EN 2602 – Fundamentos de Eletrônica
NBESTA00713SA – Eletrônica Analógica AplicadaProf. Rodrigo Reina Muñoz
[email protected] [email protected]
T2 de 2018
AULA 02
EN 2602 – Fundamentos de Eletrônica
NBESTA00713SA – Eletrônica Analógica AplicadaDefinição
Construção do diagrama para diversas funções de
transferência
• magnitude
• Fase
EN 2602 – Fundamentos de Eletrônica
NBESTA00713SA – Eletrônica Analógica AplicadaGráficos de Bode
Considere a seguinte função de transferência:
Como traçar o gráfico dessa função?
• Uma possibilidade seria traçar o gráfico da magnitude e fase
ponto a ponto (cada ponto de frequência).
Exemplo:
Usando Matlab pode ser traçado o gráfico mostrado a
seguir:
AULA
) 1000 110
(
1 100
) 100 )(
10 (
1 100
)
( 2
+ +
+ =
+ +
+ =
S S
S S
s
S s
EN 2602 – Fundamentos de Eletrônica
NBESTA00713SA – Eletrônica Analógica Aplicada>> mysys=tf(100*[1 1], [1 110 1000]) Transfer function:
100 s +100
EN 2602 – Fundamentos de Eletrônica
NBESTA00713SA – Eletrônica Analógica AplicadaO primeiro passo para o traçado manual é reescrever a função de transferência de forma que tanto polos, quanto os zeros da função sejam da forma (1 + s/ωo).
Para o caso da função de transferência anterior, a mesma pode ser reescrita como:
Em função de Jω, a função pode ser escrita assim:
EN 2602 – Fundamentos de Eletrônica
NBESTA00713SA – Eletrônica Analógica AplicadaA função pode ser escrita de forma fasorial:
• O procedimento para obter o diagrama de Bode consiste em traçar a
magnitude e fase de cada fasor e somar todos os gráficos em um gráfico só. • É útil escrever a função de transferência como um único fasor:
)] 100 / 1 ( | 100 / 1 ][| ) 10 / 1 ( | 10 / 1 [| ) 1 / 1 ( | 1 / 1 | ] 1 . 0 | 1 . 0 [| ) (
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
j j j j j j j H + + + + + + =(
0.1 (1 /1) (1 /10) (1 /100))
| 100 / 1 || 10 / 1 | | 1 / 1 | | 1 . 0 | )
(
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
j j jj j
j j
H + + − + − +
+ + + =
(
|
(
)
|
)
(
)
)
(
j
ω
H
j
ω
H
j
ω
EN 2602 – Fundamentos de Eletrônica
NBESTA00713SA – Eletrônica Analógica AplicadaDessa forma, podem ser consideradas por separado a magnitude e fase da função de transferência.
• A partir destas expressões pode ser visto que o traçado da fase é bem mais simples que o traçado da magnitude, visto que pode ser feito o traçado de cada termo por separado e depois somá-los.
• Já o traçado da magnitude não é direto pois os diferentes termos são
| 100 / 1 || 10 / 1 | | 1 / 1 | | 1 . 0 | | ) ( | jw jw jw jw H + + + = ) 100 / 1 ( ) 10 / 1 ( ) 1 / 1 ( 1 . 0 )
( jw jw jw jw
EN 2602 – Fundamentos de Eletrônica
NBESTA00713SA – Eletrônica Analógica AplicadaSeria muito mais simples se os termos pudessem ser somados.
A solução para isto é expressar a magnitude de forma logarítmica (em dB).
Nesse caso, se procede ao traçado de cada termo por separado e fazer a soma dos mesmos no mesmo gráfico.
• Representando a magnitude em dB tem-se:
| 100 / 1 || 10 / 1 | | 1 / 1 | | 1 . 0 | | ) ( |
ω
ω
ω
ω
j j j j H + + + = + + + = | 100 / 1 || 10 / 1 | | 1 / 1 | | 1 . 0 | log 20 |) ) ( log(| 20ω
ω
ω
ω
j j j j H + + + +EN 2602 – Fundamentos de Eletrônica
NBESTA00713SA – Eletrônica Analógica AplicadaQue pode ser escrita assim:
Gráfico de uma constante
Magnitude
Considere um termo costante: H(s) = H(jω) = K
A magnitude, obviamente é constante: |H(jω)| = |K|
Fase
A fase também é constante.
| 100 / j 1 | 10 log 20 | 10 / j 1 | 10 log 20 |) 1 / j 1 (| 10 log 20 | 0.1 | 10 log 20 |) ) H(j (| 10 log
EN 2602 – Fundamentos de Eletrônica
NBESTA00713SA – Eletrônica Analógica Aplicada• Se K é negativa, então a fase é de -180o ou qualquer múltiplo impar de 180º.
