André Gustavo Campos Pereira
Joaquim Elias de Freitas
Roosewelt Fonseca Soares
Cálculo I
D I S C I P L I N A
Mais aplicações – Gráficos de funções
Autores
aula
Divisão de Serviços Técnicos
Catalogação da publicação na Fonte. UFRN/Biblioteca Central “Zila Mamede”
Governo Federal
Presidente da República Luiz Inácio Lula da Silva Ministro da Educação Fernando Haddad
Secretário de Educação a Distância – SEED Carlos Eduardo Bielschowsky
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Reitor
José Ivonildo do Rêgo
Vice-Reitora
Ângela Maria Paiva Cruz
Secretária de Educação a Distância Vera Lúcia do Amaral
Secretaria de Educação a Distância- SEDIS
Coordenadora da Produção dos Materiais Marta Maria Castanho Almeida Pernambuco
Coordenador de Edição Ary Sergio Braga Olinisky
Projeto Gráfico Ivana Lima
Revisores de Estrutura e Linguagem Eugenio Tavares Borges
Jânio Gustavo Barbosa Thalyta Mabel Nobre Barbosa
Revisora das Normas da ABNT Verônica Pinheiro da Silva
Revisoras de Língua Portuguesa Janaina Tomaz Capistrano Sandra Cristinne Xavier da Câmara
Revisores Técnicos Leonardo Chagas da Silva Thaísa Maria Simplício Lemos
Revisora Tipográfica Nouraide Queiroz
Ilustradora Carolina Costa
Editoração de Imagens Adauto Harley Carolina Costa
Diagramadores Bruno de Souza Melo Dimetrius de Carvalho Ferreira Ivana Lima Johann Jean Evangelista de Melo
Adaptação para Módulo Matemático André Quintiliano Bezerra da Silva Kalinne Rayana Cavalcanti Pereira Thaísa Maria Simplício Lemos
Colaboradora Viviane Simioli Medeiros Campos
Apresentação
T
emos tantas aplicações para derivadas que apenas uma aula para tratar desse tópico seria até um pecado. Nesta aula, usaremos as derivadas para ajudar-nos a esboçar gráficos de funções, pois, muitas vezes, precisaremos apenas de um esboço do gráfico de uma função para obter informações iniciais sobre: em que intervalos a função decresce ou cresce, de que forma tal crescimento/decrescimento acontece (concavidade); em que pontos ocorrem seus máximos ou mínimos etc.Objetivo
Crescimento e
concavidade de funções
Você estudou na disciplina Pré-Cálculo vários tipos de funções e até esboçou os gráficos de muitas delas, lembra?
Por exemplo, na aula 9 (Funções II) você estudou zeros, sinal, crescimento e decrescimento e, logo em seguida, construiu alguns gráficos e utilizou técnicas para construção de um gráfico a partir de outro (cisalhamento horizontal e translação); e, a partir da aula 11 (Funções afins), todas as aulas apresentavam gráficos.
Nesta aula, então, refaremos alguns daqueles exemplos para recordar, pois recordar é viver!
Dada uma função f R, sabemos (de acordo com a aula 8 da disciplina Pré-Cálculo – Funções I) que seu gráfico é o subconjunto Graff) =x y)R :xIey =fx) . Ou seja, se o domínio I tiver uma infinidade de pontos, teremos também uma infinidade
de pontos que comporá o gráfico da função. Se quisermos realmente traçar esse gráfico, deveremos plotar no plano todos os seus pontos, que é uma tarefa impossível. Entretanto, se quisermos apenas estudar as propriedades das funções como comportamento (crescimento/ decrescimento, pontos extremos etc.) a precisão absoluta do local dos pontos do gráfico não será mensurada, mas os intervalos de crescimento, bem como o modo pelo qual a função cresce (concavidade) e onde se localizam exatamente os pontos extremos são informações que serão checadas com rigor, a partir das perguntas seguintes:
1.
quais são os intervalos onde a função cresce e os intervalos onde ela decresce?2.
e se ela cresce, como é esse crescimento? Segundo uma reta ou segundo uma curva que não é uma reta?Neste momento pedimos que você relembre os conceitos de função crescente e decrescente estudadas na aula 9 da disciplina Pré-Cálculo.
Para respondermos à primeira pergunta, utilizaremos o teorema seguinte.
