Cálculo Financeiro e Estatística Aplicada

(1)

O

o

Médias e Proporcionalidades

Regime de Juro Simples

Regime de Juro Composto

Rendas Financeiras

Aplicações Estatísticas

Ensino Profissional

Aires Lousã

Paula Aires Pereira Raul Lambert Mário Dias Lousã

Revisão científica

Maria do Carmo M. Guedes

Módulos 1 · 2 · 3 · 4 · 5

Cálculo

Financeiro

e Estatística

Aplicada

CPTCCFEA_20173845_TXT_M1.indd 1 29/11/2017 13:55

(2)

I – CONTEÚDOS

10

1. Médias aritméticas

10

1.1. Médias aritméticas simples 10 1.2. Médias aritméticas ponderadas 11

Exemplo 11 1.2.1. Salário médio 13 Exemplo 13 1.2.2. Taxa média 13 Exemplo 13 1.2.3. Vencimento médio 14 Exemplo 14 1.2.4. Mistura direta 14 Exemplo 14 1.2.5. Liga direta 15 Exemplo 15 Exercícios resolvidos 15 Propostas de trabalho 17

2. Proporcionalidades

21 2.1. Proporcionalidade direta 21 Exemplo 21 Exemplo 22 2.2. Proporcionalidade inversa 22 Exemplo 23 Exercícios resolvidos 24 Propostas de trabalho 26

II – Bibliografia/Outros recursos

30

MÓDULO 1 – MÉDIAS E PROPORCIONALIDADES

9

I – CONTEÚDOS

32

1. Conceito de juro

32 1.1. Regimes de capitalização 32 1.1.1. Aplicação do rendimento 32 1.1.2. Investimento financeiro 33 1.1.3. Capitalização 33 1.2. Taxa de juro 34

1.2.1. Juro e taxa de juro 34

1.3. Representação gráfica

dos juros simples 35

Exemplo 35

Exemplo 36

1.4. Implicações algébricas e práticas da utilização do ano comercial

e do ano civil 36

1.5. Dedução das expressões algébricas do capital, do tempo e da taxa 37 1.6. Processo prático para o cálculo

dos juros 38

1.7. Divisores e multiplicadores

fixos simples 39

1.7.1. Método dos divisores fixos 39 1.7.2. Método dos multiplicadores

fixos 39

Exercícios resolvidos 40

Propostas de trabalho 42

2. Capitalização a juros simples

45

2.1. Conceito de capital acumulado

e dedução da fórmula 45

2.2. Resolução algébrica

de problemas variados 47

2.2.1. Desconto racional

e desconto comercial 47

2.2.2. Taxa nominal e taxa real

do empréstimo 49 Exercícios resolvidos 50 2.3. Equivalência de capitais 52 2.3.1. Introdução 52 2.3.2. Efeitos comerciais – Realização antecipada 53 2.3.3. O desconto comercial 54 2.3.4. O desconto racional 55 2.3.5. Reforma da letra 55 Exercícios resolvidos 56 Propostas de trabalho 58

Anexo – Tabelas Financeiras 66

• Tabela para a Contagem dos

Dias 66

• Tabela dos Divisores Fixos (Ano Comercial e Ano Civil) 67 • Tabela dos Multiplicadores

Fixos 68

II – Bibliografia/Outros recursos

69

MÓDULO 2 – REGIME DE JUROS SIMPLES

31

CPT CCFEA © P or to E di to ra

(3)

I – CONTEÚDOS

71

1. Generalidades

71

2. Distinção entre juros simples

e juros compostos

71

2.1. Expressão algébrica do juro composto 72 2.1.1. O capital acumulado

em função do capital inicial 72

Exercício resolvido 72

2.1.2. O capital inicial em função

do capital acumulado 73

Exemplo 73

2.1.3. O juro em função do capital

inicial 73

Exemplo 74

2.1.4. O juro em função do capital

acumulado 74

Exemplo 74

2.1.5. Representação gráfica

dos juros compostos 74

Anexo – Tabela Financeira 79

• Tabela dos Juros Compostos 79

II – Bibliografia/Outros recursos

85

MÓDULO 3 – REGIME DE JURO COMPOSTO

70

I – CONTEÚDOS

87

1. Generalidades

87

2. Classificação das rendas

87

2.1. Noções 87

2.2. Critérios de classificação das rendas 89 2.3. Rendas inteiras de termos constantes 90 2.4. Rendas imediatas de termos normais

