Sequencias E Series Numericas

(1)

u n i v e r s i d a d e

f e d e r a l

d e

u b e r l ˆ

a n d i a

Seq¨

uˆencias e S´eries

Num´ericas

Prof. Dr. Marcio Colombo Fenille

Faculdade de Matem´atica

https://sites.google.com/site/mcfenille/

mcfenille@famat.ufu.br

(2)

Seq¨

uências e Séries Numéricas

Prof. Dr. Marcio Colombo Fenille

“A faculdade que nos ensina a ver é a intui¸cão. Sem ela, o geômetra seria como um escritor bom de gramática, mas vazio de idéias.” -Henri Poincaré

Sum´

ario

1 Seqüências e limites de seqüências 3

1.1 Exerc´ıcios da se¸c˜ao . . . 5

2 Seqüências monótonas e seqüências limitadas 6

3 Subseq¨uˆencias 9

4 Seq¨uˆencias de Cauchy 11

5 S´eries num´ericas 13

6 Propriedades das s´eries 16

7 Séries de termos não negativos - Critérios de convergência 18

8 S´eries alternadas e convergˆencia absoluta 23

9 Crit´erios da raz˜ao e da raiz 25

10 Reordena¸c˜ao de s´eries 27

11 S´eries de potˆencias 28

12 Continuidade, diferenciabilidade e integrabilidade de s´eries de potˆencias 31

13 S´eries de Taylor e Maclaurin 33

(3)

1 Seq¨

uˆ

encias e limites de seq¨

uˆ

encias

Uma seqüência ou sucessão de números reais é uma fun¸cão a valores reais f : Df → R, cujo dom´ınio Df é um subconjunto de N (o conjunto dos números naturais). As seqüências consideradas nestas notas são aquelas cujo dom´ınio é um conjunto do tipo {n∈ N_:_n_≥ _q_{}, onde} _q _{é um natural}

fixo. O valor f(n) chama-se o n-´esimo termo ou termo geral (quando fornece uma lei que define o

n-ésimo termo) da seqüênciaf e é frequentemente indicado porxn ouan oubn, como conveniente for. Por abuso de nota¸cão, utilizaremos a nota¸cão (xn)npara indicar a seqüência de termo geralxn. O ´ındice do lado de fora do parênteses indica que a seqüência está indexada naquele ´ındice. Por ora, isto parece desnecessário (e de fato o é), mas esta nota¸cão mostrar-se-á importante mais adiante, quando tratarmos do conceito de subseqüências.

Exemplo 1.1 Considere a seq¨uˆencia (2n₎

n. Indicando por xn seun-´esimo termo, temos

x1= 2, x2= 22 = 4, x3 = 23 = 8, . . . .

Exemplo 1.2 Considere a seq¨uˆencia de termo geralsn= n !

k=1

k. Temos

x1 = 1, x2= 1 + 2 = 3, x3 = 1 + 2 + 3 = 6, . . . .

Exemplo 1.3 A seqüência de termo geral xn = (−1)n é aquela cujos termos de ´ındice ´ımpar são todos iguais a₋1 e os de ´ındice par são todos iguais a 1, ou seja, seus termos são, ordenadamente,

−1,1,−1,1,−1,1, . . .

Esta seqüência parece e é bastante ingênua, mas nos servirá de exemplos em vários momentos.

Exemplo 1.4 A seqüência de Fibonacci é uma das mais conhecidas e famosas. Ela é definida

tomando-se f1 = 1, f2 = 1, f3 = 2 e, indutivamente, fn+1 = fn+fn−₁. Assim, os onze primeiros termos desta seqüência são, ordenadamente: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89, . . .. Pode-se provar que o termo geral da seqüência de Fibonacci é

fn= 1

√

5 ""

1 +√5 2

#n

−

"

1−√5 2

#n#

.

Exemplo 1.5 Outra seqüência muito conhecida, da qual você naturalmente se lembra (do curso de

Cálculo I), é aquela cujo termo geral é dado por

an= $

1 + 1

n

%n

.

Defini¸cão 1.6 Considere uma seqüência(an)n e sejaa um número real. Definimos:

(i) lim

n→₊∞an=a ⇔ Para todo !>0 existe n0 ∈

Ntal que n > n0 ⇒ a−!< an< a+!.

(ii) lim

n→₊∞an= +∞ ⇔ Para todo !>0 existe n0 ∈

N _{tal que}_{n > n}₀ _⇒ _a_n_>_!_.

(iii) lim

n→₊∞an=−∞ ⇔ Para todo !>0 existe n0 ∈

N tal quen > n0 ⇒ an<−!.

(4)

Exemplo 1.7 O exemplo mais simples de seqüência convergente é a seqüência constante. Sejaa∈R

um real fixado e considere a seqüência (an)n cujos termos são todos iguais a a. Está é a chamada

seqüência constanteigual a a. É fácil provar (prove!) que liman=a.

Exemplo 1.8 A seq¨uˆencia de termo geralan= 1/n, com n≥1, converge para zero.

De fato, para todo !>0 dado, o Teorema de Arquimedes implica na existˆencia de um natural n0 tal que 1

n0

<!. Segue-se que, para todon_≥n0 se tem |an−0|= 1

n ≤

1

n0

<!. Exemplo 1.9 A seq¨uˆencia de termo geralbn= (−1)n diverge.

De fato, dado 0<!<1 e um realb (candidato a limite da seqüência), o intervalo (b₋!, b+!) ou não contém 1 ou não contém ₋1 ou ambos.

Teorema 1.10 Seja f : [1,+∞[→R uma fun¸cão e defina a seqüência (xn)n fazendoxn=f(n) para

todo natural n_≥1. Se lim

x→+∞f(x) =L, ent˜ao tamb´em n→lim+∞xn=L.

Prova: Segue da hip´otese que, para todo !>0, existeδ >1 tal que x >δ _⇒|f(x)−L|<!. Para o mesmo !>0 dado, tomen0 como sendo o primeiro natural maior queδ. Ent˜ao

n > n0⇒n >δ⇒|f(n)−L|<!⇒|xn−L|<!.

!

Exemplo 1.11 Mostre que a seq¨uˆencia de termo geralan= lnn

n converge e calcule seu limite.

Resolu¸c˜ao: Sejaf(x) = lnx

x , parax∈[1,+∞[. Temos

lim

x→₊∞f(x) = lim_x→₊∞ lnx

x = limx→₊∞ 1/x

1 = limx→₊∞1/x= 0,

onde a segunda igualdade resulta da Regra de L’Hospital. Pelo teorema anterior liman= 0.

Exemplo 1.12 Calcule lim

n→+∞bn, ondebn= 2n 3n+1.

Resolu¸c˜ao:

lim

n→₊∞bn= lim_n→₊∞ 2n 3n+1 =

1 3n→lim₊∞

$ 2 3

%n = 1

3·0 = 0.

Exemplo 1.13 Calcule lim

n→₊∞

n

√

n

Resolu¸c˜ao:

lim n→+∞

n

√

n= lim n→+∞n

1/n _{= lim} x→+∞x

1/x _{= lim} x→+∞e

lnx

x =elimx→+∞ln

x

x =e0 = 1.

Observa¸cão 1.14 O limite de seqüências possui propriedades aritméticas análogas as do limite de fun¸cões, além da Conserva¸cão do Sinal e o Teorema do Confronto. Especificamente: Suponha que (an)n e (bn)n sejam seqüências tais que liman=ae limbn=b, coma, b∈R. Então

• lim(an+bn) =a+b e lim(an−bn) =a−b.

• lim(anbn) =ab.

(5)

• (Conserva¸c˜ao do Sinal) Se cadaan>0, ent˜ao a≥0.

• (Teorema do Confronto) Sean≤cn≤bn para todone se a=b, ent˜ao limcn=a.

Temos ainda o seguinte resultado, válido também para limite de fun¸cões.

Teorema 1.15 O limite de uma seqüência, se existe, é unico.

Prova: Seja (an)n uma seqüência e suponha quean→aean→b. Suponhaa*=b. Então|a−b|>0 e existem naturaisn1 e n2 tais que

n > n1 ⇒ |an−a|<

|a₋b|

2 e n > n2 ⇒ |an−b|<

|a₋b| 2 . Assim, para n >max{n1, n2} temos

|a₋b|=|a₋an+an−b|≤|an−a|+|an−b|<|a−b|,

o que ´e absurdo. Portanto a=be o teorema est´a provado. !

1.1 Exerc´ıcios da se¸c˜ao

1. Calcule, caso exista (e se não existir, justifique), o limite da seqüência de termo geral:

an=

√

n+ 1−√n bn= $

1− 2

n

%n

cn= (−1)n+ (−1)n

n dn= cosnπ

2. Calcule e interprete geometricamente o limite das seq¨uˆencias de termo geral

an= & n

1 1

xdx e bn=

& n

1 1

x2dx

3. Calcule lim n→+∞

an+1

an

sendoan=

n!

nn.

