸ca˜o da deforma¸c˜ao normal; (b) tens˜ao normal em fun¸c˜ao da deforma¸ca˜o normal; (c) tens˜ao cisalhante em fun¸ca˜o da deforma¸c˜ao cisalhante; e (d) tens˜ao cisalhante em fun¸ca˜o da tens˜ao normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 67. 5.28 Representa¸ca˜o do terceiro semiciclo CD e do quarto DC ∗ nas curvas: (a) deforma¸ca˜o cisalhante em fun¸ca˜o da deforma¸ca˜o normal; (b) tens˜ao normal em fun¸c˜ao da deforma¸c˜ao normal; (c) tens˜ao cisalhante em fun¸c˜ao da deforma¸c˜ao cisalhante; e (d) tens˜ao cisalhante em fun¸c˜ao da tens˜ao normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 68. 5.29 Ciclo de histerese descrito em termos da deforma¸c˜ao e tens˜ao equivalenrel tes de Mises εrel eq e σeq . (a) o primeiro semiciclo AB e o segundo BA. formam-se em um ciclo e (b) O terceiro CD e o quarto DC ∗ semiciclos n˜ao se fecham em um ciclo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 68. 5.30 Hist´oria de deforma¸co˜es em: (a) γxy , εx × t e (b) γxy × εx . . . . . . . . .. 69. 5.31 Respostas elastopl´asticas: (a) tens˜ao normal em fun¸c˜ao da deforma¸ca˜o. normal; (b) tens˜ao cisalhante em fun¸c˜ao da deforma¸c˜ao cisalhante; e (c) resposta mecˆanica ao carregamento, em termos de tens˜oes. . . . . . . .. 69. 5.32 Representa¸ca˜o do primeiro semiciclo ABB ∗ E e do quarto EF F ∗ A nas curvas (a) deforma¸ca˜o cisalhante em fun¸ca˜o da deforma¸ca˜o normal; (b) tens˜ao normal em fun¸c˜ao da deforma¸ca˜o normal; (c) tens˜ao cisalhante em fun¸ca˜o da deforma¸c˜ao cisalhante; e (d) tens˜ao cisalhante em fun¸ca˜o da tens˜ao normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∗. 70. ∗. 5.33 Representa¸ca˜o do segundo semiciclo BB e do sexto F F nas curvas (a) deforma¸ca˜o cisalhante em fun¸ca˜o da deforma¸ca˜o normal; (b) tens˜ao normal em fun¸c˜ao da deforma¸c˜ao normal; (c) tens˜ao cisalhante em fun¸c˜ao da deforma¸c˜ao cisalhante; e (d) tens˜ao cisalhante em fun¸c˜ao da tens˜ao normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 71. 5.34 Representa¸ca˜o do terceiro semiciclo CD, do quinto DC, do s´etimo GH e do oitavo HG nas curvas (a) deforma¸c˜ao cisalhante em fun¸c˜ao da deforma¸c˜ao normal; (b) tens˜ao normal em fun¸c˜ao da deforma¸c˜ao normal; (c) tens˜ao cisalhante em fun¸ca˜o da deforma¸c˜ao cisalhante; e (d) tens˜ao cisalhante em fun¸ca˜o da tens˜ao normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. xiv. 72.
(16) 5.35 Ciclo de histerese descrito em termos da deforma¸ca˜o e tens˜ao equivarel ∗ ∗ lentes de Mises εrel eq e σeq (a) o primeiro ABB E e o quarto EF F A. semiciclos formam um ciclo; (b) o terceiro CD e o quinto DC semiciclos formam um ciclo; e (c) o s´etimo GH e o oitavo HG semiciclos comp˜oem um ciclo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 73. 5.36 Hist´oria de deforma¸co˜es em: (a) γxy , εx × t e (b) γxy × εx . . . . . . . . .. 73. 5.37 Representa¸ca˜o do primeiro semiciclo ABB ∗ F e do quarto F GG∗ A nas curvas: (a) deforma¸ca˜o cisalhante em fun¸ca˜o da deforma¸c˜ao normal; (b). tens˜ao normal em fun¸c˜ao da deforma¸ca˜o normal; (c) tens˜ao cisalhante em fun¸ca˜o da deforma¸c˜ao cisalhante; e (d) tens˜ao cisalhante em fun¸ca˜o da tens˜ao normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 74. 5.38 Representa¸ca˜o do segundo semiciclo BB ∗ e do sexto GG∗ nas curvas: (a) deforma¸ca˜o cisalhante em fun¸ca˜o da deforma¸ca˜o normal; (b) tens˜ao normal em fun¸c˜ao da deforma¸c˜ao normal; (c) tens˜ao cisalhante em fun¸c˜ao da deforma¸c˜ao cisalhante; e (d) tens˜ao cisalhante em fun¸c˜ao da tens˜ao normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 75. 5.39 Representa¸ca˜o do terceiro semiciclo CD, do quinto DC, do s´etimo GH e do oitavo HG nas curvas: (a) deforma¸c˜ao cisalhante em fun¸c˜ao da deforma¸c˜ao normal; (b) tens˜ao normal em fun¸c˜ao da deforma¸c˜ao normal; (c) tens˜ao cisalhante em fun¸ca˜o da deforma¸c˜ao cisalhante; e (d) tens˜ao cisalhante em fun¸ca˜o da tens˜ao normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 76. 5.40 Ciclo de histerese descrito em termos da deforma¸ca˜o e tens˜ao equivarel lentes de Mises εrel eq e σeq : (a) o primeiro AF e o quarto F A semiciclos. formam um ciclo; (b) o terceiro CD e o quinto DE semiciclos formam um ciclo; e (c) o s´etimo HI e o oitavo IJ semiciclos comp˜oem um ciclo.. 77. 5.41 Cada hist´oria de carregamento ´e perturbada no ponto: (a) (−0,155 , −0,245) e (c) (−0,155 , 0,245). Os resultados obtidos pelo m´etodo de Wang &. Brown para cada hist´oria: (b) o primeiro caso da perturba¸c˜ao e (d) o segundo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. xv. 78.
(17) ˜ LISTA DE S´IMBOLOS, NOMENCLATURA E ABREVIAC ¸ OES S´ımbolos Latinos. A: raz˜ao de amplitude de tens˜ao nominal. A: operador matricial. A, B, C, ... : pontos da trajet´oria de deforma¸c˜ao. a1 θ , a2 θ : amplitudes de tens˜ao desviadora associada `a orienta¸c˜ao θ. b: expoente da resistˆencia por fadiga. C: matriz de elasticidade. c: expoente da dutilidade por fadiga. dev(.): operador que transforma para o espa¸co desviador. E: m´odulo de elasticidade. G: m´odulo de elasticidade ao cisalhamento. H: m´odulo de encruamento cinem´atico. I: tensor identidade. K � : coeficiente de resistˆencia c´ıclica. n: expoente de encruamento c´ıclico. N : vida `a fadiga. Nf : n´ umero de ciclos at´e a falha. ¯ operador que projeta o estado de tens˜ao no espa¸co das tens˜oes desviadoras. P: P: operador que projeta o estado de tens˜ao no espa¸co das tens˜oes desviadoras. R: raz˜ao de tens˜ao nominal. s1 , s2 : componentes de tens˜ao desviadora.. xvi.
