Matemática. Capítulo: Semelhança em Geometria. Teorema de Pitágoras. Antonio Abrantes. 9ª série

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Matemática

9ª série

Capítulo: Semelhança em

Geometria. Teorema de

Pitágoras

Antonio Abrantes

2020

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Matemática 9º ano 2

Apresentação

Este é um trabalho com alguns temas em matemática que constam

da base currricular do Colégio Pedro II para o 9º ano. A ideia do

trabalho é oferecer um suporte adicional para os alunos poderem

manter seus estudos em matemática durante a pandemia.

O material é apresentado online na plataforma Google Meet duas

vezes por semana (https://meet.google.com/qmx-npai-mjp). Uma

apresentação resumida (não a versão online mas uma versão

offline) fica guardada no youtube

(

https://www.youtube.com/playlist?list=PLaw9P95vuAiOxF2jBH3

QvqbfGOwWGLlfT

). Os alunos dispoe também de um aplicativo

chamado QuizMath (ios, Android) onde podem realizar testes.

A preparação das aulas é feita

com base em livros didáticos do

nono ano e vídeos do youtube em

espacial os canais:

Aula Paraná:

https://www.youtube.com/watch?v=q7DBB

m6jYkU&list=PLnGI1S4-A8rseNIFHodv1TOhCU9qcojp6

Portal da Matemática OBMEP

https://www.youtube.com/watch?v=C0lKIg wc5nw&list=PL7RjLI0hJPfAx3HzRmhspfmH kN9LOZ7Up

Toda a Matemática

https://www.youtube.com/c/GustavoViegas curso/playlists

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Aula 11 – Teorema de

Pitágoras

Teorema de Pitágoras

Um triângulo retângulo possui ângulo reto de 90 graus, dois catetos e uma hipotenusa. Segundo o teorema de Pitágoras o quadrado da hipotenusa é a soma do quadrado dos catetos

Prova: O quadrado abaixo tem lado b+c. No primeiro a área que resta é a2_{no segundo é b}2

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Matemática 9º ano 4 Calcule x: X2_{+ 12}2_{= 15}2 _{logo x}2_{= 225 – 144 = 81 logo x =9} Calcule x: 7 + x2_{= (x+1)}2 7 + x2_{= x}2_{+ 2x + 1} 7 = 2x + 1 2x = 6 X=3 Calcule x, y 122_{+ 9}2_{= x}2_{logo x}2_{= 144 + 81 = 225 logo x = 15}

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Triângulos pitagóricos

O mais famoso é o triângulo 3 4 5 e seus múltiplos

Aplicações do teorema de Pitágoras

Diagonal de um quadrado

Podemos dividir o quadrado em dois triângulos retângulos Diagonal2_{= x}2_{+ x}2_{= 2x}2_logo

Diagonal = x . raiz2

Mostre que se ABCD é um quadrado, a área do quadrado EFGH é igual a (a – b)2

AH = DG = FC = BE = a HD = GC = FB = AE = b

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AD2_{= AH}2_{+ HD}2

AD2_{= a}2_{+ b}2

Área do quadrado externo = AD2

Área dos triângulos = ab/2 logo os 4 triângulos tem área 2ab

A área EFGH será a área do quadrado externo menos a área dos triângulos AD2_{– 2ab}

A2_{+ b}2_{– 2ab = (a – b)}2

Altura de um triângulo equilátero

H2_{= (x/2)}2_{+ x}2_{= x}2_{/4 + x}2_{= 3x}2_/4

H = x (raiz3)/2

Calcule a medida da altura de um triângulo equilátero de 18cm de perímetro Solução: perímetro = 18 logo 3x=18 lado=6 porque é equilátero

Altura = lado. (raiz3)/2 = 3 raiz3

Calcule o lado de um triângulo equilátero cuja altura mede 6raiz3 Altura = lado. (raiz3)/2 = 6raiz3

Logo lado = 12

Questões de concurso

[UPF/RS] Para que o triângulo ABC da figura seja retângulo em B, o lado BC deve medir aproximadamente: a) 10cm b) 20cm c) 26,45cm d) 28,28cm e) 50cm 302_{+ x}2_{= 40}2_{logo x}2_{= 1600 – 900 = 700 logo x = 26,45 cm}

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[UEL-PR] As medidas dos três lados de um triângulo retângulo são expressas por (x-2), x e (x+2) quanto vale a hipotenusa ?

a) 5 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14

Resposta: (x-2)2_{+ x}2_{= (x+2)}2_{pois a hipotenusa é o maior lado}

X2_{-4x + 4 + x}2_{= x}2_{+4x + 4 logo}

X2_{= 8x logo x=8 a hipotenusa será x+2= 10 letra (c)}

Conectando com a história

O teorema de Pitágoras leva o nome do matemático grego Pitágoras (570

a.C. – 495 a.C.), que tradicionalmente é creditado pela sua descoberta e

demonstração,[2][3] embora seja frequentemente argumentado que o

conhecimento do teorema seja anterior a ele (há muitas evidências de que

matemáticos babilônicos conheciam algoritmos para calcular os lados em

casos específicos, mas não se sabe se conheciam um algoritmo tão geral

quanto o teorema de Pitágoras).

