[Luiz Eloy (Auth.)] Método Dos Elementos Finitos

Texto

(1)MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS EM ANÁLISE DE ESTRUTURAS.

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(3) Luiz Eloy Vaz. MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS EM ANÁLISE DE ESTRUTURAS.

(4) © 2011, Elsevier Editora Ltda. Todos os direitos reservados e protegidos pela Lei nº 9.610, de 19/02/1998. Nenhuma parte deste livro, sem autorização prévia por escrito da editora, poderá ser reproduzida ou transmitida sejam TXDLVIRUHPRVPHLRVHPSUHJDGRVHOHWU{QLFRVPHFkQLFRVIRWRJUiÀFRVJUDYDomRRXTXDLVTXHURXWURV. Copidesque e revisão: Globaltec Editora Ltda. Editoração Eletrônica: Globaltec Editora Ltda. Elsevier Editora Ltda. Conhecimento sem Fronteiras Rua Sete de Setembro, 111 – 16º andar 20050-006 – Centro – Rio de Janeiro – RJ – Brasil Rua Quintana, 753 – 8º andar 04569-011 – Brooklin – São Paulo – SP Serviço de Atendimento ao Cliente 0800-0265340 [email protected]. ISBN 978-85-352-3929-4. Nota: Muito zelo e técnica foram empregados na edição desta obra. No entanto, podem ocorrer erros de digitação, impressão ou dúvida conceitual. Em qualquer das hipóteses, solicitamos a comunicação ao nosso Serviço de Atendimento ao Cliente, para que possamos esclarecer ou encaminhar a questão. Nem a editora nem o autor assumem qualquer responsabilidade por eventuais danos ou perdas a pessoas ou bens, originados do uso desta publicação.. CIP-Brasil. Catalogação-na-fonte Sindicato Nacional dos Editores de Livros, RJ V495m . Vaz, Luiz Eloy 0 pWRGRGRVHOHPHQWRVÀQLWRVHPDQiOLVHGHHVWUXWXUDV Luiz Eloy Vaz. – Rio de Janeiro: Elsevier, 2011. ,QFOXLELEOLRJUDÀD ISBN 978-85-352-3929-4 0pWRGRGRVHOHPHQWRVÀQLWRV 2. Teoria das estruturas.. 10-5751. CDD: 620.0015 CDU: 62.

(5) Agradecimentos. Aos meus pais, Milton e Alice, pelo amor e carinho. A eles, o meu reconhecimento pelo exemplo, pela firme orientação e por não terem poupado esforços para me proporcionar uma boa formação. À minha esposa Regina, engenheira como eu, que em importantes momentos da minha vida profissional não hesitou em sacrificar temporariamente seus estudos e sua carreira para me acompanhar no doutorado na Alemanha e no pós-doutorado no País de Gales. Sem sua generosidade e apoio este livro não existiria. A ela, minha gratidão e amor. Aos meus mestres da graduação e pós-graduação. Na graduação da UFRJ, mestres como os professores José Luiz Cardoso, Ignacio de Loyola Benedicto Ottoni e Benjamin Ernani Dias despertaram meu interesse pela análise e pelo projeto de estruturas. No mestrado da Coppe/UFRJ, os professores Fernando Luis Lobo Carneiro e Fernando Venâncio Filho aguçaram meu interesse pela pesquisa. Meu agradecimento especial ao professor Venâncio que me iniciou no Método dos Elementos Finitos e abriu meus olhos para a sua enorme potencialidade. Aos professores José Oliveira Pedro, John Argyris e Ernest Hinton, que me receberam, respectivamente, para um estágio no Laboratório Nacional de Engenharia Civil de Lisboa, para o doutorado na Universidade de Stuttgart e para o pós-doutorado na Universidade de Wales em Swansea, minha profunda gratidão. Eles foram fundamentais para o meu amadurecimento acadêmico. Um especial carinho eu guardo pelo professor Kaspar Willam, da Universidade de Stuttgart, pela dedicada orientação e apoio durante a minha tese de doutorado. Hoje, o professor Kaspar Willam é professor na Universidade de Boulder, no Colorado. Aos meus colegas e parceiros em co-orientações e projetos de pesquisa. Devido à variedade dos temas de meu interesse e por ter trabalhado em três importantes universidades, como a PUC-RJ, a UFRJ e a UFF, eles são numerosos e de perfil diversificado. Não posso deixar de citar os professores Eurípedes do Amaral Vargas Jr., Luiz Fernando.

(6) vi. Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas. Martha, Marta de Sousa Lima Velasco e Giuseppe Guimarães Barbosa, da PUC-Rio, os professores Sergio Hampshire, Claudia Eboli e José Herskovits, da UFRJ, a professora Silvana Maria Bastos Afonso, da UFPE, e, mais recentemente, o Professor Emil Sanches, da UFF. Eles ajudaram a ampliar meus horizontes ao despertar meu interesse por novos temas de pesquisa. Ao Ivan Menezes, coordenador de projetos do Tecgraf PUC-Rio e meu ex-orientando de mestrado. Sua cuidadosa leitura dos manuscritos e valiosas sugestões o tornam praticamente um coautor do livro. Ao Paul Antezana, pela competente colaboração na edição do texto. Aos meus alunos de graduação e pós-graduação e meus orientandos de mestrado e doutorado. Eles foram o grande incentivo para meu contínuo aprendizado e crescimento acadêmico. Suas dúvidas e questionamentos me forçaram a compreender os conceitos com mais profundidade e clareza e a procurar um aperfeiçoamento didático. A todos os referidos e a muitos outros que não foram citados, meu sincero “muito obrigado”. Espero que este livro esteja à altura da valiosa contribuição de todos. À editora Elsevier, especialmente a André Gerhard Wolff e Vanessa Vilas Bôas Huguenin, pela confiança depositada no meu trabalho e pela oportunidade de publicar esta obra..

(7) Prefácio. Este livro surgiu das notas de aulas que preparei para a disciplina Método dos Elementos Finitos que vem sendo ministrada por mim há cerca de 10 anos para alunos de graduação da especialidade de estruturas do curso de Engenharia Civil da Escola Politécnica da UFRJ. Ao ser indicado para lecionar a disciplina me deparei com a dificuldade de escolher um livro-texto. Os materiais disponíveis propunham-se a ser uma excelente fonte de consulta para quem já conhecia o método, mas não uma ferramenta para iniciar um aluno de Engenharia que se interessasse pelo tema. Algumas vezes, eles usavam conhecimentos matemáticos que não eram do domínio dos alunos de graduação — como cálculo variacional — para apresentar o tema; outras vezes, por serem muito extensos e detalhados, dificultavam a compreensão da essência do método. Esta obra tem a intenção de fornecer ao leitor, seja ele um aluno de graduação, de pós-graduação ou um engenheiro em um primeiro contato com o assunto, um texto compreensível para aqueles que tiveram uma formação básica na área de análise de estruturas. Por formação básica nessa área considero conhecimentos em análise de estruturas hiperestáticas, resistência dos materiais e fundamentos da teoria da elasticidade. Alguns conhecimentos matemáticos que são tratados nos cursos básicos de Engenharia, mas, em geral, não com a profundidade necessária ao estudo do método, como integração numérica, são revistos no início do livro. Estou convencido de que a vasta difusão do uso de computadores nos projetos de Engenharia e a grande disponibilidade de programas comerciais para análise de estruturas pelo Método dos Elementos Finitos tornam o ensino do método nos cursos de graduação indispensável. Este livro pretende ser uma estrada menos sinuosa e íngreme para todos aqueles que pretendam entrar no universo dos elementos finitos..

(8) CAPÍTULO. 1. Introdução. O Método dos Elementos Finitos (MEF) para a análise de estruturas ganhou projeção internacional a partir de meados dos anos cinquenta do século XX com os trabalhos independentes e quase simultâneos do professor John Argyris, que trabalhava no Imperial College em Londres, e de um grupo de engenheiros da Boeing liderados pelo professor Ray W. Clough. No entanto, um trabalho sobre o problema de torção de Saint-Venant do matemático alemão Richard Courant, publicado em 1943, é considerado até hoje o pioneiro do método. Na época em que foi publicado, esse trabalho não teve, todavia, grande repercussão. Talvez esse fato possa ser atribuído ao pouco apelo dos métodos numéricos em um momento em que a indústria de computadores estava em fase embrionária. Não se pode, contudo, falar do desenvolvimento e da divulgação do método sem citar o prof. O. C. Zienkiewicz que trabalhou desde 1961 no campus de Swansea da Universidade do País de Gales, no Reino Unido. Seu livro publicado em 1967, intitulado “The Finite Element Methods for Engineering” ficou conhecido no meio acadêmico como “The Book”. O livro criou uma legião de seguidores do método em todo o mundo. No Brasil, a primeira tese sobre o MEF foi defendida na Coppe-UFRJ, em 1970. Ela foi apresentada pelo engenheiro Alcebíades Vasconcelos e foi desenvolvida em parte no Laboratório de Engenharia Civil de Lisboa. Alcebíades desenvolveu um programa para a análise de estruturas de estado plano com o uso do elemento triangular CST, resolveu alguns problemas a cuja solução se chega por meio da Teoria da Elasticidade e comparou os resultados obtidos pelo programa com os fornecidos pela Teoria da Elasticidade. O primeiro curso sobre o método foi ministrado também na Coppe-UFRJ pelo professor Fernando Venâncio Filho em 1971. O MEF foi um desenvolvimento natural da formulação em deslocamentos da análise matricial de estruturas reticuladas impulsionado pelo crescimento do uso de computa-.