Teorema 1
Teste da primeira derivada – Seja f uma função contínua no intervalo fechado
a b] e derivável no intervalo aberto a b):
a)
se fx)0 para todo x em a b), então f é crescente em a b];b)
se fx)0 para todo x em a b), então f é decrescente em a b];c)
se x) = 0 para todo x em a b), então f é constante em a b].Demonstração - Dados x x2, com e em a b], então, pelo teorema do
valor médio, existe c entre e ,conseqüentemente, c em a b), de modo que
fx2) =fx) +f)x2x)oufx2)fx) =f)x2x),
então:
a)
se fc)0 para todo c em a b), então fx2)fx) =fc)x2x)0 efx) fx2), portanto, fé crescente em a b];
b)
se fc)0 para todo c em a b), então fx2)fx) =fc)x2x)0 e fx) fx2), portanto, f é decrescente em a b];c)
se f) = 0 para todo c em a b), então fx2)fx) =f)x2x) = 0 e x) =x2), portanto, f é constante em a b].Exemplo 1
Verifique os intervalos de crescimento das seguintes funções (exemplos presentes na aula 9 de Pré-Cálculo):
a)
x) = 3x1.b)
x) =x.Atividade 1
Solução
a)
Calculando a derivada da função f, teremos x) = 3. Para quais valores de x temosfx)0 ?
Ora, x) = 3 para qualquer valor da variável x, logo fx) = 30 para todo valor de x. Pelo Teorema 1, se fx)0 para todo x em a b), então f é crescente em a b], portanto, temos que x) = 3x1 é crescente em todos os pontos de seu domínio.
b)
Calculando a derivada da função f, teremos x) = 2x. Para quais valores de x temosfx) = 2x 0?
Resolvendo essa inequação, conforme aprendemos na aula 7 de Pré-Cálculo (Inequações algébricas e intervalos), temos 2x x .
Logo, para os valores positivos de x, temos que a função x) =x é crescente.
c)
Calculando a derivada da função f, teremos x) = 3x. Para quais valores de x temosfx) = 3x0?
Resolvendo essa inequação, temos 3xxx= .
Logo, a função x) =x é crescente nos intervalos ∞0) e 0).
Verifique os intervalos de decrescimento das mesmas funções apresentadas no exemplo 1.
Volte à aula 9 de Pré-Cálculo e visualize os gráficos das funções dos itens b) e c) nas páginas 7 e 8, respectivamente, para constatar graficamente o que você já havia detectado analiticamente.
Figura 1 - Três possibilidades de uma função, saindo de 00), atingir 11). Para entender o que essas funções têm de diferente, precisamos saber o que significa concavidade.
Já vimos na aula 4 (A derivada) que se f é derivável no intervalo I a reta tangente ao
gráfico no ponto p fp)) é dada por y=p) +p)xp).
Denotemos essa reta por x) =fp) +fp)xp).
Definição 1
Dizemos que f tem concavidade para cima no intervalo aberto I se fx) Tx) quaisquer que sejam x e p em I, com x.
Tal situação pode ser interpretada geometricamente como: a reta tangente ao gráfico em qualquer ponto sempre se encontra abaixo do gráfico da função em todos os pontos diferentes do ponto de tangência.
Na figura 2, traçamos o gráfico da função f : []→R definida por x) =x e três retas tangentes a esse gráfico para ilustrar o que foi dito.
Atividade 2
Utilizando o gráfico da função f : []→R definida por x) =x, com uma régua, trace retas tangentes em diversos pontos e observe que a reta traçada se encontra sempre abaixo do gráfico da função.
Da mesma forma, chegamos à seguinte definição.
Definição 2
Dizemos que f tem concavidade para baixo no intervalo aberto I se
fx) Tx) , quaisquer que sejam x e p em I, com x.
Essa situação pode ser interpretada geometricamente como: a reta tangente ao gráfico em qualquer ponto sempre se encontra acima do gráfico da função em todos os pontos diferentes do ponto de tangência.
Na figura 3, traçamos o gráfico da função f : []→R definida por x) =x e três retas tangentes a esse gráfico para ilustrar o que foi dito.
Atividade 3
Utilizando o gráfico da função f : []→R definida por x) =x, com uma régua, trace retas tangentes em diversos pontos e observe que a reta traçada se encontra sempre abaixo do gráfico da função.
Você deve estar se perguntando: “eu terei que traçar as retas tangentes em todos os pontos do gráfico para saber a concavidade, mas como o gráfico possui infinitos pontos terei que traçar infinitas tangentes, ou seja, não acabarei nunca de fazer isso?”.
Você está certo, o procedimento seria esse, se não tivéssemos as derivadas para nos ajudar!
