Hipersuperf´ıcies em formas espaciais satisfazendo a condic ¸˜ ao Lk (x) = Ax

(1)

Universidade Federal da Bahia - UFBA

Instituto de Matem´

atica - IM

Programa de Pós-Graduação em Matemática - PGMAT Dissertação de Mestrado

Hipersuperf´ıcies em formas espaciais satisfazendo

a condic

¸˜

ao

L

k

(

x

) =

Ax

Luiz Alberto de Oliveira Silva

Salvador-Bahia

(2)

k

Luiz Alberto de Oliveira Silva

Disserta¸cão de Mestrado apresentada ao Colegiado da Pós-Gradua¸cão em Matemática da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Matemática.

Orientador: Prof. Dr. Jos´e Nelson Bastos Barbosa.

Salvador-Bahia

(3)

Silva, Luiz Alberto de Oliveira.

Hipersuperf´ıcies em formas espaciais satisfazendo a condi¸c˜ao

Lk(x) =Ax/ Luiz Alberto de Oliveira Silva. – Salvador: UFBA, 2011. 51 f.

Orientador: Prof. Dr. Jos´e N. Bastos Barbosa.

Disserta¸cão (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matemática, Programa de Pós-gradua¸cão em Matemática, 2011.

Referˆencias bibliogr´aficas.

1. Geometria Riemanniana. 2. Hipersuperf´ıcie. I.Barbosa, Jos´e N. Bastos. II. Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´atica. III. T´ıtulo.

(4)

k

Luiz Alberto de Oliveira Silva

Disserta¸cão de Mestrado apresentada ao Colegiado da Pós-Gradua¸cão em Matemática da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Matemática, aprovada em 23 de setembro de 2011.

Banca examinadora:

Prof. Dr. Jos´e Nelson Bastos Barbosa (Orientador) UFBA

Prof. Dr. Enaldo Silva Vergasta UFBA

(5)

(6)

A minha mãe Veralúcia por incentivar meus estudos, a meu pai Antônio, meus irmãos e a minha companheira Milena pelo carinho em todos os momentos.

Agrade¸co também aos meus colegas da pós-gradua¸cão. Aos colaboradores deste trabalho como Dimi Rangel, Marcus Morro, Fellipe Leite, Rodrigo Von Flach, Teófilo Nascimento, Thiago Nunes e Renivaldo Sena.

(7)

“Matemáticos são máquinas de transformar café em teo-remas ”.

(8)

Este trabalho trata de hipersuperf´ıcies na esfera Sn+1 _{ou no espa¸co hiperb´olico}

Hn+1_{, cujo vetor posi¸c˜ao}_x_{satisfaz a condi¸c˜ao}_L

kx=Ax, ondeLk´e o operador linearizado

da (k + 1)-ésima curvatura média da hipersuperf´ıcie para um k = 0,1, ..., n₋1 fixado e A _∈ R(n+2)×(n+2) _{é uma matriz constante auto-adjunta. Para cada} _k_{, tem-se que as}

´

unicas hipersuperf´ıcies que satisfazem as condi¸cões acima são: aquelas que possuem a (k + 1)-ésima curvatura média nula e k-ésima curvatura média constante ou uma parte aberta do toro de Clifford (Sm₍√₁₋_r2₎_×_Sn−m₍_r₎_⊂_Sn+1 _{com 0}_{< r <}_{1) ou uma parte}

aberta do cilindro hiperb´olico (Hm₍₋√_{1 +}_r2₎_×_Sn−m₍_r₎_⊂_Hn+1 _com _{r >}_0).

(9)

Abstract

This work deals with hypersurfaces either in the sphere Sn+1 _{or in the hyperbolic}

space Hn+1 _{whose position vector} _x _{satisfies the condition} _L

kx = Ax where Lk is the

linearized operator of the (k + 1)-th mean curvature of the hypersurfaces for a fixed

k = 0,1, ..., n₋1 and A _∈ R(n+2)×(n+2) _{is a self-adjoint constant matrix. For each} _k_{, it}

follows that the only hypersurfaces which satisfy the condition above are: those that have the (k+ 1)-th mean curvature zero andk-th mean curvature constant or an open piece of the Clifford’s torus (Sm₍√₁₋_r2₎_×_Sn−m₍_r₎_⊂ _Sn+1 _{with 0} _{< r <}_{1) or an open piece of}

the hyperbolic cylinder (Hm₍₋√_{1 +}_r2₎_×_Sn−m₍_r₎_⊂_Hn+1 _with _{r >}_0).

(10)

Introdu¸c˜ao 1

1 A esfera e o espa¸co hiperb´olico 3

1.1 A esfera . . . 3 1.2 O espa¸co hiperb´olico . . . 4

2 Operadores linearizados (Lk) 9

3 Hipersuperf´ıcies que satisfazem a condi¸c˜ao Lkx=Ax 20

3.1 Hipersuperf´ıcies com a (k + 1)-ésima curvatura média nula e a k-ésima curvatura média constante . . . 20 3.2 Toro de Clifford . . . 21 3.3 Cilindro hiperbólico . . . 25

4 Teorema 29

(11)

Introdu¸c˜

ao

Em 1966, Takahashi [Tak66] mostrou que as únicas subvariedadesn-dimensionais isometricamente imersas no espa¸co euclidiano Rn+m_{, cujas fun¸cões coordenadas são}

au-tovalores do operador Laplaciano associado a algum autovalor λ, ou s˜ao subvariedades m´ınimas em Rn+m _(com _λ _{= 0) ou s˜ao subvariedades em uma hiperesfera redonda} Sn+m₋1 _⊂ _Rn+m _(com _λ ₌ n

r2 > 0). Em particular, quando a codimens˜ao ´e m = 1,

o teorema de Takahashi afirma que se x : Mn

→ Rn+1 _{´e uma hipersuperf´ıcie imersa no}

espa¸co euclidiano e_△denota seu operador Laplaciano (com respeito a métrica induzida), então a imersão satisfaz a condi¸cão _△x+λx = 0 para alguma constante real λ se, e somente se, M é m´ınima comλ = 0 ouM é uma parte aberta da hiperesfera redonda de raio r=pn_λ centrada na origem de Rn+1 _com _{λ >}_0.

Como uma extensão do teorema de Takahashi, Garay [Gar90] estudou hiper-superf´ıcies no espa¸co euclidiano cujas fun¸cões coordenadas são autovalores do operador Laplaciano, mas não necessariamente associado ao mesmo autovalor. Para ser mais es-pec´ıfico, Garay [Gar90] considerou hipersuperf´ıcies emRn+1 _satisfazendo _△_x₌_Ax _(com

respeito ao mesmo sistema de coordenadas ortonormal), onde A _∈ R(n+1)×(n+1) _{´e uma}

matriz diagonal constante. Em 1990, ele provou que as ´unicas tais hipersuperf´ıcies s˜ao m´ınimas em Rn+1_{, parte aberta da hiperesfera redonda ou parte aberta dos cilindros}

esf´ericos generalizados.

Baseado nisto, Dillen [DPV90] considerou superf´ıcies emR3 _{cuja imers˜ao satisfaz}

a condi¸cão _△x = Ax+b, onde A _∈ R3×3 _{é uma matriz constante e} _b _∈ R3 _{é um vetor}

constante. Em 1990, ele provou que as ´unicas tais superf´ıcies s˜ao m´ınimas, partes abertas da esfera redonda ou partes abertas de cilindros circulares. Em 1991, o resultado de Dillen foi generalizado emRn+1_{, por Hasanis e Vlachos [HVl92], Chen e Petrovic [CPe91].}

O operador Laplaciano _△ pode ser visto como o primeiro de uma sequˆencia de operadores L0 = △, L1, ..., Ln−1, onde Lk representa o operador linearizado da (k+

1)-ésima curvatura média da hipersuperf´ıcie. Estes operadores Lk :C∞(M)→C∞(M) são

definidos por Lk(f) = tr(Pk ◦ ∇2f), onde f é uma fun¸cão diferenciável em M, Pk é a

k-ésima transforma¸cão de Newton associada à segunda forma fundamental da hipersu-perf´ıcie e _∇2_f _{é a hessiana de}_f_.

(12)

Em 2006, Al´ıas e Gürbüz [AGu06] estenderam a classifica¸cão para hipersuperf´ıcies emRn+1_satisfazendo_△_x₌_Ax₊_b_{. Eles classificaram hipersuperf´ıcies no espa¸co euclidiano}

Rn+1 _{satisfazendo a condi¸c˜ao} _L

kx=Ax+b, provando que as ´unicas tais hipersuperf´ıcies

são as que têm a (k+ 1)-ésima curvatura média zero, uma parte aberta da hiperesfera redonda ou uma parte aberta do cilindro esférico reto generalizado. Em 2010, Al´ıas e Kashani [AKa10] mostraram o seguinte teorema, que é o resultado principal desta dis-serta¸cão.