(9) 2. Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas. dores nas universidades, centros de pesquisa e na grande indústria. A semelhança entre os dois métodos consiste no uso comum dos conceitos de matriz de rigidez de elemento, montagem (assembly, em inglês) da matriz de rigidez da estrutura a partir da contribuição das matrizes de rigidez dos elementos e do conceito de cargas equivalentes nodais. O MEF distingue-se do seu precursor pela sua maior generalidade e por suas raízes nos métodos de energia e nos métodos aproximados. A análise matricial de estruturas reticuladas sistematizou o método clássico dos deslocamentos e unificou a metodologia para a análise de diferentes tipos de estruturas reticuladas, tais como treliças planas e espaciais, vigas e grelhas e pórticos planos e espaciais. O MEF, porém, foi bem mais além, ele pode ser usado para se formular tanto problemas de análise de estruturas reticuladas, como também de estruturas contínuas bi e tridimensionais. Sua generalidade não parou por aí, sua aplicação, que se iniciou em análise estática de estruturas de comportamento linear elástico, foi estendida à análise estática de estruturas com não linearidade física e geométrica e à análise dinâmica de estruturas. Ele também saiu da esfera da análise de estruturas e penetrou em outras áreas, como a engenharia geotécnica, a interação fluido-mecânica e as análises de fluxo térmico e hidráulico. Na área de análise de estruturas, a formulação do MEF pode ser feita a partir do Princípio da Mínima Energia Potencial Total, do Método de Resíduos Ponderados ou do Princípio dos Deslocamentos Virtuais. Ele usa os conceitos de “discretização” do contínuo e de “matriz de interpolação” que fornece os deslocamentos em um ponto no interior do elemento em função de seus deslocamentos nodais. O termo discretização se refere a um modelo com um número finito (discrete, em inglês) de incógnitas (deslocamentos nos nós do modelo) para a análise de meios contínuos em contraposição a uma análise com um número infinito de variáveis como as feitas pela Teoria da Elasticidade que usam funções contínuas, ou seja, com infinitas incógnitas como solução. Hoje em dia, existem inúmeros programas comerciais altamente sofisticados que fazem os mais diversos tipos de análise pelo Método dos Elementos Finitos, tais como o SAP, o Ansys, o Abaqus, o Nastran etc. No Departamento de Mecânica Aplicada e Estruturas da Escola Politécnica da UFRJ, está em desenvolvimento o sistema Salt sob a coordenação do professor Silvio de Souza Lima. O programa tem sido largamente utilizado na elaboração de diversos trabalhos de fim de curso de alunos do departamento. No Tecgraf, na PUC-Rio, há o sistema Mtool com gerador automático de malhas. Em minha opinião, a difusão do uso do MEF nas empresas e universidades tornou obrigatória a introdução de um curso sobre o método nas disciplinas de graduação em engenharias civil, mecânica, naval e aeronáutica. Este livro tem como objetivo servir de base para a disciplina “Introdução ao Método dos Elementos Finitos” que seria ministrada em um curso de graduação em Engenharia Civil na ênfase de Estruturas. O material é adequado para um curso de 16 semanas com 3 horas semanais. O Capítulo 2 faz uma revisão aprofundada de alguns fundamentos matemáticos já vistos no ciclo básico de Engenharia necessários ao longo do curso, como integração numérica. O Capítulo 3 mostra a evolução do Método dos Deslocamentos, desde as formulações clássicas para estruturas reticuladas até o MEF, visto como uma evolução do Método de Rayleigh-Ritz..

(10) Capítulo 1. Introdução. 3. O Capítulo 4 trata das formulações do método para a análise de estruturas planas, apresentando as formulações do elemento CST, de elementos das famílias Serendipity e de Lagrange. O Capítulo 5 apresenta formulações do método para análise de sólidos axissimétricos ou sólidos de revolução, mostrando as formulações de alguns elementos, como o Triangular de três nós e elementos da família Serendipity. O Capítulo 6 aborda formulações do método para análise de sólidos tridimensionais, desenvolvendo as formulações de alguns elementos, como o elemento tetraedro e o hexaedro. No Capítulo 7, são estudados elementos para a análise de placas à flexão, como o elemento retangular, baseado na Teoria de Kirchhoff, próprio para a análise de placas delgadas e os elementos da família Serendipity, baseados na Teoria de Mindlin e apropriados à análise de placas espessas. O Capítulo 8 trata do problema do cálculo do fator de carga crítica em estruturas. Formulações da matriz de rigidez geométrica são apresentadas para estruturas de pórticos planos e de placas, assim como exemplos numéricos. O Capítulo 9 contempla o estudo de análise dinâmica em estruturas. É apresentada a formulação para se obter as frequências e os modos próprios de estruturas em vibrações livres a partir da matriz de rigidez e da matriz de massa consistente para alguns elementos finitos. A obtenção da matriz de amortecimento também é tratada. Finalmente, são estudadas a análise modal e a análise por algoritmo de integração direta de Newmark de estruturas submetidas a vibrações forçadas. Exemplos referentes a todos os itens são apresentados. O Capítulo 10 aborda a análise de estruturas com comportamento não linear do material. O conceito de matriz de rigidez tangente é apresentado e um exemplo é resolvido com o uso do Método de Newton-Raphson. Espero com esse texto facilitar o aprendizado desse apaixonante e revolucionário tema que é o Método dos Elementos Finitos. Prof. Luiz Eloy Vaz Professor titular em Análise de Estruturas pela UFRJ até 2008 Professor adjunto da UFF a partir de 2009.

(11) CAPÍTULO. 2. Fundamentos matemáticos. N. este capítulo, serão apresentados alguns tópicos da matemática utilizados na formulação do Método dos Elementos Finitos (MEF). Ao apresentar esses tópicos em um capítulo à parte nosso objetivo é enfatizar o fato de que esses tópicos não são inerentes ao método, são apenas ferramentas utilizadas pelo método. Eles já eram conhecidos há muito tempo antes do surgimento do método. A série de Taylor será aplicada em demonstrações, por exemplo, nos itens 3.4.3. e 10.3. As funções aproximadoras são a base dos métodos de integração numérica, que por sua vez é a ferramenta básica para o cálculo da matriz de rigidez e de massa, assim como do vetor KLJHYNHZLX\P]HSLU[LZUVKHPZKHTHPVYWHY[LKVZLSLTLU[VZÄUP[VZ. 2.1 Aproximação de funções Este item demonstra como se obter funções aproximadoras de uma dada função. O MEF, como método numérico que fornece soluções aproximadas, utiliza algumas das funções aqui apresentadas para representar o campo de deslocamentos no interior do elemento. Além disso, essas funções são usadas para gerar os coeficientes dos métodos de integração numérica de Newton-Cotes e de Gauss, este último largamente utilizado pelo MEF.. 2.1.1 Aproximação no entorno de um ponto x0 2.1.1.1 Aproximação por série de Taylor A aproximação de uma função f(x) de uma variável no entorno de um ponto x0 por série de Taylor é um recurso utilizado em diversas áreas da Matemática, da Física e da.

(12) Capítulo 2 Fundamentos Matemáticos. 5. Engenharia e será aqui apresentada para facilitar a compreensão de várias passagens matemáticas e demonstrações ao longo do texto. A série de Taylor será designada pela função s(x) e é definida pela seguinte expressão, s( x) = f ( x0 ) +. df ( x) dx. ( x − x0 ) +. x= x 0. 1 d 2 f ( x) 2 dx 2. x= x 0. ( x − x0 )2 +;. (2.1). A série foi truncada no termo dito de segunda ordem, assim chamado porque contém a derivada segunda de f (x). O termo genérico de ordem n seria: 1 d n f ( x) n! dx n. x= x 0. ( x − x 0 )n ;. (2.2). A aproximação é tanto melhor quanto mais próximo x estiver de x0 e quanto mais termos a série contiver. É possível observar as seguintes propriedades da função aproximadora s (x) no ponto x0. a) s( x0 ) = f ( x0 ); b). c). ds( x) dx. =. dx. dx. x= x 0. d 2 s( x) 2. df ( x). = x= x 0. ;. (2.3). x= x 0. d 2 f ( x) dx 2. ; x= x 0. E, assim, sucessivamente até o termo n, d). d n s( x) dx n. = x= x 0. d n f ( x) dx n. ; x= x 0. A generalização da série de Taylor para o caso em que a função f (x) é uma função de n variáveis contidas no vetor x com n elementos. A representação será truncada no elemento de segunda ordem. Neste caso, teríamos: s ( x ) = f ( x 0 ) + g ( x )tx=x ( x − x 0 ) + 21 ( x − x 0 )t H ( x )x=x ( x − x0 )2 ; 0. (2.4). 0. Onde g (x) é o vetor gradiente de f (x). O elemento g (x)i do vetor gradiente é obtido por: g ( x )i =. ∂g ( x ) ∂xi. (2.5). e H(x) é a matriz hessiana de f (x). O elemento H(x)ij da matriz hessiana é obtido por: H ( x)ij =. ∂ 2 g (x) ∂xi ∂x j. (2.6).

(13) 6. Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas. 2.1.1.2 Exemplo de aproximação de f(x) por série de Taylor Seja a função f (x) a uma variável dada a seguir a ser aproximada por série de Taylor no entorno do ponto x0 = p/4. A função será representada no domínio 0 ≤ x ≤ 1,5. f (x) = sin(x);. (2.7). As derivadas de primeira, segunda e terceira ordem de f (x) são: df ( x) dx d 2 f ( x) dx 2 d 3 f ( x) dx 3. = cos( x);. (2.8). = − sin( x);. (2.9). = − cos( x);. (2.10). As aproximações de f (x) por série de Taylor de primeira, segunda e terceira ordem no entorno de x0, aqui denominadas respectivamente s1(x), s2(x) e s3(x), podem ser obtidas fazendo-se uso das expressões (2.7) a (2.10) e da expressão geral definida em (2.1) e (2.2). S1 ( x) =. 2 2. +. 2 ⎛⎜ ␲⎞ ⎜⎜ x − ⎟⎟⎟ 2 ⎜⎝ 4 ⎟⎟⎠. (2.11). 2 ⎛⎜ ␲⎞ 2 ⎛⎜ ␲⎞ ⎜⎜ x − ⎟⎟⎟− ⎜⎜ x − ⎟⎟⎟ ; S2 ( x) = + ⎟ 2 2 ⎝⎜ 4 ⎟⎠ 4 ⎜⎝ 4 ⎟⎠ 2. 2. (2.12). 2 ⎛⎜ 2 ⎛⎜ 2 ⎛⎜ ␲⎞ ␲⎞ ␲⎞ ⎜⎜ x − ⎟⎟⎟ ; ⎜⎜ x − ⎟⎟⎟− ⎜⎜ x − ⎟⎟⎟ − + S3 ( x) = 2 2 ⎜⎝ 4 ⎟⎟⎠ 4 ⎜⎝ 4 ⎟⎠ 12 ⎜⎝ 4 ⎟⎟⎠ 2. 2. 3. (2.13). As funções f (x), s1(x), s2(x) e s3(x), estão representadas na Figura 2.1 para efeito de comparação.. Figura 2.1 Função f (x) = sin (x) e suas aproximações s1(x), s2(x) e s3(x) no entorno de x = / 4..

