CREDITRISK+: Implementação da Modelagem Estatística de Risco de Crédito e Cálculos Alternativos Através da Transformada Rápida de Fourier no R.

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Estat´ıstica de Risco de Cr´

edito e C´

alculos

Alternativos Atrav´

es da Transformada R´

apida

de Fourier no R.

M. A. S. Sanfins a 1 & T. M. Clark a 2

a _{Universidade Federal Fluminense, IM, RJ, Brasil}

Resumo

Neste trabalho utiliza-se conceitos de fun¸cões geradoras de probabilidade, convolu¸cões e Transformada Rápida de Fourier (em inglês Fast Fourier Transform - FFT) para realizar cálculos de forma alternativa e simplificada para a modelagem do risco de crédito. Além disso, implementa-se tais cálculos no R com exemplos de fenômenos economicos. Os scripts utilizados serão p´ublicos, com um objetivo de se criar uma library e ser´a enviada ao R-Project.

Palavras Chaves: CreditRisk+, c´alculo do risco de cr´edito, implementa¸c˜ao no R.

1 Introdu¸

c˜

ao

Durante os últimos 15 anos muitos artigos relacionados com o cálculo do risco de credito foram publicados. Para o cálculo do risco existem diferentes metodologias, como por exemplo o CreditMetrics (JP Morgan,1997), PortifolioManager(KMV, 1997), Mckinsey’s CreditPort-folioView (Wilson, 1997) e o CreditRisk+ (Credit Suisse Financial Products, 1997).

1_{Orientador: marcosanfins@gmail.com} 2_{Aluno: clark.thiago@gmail.com}

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O CreditRisk+ é o maior representante dos modelos atuariais com metodologia baseada em técnicas aplicadas na industria de seguros. O método CreditRisk+ tem como objetivo estimar a distribui¸cão de perdas em carteiras de créditos. Trata-se de um método estat´ıstico baseado no risco de default n˜ao assumindo qualquer premissa sobre suas causas ou em qual instante do tempo que poder´a ocorrer. O CreditRisk+ considera as taxas de default como variáveis aleatórias continuas, assumindo a varia¸cão das taxas na análise a fim de incorporar a incerteza das variáveis. Frequentemente fatores externos, como o estado da economia, torna relacionada a incidˆencia de default. Mesmo assim, n˜ao existe liga¸cão casual entre eles. Os efeitos desses fatores são incorporados no modelo através da varia¸cão das taxas de default e análise de setores.

O processo de avalia¸cão do risco de cr´edito consiste na frequencia dos default e na severi-dade das perdas. Para estimar a distribui¸cão de perda da carteira, o CreditRisk+ assume que a distribui¸cão de eventos default é aproximada à distribui¸cão de Poisson. O modelo básico assume que os eventos de default são independentes, ou seja, as taxas de default são fixas. Porém sabe-se que essa aplica¸cão na realidade é muito dif´ıcil, pois estudos anteriores provam que as taxas de default variam ao longo dos anos.

O método propõe ent˜ao uma forma mais sofisticada, onde a incerteza das taxas de de-fault s˜ao levadas em considera¸c˜ao. As taxas de default, assim, assumem uma distribui¸cão Gama, que terá a mesma média da distribui¸cão sem varia¸cão, porém suas caudas serão mais ”grossas”. A probabilidade de eventos extremos aumenta, devido à correla¸cão impl´ıcita na volatilidade, quando incorporado a volatilidade a taxa de default. Como o modelo não as-sume nenhuma premissa sobre os eventos de default, a rela¸cão é explicada pela existência de fatores extremos.

Na analise de setores é poss´ıvel agrupar os devedores de acordo com a influencia de fatores extremos, de tal modo que permite medir os benef´ıcios da diversifica¸cão e eventuais concentra¸cões em fatores.

2 Metodologia e An´

alise

Além das formas de cálculo proposta pelo documento técnico do CreditRisk+, conforme referência [3], existem formas alternativas do cálculo e modelagem do risco de credito. Uma dessas formas é pela fun¸cão geradora de probabilidade.