4. Considere a seq¨uˆencia de termo geral sn= n !

k=0

rk comr um n´umero real.

(a) Suponhar *= 0 er*= 1. Mostre quesn=

1₋rn+1

1−r . (Note que sn ´e a soma dosnprimeiros

termos da progressão geométrica de razãor e termo inicial 1).

(b) Suponha 0< r <1. Mostre que lim n→₊∞

n !

k=1

rk= r 1−r.

(c) O que ocorre com limite do item anterior nos casos em quer <0,r = 0,r = 1 er >1?

5. Sejama1 eb >1 reais. Defina indutivamentean+1=an+ 1/bn para todon. Calcule liman.

6. Suponha que, para todo n_≥1,|an−a|≤ 1

n, ondea´e um n´umero real fixo. Determine liman.

7. Seja (an)n e (bn)n duas seqüências tais que |an−bn|≤e−n para todon. Suponha quebn →b. Prove que também an→b.

8. Prove que a convergência de (an)nimplica na convergência de (|an|)n. A rec´ıproca é verdadeira?

(6)

10. Suponhaan→a, coma*= 0. Considere a seq¨uˆencia (bn)ndefinida porbn= 0 sempre quean= 0 e bn= 1/an paraan*= 0. Prove que bn→1/a.

11. Seja f : R _→ R _{uma fun¸c˜ao cont´ınua em} _a _∈ R_{. Seja} _a₀ _∈ R _{e considere a seq¨}_{uˆencia (}_a_n₎_n

definida indutivamente poran+1 =f(an). Suponha quean→a. Prove quea´e umponto fixode

f, ou seja, quef(a) =a. (Dica: _{Utilize o fato}1 _{que, sendo lim}_a_n₌_a_{, tamb´em lim}_a_n₊₁ ₌_a_).

12. Prove os resultados mencionados na Observa¸c˜ao 1.14.

2 Seq¨

uˆ

encias mon´

otonas e seq¨

uˆ

encias limitadas

Uma seqüência (an)n é chamada crescente (respectivamente decrescente) se an ≤ an+1 (respecti-vamente an≥an+1) para todo n. Uma seqüência que é ou crescente ou decrescente é chamada uma

seqüência monótona.

Exemplo 2.1 A seq¨uˆencia de termo geralan= 2n+ 1

3n−2,n≥1, ´e mon´otona decrescente. De fato, temos

an+1−an=

2(n+ 1) + 1 3(n+ 1)₋2−

2n+ 1

3n₋2 =· · ·=

−7

(3n+ 1)(3n₋2). Como, para todo n≥1, tem-se 3n+ 1>0 e 3n−2>0, segue-se que an+1−an<0.

Exemplo 2.2 A seq¨uˆencia de termo geralan= senn

π

2 não é monótona. De fato, a seqüência é

1,0,₋1,0,1,0,₋1,0, . . . .

Exemplo 2.3 A seq¨uˆencia de termo geralan=

n+ 5

n2_{+ 6}_n_{+ 4},n≥1, ´e mon´otona decrescente. De fato, seja f(x) = x+ 5

x2_{+ 6}_x_{+ 4}. Temos

f′

(x) =− (x+ 5)

2_{+ 1}

(x2_{+ 6}_x_{+ 4)}2 <0 para todox≥1.

Portantof é decrecente, o que implica que (an)n também o é, já quean=f(n) para todo n.

Defini¸cão 2.4 Um número C (respectivamente D) é chamado uma cota inferior (respectivamente

uma cota superior) de uma seqüência (an)n se an ≥ C (respectivamente an ≤ D) para todo n ∈N. Se existe um tal C, (an)n é dita limitada inferiormente. Se existe um tal D, (an)n é dita limitada

superiormente. Se existemC e D, (an)n´e dita limitada.

Observa¸cão 2.5 (an)né limitada se, e somente se, existeM >0tal que |an|< M, para todon∈N. De fato, por um lado, é claro que a existência de um tal M implica que a seqüência (an)né limitada, pois neste casoM será cota suprior e−M será cota inferior para (an)n. Por outro lado, suponha que (an)nseja limitada por cotas inferior e superiorCeD, respectivamente. TomeM = max{|C|,|D|}+1. EntãoM >0 e temos, para todo n,

−M <−|C|≤C≤an≤D≤|D|< M,

o que prova que|an|< M para todon∈N.

1

(7)

Exemplo 2.6 Considere a seq¨uˆencia de termo geralan= (−1)n 2n

3n+ 1. Temos

0≤ 2n

3n+ 1 = 2 3 + 1/n <

2

3, o que implica em − 2

3 ≤(−1) n 2n

3n+ 1 ≤ 2 3,

provando que a seqüência (an)n é limitada.

Exemplo 2.7 Considere a seq¨uˆencia de termo geral an =

n!

2n. É claro que (an)n é limitada inferior-mente por 0. Agora, os primeiros termos da seqüência são

1 2,

2 4,

6 8,

24 16,

120

32 , . . . ea10= 3543,75 e a15≈40000000.

Vamos provar que (an)n n˜ao ´e limitada superiormente. Para tanto, vamos mostrar que

Para todo M >0 dado, existe n_∈N _{tal que} n!

2n > M

De fato, para n≥3 temos n! 2n =

$ 1 2 ·

2 2·

3 2

% ·

$ 4 2 ·

5 2· · ·

n

2 %

≥ 3

42 n−₃

= 3·2n−₅ .

Logo se 3·2n−5

> M, ent˜ao tamb´em n!

2n > M. Agora, 3·2 n−5

> M _⇔ 2n−5

> M

3 . Mas, pelo Teorema de Arquimedez, dado M >0, certamente existe um natural n suficientemente grande para que se verifique a desigualdade 2n−₅

> M

3 . Isto prova que os termos da seqüência (an)n crescem indefinidamente e, portanto, tal seqüência não é limitada superiormente.

Teorema 2.8 Toda seqüência convergente é limitada. A rec´ıproca é falsa.

Prova: Suponha an→a. Ent˜ao, tomando != 1, vemos que existe n0 ∈Ntal quen > n0 ⇒a−1<

an< a+ 1. Considere o conjunto finitoF ={a1, a2. . . , an0, a−1, a+ 1}. Sejamco menor edo maior

elemente de F. Então c_≤an≤dpara todo n, o que prova que a seqüência é limitada. Para ver que a rec´ıproca não é verdadeira, considere a seqüência (0,1,0,1, . . .). _!

Defini¸c˜ao 2.9 Seja A _⊂ R _{um subconjunto n˜ao vazio de} R_{. Um n´}_umero _C _{(respectivamente} _D₎

´e chamado uma cota inferior (respectivamente uma cota superior) de A se a _≥ C (respectivamente

a≤D) para todoa∈A. Se existe um talC,A ´e dito limitado inferiormente. Se existe um talD, A

´e dito limitado superiormente. Se existemC eD,A ´e ditolimitado.

Defini¸c˜ao 2.10 SejaA_⊂Rum subconjunto n˜ao vazio.

• Dizemos que um número real S é o supremo de A, e escrevemos S = supA, se S é uma cota superior de A e qualquer outra cota superior de A é maior que S, ou seja, S é a menor cota superior de A. Noutro termos

S = supA⇔ para todo!>0, existe a∈A tal que S−!< a≤S.

• Dizemos que um número realsé o´ınfimodeB, e escrevemos s= infB, sesé uma cota inferior deB e qualquer outra cota inferior de B é menor ques, ou seja,sé a maior cota inferior de B.

Noutro termos

(8)

A defini¸cão de cotas para uma seqüência (an)n equivale a esta última quando consideramos o conjuntoA como sendo aquele constituido pelos termos da seqüência (an)n, isto éA={an}n.

´

E óbvio que, conjuntos que não são limitados superiormente não possuem supremo e, de modo análogo, conjuntos que não são limitados inferiormente não possuem ´ınfimo.

Exemplo 2.11 SejaA={x∈R_{: 0}_{< x}2 _<_{2}. Ent˜}_ao _A_{´e limitado e temos inf}_A_{= 0 e sup}_A₌√_2.

O teorema abaixo retrata a completudedo corpo dos n´umeros reais, propriedade essencial em boa parte dos resultados que demonstraremos daqui em diante.

Teorema 2.12 (Propriedade do Supremo) Todo subconjunto de R limitado superiormente

ad-mite supremo. Analogamente, todo subconjunto de R _{limitado inferiormente admite ´ınfimo.}

Teorema 2.13 Toda seqüência de números reais crescente e limitada superiormente é convergente. Analogamente, toda seqüência de números reais decrescente e limitada inferiormente é convergente.

Prova: Seja (an)n uma seqüência crescente e limitada superiormente. O conjuntoA={an}n, consti-tuido pelos termos da seqüência, é não vazio e limitado superiormente. Logo, admite supremo. Seja

a= supA. Vamos provar quean→a.