Frequência, ω(rad/seg)
EN 2602 – Fundamentos de Eletrônica
NBESTA00713SA – Eletrônica Analógica AplicadaEm resumo, o gráfico da magnitude de uma constante é uma linha reta, e a fase é
uma linha reta em 0o para um constante positiva e ±180º para uma constante
negativa.
Pólo Real
Para um pólo real simple:
A frequência ωo é conhecida como frequência de corte, ou frequência de 3 dB. o
s s
H
ω
+ =
1 1 )
( ou
o
j j
H
ω
ω
ω
+ =
1 1 )
EN 2602 – Fundamentos de Eletrônica
NBESTA00713SA – Eletrônica Analógica AplicadaMagnitude
A magnitude é dada por:
Neste caso, é útil considerar três casos para o valor da frequência:
1. ω<<ωo. (caso de baixa frequência). o j j H
ω
ω
ω
+ = 1 1 | ) (| Ou, em dB:
+ − = 2 2 10 1 log 20 | ) ( | o j H
ω
ω
ω
+ − = 2 2 10 1 log 20 | ) ( | o j Hω
ω
ω
, ω<<ωo( )
1 0 log20 10 =
EN 2602 – Fundamentos de Eletrônica
NBESTA00713SA – Eletrônica Analógica Aplicada2. ω>>ωo. (caso de alta frequência).
Portanto, o gráfico de bode corresponde a uma linha reta com pendente de - 20 dB/dec, passando pela freqüência de corte em 0 dB. Ou seja, para cada fator de 10 de incremento na frequência, a magnitude cai 20 dB.
+ − = 2 2 10 1 log 20 | ) ( | o j H
ω
ω
ω
ω>>ωo − ≈ − ≈ o o j H
ω
ω
ω
ω
ω
)| 20log10 2 20log10EN 2602 – Fundamentos de Eletrônica
NBESTA00713SA – Eletrônica Analógica Aplicada3. ω = ωo. (frequência de corte).
Para desenhar o diagrama de Bode, utiliza-se aproximação por partes ou
aproximação por segmentos (assíntotas). Para isso, traça-se a assíntota de baixa frequência até a freqüência de corte, e a assíntota de alta frequência daí em diante (ver figura):
=
+ −
=
2 2
10 1
log 20 |
) ( |
o o
w w jw
H ; ω = ωo
( )
2 3.01 log20 |
) (
EN 2602 – Fundamentos de Eletrônica
NBESTA00713SA – Eletrônica Analógica Aplicada, ω
Máximo erro entre a aproximação
assintótica e a magnitude real
ocorre na frequência de corte e é
EN 2602 – Fundamentos de Eletrônica
NBESTA00713SA – Eletrônica Analógica AplicadaResumo: Para um pólo real simples, o gráfico assintótico linear de bode é
0 dB até a frequência de corte, e daí em diante cai com uma pendente de 20 dB/dec.
Fase. A fase de um único pólo real é dada por:
Consideram-se três casos para o valor da frequência
1. ω<<ωo (caso de baixa frequência).
−
= +
−
= −
o o
j j
H
ω
ω
ω
ω
ω
1tan )
1 ( )
(
o
j
EN 2602 – Fundamentos de Eletrônica
NBESTA00713SA – Eletrônica Analógica Aplicada2. ω>>ωo (caso de alta frequência).
Portanto, uma linha reta de 90º.
3. ω = ωo (frequência de corte).
Este ponto é mostrado como um círculo na figura abaixo. o
j
H(
ω
) = −tan−1(∞) =−90 = -π/2 radianoso
j
EN 2602 – Fundamentos de Eletrônica
NBESTA00713SA – Eletrônica Analógica AplicadaFrequência, ω(rad/seg)
Diagrama de fase
EN 2602 – Fundamentos de Eletrônica
NBESTA00713SA – Eletrônica Analógica AplicadaAssim, para completar o traçado, segue-se uma regra arbitrária mas que permite obter uma boa aproximação.