ou postecipados 91

2.4.1. Introdução 91

2.5. Rendas imediatas de termos

antecipados 93 Exercícios resolvidos 94 Propostas de trabalho 95

3. Anuidades

97 3.1. Generalidades 97 3.2. Modalidades 98 3.3. Anuidades de amortização 98 3.3.1. Noção 98 3.3.2. Modalidades 99 Exemplo 100 Exemplo 101 Exemplo 101 Exemplo 102 Exemplo 103 Exemplo 104 Exemplo 104 Propostas de trabalho 105 3.4. Anuidades de capitalização 106 3.4.1. Anuidades de amortização

constantes de capital e juros 106

Exemplo 107

3.4.2. Anuidades de amortização constantes mas o período de vencimento das prestações não coincide com o período da taxa

de juro 111

Exemplo 112

4. Empréstimos por obrigações

114

4.1. Noção e plano de emissão 114

4.2. Conceitos básicos 115

Exemplo 116

4.3. Reembolso de empréstimos

por obrigações 117

4.3.1. Reembolso ao par e sem

prémio de reembolso 117

Exercício resolvido 120

MÓDULO 4 – RENDAS FINANCEIRAS

86

CPT CCFEA © P ort o E di tora 6 | CPTCCFEA_20173845_TXT_M1.indd 6 29/11/2017 13:55

(4)

4.4. Sugestão de utilização de ferramenta informática – Folha de cálculo 122 4.4.1. Cálculo do valor atual de um

investimento ou capital 122

Exemplo 123

4.4.2. Cálculo do valor futuro de um investimento ou capital 123

Exemplo 124

4.4.3. Cálculo do pagamento de juros para um determinado período 124

Exemplo 125

4.4.4. Cálculo do número de

períodos para um investimento de acordo com pagamentos constantes e periódicos com uma taxa de juro constante 126

Exemplo 126

Exemplo 127

4.4.5. Cálculo do valor da prestação de reembolso de um empréstimo com base nos pagamentos constantes e numa taxa de juro constante 127

Exemplo 128

Exemplo 129

4.4.6. Cálculo do pagamento de capital para um período de investimento, de acordo com pagamentos constantes e periódicos, com uma taxa

de juro constante 130

Exemplo 130

Exemplo 131

II – Bibliografia/Outros recursos

132

I – CONTEÚDOS

134

1. Noções gerais de Estatística

134

1.1. A origem da Estatística 134

1.2. Definição de Estatística 137

1.3. Áreas de aplicação da Estatística 138

1.4. População e Amostra 138 Exemplo 139 Exemplo 139 Exemplo 140 Exemplo 140 Exemplo 141 Exemplo 141 1.5. Variável 142 Exemplo 142 Exemplo 143 Exemplo 143 Exemplo 143 Exemplo 143 Exemplo 143 1.6. Variáveis discretas e variáveis contínuas 144 Exemplo 144 Exemplo 144 Exemplo 144 1.7. Censo e sondagem 146 1.8. Tipos de Estatística 146 Exemplo 147 Exercícios resolvidos 148 Propostas de trabalho 150

2. Recolha e organização de dados

151

2.1. Recolha de dados e métodos

de observação 152 2.1.1. Questionário de resposta fechada 152 Exemplo 153 Exemplo 153 2.1.2. Entrevista estruturada 153 2.1.3. Observação estruturada 154 Propostas de trabalho 154

3. Tratamento de dados

155

3.1. Tabelas de frequência absoluta 155

Exemplo 155

Exemplo 156

3.2. Tabelas de frequência relativa 156

Exemplo 156

3.3. Tabelas de frequências acumuladas 157

Exemplo 157

MÓDULO 5 – APLICAÇÕES ESTATÍSTICAS

132

CPT CCFEA © P or to E di to ra

(5)

4. Construção de gráficos

158 4.1. Gráfico de barras 158 Exemplo 158 4.2. Gráfico circular 159 Exemplo 159 4.3. Pictograma 160 Exemplo 160 4.4. Histograma 160 Exemplo 161 4.5. Histograma de frequências acumuladas 161 Exemplo 161 4.6. Polígono de frequências 162 Exemplo 162

4.7. Polígono de frequências acumuladas 163

Exemplo 163 4.8. Diagrama de dispersão 164 Exemplo 164 Exemplo 165 Exemplo 166 Exercícios resolvidos 167 Propostas de trabalho 175