Teorema: Seja x : Mn _→ _Mn+1

c ⊂ Rnq+2 uma hipersuperf´ıcie orient´avel imersa onde

Mn+1

c ´e a esfera euclidiana Sn+1 ⊂ Rn+2 se c = 1 ou o espa¸co hiperb´olico Hn+1 ⊂ R n+2 1

se c = ₋1. Se Lk é o operador linearizado da (k + 1)-ésima curvatura média de M,

para algum k = 0,1,2, ..., n₋1 fixado, então a imersão satisfaz a condi¸cão Lkx = Ax

para alguma matriz constante auto-adjunta A_∈R(n+2)×(n+2) _{se, e somente se, ´e uma das}

seguintes hipersuperf´ıcies:

(1) uma hipersuperf´ıcie com a (k+ 1)-ésima curvatura média zero e ak-ésima curvatura média constante;

(2) uma parte aberta do Toro de Clifford, Sm₍√₁

−r2₎_×Sn₋m₍_r₎

⊂Sn+1_{, 0}_{< r <}_{1, se}

c= 1;

(3) uma parte aberta do cilindro hiperb´olico, Hm₍₋√_{1 +}_r2₎_×_Sn₋m₍_r₎

⊂ Hn+1_, _{r >}_0,

se c=₋1.

Esta disserta¸cão é dividida em quatro cap´ıtulos. No cap´ıtulo 1, trataremos de conceitos básicos que serão utilizados nas demonstra¸cões de alguns resultados.

No cap´ıtulo 2, apresentaremos as defini¸c˜oes das transforma¸c˜oes de Newton (os operadores Pk) e dos operadores linearizados (Lk), bem como algumas propriedades e

express˜oes.

Descreveremos, no cap´ıtulo 3, as hipersuperf´ıcies x : Mn _→ _Mn+1

c ⊂ Rnq+2

ori-ent´aveis imersas em Mn+1

c satisfazendo a condi¸c˜ao Lkx = Ax, onde Lk ´e o operador

linearizado da (k+ 1)-ésima curvatura média de M para algum k = 0,1, ..., n₋1 fixado eA_∈R(n+2)×(n+2) _{é alguma matriz constante auto-adjunta.}

(13)

Cap´ıtulo 1

A esfera e o espa¸co hiperb´

olico

Neste cap´ıtulo apresentaremos as variedades que ser˜ao os espa¸cos ambientes das hipersuperf´ıcies tratadas neste trabalho.

1.1 A esfera

A esfera unit´aria´e definido por Sn ₌_{_x _{= (}_x

0, ..., xn+1);|x|= 1}. Denotaremos

Sη :X(M)→X(M) o operador de Weingarten.

Proposi¸c˜ao 1.1. A segunda forma fundamental de Sn _֒_→ _Rn+1 _{´e dada por} _S

η = Id.

Al´em disso, a curvatura seccional de Sn _{´e constante e igual a} ₁_.

Demonstra¸c˜ao. Sejam x _∈ Sn_,

{b1, ..., bn} uma base de TxSn e η = −x ∈ (TxSn)⊥.

Considere o campo normalN aSn_{dado por}_N₍_p_{) =}₋_p_{. Como}_N₍_x_{) =} ₋_η_e_h_{N, N}_i_p _{= 1,}

∀p_∈Sn_{, temos que}

hSη(bi), bji=h−(∇biN)

T_{, b}

ji=h(−∇biN), bji.

Para um vetor arbitr´ariov _∈TxSn, vamos calcular (∇vN)(x). Como,

N(p) =₋p=₋

n X

i=1

piei

temos que as coordenadas de N(p) na base canˆonica _{e0, ..., en} de Rn+1 s˜ao dadas por

Ni(p) = −pi.

Sejam v _∈ TxSn e α :]−ǫ, ǫ[→ Sn uma curva regular em Sn tais que α(t) =

(α0(t), ...αn(t)),α(0) =xe α′(0) =v. Portanto,

v(Nk)(x) = _dtd(Nk◦α)(t)|t=0 = _dtdNk(α(t))|t=0 = _dtd(−αk(t))|t=0 =−α′k(0).

Usando a express˜ao da conex˜ao e sabendo que Γk

ij(Rn+1) = 0, teremos:

(14)

(_∇vN)(x) = n X

k=0

{v(Nk)(x) + X

i,j

viNj(x)Γkij(x)}ek

=

n X

k=0

v(Nk)(x)ek

=

n X

k=0

−α′k(0)ek

=

n X

k=0

−vkek

= ₋v.

Portanto Sη(bi) = −∇biN =bi ⇒Sη =Id. Da´ı,

hhSη(X), Yiη, ηi = hSη(X), Yihη, ηi

= _hSη(X), Yi

= _hB(X, Y), η_i.

Logo B(X, Y) = _hSη(X), Yiη=hX, Yiη=ηhX, Yi. Usando a f´ormula de Gauss

e tomando_{X, Y_} ortonormal,

K(X, Y)₋K(X, Y) = _hB(X, X), B(Y, Y)_{i − h}B(X, Y), B(X, Y)_i

onde K ´e a curvatura seccional de Sn _e _K _{´e a curvatura seccional de} Rn+1_{. Como}

K(X, Y) = 0 eB(X, Y) = η(X, Y), temos,

K(X, Y) =_hη_hX, X_i, η_hY, Y_{ii − h}η_hX, Y_i, η_hX, Y_ii= 1.

J´a sabemos que Sn _{´e uma variedade compacta, da´ı segue diretamente do teorema}

de Hopf e Rinow que Sn_{´e completa.}

1.2 O espa¸co hiperb´

olico

Defini¸c˜ao 1.2. O espa¸co de Lorentz Rn+1

1 ´e o espa¸co euclidiano (n+ 1)-dimensional com

a m´etrica de Lorentz dada por

(p, q) = ₋p0q0+p1q1+...+pnqn

(15)

5

Descrevemos o espa¸co hipeb´olico Hn _{que ´e uma hipersuperf´ıcie do Espa¸co de}

Lorentz Rn+1

1 , ou seja, o espa¸co Rn+1 munido com a m´etrica semi-Riemanniana que

definiremos da seguinte maneira.

Seja Q : Rn+1 _→ _R _{uma forma quadr´atica dada por} _Q₍_x

0, ...xn) = −x20+x21 +

...+x2

n e R n+1

1 o espa¸co Rn+1 com a m´etrica pseudo-Riemanniana (., .) induzida por Q.

Ent˜ao teremos:

(u, v) = 1₂_{Q(u+v)₋Q(u)₋Q(v)_}

Observe que para x= (x0, ..., xn), segue da express˜ao acima que (x, x) =Q(x).

Oespa¸co hiperb´olico´e definido comoHn₌_{_x_{= (}_x₀_{, ..., x}_n_{); (}_{x, x}_{) =}₋₁_{, x}₀ _>₀_}_.

Geometricamente Q(x) = ₋1 é um hiperbolóide de duas folhas e Hn _{é a folha}

contida no semi-espa¸co x0 > 0. Como Hn ´e uma componente conexa da pr´e-imagem de

−1 porQ, ent˜ao Hn _{´e uma hipersuperf´ıcie de} _Rn+1 1 .

Proposi¸cão 1.3. Segundo a métrica de Lorentz, o vetor η = x é ortogonal ao espa¸co tangenteTxHn, para todo x∈Hn.

Demonstra¸c˜ao. Sejam v _∈ TxHn e α :] − ǫ, ǫ[→ Hn uma curva regular em Hn tal

que α(0) = x e α′₍_x_{) =} _v_{. Assim} _α₍_t_{) = (}_x

0(t), ..., xn(t)), com x0(t) > 0. Logo,

Q(α(t)) = (α(t), α(t)) = ₋1. Ent˜ao:

Q(α(t)) = ₋x0(t)2 +x1(t)2+...+xn(t)2 =−1

⇒ −2x0(t)x0′(t) + 2x1(t)x′1(t) +...+ 2xn(t)x′n(t) = 0

⇒ −x0(t)x′0(t) +x1(t)x′1(t) +...+xn(t)x′n(t) = 0

⇒ (α(t), α′₍_t_{)) = 0}_,_∀_t_∈_]₋_{ǫ, ǫ}_[ ⇒ (α(0), α′_{(0)) = 0}

⇒ (x, v) = 0 ⇒ x_⊥v ⇒ η _⊥v.

Proposi¸c˜ao 1.4. (η, η) =₋1.

Demonstra¸c˜ao. (η, η) = (x, x) =Q(x) = ₋1.

Proposi¸c˜ao 1.5. β =_{b0, ...bn}, comb0 =η, (bi, bj) = δij parai, j = 1, ...n e(bi, b0) = 0,

parai= 1, ..., n´e uma base de Rn+1

1 .

Demonstra¸c˜ao. Para ver queβ ´e uma base de Rn+1

(16)

Proposi¸c˜ao 1.6. A m´etrica induzida porRn+1

1 em Hn ´e Riemanniana.

Demonstra¸cão. O ´ındice da forma quadrática independe da base escolhida. Escolhendo a base canônica _{e0, ...en} ∈ R1n+1, vemos que o ´ındice de Q é igual a 1. Como Q(η) =

(η, η) =₋1, temos que Q(ei)>0,∀i= 1, ...n. Portanto Q|TxHn ´e positiva definida.

Assim, a m´etrica induzida por Rn+1

1 em Hn ´e Riemanniana.

Proposi¸c˜ao 1.7. A segunda forma fundamental de Hn _֒_→ Rn+1

1 ´e dada por Sη = −Id.

Al´em disso, a curvatura seccional de Hn _{´e constante e igual a} ₋₁_.

Demonstra¸c˜ao. Sejam x _∈ Hn_, _{_b

1, ..., bn} uma base de TxHn e η = x ∈ (TxHn)⊥.

Considere o campo normalN a Hn _{dado por}_N₍_p_{) =}_p_{. Visto que}_N₍_x_{) =}_η _{e (}_{N, N}₎ p =

−1,_∀p_∈Hn_{, temos que}

(Sη(bi), bj) = (−(∇biN)

T_{, b}

j) = ((−∇biN), bj).

