ANÁLISE DE TRÊS MÉTODOS DE ESTIMATIVA DE EVAPOTRANSPIRAÇÃO DE REFERÊNCIA PARA A REGIÃO DE PRADÓPOLIS SP

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JULIO DE MESQUITA FILHO”

FACULDADE DE CIÊNCIAS AGRÁRIAS E VETERINÁRIAS

CÂMPUS DE JABOTICABAL

ANÁLISE DE TRÊS MÉTODOS DE ESTIMATIVA DE

EVAPOTRANSPIRAÇÃO DE REFERÊNCIA PARA A REGIÃO

DE PRADÓPOLIS – SP

Graciano Augusto Peviani Balotta

Orientador: Prof. Dr. José Eduardo Pitelli Turco

Dissertação a ser apresentada à Faculdade de Ciências Agrárias e Veterinárias – Unesp, Campus de Jaboticabal, como parte das exigências para a obtenção do título de Mestre em Agronomia (Ciência do Solo).

JABOTICABAL – SÃO PAULO – BRASIL Novembro de 2011

Balotta, Graciano Augusto Peviani

O48f Análise de três métodos de estimativa da evapotranspiração de referência para a região de Pradópolis - SP / Graciano Augusto Peviani Balotta. – – Jaboticabal, 2011

x, 35 f. : il. ; 28 cm

Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista, Faculdade de Ciências Agrárias e Veterinárias, 2011

Orientadora: José Eduardo Pitelli Turco

Banca examinadora: Adhemar Pitelli Milani, Renato Farias do Valle Junior

Bibliografia

1. Evapotranspiração. 2. Instrumento de Medida. 3. Acurácia. I. Título. II. Jaboticabal-Faculdade de Ciências Agrárias e Veterinárias.

CDU 633.34:631.54

Ficha catalográfica elaborada pela Seção Técnica de Aquisição e Tratamento da Informação – Serviço Técnico de Biblioteca e Documentação - UNESP, Câmpus de Jaboticabal.

DADOS CURRICULARES DO AUTOR

GRACIANO AUGUSTO PEVIANI BALOTTA - nascido em 12 de abril de 1985 em São Paulo, SP é Engenheiro

Agrônomo formado em dezembro de 2008 pela Faculdade de Ciências Agrárias e Veterinária da Universidade Estadual Paulista - UNESP – Campus de Jaboticabal. Iniciou o curso de mestrado em março de 2009 e terminou em novembro de 2011.

“A mente que se abre a uma nova idéia jamais voltará ao seu tamanho original”

AGRADECIMENTO

Agradeço primeiramente a Deus por ter meu auxiliado nessa grande jornada e ter colocado pessoas boas nela.

Agradeço á Faculdade de Ciências Agrárias e Veterinárias de Jaboticabal, da Universidade Estadual Paulista e a todos do programa de pós graduação por me conceder todo apoio e estrutura para meus estudos

Ao meu grande orientador Prof Dr José Eduardo Pitelli Turco, pela grande paciência, e por tudo que me ensinou.

A minha namorada Verônica e seus país e irmão Sr Edelson ,Dona Eloisa e Italo pelo carinho, paixão e ajuda em todos os momentos

A todos os funcionários da instituição que diretamente ou indiretamente contribuíram com a minha formação

A todos meus amigos, em especial ao André Marcos Santana (Moreno) por todo apoio

Página

RESUMO ... ii

SUMMARY ... iii

I.INTRODUÇÃO... 4

II. REVISÃO DE LITERATURA... 7

III. MATERIAL E MÉTODOS... 9

Método Makkink... 9

Método de Hargreaves. ... 10

Método da Radiação Solar... 11

Método do Penman-Monteih... 12

Transferência do erro variável independente para a variável dependente... 14

Método dos mínimos quadrados... 14

Avaliação da qualidade de um ajuste... 17

IV. RESULTADO E DISCUSSÃO... 19

V.CONCLUSÃO... 27

RESUMO

ANÁLISE DE TRÊS MÉTODOS DE ESTIMATIVA DE EVAPOTRANSPIRAÇÃO DE REFERÊNCIA PARA O MUNICÍPIO DE PRADÓPOLIS - SP

RESUMO - O objetivo desse trabalho

foi avaliar três métodos de estimativa da evapotranspiração de referência (Hargreaves, Radiação Solar e Makkink), comparando-os com o método de Penman-Monteith, recomendado pela Organização das Nações Unidas para a Alimentação e Agricultura (FAO) como método padrão para estimativa da ETo, para o município de Pradópolis - SP. Para esse fim foi instalada no posto agrometeorológico da cidade de Pradópolis - SP uma estação meteorológica automatizada. Por intermédio desta estação foram obtidas medidas da radiação solar global, temperatura do ar, umidade relativa do ar e velocidade do vento. A análise dos resultados foi feita por uma técnica que considera os erros da ET0. O resultado da avaliação dos métodos indica um melhor ajuste para