Uma conseqüência imediata do Teorema 2, apresentado mais adiante, é que o gráfico de uma função f derivável em um intervalo aberto I é:
a)
côncavo para cima, se é crescente em I;b)
côncavo para baixo, se é decrescente em I.Por côncavo para cima, entenderemos: tem concavidade para cima; e por côncavo para baixo: tem concavidade para baixo.
Na Figura 4, mostraremos os gráficos da função e de sua derivada, e perceberemos que quando a derivada é decrescente a função terá concavidade para baixo neste mesmo intervalo e quando a derivada é crescente a concavidade é para cima neste mesmo intervalo. Vejamos.
Veja que quando particionamos o domínio em sub-intervalos de crescimento e decrescimento da derivada, nestes mesmos intervalos vemos que o gráfico da função apresentará concavidades definidas.
Como já havíamos mencionado anteriormente, o teorema a seguir será nosso ponto de apoio no estudo de concavidades.
Teorema 2
Teste da Concavidade – Seja f uma função definida no intervalo aberto I que
possui derivadas de ordens 1 e 2 no intervalo I:
a)
se fx)0 para todo x em I, então o gráfico de fé côncavo para cima;b)
se fx)0 para todo x em I, então o gráfico de f é côncavo para baixo.Demonstração - A demonstração deste teorema é uma conseqüência do teorema anterior, pois se fx)0 para todo x em I, então é crescente em I, portanto, a inclinação
da tangente ao gráfico de f cresce com x, logo, o gráfico de f é côncavo para cima. Se fx)0 para todo x em I, então é decrescente em I, portanto, o gráfico de f é
côncavo para baixo.
A seguir, na Figura 5, destacamos nos gráficos que quando a derivada segunda é positiva a função tem curvatura para cima e quando é negativa a curvatura é para baixo.
Figura 5 - Gráficos das funções fx) =x4+ 2x3x2x15 e x) = 12x+ 12x2. Destacam- se
Veja que quando particionamos o domínio em sub-intervalos em que a derivada segunda é positiva ou negativa, nestes mesmos intervalos vemos que o gráfico da função apresentará concavidades definidas.
Note que até o momento, em todas as situações estudadas, estávamos preocupados com os pontos onde a concavidade era para cima ou para baixo. E o que acontece com o ponto no qual a concavidade muda, quer dizer, se antes de um dado ponto a concavidade era de um tipo e depois desse ponto ela mudou para o outro tipo, teremos algum interesse nesse ponto? Claro que sim, podemos dizer que este é o ponto de guinada, ou seja, é o ponto em que houve uma “ruptura” no processo. Veja a situação a seguir.
Imagine que seu negócio estava com o gráfico do lucro com concavidade para baixo e a partir de um certo ponto a concavidade muda para cima, será que saber onde essa mudança ocorreu é importante? Pois é, esse ponto é tão importante que até temos um nome só para ele, conforme apresentamos na definição a seguir.
Definição 3
Uma função f definida em um intervalo I tem um ponto de inflexão em se o
gráfico da f muda de concavidade em .
Se em um ponto do domínio de f, é contínua, positiva de um lado de
e negativa do outro temos um ponto de inflexão em , pois existe uma
mudança de concavidade, conseqüentemente, x
) = 0. Observe que onde
é positiva é crescente e onde é negativa é decrescente, portanto, nos pontos de inflexão tem um extremo local.
Considere uma função f definida em um intervalo I que possui derivada de
segunda ordem em I, os pontos de inflexão de f são soluções da equação
x) = 0 , podendo haver casos em que x) = 0 e é um ponto de
máximo ou mínimo local.
E para responder à última pergunta proposta no início da aula, como estaremos trabalhando com funções deriváveis, os pontos críticos serão aqueles da solução da equação x) = 0, como vimos na aula 6 (Aplicações da derivada).
Agora, com as respostas prontas
Esboço do gráfico de funções
usando propriedades das derivadas
A visualização dos conceitos apresentados é muito importante para a sua compreensão e memorização.Gráfico de fx) = 025x5x4+x+ 025
Gráfico de fx) = 125x44x3+ 3x
Observe que quando:
a)
fx)0 , fé crescente;b)
fx)0, f é decrescente;c)
muda de sinal em , x) é um extremo local.Gráfico de x) = 5x312x+ 6x
Observe que quando:
a)
fx)0, o gráfico de fé côncava para cima e écrescente;
b)
fx)0, fé côncava para cima e é decrescente;c)
muda de sinal em , x) é um extremo local.Portanto, é um ponto de inflexão de f.