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Defini¸c˜ao 2.1. Seja X uma vari´avel aleat´oria discreta. Note que E[tx] = ∞ ∑ j=0

tj· P [X = j]. Consequentemente, E[tx] ´e a fun¸c˜ao geradora de probabilidade de X.

Outro conceito estat´ıstico utilizado é a convolu¸cão das fun¸cões geradoras de probabilidade adaptado ao nosso caso.

Defini¸c˜ao 2.2. Sejam N e K vari´aveis aleat´orias independentes. Ent˜ao, Pn+k(t) = E[tn+k] = E[tn· tk] = E[tn]· E[tk] = Pn(t)· Pk(t).

Portanto, através das defini¸cões 2.1 e 2.2 podemos calcular a perda de uma carta de crédito.

Defini¸c˜ao 2.3. Seja i o valor que desejamos calcular de perda em uma carta de cr´edito. Ent˜ao o resultado de ( d dt )i · Pn(t)· Pk(t) i! ,

implica na probabilidade da carta de cr´edito sofrer uma perda i durante um dado per´ıodo de tempo.

Outros métodos de cálculo do risco podem ser obtidos através da FFT. Introduzirá, a seguir, o algoritimo que será utilizado no cálculo do risco de crédito.

Algoritimo 2.1. Se f = [f0, f1, . . . , fm−1] e g = [g0, g1, . . . , gk−1] representam dois vetores de probabilidade ent˜ao, o algoritmo de convolu¸c˜ao da FFT consiste em:

• Completar os vetores f e g com 0 para que cada um tenha tamanho n≥ m + k .

• Aplicar a FFT para cada vetor ˜f = F F T (f ) e ˜g = F F T (g) .

• Calcular o produto de ˜h = ˜f· ˜g, elemento por elemento.

•Para recuperar o vetor de probabilidade como uma convolu¸c˜ao de f e g devemos aplicar a Inversa da FFT, definida por IFFT,em ˜h.

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Quando analisa-se perdas em carta de créditos de, por exemplo seguradoras, a metodolo-gia chamada de frequˆencia e severidade (frequency/severity) ´e mais um método alternativo, onde defini-se frequencia como o numero de defaults em uma carta de cr´edito dado um per´ıodo de tempo e severidade como a quantidade, em unidade monetária, para cada default individ-ual, ou seja, a perda expressada em unidades monet´arias no evento. (Loss Given Default -LGD).

Neste método a frequência média de perda e a serveridade média de perda são utilizadas para calcular a média esperada da perda acumulada, é necessário saber não só a média mas, também, a distribui¸cão acumulada de perda para quantificar a variabilidade de perda. Além de estimar a frequência e severidade média, distribui¸cões probabil´ısticas são usadas para descrever, qualquer poss´ıvel, varia¸cão no número de contingências e não certeza sobre as perdas. A distribui¸cão acumulada de perda combina os efeitos da frequência/severidade das perdas.

As perdas acumuladas são representadas como a soma Z, de um número aleatório N, de um empr´estimo(ou bandas (x1, x2, x3, ..., xn)) não pago. Portanto, considere-se a fun¸cão caracter´ıstica

ΦZ(t) = E[eit(Z)] = EN[E[e

it(x1,x2,x3,...,xn)

N ]] = E_N[Φ_X(t)N] = P_N(Φ_X(t)),

onde PN é a fun¸cão geratriz de probabilidade de N. Esta rela¸cão sugere que em termos da fun¸cão caracter´ısticas pode-se calcular a distribui¸cão acumulada de perda com o seguinte algoritimo.

Algoritimo 2.2. Os passos s˜ao:

• Transformar as distribui¸cão de probabilidade de severidade em uma distribui¸cão disc-reta. Chegaremos nisso dividindo a carta de crédito em bandas(x1, x2, x3, ..., xn) de exposi¸cão tal que cada banda é composta por devedores que sua exposi¸cão corresponde ao tipo da banda. Se f = [f0, f1, . . . , fm−1] representa o vetor de severidade, então o termo fi deve ser calculado considerando que eles representem o quociente do valor esperado de defaults de cada banda, e o valor esperado de defaults na carta de crédito.

