Planejamento de Experimentos. 8. Experimentos Fatoriais Fracionários 2 k

Planejamento de Experimentos 8. Experimentos Fatoriais Fracion´arios 2k

Exemplo 8.5: Suponha um experimento para o qual h´a sete fatores a serem investigados. O interesse est´a na estima¸c˜ao dos efeitos principais destes 7 fatores e ter alguma in-forma¸c˜ao sobre intera¸c˜oes de ordem 2. As-sume-se que todos os efeitos de intera¸c˜ao de ordem 3 ou maior s˜ao desprez´ıveis. Esta in-forma¸c˜ao sugere um plano de resolu¸c˜ao IV. Consultando a tabela 8.14 tem-se dois planos candidatos de resolu¸c˜ao IV:

um 27−3 com N = 16 ou um 27−2 com N = 32.

A seguir apresentamos as estruturas de asso-cia¸c˜ao entre efeitos correspondentes aos dois planos acima, retiradas da tabela X do Apˆ endi-ce.

A estrutura de associa¸c˜ao entre efeitos no pla-no 27−3 ´e tal que todos os efeitos principais est˜ao associados com efeitos de ordem 3. Os efeitos de intera¸c˜ao de ordem 2 est˜ao associ-ados em grupos de trˆes. Portanto, este plano satisfar´a nossos objetivos: permitir´a a estima-¸

c˜ao dos efeitos principais, e fornecer´a alguma informa¸c˜ao sobre efeitos de intera¸c˜ao de ordem 2.

N˜ao ´e necess´ario escolher o plano 27−2, que requer N = 32 observa¸c˜oes. Na tabela cor-respondente `a estrutura de associa¸c˜ao deste plano, verifica-se que ´e poss´ıvel estimar os efei-tos principais e que 15 dos 21 efeiefei-tos de in-tera¸c˜ao de ordem 2 poderiam ser estimados. (Lembre que estamos assumindo que efeitos de ordem 3 ou maior s˜ao desprez´ıveis.) Isto provavelmente ´e mais informa¸c˜ao sobre intera-¸

O plano completo 27−3_IV ´e mostrado na figura a seguir.

Observe que ele foi constru´ıdo come¸cando com um 24, N = 16 em A, B, C e D como plano b´asico e ent˜ao adicionando-se trˆes colunas E = ABC, F = BCD e G = ACD.

Os geradores s˜ao I = ABCE, I = BCDF e I = ACDG.

A rela¸c˜ao de defini¸c˜ao completa ´e

I = ABCE = BCDF = ACDG = ADEF = BDEG = CEF G = ABF G.

8.4.2 An´alise dos fatoriais Fracion´arios 2k−p A an´alise ´e feita da mesma forma que os planos 2p com pelo menos uma replica¸c˜ao completa, exceto que agora somente calculam-se os con-trastes dos efeitos estim´aveis para construir a tabela ANOVA. Efeito_i = Contrastei N/2 SQ_i = (Contrastei)2 N N = 2k−p

Existem 2k−p − 1 efeitos estim´aveis. Pacotes estat´ısticos.

Proje¸c˜ao do fatorial fracion´ario 2k−p.

O plano 2k−p desdobra-se tanto em um fatorial completo, como em um fatorial fracion´ario em qualquer subconjunto de r ≤ k − p fatores origi-nais. Os subconjuntos de fatores que fornecem fatoriais fracion´arios n˜ao formam palavras da rela¸c˜ao de defini¸c˜ao completa do plano.

Isto pode ser ´util em experimentos de sele¸c˜ao, quando desconfiamos que a maior parte dos fatores originais apresentar˜ao efeitos pequenos sobre a resposta. O fatorial fracion´ario original 2k−p poder´a ent˜ao ser projetado em um fatorial completo, por exemplo, na maioria dos fatores de interesse. Conclus˜oes obtidas em planos destes tipos devem ser consideradas experi-mentais e est˜ao sujeitas `a an´alises adicionais. Em geral, ´e poss´ıvel encontrar explica¸c˜oes al-ternativas dos dados envolvendo intera¸c˜oes de maior ordem.