Sendo a= supA, dado!>0, existe um natural n0 tal que a−!< an0 ≤a. Como, por hip´otese,

(an)n ´e crescente, resulta,n > n0 ⇒a−!< an. Mas, para todo n, tem-se an< a, pois a´e supremo de A. Logo,

n > n0 ⇒a−!< an< a+!.

Portantoan→a. A prova da segunda parte do teorema ´e an´aloga e fica a cargo de leitor. !

Teorema 2.14 Se(an)né crescente, mas não é limitada superiormente, entãoliman= +∞.

Analoga-mente, se (an)n é decrescente, mas não é limitada inferiormente, então liman=−∞.

Prova: Como (an)n n˜ao ´e limitada superiormente, para todo ! > 0, existe um natural n0 tal que

an0 >!. Como, por hip´otese, (an)n ´e crescente, resultan > n0 ⇒an>!, ou seja, an→+∞. !

Exemplo 2.15 A seq¨uˆencia de termo geralan=

n

en ´e convergente. De fato, seja f(x) = x

ex, x ∈ [1,+∞[. Temos an = f(n) para todo natural n e, al´em disso,

f′

(x) = 1−x

ex <0 para todox >1. Isso prova quef é decrescente em [1,+∞[ e portanto, a seqüência (an)né também decrescente. Como, além disso, (an)né limitada inferiormente (0 é uma cota inferior desta seqüência), segue do teorema que (an)n é convergente.

Exemplo 2.16 A seq¨uˆencia de termo geralsn=

n !

k=1 1

k2 ´e convergente.

Observamos, inicialmente, que a seqüência é crescente, como cada um de seus termos é obtido do anterior somando-se um número real positivo. Vamos agora provar que a seqüência é limitada superiormente. Temos

sn= 1 + 1 22 +

1

32 +· · ·+ 1

n2 ≤1 + & n

1 1

x2dx.

Como a seq¨uˆencia n_-→

& n

1 1

x2dx´e crescente e lim_n→+∞ & n

1 1

x2dx= lim_n→+∞ '

−_n1 + 1 (

= 1, segue-se que

sn≤2, para todon≥1.

Disso tudo segue que a seqüência é convergente, pois é crescente e limitada superiormente por 2.

Isto significa que existe s∈R_,_s_≤_{2, tal que lim}

n→₊∞ n !

k=1 1

(9)

Observa¸cão 2.17 Pode-se provar a seqüência (sn)ndo exemplo anterior converge paraπ2/6. E neste caso, escrevemos

∞ !

k=1 1

k2 =

π2

6 .

Exemplo 2.18 A seq¨uˆencia de termo geralsn=

n !

k=1 1

k ´e divergente.

Como no exemplo anterior, pode-se provar que a seqüência é crescente. Agora, para todo n≥1,

sn= 1 + 1 2 +

1

3 +· · ·+ 1

n ≥

& n+1

1 1

xdx.

Como lim n→+∞

& n+1

1 1

xdx= limn→+∞ln(n+ 1) = +∞, resulta sn→+∞.

Exemplo 2.19 Você naturalmente se lembra, do curso de Cálculo I, que a seqüência (an)n, cujo termo geral é an =

$ 1 + 1

n

%n

, é crescente e limita e, portanto, convergente, e que seu limite é o famosonúmero de Euler.

lim n→₊∞

$ 1 + 1

n

%n =e

1. ´E convergente ou divergente? Justifique:

(a)sn= n !

k=1 1

√

k (b)sn=

n !

k=1 1

2k (c)sn= n !

k=1 1

k2_{+ 1} (d) sn= n !

k=2 1 lnk

2. Suponha que, para todo naturalk, o termoakperten¸ca ao conjunto{0,1,2, . . . ,9}. A seq¨uˆencia

de termo geralsn= n !

k=1

ak

10k ´e convergente ou divergente? Justifique.

3. Seja sn= n !

k=0

[1 + (−1)k], n≥0. Verifique quesn→+∞.

4. Prove que é convergente a seqüência de termo geralan= & n

1

sen2x x2 dx.

3 Subseq¨

uˆ

encias

Dada uma seqüência (an)n, considere uma seqüência (nk)kde naturais tal quen1 < n2< n3<· · ·. Então, a seqüência (ank)ké chamada umasubseqüênciade (an)n. Deste modo, uma subseqüência nada

mais é que uma restri¸cão da seqüência à um subconjunto infinito de seu dom´ınio. Se (ank)k converge,

seu limite ´e chamado umlimite subsequencial de (an)n.

Exemplo 3.1 Considere a seqüência de termo geral an = 1₂[1 + (−1)n], n ≥ 1. A seqüência assim definida é (0,1,0,1, . . .). Duas subseqüências de (an)n se destacam naturalmente, quais sejam, a sub-seqüência dos termos de ´ındices ´ımparesa2n−1 = 0 (seqüência constante igual a zero) e a subseqüência dos termos de ´ındices paresa2n= 1 (seqüência constante igual a 1).

Exemplo 3.2 Considere a seq¨uˆencia de termo geralan= '

1

n+ (−1)

n (

,n_≥1. Temosa2n−₁= 1

n−1

e a2n= 1

n+ 1. E ´e claro quea2n−1 → −1 ea2n→1. Assim −1 e 1 s˜ao dois limites subsequenciais de

(10)

Teorema 3.3 Se liman=a, então toda subseqüência de (an)n também converge para a.

Corol´ario 3.4 Se lim

n→₊∞an = a, ent˜ao, para todo k ∈

N, lim

n→₊∞an+k = a. Com efeito, (an+k)n ´e

uma subseq¨uˆencia de (an)n.

Exprime-se o corolário acima dizendo que o limite de uma seqüência não se altera quando dela se omite um número finito de termos. Na realidade, o teorema acima diz que o limite se mantém, mesmo que se desprezem termos em número infinito, desde que se conserve uma infinidade de ´ındices, de modo a restar ainda uma subseqüência. É útil (e óbvio) o fato que se (an+k)n converge, então também (an)n converge.

Há duas aplica¸cões especialmente úteis do teorema anterior e da unicidade do limite. A saber:

• Mostrar que uma seqüência não converge: basta obter duas subseqüências com limites distintos.

• Determinar o limite de uma seqüência que, a priori, se sabe que converge: basta determinar o limite de alguma subseqüência, e este será o limite procurado.

Exemplo 3.5 Suponha que a seqüência (an)nseja convergente e satisfa¸ca a condi¸cãoan+1 =A+Ban para todo naturaln, ondeA e B são constantes reais com B *= 1. Encontre lim

n→₊∞an.

Resolu¸c˜ao: Sejaa= lim

n→₊∞an. Ent˜ao tamb´em lim_n→₊∞an+1 =a. Logo, da igualdadean+1=A+Ban vem

a= lim

n→₊∞an+1 = lim_n→₊∞[A+Ban] =A+B_n→lim₊∞an=A+Ba, donde resultaa=A/(1₋B).

Exemplo 3.6 A seqüência de termo geralan= cosnπé divergente. De fato, as subseqüências (a2n)n e (a2n−1)n têm limites distintos.

Abaixo, um dos mais importantes teoremas da teoria de seqüências de números reais.

Teorema 3.7 Toda seqüência limitada possui subseqüência convergente.

A demonstra¸c˜ao deste teorema exige argumentos envolvendo o conceito de supremo e limite supe-rior que ultrapassam o grau de dificuldade esperado para este curso.

1. Prove o Teorema 3.3.

2. Prove que (an)n converge paraa se, e somente se, toda subseq¨uˆencia de (an)n converge paraa.

3. Prove que a fim de que uma seqüência (an)n não possua subseqüência convergente é necessário e suficiente que lim

n→∞|an|= +∞.

4. Seja (an)n uma seqüência tal que a2n → a e também a2n+1 → a, ou seja, a subseqüência dos termos de ´ındices pares e a subseqüência dos termos de ´ındices ´ımpares são ambas convergentes e convergem para o mesmo limitea∈R_{. Prove que}_a_n_→_a_.

(11)

(a) Toda seqüência quase-constante é convergente.

(b) Toda seqüência convergente posssui uma subseqüência quase-constante.

6. Prove que a seq¨uˆencia a1=

√

2,a2= )

2 +√2,a3 = *

2 +)2 +√2,. . .converge e calcule seu limite.

7. Prove que a seq¨uˆencia a1 =√2,a2 = )

2√2,a3 = *

2)2√2,. . . converge e calcule seu limite.

4 Seq¨

uˆ

encias de Cauchy

Já salientamos a importância do resultado “toda seqüência monótona limitada é convergente”, que nos permite, em certos casos, saber que uma seqüência possui limite, mesmo sem conhecer o valor de tal limite. Mas é claro que muitas seqüências convergentes não são monótonas, de modo que aquele critério de convergência não é o mais geral poss´ıvel. Veremos agora o critério de Cauchy, que nos dará uma condi¸cão necessária e suficiente para a convergência de uma seqüência de números reais.

Seja (an)n uma seqüência de números reais. Ela se chama uma seqüência de Cauchy quando cumpre a seguinte condi¸cão

Dado arbitrariamente !>0, existen0 ∈N tal quem, n > n0⇒|xm−xn|<!.