(14) Capítulo 2 Fundamentos Matemáticos. 7. 2.1.1.3 Exemplo de aproximação de f(x, y) por série de Taylor Seja a função f (x, y) dada a seguir a ser aproximada por série de Taylor no entorno do ponto de coordenadas x0 = −0,5 e y0 = −0,5 . A função será representada no intervalo de −1 ≤ x ≤ 0 e −1 ≤ y ≤ 0. f (x, y) = (1−x2)(1−y2);. (2.14). Essa função é denominada função bolha, pois, no domínio representado por um quadrado de lado 2 com centro na origem do sistema de coordenadas x y, ela é nula no contorno e positiva para pontos no interior com valor máximo de 1 no centro do quadrado. A Figura 2.2 esclarece.. Figura 2.2. Função f (x, y) = (1 − x2) (1 − y2).. O vetor gradiente g (x, y) e a matriz hessiana H(x, y) para a função f (x, y) dada estão indicados a seguir: ⎧ ⎪ ⎪ ∂f ( x , y ) ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧−2 x(1 − y 2 )⎪ ⎫ ⎪ ⎪ ∂x ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪; ⎪ g( x , y ) = ⎨ ⎬ ⎬ ⎨ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂ f ( x , y ) − 2 1 − y ( x ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂ y ⎪ ⎪ ⎭ ⎩ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ H( x , y ) = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣. ∂ ⎛⎜ ∂f ( x , y ) ⎞⎟⎟ ∂ ⎛⎜ ∂f ( x , y ) ⎞⎟⎟ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎟ ⎟ ∂x ⎝ ∂x ⎟⎠ ∂x ⎝⎜ ∂y ⎟⎟⎠ ∂ ⎛⎜ ∂f ( x , y ) ⎞⎟⎟ ∂ ⎛⎜ ∂f ( x , y ) ⎞⎟⎟ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎟ ⎟ ∂y ⎝ ∂x ⎟⎠ ∂y ⎜⎝ ∂y ⎟⎟⎠. ⎤ ⎥ ⎥ ⎡ ⎥ ⎢ −2(1 − y 2 ) 4 xy ⎥=⎢ ⎥ ⎢ 4 2 xy y − (1 − x 2 ) ⎥ ⎣ ⎥ ⎥⎦. (2.15). ⎤ ⎥; ⎥ ⎥ ⎦. (2.16).

(15) 8. Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas. As aproximações de f (x, y) por série de Taylor de primeira e segunda ordem no entorno de (x0, y0), aqui denominadas respectivamente de s1(x,y) e s2(x,y), podem agora ser obtidas como no exemplo anterior. s1(x, y) = 1,3125 + 0,75x + 0,75y;. (2.17). s2(x, y) = 1,1875 + 0,5x + 0,5y − 0,75x2 + xy − 0,75y2;. (2.18). As figuras 2.3 e 2.4 mostram respectivamente as iso-curvas de f (x, y) e de s2 (x, y) com x e y variando de −1 a 0.. Figura 2.3. Isocurvas da função f (x, y) = (1 − x2) (1 − y2).. Figura 2.4. Isocurvas da função s2 (x, y) no entorno de x0 = −0.5 e y0 = −0.5..

(16) Capítulo 2 Fundamentos Matemáticos. 9. 2.1.2 Aproximação de funções no subdomínio a f x f b. Funções contínuas f (x) podem ser representadas por funções aproximadoras (x) em um dado intervalo a ≤ x ≤ b. Neste item, será mostrado como determinados polinômios, principalmente polinômios de Lagrange, podem ser usados para formar funções aproximadoras de f (x). 2.1.2.1 Aproximação de Vandermonde A aproximação de Vandermonde usa um polinômio completo do grau n para aproximar uma função qualquer f (x). Esse polinômio é dado por: (x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn;. (2.19). Para que (x) seja uma função aproximadora de f (x), as duas funções devem ter o mesmo valor para os n + 1 pontos gerados xi no intervalo a ≤ x ≤ b, assim: (xi) = f(xi) = fi ;. i = 0, 1, …, n;. (2.20). matricialmente, ⎡ ⎢ 1 x0 ⎢ ⎢ 1 x1 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 1 x n ⎢⎣. ⎤ ⎧ x02 x0n ⎥ ⎪ ⎪ ⎥ ⎪ ⎪ 2 n x1 x1 ⎥ ⎪ ⎥ =⎪ ⎨ ⎥⎥ ⎪ ⎪ ⎪ xn2 xnn ⎥⎥ ⎪ ⎪ ⎩ ⎦ ⎪. ⎫ ⎪ ⎧ a0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ a1 ⎪ ⎪ ⎬= ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ an ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎩. ⎫ f0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ f1 ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ fn ⎪ ⎪ ⎪ ⎭. (2.21). ou sucintamente, Va = f;. (2.22). Que permite obter os coeficientes ai por: a = V−1 f;. (2.23). onde, V é a matriz de Vandermonde, f o vetor com os valores da função f (x) e a o vetor dos coeficientes polinomiais. Portanto, esse procedimento para se obter os coeficientes ai de um polinômio de grau n que aproxima f (x) no intervalo a ≤ x ≤ b é denominado Método de Vandermonde. 2.1.2.2 Funções aproximadoras com uso de polinômios de Lagrange Dados n+1 pontos xi, i = 0,1,...n, em um intervalo a ≤ x ≤ b, é possível criar n+1 polinômios de Lagrange Li (x) de grau n, da forma: Li ( x) =. ( x − x0 )( x − x1 )…( x − xi−1 )( x − xi+1 )…( x − xn ) ( xi − x0 )( xi − x1 )…( xi − xi−1 )( xi − x1+1 )i+1 ( xi − xn ). ;. (2.24).

(17) 10. Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas. Observe que: Li (xj ) = ij ;. (2.25). Sendo ij o Delta de Dirac que vale 1 para i = j e 0 para i ≠ j. A representação gráfica de L4(x) é mostrada na Figura 2.5. A função é obtida para 7 valores de xi , nomeadamente, x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 4, x4 = 5, x5 = 6 e x6 = 7 o que fornece um polinômio do sexto grau que está representado no intervalo de 0 a 7.. Figura 2.5. Polinômio de Lagrange L4(x).. Polinômios de Lagrange podem ser usados para gerar funções aproximadoras de f (x). Observe que a função (x) dada por: n. ␾( x) = ∑ Li ( x) fi ;. (2.26). i=0. vale, em qualquer dos n+1 pontos xj, n. ␾( x j ) = ∑ Li ( x j ) fi = f j ; i=0. devido à expressão (2.25). A Figura 2.6 apresenta f (x) e sua função aproximadora (x).. (2.27).

(18) Capítulo 2 Fundamentos Matemáticos. Figura 2.6. 11. Aproximação de f (x) por (x) com uso de polinômios de Lagrange.. 2.1.2.3 Exemplo de aproximação de funções por polinômios de Lagrange Nesse exemplo, o polinômio de sexto grau, dado por: f (x) = 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6;. (2.28). será aproximado por combinações lineares de polinômios de Lagrange no intervalo de 0 ≤ x ≤ 1. Os polinômios de Lagrange usados na aproximação serão polinômios do segundo grau que passam por três pontos no intervalo escolhido. Inicialmente, os pontos escolhidos serão os pontos notáveis definidos na técnica de integração numérica de Newton-Cotes que será estudada no próximo item. Nessa técnica, os n + 1 = 3 pontos notáveis para n = 2 intervalos entre pontos no domínio a ≤ x ≤ b são gerados da seguinte maneira: O ponto inicial é o ponto do início do intervalo:. x0 = a;. (2.29). O ponto final coincide com o fim do intervalo:. xn = b;. (2.30). O intervalo entre os pontos:. Δx =. (b − a) n. ;. (2.31). Os pontos intermediários entre x0 e xn são gerados pela seguinte expressão:. xi = a + ix;. i = 1,…n − 1;. (2.32). Para x de 0 a 1 e n = 2, os pontos notáveis são: x0 = 0;. x1 = 0,5;. x2 = 1;. (2.33).

(19) 12. Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas. Os polinômios de Lagrange LNi(x) obtidos segundo a expressão (2.24) com pontos notáveis gerados pelas expressões de Newton-Cotes conforme (2.29), (2.30) e (2.31) são: ⎛ 1 ⎞⎟ LN 0 ( x) = 2⎜⎜⎜ x − ⎟⎟( x − 1); ⎜⎝ 2 ⎟⎟⎠. (2.34). LN1(x) = 4x (x − 1);. (2.35). ⎛ 1 ⎞⎟ LN 2 ( x) = 2 x ⎜⎜⎜ x − ⎟⎟ ; ⎜⎝ 2 ⎟⎟⎠. (2.36). A função aproximadora será então: N(x) = LN0(x)f(x0) + LN1(x)f(x1) + LN2(x)f (x2);. (2.37). O nome da função aproximadora N(x) foi escolhido para designar polinômios de Lagrange com pontos notáveis definidos pela técnica de Newton-Cotes. Uma nova função aproximadora baseada em polinômios de Lagrange passando por três pontos será agora definida com os pontos notáveis obtidos pela técnica de Gauss conforme descrito no item 2.3.2. Gauss definiu os pontos notáveis para a função f () em um espaço paramétrico com intervalo de −1 ≤ ≤ 1. Para n = 3 pontos, os pontos notáveis de Gauss são: ␰ 1 = − 0, 6 ;. ␰2 = 0;. ␰ 3 = − 0, 6 ;. (2.38). Os pontos de Gauss no espaço paramétrico xi se relacionam com os pontos de Gauss no espaço cartesiano xgi no intervalo a ≤ x ≤ b por: xgi =. a+ b 2. +. b−a 2. ␰i ;. (2.39). Logo, para o intervalo a ≤ x ≤ b, obtém-se: xg1 = 0,112792. (2.40). xg2 = 0,5. (2.41). xg3 = 0,887298. (2.42). Criando-se os três polinômios de Lagrange LGi(x) passando pelos pontos notáveis de Gauss definidos em (2.40) com a regra dada em (2.24), pode-se obter a função aproximadora G(x), dada por: G(x) = LG1(x)f (x1) + LG2(x)f (x2) + LG3(x)f (x3);. (2.43). O nome da função aproximadora G(x) foi escolhido para designar polinômios de Lagrange com pontos notáveis definidos pela técnica de Gauss. A Figura 2.7 mostra a função f (x) e as duas aproximações, N(x) e G(x). Observe que a aproximação G(x) está, ao longo de quase todo o domínio (exceto junto aos limites.