Como um exemplo, considere o plano 27−3

IV do

exemplo 8.5. Este ´e um plano com N = 16 e k = 7. Ele ser´a projetado em um fatorial completo em quaisquer subconjuntos de 4 dos 7 fatores originais que n˜ao formam palavras da rela¸c˜ao de defini¸c˜ao. Existem 35 combina¸c˜oes poss´ıveis, 7 das quais formam palavras da rela-¸

c˜ao de defini¸c˜ao. Logo, temos 28 escolhas poss´ıveis. Uma escolha ´obvia ´e A, B, C e D. Para ilustrar a utilidade desta propriedade de proje¸c˜ao, suponha que estejamos conduzindo um experimento para melhorar a eficiˆencia de um moinho e os sete fatores de interesse s˜ao velocidade do motor, ganho, taxa de alimen-ta¸c˜ao, tamanho da alimenta¸c˜ao, tipo de ma-terial, ˆangulo da tela e n´ıvel de vibra¸c˜ao da tela.

Estamos quase certos de que a velocidade do motor, taxa e tamanho de alimenta¸c˜ao e tipo de material afetar˜ao significativamente a efi-ciˆencia e que estes fatores podem interagir. Os demais fatores s˜ao menos conhecidos, mas s˜ao, provavelmente desprez´ıveis.

Uma estrat´egia razo´avel ´e designar os fatores importantes `as 4 primeiras colunas na tabela 8.15. Os demais ficariam nas colunas restantes. Se estamos corretos, seremos levados a um fatorial completo 24 nas vari´aveis chaves do processo.

8.4.3 Blocagem em Fatoriais Fracion´arios

H´a situa¸c˜oes nas quais o plano fatorial fra-cion´ario requer um n´umero grande de observa-¸

c˜oes de tal modo que todas elas n˜ao tˆem como ser realizadas sob condi¸c˜oes homogˆeneas. Nes-tas situa¸c˜oes, os fatoriais fracion´arios podem ser confundidos em blocos.

As tabelas X do Apˆendice do livro-texto contˆem arranjos recomendados de blocos para a maior parte dos fatoriais fracion´arios apresentados na tabela 8.14. O tamanho m´ınimo dos blocos para estes planos ´e de 8 observa¸c˜oes.

Considere o plano 26−2

IV com rela¸c˜ao de

defini-¸

c˜ao dada por I = ABCE = BCDF = ADEF mostrado na tabela 8.10.

Este plano cont´em 16 combina¸c˜oes de trata-mento. Suponha que desejamos realizar o pla-no em dois blocos de tamanho 8.

Na sele¸c˜ao de uma intera¸c˜ao para ser confun-dida com blocos, observamos a partir da es-trutura de associa¸c˜ao de efeitos deste plano na tabela X(f ) que existem dois conjuntos de efeitos associados envolvendo somente efeitos de intera¸c˜ao de ordem 3.

A tabela sugere a intera¸c˜ao ABD para ser con-fundida com blocos. Os blocos resultantes s˜ao apresentados a seguir.

Observe que o bloco principal cont´em as com-bina¸c˜oes de tratamento que tˆem um n´umero par de letras comuns com ABD, que tamb´em s˜ao as combina¸c˜oes de tratamento para as quais L = x₁ + x₂ + x₄ = 0(mod2).

8.5 Estruturas de Associa¸c˜ao em Fatoriais Fra-cion´arios e Outros Planos

H´a um m´etodo geral para encontrar as asso-cia¸c˜oes que funciona bem em diversas situa-¸

c˜oes. O m´etodo usa a representa¸c˜ao do mo-delo polinomial ou momo-delo de regress˜ao, a sa-ber,

y = X₁β₁ + 

em que y ´e o vetor de respostas n × 1, X₁ ´e uma matriz n × p₁ contendo a matriz de plane-jamento expandida para formar o modelo que o experimento est´a ajustando, β₁ ´e o vetor p₁×1 de parˆametros do modelo, e  ´e o vetor n × 1 de erros.