5. Medidas de tendência central

176

5.1. Média 177 Exemplo 177 Exemplo 178 Exemplo 178 5.2. Moda 180 Exemplo 181 Exemplo 182 Exemplo 182 Exemplo 183 5.3. Mediana 184 Exemplo 185 Exemplo 185 Exemplo 186 Exemplo 186 Exemplo 187 5.4. Mediana ou Média 188 Exemplo 188 Exemplo 189

5.5. Classificação das distribuições 189

Exercícios resolvidos 191 Propostas de trabalho 197

6. Quartis e Percentis

198 6.1. Quartis 198 Exemplo 199 Exemplo 200 Exemplo 201 6.2. Percentis 202 Exemplo 203 Exemplo 204 Exercícios resolvidos 205 Propostas de trabalho 214

7. Medidas de dispersão

214 7.1. Amplitude 214 Exemplo 214

7.2. Desvio absoluto médio 215

Exemplo 215 7.3. Variância 216 Exemplo 217 7.4. Desvio-padrão 218 Exemplo 220 Exemplo 222 Exemplo 223

7.5. Interpretação dos resultados 224

Anexo 233

• Exemplo da criação de um gráfico

no Microsoft Excel 234

• Análise de dados na Folha de Cálculo

– Microsoft Excel 236

• Quadro-síntese de correspondência entre as medidas estatísticas e as funções estatísticas da Folha de Cálculo

(Microsoft Excel) 239

II – Bibliografia/Outros recursos

240 CPT CCFEA © P ort o E di tora 8 | CPTCCFEA_20173845_TXT_M1.indd 8 29/11/2017 13:55

(6)

19. Qual a quantidade de prata pura que se deve fundir com 2 kg de uma liga de prata com o título 0,700 para se obter uma nova liga com o título de 0,860?

20. Um fornecedor concede hoje ao seu cliente a substituição de duas letras, uma a vencer dentro de 50 dias e outra a vencer dentro de 75 dias, por uma nova de 24 000 euros de valor equiva-lente à soma das letras substituídas.

20.1. Qual o prazo para o vencimento da nova letra, sabendo-se que o valor da primeira letra é

duplo do da segunda?

21. Um ourives deseja fazer uma pulseira de prata de 0,800 de título. Tem 400 gramas de prata pura e cobre.

21.1. Qual a quantidade de cobre que se deve misturar?

22. Fundiram-se três barras de ouro: a primeira pesava 20 gramas e o seu título era de 0,700; a segunda pesava 50 gramas e o seu título era de 0,930 gramas; a terceira pesava 30 gramas e o seu título era de 0,850.

22.1. Qual o título da barra resultante da fusão?

22.2. Que percentagem de ouro tinha esta barra?

23. Em que relação poderemos misturar farinha de 5,50 euros o quilo com farinha de 6,50 euros o quilo para que o quilo de uma mistura de 250 kg se possa vender a 5,80 euros o quilo?

24. Um comerciante substituiu hoje uma letra de 80 000 euros e outra de 40 000 euros por uma letra de 120 000 euros a vencer dentro de 66 dias.

24.1. Sabendo-se que a primeira letra se vencia dentro de 75 dias, em que dia se vencia a

segunda letra?

25. Um comerciante misturou 6000 litros de vinho de 1,10 euros o litro com 3000 litros de vinho de 1,60 euros o litro, com 5000 litros de vinho de 1,50 euros o litro.

25.1. Qual o preço de cada litro da mistura?

26. Numa fábrica de cerâmica verificou-se que num dia 7 operários fizeram 150 peças cada, 6 operários fizeram 110 peças cada e 3 operários fizeram 80 peças.

26.1. Qual a produção média de cada operário?

27. Fundiram-se 880 gramas de ouro puro com 220 gramas de cobre.

27.1. Qual o título da liga obtida?

28. Um indivíduo depositou 160 000 euros à taxa de 6% e 220 000 euros a 8%.

28.1. A que taxa média deveria colocar estes capitais para obter o mesmo juro?

29. Hoje substituíram-se duas letras, uma de 160 000 euros que se vencia dentro de 90 dias e outra de 220 000 euros que se vencia dentro de 120 dias, por uma letra de 380 000 euros.