Após os três exemplos que apresentaremos a seguir, proporemos algumas atividades mais simples.
Exemplo 2
Esboçar o gráfico da função fx) = x
4
4 04x327x+ 10, inicialmente determinando os pontos críticos, estudando o crescimento e decrescimento da função.
Solução
Calculemos a primeira derivada
fx) = 4x 4
4 04·3x327·2x2+ 0 =x312x254x fx) =x312x54x
Encontremos os pontos críticos, inicialmente determinando as raízes da equação fx) = 0
fx) =x312x54x= 0
xx12x54) = 0
Tem-se uma raiz = e, resolvendo a equação do segundo grau, encontramos mais
duas raízes x =8ex3 = 3, totalizando três pontos críticos, os índices de x foram escolhidos de modo que x x2 x3. No gráfico de f, temos os pontos críticos:
Px fx)),P2x2 fx2))eP3x3 fx3)).
Substituindo , e nos pontos anteriores e seus respectivos x) listados
a seguir
f1,8) = 62,f0) = 10ef3) =4,8.
Substituindo esses valores, obtemos os pontos críticos:
P18 ; 62),P20 ; 10)eP33 ;48).
Temos agora três pontos importantes para esboçar o gráfico. As três raízes , e
determinam quatro intervalos abertos, onde a derivada x) tem o mesmo sinal; para conhecermos esse sinal, basta saber o sinal de f), sendo c um número qualquer no
Intervalo um c do intervalo f) sinal de Conclusão
∞;18) -2 -2 - f é decrescente em ∞;18]
18; 0) -1 3,2 + f é crescente em [18; ]
03) 1 -5,6 - f é decrescente em [3]
3) 4 23,2 + f é crescente em [3
Quadro 1 - Encontrando as respostas às perguntas 1, 2 e 3 para a função fx) =x4404x327x+ 10
Neste ponto de nosso estudo, conhecemos os pontos críticos, suas tangentes horizontais e comportamento da função, crescente ou decrescente nos intervalos delimitados por tais pontos.
A partir do quadro anterior e confirmação do gráfico ao lado, analisando os crescimentos e decrescimentos da função, podemos ver que P18 ; 62) é um mínimo local, P010)
é um máximo local e P3 ;48) é um mínimo local e absoluto.
Figura 7 - Gráfico da função fx) = x4
4 04x327x+ 10
Exemplo 3
Esboçar o gráfico da função fx) = x 5
Solução
Calculemos a primeira derivada
fx) = 5x5
5 03·4x418·3x3+ 0 =x412x354x2
fx) =x412x354x
Encontremos os pontos críticos, inicialmente determinando as raízes da equação x) = 0.
fx) =x412x354x = 0
xx12x54x) = 0
Tem-se uma raiz dupla = , a raiz dupla será muito importante no estudo
das concavidades e, resolvendo a equação do segundo grau, encontramos mais duas raízes x =8ex3 = 3, totalizando três pontos críticos. No gráfico de f, temos os
pontos críticos:
Px fx)),P2x2 fx2))eP3x3 fx3)).
Substituindo , e nos pontos anteriores e seus respectivos x) listados a seguir
f18) = 136,f0) = 10ef3) =143,
obteremos os pontos críticos:
P18; 136),P2010)eP33;143).
Da mesma forma que no exemplo anterior, temos três pontos importantes para esboçar o gráfico. As três raízes , e determinam quatro intervalos abertos, onde a derivada x) tem o mesmo sinal; para conhecermos esse sinal, basta saber o sinal de f), sendo
Intervalo um c do intervalo f) Sinal de Conclusão
∞;18) -2 4 + f é crescente em ∞;18]
18; 0) -1 -3,2 - f é decrescente em [18; ]
03) 1 -5,6 - f é decrescente em [3]
3) 4 92,8 + f é crescente em [3
Quadro 2 - Encontrando as respostas às perguntas 1, 2 e 3 para a função fx) =x 5
5 03x418x+ 10
Procuremos agora os possíveis pontos de inflexão de fque são soluções da equação
x) = 0, lembrando que pode haver casos em que x) = 0 e é um ponto de
máximo ou mínimo local.
Neste caso, já vimos que
fx) =x412x354x
e
fx) = 4x33·12x2·54x
fx) = 4x336x108x
Vamos agora resolver a equação x) = 0, isto é,
4x336x108x= 0,
4xx09x27) = 0.