A fim de que (an)n seja uma seqüência de Cauchy, exige-se que seus termos xm,xn, para valores suficientemente grandes dos ´ındicesmen, se aproximem arbitrariamente uns dos outros. Compare-se com a defini¸cão de limite, onde se exige que os termosxnse aproximem arbitrariamente de um número real adadoa priori. Aqui se impõe uma condi¸cão apenas sobre os termos da própria seqüência.

Teorema 4.1 Toda seqüência convergente é de Cauchy.

Prova: Seja liman=a. Dado arbitrariamente!>0, existen0 ∈N tal quem > n0 ⇒|am−a|<!/2 e n > n0 ⇒|an−a|<!/2. Logo

m, n > n0 ⇒|am−an|≤|am−a|+|an−a|<!/2 +!/2 =!,

o que mostra que (an)né uma seqüência de Cauchy. _!

Intuitivamente, se an → a, ent˜ao, para valores grandes de n, os termos an se aproximam de a. Neste caso, eles devem necessariamente se aproximar uns dos outros.

Passaremos agora `a demonstra¸c˜ao da rec´ıproca do teorema precedente. Antes, dois lemas:

Lema 4.2 Toda seqüência de Cauchy é limitada.

Prova: Seja (an)n uma seq¨uˆencia de Cauchy. Tomando != 1, obtemosn0 ∈Ntal que m, n > n0 ⇒ |am−an|<1. Em particularn > n0⇒|an0+1−an|<1, ou seja,n > n0⇒an∈]an0+1−1, an0+1+ 1[.

Seja α o menor eβ o maior elemento do conjunto finito F ={a1, a2, . . . , an0, an0+1−1, an0+1+ 1}.

(12)

Prova: Seja (an)n uma seqüência nas condi¸cões enunciadas. Dado ! > 0, existe n0 ∈ N tal que

m, n > n0 ⇒|am−an|<!/2. Existem tamb´em n1> n0 tal que|an1−a|<!/2. Portanto

n > n0⇒|an−a|≤|an−an1|+|an1 −a|<!/2 +!/2 =!.

Isto prova quean→a. !

Teorema 4.4 Toda seqüência de Cauchy de números reais é convergente.

Prova: Seja (an)n uma seqüência de Cauchy. Pelo Lema 4.2, ela é limitada. Logo, pelo Teorema 4.1, ela possui uma subseqüência convergente. Segue do Lema 4.3 que (an)n converge. !

1. Sejam (an)n e (bn)n duas seqüências de Cauchy. Mostre que a seqüência (|an−bn|)n converge.

2. Use a fun¸c˜ao f :]0,1] → R _{dada por} _f₍_x_{) = 1}_/x _{e a seq¨}_{uˆencia de termo geral} _a_n _{= 1}_/n

para provar que uma fun¸cão cont´ınua não transforma necessariamente seqüências de Cauchy em seqüências de Cauchy.

3. Seja (an)n uma seqüência convergente com an→p. Prove que a seqüência (a1, p, a2, p, a3, p, . . .) é uma seqüência de Cauchy. Qual o limite de (x1, p, x2, p, . . .)?

4. Seja f : R _→ R _{uma fun¸cão que transforma seq¨}_{uências de Cauchy em seq¨}_{uências de Cauchy.}

Prove que f é cont´ınua. (sugestão: _{Para todo} _p _∈ R_{, se} _a_n _→ _p_{, considere a seq¨}_uência

(x1, p, x2, p, . . .) e ent˜ao utilize o exerc´ıcio anterior para concluir quef(xn)→f(p)) .

5. Dizemos que uma fun¸cãof :R_→R_{é uma}contra¸cãose existe um número realλ, com 0≤λ<1, tal que, quaisquer que sejam os reaisx e y, vale

|f(x)−f(y)|≤λ|x−y|.

Seja, então, f : R _→ R uma contra¸cão e considere um real a0. Seja a seqüência an, n ≥ 0, definida poran=f(an−₁),n≥1.Prove:

(a) |a2−a1|≤λ|a1−a0| (b) |a3−a2|≤λ2|a1−a0|

(c) |an+1−an|≤λn|a1−a0|

(d) |an+2−an|≤(λn+1+λn)|a1−a0|

(e) |an+p−an|≤(λn+p−1+λn+p−2+· · ·+λn)|a1−a0| (f) |an+p−an|≤

λn

1−λ|a1−a0|, para todo naturalp e todo natural n.

6. Seja (an)n a seqüência do exerc´ıcio anterior. Prove que (an)n é de Cauchy e, portanto, existe um número real atal que lim

n→₊∞an=a.

7. Prove que toda contra¸cão é uma fun¸cão cont´ınua.

8. Seja (an)n a seqüência do Exerc´ıcio 5. Tendo em vista os Exerc´ıcios 6 e 7, prove que a é um

ponto fixode f, ou seja,f(a) =a.

(13)

5 S´

eries num´

ericas

Umasoma formal de todos os termos de uma seqüência infinita de números reais (ak)k tal como ∞

!

k=1

ak

é chamada uma série infinita ou simplesmente uma série. A soma sn =a1+a2 +· · ·+an = n !

k=1

ak

dosnprimeiros termos da seqüência (ak)k é chamada an-ésima soma parcialda série ∞ !

k=1

ak.

Observa¸c˜ao 5.1 Note-se que, para todo naturaln, tem-se sn+1 =sn+an+1.

Exemplo 5.2 Considere a s´erie

∞ !

k=1 1

2k. Temos:

s1 = 1 2

s2 = 1 2+

1 4 =

3

4 = 0,75

s3 = 1 2+

1 4+

1 8 =

3 4+

1 8 =

7

8 = 0,875

s4 = 1 2+

1 4+

1 8 +

1 16 =

7 8+

1 16 =

15

16 = 0,9375 ..

.

s24= 1 2 +

1 4+

1 8+

1 16 +

1

32 +· · ·+ 1

224 = 0,99999998.

Se a seqüência (sn)n das somas parciais de uma série +ak converge para um limite S = limsn, dizemos que a série+

ak converge e que suasoma´eS. Neste caso, escrevemos

S = ∞ !

k=1

ak.

Quando a série não converge, dizemos que ela diverge. Uma série que converge é chamada conver-gente e uma que diverge é chamadadivergente.

Exemplo 5.3 Encontre an-´esima soma parcial da s´erie ∞ !

k=1 1

k(k+ 1). Determine se esta s´erie converge ou diverge e, se convergir, encontre sua soma.

Resolu¸c˜ao: Temos:

sn= n !

k=1 1

k(k+ 1) = n !

k=1 $

1

k −

1

k+ 1 %

= $

1− 1

2 %

+ $

1 2 −

1 3

%

+· · ·+ $

1

n−

1

n+ 1 %

= 1− 1

n+ 1.

Portanto,sn=

n

n+ 1. E assim,

lim

n→₊∞sn= lim_n→₊∞

n

n+ 1 = limn→₊∞ 1

1 + 1/n = 1.

Portanto a s´erie ´e convergente e temos ∞ !

k=1 1

(14)

Uma série como a deste exemplo, em que o termo geral ak pode ser expresso comoak =bk−bk+1 é chamada uma série telescópica. Neste caso mais geral, a n-ésima soma parcial ésn=b1−bn+1.

Exemplo 5.4 Encontre a série cuja seqüência de somas parciais tem termo geral sn= 3n

2n+ 1. De-termine se esta s´erie converge ou diverge e, se convergir, encontre sua soma.

Resolu¸c˜ao: sn= 3n

2n+ 1 esn−1=

3(n₋1) 2(n−1) + 1 =

3n₋3

2n−1. Assim, desn=sn−1+an segue-se

an=sn−sn−₁= 3n

2n+ 1−

3n−3 2n₋1 =

3 4n2₋₁.

Portanto, a s´erie procurada ´e ∞ !

k=1 3

4k2₋₁ e, já que sn é a n-ésima soma parcial desta série, temos

∞ !

k=1 3

4k2₋₁ = lim_n→₊∞sn= lim_n→₊∞ 3n

2n+ 1 = 3 2.

Exemplo 5.5 (Série Geométrica) Uma série geométrica é a soma formal dos termos de uma

progressão geométrica, ou seja, é uma série da forma

∞ !

k=1

ark−₁

=a+ar+ar2+· · ·+arn−₁ +· · ·,

onde a e r são constantes reais. A constante r é chamada a razão da série. Para uma tal série geométrica, temos:

sn=a+ar+ar2+· · ·+arn−1 e rsn=ar+ar2+ar3+· · ·+arn,

donde (1−r)sn=a−arn=a(1−rn) e, portanto

sn=a 1₋rn

1−r , desde quer *= 1.

Agora, se |r|<1, ent˜ao lim r→₊∞r

n_{= 0 e, ent˜}_ao,

lim

n→+∞sn= limn→+∞a 1₋rn

1₋r = a

1₋r.