29.1. Em que dia se vence esta letra?

30. Quantos quilos de cacau de 3,60 euros o quilo se devem misturar com cacau de 4,80 euros o quilo para se obter um lote de 72 quilos de cacau de 3,80 euros o quilo?

31. Como devemos misturar feijão de 4,00 euros o quilo com feijão de 5,00 euros o quilo para obtermos uma mistura de 4,60 euros o quilo?

o E

di

(7)

2. Proporcionalidades

2.1. Proporcionalidade direta

Noção

Diz-se que existe proporcionalidade direta entre dois conjuntos A e B quando:

a)

se verifica a existência de uma bijeção;

b)

é constante o quociente dos pares ordenados de A e B.

Ao quociente apurado chama-se constante de proporcionalidade e representa-se por k.

Exemplo

>

Dados os conjuntos A e B

Existe proporcionalidade direta entre os conjuntos A e B, pois:

4 __

₂

_{= 8}

__

4 = 10

___

5 ⇒ k = 2

e

2 __

₄

_{= 4}

__

8 = 5

___

10 ⇒ k

-1

_{= 1}

__

2 Numa sucessão de razões iguais os valores inscritos no numerador recebem o nome de

antece-dentes e os inscritos no denominador recebem o nome de consequentes.

Assim:

Numa sucessão de razões iguais a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes

assim como cada antecedente está para o seu consequente.

EM RESUMO:

Entre duas grandezas existe proporcionalidade direta quando, aumentando ou diminuindo o

valor de uma delas um certo número de vezes, o valor da outra aumenta ou diminui o mesmo

número de vezes.

CPT CCFEA © P or to E di to ra MÉDIAS E PROPORCIONALIDADES | 21 CPTCCFEA_20173845_TXT_M1_2P.indd 21 16/11/2017 14:46

(8)

de 6

_%?

j

3

= 5000 ×

[

(

1 + 0,06

)

3

_{- 1}

]

j

3

= 5000 ×

(

1,191016

- 1

)

j

3

= 5000 × 0,191016

j

3

= 955,08 €

Exemplo

>

Um determinado capital aplicado, em regime de juro composto, durante 3 anos produziu

um capital acumulado de 5955

_{€, à taxa de 6%.}

Qual o montante do juro produzido?

j

_{= 5955}

₍

1 _-

_________

1 1,191016

)

j

_{= 5955}

(

1 _{- 0,83962}

)

j

_{= 5955 × 0,16038}

j

_{= 955,08 €}

2.1.4. O juro em função do capital acumulado

j

_{= S}

n

- C

0

logo,

j

_{= S}

n

- S

n

(

1 + i

)

- n

ou seja:

j

_{= S}

n

[

1 -

(

1 + i

)

- n]

2.1.5. Representação gráfica dos juros compostos

Dada a seguinte tabela referente à aplicação de 1000

_{€, à taxa anual de 5% para os prazos}

constantes da tabela, os juros compostos respetivos serão:

Prazos (anos) Juros compostos (Sn- C0)

5 1276,28 - 1000 = 276,28 € 10 1628,89 - 1000 = 628,89 € 15 2078,93 _{- 1000 = 1078,93 €} 20 2653,30 - 1000 = 1653,30 € Nota: Os valores de Sn foram obtidos por consulta da tabela da pág. 81.

o E

di

(9)

Graficamente:

1. Calcular o juro produzido por um capital de 40 000 _{€, colocado durante 8 anos à taxa de 7%.} j _{= C}0 [

(

1 + i

)

n _{- 1]} j _{= 40 000 ×}

(

1,71819 _{- 1}

)

j _{= 40 000 × 0,71819} j _{= 28 727,60 €}

2. Qual o capital acumulado produzido por um capital de 6000 _{€, depositado a juro composto,} durante 4 anos à taxa de 10_%?

Sn= C0

(

1 + i

)

n Sn= 6000

(

1 + 0,10

)

4 Sn= 6000 × 1,46410 Sn= 8784,60 €

3. Determine o capital inicial que, tendo sido colocado em regime de juro composto à taxa semes-tral de 3_{%, produziu ao fim de 5 anos o capital acumulado de 7812 €.}

Taxa semestral: 3_{% ⇒ taxa anual: 6%.}

C0= Sn

(

1 + i

)

- n C0= S n _______

(

1_{+ i}

)

n C0= 7812 ________ _1,33823 C0= 5837,56 €

Exercícios resolvidos

REGIME DE JURO COMPOSTO | 75