• Completar o vetor de probabilidade de severidade com zero para que tenha tamanho n.

• Aplicar a FFT para o vetor de probabilidade de severidade ˜fx= F F T (fx).

• Aplicar a fun¸c˜ao geratriz de probabilidade da frequencia para a FFT do vetor de sev-eridade: ˜fz = Pn( ˜fx).

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• Aplicar a IFFT para recuperar a distribui¸cão de perda acumulada: ˜fz = IF F T ( ˜fx). Em situa¸cões que os riscos individuais são sujeitos a mesma influˆencia de default utiliza-se uma distribui¸cão composta secundaria. A perda agregada da carta de crédito pode ser calculada em dois passos:

• O controle de default do parˆametro externo é retirado de uma fun¸cão de distribui¸cão, neste caso a distribui¸cão Gama;

•A gravidade de cada parâmetro externo é obtida na realiza¸cão da fun¸cão de distribui¸cão condicional, condicionada na realiza¸cão do parâmetro externo escolhido no primeiro passo, que assumi-se ter a distribui¸cão de Poisson.

O modelo é chamado de processo de Possion Misto (Mixed Poisson), onde o parâmetro µ tem distribui¸c˜ao Gama com parˆametros α e β.O qual pode ser aproximado `a distribui¸cão Binomial Negativa com parˆametros µ e σ. Neste caso a distribui¸cão eventos default será

PN = P (N = n) = Γ(α + n) Γ(α)n! · ( 1 1 + β )α · ( β 1 + β )n , onde α = µ_σ22 e β = σ 2

µ. E a fun¸c˜ao geradora de probabilidade ´e dada por

PN(t) = [1− β(t − 1)]−α

Para a análise de vários setores considera-se que cada setor da carta de crédito é inde-pendente, de tal forma que seja possivel dividir a carta de crédito em sub cartas de créditos atendendo a cada setor. Assim, cada setor ter;a um peso aik correspondente ao seu próprio risco.

Após ser calculada a distribui¸cão de cada sub carta de crédito será então poss´ıvel calcular a distribui¸cão de perda da carta inteira, pelo algoritimo 2.1.

O risco de mercado é originado pela volatilidade nos pre¸cos dos ativos financeiros. Ele é geralmente mensurado atrav´es da metodologia Value-at-Risk(VaR), que fornece uma medida de perda durante um determinado per´ıodo e intervalo de confian¸ca. A metodologia intro-duzida a cima é muito útil não só para o cáculo, de forma alternativa, das distribui¸cões de perda de qualquer carta de crédito, mas também para o c´alculo do VaR.

Para maior detalhes sobre o esposto acima o leitor poder´a consultar as seguintes re-ferˆencias.

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Referˆ

encias

[1] SILVEIRA, M. A. M., Avalia¸cão do Risco de Crédito Agregado: Aplica¸cões do CRED-ITRISK+ Em Institui¸cões N ÃO-Financeiras, Escola de P´os Gradua¸cão em Economia da Funda¸cão Getulio Vargas, Tese de Mestrado, (2007).

[2] MELCHIORI, M. R., CreditRisk+ by Fast Fourier Transform, Universidade Nacional del Litoral, (2004).

[3] WILDE, T., CreditRisk+ A Credit Risk management Framework, Credit Suisse First Boston, CreditRisk+ Technical document, (1997)

[4] BLUHM, C., OVERBECK, L., WAGNER, C., An Introduction to Credit Risk Modeling, Chapman & Hall/CRC, (2002).

[5] WANG, S. S., Aggregation of Correlated Risk Portfolios: Models & Algorithms, CAS Committee on Theory of Risk. Working Paper, (1999)

[6] GORDY, M. B., Saddlepoint Approximation of CreditRisk+,Published in Journal of Banking and Finance, 26(7):1337-1355, (2002)

[7] GORDY, M. B., A comparative anatomy of credit risk models, Journal of Banking and Finance, 24:119-149, (2000).