Por outro lado, se |r| > 1, então a seqüência (rn)n diverge e, assim, a seqüência (sn)n também diverge. No caso em que|r|= 1, é fácil ver que (sn)n diverge, a menos que se tenha a= 0.

Exemplo 5.6 Supondo 0<α_≤1, mostre que

∞ !

k=0

(₋1)kα 2k+1

2k+ 1 = arctgα.

Resolu¸cão: Este problema será resolvido com aux´ılio da progressão geométrica. Sabemos que

1 +r+r2+· · ·+rn= 1−r n+1

1₋r .

Da´ı

1

1−r = 1 +r+r

2₊_{· · ·}₊_rn₊ rn+1 1−r.

Fazendo r=−x2, resulta

1

1 +x2 = 1−x

2₊_x4₊_{· · ·}_{+ (}

−1)nx2n+ (₋1)n+1x 2n+2

(15)

Como arctgα= & α

0 1

1 +x2 dx, resulta

arctgα=α₋α

3

3 +

α5

5 +· · ·+ (−1)

nα2n+1

2n+ 1+ (−1)

n+1& α 0

x2n+2 1 +x2 dx.

Agora ´e s´o mostrar que, para 0<α_≤1, lim n→₊∞

& α

0

x2n+2

1 +x2 dx= 0. Seja, ent˜ao 0<α≤1. Temos: 0_≤ x

2n+2

1 +x2 ≤x

2n+2 _para_x

∈[0,α].

Da´ı

0_≤ & α

0

x2n+2 1 +x2 dx≤

& α

0

x2n+2dx

e, portanto,

0_≤ & α

0

x2n+2 1 +x2 dx≤

α2n+3

2n+ 3.

De 0<α _≤1, segue que lim n→₊∞

α2n+3

2n+ 3= 0 e, portanto, limn→₊∞ & α

0

x2n+2

1 +x2dx= 0. Fica assim provado que, para 0<α_≤1,

arctgα= ∞ !

k=0

(−1)kα 2k+1

2k+ 1.

Exemplo 5.7 Verifique que π

4 = 1− 1 3+

1 5 −

1

7 +· · · = ∞ !

k=0

(₋1)k 1 2k+ 1.

Resolu¸c˜ao: Pelo exemplo anterior

π

4 = arctg 1 = ∞ !

k=0

(₋1)k 1 2k+ 1.

1. Explique cuidadosamente a diferen¸ca entre uma seqüência e uma série.

2. Encontre uma s´erie cujan-´esima soma parcial seja dada por sn= 3n

2n+ 5.

3. Encontre a soma de cada série abaixo for¸cando os termos através de somas parciais a formar uma série telescópica.

(a) ∞ !

k=1

1

k(k+ 1)(k+ 2)(k+ 3) (b) ∞ !

k=1

√

k+ 1−√k

√

k2₊_k (c) ∞ !

k=1 $

sen1

k −sen

1

k+ 1 %

4. Use os resultados envolvendo séries geométricas para encontrar a soma de cada série.

(a) ∞ ! k=1 , 5 $ 1 2 %k + 3 $ 1 3

%k

-(b) ∞ !

k=1 3

10k (c) ∞ ! k=1 2 $ −1 3 %k+7

(d) ∞ !

k=1

e−_k

5. Prove que, para todoa_∈R_{, a s´erie}_a2₊ a

2

1 +a2+

a2

(1 +a2₎2 +· · · ´e converge e calcule sua soma.

6. Lembrando que ln(1 +α) = & α

0 1

1 +xdx, mostre que, para 0<α≤1 tem-se

ln(1 +α) = ∞ !

k=1

(−1)k+1α k

(16)

7. Utilizando o exerc´ıcio anterior, calcule a soma das s´eries2

(a) 1₋1 2+

1 3 −

1

4 +· · · (b) 1 2−

1 2·22 +

1 3·23 −

1

4·24 +· · ·

8. Considere a fun¸c˜ao f(x) = 1

xα, x ≥ 1 e α >1. Seja β >1 um real dado. Calcule a soma da

s´erie ∞ !

k=0

βkf(βk) e prove que lim

β→₁(

β₋1) ∞ !

k=0

βkf(βk) = & +∞

1

f(x)dx.

9. Suponha que a fun¸c˜ao f : [1,+∞[→ R _{seja cont´ınua, decrescente e positiva. Suponha, ainda,}

que a s´erie ∞ !

k=1

f(k) seja convergente e tenha somaS. Prove que n !

k=1

f(k) ´e um valor aproximado

por falta deS, com erro, em m´odulo, inferior a & ∞

n

f(x)dx.

6 Propriedades das s´

eries

Nesta se¸cão, apresentaremos algumas propriedades gerais das séries numéricas para, mais adiante, estudarmos os assim chamados critérios de convergência.

Teorema 6.1 Se a s´erie +

ak converge, ent˜ao lim

n→∞an= 0.

Prova: Seja sn =

n !

k=1

ak. Como +ak converge, (sn)n converge e lim

n→₊∞sn = S = ∞ !

k=1

ak. Sendo

assim, comoan=sn−sn−₁, resulta

lim

n→₊∞an= lim_n→₊∞(sn−sn

−₁) = lim

n→₊∞sn−_n→lim₊∞sn

−₁ =S−S = 0.

!

Exemplo 6.2 As s´eries

∞ !

k=1

k k+ 13 e

∞ !

k=1

cos(kπ) n˜ao convergem, pois lim n→∞

n

n+ 13 = 1 *= 0 e lim

n→∞cos(nπ) n˜ao existe.

Observa¸c˜ao 6.3 A rec´ıprova do teorema anterior ´e falsa, ou seja, se lim

n→∞an= 0, n˜ao necessariamente a s´erie+

ak ser´a convergente. De fato, considere o seguinte exemplo:

Exemplo 6.4 Considere a s´erie

∞ !

k=1 ln k

k+ 1. Temos:

lim n→∞ln

k

k+ 1 = ln limn→∞

k

k+ 1 = ln 1 = 0. No entanto,

∞ !

k=1 ln k

k+ 1 = ∞ !

k=1

[ln(k)₋ln(k+ 1)] = lim

n→₊∞ln(n+ 1) = +∞.

A seguir, o resultado que nos permite operar algebricamente s´eries num´ericas.

2

(17)

Teorema 6.5 (i) Se +

ak e+bk são séries convergentes, então+(ak±bk) é convergente e vale !

(ak±bk) = !

ak± !

bk.

(ii) Se+

ak converge e+bk diverge, ent˜ao +(ak+bk) diverge.

(iii) Se+

ak é convergente (respectivamente divergente) ec é uma constante não nula, então+cak

´e convergente com +

cak=c+ak (respectivamente, +cak ´e divergente).

Prova: Segue facilmente das propriedades aritméticas dos limites de seqüências. Os detalhes são deixados como exerc´ıcios para o leitor. !

Observa¸c˜ao 6.6 Se+

ak e+bks˜ao ambas divergentes, pode ocorrer de+(ak+bk) ser convergente. De fato, tome-se para exemplo (trivial) ak =ke bk=−k.

Exemplo 6.7 Encontre a soma da s´erie

∞ !

k=1 $

5 2k−₁ +

1 3k−₁

%

Resolu¸cão: A série dada pode ser expressa como a soma de duas séries geométricas convergentes, cujas somas podem ser facilmente calculadas:

∞ !

k=1 5 2k−₁ =

5

1₋1/2 = 10 e ∞ !

k=1 1 3k−₁ =

1 1₋1/3 =

3 2.

Portanto ∞ !

k=1 $

5 2k−₁ +

1 3k−₁

%

= 10 +3 2 =

23 2 .

Exemplo 6.8 A s´erie

∞ !

k=1 $

ln k

k+ 1− 1 3k

%

diverge, j´a que ∞ !

k=1 ln k

k+ 1 diverge e ∞ !

k=1 1

3k converge.

Teorema 6.9 Seja M um inteiro positivo fixado. A s´erie

∞ !

k=1

ak converge se, e somente se, a s´erie

∞ !

k=M+1

ak converge. Além disso, se estas séries convergem, então ∞ !

k=1

ak = M !

k=1

ak+ ∞ !

k=M+1

ak.

1. Verifique que as s´eries abaixo s˜ao divergentes:

(a) ∞ !

k=1

[1 + (−1)k] (b) ∞ !

k=2

k

lnk (c)

∞ !

k=1

eksen1

k

2. Verdadeiro ou falso? Justifique!

“Se+

aké uma série divergente de termos positivos, então +a −₁

k ´e convergente.”

3. Calcule a soma da s´erie ∞ !

k=0 .

e−k

+ cos (kπ) e 2k

/ .

4. Seja M o seu n´umero de matr´ıcula. Calcule a soma da s´erie ∞ !

k=M 1

k(k+ 1).