(18) Seq : amplitude de tens˜ao equivalente. Smax : tens˜ao nominal m´axima. Smin : tens˜ao nominal m´ınima. Sa : amplitude de tens˜ao nominal. Sm : tens˜ao nominal m´edida. Sf : amplitude de tens˜ao nominal no limite de fadiga. S: tensor tens˜ao desviadora. t: instante de tempo. tr: operador do tra¸co de um tensor. u: vetor de deslocamento. X, Y e Z: pontos da hist´oria de carga.. S´ımbolos Gregos. α: parˆametro material. β: parˆametro material. β: representa a transla¸c˜ao do centro do dom´ınio el´astico (“back-stress”). γxy , γyz e γxz : componentes de deforma¸c˜ao-cisalhamento. ∆S: faixa de tens˜ao nominal. ∆ε: faixa de deforma¸c˜ao. ∆σ: faixa de tens˜ao. ∆ε: faixa de deforma¸c˜ao. ∆εe : faixa de deforma¸c˜ao el´astica. ∆εp : faixa de deforma¸c˜ao pl´astica.. xvii.
(19) ε�f : coeficiente de dutilidade por fadiga. εe : deforma¸c˜ao el´astica. εp : deforma¸c˜ao pl´astica. ε: deforma¸c˜ao total. ε: tensor deforma¸c˜ao. εij : componentes do tensor deforma¸c˜ao. εrel c˜ao relativas ao maior valor da deforma¸c˜ao equiij : componentes do tensor deforma¸ valente na hist´oria. εmax ca˜o associadas ao maior valor da deforma¸ca˜o ij : componentes do tensor deforma¸ equivalente na hist´oria. εeq : deforma¸c˜ao equivalente. εx , εy e εz : componentes de deforma¸c˜ao normal. θ: orienta¸c˜ao. κ: parˆametro material. λ: constante de Lam´e. µ: constante de Lam´e. ν¯: coeficiente de Poisson efetivo. ν e : coeficiente de Poisson el´astico. ν p : coeficiente de Poisson pl´astico. ξ: parˆametro de consistˆencia. σf� : coeficiente de resistˆencia por fadiga. σ: tensor tens˜ao de Cauchy. σH max : tens˜ao hidrost´atica m´axima. σ0 : tens˜ao de escoamento. xviii.
(20) τa : amplitude de tens˜ao cisalhante. Siglas ASTM: American Society for Testing and Materials. PIB: Produto Interno Bruto.. xix.
(21) Cap´ıtulo 1. ˜ INTRODUC ¸ AO. No s´eculo XIX, a fadiga de estruturas foi entendida como o “efeito colateral” da revolu¸ca˜o industrial. Era reconhecida como um fenˆomeno de falha decorrente de um grande n´ umero de ciclos de carga com magnitude tal que, sob condi¸ca˜o est´atica, n˜ao causaria dano. Naquela ´epoca, a inexistˆencia de sinais vis´ıveis da deforma¸ca˜o pl´astica decorrente da falha por fadiga causou estranheza e foi relacionada a fenˆomenos misteriosos [1]. August W¨ohler introduziu a no¸ca˜o do limite de resistˆencia a` fadiga e conduziu estudos para relacionar o efeito dos esfor¸cos mecˆanicos representado pelas tens˜oes e o n´ umero de ciclos at´e a falha. Melhorias substanciais no conhecimento atual sobre fadiga ocorreram na segunda metade do s´eculo XX em decorrˆencia do desenvolvimento de laborat´orios com novas bancadas experimentais, al´em de computadores e utiliza¸ca˜o de an´alise num´erica. Os crescentes esfor¸cos dispendidos em pesquisa sobre fadiga est˜ao ilustrados em numerosas publica¸c˜oes [1]. Nos anos 80, custos de aproximadamente 119 bilh˜oes de d´olares, equivalentes a 4% do Produto Interno Bruto (PIB) dos Estados Unidos, decorreram de falhas ou rupturas de componentes de m´aquinas e estruturas mecˆanicas, de acordo com relat´orio publicado pelo Departamento de Com´ercio daquele pa´ıs [2]. Um estudo do custo associado `a fadiga de materiais realizado na Europa em 1991 demonstrou que o custo total de 4% do PIB pode ser aplicado a todas as na¸c˜oes industrializadas [3]. Quaisquer componentes, tais como suspens˜ao de autom´oveis em movimento, asas de avi˜oes durante o voo, pontes sob tr´afego intenso de m´aquinas e ve´ıculos, navios submetidos ao ataque de ondas, turbinas sob condi¸ca˜o de temperatura c´ıclica, entre outros, est˜ao sujeitos a hist´orias de tens˜ao multiaxiais com amplitude vari´avel durante a sua vida u ´til.. 1.1. TRABALHOS RELACIONADOS. Segundo Socie e Marquis [4], para situa¸c˜oes de carregamento multiaxial, n˜ao proporcional e de amplitude vari´avel, ´e preciso trabalhar nas seguintes etapas de estimativa de 1.