Regra: Siga a assíntota de baixa frequência até um décimo da frequência de
corte (0.1ωo). Em seguida, decresça linearmente até encontrar a assíntota de alta frequência em 10 vezes a frequência de corte (10ωo).
Exemplo: Pólo localizado em 10 rad/seg. Ver figura abaixo:
10
1 1 )
(
s s
H
EN 2602 – Fundamentos de Eletrônica
NBESTA00713SA – Eletrônica Analógica AplicadaFrequencia –ω(rad/seg)
F
ase
-G
ra
us
10
1 1 )
(
s s
H
+ =
Magnitude
EN 2602 – Fundamentos de Eletrônica
NBESTA00713SA – Eletrônica Analógica AplicadaExemplo: Pólo em duplicidade em 30 rad/seg. Ver figura abaixo:
2
30
1 1 )
(
+ =
s s
H
Frequencia –ω(rad/seg)
F
ase
-G
ra
us
Fase Magnitude
Obs: Observe que a
pendente da assíntota neste caso é de -40 dB/dec, e a fase vai de
EN 2602 – Fundamentos de Eletrônica
NBESTA00713SA – Eletrônica Analógica AplicadaResumo: Para um pólo real simples, a magnitude está em 0 dB até a frequência de corte e daí em diante cai a razão de -20 dB/dec.
• Um pólo de enésima ordem tem uma pendente de -20.n dB/dec.
• A fase começa em 0o até um décimo da frequência de corte, e então cai a -90o em
10 vezes a frequência de corte. Um pólo de enésima ordem cai a -90o.n
Zero Real
A construção desse diagrama é similar ao caso de um pólo real.
o
S s
H
ω
+ =1 )
( ou,
o
j j
H
ω
ω
ω
) =1+EN 2602 – Fundamentos de Eletrônica
NBESTA00713SA – Eletrônica Analógica AplicadaMagnitude
Analisar três casos:
1. Em baixas frequências, ω<<ωo. O ganho é aproximadamente 0.
2. Em altas frequências, ω>>ωo. O ganho incrementa-se por 20 dB/dec, passando pela frequência de corte em 0 dB.
3. Na frequência de corte, ω = ωo. O ganho é de 3 dB.
Fase
A fase para um zero simples é dada por:
| 1
| | ) (
|
o
j j
H
ω
ω
ω
= + =
+
= −
j j
H
ω
ω
ω
ω
ω
1tan 1
EN 2602 – Fundamentos de Eletrônica
NBESTA00713SA – Eletrônica Analógica AplicadaAnalisar três casos:
1. Em baixas frequências, ω<<ωo. A fase é aproximadamente 0o.
2. Em altas frequências, ω>>ωo. A fase é de 90º. 3. Na frequência de corte, ω = ωo. A fase é de 45º.
OBS: Siga a assíntota de baixa frequência até um décimo da frequência de corte
(0.1ωo). Em seguida, incremente linearmente até encontrar a assíntota de alta
frequência em 10 vezes a frequência de corte (10ωo).
Exemplo: Um zero em 30 rad/seg.
30 1
)
(s S
EN 2602 – Fundamentos de Eletrônica
NBESTA00713SA – Eletrônica Analógica AplicadaFase
Frequencia –ω(rad/seg)
F
ase
-G
ra
us
Magnitude
Zero Real simples
Um zero de enésima ordem
tem no gráfico de magnitude
uma pendente de 20.n
dB/dec. Neste caso, a fase
incrementa-se a +90º.n
30 1
)
(s S
EN 2602 – Fundamentos de Eletrônica
NBESTA00713SA – Eletrônica Analógica AplicadaUm pólo na origem
Considere:
Magnitude
Corresponde a uma reta com pendente de -20 dB/dec, indo através de 0 dB em ω = 1 rad/seg.
Fase
A fase de um pólo na origem, é dada por:
S s
H( ) = 1 ou,
ω
ω
j j
H( ) = 1 ou, H( j
ω
) =−ω
jω
ω
j j
H( )| 1
| =
o
j j
EN 2602 – Fundamentos de Eletrônica
NBESTA00713SA – Eletrônica Analógica AplicadaFrequencia –ω(rad/seg) Fase
Magnitude
F
ase
-G
ra
us
Pólo na origem
Um pólo na origem de enésima ordem tem no gráfico de
magnitude uma pendente de
-20.n dB/dec. Neste caso, a
EN 2602 – Fundamentos de Eletrônica
NBESTA00713SA – Eletrônica Analógica AplicadaUm zero na origem
O caso de um zero na origem é similar ao caso de um pólo na origem, exceto que a magnitude incrementa e a fase é positiva.