estimativa da ETo para o método de Hargreaves. Os métodos de Makkink e Radiação Solar não obtiveram um ajuste satisfatório com o do Penman-Monteith. Para avaliar métodos de estimativa da evapotranspiração deve-se considerar os erros da estimativa da ETo, evitando possíveis erros de avaliação.

SUMMARY

APPLICATION OF TREE METHODS FOR ESTIMATING REFERENCE EVAPOTRANSPIRATION IN CRISTALINA REGION PRADÓPOLIS - SP, USING A TECHNIQUE THAT CONSIDERS THE ERRORS OF ETo

SUMMARY - The aim of this

investigation was to evaluate two reference methods to Monteith method, recommended by the Food and Agricultural Organization of the United Nations (FAO) as the standard method for estimating ETo in Pradópolis - SP. To this data collection, an automated weather station was installed in the meteorological station at Pradópolis - SP. Through estimate evapotranspiration (Hargreaves, Radiation and Makkink), compared to Penman-this station, we obtained measures of global solar radiation, air temperature, relative humidity and wind speed. The analysis was done by a technique that considers the mistakes of ETo, which depends on the combination of the errors of the variables that make up the estimating equations, derived from the measurement instruments used to obtain these variables. The aftermath showed a better adjustment to Hargreaves. Makkink, and Radiation methods are different from Penman-Monteith, therefore, they cannot be compared. To evaluate methods to estimate evapotranspiration and avoid possible evaluation errors, ETo estimate errors must be considered .

I. INTRODUÇÃO

A Agricultura irrigada se apresenta, atualmente, como grande alternativa econômica para o Brasil, assim é necessário que os recursos hídricos disponíveis sejam usados de forma racional, por meio de técnicas apropriadas de manejo de água, do solo e de cultivos. O uso eficiente de água na agricultura irrigada é essencial, face á escassez dos recursos hídricos e o elevado custo do insumos, o que torna imperativo a utilização de metodologias apropriadas para o planejamento e administração da irrigação, por ficar mais evidente a necessidade da combinação correta dos diversos fatores que possibilitem a determinação do volume de água a ser aplicado ao solo em cada regime de irrigação, com base no conhecimento da demanda atmosférica MOREIRA (1993).

Na administração da irrigação exige um conhecimento grande de manejo de água, no qual as culturais e o local no qual está inserida é fator variável de manejo. A irrigação tem como objetivo suprir a necessidade de água da cultura.

Para determinar o quanto de água está sendo perdido por evaporação e transpiração, é necessária a utilização de métodos que permitam estimar essas perdas que serão repostas via irrigação, caso a precipitação não sejam suficiente para suprir as necessidades da cultura. Essa perda global é denominada de evapotranspiração, que pode ser definida como um processo combinado de transferência de água do solo para a atmosfera, incluindo a evaporação da água do solo diretamente e o processo de transpiração dos tecidos vegetais VESCOVE & TURCO ( 2005).

A evapotranspiração pode ser expressa como a quantidade equivalente de água evaporada por unidade de tempo, geralmente expressa como Lâmina de água por unidade de tempo (mm dia-1) (BURMAN et al, 1983). O Cálculo diário da evapotranspiração de referência (ETo) é a base para se determinar o valor da lâmina

de irrigação a ser aplicada. O Método de Penman Monteith-FAO é considerado padrão para o cálculo de ETo SEDIYAMA (1996) e, para a sua utilização são empregados dados de temperatura (T) e umidade relativa do ar (UR), radiação sola (Rs) e velocidade do vento (V). Os produtores rurais, contudo, nem sempre dispõem desses dados, sendo necessária a utilização de métodos mais simples para o cálculo de ETo.