A estimativa de m´ınimos quadrados de β₁ ´e dada por

ˆ

Suponha que o modelo verdadeiro seja y = X₁β₁ + X₂β₂ + 

com X₂ uma matrix n × p₂ contendo vari´aveis adicionais que n˜ao foram ajustadas no modelo e β₂ ´e um vetor p₂×1 de parˆametros associados com estas vari´aveis. Pode ser mostrado que

E[ ˆβ₁] = β₁ + (X₁TX₁)−1X₁TX₂β₂ = β₁ + Aβ₂ A matriz A = (X₁TX₁)−1X₁TX₂ ´e chamada ma-triz de associa¸c˜ao (alias matrix). Os elementos desta matriz operados sobre β₂ identificam as rela¸c˜oes de associa¸c˜ao para os parˆametros do vetor β₁.

Suponha que conduzimos um plano 23−1 com rela¸c˜ao de defini¸c˜ao I = ABC. O modelo que o experimentador planeja ajustar ´e o modelo contendo apenas efeitos principais, a saber,

y = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + β₃x₃ + 

Na nota¸c˜ao usada aqui, temos β₁ =

     β₀ β₁ β₂ β₃      e X₁ =      1 −1 −1 1 1 1 −1 −1 1 −1 1 −1 1 1 1 1      .

Suponha que o modelo verdadeiro contenha todas as intera¸c˜oes de ordem 2, a saber,

y = β0 + β1x1 + β2x2 + β3x3 + β12x1x2 + β13x1x3 + β23x2x3 + 

Neste caso, β₂ =    β₁₂ β₁₃ β₂₃    e X2 =    1 −1 −1 −1 −1 1 1 1 1   . X₁TX₁ = diag{4, 4, 4, 4, } = 4I₄ e X₁TX₂ =      0 0 0 0 0 4 0 4 0 4 0 0      . Portanto, (X₁TX₁)−1 = 1₄I₄ e E[ˆβ₁] = β₁ + Aβ₂ =      β₀ β₁ + β₂₃ β₂ + β₁₃ β₃ + β₁₂      .

A interpreta¸c˜ao deste resultado, ´e que cada efeito principal est´a associado com uma in-tera¸c˜ao de ordem 2 (nos outros dois fatores), que n´os j´a sabemos que ´e o caso para este plano.

Apesar deste exemplo ser muito simples, o m´ e-todo ´e bem geral e pode ser aplicado para planos bem mais complexos.

8.6 Planos de Resolu¸c˜ao III

Planos de resolu¸c˜ao III s˜ao muito ´uteis em situa¸c˜oes de sele¸c˜ao de fatores: existem muitos fatores, mas somente poucos deles exercer˜ao efeitos significativos sobre a resposta.

´

E poss´ıvel construir planos de resolu¸c˜ao III para investigar at´e k = N − 1 fatores com somente N observa¸c˜oes, em que N ´e um m´ultiplo de 4. Estes planos s˜ao frequentemente ´uteis em ex-perimenta¸c˜ao industrial. Planos para os quais N ´e uma potˆencia de 2 podem ser constru´ıdos por m´etodos j´a apresentados neste cap´ıtulo. De importˆancia particular s˜ao os planos que re-querem 4 observa¸c˜oes para explicar 3 fatores, 8 observa¸c˜oes para explicar 7 fatores, 16 ob-serva¸c˜oes para explicar 15 fatores. Se k = N − 1, o plano fatorial fracion´ario ´e dito ser saturado.

Um plano para analisar trˆes fatores em 4 ob-serva¸c˜oes ´e o plano 23−1

III apresentado na se¸c˜ao

8.2.

Outro fatorial fracion´ario saturado ´e um plano para estudar 7 fatores com 8 observa¸c˜oes, a saber, o plano 27−4_III . Este plano ´e uma fra¸c˜ao de um dezesseis-avos do plano 27. Ele pode ser constru´ıdo primeiro escrevendo-se o plano b´asico com 3 fatores A, B e C e, ent˜ao asso-ciando os n´ıveis de 4 fatores adicionais com as intera¸c˜oes dos trˆes fatores do plano b´asico, a saber, D = AB, E = AC, F = BC e G = ABC. Assim, os geradores para este plano s˜ao I = ABD, I = ACE, I = BCF e I = ABCG. O plano ´e apresentado na tabela a seguir.