(22) vida `a fadiga: (i) modelo do comportamento c´ıclico e elastopl´astico do material; (ii) m´etodo de identifica¸c˜ao e contagem de ciclos; (iii) modelo do dano por fadiga; e (iv) regra de ac´ umulo do dano. Na primeira etapa de an´alise de fadiga, todos os m´etodos de estimativa de vida `a fadiga dependem do modelo de plasticidade para obter resposta do material a partir da hist´oria de carregamento. No presente trabalho, adotou-se o modelo elastopl´astico com encruamento cinem´atico linear. Na segunda etapa da an´alise, os m´etodos de contagem de ciclos no contexto multiaxial s˜ao utilizados para definir e contar ciclos para situa¸c˜oes de carregamento de amplitude vari´avel. As t´ecnicas de contagem de ciclos encontrados na literatura s˜ao: o m´etodo de Wang & Brown [5], o m´etodo de Bannantine & Socie [6] e o m´etodo de Wang & Brown modificado pelo Meggiolaro et al. [7]. Para a terceira etapa da an´alise de fadiga, deve-se utilizar um modelo de dano por fadiga. Uma revis˜ao bibliogr´afica deste modelo ´e apresentada em in´ umeros trabalhos [8, 9, 4]. Os modelos podem ser subdivididos em trˆes categorias: abordagens baseados na tens˜ao, na deforma¸c˜ao e na energia. Embora existam diversos modelos apresentados na literatura, aqueles associados ao conceito de planos cr´ıticos, como os propostos por Findley [10], Fatemi & Socie [11], McDiamird [12] s˜ao os mais utilizados. A principal diferen¸ca entre eles diz respeito `a amplitude de tens˜ao equivalente ou deforma¸ca˜o equivalente que ´e considerada na busca do plano cr´ıtico. Mais recentemente, abordagens alternativas aos modelos de plano cr´ıtico foram propostos. Morel [13] apresentou um modelo de estimativa de vida baseado na evolu¸c˜ao de uma vari´avel do dano mesosc´opico (deforma¸c˜oes pl´asticas acumuladas no n´ıvel de gr˜ao). O modelo proposto por Papadopoulos [14] considera uma amplitude de tens˜ao cisalhante geral definida como a m´edia volum´etrica da amplitude de tens˜ao cisalhante sobre todos planos materiais e dire¸c˜oes de deslizamento. Freitas, Li e Santos [15] e tamb´em Cristofori, Susmel e Tovo [16] formularam modelos de estimativa de vida baseados na defini¸ca˜o de medidas de amplitudes de tens˜ao cisalhante obtidas por meio da proje¸ca˜o da trajet´oria de tens˜ao no espa¸co desviador. No presente trabalho, o modelo de Mamiya, Ara´ ujo e Castro [17, 18, 19, 20], que procura outra forma de medir a amplitude de tens˜ao cisalhante, ´e apresentado de forma sum´aria no Cap´ıtulo 2. O trabalho de estimativa de vida a` fadiga sob carregamentos multiaxiais proposto por Mamiya, Ara´ ujo e Castro [17, 18, 19, 20] apresenta resultados adequados para situa¸c˜oes 2.
(23) com amplitude de carregamento constante. O pr´oximo passo consiste na tentativa de extens˜ao deste modelo para a previs˜ao de vida sob condi¸co˜es de carregamento com amplitude vari´avel. Neste contexto, necessita-se de uma ferramenta de contagem de ciclos. Entre as op¸co˜es dispon´ıveis na literatura, considerou-se, no presente trabalho, o m´etodo proposto por Wang & Brown [5]. Embora este m´etodo tenha sido originariamente desenvolvido para a contagem de semiciclos, a presente disserta¸ca˜o visa avaliar a capacidade de utilizar tal ferramenta para contabilizar ciclos. Nos cap´ıtulos que se seguem, ser´a visto que nem sempre ´e poss´ıvel construir ciclos a partir de uma simples associa¸ca˜o de semiciclos, a motiva¸c˜ao do m´etodo rainflow uniaxial. Al´em disso, os resultados apresentados nesta monografia ilustrar˜ao a interferˆencia de pequenas perturba¸co˜es na hist´oria de deforma¸c˜ao nos semiciclos obtidos pelo m´etodo. Na quarta etapa da an´alise, o dano por fadiga deve ser acumulado para cada ciclo na hist´oria de carregamento. Para este fim, foi utilizada a regra de dano proposta por Palmgren e Miner [21, 22], a mais usada devido a sua simplicidade. No final, a vida `a fadiga ´e estimada ao completar todas as etapas da an´alise.. 1.2. ˜ DO TRABALHO OBJETIVOS E ORGANIZAC ¸ AO. O objetivo deste trabalho foi realizar um estudo cr´ıtico da utiliza¸c˜ao do m´etodo proposto por Wang & Brown para identifica¸c˜ao e contagem de ciclos no contexto da fadiga multiaxial. De uma forma geral, desenvolveu-se um algoritmo para aplica¸c˜ao das regras do m´etodo de Wang & Brown na tentativa de estabelecer uma associa¸c˜ao entre os semiciclos do m´etodo e os la¸cos de histerese mediante a modelagem do comportamento elastopl´astico. Para atingir esse objetivo, a presente monografia est´a organizada da seguinte forma: no cap´ıtulo 2, s˜ao apresentados os conceitos preliminares e defini¸co˜es; no cap´ıtulo 3, a descri¸ca˜o e o algoritmo do m´etodo de contagem de “ciclos” de Wang & Brown; no cap´ıtulo 4 s˜ao apresentadas a modelagem e a simula¸c˜ao do comportamento elastopl´astico; no cap´ıtulo 5, as ferramentas desenvolvidas nos cap´ıtulos 3 e 4 d˜ao suporte a` realiza¸ca˜o de alguns estudos de aplica¸c˜ao do m´etodo de contagem de ciclos de Wang & Brown; e as conclus˜oes resultantes da an´alise realizada e as recomenda¸co˜es para trabalhos futuros s˜ao encontradas no cap´ıtulo 6.. 3.
(24) Cap´ıtulo 2. ˜ DEFINIC ¸ OES E CONCEITOS PRELIMINARES. Os conceitos de fadiga uniaxial e suas abordagens por medidas de tens˜ao e deforma¸ca˜o s˜ao, inicialmente, apresentados neste cap´ıtulo. Em seguida, discorre-se a respeito de ensaios sob carregamento de amplitude vari´avel e o m´etodo rainflow simplificado. Por u ´ltimo, apresenta-se o modelo proposto por Mamiya, Ara´ ujo e Castro [17, 18, 19, 20] para estimativa de vida a` fadiga multiaxial e o conceito de proporcionalidade.. 2.1. FADIGA UNIAXIAL. O termo fadiga, segundo a terminologia ASTM E1823 [23], ´e definido como um processo em que mudan¸cas progressivas e localizadas de natureza irrevers´ıvel ocorrem no material sujeito a tens˜oes ou deforma¸c˜oes flutuantes. Estes esfor¸cos podem resultar em trincas ou na falha completa do componente ou estrutura.. 2.1.1. Descri¸c˜ ao do processo de fadiga. De maneira geral, observa-se que o processo de fadiga envolve as seguintes fases: (i) nuclea¸c˜ao de microtrinca, (ii) crescimento de microtrinca, (iii) crescimento de macrotrinca, e (iv) fratura final. As trincas tˆem in´ıcio no plano de cisalhamento local em/pr´oximo a concentra¸co˜es de tens˜ao de magnitude alta, tais como bandas de escorregamento persistentes, inclus˜oes, porosidade, ou descontinuidades metal´ urgicas. O plano de cisalhamento local normalmente ocorre na superf´ıcie do componente ou dentro dos contornos de gr˜ao. A nuclea¸ca˜o de trinca ´e o primeiro passo no processo da fadiga. Uma vez ocorrida a nuclea¸ca˜o e mantido o carregamento c´ıclico, a trinca tende a crescer ao longo do plano de m´axima tens˜ao cisalhante e atrav´es do contorno de gr˜ao [24]. Uma representa¸ca˜o gr´afica do processo do dano por fadiga mostra que a nuclea¸ca˜o de trincas inicia em uma regi˜ao de concentra¸ca˜o de tens˜ao de n´ıvel alto em bandas de escorregamento persistentes (Fig. 2.1). Em seguida, no processo da fadiga, tem-se o est´agio de crescimento da trinca dividido em crescimento da trinca no Est´agio I e crescimento da trinca no Est´agio II. A nuclea¸c˜ao e o est´agio I do crescimento da trinca 4.