Conforme PEREIRA et al. (1997) em um projeto de irrigação, diversas variáveis são importantes quando se deseja o uso racional da água. Porém, a estimativa de consumo hídrico da cultura assume grande destaque, na medida em que se busca maximizar produção e minimizar custos. O consumo de água pela cultura é denominado de evapotranspiração da cultura (ETc), que é a ocorrência simultânea de dois processos importante no cultivo das plantas, a evaporação da água, do solo e das plantas

Em 1990, os métodos recomendados pela FAO em 1977 (FAO 24) foram submetidos a uma revisão feita por especialistas em evapotranspiração, os quais chegaram à conclusão de que o método de Penman-Monteith parametrizado para grama com 12 cm de altura, resistência aerodinâmica da superfície de 70 sm-1 e albedo de 0,23 apresentava melhores resultados, passando a ser recomendado pela FAO como método padrão para estimativa da ET0. Uma maneira freqüentemente utilizada

para verificar a eficiência de métodos de estimativa da evapotranspiração de referência (ET0) é por meio da comparação destes com o do Penman-Monteith, parametrizado

pela FAO.

Nos métodos de estimativa a ET0 é calculada por meio de uma equação

matemática a partir dos valores obtidos para cada variável da equação. Existe, então, o problema de especificar o erro da ETo obtida com a combinação dos erros das variáveis, decorrentes dos instrumentos de medidas utilizados. (TURCO et al., 1994). Se for considerado o erro da estimativa da ET0, a avaliação da eficiência dos métodos

para a estimativa da ET0 se torna mais consistente e ajustada, otimizando a eficiência

da irrigação e manejo da água. O trabalho teve por objetivo avaliar três métodos de estimativa da evapotranspiração de referência (Hargreaves, Makkink e Radiação Solar) para o município de Pradópolis – SP, considerando os erros (ETo)

II. REVISÃO DE LITERATURA

PEREIRA et al. (1995) estudou diferentes métodos de estimativa de evapotranspiração e observou que o método de Penman-Monteih foi o que apresentou maior sensibilidade, por integrar, além do balanço de energia radiante e dos princípios aerodinâmicos, outros fatores de transferência do sistema solo-planta-tmosfera

DANTAS NETO (1999) Avaliou métodos para estimativa da evapotranspiração de referência para Mossoró, RN. Os valores diários da ETo foram comparados com ETo estimado pelo método Penman-Monteih. Os resultados evidenciaramum melhor ajuste pelo método de Penaman seguido da Radiação Solar.

MACHADO & MATTOS (2000) Avaliaram três métodos de estimativa da evapotranspiração de referência (Penman, Tanque Classe A, e tanque de 20 m2) com os dados obtidos em lisímetro de lençol freático constante.

Muitos Trabalhos quando compara métodos de estimativa da evapotranspiração de referência, não se preocupam com erros da ETo devido a acuracia do equipamento utilizado. Existe, então, o problema de especificar o erro dessa grandeza obtida com a combinação de outras, decorrentes dos instrumentos de medidas utilizados. Percebe-se com facilidade que esse erro provém da combinação dos erros das variáveis utilizadas no cálculo da grandeza procurada (TURCO et al., 1994).

BORGES & MENDIONDO (2007) compararam equações empíricas para estimativa da evapotranspiração de referência na Bacia do Rio Jacupiranga. O estudo foi realizado com o objetivo de se verificar a precisão dos métodos de estimativa de ET0

propostos por Camargo, Blaney-Criddle, Hamon, Hargreaves, Thornthwaite e Kharrufa. Na comparação das equações com o método FAO Penman-Monteith, verificaram que a equação de Hargreaves com coeficientes regionais apresentou índices de confiança superiores a 0,995 para a bacia do Rio Jacupiranga e é recomendada devido às suas exeqüibilidade e simplicidade.

TURCO et al. (2008) avaliaram métodos de estimativa da evapotranspiração de referência para região de Jaboticabal – SP, usando uma técnica que considera os erros da ET0, observaram que o método obteve um ajuste adequado com o do

Penman-Monteith foi o de Hargreaves. Os métodos de Makkink, Tanque Classe A e Radiação Solar não obtiveram um ajuste adequado com o do Penman-Monteith. Segundo os autores, para avaliar métodos de estimativa da evapotranspiração deve-se considerar os erros da estimativa da ET0, evitando possíveis erros de avaliação.