Para um vetor arbitr´ariov _∈TxHn, vamos calcular (∇vN)(x). Como,

N(p) =p=Pn_i₌₁piei

temos que as coordenadas de N(p) na base canˆonica _{e0, ..., en} de Rn1+1 s˜ao dadas por

Ni(p) = pi.

Sejam v _∈ TxHn e α :]−ǫ, ǫ[→ Hn uma curva regular em Hn tais que α(t) =

(α0(t), ...αn(t)),α(0) =xe α′(0) =v. Portanto,

v(Nk)(x) = _dtd(Nk◦α)(t)|t=0 = _dtdNk(α(t))|t=0 = _dtd(αk(t))|t=0 =αk′(0).

Usando a express˜ao da conex˜ao e sabendo que Γk

ij(Rn1+1) = Γkij(Rn+1) = 0, teremos:

(_∇vN)(x) = n X

k=0

{v(Nk)(x) + X

i,j

viNj(x)Γkij(x)}ek

=

n X

k=0

v(Nk)(x)ek

=

n X

k=0

α′k(0)ek

=

n X

k=0

vkek

= v.

(17)

7

(₋(Sη(X), Y)η, η) = −(Sη(X), Y)(η, η)

= (Sη(X), Y)

= (B(X, Y), η).

Logo B(X, Y) = ₋(Sη(X), Y)η = (X, Y)η = η(X, Y). Usando a f´ormula de

Gauss e tomando_{X, Y_} ortonormal,

K(X, Y)₋K(X, Y) = (B(X, X), B(Y, Y))₋(B(X, Y), B(X, Y)) onde K ´e a curvatura seccional de Hn _e _K _{´e a curvatura seccional de} _Rn+1

1 . Como

K(X, Y) = 0 eB(X, Y) = η(X, Y), temos,

K(X, Y) = (η(X, X), η(Y, Y))₋(η(X, Y), η(X, Y)) =₋1.

Denotaremos O1₍_n _{+ 1) o subgrupo das transforma¸c˜oes lineares de} _Rn+1 _que

preservam a m´etrica (,) e ˆHn ₌_{_x_{= (}_x

0, ..., xn); (x, x) =−1;x0 <0}. Observe que ˆHn ´e

a folha contida no semi-espa¸co x0 <0.

Lema 1.8. Seja W _∈ O1₍_n _{+ 1)}_{. Se para cada} _p _∈ _Hn _temos _W₍_p₎ _∈ _Hn_{, ent˜ao}

W(x)_∈Hn _{para todo} _x_∈_Hn_.

Demonstra¸c˜ao. Se W _∈ O1₍_n_{+ 1) e} _x _∈_Hn_{, ent˜ao (}_{W x, W x}_{) = (}_{x, x}_{) =}

−1. Portanto

W(x)_∈Hn _ou _W₍_x₎_∈_Hˆn_.

Seja p_∈Hn _{tal que} _W₍_p₎_∈_Hn_{. Suponha que existe}_q_∈_Hn _{tal que} _W₍_q₎_∈_/ _Hn_,

isto ´e W(q) _∈ Hˆn_{. Seja} _α _:]₋₂_,_2[_→ _Hn _{uma curva regular em} _Hn _{tal que} _α_{(0) =} _p _e

α(1) =q. Ent˜ao, W _◦α ´e uma curva em Q−1₍₋_{1) ligando} _W₍_p_{) e} _W₍_q_).

Denote α(t) = (x0(t), ...xn(t)), x0 >0 e W ◦α(t) = (y0(t), ..., yn(t)). Temos que

W _◦α´e cont´ınua.

Como W(α(0)) = W(p) _∈ Hn_{, claramente} _y

0(0) > 0, e o fato de W(α(1)) =

W(q) _∈ Hˆn_{, temos que} _y

0(1) <0. Uma vez que y0 ´e cont´ınua, ent˜ao existe t′ ∈]0,1[ tal

quey0(t′) = 0 o que implica queW◦α(t′)∈/ Q(−1). Absurdo, pois (W(α(t′)), W(α(t′))) =

(α(t′₎_{, α}₍_t′_{)) =} ₋_1.

Proposi¸c˜ao 1.9. Se W _∈O1₍_n_{+ 1)} _e _det₍_W₎_>₀_{, ent˜ao} _W₍_Hn_{) =} _Hn_.

Demonstra¸c˜ao. Sejam e0 = x = (1,0, ...,0) ∈ Hn e {b1, ..., bn} base de TxHn. Como W

preserva m´etrica, temos que_{W(e0), W(e1)..., W(en)}´e base de Rn1+1 e pelo fato deQser

(18)

Comodet(W)>0, W(e0) =e0. Pelo lema 1.8, conclu´ımos que W(Hn) =Hn.

Dizemos que uma variedade Riemanniana M ´e homogˆenea se dados p, q _∈ M

existe uma isometria de M que leva pem q.

Lema 1.10. Toda variedade homogˆenea ´e completa.

Demonstra¸cão. Suponha queMnão seja completa. Então existemp_∈M e uma geodésica (podemos tomar normalizada, _|γ′_| _{= 1)} _γ _{: [0}_{, t}

0] → M, com γ(0) = p, tal que γ n˜ao

pode ser estendida al´em de t0. Escolhamos ǫ > 0 tal que Bǫ(p) seja uma bola normal

e consideremos q = γ(t0 − ₂ǫ) ∈ M. Como M é homogênea, por defini¸cão, existe uma

isometria ϕ : M _→ M tal que ϕ(p) =q. Ent˜ao ϕ : M _→ M ´e um difeomorfismo, dϕp :

TpM →Tϕ(p)M ´e um isomorfismo e portanto existe v ∈ TpM tal que dϕpv =γ′(t0− ₂ǫ).

Observe que _||v_||= 1, pois ϕ´e isometria e portanto 1 = _hγ′₍_t

0− ₂ǫ), γ′(t0− ₂ǫ)i=hdϕpv, dϕpvi=hv, vi.

Por outro lado considere a geod´esica α: [0, ǫ[_→M dada por

α(t) =expptv.

Conclu´ımos que ϕ _◦ α : [0, ǫ[_→ M é uma geodésica, pois isometria preserva geodésica, tal que

(ϕ_◦α)(0) =ϕ(α(0)) =ϕ(p) = q=γ(t0− ₂ǫ)

e

(ϕ_◦α)′_{(0) =}_dϕ

pv =γ′(t0− ₂ǫ).

Assimϕ_◦α´e uma geod´esica deM que coincide comγ em [t0−₂ǫ[. Por unicidade

segue que ϕ_◦α = γ_|[t0−ǫ₂,t0[, o que significa que podemos estenderγ al´em de t0, o que ´e

um absurdo. LogoM ´e completa.

Proposi¸c˜ao 1.11. Hn _{´e completa.}

Demonstra¸c˜ao. Sejam p, q _∈Hn_, _{_v

1, ...vn} uma base ortonormal de TpHn e {w1, ..., wn}

uma base ortonormal deTqHn. ConsidereT :R1n+1 →Rn1+1 uma transforma¸c˜ao linear tal

que T(p) = q e T(vi) = wi, i = 1, ..., n. Como (p, p) = (q, q) = −1, (vi, vj) = (w1, wj) =

δij e (p, vi) = (q, wi) = 0, ent˜ao existe uma transforma¸c˜ao linear T : Rn1+1 → Rn1+1

que preserva m´etrica. Visto que p, q _∈ Hn _e _T₍_p_{) =} _q_{, pelo lema 1.8, conclu´ımos que}

T(Hn_{) =}_Hn_{. Segue que} _T_|

Hn é isometria deHn. Portanto, Hn é homogênea. Pelo lema

(19)

Cap´ıtulo 2

Operadores linearizados

(

L

_k

)

O objetivo deste cap´ıtulo é obter a expressão do operador linearizado.Para isto, definiremos ak-ésima curvatura média de uma hipersuperf´ıcie e ak-ésima transforma¸cão de Newton.

Para simplificar nota¸c˜ao, denotaremos por Mn+1

c , a esfera Sn+1 ⊂Rn+2, se c= 1,

ou o espa¸co hiperb´olicoHn+1 _⊂Rn+2

1 , se c=−1. Em alguns momentos denotaremos por

h., ._i, sem distin¸cão, para a métrica euclidiana em Rn+2 _{e para a métrica lorentziana em}

Rn+2

1 , bem como as correspondentes m´etricas (riemannianas) induzidas de Mnc+1 em M.

Considere x: Mn _→_Mn+1

c ⊂ Rnq+2 (com q = 0 se c= 1, e q = 1, se c=−1) uma

hiper-superf´ıcie orient´avel conexa imersa em Mn+1

c com a aplica¸c˜ao de Gauss G. Denotaremos

por_∇0_, _∇ _e_∇ _{as conex˜oes riemannianas em} _Rn+2

q , Mnc+1 e M, respectivamente.

Proposi¸cão 2.1. As fórmulas básicas de Gauss e Weingarten para as hipersuperf´ıcies

x:Mn

→Mn_c+1 _⊂Rn_q+2

s˜ao dadas por

∇0

XY =∇XY −chX, Yix=∇XY +hSGX, YiG−chX, Yix

e

SGX =−∇XG=−∇0XG.