(18)

7 S´

eries de termos n˜

ao negativos - Crit´

erios de convergˆ

encia

Nesta se¸cão, estudaremos critérios de convergência para séries cujos termos não trocam de sinal. Por conveniência, assumiremos termos não negativos.

Teorema 7.1 Seja +

ak uma série cujos termos são todos não negativos. Se a seqüência (sn)n das

somas parciais da s´erie +

ak é limitada superiormente, então +ak é convergente.

Prova: Como os termos ak são todos não negativos, a seqüência (sn)n é monótona crescente e, portanto, convergente, já que, por hipótese, esta seqüência é também limitada.

!

Exemplo 7.2 Mostre que a s´erie

∞ !

k=1

k−1

k2k converge.

Resolu¸cão: Claramente, cada termo da série é não negativo. Agora,

k−1

k2k =

k−1

k

$ 1 2

%k

<

$ 1 2

%k

.

Isso implica que, para todo naturaln, tem-se:

sn= n !

k=1

k−1

k2k < ∞ !

k=1 $

1 2

%k = 1

2 · 1

1−1/2 = 1,

o que prova que a seqüência (sn)né limitada. O resultado segue do teorema anterior.

A seguir, um clássico, importante e bastante intuitivo critério de convergência que já utilizamos implicitamente nos Exemplos 2.16 e 2.18.

Teorema 7.3 (Crit´erio da Integral) Considere a s´erie

∞ !

k=1

ak e suponha que exista um natural p

e uma fun¸c˜ao f : [p,+_∞[_→ R _{cont´ınua, decrescente e n˜}_{ao negativa tal que} _f₍_k_{) =} _a_k _para _k _≥ _p_.

Nestas condi¸c˜oes, tem-se:

(i) & +∞

p

f(x)dx converge _⇒

∞ !

k=1

ak converge.

(ii) & +∞

p

f(x)dx diverge _⇒

∞ !

k=1

ak diverge.

p

ap

ap!1

1 ! p

a ₂

! p

2 ! p

Prova: Para n > p, tem-se n !

k=1

ak = p !

k=1

ak+ n !

k=p+1

ak. Como p est´a fixo, segue desta rela¸c˜ao que

∞ !

k=1

ak ser´a convergente (ou divergente) se, e somente se, ∞ !

k=p+1

ak for convergente (ou divergente).

(i) Temos

n !

k=p+1

ak≤ & n

p

f(x)dx_≤

& +∞

p

f(x)dx.

Segue que a seq¨uˆencia sn= n !

k=p+1

ak ´e crescente e limitada superiormente por & +∞

p

f(x)dx. Assim, se

& +∞

p

f(x)dx <∞, ent˜ao a s´erie ∞ !

k=1

(19)

(ii) Temos

n−₁ !

k=p

ak ≥ & n

p

f(x)dx.

Assim, supondo que & +∞

p

f(x)dxseja divergente, a seq¨uˆencia sn= n !

k=p+1

ak ser´a crescente e ilimitada

e, portanto, divergente. !

∞ !

k=1 1

1 +x2 converge ou diverge? Justifique.

Resolu¸c˜ao: Temos

& +∞

1

dx

1 +x2 = lim_b→+∞ & b

1

dx

1 +x2 = lim_b→+∞

[arctgx]b₁ = lim b→+∞

.

arctgb₋π

4 /

= π 2 −

π

4 =

π

4.

Pelo crit´erio da integral, a s´erie ∞ !

k=1 1

1 +x2 converge.

∞ !

k=2 1

klnk converge ou diverge? Justifique.

& +∞

2

dx

xlnx = limb→₊∞ & b

2

dx

xlnx = limb→₊∞

[ln(lnx)]b₂= lim b→₊∞

[ln(lnb)₋ln(ln 2)] = +_∞.

Pelo crit´erio da integral, a s´erie ∞ !

k=2 1

klnk diverge.

Exemplo 7.6 (Série Harmônica) A sérieharmônica

∞ !

k=1 1

kp converge sep >1 e diverge se p≤1.

Resolu¸c˜ao: Sep <0, ent˜ao lim k→+∞

1

kp = +∞e assim ∞ !

k=1 1

kp diverge. Sep= 0, ent˜ao lim_k→+∞ 1

kp = 1

e, neste caso, ∞ !

k=1 1

kp tamb´em diverge.

Assumindo p >0, a fun¸c˜aof(x) = 1

xp ´e cont´ınua, decrescente e n˜ao negativa em [1,+∞[ e temos

& b

1 1

xp dx= lnb se p= 1 e

& b

1 1

xp dx=

b1−_p

−1

1−p se p*= 1.

Como lim b→₊∞

lnb = +_∞, segue do crit´erio da integral que ∞ !

k=1 1

kp diverge se p = 1. Para p *= 1 temos

lim b→₊∞

b1−_p

−1 1₋p =−

1

1₋p se p >1 e b→lim₊∞

b1−_p

−1

1₋p = +∞ se p <1.

Mais uma vez do crit´erio da integral segue que ∞ !

k=1 1

(20)

Observa¸cão 7.7 Não obstante a série harmônica ∞ !

k=1 1

kp ser convergente quando p > 1, não existe uma “fórmula agradável” para sua soma. A fun¸cão

ζ :]1,+_∞[_→R _{dada por} _ζ₍_p_{) =}

∞ !

k=1 1

kp

chama-seFun¸c˜ao Zeta de Riemanne desempenha importante papel naTeoria Anal´ıtica dos N´umeros.3

Defini¸c˜ao 7.8 Sejam +

ak e +bk duas séries cujos termos são não negativos. Dizemos que +bk

domina+

ak seak≤bk para todok. Se existen0 ∈Ntal queak≤bkpara todo k≥n0, dizemos que +

bk domina eventualmente +ak.

Teorema 7.9 (Crit´erio da compara¸c˜ao direta) Sejam +

ak e+bk séries cujos termos são não

negativos e suponha que +

bk domine eventualmente +ak. Nestas condi¸c˜oes, tem-se:

(i) Se+

bk converge, ent˜ao +ak converge.

(ii) Se+

ak diverge, ent˜ao +bk diverge.

Prova: E bastante intuitiva e simples e, portanto, fica como exerc´ıcio para o leitor.´ !

∞ !

k=1 1

7k_{+ sen}_k converge.

Resolu¸c˜ao: Vamos mostrar que a s´erie ∞ !

k=1 1

7k−₁ (que sabemos ser convergente) domina a s´erie ∞

!

k=1 1

7k_{+ sen}_k. A desigualdade que deve, para tanto, ser demonstrada, ´e 1

7k_{+ sen}_k ≤ 1

7k−₁, a qual ´e equivalente `a desigualdade 7k−₁

≤7k+ senk, ou ainda, −senk≤7k−7k−₁

= (7−1)7k−₁

= 6·7k−₁ . Esta última desigualdade é claramente verdadeira, já que₋senk_≤1_≤6_≤6·7k−1

, para todok_≥1.

∞ !

k=2 1

lnk diverge.

Resolu¸c˜ao: Como 0 < lnk < k para todo k ≥ 2 (verifique!4), temos 1

k <

1

lnk para todo k ≥ 2.

Assim, a s´erie ∞ !

k=2 1

lnk domina a s´erie

∞ !

k=2 1

k. Como esta última é divergente, a série

∞ !

k=2 1

lnk diverge.

∞ !

k=2

k

k2_{+ 2}_k_{+ 1} diverge.

k

k2_{+ 2}_k_{+ 1} = 1

k·

1 1 +2_k+ _k12

.

Para todok≥1, tem-se 1 + 2

k+

1

k2 ≤4 e, portanto, para todo k≥1, tem-se 1 1 +_k2 +_k12

≥ 1

4. Segue que, para todok≥1,

k

k2_{+ 2}_k_{+ 1} ≥ 1 4k.

Como ∞ !

k=2 1

4k = +∞, resulta

∞ !

k=2

k

k2_{+ 2}_k_{+ 1} = +∞.

3

Como citamos na Observa¸c˜ao 2.17,ζ(2) =π2/6.

4

Para isso, definaf(x) =x−lnxe cheque quef(1)>0 ef ′

(21)

Teorema 7.13 (Crit´erio do limite) Sejam +

ak e +ck duas s´eries cujos termos s˜ao positivos a

partir de algum ´ındiceq fixado. Suponhamos que

lim k→+∞

ak

ck =L.

(i) SeL >0,L real, ent˜ao ou ambas as s´eries convergem ou ambas divergem.

(ii) SeL= +_∞ e se +

ck diverge, ent˜ao +ak tamb´em diverge.

(iii) SeL= 0 e se +

ck converge, ent˜ao +ak tamb´em converge.

Prova: (a) De lim

k→+∞

ak

ck

=L,L > 0 real, segue que, tomando-se ! =!/2, existe um natural p, que podemos supor maior queq, tal que

k > p_⇒L₋L

2 <

ak

bk

< L+L

2 donde k > p⇒

L

2 ck< ak< 3L

2 ck.