GUIRRA et al. (2010) avaliaram dois métodos de estimativa da evapotranspiração de referência (Hargreaves e Radiação Solar), comparando-os com o método de Penman-Monteith, recomendado pela Organização das Nações Unidas para a Alimentação e Agricultura (FAO) como método padrão para estimativa da ETo, para Cristalina-GO. Observaram que método de Hargreaves obteve um ajuste adequado com o do Penman-Monteith.

Observa-se que há necessidade para cada localidade ou região realizar um estudo no qual se tem objetivo de verificar métodos para a estimativa da evapotranspiração de referência.

III. MATERIAL E MÉTODOS

A pesquisa foi desenvolvida na região de Ribeirão Preto situado na Cidade de Pradópolis - SP, no período de setembro de 2009 a setembro de 2010. O referido posto está localizado na latitude 16º 46' S, longitude 47º 36' W e altitude de 1000 metros e faz parte da rede de Estação do Instituto Nacional de Meteorologia (INMET).

As determinações diárias da evapotranspiração de referência (ETo), por meio de uma estação meteorológica automatizada, foram feitas nas condições climáticas de Pradópolis - SP, utilizando-se os métodos de Penman-Monteith (ALLEN et al., 1998), Hargreaves (1976), Radiação Solar (Doorenbos & Pruitt, 1977) e Makkink (1957).

Para a obtenção dos dados meteorológicos, foi instalada na área experimental uma estação meteorológica automatizada, marca Vaisala com os seguintes sensores: temperatura e umidade relativa, marca Vaisala; velocidade do vento, modelo 03001 RM Young Co; radiação solar global, modelo CM6B Kipp & Zonen. A estação possui um sistema de aquisição de dados conectado a sensores por meio de cabos.

Para realização desse trabalho, foi utilizada a técnica para determinação de erros em métodos de estimativa da evapotranspiração de referência, descrita por Turco et al. (1994), nos seguintes métodos de estimativa da ETo: Makkink (1957), Hargreaves (1976), Radiação Solar (Doorenbos & Pruitt, 1977) e Penman-Monteith (Allen et al., 1998). Para isso, foi realizado um tratamento matemático na equação original desses métodos. A seguir, é descrita a equação original dos métodos utilizados e o tratamento matemático realizado.

Método Makkink

EToM = (0,61 Q W) - 0,12 (1) a equação básica proposta por Makkink (1957) para o cálculo da evapotranspiração potencial ou de referência, na qual:

EToM = evapotranspiração de referência, em gramado, mm dia-1; Q = radiação solar global medida ou estimada, cal cm-2 dia-1;

W = fator que representa a parte fracional da radiação solar que é utilizada na ETo, para diferentes valores de temperatura e altitude (Villa Nova & Reichardt, 1989).

Pode-se escrever a eq. (1) na seguinte forma:

12 , 0 ) 59 61 , 0 ( QW  EToM (2) na qual,

Q = radiação global recebida, cal cm-2 dia-1;

1/59 = fator de conversão de cal cm-2 a mm de evaporação equivalente. Admitindo-se por hipótese que:

W = Ka T (3) na qual,

Ka = constante calculada por meio de diferentes valores de W e T. Substituindo a eq. (3) na (2) tem-se:

12 , 0 ) 59 61 , 0 (Ka Q T  EToM (4) e considerando que: 59 Ka = Kb 0,61 tem-se: 12 , 0  T Q Kb = M ETo (5) Método de Hargreaves Seja, EToH = 0,0075 Q T (6)

a equação básica proposta por Hargreaves (1976) para o cálculo da evapotranspiração potencial ou de referência, na qual:

EToH = evapotranspiração de referência, em gramado, mm dia-1; T = temperatura média do ar, o F;

Q = radiação solar global medida ou estimada, cal cm-2 dia-1. Pode-se escrever a eq. (6) na seguinte forma:

T Q = EToH 59 0075 , 0 (7) na qual,

Q = radiação solar global recebida, cal cm-2 dia-1;

1/59 = fator de conversão de cal cm-2 a mm de evaporação equivalente. Considerando que: 59 = Kb 0,0075 tem-se: T Q Kb = EToH (8)

Método da Radiação Solar

Seja,

ETo = C W Q (9) a equação básica proposta por Doorenbos & Pruit (1977) para o cálculo da evapotranspiração potencial ou de referência, na qual:

ETo = evapotranspiração de referência, em gramado, mm dia-1;