Para todo X, Y _∈ X₍_M₎_{, onde} _S_G _: X₍_M₎ _→ X₍_M₎ _{´e o operador de forma de} _M _com

respeito a escolha da orienta¸c˜ao G.

Demonstra¸c˜ao. Primeiro, consideremos Mn _֒x

→ Mn+1

c ϕ

֒_→ Rn+2

q , com ϕ(p) = p, ∀p ∈ Mn_c+1_{. Sejam} _A_η _: X₍_M_cn+1₎ _→ X₍_M_cn+1_{) e} _S_G _: X₍_M₎ _→ X₍_M_{) os operadores de}

Weingartein das imers˜oesϕ exrespectivamente. Associamosα :X₍_Mn+1

c )×X(Mcn+1)→ X₍_Mn+1

c )⊥ a Aη, e B : X(M)×X(M) → X(M)⊥ a SG. J´a sabemos que AηX = cX e

η=₋cx. Visto que _hB(X, Y), G_i=_hSGX, Yi, segue que

(20)

B(X, Y) =_hSGX, YiG.

Al´em disso, temos

hα(X, Y), η_i = _hAηX, Yi

= 1_c_hη, η_ihAηX, Yi

= _h−c_hX, Y_ix, η_i.

Portanto,

∇0

XY = ∇XY +α(X, Y) = ∇XY −chX, Yix

= _∇XY +B(X, Y)−chX, Yix

= _∇XY +hSGX, YiG−chX, Yix.

Para mostrar a segunda express˜ao, basta observar que

hSGX, Yi = hB(X, Y), Gi=h(∇XY)⊥, Gi

= _h∇XY, Gi=−h∇XG, Yi

e

h∇0

XG, Yi = h∇XG+α(X, G), Yi

= _h∇XG, Yi

para todoY _∈X₍_M_).

SG, que tamb´em denotaremos por S, define um operador linear auto-adjunto

em cada plano tangente TpM e seus autovalores, denotados por κ1(p), ..., κn(p), s˜ao as

curvaturas principais da hipersuperf´ıcie em p. Associado ao operador de Weingarten, existem n invariantes alg´ebricos dados por

sk(p) =σk(κ1(p), ..., κn(p)), 1≤k ≤n,

onde σk :Rn→R é uma fun¸cão simétrica elementar em Rn dada por

σk(x1, ..., xn) = X

i1<...<ik

xi1...xik.

Observe que o polinˆomio caracter´ıstico pode ser escrito em termos de sk’s como

QS(t) = n X

k=0

(21)

11

pois,

QS(t) = det(tI−S) = (t−κ1)...(t−κn)

=

n X

k=0

(₋1)k_s ktn−k.

A k-ésima curvatura média Hk de uma hipersuperf´ıcie é definida por

Hk = s_nk k

.

Notemos que s0 = H0 = 1 e H1, H2, Hn s˜ao as curvaturas m´edia, escalar e de

Gauss-Kronecker, respectivamente.

Defini¸cão 2.2. A k-ésima transforma¸cão de Newton Pk : X(M) → X(M) é definida

indutivamente pelo operador de forma por

P0 =I e Pk=skI−SPk₋1 = nk

HkI−SPk₋1,

para todok = 1, ..., n, onde I denota a identidade em X₍_M₎_.

Equivalentemente,

Pk = k X

j=0

(₋1)j_s

k−jSj = k X

j=0

(₋1)j n k₋j

Hk−jSj.

Em particular,

Pn = n X

k=0

(₋1)k_s

n−kSk=QS(S) = 0.

A ´ultima igualdade vale pelo teorema de Cayley-Hamilton.

Proposi¸c˜ao 2.3. Pk(p)´e um operador linear auto-adjunto em cada espa¸co tangente TpM

que comuta com S(p).

Demonstra¸cão. Faremos por indu¸cão a demonstra¸cão de que SPk = PkS. Note que

SP0 =SI =IS =P0S. Suponha que SPk−1 =Pk−1S. Logo

SPk = S(skI−SPk−1) =S(skI−Pk−1S)

= Ssk−SPk−1S =skS−SPk−1S

= (skI−SPk−1)S =PkS

Também por indu¸cão, mostremos que Pk é auto-adjunta. Escolhamos X, Y ∈ X(M).

(22)

hP0X, Yi=hIX, Yi=hX, IYi=hX, P0Yi.

Suponha quePk−1 seja auto-adjunta, ou seja

hPk−1X, Yi=hX, Pk−1Yi

ent˜ao

hPk(X), Yi = h(skI−SPk−1X, Y)i=hskX, Yi − hSPk−1(X), Yi

= _hX, skYi − hPk₋1(X), S(Y)i

= _hX, skYi − hX, Pk₋1(S(Y))i

= _hX,(skI−Pk₋1S)Yi

= _hX, Pk(Y)i

Denotemos por

sk(Si) = sk(κ1, ..., κi₋1, κi+1, ..., κn)

a k-fun¸cão elementar simétrica associada a restri¸cão Si de S ao subespa¸co ortogonal ao

autovetor correspondenteei.

Lema 2.4. Para cada i= 1, ..., n fixado, temos

sk(Si) =sk−κisk−1(Si).

Demonstra¸c˜ao. Temos que

sk(Si) = sk(κ1, ..., κi−1, κi+1, ..., κn), sk−1(Si) = sk−1(κ1, ..., κi−1, κi+1, ..., κn)

e

sk = X

i1<...<ik

κi1...κik.

Fixadoi_{∈ {}i1, ..., ik}, sk pode ser dividido em duas parcelas. Uma contendoκi e a outra

n˜ao contendo κi, ou seja, sk = J +κiL. Claramente, J = sk(κ1, ..., κi−1, κi+1, ..., κn) =

sk(Si) e L=sk−1(κ1, ..., κi−1, κi+1, ..., κn) = sk−1(Si). Portanto sk(Si) = sk−κisk−1(Si).

(23)

13

Demonstra¸c˜ao. Temos queP0(ei) = I(ei) =eies0(Si)ei =s0(κ1, ..., κi−1, κi+1, ..., κn)ei =

ei, ent˜ao P0(e1) = s0(Si)ei. Suponha que Pk(ei) =sk(Si)ei. Ent˜ao

Pk+1(ei) = sk+1ei−SPk(ei) =sk+1ei−S(sk(Si)ei)

= sk+1ei−sk(Si)S(ei) = sk+1ei−sk(Si)κiei

= (sk+1−sk(Si)κi)ei =sk+1(Si)ei

PortantoPk(ei) =sk(Si)ei.

Se_{e1, ..., en}s˜ao autovetores deS(p) com os autovalores correspondentesκ1(p),...,

κn(p) respectivamente, então eles também são autovetores de Pk(p) com os autovalores

correspondentes dado por:

µi,k(p) =

X

i1<...<ik,ij6=i

κi1(p)...κik(p)

para todo 1_≤i_≤n. Pois

Pk(ei) = sk(Si)ei =sk(κ1, ..., κk−1, κk+1, ..., κn)

=





X

i1<...<ik,ij6=i

κi1...κik



.ei

Proposi¸c˜ao 2.6. Para cada1_≤k _≤n₋1, temos

(a) tr(Pk) = n X

i=1

sk(Si) = (n−k)sk =ckHk;

(b) tr(SPk) = n X

i=1

κisk(Si) = (k+ 1)sk+1 =ckHk+1;

(c) tr(S2_P

k) = n X

i=1

κ2isk(Si) =s1sk+1−(k+ 2)sk+2 = k+1n

(nH1Hk+1−(n−k−1)Hk+2)

onde ck = (n−k) nk

= (k+ 1) k+1n

.

Demonstra¸c˜ao.

(a) Da defini¸c˜ao de tra¸co, segue que

tr(Pk) = n X

i=1

hPk(ei), eii= n X

i=1

hsk(Si)ei, eii

=

n X

i=1

sk(Si).

(24)

monômio desk, então ele também será um monômio desk(Si), comi /∈ {j1, ..., jk}. Como

temos (n₋k) termos, ent˜ao

n X

i=1

sk(Si) = (n−k)sk.

(b) Facilmente vemos que

tr(SPk) = n X

i=1

hSPk(ei), eii= n X

i=1

hPk(ei), S(ei)i

=

n X

i=1

hsk(Si)ei, κieii= n X

i=1

κisk(Si).

Al´em disso, sabemos ainda

tr(Pk+1) =tr(sk+1I−SPk) = tr(sk+1I)−tr(SPk).

Logo

tr(SPk) = tr(sk+1I)−tr(Pk+1)

= nsk+1−(n−(k+ 1))sk+1

= (k+ 1)sk+1.

(c)Temos que

tr(S2_P

k) = n X

i=1

hS2Pk(ei), eii= n X

i=1

hPk(ei), S2(ei)i

=

n X

i=1

hsk(Si)ei, κ2i(ei)i= n X

i=1

κ2_isk(Si).

Como

tr(SPk+1) = tr(S(sk+1I−SPk))

= tr(sk+1SI)−tr(S2Pk).

Conclu´ımos que

tr(S2_P

k) = tr(sk+1SI)−tr(SPk+1)

(25)

15

Proposi¸c˜ao 2.7. tr(Pk∇XS) = h∇sk+1, Xi = k+1n

h∇Hk+1, Xi, ∀X ∈ X(M). Onde

∇S denota a diferencial covariante deS

∇S(Y, X) = (_∇XS)Y =∇X(SY)−S(∇XY), X, Y ∈X(M).