(25) s˜ao geralmente considerados como propaga¸ca˜o inicial de microtrincas at´e o tamanho finito da ordem de dois gr˜aos sobre o plano de m´axima tens˜ao cisalhante local. Neste est´agio, na ponta da trinca, a plasticidade ´e enormemente afetada pelas caracter´ısticas de escorregamento, pelo tamanho dos gr˜aos, pela orienta¸ca˜o dos planos cristalogr´aficos e pelo n´ıvel de tens˜ao devido ao tamanho da trinca ser compar´avel `a microestrutura do material. O crescimento da trinca no est´agio II refere-se `a propaga¸c˜ao de macrotrinca normal ao plano de tens˜ao principal globalmente e na dire¸ca˜o de m´axima tens˜ao cisalhante localmente. Neste est´agio, as caracter´ısticas da macrotrinca s˜ao menos afetadas pelas propriedades da microestrutura em rela¸c˜ao a trinca do est´agio I uma vez que a zona pl´astica em torno da ponta da trinca para o est´agio II ´e muito maior que a. Superfície. microestrutura do material [24].. Estágio II Trinca. Estágio I Extrusão. Intrusão. Bandas de escorregamento persistentes. Figura 2.1: Processo de fadiga: um componente mecˆanico sob carregamento c´ıclico. Adaptada de Lee et al. [24]. Em aplica¸co˜es de Engenharia, a quantidade de vida de um componente gasta na nuclea¸ca˜o de microtrinca e no crescimento da microtrinca ´e normalmente denominada de per´ıodo de forma¸c˜ao da trinca, enquanto que a vida do componente gasta durante o crescimento de macrotrinca ´e chamada de per´ıodo da propaga¸c˜ao da trinca [25].. 5.
(26) 2.1.2. Descri¸c˜ ao de carregamento c´ıclico. Figura 2.2: Hist´ oria de carregamento c´ıclico com amplitude constante.. Os ensaios de fadiga sob amplitude constante s˜ao usados para a obten¸c˜ao de propriedades materiais que ser˜ao fornecidas como parˆametros de projetos de fadiga. Considerase a fadiga no contexto de carregamento peri´odico com amplitude constante, conforme ilustrado na Fig. 2.2. S˜ao definidas as seguintes quantidades: ∆S = Smax − Smin , ∆S Sa = , 2 Smax + Smin Sm = , 2 Smin R = , Smax 1−R A = , 1+R. (2.1) (2.2) (2.3) (2.4) (2.5). onde a diferen¸ca ∆S ´e a faixa de tens˜ao, Sa ´e a amplitude de tens˜ao, Sm ´e a tens˜ ao m´edia, R ´e a raz˜ao de tens˜ao e A, a raz˜ao de amplitude. O termo carregamento cicl´ıco completamente revers´ıvel ´e usado para descrever uma situa¸ca˜o de Sm = 0, ou R = −1. Tamb´em, o termo carregamento c´ıclico do tipo zero-a-tra¸c˜ao refere-se a casos de Smin = 0, ou R = 0. Como a defini¸c˜ao de um ciclo n˜ao ´e clara sob carregamento. de amplitude vari´avel, as revers˜oes (ou semiciclos) s˜ao frequentemente consideradas. Em carregamento de amplitude constante, um ciclo equivale a duas revers˜oes enquanto em carregamento de amplitude vari´avel um ciclo pode ter v´arias revers˜oes. Defini¸c˜oes an´alogas a`s grandezas anteriores podem ser adotadas em situa¸c˜oes de deforma¸co˜es controladas.. 6.
(27) 2.1.3. Plasticidade c´ıclica. A resposta dos metais quando sujeitos a carregamentos c´ıclicos pode ser bastante diferenciada do seu comportamento para ensaios monotˆonicos uma vez que o efeito de Bauschinger est´a presente na plasticidade c´ıclica [25]. Por exemplo, para carregamentos tra¸ca˜o-compress˜ao durante o encruamento em tra¸c˜ao, o efeito se manifesta amolecendo o material sob compress˜ao — a resistˆencia do escoamento ´e reduzida na dire¸c˜ao do carregamento compressivo. Assim, ao longo dos ciclos, podem ocorrer os comportamentos descritos a seguir: 1. Amolecimento c´ıclico: em tens˜oes controladas, a faixa de deforma¸c˜ao ∆ε aumenta e para deforma¸c˜oes controladas, ∆σ diminui. 2. Encruamento c´ıclico: em tens˜oes controladas, a faixa de deforma¸c˜ao ∆ε diminui e para deforma¸c˜oes controladas, ∆σ aumenta. 3. Acomoda¸c˜ ao: situa¸c˜ao que se manifesta em tens˜oes controladas onde a varia¸c˜ao de ∆εp ´e nula. Trata-se da estabiliza¸c˜ao de um processo de amolecimento ou encruamento c´ıclico, tal que a deforma¸ca˜o pl´astica permanece constante. Se ∆εp estabiliza com valor zero, a acomoda¸ca˜o ´e dita el´astica; caso contr´ario ela ´e pl´astica. 4. Fluˆ encia c´ıclica: em tens˜oes controladas n˜ao-sim´etricas (R �= −1), a magnitude. do escoamento trativo (compressivo) ´e maior que a do escoamento compressivo (trativo). Desta forma, a varia¸ca˜o da faixa ∆εp ´e sempre positiva.. No contexto de corpos met´alicos submetidos a` plasticidade c´ıclica, um ciclo estabilizado de tens˜ao-deforma¸ca˜o ´e mostrado na Fig. 2.3. O gr´afico evidencia que a faixa de deforma¸c˜ao total ∆ε ´e a soma das deforma¸co˜es pl´astica ∆εp e el´astica ∆εe . Como a rigidez el´astica E fica preservada, ent˜ao ∆εe = ∆σ/E. Por defini¸c˜ao, ∆ε = ∆εe + ∆εp =. ∆σ + ∆εp . E. (2.6). A rela¸c˜ao entre a amplitude de tens˜ao ∆σ/2 e a amplitude de deforma¸ca˜o pl´astica ∆εp /2 pode ser obtida pela seguinte equa¸ca˜o: � p �n ∆σ ∆ε � =K , 2 2. (2.7). onde K � e n s˜ao coeficiente de resistˆencia c´ıclica e expoente de encruamento c´ıclico respectivamente. Substituindo a amplitude de deforma¸ca˜o pl´astica obtida da Eq. (2.7) 7.