(20) Capítulo 2 Fundamentos Matemáticos. 13. a e b), mais próxima de f (x) do que a aproximação N(x) apesar das duas usarem o mesmo número de pontos notáveis.. Figura 2.7 Aproximações de f (x) por funções aproximadoras N (x) que usam polinômios de Lagrange passando por pontos notáveis de Newton-Cotes e funções aproximadoras G(x) que usam polinômios de Lagrange passando por pontos notáveis de Gauss.. 2.2 Integração numérica A ideia básica da integração numérica é, inicialmente, aproximar a função f (x) a ser integrada no intervalo a ≤ x ≤ b por uma função (x) e, em seguida, integrar (x) no intervalo a ≤ x ≤ b ao invés de f (x).. ∫. b a. b. f ( x)dx ∫ ␾( x)dx ; a. (2.44). As funções aproximadoras devem ter a característica de fácil integração e, por isso, são empregadas aqui funções polinomiais para aproximar f (x). A integração numérica se caracteriza também pelo fato da integral ser obtida apenas através do cálculo da função em alguns pontos notáveis do domínio a ≤ x ≤ b, multiplicados por pesos. Se, para n+1 pontos notáveis xi, i = 0,1, ..., n e os pesos forem wi, a integral I deve ser calculada por: n. I = ∑ f ( xi )wi ;. (2.45). i=0. A Equação (2.45) justifica a expressão “integração numérica”, pois ela é obtida por produto e soma de valores numéricos.. 2.2.1 Método de Newton-Cotes O Método de Newton-Cotes usa a função aproximadora definida na Equação (2.26) com uso de polinômios de Lagrange para obter os pesos wi da Equação (2.45)..

(21) 14. Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas. Para se compreender como os pesos são obtidos é preciso inicialmente conhecer algumas propriedades dos polinômios de Lagrange. Sejam n+1 pontos notáveis gerados no intervalo 0 ≤ x ≤ 1, denominados pontos notáveis de Newton xn, i , i = 0,1,...n, como: ⎧ ⎪ 1 ⎪ hn = ⎪ ⎪ ⎨ n , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩xni = ihn. i = 0, 1,…n;. (2.46). É possível formar n+1 polinômios de Lagrange passando pelos pontos notáveis definidos por (2.46) que serão denominados de polinômios básicos de Lagrange-Newton lni(x). Os pontos notáveis gerados no intervalo 0 ≤ x ≤ 1 são denominados também de pontos notáveis básicos. Vale ressaltar que com o uso da Equação (2.46) para gerar os n+1 pontos notáveis básicos, o intervalo 0 ≤ x ≤ 1 fica dividido em n partes iguais de comprimento hn, sendo que xn,0 = 0 e xn,n = 1. Sejam agora n+1 pontos xi , i = 0,1...n gerados no intervalo a ≤ x ≤ b como: ⎧ ⎪ (b − a) ⎪ h = ⎪ ⎪ , ⎨ n n ⎪ ⎪ = + x a i h ⎪ n ⎪ ⎩ ni. i = 0, 1,…n;. (2.47). É possível formar n+1 polinômios de Lagrange Lni (x) do grau n passando pelos pontos notáveis de Newton-Cotes definidos por (2.47). Esses pontos gerados pela expressão (2.47) também são igualmente espaçados, mas com intervalos de hn, sendo que xn,0 = a e xn,n = b. A função aproximadora no Método de Newton-Cotes é a função (x) definida em (2.26) que é igual a f (x) nos pontos notáveis como foi mostrado em (2.27). Uma propriedade importante que relaciona os polinômios básicos de Lagrange-Newton lni (x), gerados no intervalo 0 ≤ x ≤ 1, com os polinômios de Lagrange Lni (x), gerados no intervalo de a ≤ x ≤ b é dada a seguir:. ∫. b a. 1. Lni ( x)dx = (b − a)∫ ln i ( x)dx ; i = 0, 1,…, n;. (2.48). 0. Usando-se a Equação (2.24) e a propriedade definida em (2.48), obtém-se:. ∫. b a. b. f ( x)dx ∫ ␾( x)dx = ∫ a. b a. n. n. ∑ L n (x) f dx = (b − a)∑ f ∫ i. i=0. i. i=0. i. 1 0. ln i ( x)dx ;. (2.49). Definindo-se agora: 1. Cin = ∫ ln i ( x) dx ; 0. (2.50).

(22) 15. Capítulo 2 Fundamentos Matemáticos. Chega-se a:. ∫. b a. n. n. i=0. i=0. f ( x) dx (b − a)∑ Cin fi ∑ Win fi ;. (2.51). que é a fórmula de integração numérica de Newton-Cotes onde os n+1 pesos win para funções aproximadoras de grau n são dados por: Wnn = (b − a)Cin ;. (2.52). i. Os valores de Cin , denominados pesos básicos de Newton, estão apresentados na tabela 2.1 para vários valores de i e n. Tabela 2.1. Pesos básicos do Método de Newton-Cotes.. n. C0n. C1n. C2n. C3n. 1. 1 2. 1 2. 2. 1 6. 4 6. 1 6. 3. 1 8. 3 8. 3 8. 1 8. 4. 7 90. 32 90. 12 90. 32 90. C4n. 7 90. 2.2.2 Método de Gauss O Método de Gauss pode ser visto como uma modificação do Método de Newton-Cotes. As seguintes mudanças foram introduzidas por Gauss: a) O número de pontos notáveis foi reduzido para n no intervalo de integração. Os pontos notáveis são agora xi, i = 1,... ,n, ao invés dos n+1 pontos xi, i = 0,...,n, no Método de Newton-Cotes. O número n é o valor a ser escolhido que define o grau do polinômio de Lagrange a ser usado na integração numérica e, consequentemente, define a precisão desejada da integração numérica. b) O intervalo de integração dos pontos notáveis básicos mudou de 0 ≤ x ≤ 1 no Método de Newton-Cotes para −1 ≤ x ≤ 1 no Método de Gauss. c) A posição relativa dos pontos notáveis no intervalo de integração foi modificada. A variável x no intervalo de integração −1 ≤ x ≤ 1 no Método de Gauss tem sido denominada variável paramétrica . A variável paramétrica x se relaciona com a variável x da função f (x), a ser integrada no intervalo a ≤ x ≤ b, pela seguinte expressão:.

(23) 16. Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas. x(␰) =. a+ b 2. +. b−a 2. ␰. (2.53). A mudança na posição relativa dos pontos notáveis introduzida por Gauss foi feita no intuito de produzir uma melhoria na precisão da integração numérica, o que, aliás, foi feito com significativo sucesso. É possível formar n polinômios de Lagrange passando pelos pontos notáveis de Gauss que serão denominados de polinômios básicos de Lagrange-Gauss lgi(). Os pontos notáveis gerados no intervalo −1 ≤ ≤ 1 são denominados de pontos notáveis básicos. Para se obter as novas posições dos pontos notáveis básicos (pontos notáveis no intervalo de −1 ≤ ≤ 1), Gauss começou por definir um polinômio P(x), de grau n, dado por: P( x) = ( x − x1 )( x − x2 )…( x − xn ). (2.54). Observe que o polinômio P(x) definido em (2.26) tem o valor igual a zero nos pontos notáveis, ainda desconhecidos, xi, i = 1,...,n. A função aproximadora do Método de Gauss é definida como: n. ␾( x) = ∑ Lgi ( x) fi + P( x)(␤0 + ␤1 x + ␤1 x 2 + + ␤n−1 x n−1 );. (2.55). i=1. ou, simplificadamente, n. ␾( x) = ∑ {Lgi ( x) fi + P( x)␤i−1 x i−1 };. (2.56). i=1. Observe que a função aproximadora de Gauss (x) é um polinômio do grau 2n−1 que passa por apenas n pontos notáveis. Uma propriedade importante que relaciona os polinômios básicos de Lagrange-Gauss lgi(), gerados no intervalo −1 ≤ ≤ 1, com os polinômios de Lagrange Lgi(x), gerados no intervalo a ≤ x ≤ b é dada a seguir:. ∫. b a. Lgi ( x) dx =. (b − a). ∫. 1. −1. 2. lg i (␰)d␰ ; i = 1,…, n;. (2.57). Analogamente ao que foi feito na Equação (2.21), obtém-se:. ∫. b a. b. b. f ( x) dx ∫ ␾( x) dx = ∑ i=1 ∫ {Lgi ( x) fi + ␤i−1 P( x)x i−1 } dx ; a. n. a. (2.58). Quando escrita em termos das variáveis paramétricas e fazendo uso de (2.56), a Equação (2.58) pode ser reescrita como:.