Demonstra¸c˜ao.

Vamos provar este resultado calculando no referencial ortonormal em M que diagonalizaS. É importante observar que nem sempre tais estruturas existem; problemas ocorrem quando a multiplicidade das curvaturas principais mudam (também as curvaturas principais em todos os pontos não são necessariamente suaves). Por isso, trabalharemos em um subconjunto M0 de M que consiste em pontos em que o número de curvaturas

principais distintas ´e localmente constante. Como bem sabemos, M0 ´e um subconjunto

aberto e denso de M, as curvaturas principais s˜ao fun¸c˜oes suaves em M0 e, para cada

curvatura principalκ a indica¸c˜ao

p_∈M0 7→ker(Sp−κ(p)I)⊂TpM

define uma distribui¸c˜ao suave. Portanto, para cadap_∈M0 existe um referencial

ortonor-mal _{E1, ..., En} definido na vizinhan¸ca de p tal que S(Ei) = κiEi, com cada κi suave.

Nesse caso temos

Pk(Ei) = µi,kEi

e

(_∇XS)Ei = ∇X(SEi)−S(∇XEi)

= X(κi)Ei+ X

j6=i

(κi−κj)h∇XEi, EjiEj.

Logo

tr(Pk∇XS) = n X

i=1

µi,kX(κi)

=

n X

i=1

X(κi)

X

i1<...<ik,ij6=i

κi1...κik

= X( X

i1<...<ik

κi1...κik) =X(sk+1)

= _h∇sk+1, Xi=h∇ k+1n

Hk+1, Xi

= n

k+1

h∇Hk+1, Xi.

(26)

Associado a cada transforma¸c˜ao de Newton Pk, temos um operador linear

difer-enci´avel de segunda ordemLk :C∞(M)→C∞(M) definido por

Lk(f) =tr(Pk◦ ∇2f)

onde_∇2_f _:_X₍_M₎_→_X₍_M_{) denota um operador linear auto-adjunto metricamente}

equiv-alente `a hessiana def e dado por h∇2_f₍_X₎_{, Y}_i₌_h∇

X(∇f), Yi, X, Y ∈X(M).

Quandok = 0, temos

L0(f) = tr(P0 ◦ ∇2f) = tr(∇2f) =△f

onde _△ denota o operador Laplaciano. Por isto, dizemos que o operador linearizado generaliza o operador laplaciano.

Proposi¸c˜ao 2.8. Lk(f g) = (Lkf)g+f(Lkg) + 2hPk(∇f),∇gi; f, g∈C∞(M).

Demonstra¸c˜ao. Seja_{E1, ..., En} um referencial ortonormal de M, ent˜ao

Lk(f g) = tr(Pk◦ ∇2(f g)) = n X

i=1

h(Pk◦ ∇2(f g))Ei, Eii

=

n X

i=1

h∇2(f g)Ei, Pk(Ei)i

=

n X

i=1

h∇Ei(∇(f g)), Pk(Ei)i

=

n X

i=1

h∇Ei(f∇g+g∇f), Pk(Ei)i

=

n X

i=1

h∇Ei(f∇g), Pk(Ei)i+

n X

i=1

h∇Ei(g∇f), Pk(Ei)i

=

n X

i=1

{hf_∇Ei(∇g), Pk(Ei)i+hEi(f)∇g, Pk(Ei)i}

+

n X

i=1

{hg_∇Ei(∇f), Pk(Ei)i+hEi(g)∇f, Pk(Ei)i}

= f

n X

i=1

h∇Ei∇g, Pk(Ei)i+hPk(∇g),

n X

i=1

Ei(f)Eii

+ g

n X

i=1

h∇Ei∇f, Pk(Ei)i+hPk(∇f),

n X

i=1

(27)

17

Portanto

Lk(f g) = f n X

i=1

h∇2(g)Ei, PkEi, Pk(Ei)i+hPk(∇g),∇fi

+ g

n X

i=1

h∇2(f)Ei, PkEi, Pk(Ei)i+hPk(∇f),∇gi

= f Lk(g) +gLk(f) + 2hPk(∇f),∇gi.

Seja x : Mn _→ _Mn+1

c ⊂ Rnq+2 uma hipersuperf´ıe orient´avel imersa em Mcn+1.

Denotemos por Ga aplica¸c˜ao de Gauss de x. Dado um vetor arbitr´ario fixadoa_∈Rn+2_,

consideraremos a fun¸c˜ao coordenada _ha, x_iem M.

Lema 2.9. a=aT₊

ha, G_iG+c_ha, x_ix, ondeaT

∈X₍_M₎_{denota a componente tangencial}

de a.

Demonstra¸c˜ao. Visto que a=aT ₊_D

1G+D2x, onde D1, D2 s˜ao escalares, ent˜ao

ha, G_i = _haT ₊_D

1G+D2x, Gi

= _haT_{, G}_i₊_h_D

1G, Gi+hD2x, Gi

= D1hG, Gi=D1

Al´em disso

ha, x_i = _haT ₊

ha, G_iG+D2x, xi

= _haT_{, G}

i+_hha, G_iG, x_i+_hD2x, xi

= D2hx, xi=D2c,

o que nos d´a

D2 =cha, xi.

Portanto,

a=aT ₊_h_{a, G}_i_G₊_c_h_{a, x}_i_x_.

Lema 2.10. X(_ha, x_i) =_hX, a_i=_hX, aT_i_,_∀_X _∈_X₍_M₎_.

Demonstra¸c˜ao. Considere ˜x:Mn+1

c →Mcn+1 definido por ˜x(x) =x. Como ˜x= n X

i=1

˜

xiei,

(28)

n X

i=1

xiei =x= ˜x(x) = n X

i=1

˜

xi(x)ei

portanto ˜xi(x) =xi. Temos ainda que (dx˜i)xv =vi, ondev = (v1, ...vn+2), pois

(dx˜i)xv = (˜xi◦α)′(0) =α′i(0) =vi

tal que α(0) =x, α′_{(0) =}_v _e _α_{= (}_α

1, ..., αn+2).

Como X _∈X₍_M_{), ent˜ao}_X ₌ n X

i=1

giei, comgi ∈C∞(M). Logo

∇0

Xx˜(x) = n X

i=1

X(˜xi)(x)ei = n X

i=1

(dx˜i)xX(x)ei = n X

i=1

gi(x)ei =X(x).

Portanto_∇0

Xx˜=X.

∇0

Xa = 0, poisa ∈Rn+2. Ent˜ao

X(_ha, x_i) = _h∇0

Xa, xi+ha,∇0Xxi=ha, Xi=hX, ai

= _hX, aT ₊

ha, G_iG+c_ha, x_ix_i

= _hX, aT

i+_hX,_ha, G_iG_i+_hX, c_ha, x_ix_i

= _hX, aT

i.

Da´ı, temos que

hX, aT

i=X(_ha, x_i) = _h∇ha, x_i, X_i

o que implica que_∇ha, x_i=aT_.

Proposi¸c˜ao 2.11. _∇X∇ha, xi=∇XaT =ha, GiSX −cha, xiX, ∀X ∈X(M).

Demonstra¸c˜ao.

∇X∇ha, xi = ∇XaT = (∇0XaT)T

= _{∇0

X(a− ha, GiG−cha, xix)}T

= _{∇0

Xa− ∇0X(ha, GiG)− ∇0X(ha, xix)}T

= _{−∇0

X(ha, GiG)− ∇X0 (ha, xix)}T

= _{−X_ha, G_iG_{− h}a, G_i∇0

XG−cXha, xix−cha, xi∇0Xx}T

= _{−ha, G_i∇0

XG−cha, xiX}T

= _−ha, G_i(_∇0

(29)

19

Logo

∇X∇ha, xi = −ha, Gi(−SX)T −cha, xiX

= _ha, G_iSX ₋c_ha, x_iX.

Proposi¸c˜ao 2.12. Lkha, xi=ha, Gitr(SPk)−cha, xitr(Pk) =ckHk+1ha, Gi−cckHkha, xi.

Demonstra¸c˜ao.

Lkha, xi = tr(Pk∇2ha, xi) = n X

i=1

hPk∇2ha, xiEi, Eii

=

n X

i=1

h∇2ha, x_iEi, PkEii= n X

i=1

h∇Ei∇ha, xi, PkEii

=

n X

i=1

h∇Eia

T_{, P} kEii

=

n X

i=1

hha, G_iSEi−cha, xiEi, PkEii

=

n X

i=1

(_ha, G_ihSEi, PkEii −cha, xihEi, PkEii)

= _ha, G_i

n X

i=1

hSEi, PkEii −cha, xi n X

i=1

hEi, PkEii

= _ha, G_i

n X

i=1

hSPkEi, Eii −cha, xi n X

i=1

hPkEi, Eii

= _ha, G_itr(SPk)−cha, xitr(Pk)

= ckHk+1ha, Gi −cckHkha, xi.

Corol´ario 2.13. Lkx=ckHk+1G−cckHkx.

Demonstra¸c˜ao.