Encontramos três raízes nessa equação, inicialmente = e, resolvendo a equação
do 2º grau x9x27 = , encontramos mais duas raízes x
=25ex6= 25. No gráfico de f (Figura 5), vemos os possíveis pontos de inflexão:
Px fx)),P5x5 fx5))eP6x6 fx6))
Substituindo x4, x5 e x6 nos pontos anteriores e seus respectivos x) listados
a seguir
f125) = 124,f0) = 10ef215) =5.
Atividade 4
A partir do Quadro 2 e confirmação do gráfico ao lado, analisando os crescimentos e decrescimentos da função, podemos ver que P18; 136) é um máximo local e P3;143) é um mínimo local.
Analisando a variação das curvaturas nos possíveis
pontos de inflexão P125 ; 124),P5010) eP6215 ;5)
P125 ; 124) P5010)eP6215 ;5)., vemos que os três são pontos
de inflexão.
Um mesmo ponto não pode ser ponto de inflexão e extremo local simultaneamente, como P010) é um ponto de inflexão e P010) =P5010) como vemos no gráfico, P010) foi um
candidato a extremo local que não teve sucesso.
Figura 8 - Gráfico da função fx) = x5
5 03x418x+ 10
a) Esboce o gráfico da função
x) =x12x4, inicialmente determinando os pontos críticos, estudando o crescimento e decrescimento da função.Propriedades das derivadas
de ordem superior
A seguir, apresentaremos alguns teoremas que nos servirão de suporte quando o que estudamos anteriormente não puder ser usado.
Teorema 3
Teste da segunda derivada – Sejam f uma função com derivadas contínuas
até a ordem dois em um intervalo aberto a b) e um ponto em a b).
Se x) = 0 e x)= 0, então x) é um extremo local em e, além disso:
a)
se x) = 0 e fx)0, então, x) é um mínimo local em ;b)
se x) = 0 e fx)0, então, x) é um máximo local em .Demonstração - Usemos a propriedade 2 do Teorema de Taylor com = e x no
lugar de b:
f(x) =1(x) +
f(c)(xx)2
2 , c entre e x, e x em a b). Como x) =x) +x)xx), tem-se
fx) =fx) +fx)xx) +f)xx) 2
2 ,
com x) = 0.
Assim,
fx) =fx) +
f)xx)2
2 ,
fx)fx) +f)xx) 2
2 . (1)
Observemos que devido à continuidade de em
e x)= 0 podemos admitir
Seguimos com os dois casos separadamente:
a)
se x) = 0 e fx)0, pela observação anterior, fc)0 e, portanto, para xem a b), tem-se
fx)fx) = fc)xx)
2
2 0,com . Portanto,
fx) fx).
Resumindo, para
e
x
em
a b), tem-se
fx) fx), isto é,
x)é um
mínimo local em
.
b)
se x) = 0 e fx)0 , pela observação anterior, fc)0 e, portanto, para x em a b), tem-se
fx)fx) +
fc)xx)2
2 0, com . Portanto,
fx) fx).
Resumindo, para e x em a b), tem-se fx) fx), isto é, x) é um máximo
local em .
Exemplo 4
Usando o teste da segunda derivada, determine os extremos locais da função x) =x12x4.
Solução
Inicialmente, calculemos a primeira derivada
fx) =x312x4, fx) = 3x12
Em seguida, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo a equação x) = 0: x) = 0,
3x12 = 0,
x = 12 3 ,
x=±2.
Temos então dois pontos críticos; calculemos seus respectivos valores na segunda derivada:
fx) = 6x,
f2) = 62 = 12,
f2) = 62) =12
Atividade 5
Usando o teste da segunda derivada, determine os extremos locais da função x) =xx1).
O teste da segunda derivada será generalizado a seguir para o caso em que a derivada de ordem é diferente de zero e todas as derivadas de ordem menor que são nulas.
Teorema 4
Teste da derivada de ordem par – Sejam f uma função com derivadas contínuas
até a ordem em um intervalo aberto a b) e um ponto em a b).
Se x0) =x0) = =21)x0) = 0 e 2x)= 0, então x) é
um extremo local em e, além disso:
a)
se f2)x0)0, então, x) é um mínimo local em ;
b)
se f2)x0)0, então, x) é um máximo local em .
Demonstração - Usemos a propriedade 2 do Teorema de Taylor com x no lugar de b, do
seguinte modo:
f(x) =21(x0) +
f2)(c)(xx0)2)
(2k) , c entre
e x, e x em a b).