C = coeficiente angular de regressão ETo x W Q, determinado em função da umidade relativa média do ar e da velocidade média do vento a 2 m de altura (Villa Nova & Reichardt, 1989);

W = fator que representa a parte fracional da radiação solar que é utilizada na ETo, para diferentes valores de temperatura e altitude (Villa Nova & Reichardt, 1989);

Q = radiação solar global medida ou estimada, cal cm -2 dia -1. Pode-se escrever a eq. (9) na seguinte forma:

59 Q W C = ETo (10)

na qual,

ETo = evapotranspiração de referência, mm dia-1; Q = radiação global recebida, cal.cm-2 dia-1;

1/59 = fator de conversão de cal cm-2 a mm de evaporação equivalente. Admitindo-se por hipótese que:

C = Ka U V (11)

W = Kb T (12)

na qual,

Ka = constante calculada por meio de diferentes valores de C, U e V; Kb = constante calculada por meio de diferentes valores de W e T; U = umidade relativa média do ar, %;

V = velocidade média do vento a 2 m de altura, m s-1; T = temperatura média do ar, o C.

Substituindo as eq. (11) e (12) na (10), tem-se:

Q T V U 59 Kb Ka = ETo Considerando que: 59 Kb Ka = Kc tem-se: Q T V U Kc = ETo (13) Método do Penman-Monteith

Para o cálculo da evapotranspiração potencial Allen et al.(1998) propuseram a seguinte equação:











V



e es V T G Rn PM ETo 34 , 0 1 273 900 409 , 0 ) ( _{' }  ¸ ¹ · ¨ © §    ' J J (14) na qual,

ETo(PM) = evapotranspiração de referência pelo método de PM, em gramado, mm

d-1;

Rn = radiação líquida, MJ m-2 d-1; G = fluxo de calor no solo, MJ m-2 d-1; T = temperatura média do ar, ºC;

V = velocidade média do vento a 2m de altura, m s-1; (es-e) = déficit de pressão de vapor, kPa;

' = tangente à curva de pressão de vapor em relação a temperatura, kPa ºC-1

;

J

= coeficiciente psicrométrico, kPa ºC-1; 900 = fator de conversão.

A pressão atual do vapor da água do ar é expressa por:

e = (U/100) es (15)

na qual,

e = pressão atual do vapor da água do ar, kPa;

es = pressão de saturação do ar á temperatura do termômetro seco, kPa;

U = umidade relativa média do ar, %.

A pressão de saturação do ar à temperatura do termômetro seco é determinada pela equação: ¸ ¹ · ¨ © § 237,3 27 , 17 exp 6108 , 0 T T es (16)

A curva de pressão de vapor é determinada pela equação:



_237,3



2 4098  ' T es ₍₁₇₎

Substituindo as equações (15), (16) e (17) na (14), temos:







T



V T T T T T U T T V T Rn T T ETo 022678 , 0 0667 , 0 2 3 , 237 3 , 237 27 , 17 exp 0584 , 2503 273 3 , 237 27 , 17 exp 100 1 3 , 237 27 , 17 exp 666324 , 36 2 3 , 237 3 , 237 27 , 17 exp 247827 , 1021            ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § (18)

Para análise dos resultados desse trabalho, considerando os erros da ETo, foram utilizadas as metodologias de VUOLO (1996), descritas a seguir:

Transferência do erro da variável independente para a variável dependente

Quando relacionamos diariamente a EToPM com a ETo (métodos) ocorre que uma grandeza y é medida em função de uma variável x considerada como independente (y = f(x)). Entretanto, ambas as grandezas têm erros e, portanto, devem ser associadas incertezas às duas variáveis:

x σx y σyo

Na análise da dependência entre y e x, é desnecessário admitir incertezas nas duas variáveis. Isto é, geralmente, não interessa conhecer os valores verdadeiros de x e y em cada caso, mas interessa conhecer a relação verdadeira entre x e y. Por isso, pode-se admitir que o resultado x é o valor verdadeiro, mas y tem incerteza maior σy, dada por: 2 2 ) ( 2 2 x o dx dy yo y V V V  , (19) em que (dy/dx)o _{é uma estimativa preliminar da derivada (dy/dx). A variância}

2 y V é a variância original 2 yo V

somada a uma variância

2 2 ) ( _{o x} dx dy _V

que representa a incerteza transferida de x para y.