Lkha, xi = ckHk+1ha, Gi −cckHkha, xi

= _ha, ckHk+1G−cckHkxi

(30)

Hipersuperf´ıcies que satisfazem a

condi¸c˜

ao

L

_k

x

=

Ax

O objetivo deste cap´ıtulo é verificar que as hipersuperf´ıcies com a (k+ 1)-ésima curvatura média zero e a k-ésima curvatura média constante, o Toro de Clifford e o cilindro hiperbólico satisfazem a equa¸cão Lkx = Ax, onde x : Mn → Mnc+1 ⊂ R

n+2 1 ´e

uma hipersuperf´ıcie orient´avel imersa tanto na esfera euclidiana Sn+1 _⊂ Rn+2 _(se_c _{= 1)}

ou no espa¸co hiperb´olicoHn+1

1 (se c=−1), Lk ´e o operador linearizado da (k+ 1)-´esima

curvatura m´edia de M para algum k = 0,1, ..., n₋1 fixado e A _∈R(n+2)×(n+2) _{´e alguma}

matriz constante auto-adjunta.

3.1 Hipersuperf´ıcies com a

(

k

+ 1)

-´

esima curvatura

m´

edia nula e a

k

-´

esima curvatura m´

edia constante

Considere uma hipersuperf´ıcie Mn

→ Mn_c+1 _⊂ Rn_q+2 _{orient´avel imersa em} Mn_c+1

tal que Hk = constante e Hk+1 = 0. Como Lkx = ckHk+1G− cckHkx, onde ck =

(n₋k) n k

= (k+ 1) k+1n

e c´e curvatura seccional, ent˜ao

Lkx = −cckHk(x0, ..., xn+1) = (−cckHkx0, ...,−cckHkxn+1)

=         

−cckHk 0 · · · 0 0

0 ₋cckHk · · · 0 0

... ... . .. ... ...

0 0 _{· · · −}cckHk 0

0 0 _{· · ·} 0 ₋cckHk                   x0 x1 ... xn

xn+1

        

= diag[₋cckHk, ...,−cckHk]x.

(31)

21

TomandoA=diag[₋cckHk, ...,−cckHk], temos que as hipersuperf´ıcies comHk =constante

eHk+1 = 0, satisfazem a condi¸c˜aoLkx=Ax.

3.2 Toro de Clifford

Nesta se¸cão, definiremos o Toro de Clifford, calcularemos suas curvaturas princi-pais, (k+1)-ésima curvatura média, segunda forma fundamental e a expressão do operador linearizado da (k+ 1)-ésima curvatura média.

Para definir o toro de Clifford usaremos algumas considera¸c˜oes de variedade pro-duto.

Sejam M, N, M , N variedades Riemannianas, f : M _→ M e g : N _→ N

imers˜oes isom´etricas. Sejam_∇M_,

∇N_,

∇M,_∇N as conex˜oes Riemannianas deM, N, M , N

respectivamente. Considere emM_×N eM_×N as métricas produtos e a imersão isométrica

f_×g :M _×N _→M_×N. Defina as conex˜oes Riemannianas de M_×N e M _×N

∇MX×NY =∇ M

XMYM +∇

N XNYN

e

∇MU×NV =∇ M

U_MVM +∇ N U_NVN

respectivamente, onde X = (XM, XN)∈X(M ×N), Y = (YM, YN)∈X(M ×N) em que

XM, YM ∈ X(M) e XN, YN ∈ X(N). E U = (UM, UN) ∈ X(M ×N), V = (VM, VN) ∈ X₍_M _×_N_{) em que} _U

M, VM ∈X(M) e UN, VN ∈X(N).

Sejam Bf, Bg as segundas formas fundamentais de f e g, respectivamente, com

os operadores lineares auto-adjuntos associados S_ξf : TpM → TpM e Sµg : TqN → TqN

com ξ_∈X₍_M₎⊥_, _µ_∈X₍_N₎⊥_{. Tome} _{u, v} _∈_T_p_M _e _{w, z} _∈_T_q_N_{, ent˜ao temos}

hS_ξfu, v_i=_hBf(u, v), ξi e hSµgw, zi=hBg(w, z), µi.

Assim a segunda forma fundamental da imers˜ao produtof _×g ´e dada por

Bf×g(X, Y) = (Bf(XM, YM), Bg(XN, YN)).

Se_|ξ_|2 ₊_|_µ_|2 _{= 1, ent˜ao podemos definir o campo normal e unit´ario a} _M _×_N _por

η= (ξ, µ)

(32)

hSηX, Yi = hBf×g(X, Y), ηi

= _h(Bf(XM, YM), Bg(XN, YN)),(ξ, µ)i

= _hBf(XM, YM), ξi+hBg(XN, YN), µi

= _hS_ξf(XM), YMi+hSµg(XN), YNi

= _|ξ_|hSfξ |ξ|

(XM), YMi+|µ|hSgµ

|µ|(XN), YNi.

Consequentemente o operador de forma na dire¸c˜ao normal η´e

SηX = |ξ|S f

ξ |ξ|

(XM) +|µ|S g

µ |µ|(XN)

= (_|ξ_|Sfξ |ξ| ◦

πM(X) +|µ|Sgµ

|µ| ◦πN(X))

onde πM é proje¸cão sobre M eπN proje¸cão sobre N.

Considere a esfera m-dimensional de raio r, Sm₍_r_{) =} _{_p _∈ _Rm+1_;_|_p_| ₌ _r_}_{, e as}

inclus˜oes canˆonicas f : Sm₍√₁₋_r2₎ _→ Rm+1 _e _g _: _Sn−m₍_r₎ _→ _Rn−m+1_{. Denote por} _ϕ

o produto das imers˜oes ϕ = f _×g : Sm₍√₁

−r2₎_×Sn₋m₍_r₎

→ Rn+2_{. Dado um ponto}

(p, q) _∈ Sm₍√₁₋_r2₎_×_Sn₋m₍_r_{), temos que}

|(p, q)_|2 ₌ _|_p_|2₊_|_q_|2 _{= (}√₁₋_r2₎2 ₊_r2 _{= 1,}

isto ´e,Sm₍√₁₋_r2₎_×_Sn₋m₍_r₎

⊂Sn+1_{(1). A imagem da imers˜ao}

Sm₍√₁₋_r2₎_×_Sn−m₍_r₎_→_Sn+1₍₁₎

´e chamada de Toro de Clifford.

Dada uma imers˜ao Sn+1₍_r₎_֒

→Rn+2 _{temos que a aplica¸c˜ao normal de Gauss na esfera de}

raio r´e dada por G(p) =₋_|p_p_|, logo

SG(v) =−(∇vG) = −dGp(v) = 1_r(v) = 1_rId

onde S é um operador de Weingarten e _∇ é a conexão riemanniana de Rn+2_{. Para as}

imers˜oesf :Sm₍√₁₋_r2₎_→_Rm+1_, _g _:_Sn−m₍_r₎_→_Rn−m+1 _e_i _:_Sn+1 _→_Rn+2_{, teremos os}

operadores de forma associados S_ξf = _√1

1−r2Id, S

g

µ = 1rId e S i

G =Id com ξ(p) =− p

√

1−r2

e µ(q) = ₋q

r. Considere o campo Γ(p, q) = (p, q) normal ao Toro de Clifford mas n˜ao

tangente `a esferaSn+1_{e o campo}_G₍_{p, q}_{) = (}₋_{ap, bq}_{) normal ao Toro de Clifford e tangente}

`a esfera Sn+1_{. Portanto valem as seguintes condi¸c˜oes:}

(1) _h(₋ap, bq),(p, q)_i= 0;

(33)

23

De (1), temos que₋a_|p_|2₊_b_|_q_|2 _{= 0 ou}_a_|_p_|2₋_b_|_q_|2 _{= 0, e de (2)}_a2_|_p_|2₊_b2_|_q_|2 _{= 1.}

J´a sabemos que _|p_|=√1₋r2 _e _|_q_|₌_r_{. Ent˜ao}

0 =₋a_|p_|2₊_b_|_q_|2 ₌₋_a₍₁₋_r2_{) +}_br2_.

Logo a= r2

1−r2b.

Segue de (1) e (2) que

1 =a2_|_p_|2₊_b2_|_q_|2 ₌_a2₍₁₋_r2_{) +}_b2_r2

isto implica que

1

r2 =a2 1−

r2

r2 +b2 =

r2

1−r2b2+b2.

Logo conclu´ımos que

a= r

√

1−r2 e b=

√

1−r2

r , para 0< r <1.

Portanto o vetor normal ser´a dado por

G(p, q) = (₋ap, bq) = (₋_√r

1−r2p,

√

1−r2

r q)

e o operador de forma na sua dire¸c˜ao ser´a dado por

SG = |ξ|S f

ξ |ξ| ◦

πSm+|µ|Sgµ |µ| ◦πS

n−m

= rS₋f p

√

1−r2 ◦

πSm+√1−r2Sgq r ◦π

Sn−m

= rS₋f p

√

1−r2 ◦

πSm−√1−r2Sg

−qr ◦π

Sn−m.

Assim,

SG(X,0) =r(S₋f p

√

1−r2

)X = r

√

1−r2X

e

SG(0, Y) =−

√

1₋r2₍_Sg

−qr)Y =−

√

1−r2

r Y.

Tomando uma base ortonormal de vetores de f _×g dada por

{(e0,0), ...,(em,0),(0, hm+1), ...,(0, hn+1)}

onde _{ei} diagonaliza Sξf e {hi} diagonaliza Sµg, temos que as curvaturas principais do

(34)

κ1 =...=κm = √₁r₋_r2

e

κm+1 =...=κn=−

√

1−r2

r .

Já temos que a aplica¸cão de Gauss em M é

G(x) = (₋ r

√

1−r2x0, ...,−

r

√

1−r2xm,

√

1−r2

r xm+1, ...,

√

1−r2

r xn+1)

e as curvaturas principais s˜ao dadas por

κ1 =...=κm = √₁r

−r2 κm+1 =...=κn =−

√

1−r2

r .