(28) %. E !%. ". E e. !" $#. e. p. !" $#. !" !". Figura 2.3: Ciclo estabilizado de histerese. Adaptada de Stephens et al. [25]. na Eq. (2.6), resulta-se na equa¸c˜ao de tens˜ao-deforma¸c˜ao representada pela rela¸c˜ao de Ramberg-Osgood [26]: ∆ε ∆σ = + 2 2E. �. ∆σ 2K �. �1/n. .. (2.8). A vida de um componente ´e composta pelo n´ umero de ciclos necess´arios a` forma¸c˜ao da trinca (est´agio I) e a`quele necess´ario a` propaga¸c˜ao at´e a ruptura (est´agio II), como ilustrado na Fig. 2.1. A previs˜ao do n´ umero de ciclos necess´arios a` forma¸c˜ao da trinca pode ser modelada por meio das abordagens tens˜ao-vida (S-N ) e deforma¸c˜ao-vida (ε-N ). J´a o n´ umero de ciclos necess´arios `a propaga¸ca˜o da trinca at´e a ruptura da estrutura pode ser modelado por meio dos princ´ıpios da Mecˆanica da Fratura Linear El´astica. Considera-se que danos estruturais ocorrem com a nuclea¸ca˜o das primeiras macrotrincas. Portanto, foge ao escopo deste trabalho aprofundar assuntos de fadiga via Mecˆanica da Fratura Linear El´astica.. 2.1.4. Abordagem baseada em medidas de tens˜ ao. Esta abordagem ´e uma maneira r´apida e pr´atica de serem apresentados resultados de ensaios para fadiga que podem ser observados por meio da curva tens˜ao versus o n´ umero de ciclos, tamb´em conhecida como curva S-N ou curva de W¨ohler, onde S representa a amplitude de tens˜ao aplicada e N indica o n´ umero de ciclos para a inicia¸c˜ao de uma macrotrinca por fadiga. A obten¸c˜ao da curva S-N segue as diretrizes da norma ASTM E466 [27]. A¸cos e alguns 8.
(29) outros materiais podem apresentar um limite de fadiga — Sf — bem definido tal que, para solicita¸c˜oes Sa menores que o limite Sf , os esfor¸cos tendem a n˜ao causar dano `a pe¸ca. Deste modo, ´e poss´ıvel projetar, ent˜ao, componentes para a vida infinita. Por exemplo, o limite de fadiga para os a¸cos ´e definido em torno de 106 ou 107 ciclos, como mostra na Fig. 2.4. Mas alguns materiais, como alum´ınio, podem n˜ao apresentar este limite bem definido. Sa. Sf. 10. 0. 10. 2. 10. 4. 10. 6. 10. 8. Nf. Figura 2.4: Diagrama t´ıpico de S-N. Adaptada de Stephens et al. [25]. Em 1910, Basquin [28] estabeleceu que os dados (S,N ) podem ser relacionados linearmente em escala log-log. A rela¸c˜ao ´e descrita pela seguinte express˜ao Sa = αNfβ ,. (2.9). onde Sa ´e amplitude de tens˜ao, Nf ´e o n´ umero de ciclos at´e a falha, α e β s˜ao os parˆametros materiais que podem ser obtidos empiricamente por meio de ajuste dos dados do material utilizado. Dada uma amplitude de tens˜ao, a curva de Basquin pode ser usada para a estimar a vida Nf . Explicitamente, nenhum m´etodo de fadiga reconhece a presen¸ca das trincas. Em princ´ıpio, o m´etodo S-N s´o deve ser usado para evitar ou prever a forma¸c˜ao de trincas por fadiga quando as tens˜oes atuantes no ponto cr´ıtico da pe¸ca s˜ao menores do que a resistˆencia ao escoamento c´ıclico do material, as quais s˜ao associadas a vidas longas. Para vidas curtas, as solicita¸co˜es envolvidas podem estar acompanhadas de deforma¸c˜oes pl´asticas — respons´aveis pela degrada¸c˜ao por fadiga — que n˜ao s˜ao quantificadas por meio dos n´ıveis de tens˜ao observados. Nestas condi¸co˜es, o m´etodo S-N n˜ao descreve corretamente o comportamento `a fadiga do material e consequentemente uma modelagem baseada na deforma¸c˜ao se faz necess´aria [29].. 9.
(30) 2.1.5. Abordagem baseada em medidas de deforma¸c˜ ao. No regime de fadiga de baixo n´ umero de ciclos com n´ıveis altos de tens˜ao, a resposta c´ıclica tens˜ao-deforma¸c˜ao e o comportamento material s˜ao melhores modelados sob condi¸co˜es de deforma¸c˜ao controlada. Recentemente, as pesquisas de fadiga mostraram que o dano ´e dependente da deforma¸ca˜o pl´astica. Na abordagem ε-N , a deforma¸c˜ao pl´astica ´e diretamente medida e quantificada [29]. Como discutido na se¸ca˜o anterior, a abordagem S-N n˜ao considera a deforma¸c˜ao pl´astica. Em vidas longas, onde a deforma¸c˜ao pl´astica ´e desprez´ıvel, a tens˜ao e a deforma¸c˜ao s˜ao facilmente relacionadas, as abordagens S-N e ε-N s˜ao essencialmente equivalentes. Coffin [30] e Manson [31] descobriram que a amplitude de deforma¸ca˜o pl´astica εp ´e proporcional aos n´ umeros de ciclos at´e sua falha Nf na escala log-log. Ent˜ao, a amplitude da deforma¸c˜ao pl´astica ´e relacionada com o n´ umero de ciclos por meio da express˜ao: ∆εp = ε�f (2Nf )c , 2. (2.10). onde ∆εp /2 ´e amplitude da deforma¸c˜ao pl´astica, 2Nf ´e o n´ umero de revers˜oes at´e a falha, ε�f ´e o coeficiente da dutilidade por fadiga e c ´e o expoente da dutilidade por fadiga. A express˜ao que relaciona a faixa de deforma¸c˜ao total ∆ε com o n´ umero de ciclos at´e a falha Nf pode ser desenvolvida. Como mostrado na Se¸ca˜o 2.1.3 com referˆencia a` Eq. (2.6), a deforma¸ca˜o total ´e a soma das deforma¸co˜es el´astica e pl´astica. Em termos de amplitude de deforma¸c˜ao,. ∆ε ∆εe ∆εp = + . 2 2 2. (2.11). A parte el´astica pode ser reescrita como ∆σ ∆εe = . 2 2E. (2.12). Usando a Eq. (2.9) e as constantes de ajuste α = (2)b σf� e β = b, σf� ∆εe = (2Nf )b , 2 E. (2.13). onde σf� ´e o coeficiente de resistˆencia por fadiga e b, o expoente de resistˆencia por fadiga. A parte pl´astica ´e determinada por meio da Eq. (2.10). Portanto, a deforma¸c˜ao total pode ser reescrita em termos da vida at´e a falha: σf� ∆ε = (2Nf )b + ε�f (2Nf )c . 2 E 10. (2.14).