Método dos mínimos quadrados

Quando relacionamos diariamente os métodos estudados em relação ao PM temos duas variáveis, x e y. Os resultados das medidas são chamados pontos experimentais, pois cada par de valores de x e y pode ser representado como um ponto no gráfico x, y. Um conjunto de pontos experimentais pode ser indicado por {x1, y1, σ1},

{x2, y2, σ2}, ..., {xi, yi, σi}, ..., {xn, yn, σn}, onde xi é admitida como variável independente,

sendo considerada isenta de erros (item a), enquanto que a incerteza estatística na variável yi é dada pelo desvio padrão σi.

Um problema fundamental é obter a melhor função f(x) para descrever o conjunto de pontos experimentais obtido em medidas das grandezas x e y. O problema de ajustar a melhor função f(x) a um conjunto de pontos experimentais só pode ser resolvido a partir de um critério que defina objetivamente qual é a melhor função. O

critério utilizado foi o método dos mínimos quadrados para ajuste da função f(x) ao conjunto de pontos experimentais.

No método dos mínimos quadrados, a função f(x) deve ser determinada a partir de uma função geral f(x; a1, a2....an) previamente escolhida. Isto é, a função f(x) tem

forma e número de parâmetros predeterminados.

Por exemplo, a função geral a ser ajustada pode ser escolhida como um polinômio de 2º grau:

f (x; a1, a2, a3) = a1 + a2 x + a3 x2

e o método dos mínimos quadrados permite determinar os melhores valores para a1, a2, a3.

Foi utilizada a função f(x, a1, a2) = a1 + a2x em que foram determinados os

valores para a1 e a2. Essa função é de grau 1 (m) e número de parâmetros igual a 2 (p =

m+1).

A seguir são apresentadas as expressões para ajuste de uma reta para um conjunto de pontos experimentais {x1, y1, σ1}, {x2, y2, σ2}, ..., {xi, yi, σi}, ..., {xn, yn, σn}, em

que σi é a incerteza em y1 e as medidas xi são supostas isentas de erro, conforme

método dos mínimos quadrados. A equação geral da reta é:

y = ax + b. (20)

O problema consiste em determinar os parâmetros a e b. A reta é um exemplo simples de função linear em relação aos parâmetros:

f(x, a1, a2) = a1 f1(x) + a2 f2(x), (21)

na qual

f1(x) = x, f2(x) = 1, (22)

a1 = a e a2 = b.

Assim, conforme o método dos mínimos quadrados, os melhores valores para a e b são calculados por meio da solução da seguinte equação na forma matricial, para ajuste de função linear aos parâmetros:

A = M-1 B (23) na qual

A = » » ¼ º « « ¬ ª a a 1 2 ≡ » » » ¼ º « « « ¬ ªa b , B = » » » » » » ¼ º « « « « « « ¬ ª ¦ ¦ n i f yi i n i f yi i 1 2 1 1 1 2 2 1 V V ≡ » » » » » » ¼ º « « « « « « ¬ ª ¦ ¦ n i _i yixi n i _i yi 1 2 1 1 2 1 V V e M = » » » » » » ¼ º ¦ ¦ « « « « « « ¬ ª ¦ ¦ n i _i xi n i _i n i _i xi n i _i xi 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 V V V V . (24)

A matriz M pode ser escrita com notação mais simples:

M = » » ¼ º « « ¬ ª _{S x} S S x S x V 2 , (25) em que S n i _i ¦ 1 2 1 V V , S n i _i xi x ¦ 1V2 , ¦n i _i xi S x 1 2 2 2 V , S n i _i yi y ¦ 1V2 , S n i _i yi xi xy ¦ 1 V2 . (26)

A matriz M-1 é dada por

M -1 = » » » » ¼ º  « « « « ¬ ª  ' S x S x S S x 2 1 V , (27) em que ) 2 2 (S _{S x} _{S x} ' _V . (28) Assim, os melhores valores para a e b dados por (23) são:

a = 1 (S _{S xy}_{S xS y})

b = 1 (_{S x}2_{S y}_{S xS xy})

' . (30)

Avaliação da qualidade de um ajuste

Um critério de avaliação da qualidade do ajuste é essencialmente um método para se determinar se a curva ajustada foi adequada em relação aos pontos experimentais. O critério utilizado para avaliação da qualidade de ajuste foi o Teste de X2 reduzido, descrito a seguir.