A rela¸c˜ao de defini¸c˜ao completa para este plano ´e obtida multiplicando-se os quatro geradores 2 a 2, 3 a 3 e os 4, o que produzir´a:

I = ABD = ACE = BCF = ABCG = BCDE = ACDF = CDG =

= ABEF = BEG = AF G = DEF = ADEG = CEF G = BDF G = ABCDEF G

Para encontrar os associados de qualquer efeito, simplesmente multiplique o efeito por cada pala-vra na rela¸c˜ao de defini¸c˜ao.

Por exemplo, os associados de B s˜ao

B = AD = ABCE = CF = ACG = CDE = ABCDF = BCDG =

= AEF = EG = ABF G = BDEF = ABDEG = BCEF G = DF G = ACDEF G

Este plano ´e uma fra¸c˜ao de um dezesseis-avos, e dado que os sinais escolhidos dos geradores s˜ao positivos ele ´e a fra¸c˜ao principal. Ele tam-b´em ´e de resolu¸c˜ao III, pois a quantidade de le-tras da menor palavra na rela¸c˜ao de defini¸c˜ao ´e trˆes. Qualquer uma das 16 fra¸c˜oes dos planos 27−4

III nesta fam´ılia poderia ser constru´ıda

usan-do-se os geradores com um dos 16 arranjos poss´ıveis de sinais em I = ±ABD, I = ±ACE, I = ±BCF e I = ±ABCG.

Os sete graus de liberdade neste plano podem ser usados para estimar os sete efeitos princi-pais. Cada um destes efeitos tem 15 associ-ados; por´em, se assumimos que intera¸c˜oes de ordem 3 ou maior s˜ao desprez´ıveis, ent˜ao tere-mos consider´avel simplifica¸c˜ao na estrutura de associa¸c˜ao deste plano.

Fazendo esta suposi¸c˜ao, teremos [A] → A + BD + CE + F G, [B] → B + AD + CF + EG, [C] → C + AE + BF + DG, [D] → D + AB + CG + EF , [E] → E + AC + BG + DF , [F ] → F + BC + AG + DE, [G] → G + CD + BE + AF .

O plano saturado 27−4_III que acabamos de des-crever, pode ser usado para obter planos de resolu¸c˜ao III para estudar menos do que 7 fa-tores em oito observa¸c˜oes. Por exemplo, para gerar um plano para seis fatores em 8 ob-serva¸c˜oes, simplesmente descarte uma coluna da tabela 8.19, a coluna G por exemplo. Isto produz a tabela a seguir, a partir da qual ´e f´acil verificar que o plano tamb´em ´e de resolu¸c˜ao III; de fato, ele ´e um 26−3_III , ou uma fra¸c˜ao um oitavo do plano 26.

A rela¸c˜ao de defini¸c˜ao ´e igual a rela¸c˜ao de defini¸c˜ao original em que deletam-se quaisquer palavras contendo a letra G. Assim, I = ABD = ACE = BCF = BCDE = ACDF = ABEF = DEF

Em geral, quando d fatores s˜ao descartados para produzir um novo plano, a nova rela¸c˜ao de defini¸c˜ao ´e obtida a partir das palavras na rela¸c˜ao de defini¸c˜ao original que n˜ao contˆem letras correspondentes aos fatores descartados. Quando constru´ımos planos por este m´etodo, cuidado deve ser tomado para obter o melhor arranjo poss´ıvel.

Se descartamos as colunas B, D, F e G da tabela 8.19, obtemos um plano a trˆes fatores em oito observa¸c˜oes e as combina¸c˜oes de trata-mento correspondem a duas replica¸c˜oes de um 23−1. O experimentador poderia preferir rodar um fatorial 23 completo em A, C e E.