(31) A Equa¸c˜ao (2.14), a base do m´etodo deforma¸c˜ao-vida, est´a ilustrada na Fig. 2.5. Ressalta-se que as rela¸c˜oes el´astica e pl´astica s˜ao ambas linhas retas na escala log-log, e a amplitude de deforma¸ca˜o total ∆ε/2 ´e representada pela linha curva. Em n´ıveis altos de amplitude da deforma¸c˜ao, a curva deforma¸c˜ao-vida aproxima-se da linha pl´astica, e, em n´ıveis baixos da amplitude, a curva aproxima-se da linha el´astica. #! #!. #!$%. p. !f’. c. Deformação total. 1. "f’/E Deformação elástica. b. 1. Deformação plástica. 2Nf. Figura 2.5: Diagrama esquem´ atico de deforma¸c˜ ao-vida. Adaptada de Stephens et al. [25]. 2.1.6. Amplitude vari´ avel. Por meio das abordagens S −N e ε−N , a vida `a fadiga Nf poderia ser obtida com base nos dados de fadiga produzidos pelos ensaios sob carregamento de amplitude constante.. Mas, em situa¸co˜es pr´aticas, os componentes de m´aquinas s˜ao submetidos a amplitudes de tens˜ao ou deforma¸ca˜o que mudam de forma irregular, como ilustrado na Fig. 2.6. Considere-se uma situa¸c˜ao simples de carregamento de amplitude vari´avel, como a mostrada na Fig. 2.7. Uma determinada amplitude de tens˜ao Sa1 ´e aplicada para um certo n´ umero de ciclos n1 e Nf 1 sendo o n´ umero de ciclos at´e a falha obtido por meio ´ aplicada outra de an´alise da curva S-N . A fra¸c˜ao da vida utilizada ´e, ent˜ao, n1 /Nf 1 . E amplitude de tens˜ao Sa2 , correspondente a Nf 2 na curva S-N , para n2 . A fra¸c˜ao da vida n2 /Nf 2 adicional ´e ent˜ao utilizada. A regra de Palmgren-Miner [21, 22] estabelece que falha por fadiga ´e esperada quando as fra¸co˜es da vida somam-se em uma unidade, 11.
(32) tensão. tempo. tensão, S. Figura 2.6: Hist´ oria de carregamento com amplitude vari´avel. Sa. Sa1. Sa1. Sa2. ciclos, n. Sa2. n2. n1. Nf 1. Nf 2. Nf. (b). (a). Figura 2.7: (a) Hist´ oria de carregamento com amplitude vari´avel e (b) curva de amplitude de tens˜ao versus n´ umeros de ciclos at´e a falha.. ou seja, quando 100% da vida ´e esgotada [25]: � ni n1 n2 n3 + + + ··· = = 1. Nf 1 Nf 2 N f 3 Nf i. (2.15). i. Tendo em vista que na aplica¸ca˜o desta regra em carregamentos de amplitude vari´avel mais complexos n˜ao fica ´obvio como os eventos individuais devem ser isolados e definidos como ciclos, foram propostas v´arias t´ecnicas de contagem de ciclos. Entretanto, um consenso surgiu, considerando como a melhor a t´ecnica denominada rainflow, desenvolvida pelos Prof. T. Endo e seus colegas no Jap˜ao, 1968 [32].. 2.1.6.1 Rainflow Simplificado O rainflow simplificado ´e um m´etodo de contagem de ciclos utilizado para solicita¸co˜es unidimensionais. Segundo Endo [32], um ciclo definido pelo rainflow pode ser associado a um ciclo de histerese. O algoritmo de rainflow simplificado, descrito na norma 12.
(33) ASTM E1049 [33], utiliza trˆes pontos consecutivos em uma hist´oria de carregamento de amplitude vari´avel para determinar se ocorre a forma¸c˜ao de um ciclo. O crit´erio de identifica¸c˜ao do ciclo ´e ilustrado na Fig. 2.8. Uma combina¸c˜ao de pontos X, Y, Z ´e conS. Z X. X* X Z. t Y. Y. !SYZ "# !SXY forma um ciclo (X-Y-X*). !SYZ $ !SXY não forma um ciclo. Figura 2.8: Condi¸c˜ oes para identificar o ciclo por meio do m´etodo de rainflow simplificado.. siderada para identificar um ciclo nos casos em que a segunda faixa, ∆SY Z = SY − SZ ,. ´e maior ou igual `a primeira faixa, ∆SXY = SX − SY . De fato, se a segunda faixa ´e maior ou igual `a primeira, ent˜ao os pontos (X, Y, X ∗ ) definem o ciclo (∆SXY ).. O procedimento do m´etodo rainflow simplificado ´e descrito a seguir com o uso do exemplo da Fig. 2.9. Assume-se que a hist´oria de deforma¸ca˜o ´e aplicada repetidamente. Dessa forma, ´e conveniente rearranjar a hist´oria de modo que sempre inicie no pico m´aximo D. Para isso, os pontos A, B e C s˜ao deslocados para o fim da hist´oria. As Figuras 2.9 (a) e (b) ilustram este processo. Detalhes da contagem de ciclos s˜ao descritos a seguir: 1. D, E e F s˜ao os trˆes primeiros pontos em an´alise. A primeira faixa ∆εDE e a segunda faixa ∆εEF s˜ao definidas. Tem-se a desigualdade |∆εEF | < |∆εDE |, isso significa que um ciclo n˜ao ´e identificado. Portanto, o algoritmo avan¸ca para o pr´oximo ponto consecutivo, G. 2. E, F e G s˜ao os pontos em an´alise. Em m´odulo, a segunda faixa ∆εF G ´e maior que ∆εEF . Assim, o ciclo ´e identificado pelos pontos (E, F, E ∗ ). O algoritmo armazena esta informa¸ca˜o, a descarta da hist´oria e avan¸ca para o pr´oximo ponto, H. Fig. 2.9 (c). 3. Na an´alise dos pontos D, G e H, tem-se a desigualdade |∆εGH | < |∆εDG |. Assim n˜ao se identifica um ciclo. O algoritmo avan¸ca para o pr´oximo ponto, A. 13.