Pólos conjugados complexos
Ocorrência de pólos conjugados complexos é mais complexa. Considere a função de transferência:
1 2
1 2
)
( 2 2
2 2
2
+
+
= +
+ =
o o
o o
o
S S
S S
S H
ω
ζ
ω
ω
EN 2602 – Fundamentos de Eletrônica
NBESTA00713SA – Eletrônica Analógica Aplicada• Valores de ζ pequenos, a amplitude tem um pico na frequência de corte.
• Valores de ζ ≥ 1/√2, todos os pontos ficam abaixo das assíntotas.
EN 2602 – Fundamentos de Eletrônica
NBESTA00713SA – Eletrônica Analógica AplicadaMagnitude. A magnitude da função de transferência é:
+ − = + + = o o o o j j w j jw H
ω
ω
ζ
ω
ω
ω
ω
ζ
ω
2 1 1 1 2 1 )( 2 2
+ − − = + − = 2 2 2 10 2 2 2 2 1 log 20 2 1 1 ) ( o o o o w w w w w w w w jw H
ζ
ζ
dBEN 2602 – Fundamentos de Eletrônica
NBESTA00713SA – Eletrônica Analógica Aplicada1. ω<<ωo. (caso de baixa frequência).
Neste caso:
2. ω>>ωo. (caso de alta frequência).
Que corresponde a uma reta com pendente de -40 dB/dec, passando pela frequência de corte em 0 dB. Ou seja, para cada fator de 10 em
incremento, a magnitude cai -40 dB.
( )
1 0 log20 )
( jw = − 10 = H
−
=
−
o
o w
w w
w jw
H 10
2
10 40log
log 20 )
EN 2602 – Fundamentos de Eletrônica
NBESTA00713SA – Eletrônica Analógica AplicadaNeste caso ocorre um pico no gráfico da magnitude na proximidade da frequência de corte.
• Supõe-se que o pico ocorre somente quando 0 < ζ < 0.5, e,
• O pico ocorre em ωo com altura 1/(2ζ).
Para o traçado da magnitude, desenhe a assíntota de baixa frequência até a frequência de corte, e daí em diante, desenhe a assíntota de alta frequência. • Se ζ menor que 0.5, desenhe um pico de altura 1/(2ζ), e desenhe uma curva
suave entre as assíntotas de baixa e alta frequência passando através do pico.
Exemplo:
1 2
1 )
( 2
+
+ =
S S
S H
ζ
EN 2602 – Fundamentos de Eletrônica
NBESTA00713SA – Eletrônica Analógica AplicadaFrequência – w
Pico
resonante
Assíntota de baixa frequência
Assíntota de alta frequência
magnitude
Resposta exata
100 2
100 )
( 2
+ +
=
S S
EN 2602 – Fundamentos de Eletrônica
NBESTA00713SA – Eletrônica Analógica AplicadaAssim, para o traçado do gráfico de magnitude (pólos conjugados complexos):
•Desenhe uma reta de 0 dB
• Na frequência de corte, vai através de um pico de magnitude:
• Trace a partir desse ponto a assíntota de alta frequência com pendente de -40 dB/dec.
Fase. A fase de um par de pólos conjugados complexos é dada por:
) 2 ( log 20 2
1 | ) (
| 10
ζ
ζ
=−=
jw
H dB
2 1
2 tan
) (
−
= − o
w w jw
H
EN 2602 – Fundamentos de Eletrônica
NBESTA00713SA – Eletrônica Analógica AplicadaConsidere três casos para a frequência: 1. ω<<ωo. (caso de baixa frequência).
2. ω>>ωo. (caso de alta frequência). Neste caso, <H(jw)= -180º. (portanto,
uma linha reta em -180º.
3. ω= ωo. (frequência de corte). Neste caso, <H(jw) = -90º.
0 ) 0 ( tan 1
2 tan
)
( 1 2 =− 1 =
− −
= − −
o o
w w w jw
H
ζ
EN 2602 – Fundamentos de Eletrônica
NBESTA00713SA – Eletrônica Analógica AplicadaFrequência – w (rad/seg)
Fase
F
as
e
–
G
ra
us
Aproximação linear por partes
Assíntota de baixa frequência
Assíntota de alta frequência
Resposta exata
EN 2602 – Fundamentos de Eletrônica
NBESTA00713SA – Eletrônica Analógica AplicadaObserve que neste caso não existem regras rígidas para fazer o traçado do gráfico.