Indicando por f(x) a função ajustada a um conjunto de n pontos experimentais (xi;

yi, σi), a quantidade X2 ( estatístico) é definido como

¦n  i _i xi f yi X 1 2 )] ( [ 2 2 V _{. (31)}

A quantidade X2 (reduzido), é definida como:

Q X X red 2 2 , (32) em que

Q

é o número de graus de liberdade do ajuste. Como n é o número de pontos e p é o número de parâmetros ajustados,

Q

= (n-p).

Após a obtenção dos X red2 , a avaliação da qualidade de ajuste foi feita por meio do gráfico que relaciona

Q

com X red2 ( Figura 1). Esse gráfico permite obter, para cada

Q

, um intervalo de confiança P = 98%, para os valores de X red2 .

No gráfico de VUOLO (1996), os valores de

Q

vão até 160 e neste trabalho,

Q

= 243. Foram feitos os seguintes procedimentos para determinar o F 2red _{(1% e 99%).}

Programa microsoft excel / função estatística / inv.qui para

Q

= 243 e 1% é obtido X2 = 297,21; portanto Q X X red 2 2 = 1,223.

Programa microsoft excel / função estatística / inv.qui para

Q

= 243 e 99% é obtido X2 = 197,67; portanto Q X X red 2 2 = 0,724.

Figura 1. Gráfico que relaciona Q com X red

2

IV. RESULTADOS E DISCUSSÃO

O erro diário associado à estimativa da EToP foi obtido aplicando-se a técnica para determinação de erros em métodos de estimativa da evapotranspiração de referência, descrita por TURCO et al. (1994), no , no período de setembro de 2009 a setembro de 2010. Da mesma forma, foram obtidos os erros diários (r'EToM, r'EToH,

r'EToR) associados às estimativas da EToM, EToH, e EToR, utilizando-se a técnica citada.

A Figura 2, mostra os valores médios mensais da ETo r'ETo para os métodos de Penman e Makkink. As acurácias dos instrumentos de medidas da temperatura do ar (T), velocidade do vento (V), umidade relativa (U) e radiação líquida (Rn) causaram na EToP erros r'EToP. As acurácias dos instrumentos de medidas da radiação global (Q) e temperatura do ar (T) causaram na EToM erros r'EToM. Verifica-se na Figura 2 que os instrumentos de medidas utilizados para obtenção da EToP causaram erros maiores (r'EToP) do que os utilizados para obtenção da EToM com erros r'EToM, para todos os meses avaliados. Com esses dados, não dá para se ter noção em até que ponto esses erros associados ás grandezas ETo comprometeram a comparação dos dois métodos. Por isso, foi aplicado o método dos mínimos quadrados para se determinar os parâmetros da equação de uma reta que leva em consideração os erros (r'ETo) e o teste do qui-quadrado reduzido para avaliação da qualidade do ajuste.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

J

F

M A

M

J

J

A

S

O

N

D

Meses do ano

ETo (mm dia

-1

)

EToP

EToM

EToP+ΔEToP

EToP-ΔEToP

EToM+ΔEToM

EToM-ΔEToM

Figura 2. Valores médios mensais da ETo±'ETo, para os métodos Penman-Monteith e Makkink.

Na Figura 3, temos os valores médios mensais de ETo r'ETo para o método de Penman-Monteith e Hargreaves. Observa-se que os resultados obtidos são praticamente iguais ao método de Makkink, pois os dois métodos utilizam os mesmos instrumentos de medidas (Q,T), e o que difere entre eles é a equação geral para determinação da ETo.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

J

F

M A M

J

J

A

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O

N

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Meses do ano

ETo (mm dia

-1

)

EToP

EToH

EToP+ΔEToP

EToP-ΔEToP

EToH+ΔEToH

EToH-ΔEToH

Figura 3. Valores médios mensais da ETo±'ETo, para os métodos Penman-Monteith e Hargreaves .

Na figura 4, são apresentados os valores médios mensais de ETo r'ETo para os métodos de Penman-Monteith e Radiação Solar. A acurácia dos instrumentos de medidas da umidade relativa (U), velocidade do vento (V), temperatura (T) e Radiação Solar Global (Q) causaram na EToR erros (r'EToR). Os instrumentos de medidas utilizados causaram erros maiores (r'EToR) do que os utilizados para obtenção de EToM, EToH e EToT; além disso, causaram erros maiores do que para obtenção da EToP.