Segue do critério da compara¸cão que ambas as séries são convergentes ou ambas são divergentes. (b) De lim

k→₊∞

ak

ck

= +∞segue que, tomando-se!= 1, existe um natural p > q, tal que

k > p⇒ ak

ck

>1 donde k > p⇒ak> ck.

Segue do crit´erio da compara¸c˜ao que se +

ck for divergente, então+ak também será. (c) De lim

k→₊∞

ak

ck

= 0 segue que, tomando-se!= 1, existe um natural p > q, tal que

k > p⇒ ak

ck

<1 donde k > p⇒ak< ck.

Segue do crit´erio da compara¸c˜ao que se +

ck for convergente, então +ak também será. !

∞ !

k=2

ke−k

converge ou diverge? Justifique.

Resolu¸cão: A série harmômica ∞ !

k=2 1

k2 ´e convergente. Fa¸camosak=ke −_k

e ck= 1

k2. Temos

lim k→∞

ak

ck

= lim k→+∞

ke−k

1/k2 = lim_k→+∞

k3 ek = 0. Pelo crit´erio do limite, concluimos que a s´erie dada converge.

Observa¸cão 7.15 O sucesso na utiliza¸cão do teste do limite está exatamente na escolha adequada da série+

ck de compara¸cão. Em muitos casos, as séries harmônicas ou as séries geométricas desem-penham muito bem este papel.

∞ !

k=2

k2+ 2

k5_{+ 2}_k_{+ 1} converge ou diverge? Justifique.

Resolu¸c˜ao: Como lim k→+∞

k2+ 2

k5_{+ 2}_k_{+ 1} = 0, a série tem chance de ser convergente. Vamos tomar como série de compara¸cão a série geométrica

∞ !

k=2 1

k3, que sabemos ser convergente. Fazendo ak =

k2_{+ 2}

k5_{+ 2}_k_{+ 1} eck= 1

k3, temos lim_k→∞

ak

ck

= lim k→₊∞

k5_{+ 2}_k3

(22)

Teorema 7.17 (Critério da compara¸cão de razões) Sejam +

ak e +bk duas s´eries de termos

positivos. Suponhamos que exista um natural p tal que, parak_≥p,

ak+1

ak ≤

bk+1

bk

.

(i) Se+

bk converge, ent˜ao +ak converge.

(ii) Se+

ak diverge, ent˜ao +bk diverge.

Prova: Segue da hip´otese que, para k≥p, tem-se ak+1

bk+1 ≤

ak

bk

e, portanto, a seq¨uˆencia ak

bk

, k≥p, ´e

decrescente. Da´ı, para k≥p, temos ak

bk ≤

ap

bp

e, portanto, parak≥p,

ak≤

ap

bp

bk.

Agora é só aplicar o critério da compara¸cão. _!

Exemplo 7.18 Considere a s´erie de termos positivos +

ak e suponha que existam um real r e um natural p, com 0 < r < 1, tais que, para todo k ≥ p, a raz˜ao ak+1

ak ≤

r. Prove que a s´erie +

ak ´e convergente.

Resolu¸cão: Considere a série geométrica ∞ !

k=0

bk, ondebk=rk,k≥0. Tal s´erie ´e convergente, pois

0< r <1. De bk+1

bk

=r segue, para todo k≥p,

ak+1

ak ≤

bk+1

bk

.

Pelo critério de compara¸cão de razões, a série+

ak´e convergente.

Exemplo 7.19 Considere a s´erie de termos positivos +

ak e suponha que exista um natural p tal que, para todok≥p, a raz˜ao ak+1

ak ≥

1. Prove que a s´erie +

ak´e divergente.

Resolu¸c˜ao: Considere a s´erie ∞ !

k=0

bk, onde bk = 1 para todo k ≥ 0. Tal s´erie ´e evidentemente

divergente e, para todok≤p,

ak+1

ak ≤

1 = bk+1

bk

.

Pelo critério de compara¸cão de razões, a série+

ak´e divergente.

1. Utilizando o critério da compara¸cão direta, decida se cada série abaixo converge ou diverge:

(a) ∞ !

k=1 cos2_k

k3 (b) ∞ !

k=1

2 + senk

k (c)

∞ !

k=1 lnk

k ek (d) ∞ !

k=2 1

kα_ln_k,α>0

2. Utilizando o critério da integral, estude a série dada com rela¸cão à convergência ou divergência.

(a) ∞ !

k=2 1

k(lnk)α,α>0 (b)

∞ !

k=0

k

1 +k4 (c) ∞ !

k=0

(23)

3. Suponhaan>0 para todone que a s´erie+anconvirja. Prove que as s´eries

! a_n 1 +an

e!a2_n

tamb´em convergem.

4. Prove que para todo polinˆomiop(x) de grau superior a 1, a s´erie ∞ !

k=1 1

p(k) converge.

5. Seja λ>0 um real dado. A s´erie ∞ !

k=0

kλ

2k ´e convergente ou divergente? Justifique.

6. Considere a s´erie +

ak de termos n˜ao negativos e suponha que ak = 1

kαbk, k ≥ p. Utilize o

crit´erio do limite para provar que:

(a) Se limbk= 0 e se α>1, ent˜ao +ak converge. (b) Se limbk= +∞ e se α≤1, ent˜ao +ak diverge. 7. Seja γ >0 um real dado. Prove:

(a) lim k→₊∞

k

(lnk)γ = +∞. (Sugest˜ao: Verifique que lim_u→₊∞

eu

uλ = +∞).

(b) ∞ !

k=2 1

(lnk)γ ´e divergente.

8. (a) Verifique que ∞ !

k=1

lnk+ 1

k = +∞. (Sugestão: Série telescópica)

(b) Seja−1<α<0 um real dado. Mostre que ∞ !

k=1

ln k

k−1−α = +∞.

(Sugest˜ao: _{Utilize o crit´erio do limite com}_c_k_{= ln}k+ 1

k ).

9. (Crit´erio de Cauchy-Fermat) Suponhaf : [1,+∞[→ R_{cont´ınua, decrescente e positiva. Sendo}

β >1, prove que ∞ !

k=1

f(k) converge se, e somente se, ∞ !

k=0

βkf(βk) converge.

8 S´

eries alternadas e convergˆ

encia absoluta

Uma série é chamada alternada quando seus termos consecutivos têm sinais opostos. O seguinte resultado apresenta um critério definitivo para a convergência de uma série alternada.

Teorema 8.1 (Critério de Leibniz) Seja(an)numa seqüência decrescente de termos positivos com

liman = 0. Ent˜ao a s´erie alternada ∞ !

k=1

(−1)k+1ak é convergente. Além disso, se S é a soma desta

série e sné an-ésima soma parcial, então0≤(−1)n(S−sn)≤an+1.

Exemplo 8.2 Embora a s´erieharmˆonica

∞ !

k=1 1

k seja divergente, a s´erieharmˆonica alternada, a saber,

∞ !

k=1

(₋1)k+11

k ´e convergente. De fato, segue do item (a) do Exerc´ıcio 7 da Se¸c˜ao 5 que

∞ !

k=1

(−1)k+11

(24)

Exemplo 8.3 Embora a s´erie ∞ !

k=2 1

lnk seja divergente, a s´eriealternada

∞ !

k=2

(₋1)k 1

lnk ´e convergente.

∞ !

k=1

(−1)k+1 k+ 3

k(k+ 2) ´e convergente.

Resolu¸c˜ao: Como cada an =

n+ 3

n(n+ 2) ´e positivo, basta provar que (an)n ´e decrescente e que

an→0. Seja f(x) =

x+ 3

x(x+ 2),x ≥1. Temosf ′

(x) =₋x

2_{+ 6}_x_{+ 6}

x2₍_x_{+ 2)}2 <0 para todox≥1. Isto prova que (an)n ´e decrescente. Agora, quanto ao limite de (an)n, temos:

lim

n→₊∞an= lim_n→₊∞

n+ 3

n(n+ 2) = 0.

Defini¸c˜ao 8.5 (Convergˆencia Absoluta e Condicional) Seja+

ak uma s´erie.

(i) Se a s´erie +

|ak|converge, dizemos que+ak ´eabsolutamente convergente.

(ii) Se a s´erie+

akconverge, mas+|ak|diverge, dizemos que+ak´econdicionalmente convergente.

´

E claro que se uma série é convergente e todos os seus termos são não nagativos (ou todos são não positivos), então a série é absolutamente convergente.

Exemplo 8.6 S˜ao absolutamente convergentes a s´erie

∞ !

k=1

(₋1)k 1

1 +k2 e a s´erie geom´etrica alternada ∞

!

k=1

(−1)k+1 1

2k. Já a série harmônica alternada ∞ !

k=1

(−1)k+11

k ´e condicionalmente convergente.

Teorema 8.7 Toda série absolutamente convergente é também convergente.

Prova: Suponha +

|ak|convergente. Temos

−|ak|≤ak≤|ak|o que implica 0≤ak+|ak|≤2|ak|.