Para todo k= 1, ..., n₋1 fixado, temos que Hk ´e constante. Como sabemos que

Lkx=ckHk+1G−cckHkx

ec= 1, ent˜ao

Lkx = ckHk+1(−√₁r₋_r2x0, ...,−

r

√

1−r2xm,

√

1−r2

r xm+1, ...,

√

1−r2

r xn+1)

− ckHk(x0, ..., xn+1)

= (νx0, ..., νxm, ωxm+1, ..., ωxn+1)

= diag[ν, ..., ν, ω, ..., ω]



  

x0

...

xn+1



  

= diag[ν, ..., ν, ω, ..., ω]x

onde,

ν =₋ckHk+1r

√

1−r2 −ckHk

e

ω= ckHk+1

√

1−r2

r −ckHk.

TomandoA=diag[ν, ..., ν, ω, ..., ω], temos que o Toro de Clifford (Sm₍√₁

−r2₎_×Sn₋m₍_r_),

(35)

25

3.3 Cilindro hiperb´

olico

Nesta se¸cão definiremos o cilindro hiperbólico, Hk₍₋√_{1 +}_r2₎_×_Sn₋k₍_r_{), que é}

uma hipersuperf´ıcie no espa¸co hiperb´olico Hn+1_{. Calcularemos a segunda forma}

fun-damental, as curvaturas principais, a (k + 1)-ésima curvatura média e a expressão do operador linearizado da (k+ 1)-ésima curvatura média.

Sejam M, N, M, N, variedades tais que N é riemanniana e M uma variedade diferenciável com uma métrica pseudo-riemanniana (., .) induzida por uma forma quadrática

Q. Considere as imersões isométricas f :M _→M eg :N _→N, onde a métrica induzida por f em M é riemanniana e Q(ξ, ξ)< 0, _∀ξ _∈ X₍_M₎⊥_{. Considerando em} _M _×_N _{e em}

M_×N as m´etricas produtos, teremos que a imers˜ao

f_×g :M _×N _→M _×N

também é imersão isométrica.

Denotemos por_∇M a conex˜ao pseudo-riemanniana de M e por_∇M_,

∇N _e

∇N as conexões riemannianas deM, N e N respectivamente. Portanto a conexão riemanniana deM _×N é dada por

∇M×N

X Y =∇MXMYM × ∇

N XNYN

e a conex˜ao pseudo-riemanniana deM _×N ´e dada por

∇MU×NV =∇ M

U_MVM +∇ N U_NVN

onde X = (XM, XN), Y = (YM, YN) ∈ X(M ×N) em que XM, YM ∈X(M) e XN, YN ∈ X₍_N_{). E} _U _{= (}_U_M_{, U}_N₎_{, V} _{= (}_V_M_{, V}_N₎_∈X₍_M_×_N_{) em que}_U_M_{, V}_M _∈X₍_M_{) e} _U_N_{, V}_N _∈ X₍_N_).

Sejam Bf, Bg as segundas formas fundamentais de f e g, respectivamente, com

os operadores lineares auto-adjuntos associados S_ξf : TpM → TpM e Sµg : TqN → TqN

com ξ_∈X₍_M₎⊥_, _µ_∈X₍_N₎⊥_{. Tome} _{u, v} _∈_T_p_M _e _{w, z} _∈_T_q_N_{, ent˜ao temos:}

hS_ξfu, v_i=_hBf(u, v), ξi e hSµgw, zi=hBg(w, z), µi.

Assim a segunda forma fundamental da imers˜ao produtof _×g ´e dada por

Bf_×g(X, Y) = (Bf(XM, YM), Bg(XN, YN)).

Seja η = (ξ, µ) em M _×N normal a M _×N, com ξ em M normal a M, µ em

N normal aN, (ξ, ξ) +_|µ_|2 ₌₋_{1 e (}_{ξ, ξ}_{) =}₋_ρ2_, _{ρ >} _{0. Vamos encontrar o operador de}

forma Sf×g

(36)

hSf_×g

η X, Yi = hSηf×g(XM, XN),(YM, YN)i

= _hBf_×g((XM, XN),(YM, YN)), ηi

= _h(Bf(XM, YM), Bg(XN, YN)),(ξ, µ)i

= _hBf(XM, YM), ξi+hBg(XN, YN), µi

= _hS_ξf(XM), YMi+hSµg(XN), YNi

= _hρSfξ ρ

(XM), YMi+h|µ|Sgµ

|µ|(XN), YNi.

Desta maneira, o operador de forma na dire¸cãoN da imersão produto f_×g é

Sf×g

η X = ρS f

ξ ρ

XM +|µ|Sgµ |µ|XN

= (ρSfξ ρ ◦

πM +|µ|Sgµ

|µ| ◦πN)X

onde πM é proje¸cão sobre M eπN é proje¸cão sobreN.

Sejam f e g as inclus˜oes canˆonicas Hk₍₋√_{1 +}_r2₎ _⊂ Rk+1

1 e Sn−k ⊂ Rn−k+1

re-spectivamente, ou seja,

f :Hk₍₋√_{1 +}_r2₎_֒_→_Rk+1

1 f(p) =p

g :Sn₋k₍_r₎_֒

→Rn₋k+1 _g₍_q_{) =} _q_.

Note que f é isometria, pois a métrica induzida em Hk₍₋√_{1 +}_r2_{) por} _Rk+1 1 é

riemanniana.

Considere o produto das imers˜oes

f_×g :Hk₍

−√1 +r2₎_×Sn₋k₍_r₎_֒

→Rn+2

1 .

Sejamp_∈Hk₍₋√_{1 +}_r2_{) e} _q_∈_Sn₋k₍_r_{), isto ´e, (}_{p, p}_{) =}

−1₋r2 _e_|_q_|2 ₌_r2_{. Assim}

(p, q)_∈Hk₍₋√_{1 +}_r2₎_×_Sn₋k₍_r_{) e ((}_{p, q}₎_,₍_{p, q}_{)) = (}_{p, p}_{) +}

|q_|2 ₌₋₁₋_r2₊_r2 ₌₋_1.

Neste caso os pontos (p, q)_∈Hk₍₋√_{1 +}_r2₎_×_Sn−k₍_r_{) estar˜ao no espa¸co hiperb´olico}

Hn+1 ₌_{₍_{p, q}₎_∈_Rn+2

1 ; ((p, q)(p, q)) = −1}.

Para as imers˜oes f : Hm₍₋√_{1 +}_r2₎ _→ Rm+1

1 , g : Sn−m(r) → Rn−m+1 e i :

Hn+1 _→ _Rn+2

1 , teremos os operadores de forma associados S

f

ξ = −√₁₊1_r2Id, S

g

µ = 1rId e

Si

G = Id com ξ(p) = p

√

1+r2 e µ(q) = −

q

r. Considere o campo Γ(p, q) = (p, q) normal a Hn _{e a} Hm₍₋√_{1 +}_r2₎_×_Sn₋m₍_r_{). Precisamos de um campo} _G₍_{p, q}_{) = (}_{ap, bq}_{), unit´ario,}

(37)

27

(i) ((ap, bq),(p, q)) = 0

(ii) ((ap, bq),(ap, bq)) = 1

De (i), temos que 0 = a(p, p) +b_|q_|2 ₌₋_a_{(1 +}_r2_{) +}_br2 ₌₋_a₋_ar2₊_br2_{, ent˜ao}

a= br2

1+r2.

De (ii), temos que 1 =a2₍_{p, p}_{) +}_b2_|_q_|2 ₌₋_a2_{(1 +}_r2₎

⇒ 1 =₋a2₋_a2_r2₊_b2_r2

⇒ r12 =−

a2

r2 −a2+b2 =−a2(

1

r2 + 1) +b2

⇒ r12 =−b2

r2

1+r2 +b2 =

b2

1+r2

⇒ b= √1+r2

r e a = r

√

1+r2.

Portanto o vetor normal ser´a dado por:

G(p, q) = (_√ r

1+r2p,

√

1+r2

r q)

e o operador de forma na sua dire¸c˜ao ser´a dado por

SG = ρSfξ ρ ◦

πM +|µ|Sgµ |µ| ◦πN

= rSf p

√

1+r2 ◦

πM +

√

1 +r2_Sg

q r ◦πN

= rSf_√p

1+r2

◦πM −

√

1 +r2_Sg

−qr ◦πN.

Assim,

SG(X,0) =−r(Sf p

√

1+r2

)X =r(₋√1

1+r2)X =−

r

√

1+r2X

e

SG(0, Y) =−

√

1 +r2₍_Sg

−q

r)Y =−

√

1+r2

r Y.

Tomando uma base ortonormal de vetores de f _×g dada por

{(e0,0),(e1,0), ...,(em,0),(0, hm+1),(0, hm+2), ...,(0, hn+1)}

onde _{ei} diagonaliza S_ξf e {hi} diagonaliza Sµg, temos que as curvaturas principais do

(38)

κ1 =...=κm =−√₁₊r_r2

e

κm+1 =...=κn=−

√

1+r2

r .

Já temos que a aplica¸cão de Gauss em M é

G(x) = ( r

√

1+r2x0, ...,

r

√

1+r2xm,

√

1+r2

r xm+1, ...,

√

1+r2

r xn+1)

e as curvaturas principais s˜ao dadas por

κ1 =...=κm =−√₁₊r_r2 κm+1 =...=κn =−

√

1+r2

r .