(24) 17. Capítulo 2 Fundamentos Matemáticos. ∫. b a. ⎫⎪ b 1⎧ ⎪ (b − a) n f ( x) dx ∫ ␾( x) dx = ∑ i=1 ∫ ⎨⎪ Lgi (␰) fi + ␤i−1 P(␰)␰i−1 ⎪⎬ d␰ ; a −1 ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ 2 ⎭. (2.59). Para obter os pontos notáveis, Gauss impôs a seguinte condição:. ∫. 1. −1. P(␰)␰i−1 dx = 0 ; i = 1,…, n. (2.60). A equação (2.60) forma um sistema de n equações a n incógnitas que permitem o cálculo dos n pontos notáveis básicos de Gauss gi no intervalo −1 ≤ ≤ 1. Os pontos notáveis básicos de Gauss estão apresentados na Tabela 2.2 e podem ser transformados em pontos notáveis xgi no intervalo a ≤ x ≤ b como uso da expressão (2.53). Tabela 2.2. Pontos notáveis básicos do Método de Gauss. n. g1. 1. 0,5. 2. g2. −1. 1. 3. 3. g3. 3. − 0,6. 0. 0,6. 4. -0.861136321. -0.339980976. 0.339980976. g4. 0.861136321. Com as condições definidas em (2.60), a Equação (2.59) pode ser reescrita apenas como:. ∫. b a. b. f ( x) dx ∫ ␾( x) dx = ∑ i=1 fi n. a. (b − a) 2. ∫. 1. lgi (␰)d␰ = ∑ i=1 w ng fi ; n. −1. i. (2.61). A Equação (2.61) define a expressão para a integração numérica de Gauss onde os n pesos de Gauss wg,i são dados por: wgn i =. (b − a) 2. ∫. 1. −1. lg i (␰) d␰ =. (b − a) 2. ␣ gn i ;. (2.62). Sendo os pesos básicos de Gauss ag,i obtidos por: 1. ␣ ng i = ∫ lg i (␰) d␰ ; −1. A Tabela 2.3 apresenta os pesos básicos de Gauss.. (2.63).

(25) 18. Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas. Tabela 2.3. Pesos básicos do Método de Gauss. αng, 2. αng, 3. n. αn , 1. 1. 2. 2. 1. 1. 3. 5 9. 8 9. 5 9. 4. 0.347855. 0.652145. 0.652145. αng, 4. 0.347855. 2.2.3 Exemplos de integração numérica As integrais numéricas do polinômio de sexto grau dado no item 2.2.3 no intervalo de 0 ≤ x ≤ 1 serão obtidas para os métodos de Newton-Cotes e de Gauss. A integral exata dessa função no intervalo indicado, Iexata , vale: 1. I exata = ∫ f ( x) dx = 2 , 593 ; 0. (2.64). As integrais numéricas serão feitas com 3 pontos notáveis sendo, portanto, os mesmos pontos notáveis do item 2.2.3, ou seja: Para o Método de Newton-Cotes:. x0 = 0 ; x1 = 0, 5 ; x2 = 1;. (2.65). Os pesos para a integração com 3 pontos podem ser obtidos com o auxílio das tabelas 2.1 para o Método de Newton-Cotes e 2.3 para o Método de Gauss. Para o Método de Newton-Cotes (n = 2):. 1 C02 = ; 6. 4 C12 = ; 6. 1 C22 = ; 6. (2.67). Sendo os pesos wn2 = (b − a)Ci2 ;. (2.68). i. Ou seja, com b − a = 1: wn2 = 0. 1 6. wn2 = 1. 4 6. 1 wn2 = ; 2 6. (2.69).

(26) Capítulo 2 Fundamentos Matemáticos. 19. A integral numérica pelo Método de Newton-Cotes com 3 pontos notáveis, INC3 é obtida por:. I NC 3 = wn2 f ( x0 ) + wn2 f ( x0 ) + wn2 f ( x0 ) = 2 , 656 ; 0. 1. (2.70). 2. Para o Método de Gauss os pontos notáveis são: x1 = 0, 112792 ; x2 = 0, 5 ; x3 = 0, 887298 ;. (2.71). Sendo os pesos w ng =. (b − a) 2. i. ␣ ng ;. (2.72). i. Ou seja, com b − a = 1 e n = 3: 5 8 5 ␣ 3g = ; ␣ 3g = ; ␣ 3g = ; 1 2 3 9 9 9. (2.73). A integral numérica pelo Método de Gauss com 3 pontos notáveis, IG3 é obtida por: IG 3 = w 3g f ( x1 ) + w 3g f ( x2 ) + w 3g f ( x3 ) = 2 , 593 ; 1. 2. (2.74). 3. Os erros relativos das integrais numéricas seriam: O erro da integral numérica de Newton-Cotes com 3 pontos, erroNC3, vale: erroNC 3 =. IG 3 − I exata I exata. = 0, 02445 2 , 4%;. (2.75). O erro da integral numérica de Gauss com 3 pontos, erroG3, vale: erroNC 3 =. IG 3 − I exata I exata. = 1, 377 x10−4 0, 014%. (2.76). 2.3 Representação paramétrica de um quadrilátero Um quadrilátero no plano cartesiano pode ter uma representação matemática paramétrica. Como será visto mais adiante, para se representar um quadrilátero como o ilustrado na Figura 2.8 com o uso de coordenadas paramétricas, devem-se criar funções que descrevam as coordenadas cartesianas em termos de polinômios em coordenadas paramétricas..

(27) 20. Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas. Figura 2.8. Mapeamento do ponto P(,η) do quadrado no espaço paramétrico para o ponto P(x,y) do quadrilátero no espaço cartesiano.. Os polinômios paramétricos para essa representação das coordenadas x e y devem ter 4 termos como será visto mais adiante. O termo do segundo grau escolhido para completar os 4 termos foi em detrimento dos termos 2 e 2 porque ele é simétrico em relação aos dois eixos. x(␰ , ␩) = a1 + a2 ␰ + a3 ␩ + a4 ␰␩; y(␰ , ␩) = a5 + a6 ␰ + a7 ␩ + a8 ␰␩;. (2.77). Ou matricialmente, ⎧a ⎪ ⎫ ⎪ ⎪ 1⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ a2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ a3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎡ ⎤ ⎧x(␰ , n)⎪ ⎫ ⎪ ⎪ a 1 ␰ n ␰n 0 0 0 0 ⎥ ⎪ 4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ; ⎨ ⎨ ⎬ = ⎢⎢ ⎥ ⎪a ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ y ( ␰ , n ) ␰ n ␰ n 0 0 0 0 1 ⎪ ⎪ 5⎪ ⎩ ⎭ ⎢⎣ ⎦⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪a6 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ a ⎪ ⎪ 7⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪a8 ⎪ ⎩⎪ ⎭. (2.78). Ou sucintamente, x(␰ , ␩) = Na(␰ , ␩)a ;. (2.79). A escolha de polinômios de 4 termos com 8 coeficientes incógnitos ai pode agora ser justificada pelas 8 condições de contorno seguintes:.

(28) Capítulo 2 Fundamentos Matemáticos. ⎧ ⎪ x(−1,−1) = x1 ⎪ ⎪⎪ ⎪ y(−1,−1) = y1 ⎪ ⎪ ⎪ x(+1,−1) = x2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪y(+1,−1) = y 2 ⎨ ⎪ x(+1, +1) = x3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ y(−1, +1) = y 3 ⎪ ⎪ ⎪ x(−1, +1) = x4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩y(−1, +1) = y 4. 21. (2.80). que podem ser reescritas usando-se a expressão (2.78), ⎫ ⎡ ⎧x ⎪ ⎪ ⎪ 1⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ y ⎢ 1⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ x2 ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪y 2 ⎪ ⎨ ⎬ = ⎢⎢ ⎪ ⎪ x ⎪ ⎢ 3⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ y ⎢ ⎪ 3⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎢ x ⎪ ⎪ 4⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎣ ⎩y 4 ⎪. 1 −1. −1. 1 0. 0. 0. 0 1 −1 −1. 0. 0. 0. 1. 1. −1. −1 0. 0. 0. 0. 0 1. 1 −1. 1. 1. 1. 1 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0 1. 1. 1. 1 −1. 1 −1 0. 0. 0. 0. 0. 0 1 −1. 1. 0. 0. 0. ⎧a ⎪ ⎫ 0 ⎤⎥ ⎪ ⎪ 1⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ a 1 ⎥⎪ ⎪ 2⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ a ⎪ 0 ⎥⎪ 3⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥ a −1 ⎥ ⎪ 4 ⎪ ⎪ ⎨ ⎬i ⎪ a 0 ⎥⎥ ⎪ ⎪ ⎪ 5 ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 ⎥⎪ a ⎪ 6⎪ ⎥ ⎪⎪ ⎪ 0 ⎥ ⎪a7 ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎥ ⎪ − 1 ⎪a ⎪ ⎦ ⎪⎩ 8 ⎪ ⎪ ⎭. (2.81). Ou sucintamente, c = A a;. (2.82). a = A–1 c;. (2.83). ou,. onde c é o vetor das coordenadas nodais. Substituindo-se a expressão (2.83) em (2.79), obtém-se: x (ξ,η) = Na (ξ,η)A–1 c;. (2.84). x (ξ,η) = N (ξ,η) c;. (2.85). N (ξ,η) = Na (ξ,η)A–1;. (2.86). ou ainda,. sendo,. a matriz N(,) tem a forma:.

(29) 22. Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas. ⎤ ⎡ N ( ␰ , ␩) N2 ( ␰ , ␩) N3 ( ␰ , ␩) N 4 ( ␰ , ␩) 0 0 0 0 ⎥ ⎢ N( ␰ , ␩ ) = ⎢ 1 ⎥; ⎢ N1 ( ␰ , ␩) N2 ( ␰ , ␩) N3 ( ␰ , ␩) N 4 ( ␰ , ␩) ⎥ 0 0 0 0 ⎦ ⎣. (2.87). Observando-se as equações (2.85) e (2.87) é possível escrever: 4 ⎧ ⎪ ⎪ x( ␰ , ␩ ) ½ ∑ N i ( ␰ , ␩ )xi ; ⎪ ⎪ ⎪ i=1 ⎨ 4 ⎪ ⎪ y( ␰ , ␩ ) ½ ∑ N i ( ␰ , ␩ )yi ; ⎪ ⎪ ⎪ i=1 ⎩. (2.88). onde xi e yi são as coordenadas cartesianas nodais. As funções de interpolação Ni (,) são dadas por: 1 N 1 ( ␰ , ␩ ) = (1 − ␰)(1 − ␩); 4 1 N 2 ( ␰ , ␩ ) = (1 + ␰)(1 − ␩); 4 1 N 3 ( ␰ , ␩ ) = (1 + ␰)(1 + ␩); 4. (2.89). 1 N 4 ( ␰ , ␩ ) = (1 − ␰)(1 + ␩); 4. As expressões (2.88) permitem mapear um ponto P(,) do quadrado representado no plano paramétrico para um ponto P(x,y) no quadrilátero representado no plano cartesiano, como indicado na Figura 2.7. A Figura 2.9 apresenta a representação geométrica da função de interpolação N1(,). As outras funções de interpolação são análogas a N1(,), ou seja, elas valem 1 no nó i e 0 nos outros nós.. Figura 2.9. Função de interpolação N1(ξ,η)..