0

1

2

3

4

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9

10

J

F M A M J

J

A S O N D

Meses do ano

ETo (mm dia

-1

)

EToP

EToR

EToP+ΔEToP

EToP-ΔEToP

EToR+ΔEToR

EToR-ΔEToR

Figura 4. Valores médios mensais da ETo±'ETo, para os métodos Penman-Monteith e Radiação Solar.

A seguir, são apresentadas as equações das retas (y = a x + b), com os parâmetros a e b obtidos por meio do método dos mínimos quadrados, que relacionam diariamente os métodos estudados em relação ao PM e respectivas incertezas.

EToP = 1,001 EToM + 0,541 (33) EToP = 0,726 EToH + 0,769 (34) EToP = 0,739 EToR + 0,104 (35)

Não se realiza uma análise dessas equações para se verificar qual o método que melhor se ajustou ao EToP, pois essas equações foram impostas, determinando-se seus parâmetros. Necessita-se saber se essas equações são os melhores ajustes aos pontos experimentais {x1, y1, σ1}, {x2, y2, σ2}, ..., {xi, yi, σi}, ..., {xn, yn, σn}. Para isso, foi determinado o valor do qui-quadrado reduzido.

As Figuras 5, 6, 7, apresentam as retas y = ax + b ajustadas aos pontos experimentais, obtidos diariamente pelos métodos estudados, em relação ao método de Penman-Monteith e respectivas incertezas.

No ajuste da reta da Figura 5,

Q

= 243 e F 2red _{= 0,041. Este valor de} F 2red _não

está na faixa de valores aceitáveis para o qui-quadrado reduzido (Figura 1). Assim, é provável que a reta não seja uma função adequada para ser ajustada aos pontos experimentais. Portanto, há evidências, que os métodos de Penman-Monteith e Radiação Solar não podem ser comparados.

A Figura 6 mostra a reta ajustada. No caso,

Q

= 243 e F 2red_{= 0,800, de forma}

que o ajuste é plenamente satisfatório do ponto de vista de qualidade de ajuste. Estatisticamente, há evidências, com 98% de confiança, que os métodos de Penman-Monteith e Hargreaves não são distintos, portanto, podem ser comparados.

No ajuste da reta da Figura 8,

Q

= 243 e F 2red _{= 0,420. Esse valor de} F 2red

também está fora da faixa de valores aceitáveis para F 2red _{(Figura 1), indicando que a}

reta não é uma função adequada para ser ajustada aos pontos experimentais. Estatisticamente, há evidências, com 98% de confiança, que os métodos de Penman-Monteith e Makkink são distintos, portanto, não podendo ser comparados. O resultado deste trabalho, para o município de Cristalina - GO, de que o método de Hargreaves tem um ajuste plenamente satisfatório com o de Penman-Monteith, corroboram com o de TURCO et al. (2008), para o município de Jaboticabal – SP.

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1

2

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1

2

3

4

5

6

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9 10

ETo-Radiação

ETo-P.Monteith

Figura 5. Reta y = ax + b ajustada aos pontos experimentais (correlação entre os valores diários da ETo, obtidos pelo método da Radiação Solar, em relação ao método de Penman-Monteith) e respectivas incertezas.

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0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

ETo-Hargreaves

ETo-P.Monteith

Figura 6. Reta y = ax + b ajustada aos pontos experimentais (correlação entre os valores diários da ETo, obtidos pelo método de Hargreaves, em relação ao método de Penman-Monteith) e respectivas incertezas.

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1

2

3

4

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6

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9 10

ET0-Makkink

ET0-P.Monteith

Figura 7. Reta y = ax + b ajustada aos pontos experimentais (correlação entre os valores diários da ETo, obtidos pelo método de Makkink, em relação ao método de Penman-Monteith) e respectivas incertezas.

V. CONCLUSÃO

Nas condições em que o trabalho foi desenvolvido, destacam-se as seguintes conclusões:

O resultado da avaliação dos métodos, considerando os erros da ETo devido à utilização de instrumentos de medidas, indica um ajuste plenamente satisfatório para estimativa da ETo, considerando o método de Penman-Monteith como padrão, para o método de Hargreaves. Os outros dois métodos estudados não tiveram um ajuste satisfatório com o método de Penman-Monteith.

VI. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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