Mas +

2|ak| = 2+|ak| converge. Ent˜ao, pelo teste da compara¸c˜ao direta, +(ak+|ak|) converge. Portanto

!

ak= !

(ak+|ak|−|ak|) converge.

!

∞ !

k=1 senk

k3_{+ 4} converge (Aten¸cão, esta série não é alternada!).

0 0 0 0

senk k3_{+ 4}

0 0 0 0

= |senk|

k3_{+ 4} ≤ 1

k3_{+ 4} < 1

k3.

Como ∞ !

k=1 1

k3 converge, pelo critério da compara¸cão direta a série ∞ !

k=1 0 0 0 0

senk k3_{+ 4}

0 0 0 0

tamb´em converge. O

(25)

1. Mostre que a s´erie dada ´e convergente.

(a) ∞ !

k=1

(−1)k+1sen1

k (b)

∞ !

k=1

(−1)k k 3

k4_{+ 3} (c) ∞ !

k=3

(−1)k+1lnk

k

2. Estude as séries abaixo quanto a divergência, convergência condicional e convergência absoluta.

(a) ∞ !

k=1

(₋1)k ln(ek₊_e−_k

) (b) ∞ ! k=2 sen $

kπ+ 1 lnk

%

3. (a) Mostre que ∞ !

k=1 1

k2 = 4 3 ∞ ! k=0 1 (2k+ 1)2.

(b) Calcule a soma da s´erie ∞ !

k=1

(₋1)k+1 1

k2, assumindo ∞ !

k=1 1

k2 =

π2

6 .

4. Calcule a soma da s´erie alternada ∞ !

k=1

(₋1)k+1

k(k+ 1).

9 Crit´

erios da raz˜

ao e da raiz

Demonstramos nesta se¸cão mais dois importantes critérios de convergência, a saber, o critério da razão e o critério da raiz, o primeiro dos quais será diretamente utilizado no estudo de séries de potências que desenvolveremos a partir da Se¸cão 11 deste texto.

Teorema 9.1 (Crit´erio da raz˜ao) Seja +

ak uma s´erie de termos n˜ao nulos.

(i) Se lim

k→₊∞ 0 0 0 0

ak+1

ak 0 0 0 0

<1, então a série é absolutamente convergente.

(ii) Se lim

k→₊∞ 0 0 0 0

ak+1

ak 0 0 0 0

>1 ou +∞, então a série é divergente.

(iii) Se lim

k→₊∞ 0 0 0 0

ak+1

ak 0 0 0 0

= 1, nada se pode concluir.

Prova: Faremos cada item separadamente.

(i) Tome r tal que lim k→₊∞

0 0 0 0

ak+1

ak 0 0 0 0

< r < 1. Segue que existe um natural p tal que, para k ≥ p, 0

0 0 0

ak+1

ak 0 0 0 0

< r. Pelo Exemplo 7.18, a s´erie ´e convergente.

(ii)Segue da hip´otese que existe um naturalptal que, para todok_≥p, 0 0 0 0

ak+1

ak 0 0 0 0≥

1. Pelo Exemplo 7.19, a s´erie ´e divergente.

(iii) Tome-se como exemplo as s´eries ∞ ! k=1 1 k e ∞ ! k=1 1

k2. Sabemos que a primeira ´e divergente e a

segunda ´e convergente. No entanto, em ambos os casos tem-se lim k→₊∞

0 0 0 0

ak+1

(26)

Exemplo 9.2 A s´erie ∞ !

k=0 2k

k! converge ou diverge? Justifique.

ak= 2k

k! e ak+1 = 2k+1 (k+ 1)! =

2k2

(k+ 1)k!, donde 0 0 0 0

ak+1

ak 0 0 0 0 = 2

k+ 1.

Assim, como lim k→+∞

2

k+ 1 = 0, resulta do critério da razão que a série dada é absolutamente conver-gente e, portanto, converconver-gente.

∞ !

k=1

kk

k! ´e divergente

0 0 0 0

ak+1

ak 0 0 0 0

= (k+ 1) k+1

(k+ 1)! ·

k!

kk =

(k+ 1)k

kk = $

k+ 1

k

%k =

$ 1 + 1

k

%k

.

Como lim k→₊∞

$ 1 + 1

k

%k

=e >1, resulta do critério da razão que a série dada é divergente.

Teorema 9.4 (Crit´erio da raiz) Seja +

ak uma s´erie.

(i) Se lim

k→₊∞

k

)

|ak|<1, então a série é absolutamente convergente.

(ii) Se lim

k→+∞

k

)

|ak|>1 ou +∞, então a série é divergente.

(iii) Se lim

k→₊∞

k

)

|ak|= 1, nada se pode concluir.

Prova: Faremos apenas o primeiro e o terceiro casos; o segundo ´e deixado para o leitor. (i)Tomando-sertal que lim

k→₊∞

k

)

|ak|< r <1, existe um naturalptal que, parak≥p, k )

|ak|< r e, portanto,ak< rk. A convergência da série segue por compara¸cão com a série geométrica+rk.

Para checar a parte (iii) tome-se novamente como exemplo as s´eries ∞ ! k=1 1 k e ∞ ! k=1 1

k2. _!

∞ !

k=0

k3

3k converge ou diverge? Justifique.

lim k→₊∞

k

)

|ak|= lim k→₊∞

k

1

k3 3k =

1 3k→lim₊∞

k

√

k3₌ 1 3 <1. Logo, a s´erie dada ´e convergente.

1. ´E convergente ou divergente? Justifique.

(a) ∞ !

n=0 3n

1 + 4n (b)

∞ !

n=1

n!2n

nn (c)

∞ !

n=1

n3_{+ 4} 2n

2. Prove que, para todoa >0, a s´erie ∞ !

n=0

an

n! ´e convergente. Conclua que limn→₊∞

an

(27)

3. Prove que, para todo naturaln≥1,

ln 1 + ln 2 +· · ·+ ln(n₋1)_≤ & n

1

lnx dx_≤ln 2 + ln 3 +· · ·+ lnn.

Conclua que, para todo n≥1, tem-se (n−1)!en≤e nn≤n!en.

4. Utilize a desigualdadee nn_≤_n_!_en _{do exerc´ıcio anterior para provar que} ∞ !

n=1

n!en

nn diverge.

10 Reordena¸

c˜

ao de s´

eries

Dada uma s´erie +

ak, mudar a ordem de seus termos significa tomar uma bije¸c˜ao ϕ :N → N e considerar a s´erie+

bk ondebk =aϕ(k) para todo k∈N. O problema ´e, ent˜ao, o seguinte: Supondo +

ak convergente, ser´a ainda+bk convergente? No caso afirmativo, vale+ak=+bk? Diremos que uma s´erie+

akécomutativamente convergentequando, para toda bije¸cãoϕ:N→N, a série+

aϕ(k)´e convergente. Demonstraremos abaixo que +

ak é comutativamente convergente se, e somente se, é absoluta-mente convergente. Em seguida, enunciaremos um resultado fantástico, devido a Riemann. Come¸camos com um exemplo de como uma mudan¸ca de ordem nos termos de uma série pode alterar a soma.

Exemplo 10.1 Sabemos que

ln 2 = 1₋1 2 +

1 3 −

1 4 +

1 5−

1 6+

1 7 −

1 8 +

1 9−

1 10+· · ·

Como é l´ıcito multiplicar os termos de uma série convergente por um número real, multiplicando esta série por 1/2 obtemos

1 2ln 2 =

1 2 −

1 4 +

1 6−

1 8+

1 10 −

1 12 +

1 14 −

1 16 +

1 18 −

1 20 +· · · Agora, esta s´erie pode ser claramente substituida pela s´erie abaixo

1

2ln 2 = 0 + 1 2+ 0−

1 4+ 0 +

1 6+ 0−

1 8 + 0 +

1

10 + 0− 1 12+ 0 +

1

14+ 0− 1

16 + 0 +· · ·

Também é l´ıcito somar termo a termo duas séries convergentes. Procedendo assim com a primeira e ´

ultima s´eries acima e j´a eliminando os termos nulos, obtemos 3

2ln 2 = 1 + 1 3−

1 2 +

1 5 +

1 7 −

1 4+

1 9 +

1 11 −

1 6 +· · ·

que é uma reordena¸cão da série inicial. Isto mostra que uma reordena¸cão na ordem dos termos de uma série convergente pode alterar o valor da sua soma.

Teorema 10.2 Toda s´erie absolutamente convergente ´e comutativamente convergente.

Prova: Come¸camos com uma s´erie convergente+

ak, ondeak≥0 para todok. Sejaϕ:N→Numa bije¸c˜ao e ponhamosbk=aϕ(k). Afirmamos que

+

bk=+ak. Com efeito, sejam

sn=a1+a2+· · ·+an e tn=b1+b2+· · ·+bn.

Para cadan∈N_{, chamamos de}_m _{o maior dos n´}_umeros _ϕ₍₁₎_,_ϕ₍₂₎_{, . . . ,}_ϕ₍_n_{). Ent˜ao,}