Uma aproximação que pode ser utilizada consiste em desenhar as assíntotas de baixa e alta frequência, terminando a assíntota de baixa frequência em ω = ωo/(10ζ), e começando a assíntota de alta freqüência em ω = ωo.(10ζ).
• Siga a assíntota de baixa freqüência em 0o até ω
o/(10ζ), e então decremente a partir desse ponto até encontrar a assíntota de alta frequência em -180º em
EN 2602 – Fundamentos de Eletrônica
NBESTA00713SA – Eletrônica Analógica AplicadaZeros conjugados complexos.
Este caso é similar ao caso de um par de pólos conjugados complexos. A magnitude neste caso aumenta, e a fase incrementa (não decresce).
Exemplo: Um par de zeros conjugados complexos:
Ver gráfico abaixo:
1
1 02
. 0 01
. 0 ) (
2 + +
= S S
EN 2602 – Fundamentos de Eletrônica
NBESTA00713SA – Eletrônica Analógica Aplicadamagnitude
Frequência – w (rad/seg)
EN 2602 – Fundamentos de Eletrônica
NBESTA00713SA – Eletrônica Analógica AplicadaFrequência – w (rad/seg)
Fase
F
as
e
–
G
ra
us
EN 2602 – Fundamentos de Eletrônica
NBESTA00713SA – Eletrônica Analógica AplicadaExemplo: Pólos e zeros reais de primeira ordem. Considere a função de
transferência:
Portanto:
Colocando os pólos e zeros em evidência:
) ( ) ( ) ( 1 1 p s s z s k S H + + = ) ( ) ( ) ( 1 1 p j j z j k j H + + =
ω
ω
ω
ω
) 1 )( ( ) 1 ( ) ( 1 1 1 j j p z j kz j Hω
ω
ω
ω
+ + =EN 2602 – Fundamentos de Eletrônica
NBESTA00713SA – Eletrônica Analógica Aplicada 1 1 o 1 1 0 1 90 1 ) (β
ω
ω
ϕ
ω
ω
p j z j k j H + + = Onde:ko = kz1/p1
φ1 = tan-1(ω/z1)
β1 = tan-1(ω/p1)
1 o 1 1 1 0
90
1
1
β
ϕ
ω
ω
ω
−
−
+
+
=
p
j
z
j
k
EN 2602 – Fundamentos de Eletrônica
NBESTA00713SA – Eletrônica Analógica Aplicada Portanto: Em dB: 1 1 01
1
)
(
p
j
z
j
k
j
H
ω
ω
ω
ω
+
+
=
1 o 190
)
(
ω
ϕ
β
ϕ
=
−
−
)
(
log
20
)
(
j
ω
10H
j
ω
H
dB=
1 10 10 1 10 10
/
1
log
20
log
20
/
1
log
20
log
20
)
(
p
j
z
j
k
j
H
dB oω
ω
ω
ω
+
−
−
+
+
=
EN 2602 – Fundamentos de Eletrônica
NBESTA00713SA – Eletrônica Analógica Aplicada- O gráfico de 20log10ko é uma linha horizontal.
- O gráfico do zero, |1+jω/z1| consiste de duas linhas: uma em zero dB até a frequência do zero, e uma reta com pendente 20 dB/dec a partir dessa
frequência.
EN 2602 – Fundamentos de Eletrônica
NBESTA00713SA – Eletrônica Analógica Aplicada- O gráfico de -20log10ω é uma linha reta com pendente de -20 dB/dec e intercepta o eixo de 0 dB em ω = 1.
- O gráfico de |1+jω/p1| consiste de duas linhas: uma em zero dB até a frequência do pólo, e uma reta com pendente -20 dB/dec a partir dessa frequência.
EN 2602 – Fundamentos de Eletrônica
NBESTA00713SA – Eletrônica Analógica AplicadaO gráfico resultante será a soma dos gráficos anteriores. Por exemplo, para o caso específico de: ko = √10, z1 = 0,1 rad/seg, e p1 = 5 rad/seg, tem-se:
EN 2602 – Fundamentos de Eletrônica
NBESTA00713SA – Eletrônica Analógica AplicadaExercício
Desenhe o gráfico de bode magnitude e fase da seguinte função de transferência:
) 10 / 1 )( 10 / 1 (
10 )
( 2 5
s s
s S
H
+ +