Para todo k = 1, ..., n ₋ 1 fixado, temos que Hk ´e constante. Como sabemos que

Lkx=ckHk+1G−cckHkx e c=−1, ent˜ao

Lkx = ckHk+1(√₁₊r_r2x0, ...,

r

√

1+r2xm,

√

1+r2

r xm+1, ...,

√

1+r2

r xn+1)

+ ckHk(x0, ..., xn+1)

= (νx0, ..., νxm, ωxm+1, ..., ωxn+1)

= diag[ν, ..., ν, ω, ..., ω]



  

x0

...

xn+1



  

= diag[ν, ..., ν, ω, ..., ω]x

onde,

ν = ckHk+1r

√

1+r2 +ckHk

e

ω = ckHk+1

√

1+r2

r +ckHk.

Tomando A= diag[ν, ..., ν, ω, ..., ω], temos que o Cilindro hiperb´olico (Hm₍

−√1 +r2₎_×

(39)

Cap´ıtulo 4

Teorema

O objetivo deste cap´ıtulo ´e apresentar a demonstra¸c˜ao do teorema principal. Este classifica as hipersuperf´ıcies x : Mn _→ _Mn+1

c ⊂ Rnq+2 orient´aveis imersas em Mcn+1 que

satisfazem a equa¸c˜aoLkx=Ax, onde A∈R(n+2)×(n+2) ´e alguma matriz constante

auto-adjunta. Para isto, introduziremos uma s´erie de resultados auxiliares.

No final do cap´ıtulo 2 calculamos o operadorLk agindo nas fun¸c˜oes coordenadas

da hipersuperf´ıcie, agora consideraremos as fun¸c˜oes coordenadas da aplica¸c˜ao de Gauss

G, que é a fun¸cão _ha, G_i em M, onde a_∈Rn+2 _{é um vetor arbitrário fixado.}

Lema 4.1. X(_ha, G_i) =_−hSX, a_i=_−hX, S(aT₎

i, _∀X _∈X₍_M₎_.

Demonstra¸c˜ao. Comoa_∈Rn+2_{, sabemos que}_∇0

Xa = 0, logo

X(_ha, G_i) = _h∇0

Xa, Gi+ha,∇0XGi=ha,∇0XGi

2.1

= _ha,₋SX_i=_−hSX, a_i

2.9

= _−hSX, aT ₊_h_{a, G}_i_G₊_c_h_{a, x}_i_x_i

= ₋(_hSX, aT

i+_ha, G_ihSX, G_i+c_ha, x_ihSX, x_i) = _−hSX, aT_i

= _−hX, S(aT₎

i.

Da´ı, temos que

h∇ha, G_i, X_i=X_ha, G_i=_−hS(aT₎_{, X}_i₌_h−_S₍_aT₎_{, X}_i

o que implica que

∇ha, G_i=₋S(aT). (4.1)

Lema 4.2. _∇X(∇ha, Gi) = −∇X(SaT) = −∇S(aT, X) − S(∇XaT) = −(∇XS)aT −

ha, G_iS2_X₊_c_h_{a, x}_i_SX_.

(40)

Demonstra¸c˜ao.

∇X(∇ha, Gi) = ∇X(−SaT) =−∇X(SaT)

= _−∇S(aT_{, X}₎

−S(_∇XaT)

= ₋(_∇XS)aT −S(∇XaT)

2.11

= ₋(_∇XS)aT −S(ha, GiSX −cha, xiX)

= ₋(_∇XS)aT − ha, GiS2X+cha, xiSX.

Lema 4.3. _∇S(aT_{, X}_{) =}_∇_S₍_{X, a}T_{) = (}_∇

aTS)X.

Demonstra¸c˜ao. ComoS ´e auto-adjunto, temos

hSX, aT_i₌_h_{X, Sa}T_i_.

Derivando ambos os membros,

h∇(SX), aT

i+_hSX,_∇aT

i=_h∇X, SaT

i+_hX,_∇(SaT₎

i.

Usando o fato de que

h(_∇XS)Z, Yi=h∇X(SZ), Yi − hS(∇XZ), Yi,

temos

h(_∇S)X, aT_i₊_h_S₍_∇_X₎_{, a}T_i₊_h_SX,_∇_aT_i₌_h_S_∇_{X, a}T_i₊_h_X,₍_∇_S₎_aT_i₊_h_{X, S}₍_∇_aT₎_i

o que implica que

h(_∇S)X, aT

i=_hX,(_∇S)aT

i.

Logo

∇S(aT_{, X}_{) =} _h₍_∇_S₎_aT_{, X}_i₌_h_aT_,₍_∇_S₎_X_i

= _hX,(_∇S)aT_i₌_∇_S₍_{X, a}T₎

= (_∇aTS)X.

Na próxima proposi¸cão, daremos uma expressão do operador Lk agindo nas

fun¸c˜oes coordenadas da aplica¸c˜ao de Gauss G.

Proposi¸c˜ao 4.4. Lkha, Gi=−tr(Pk∇aTS)− ha, Gitr(S2P_k) +cha, xitr(SP_k) =

n k+1

h∇Hk+1, ai − kn+1

(41)

31

Demonstra¸c˜ao. Seja_{E1, ..., En} um referencial ortonormal de M, logo

Lkha, Gi = tr(Pk∇2ha, Gi) = n X

i=1

hPk∇2ha, GiEi, Eii

=

n X

i=1

h∇2ha, G_iEi, PkEii= n X

i=1

h∇Ei∇ha, Gi, PkEii

4.1

=

n X

i=1

h∇Ei(−S(a

T₎₎_{, P} kEii

4.2

=

n X

i=1

h−(_∇EiS)a

T

− ha, G_iS2Ei+cha, xiSEi, PkEii

=

n X

i=1

{−h(_∇EiS)a

T

, PkEii − hha, GiS2Ei, PkEii

+ _hc_ha, x_iSEi, PkEii}

4.3

= ₋

n X

i=1

h(_∇aTS)E_i, P_kE_ii − ha, Gi

n X

i=1

hS2Ei, PkEii

+ c_ha, x_i

n X

i=1

hSEi, PkEii

= ₋

n X

i=1

hPk(∇aTS)E_i, E_ii − ha, Gi

n X

i=1

hPkS2Ei, Eii

+ c_ha, x_i

n X

i=1

hPkSEi, Eii

= ₋

n X

i=1

hPk(∇aTS)E_i, E_ii − ha, Gitr(P_kS2) +cha, xitr(SP_k)

= ₋tr(Pk∇aTS)− ha, Gitr(P_kS2) +cha, xitr(SP_k)

= kn+1

h∇Hk+1, ai − kn+1

(nHkHk+1−(n−k−1)Hk+2)ha, Gi

+ cckHk+1ha, xi.

Corol´ario 4.5. LkG= kn+1

∇Hk+1− kn+1

(nHkHk+1−(n−k−1)Hk+2)G+

c(k+ 1) k+1n

Hk+1a.

(42)

Lkha, Gi = − k+1n

h∇Hk+1, ai − k+1n

(nHkHk+1−(n−k−1)Hk+2)ha, Gi

+ cckHk+1ha, xi

= _h− k+1n

∇Hk+1− k+1n

(nHkHk+1−(n−k−1)Hk+2)G

+ cckHk+1x, ai

o que implica

LkG= k+1n

∇Hk+1− k+1n

(nHkHk+1−(n−k−1)Hk+2)G+c(k+ 1) k+1n

Hk+1a

Assumiremos que para um k = 1, ..., n₋1 fixado a imers˜ao x : Mn _→ _Mn+1

c ⊂ Rn+2

q satisfaz a condi¸c˜ao

Lkx=Ax+b (4.2)

para uma matriz constante A _∈ R(n+2)×(n+2) _{e um vetor constante} _b _∈ _Rn+2_{. Como}

Lkx=ckHk+1G−cckHkx, temos

Ax = ₋b+ckHk+1G−cckHkx

2.9

= ₋bT _{− h}_{b, G}_i_G₋_c_h_{b, x}_i_x₊_c

kHk+1G−cckHkx

= ₋bT _{+ (}_c

kHk+1− hb, Gi)G−c(ckHk+hb, xi)x

onde bT

∈X₍_M_{) denota a componente tangencial de} _b_{. Portanto}

Ax=₋b+ckHk+1G−cckHkx=−bT + (ckHk+1− hb, Gi)G−c(ckHk+hb, xi)x. (4.3)

Proposi¸c˜ao 4.6. AX =₋ckHk+1SX −cckHkX+ckh∇Hk+1, XiG−cckh∇Hk, Xix.

Demonstra¸c˜ao. Tomando a derivada covariante de ambos os membros da equa¸c˜ao

Ax=₋bT ₊_c

kHk+1G− hb, GiG−cckHkx−chb, xix

obtemos que

∇0

XAx=−∇0XbT +ck∇0XHk+1G− ∇0Xhb, GiG−cck∇0XHkx−c∇0Xhb, xi

e como_∇0

XAx=AX, temos

AX = _−∇0

XbT +ck(h∇Hk+1, XiG+Hk+1∇X0 G)−(X(hb, Gi)G+hb, Gi∇0XG)

− cck(h∇Hk, Xix+Hk∇0Xx)−c(X(hb, xi)x+hb, xi∇0Xx).

Pelo fato de que_∇0