(34) 4. Analisando-se os pontos G, H e A tem-se tamb´em a desigualdade, |∆εHA | <. |∆εGH |. Assim n˜ao se identifica um ciclo. O algoritmo avan¸ca para o pr´oximo ponto, B.. 5. Na an´alise dos pontos H, A e B, tem-se a desigualdade |∆εAB | < |∆εHA |. Assim, n˜ao se identifica um ciclo. O algoritmo avan¸ca para o pr´oximo ponto, C.. 6. A, B e C s˜ao agora os pontos em an´alise e |∆εBC | > |∆εAB |. Os pontos (A, B, A∗ ). definem um ciclo, como ilustra a Fig. 2.9 (d). Assim esses pontos s˜ao descartados da hist´oria e o algoritmo retorna aos pontos G e H.. 7. Com os pontos G, H e C em an´alise tem-se a desigualdade |∆εHC | < |∆εGH |. Assim n˜ao se identifica um ciclo. O algoritmo avan¸ca para o pr´oximo ponto, D.. 8. H, C e D s˜ao os pontos em an´alise. Em m´odulo, a segunda faixa ∆εCD ´e maior que ∆εHC . Assim, ´e identificado o ciclo pelos pontos (H, C, H ∗ ). O algoritmo armazena essa informa¸ca˜o e a descarta da hist´oria, restando apenas os pontos D, G a serem contados. Fig. 2.9 (e). 9. D, C e D s˜ao os pontos em an´alise e |∆εCD | > |∆εDC |. Os pontos (D, C, D). definem um ciclo, como ilustra a Fig. 2.9 (f). Esses pontos s˜ao descartados da hist´oria.. 10. Como n˜ao h´a pontos a serem processados. Fim da contagem.. 14.
(35) F. 0,1. -0,2. B. B E. A. F. B. 0 E. A. t (a) D. D. 0,3. ! (%). ! (%). B. 0. -0,1 G. 0 E E*. A. H. C. t (c) H*. 0,1 0. t (d). D. 0,3. D. D. 0,2 0,1 0. -0,1. -0,2 -0,3. C. G. -0,3. -0,1. A A*. -0,2 -0,3. D. 0,2. 0,2 0,1. B. t (b). H. D. H. F. -0,2. C. ! (%). 0,3. D. 0,1. -0,1. G. -0,3. 0,3 0,2. -0,2. G. -0,3. D. H. 0,1. -0,1. I=A C. C. D. 0,2. 0. -0,1. 0,3. ! (%). ! (%). 0,2. D. H. ! (%). D. 0,3. G t (e). C. -0,2 -0,3. G t (f). Figura 2.9: Exemplo da contagem de rainflow simplificado para uma hist´oria repetida. (a) a hist´oria de carregamento com amplitude vari´avel; (b) a hist´oria ´e reordenada de modo que inicie e termine com o valor m´ aximo; (c) o primeiro ciclo EF E ∗ ; (d) o segundo ciclo ABA∗ ; ∗ (e) o terceiro ciclo HCH ; e (f) o quarto ciclo DF D.. 2.2. FADIGA MULTIAXIAL. Na se¸ca˜o anterior, foi apresentada a fadiga no contexto de carregamentos uniaxiais. Contudo, em muitas situa¸c˜oes, n˜ao ´e poss´ıvel assumir que o carregamento imposto seja uniaxial e, nestas condi¸c˜oes, ´e necess´ario o uso de m´etodos apropriados de caracteriza¸ca˜o das solicita¸co˜es e das medidas de dano relativas a` fadiga multiaxial. O conceito de proporcionalidade originado no contexto de fadiga multiaxial tem sido associado ao mecanismo de dano que resulta no encruamento adicional em v´arios materiais. Este encruamento suplementar em materiais policristalinos consiste na mudan¸ca da microestrutura causada pelas deforma¸c˜oes pl´asticas c´ıclicas ao longo das bandas de escorregamento [4]. Um carregamento ´e dito proporcional se sua trajet´oria no espa¸co de tens˜oes (ou de deforma¸c˜oes) define uma linha reta que passa pela origem deste espa¸co. Neste contexto, toda a hist´oria de carregamento que n˜ao possa ser classificada como proporcional ser´a denominada, no presente texto, como sendo n˜ao proporcional. Para a compreens˜ao de suas caracter´ısticas b´asicas, uma vers˜ao mais simples do modelo de estimativa de vida a` fadiga proposto por Mamiya, Ara´ ujo e Castro [17, 18, 19, 20] ´e 15.
(36) apresentado neste trabalho. O modelo considera duas quantidades como controladoras do processo de fadiga: a amplitude de tens˜ao cisalhante e a tens˜ao hidrost´atica. Assim, reescreve-se, de forma geral, a Eq. (2.9) de Basquin como: Seq ( τa , σH max ) = f ( Nf ),. (2.16). onde Seq ´e a amplitude de tens˜ao equivalente para hist´orias de tens˜ao multiaxial. Neste modelo, considera-se que a solicita¸c˜ao `a fadiga seja uma fun¸c˜ao de uma medida de amplitude de tens˜ao cisalhante τa e da tens˜ao hidrost´atica m´axima σH max . O termo f ( Nf ) representa uma fun¸c˜ao de n´ umeros de ciclos at´e falha. A principal caracter´ıstica do modelo de Mamiya, Ara´ ujo e Castro ´e a defini¸ca˜o da medida da amplitude de tens˜ao cisalhante τa , conforme detalhada a seguir: a hist´oria de carregamento descrita por meio do mapeamento do tensor de tens˜ao de Cauchy σ(t) ao longo do tempo t ´e inicialmente decomposta aditivamente em uma parcela hidrost´atica σH (t) e outra desviadora S(t). a1 !. s2. a2 ! Envelope Prismático orientado em !. S(t). s2 ! s1 !. Trajetória de tensão desviadora. !. s1 Figura 2.10: Envelope prism´ atico circunscreve uma trajet´oria de tens˜ao arbitr´aria no espa¸co desviador. Adaptado de Mamiya et al. [20]. Para efeito de simplicidade, apresenta-se a defini¸c˜ao de τa no contexto de hist´orias de carregamentos que podem ser descritas, no espa¸co das tens˜oes desviadoras, por duas componentes s1 (t) e s2 (t), conforme ´e ilustrado na Fig. 2.10. Como primeiro passo, a trajet´oria S(t) ´e circunscrita por um envelope retangular com orienta¸c˜ao qualquer θ. Aos lados do retˆangulo assim definido associam-se amplitudes a1 θ e a2 θ ao longo das suas dire¸co˜es s1 θ e s2 θ : � � 1� 1� a1 θ = max s1 θ (t) − min s1 θ (t) , a2 θ = max s2 θ (t) − min s2 θ (t) . t t t t 2 2 16. (2.17).