Uma outra prova do teorema é feita por semlehança de triângulos

ACH, é semelhante ao triângulo ABC, pois ambos tem um ângulo reto, e eles

compartilham o ângulo em A, significando que o terceiro ângulo é o mesmo

em ambos os triângulos também,[14] marcado como θ na figura.

Seguindo-se um raciocínio parecido, percebe-Seguindo-se que o triângulo CBH também é

semelhante à ABC. A semelhança dos triângulos leva à igualdade das razões

dos lados correspondentes:

a/c = e/a

logo a

2

_{= ce}

b/c = b/d

logo b

2

_{= cd}

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Questões (Aula 11):

1) Calcule x

2) As diagonais de um losango medem 12cm e 16cm, qual o lado desse losango ?

3) Em um triângulo retângulo a hipotenusa mede 3 raiz5 e as medidas dos catetos são expressas por x e x+3. Calcule o valor de x

4) Calcule a área do triângulo ABC na figura onde cada circunferência mede 1,5cm de raio

5) Uma escada de 2,5m de comprimento estava apoiada em um muro, do qual o pé da escada distava 70 cm. O pé afastou-se 80 cm de onde se encontrava. Quantos cm a parte superior da escada se deslocou para baixo ?

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6) Calcule y

7) Em um trapézio retângulo ABCD, a altura AD mede 6cm, a base menor DC mede 3,5m e a diagonal maior BD mede 10cm. Quanto mede o perímetro ?

8) Calcule a altura da pilha sendo todas as latas circulares iguais de raio 4,5cm

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Matemática 9º ano 12 Respostas Aula 11 1) Resposta X2_{+ (x+2)}2_{= (x+4)}2 X2_{+ x}2_{+ 4x + 4 = x}2_{+ 8x + 16} X2_{-8x – 12 = 0} Delta = 64 -4.1(-12) = 64 + 48 = 112 = 2.56 = 2.8.7 = 2.2.2.2.7

X = (8 ± 4raiz7)/2 = 4 + 2raiz7 porque o valor negativo não faz sentido geometricamente 2) As diagonais de um losango medem 12cm e 16cm, qual o lado desse losango ?

X2_{= 8}2_{+ 6}2_{= 64 + 36 = 10 logo x=10}

3) Em um triângulo retângulo a hipotenusa mede 3 raiz5 e as medidas dos catetos são expressas por x e x+3. Calcule o valor de x

X2_{+ (x+3)}2_{= (3 raiz5)}2

X2_{+ x}2_{+ 6x + 9 = 9.5}

2x2_{+ 6x + 9 – 45 = 0}

2x2_{+ 6x -36 =0}

Delta = 36 – 4.2.(-36) = 36 + 288 = 324

X = (-6 ± 18)/4 logo x = 3 porque o x negativo não faz sentido geometricamente

4) Calcule a área do triângulo ABC na figura onde cada circunferência mede 1,5cm de raio

Triângulo tem lado 2x = 3 a altura será altura = lado. (raiz3)/2 = 3(raiz3)/2 Área = 2x . altura /2 = 3.altura/2 = 9.(raiz3)/4

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5) Uma escada de 2,5m de comprimento estava apoiada em um muro, do qual o pé da escada distava 70 cm. O pé afastou-se 80 cm de onde se encontrava. Quantos cm a parte superior da escada se deslocou para baixo ?

Com a escada na posição de 70 cm temos

H12_{+ 70}2_{= 250}2_{logo h1}2_{= 62500 – 4900 = 57600 logo h1 = 240}

Com a escada na posição de 70 cm + 80 cm temos

H22_{+ 150}2_{= 250}2_{logo h2}2_{= 62500 – 22500 = 40000 logo h2 = 200}

A diferença de altura será 240 – 200 = 40cm 6) Calcule y

Triângulo abóbora: 22_{+ x}2_{= 3}2_{logo x}2_{= 9 – 4 = 5 e então x = raiz5}

No triângulo mais externo: y2_{= (6+2)}2_{+ x}2_{logo y}2_{= 64 + 5 = 69 entao y = raiz 69}

7) Em um trapézio retângulo ABCD, a altura AD mede 6cm, a base menor DC mede 3,5m e a diagonal maior BD mede 10cm. Quanto mede o perímetro ?

AB2_{+ 6}2_{= 10}2_{logo AB}2_{= 100 – 36 = 64 então AB = 8}

No triangulo que tem CDB como hipotenusa:

62_{+ (8 - 3,5)}2_{= CB}2_{logo CB}2_{= 36 + 20,25 = 56,25 então CB = 7,5}

Perímetro = 3,5 + 6 + 8 + 7,5 = 25 cm

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Podemos imaginar um triangulo equilatero mais externo

A altura deste triângulo será altura = 6r . (raiz3)/2 = 3.(4,5)raiz3 = 13,5raiz3 Somando mais um raio na parte superior e inferior a altura total fica 1 + 13,5raiz3 9) Calcule AE

DBC temos 602_{+ 80}2_{= DC}2_{logo DC}2_{= 3600 + 6400 = 10000 então DC= 100}

AEC temos AE2_{+ (28+100)}2_{= (80+80)}2_{logo AE}2_{= 25600 – 16384 = 9216 ou seja AE=96}

10) Calcule AD

BCD temos BD2_{= BC}2 _{+ DC}2_{ou seja, BD}2_{= 576 + 49 = 625 logo BD = 25}