Como 21(x0) =f(x0) +f(x0)(xx0)· · ·+
f21)(x
0)(xx0)
(2k1) , tem-se
f(x) =f(x0) +f(x0)(xx0)· · ·+
f21)(x
0)(xx0)
(2k1) +
f2)()(xx 0)2)
(2k)
,
mas x0) =x0) = =21)x0) = 0.
Assim,
f(x) =f(x0) +
f2)()(xx0)2)
(2k) ,
f(x)f(x0) =
f2)()(xx 0)2) (2k)
Observemos que devido à continuidade de 2x) em com 2x)= 0 podemos admitir a e b próximos de , de modo que 2)x) tem o mesmo sinal em a b). Seguimos com os dois casos separadamente:
a)
se f2)x0)0, pela observação anterior, f2)c)0 e, portanto, para x ema b). , tem-se
f(x)f(x0) = f
2)(c)(xx 0)2
(2k) 0, com .
Portanto,
fx) fx).
Resumindo, para e x em a b)., tem-se fx) fx), isto é, x) é um mínimo
local em .
b)
se f2)x0)0 e, pela observação anterior, f2)c)0 e, portanto, para x em a b).tem-se
fx)fx0) =
f2)c)xx0)2
2 0, com . Portanto,
fx) fx).
Resumindo, para e x em a b)., tem-se fx) fx), isto é, x) é um
máximo local em .
Teorema 5
Teste da derivada de ordem ímpar – Sejam f uma função com derivadas
contínuas até a ordem 2 1 em um intervalo aberto a b). e um ponto
em a b).. Se x) =x) = =2)x) = 0 e 2+1)x)= 0, então, f tem um ponto de inflexão em .
Demonstração - Como a derivada de ordem 2+ 1) de f é a derivada de ordem 2) de
, pelo teorema, temos um máximo ou mínimo local para em , portanto, muda de
Atividade 6
1
2
Exemplo 5
Dada a função fx) = 025x5x4+x+ 025, cujo gráfico apresentamos na Figura 1, mostremos que x = 0 é um ponto crítico e usemos os testes de derivadas de ordens
superior para concluir se esse ponto crítico é um extremo local ou ponto de inflexão.
Solução
Temos que
fx) = 0,25x5x4+x3+ 0,25,
fx) = 1,25x44x3+ 3x, f0) = 0, fx) = 5x312x+ 6x, f0) = 0, fx) = 15x24x+ 6, f0) = 6
Aplicando o teste da derivada de ordem ímpar, como a primeira diferente de zero é ímpar, com = , pois f é uma função com derivadas contínuas até a ordem 3 3 = 21 + 1)
em um intervalo aberto 11) e 0 é um ponto em 11) com 0) =0) = 0 e 0) = 6= 0, temos, portanto, um ponto de inflexão em 0.
Aplique o teste da segunda derivada para concluir se 0 é um extremo local da função fx) = x4
4 04x327x+ 10. Verifique o resultado no gráfico da Figura 7.
Esboce o gráfico das funções a seguir, utilizando a derivada primeira e os pontos críticos.
a)
x) =x6x.b)
x) =x6x+ 9.3
4
Resumo
1
2
Esboce o gráfico das funções seguintes, utilizando derivada, os pontos críticos e os possíveis pontos de inflexão (sendo x) = 0)). Determine os pontos de máximo, mínimo e inflexão.
a)
x) = x1)+ 1.b)
x) =x42x+ 1.Dada a função x) =x42x5+x, verifique se = é um ponto de máximo mínimo ou ponto de inflexão.
Nesta aula, estudamos como utilizar os conceitos de derivadas (também de ordem superior) para esboçar o gráfico de funções. Para fazer isso, precisamos identificar os máximos e mínimos, as regiões onde as funções crescem ou decrescem e a relação entre crescimento e concavidade.
Auto-avaliação
Imagine-se um grande empresário e alguém chegando com o gráfico do lucro de sua empresa até o momento atual. Supondo que esse gráfico seja uma função derivável, que pontos você procuraria destacar no tempo para tentar repeti-lo? (crescimento, decrescimento, máximo, mínimo, ...)?
Referências
ANTON, Howard. Cálculo: um novo horizonte. 6. ed. Porto Alegre: Bookman, 2000. v 1.
SIMMONS, George F. Cálculo: com geometria analítica. São Paulo: McGraw-Hill, 1987. v 1.
THOMAS, George B. Cálculo. São Paulo: Addison Wesley, 2002.