(37) A partir destas quantidades a1 θ e a2 θ , define-se a amplitude de tens˜ao cisalhante τa (θ)associada `a orienta¸c˜ao θ: 1 τa (θ) := √ 2. �. a21 θ + a22 θ .. (2.18). Finalmente, a amplitude de tens˜ao cisalhante τa ´e definida como o valor m´aximo obtido na Eq.(2.17) entre todas orienta¸c˜oes θ: τa := max o τa (θ).. (2.19). 0≤θ<90. Uma importante caracter´ıstica desta defini¸ca˜o ´e ser capaz de distinguir o efeito sobre a resistˆencia de fadiga entre as hist´orias proporcionais e n˜ao proporcionais. A Fig. 2.11 apresenta, por exemplo, dois tipos de carregamento: proporcional e n˜ao proporcional de mesma magnitude. Nestes exemplos, a medida τa para o caso proporcional — calculada de acordo com a express˜ao (2.18) — ´e igual a 1, enquanto que para o n˜ao proporcional ´e igual a 1, 41, quantificando-se assim a n˜ao proporcionalidade do segundo carregamento. De acordo com os resultados apresentados em [17, 18, 19, 20], o modelo resultante consegue estimar a vida a` fadiga de alto ciclo para um espectro bastante amplo de hist´orias de carregamento multiaxiais peri´odicas proporcionais e n˜ao proporcionais. 2 2 !a. !a. (a). (b). Figura 2.11: Envelopes prism´ aticos circunscreve dois tipos de carregamento: (a) proporcional e (b) n˜ao proporcional.. O pr´oximo passo no desenvolvimento deste modelo ´e sua extens˜ao para situa¸c˜oes envolvendo carregamentos multiaxiais com amplitude vari´avel. Uma abordagem poss´ıvel seria empregar o m´etodo de Wang & Brown para a identifica¸ca˜o e a contagem de ciclos, e, em seguida, medir a amplitude destes utilizando a Eq. (2.19). Entretanto, conforme exposi¸c˜ao no pr´oximo cap´ıtulo, o m´etodo de contagem proposto por Wang & Brown [5] identifica semiciclos, que nem sempre podem ser associados 17.
(38) entre si de forma a definir ciclos, necess´arios ao c´alculo das amplitudes de tens˜ao. Neste contexto, uma das motiva¸co˜es do presente trabalho consiste no estudo da capacidade de utilizar os semiciclos identificados pelo m´etodo de Wang & Brown para formar ciclos.. 18.
(39) Cap´ıtulo 3. ´ O METODO DE CONTAGEM DE CICLOS DE. WANG & BROWN Este cap´ıtulo apresenta uma descri¸c˜ao do m´etodo de contagem de ciclos de Wang & Brown, um exemplo ilustrativo de sua aplica¸ca˜o e, por fim, o seu algoritmo. Tem por finalidade fornecer os fundamentos necess´arios a uma an´alise do funcionamento do m´etodo em quest˜ao.. 3.1. ˜ GERAL DO METODO ´ DESCRIC ¸ AO. Wang & Brown [5] — mais referˆencias podem ser encontradas em [34, 35, 36, 37] — propuseram uma generaliza¸c˜ao do algoritmo de rainflow para o contexto multiaxial que ´e aplic´avel para qualquer hist´orias de deforma¸ca˜o proporcionais ou n˜ao proporcionais. O rainflow multiaxial de Wang & Brown ´e um m´etodo de contagem de semiciclos baseado em deforma¸ca˜o equivalente de von Mises como uma medida indireta do dano por fadiga [7]: 1 εeq = √ 2(1 + ν¯). �. 3 2 2 + γ2 ] + γyz (εx − εy )2 + (εy − εz )2 + (εz − εx )2 + [γxy xz 2. (3.1). onde εeq ´e a deforma¸ca˜o equivalente, εx εy , εz s˜ao as componentes da deforma¸c˜ao normal, enquanto γxy , γxz e γyz s˜ao as componentes da deforma¸c˜ao-cisalhamento, e ν¯, o coeficiente de Poisson efetivo, que ´e a m´edia ponderada entre os coeficientes el´astico ν e e pl´astico ν p (normalmente igual a 0,5) dependendo do qu˜ao a deforma¸ca˜o total ε pende para parte el´astica εe ou para parte pl´astica εp : ν e εe + ν p εp ν¯ = . ε. (3.2). O problema com a utiliza¸c˜ao de εeq de Mises ´e a perda do sinal do carregamento uma vez que os valores de εeq s˜ao sempre positivos. Por exemplo, para hist´orias com fora-de-fase em 900 , pode ocorrer que a deforma¸c˜ao de Mises εeq permane¸ca constante, o que resultaria erroneamente em uma previs˜ao de vida infinita [7]. Para resolver essa limita¸ca˜o, Wang & Brown propuseram modificar a hist´oria de deforma¸c˜oes utilizando a deforma¸ca˜o relativa equivalente de Mises εrel e calculada pela diferen¸ca entre as comeq , que ´ ponentes da deforma¸c˜ao (εx (j), εy (j), εz (j), γxy (j), γxz (j), γyz (j)) para cada ponto (j´esimo) na hist´oria e as componentes da deforma¸c˜ao (εx (i), εy (i), εz (i), γxy (i), γxz (i), γyz (i)) 19.
Outline
Documentos relacionados
El hombre del Tercer Cine, ya sea desde un cine-guerrilla o un cine-acto, con la infinidad de categorías que contienen (cine-carta, cine-poema, cine-ensayo,
Soneto Dormindo vi a cândida Poesia Testemunhos impressos – Obras de Domingos dos Reis Quita, chamado entre os da Arcadia Lusitana Alcino Micenio, segunda edição correcta, e
to values observed in mussels exposed to contaminated seawater (conditions A, B, C) (Figure 426.. 4B,
Além disso, é também de referir que ao longo do estágio, foram-me regularmente colocadas questões e pequenos trabalhos de pesquisa, relativos a vários produtos (quer
regresso à diocese do Porto, para proceder à dedicação do altar da Igreja do Mosteiro de Paço de Sousa (conc. de Penafiel), como nos testemunha um diploma dessa data que regista
Este estudo tem como objetivos identificar os níveis de trauma manifestados e de estratégias de coping utilizadas pelos TEPH; caracterizar os incidentes mais
Assim, propusemos que o processo criado pelo PPC é um processo de natureza iterativa e que esta iteração veiculada pelo PPC, contrariamente ao que é proposto em Cunha (2006)
For additional support to design options the structural analysis of the Vila Fria bridge was carried out using a 3D structural numerical model using the finite element method by