(30) Capítulo 2 Fundamentos Matemáticos. 23. Seja uma função (x,y). Se x e y forem definidos conforme as expressões (2.88), a relação entre as derivadas de em relação às coordenadas cartesianas e as derivadas de em relação às coordenadas paramétricas é dada pela regra da cadeia: ⎧ ∂␾ ∂␾ ∂x ∂␾ ∂y ⎪ ⎪ = + ; ⎪ ⎪ ∂␰ ∂x ∂␰ ∂y ∂␰ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ∂␾ ∂␾ ∂x ∂␾ ∂y ⎪ = + ; ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ∂␩ ∂x ∂␩ ∂y ∂␩. (2.90). ou, matricialmente, ⎧ ∂␾ ⎪ ⎫ ⎡ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ∂␰ ⎪ ⎪ ⎢⎢ ⎪ ⎨ ⎪ ⎬= ⎢ ⎪ ∂␾ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ␩ ∂ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎭ ⎢⎣. ∂x ∂␰ ∂x ∂␩. ⎫ ⎪ ∂y ⎤⎥ ⎧ ⎪ ∂␾ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ∂␰ ⎥ ⎪ ∂x ⎪ ⎪; ⎥ ⎨ ∂␾ ⎬ ∂y ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ∂ y ⎪ ∂␩ ⎥⎦ ⎪ ⎩ ⎪ ⎭. ⎡ ⎢ ⎢ J( ␰ , ␩) = ⎢⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣. ∂x ∂␰ ∂x ∂␩. ∂y ⎤⎥ ⎥ ∂␰ ⎥ ⎥; ∂y ⎥ ⎥ ∂␩ ⎥⎦. (2.91). Sendo J(,) a matriz Jacobiana e, fazendo uso de (2.88), obtém-se: ⎡ 4 ∂N (␰ ,␩ ) ⎢ i xi ⎢∑ i ∂ ␰ ⎢ i=1 J( ␰ ,␩ ) = ⎢ ⎢ 4 ∂N i (␰ ,␩ ) xi ⎢ ∑i ⎢⎣ i=1 ∂␩. ⎤ y ∑ i ∂␰ i ⎥⎥ ⎥ i=1 ⎥ 4 ∂N i (␰ ,␩ ) ⎥ ∑ i ∂␩ yi ⎥⎥ i=1 ⎦ 4. ∂N i (␰ ,␩ ). (2.92). ou, matricialmente,. ⎡ N ( ␰ ,␩ ) , N ( ␰ ,␩ ) , N ( ␰ ,␩ ) , ␰ 2 ␰ 3 ␰ J( ␰ ,␩ ) = ⎢⎢ 1 ⎢ N 1 ( ␰ ,␩ ) ,␩ N 2 ( ␰ ,␩ ) ,␩ N 3 ( ␰ ,␩ ) ,␩ ⎣. ⎡ ⎢ ⎢ ⎤ N 4 ( ␰ , ␩ ) ,␰ ⎥ ⎢ ⎥⎢ N 4 ( ␰ ,␩ ) ,␩ ⎥ ⎢⎢ ⎦ ⎢ ⎢⎣. x1 x2 x3 x4. y1 ⎤⎥ ⎥ y2 ⎥ ⎥; y 3 ⎥⎥ ⎥ y4 ⎥ ⎦. (2.93). onde os subíndices e ␩ significam as derivadas de Ni em relação a e ␩ respectivamente. Sucintamente, (2.93) pode ser reescrita como: J (␰ , ␩) = DNx(␰ , ␩)X ;. (2.94). A inversa da matriz Jacobiana é denominada (,), ⌫(␰ , ␩) = J (␰ , ␩)−1 ;. Ela transforma derivadas paramétricas de f em derivadas cartesianas de .. (2.95).

(31) 24. Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas. 2.3.1 Cálculo numérico da área de um quadrilátero É possível demonstrar que o determinante da matriz Jacobiana é o fator de escala que transforma a área elementar dd no quadrado paramétrico em área elementar correspondente no quadrilátero do plano cartesiano dA, como indicado nas figuras 2.10 e 2.11 e expresso pela Equação (2.96). dA = det( J (␰ , ␩)) d␰ d␩;. (2.96). Figura 2.10 Mapeamento da área elementar dξdη no plano paramétrico para a área elementar dA no plano cartesiano.. Figura 2.11 Área elementar dA no plano cartesiano.. O vetor a que liga o nó i ao nó j do quadrilátero elementar hachurado de área dA e o vetor b que liga os nós i e l na Figura 2.10 podem ser expressos por:.

(32) 25. Capítulo 2 Fundamentos Matemáticos. a=. b=. ∂y d␰ i + d␰ j ; ∂␰ ∂␰. (2.97). ∂y d␩ i + d␩ j ; ∂␩ ∂␩. (2.98). ∂x. ∂x. O módulo do produto vetorial a x b fornece a área elementar dA. ⎡ ⎢ ⎢ i J ⎢ ⎢ ∂x ∂y dA = a x b = ⎢⎢ d␰ d␰ ∂␰ ⎢ ∂␰ ⎢ ⎢ ∂x d␩ + ∂y d␩ ⎢ ∂␩ ⎢⎣ ∂␩. ⎤ ⎥ k ⎥⎥ ⎥ 0⎥⎥ ; ⎥ ⎥ 0 ⎥⎥ ⎥⎦. dA = det( J(␰ ,␩ ))d␰ d␩ ;. (2.99). (2.100). A área do quadrilátero pode ser obtida por integração no plano paramétrico. A= ∫. 1 −1. ∫. 1. dA =. −1. 1. 1. −1. −1. ∫ ∫. det ( J (␰ ,␩ )) d␰ d␩ ;. (2.101). O cálculo da área pode ser feito por integração numérica pelo Método de Gauss. Se forem usados ng pontos de Gauss com coordenadas paramétricas g,i e g,i e pesos de integração wg,,i e wg,,i, (2.101) pode ser reescrita como: ng. A = ∑ det( J (␰ g , ␩ g )) w g ,␰ w g ,␩ ; i=1. i. i. i. (2.102). i. Para a integração numérica de uma função de 2 ou 3 variáveis podem-se usar os mesmos pontos e pesos notáveis de Gauss definidos nas tabelas de 2.1 e 2.3. Deve-se observar, no entanto, que ng = n2 e ng = n3 pontos serão gerados nos problemas com 2 e 3 variáveis, respectivamente. Para se gerar n2 pontos em funções de 2 variáveis, por exemplo, fixa-se cada valor de g,i e variam-se os n pontos notáveis g,i . Com funções em 3 variáveis o procedimento é análogo para se gerar n3 pontos.. 2.3.2 Exemplo da transformação de derivadas paramétricas em derivadas cartesianas Seja o quadrilátero (trapézio) definido na Figura 2.12..

(33) 26. Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas. Figura 2.12 Trapézio com base maior b, base menor a e altura h.. As coordenadas nodais do quadrilátero são: ⎧ ⎪ x1 = 0 ; ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x = 2; ⎪ ⎨ 2 ⎪ x3 = 6 ; ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩x 4 = 0. y1 = 2 ; y2 = 0;. (2.103). y3 = 0; y4 = 6. Logo a matriz X vale: ⎡ ⎢ ⎢ X= ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣. 0 2 6 0. 2 0 0 6. ⎤ ⎥ ⎥ ⎥; ⎥ ⎥ ⎥⎦. (2.104). Com o uso de (2.94) e (2.104), obtém-se a matriz Jacobiana: ⎡ 2 + n − 2 − n⎤ ⎥; J(␰ , ␩) = ⎢⎢ ⎥ 1 1 + ␰ − ␰ ⎢⎣ ⎥⎦. (2.105). Para se determinar as derivadas de uma função de variáveis paramétricas φ(ξ,η) em relação às variáveis cartesianas x e y, pode-se usar a inversa da expressão (2.91), ou seja: ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩. ou, sucintamente:. ⎫ ⎡ ∂␾ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ∂x ⎪ ⎢ ⎬= ⎢ ∂␾ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎢ ∂y ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎢⎣. ∂x ∂␰ ∂x ∂␩. −1. ⎧ ∂y ⎤⎥ ⎪ ⎪ ⎥ ⎪ ⎪ ∂␰ ⎥ ⎪ ⎪ ⎥ ⎨ ∂y ⎥ ⎪⎪ ⎥ ⎪ ⎪ ∂␩ ⎥⎦ ⎪ ⎪⎩. ∂␾ ∂␰ ∂␾ ∂␩. ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭. (2.106).

(34) Capítulo 2 Fundamentos Matemáticos. 27. ␾,c (␰ , n) = J (␰ , n)−1 ␾,p (␰ ,␩ );. (2.107). ␾,c (␰ , n) = ⌫ (␰ , n)␾,p (␰ ,␩ );. (2.108). Ou, ainda,. Seja a função φ(ξ,η) dada por:. ␾,c (␰ , n) = 3␰ + 4␰␩ + 5␩ + 2␰ 2 + ␩2 ;. (2.109). cujo gradiente em relação às variáveis paramétricas é dado por: ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ␾,c (␰ , n) = ⎪⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩. ⎪ d␾ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧3 + 4 ␩ + 2␰⎪ ⎫ d␰ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬; ⎬= ⎪ ⎪ 4␰ + 5 + 2 ␩⎪ d␾ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎪ d␩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭. (2.110). Deseja-se agora calcular as derivadas cartesianas de f(x,h) no ponto de coordenadas paramétricas = 0 e = 0. O gradiente em relação às variáveis cartesianas pode ser obtido por:. ␾,c (0, 0) = ⌫ (0, 0) ␾,p (0, 0). (2.111). ⎧3⎪ ⎫ ⎡ 0, 25 0, 50 ⎤ ⎪ ⎥; ␾,p (0, 0) = ⎪⎨ ⎪⎬ e ⌫ (0, 0) = ⎢⎢ ⎥ ⎪ ⎪ − 0 2 5 0 , 50 5 , ⎢⎣ ⎥⎦ ⎪ ⎭ ⎩ ⎪. (2.112). Dado que:. A equação (2.111) resulta em: ⎧3, 25⎪ ⎫ ⎪ ⎪ ␾,c (0, 0) = ⎪⎨ ⎬ ⎪ ⎪ 1 , 75 ⎪ ⎪ ⎩ ⎭. (2.113). 2.3.3 Exemplo do cálculo numérico da área de um quadrilátero Seja, novamente, o quadrilátero definido na Figura 2.12. A área do trapézio é dada pela largura média x a altura: Área =. ( a + b) 2. h=. (2 6 + 6 2 ) 4 2 2. 2. = 16 ;. (2.114). O determinante da matriz Jacobiana relativa ao quadrilátero da Figura 2.12, dada em (2.105) vale:.

(35) 28. Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas. det J (␰ , ␩) = 4 + 2 ␩;. (2.115). Usando-se uma integração 2 x 2 no plano, ou seja, 4 pontos de Gauss como indicado na Figura 2.13: ⎧ ⎪ −1 −1 ⎪ ␰1 = ; ␩1 = ; ⎪ ⎪ ⎪ 3 3 ⎪ ⎪ ⎪ 1 −1 ⎪ ␰2 = ; ␩2 = ; ⎪ ⎪ ⎪ 3 3 ⎪ ⎨ ⎪ −1 1 ⎪ ␰3 = ; ␩3 = ; ⎪ ⎪ ⎪ 3 3 ⎪ ⎪ ⎪ 1 1 ⎪ ; ␰4 = ; ␩4 = ⎪ ⎪ ⎪ 3 3 ⎪ ⎩. (2.116). Ponto de Gauss. Figura 2.13 Posição dos pontos notáveis de Gauss no quadrilátero do plano paramétrico.. e pesos de Gauss wg,,i e wg,,i, i = 1,...,4, todos iguais a 1 como definido na Tabela 2.3. A área do quadrilátero pode ser calculada por: ng. A = ∑ det( J (␰ g , ng )) w g ,␰ w g ,␩ = 16 i=1. i. i. i. i. (2.117). que corresponde ao resultado exato calculado em (2.102). As formas dos quadriláteros não devem exceder limites de distorção para que não ocorram erros numéricos na integração numérica. Em geral, recomenda-se que os ângulos internos devem estar entre 45º e 135º, e a razão entre o maior e menor lado não deve ser superior a 3..

(36) CAPÍTULO. 3. A evolução do método dos deslocamentos. O. Método dos Elementos Finitos (MEF) tratado neste livro pertence à família do Método dos Deslocamentos ou Método da Rigidez onde deslocamentos são escolhidos como incógnitas. Todos os membros dessa família se caracterizam por ter como equação fundamental a equação de equilíbrio cujas incógnitas são deslocamentos generalizados. Entendem-se aqui por deslocamentos generalizados, grandezas cinemáticas, tais como, deslocamentos lineares, rotações etc. Os membros dessa família formam uma árvore genealógica, com novos métodos gerados a partir dos métodos mais antigos. De certa maneira, a evolução do método ao longo do tempo segue as leis da evolução de Darwin, com mutação e seleção. Os novos membros da família desses métodos herdam as características de seus antecessores, mas sofrem pequenas mudanças que só são bem sucedidas se forem bem adaptadas às condições existentes. Um exemplo disso é que a Análise Matricial de Estruturas (AME) e o MEF só tiveram larga aceitação quando os computadores atingiram uma fase de elevado grau de desenvolvimento, apesar de este último ter surgido antes dessa fase. Este capítulo procura mostrar como se deu a evolução do Método dos Deslocamentos, desde as primeiras formulações até o MEF. É surpreendente ]LYPÄJHYJVTVHZT\KHUsHZJVUJLP[\HPZZqVWLX\LUHZLTJVTWHYHsqVHV enorme crescimento do potencial do método.. 3.1 Método básico A análise de estruturas usa três equações básicas, nomeadamente equações de compatibilidade, de equilíbrio e constitutivas, também chamadas de relação tensão-deforma-.

(37) 30. Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas. ção. O método dos deslocamentos caracteriza-se por usar a equação de equilíbrio como equação fundamental, ou seja, aquela de onde são obtidas as incógnitas primárias do problema, a partir das quais, todas as outras respostas serão obtidas. As incógnitas primárias são os deslocamentos por meio dos quais é possível obter deformações, tensões, resultantes de tensões etc. O método básico da família do método dos deslocamentos consiste em manipular as três equações básicas da análise de estruturas de modo a colocar todas as informações disponíveis nas equações de equilíbrio com deslocamentos livres como incógnitas. O número de deslocamentos livres é chamado de grau de liberdade da estrutura. Neste item e em outros que seguem, a estrutura apresentada na Figura 3.1 é utilizada para ilustrar a resolução do método. Trata-se de uma treliça plana simples com quatro barras e dois graus de liberdade, os deslocamentos horizontal e vertical do nó C.. Figura 3.1. Treliça com 2 graus de liberdade.. As equações de compatibilidade relacionam grandezas cinemáticas, nesse caso os deslocamentos nodais livres d1 e d2 na direção horizontal e vertical com alongamentos/encurtamentos δi das barras i. Os deslocamentos são supostos positivos com os sentidos indicados na Figura 3.1. Os alongamentos serão considerados positivos e os encurtamentos negativos. As expressões para os δi das quatro barras são obtidas projetando-se os deslocamentos nodais nas direções das barras, assim: ⎧ ⎪ 2 2 ⎪ ⎪ ␦1 (d1 , d2 ) = d1 − d2 ⎪ ⎪ 2 2 ⎪ ⎪ ⎪ ␦2 (d1 , d2 ) = d1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ 2 2 ; ⎪ ␦3 (d1 , d2 ) = d1 + d2 ⎪ ⎪ 2 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 2 ⎪ ␦4 (d1 , d2 ) = −d1 + d2 ⎪ ⎪ 2 2 ⎪ ⎩. (3.1).

(38) Capítulo 3. A evolução do Método dos Deslocamentos. 31. A segunda equação de compatibilidade relaciona os alongamentos/encurtamentos das barras δi com as deformações longitudinais ␧i. Da resistência dos materiais:. ␧=. ␦1 Li. ;. (3.2). Como os comprimentos das barras são: ⎪⎧⎪L = L 2 ⎪⎪ 1 ⎪⎪L = L ⎪⎨ 2 ; ⎪⎪L = L 2 3 ⎪⎪ ⎪⎪L = L 2 ⎪⎩ 4. (3.3). ⎧ ⎪ 2 2 ⎪ ⎪ d1 − d2 ⎪ ⎪ 2 2 = 1 (d − d ) ⎪ ␧ 1 (d1 , d2 ) = ⎪ 2 ⎪ 2L 1 L 2 ⎪ ⎪ ⎪ d ⎪ ⎪ ␧ 2 (d1 , d2 ) = 1 ⎪ ⎪ L ⎪ ⎪ ⎪ ; ⎨ 2 2 ⎪ d1 + d2 ⎪ 1 ⎪ 2 2 = ⎪ ( d + d2 ) ␧ 3 (d1 , d2 ) = ⎪ ⎪ 2L 1 2 L ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 2 ⎪ ⎪ −d1 + d2 ⎪ ⎪ 2 = 1 (−d + d ) 2 ⎪ ␧ 4 (d1 , d2 ) = 1 2 ⎪ ⎪ 2L L 2 ⎪ ⎩. (3.4). Chega-se a:. Para efeito de simplificação, a lei constitutiva usada nesse trabalho será a lei de Hooke, Assim, para cada barra, i vale:. ␴ i = E ␧i ;. (3.5). Ou, em termos de esforços normais Ni, Ni A. =E. ␦i Li. ;. (3.6). Onde E é o módulo de elasticidade do material, A, a área de seção transversal (as duas grandezas supostas constantes para todas as barras), Ni o esforço normal e Li o comprimento da barra i. Substituindo-se para cada barra i, δi dado em (3.1) em (3.6), obtém-se:.

(39) 32. Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas. ⎧ ⎪ EA ⎪ ⎪ ⎪⎪N 1 (d1 , d2 ) = 2 L (d1 − d2 ) ⎪ ⎪ E A d1 ⎪ ⎪ N (d , d ) = ⎪ ⎪ 2 1 2 L ; ⎨ ⎪ EA ⎪ ⎪ d d ) ( ) N d d ( , = + ⎪ 2 2 3 1 ⎪ 2L 1 ⎪ ⎪ EA ⎪ ⎪ N 4 (d1 , d2 ) = (−d1 + d2 ) ⎪ ⎪ 2L ⎪ ⎩. (3.7). As equações de equilíbrio são obtidas para as direções horizontal e vertical no nó C. Os sentidos das forças axiais Ni que atuam nas barras i, são admitidos a princípio como de tração. Para se escrever as equações de equilíbrio, valem, no entanto, os sentidos indicados na Figura 3.2.. Figura 3.2. Equilíbrio do nó C.. As equações de equilíbrio são: Na direção horizontal:. ∑F. h. = 0;. − N1. 2 2. 2. − N2 − N3. 2. 2. + N4. 2. + P = 0;. (3.8). Na direção vertical:. ∑F. v. = 0;. N1. 2 2. − N3. 2 2. − N4. 2 2. = 0;. Substituindo-se as expressões (3.7) em (3.9) e manipulando-as, obtém-se:. (3.9).