Tamb´em ´e poss´ıvel obter um plano de resolu¸c˜ao III para estudar at´e 15 fatores com N = 16. Este plano saturado, 215−11_III pode ser gerado escrevendo-se primeiro o plano b´asico com 4 fatores e, depois, equacionando-se 11 novos fatores em fun¸c˜ao dos 4 primeiros com in-tera¸c˜oes de ordem 2, 3 e 4.

Neste plano cada um dos 15 efeitos principais est´a associado com sete intera¸c˜oes de ordem 2.

Um procedimento similar pode ser constru´ıdo para investigar 31 fatores com N = 32.

8.6.2 Duplica¸c˜ao de Planos de Resolu¸c˜ao III para Separar Efeitos Associados

Combinando-se planos fatoriais fracion´arios nos quais certos sinais est˜ao trocados, pode-se iso-lar simbolicamente efeitos de interesse poten-cial.

Este tipo de experimento sequencial ´e chamado “duplica¸c˜ao” do plano original (fold over). A estrutura de associa¸c˜ao para qualquer fra¸c˜ao com os sinais para um ou mais fatores ´e obtida trocando-se apropriadamente os sinais dos fa-tores na estrutura de associa¸c˜ao da fra¸c˜ao ori-ginal.

Suponha que junto com esta fra¸c˜ao principal, um segundo fatorial fracion´ario com os sinais trocados na coluna do fator D seja tamb´em realizado.

A coluna D para a segunda fra¸c˜ao ´e − + + − − + +−.

Os efeitos que podem ser estimados desta fra¸c˜ao s˜ao mostrados a seguir, assumindo que intera¸c˜oes de ordem 3 ou maior s˜ao desprez´ıveis.

[A]0 → A − BD − CE + F G, [B]0 → B − AD + CF + EG, [C]0 → C + AE + BF − DG, [D]0 → D − AB − CG − EF , [E]0 → E + AC + BG − DF , [F ]0 → F + BC + AG − DE, [G]0 → G − CD + BE + AF .

8.7.1 Planos de Resolu¸c˜ao IV

Um plano fatorial fracion´ario 2k−p ´e de re-solu¸c˜ao IV , se os efeitos principais est˜ao livres de efeitos de intera¸c˜ao de ordem 2 e alguns efeitos de ordem 2 est˜ao associados entre si. Assim, se intera¸c˜oes de ordem 3 ou maior podem ser suprimidas, os efeitos princi-pais podem ser diretamente estimados em um plano 2k−p_IV .

Qualquer plano 2k−p_IV deve conter pelo menos N = 2k. Planos de resolu¸c˜ao IV que contˆem exatamente 2k observa¸c˜oes s˜ao chamados pla-nos m´ınimos.

Planos de resolu¸c˜ao IV podem ser obtidos a partir de planos de resolu¸c˜ao III usando o pro-cesso de duplica¸c˜ao

8.7.2 Planos de Resolu¸c˜ao V

Planos fatoriais fracion´arios de resolu¸c˜ao V s˜ao planos nos quais os efeitos principais e as in-tera¸c˜oes de ordem 2 n˜ao tˆem como efeitos associados outros efeitos principais ou in-tera¸c˜oes de ordem 2. Consequentemente, eles permitem uma estima¸c˜ao ´unica de todos os efeitos principais e de intera¸c˜ao de ordem 2, se as intera¸c˜oes de ordem 3 ou maior s˜ao desprez´ıveis.

A menor palavra na rela¸c˜ao de defini¸c˜ao num plano de resolu¸c˜ao V tem 5 letras. O plano 25−1 com I = ABCDE ´e, talvez, o plano de resolu¸c˜ao V mais utilizado, permitindo num problema a 5 fatores estimar os 5 efeitos prin-cipais e as 10 intera¸c˜oes de ordem 2 com N = 16.

8.8 Planos Supersaturados

Um plano saturado ´e um fatorial fracion´ario com k = N − 1.

Em anos recentes, esfor¸co consider´avel tem sido dado a planos com k > N − 1, chamados planos supersaturados.

Satterthwaite (1959), Lin (1993,2000), Li e Wu (1997), Holcomb e Carlyle (2002).