(40) Capítulo 3. A evolução do Método dos Deslocamentos. ⎧ ⎪ 2 , 061 E A 0, 354 E A ⎪ d1 − d2 = P ⎪ ⎪ ⎪ L L ; ⎨ ⎪ 1, 061 E A −0, 354 E A ⎪ = 0 d d + ⎪ 2 1 ⎪ L L ⎪ ⎩. 33. (3.10). A expressão (3.10) é a equação fundamental do método dos deslocamentos para a análise da treliça plana da Figura 3.1. Matricialmente, ela pode ser reescrita como: ⎫ ⎧ ⎪ ⎪ P⎫ E A ⎡⎢ 2 , 061 −0, 354 ⎤⎥ ⎧ ⎪= ⎪ ⎪d1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬; ⎬ ⎨ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 d L ⎢⎣−0, 354 1, 061 ⎥⎦ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎭ ⎩ ⎪ ⎩ 2⎪. (3.11). ⎧⎪d ⎫⎪ P L ⎧ ⎪ ⎪ 0, 515⎫ ⎪ 1 ⎪= ⎪ ⎪ ⎬; ⎨ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪⎪d ⎪⎪ E A ⎪ , 0 171 ⎪ ⎪ ⎭ ⎩ ⎪⎩ 2 ⎪⎭. (3.12). Cuja solução é:. Com os deslocamentos d1 e d2 é possível obter agora todas as respostas da estrutura em termos de alongamento/encurtamento, na expressão (3.1), deformações, em (3.4), tensões, em (3.5), e esforços normais Ni, em (3.7). Tais valores estão indicados a seguir: ⎫ ⎧␦ ⎪ ⎫ ⎧+0, 243⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ␦ + 0, 515⎪ P L⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬; ⎨ ⎬= ⎨ 2⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ + ␦ 1 778 , E A ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − 0 243 , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ␦ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩ ⎪ ⎭ ⎩ 4⎪. (3.13). ⎫ ⎧␧ ⎪ ⎪ ⎪⎧⎪+0, 172⎪⎫⎪ ⎪ 1⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ␧ 2 ⎪⎪ P ⎪⎪⎪+0, 515⎪⎪⎪ ⎪ ⎬; ⎨ ⎨ ⎬= ⎪ ␧ 3 ⎪⎪ E A ⎪⎪+0, 343⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎩−0, 172 ⎭⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩␧ 4 ⎪. (3.14). ⎫ ⎧␴ ⎪ ⎫ ⎧+0, 172⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ␴ , 0 515 + P ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2⎪ ⎬; ⎨ ⎬= ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ , 0 343 ␴ + A ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ , 0 172 − ⎪ ⎪ ⎪ ␴ ⎪ ⎭⎪ ⎩ ⎪ ⎭ ⎩ 4⎪. (3.15). ⎫ ⎧N ⎪ ⎫ ⎧+0, 172⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ N , + 0 515 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2⎪ ⎬; ⎨ ⎬= P⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ N + , 0 343 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − , 0 172 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ N ⎪ ⎪ ⎭ ⎩ ⎪ ⎭ ⎩ 4⎪. (3.16).

(41) 34. Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas. 3.2 Método clássico O método clássico é essencialmente o mesmo que o método básico. Sua contribuição foi no sentido de sistematizar, ou seja, organizar, ou ainda criar uma metodologia que possa ser aplicada da mesma forma a todas as estruturas. O método usa os conceitos de estados auxiliares e de superposição de efeitos. Inicialmente, devem-se identificar os graus de liberdade da estrutura. Em seguida, um estado auxiliar j é criado para cada grau de liberdade impondo-se um valor unitário para o grau de liberdade dj, enquanto os outros são mantidos nulos. Resultantes das forças internas resistentes que atuam nas barras aparecem nas direções dos graus de liberdade. A força interna na direção i devido ao deslocamento unitário na direção do grau de liberdade dj é chamada de coeficiente de rigidez kij. Além disso, um estado auxiliar 0 é criado para as cargas atuantes com todos os graus de liberdade mantidos fixos. As forças resultantes que atuam nos nós na direção do grau de liberdade dj nesse estado são denominadas cargas nodais fj. Como os estados auxiliares não são autoequilibrados o equilíbrio é conseguido com a superposição de efeitos. Assim, somando-se os produtos das forças internas resultantes (nas direções dos graus de liberdade) correspondentes a cada estado auxiliar j por dj, a soma deve ser igual às forças aplicadas (nas direções dos graus de liberdade) no estado auxiliar 0. Em termos físicos, isso significa que os deslocamentos que surgem na direção dos graus de liberdade dj devem ser tais que as forças internas equilibrem as forças aplicadas. A aplicação das ideias descritas no exemplo do item 3.1 ajuda a esclarecer o método. Estado auxiliar 1, d1 = 1.. Figura 3.3. Termos k11 e k21 da matriz de rigidez da treliça..

(42) Capítulo 3. A evolução do Método dos Deslocamentos. 35. Estado auxiliar 2, d2 = 1.. Figura 3.4. Termos k21 e k22 da matriz de rigidez da treliça.. Para se obter os coeficientes kij (força interna resultante na direção i devida a um deslocamento unitário na direção j) procede-se da seguinte maneira: inicialmente, calculam-se os alongamentos/encurtamentos das barras dij (alongamento/encurtamento na barra i devido a um deslocamento unitário na direção do grau de liberdade dj) de forma análoga ao que foi feito para se obter os alongamentos/encurtamentos em (3.1). Para o estado auxiliar 1.. ⎧ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ␦11 = ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ␦21 = 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ 2 ; ⎪ ␦31 = ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − 2 ⎪ ␦41 = ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎩. (3.17). ⎧ ⎪ − 2 ⎪ ⎪ ␦12 = ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ␦ 0 = ⎪ 22 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ 2 ; ⎪ ␦32 = ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎪ ␦42 = ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎩. (3.18). Para o estado auxiliar 2..

(43) 36. Método dos Elementos Finitos em análise de estruturas. Utilizando-se a relação constitutiva é possível calcular os esforços normais nas barras Nij (esforço normal na barra i devido a um deslocamento unitário na direção do grau de liberdade dj) com uma expressão análoga a (3.6). N ij = E A. ␦ij. ;. (3.19). ⎧ ⎪ EA ⎪ N 11 = ⎪ ⎪ 2L ⎪ ⎪ ⎪ EA ⎪ ⎪ N = ⎪ ⎪ 21 L ; ⎨ ⎪ EA ⎪ N 31 = ⎪ ⎪ 2L ⎪ ⎪ ⎪ −E A ⎪ ⎪ N 41 = ⎪ ⎪ 2L ⎩. (3.20). ⎧ ⎪ −E A ⎪ N 12 = ⎪ ⎪ 2L ⎪ ⎪ ⎪ N 22 = 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ EA ; ⎪ N 32 = ⎪ ⎪ 2L ⎪ ⎪ ⎪ EA ⎪ N 42 = ⎪ ⎪ ⎪ 2L ⎩. (3.21). Li. Assim: Para o estado auxiliar 1.. Para o estado auxiliar 2.. Os coeficientes de rigidez kij (esforço na direção i para um deslocamento unitário na direção j) são calculados utilizando-se as equações de equilíbrio no nó C. Assim, das equações de equilíbrio na direção horizontal e vertical da Figura 3.5, da correspondente a d1 = 1 obtém-se, respectivamente, os coeficientes k11 e k21.. Figura 3.5. Forças no nó C para d1 = 1 e d2 = 1..

(44) Capítulo 3. A evolução do Método dos Deslocamentos. 37. Para o estado auxiliar 1, Figura 3.5a.. ⎧ ⎪ EA ⎪ k11 = 2 , 061 ⎪ ⎪ ⎪ L ; ⎨ ⎪ EA ⎪ , k = − 0 354 ⎪ 21 ⎪ L ⎪ ⎩. (3.22). Para o estado auxiliar 2, Figura 3.5b.. ⎧ ⎪ EA ⎪ k12 = −0, 354 ⎪ ⎪ ⎪ L ; ⎨ ⎪ E A ⎪ k 22 = 1, 061 ⎪ ⎪ L ⎪ ⎩. (3.23). O estado auxiliar 0, fornece:. ⎧ ⎪ ⎪ f1 = P ; ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ f2 = 0. (3.24). A superposição de efeitos, que deve garantir o equilíbrio das forças resistentes e aplicadas, pode agora ser escrita como: ⎤⎪ ⎧d ⎪ ⎫ ⎪ ⎫ ⎡k ⎧f ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ 11 k12 ⎥ ⎪ 1⎪ ⎬= ⎨ 1 ⎬; ⎢ ⎥⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢⎣ k 21 k 22 ⎥⎦ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩d2 ⎪ ⎭ ⎪ ⎩ f2 ⎪ ⎭. (3.25). ou com os valores da estrutura sendo analisada: ⎫ ⎪ ⎧ ⎫ ⎪ E A ⎡⎢ 2 , 061 −0, 354 ⎤⎥ ⎧ ⎪d1 ⎪ ⎪ = ⎪ P⎪ ⎨ ⎬ ⎨ ⎪ ⎬; ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ 1, 061⎥⎦ ⎪ L ⎣⎢−0, 354 ⎪ ⎩0 ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎩d2 ⎪ ⎭ ⎪. ⎫ P L⎪ ⎧ ⎧0, 515⎪ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪d1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 , 171 d E A ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎪⎩ 2 ⎪ ⎪ ⎭. (3.26). A expressão (3.26) é idêntica à expressão (3.11), como não poderia deixar de ser. Desse modo, as respostas das estruturas obtidas pelo método básico dadas pelas expressões de (3.12) a (3.16) serão as mesmas.. 3.3 Método da análise matricial 3.3.1 Formulação da análise matricial A análise matricial de estruturas reticuladas sistematizou as operações matemáticas da análise de estruturas fazendo uso da álgebra matricial que opera com vetores e matrizes. Ela introduziu diversos conceitos novos na análise de estruturas. Toda a sistematização se baseia na ideia de sistema local e sistema global de coordenadas..