Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 1 DESENVOLVIMENTO DO PENSAMENTO GEOMÉTRICO COM METODOLOGIA PARA O ESTUDO DAS SUPERFÍCIES NO ESPAÇO –
PLANOS, CILINDROS E QUÁDRICAS
Janine Freitas Mota Universidade Estadual de Montes Claros - UNIMONTES Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
janinemota@gmail.com João Bosco Laudares Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
CEFET-MG
jblaudares@terra.com.br
Resumo: Este artigo apresenta uma pesquisa, em desenvolvimento, num Mestrado de
Ensino de Ciências e Matemática, que contempla a temática do estudo das figuras no espaço tridimensional: planos, cilindros e superfícies quádricas. Está sendo elaborada uma seqüência didática de atividades de forma a explorar a habilidade de visualização, utilizando as mídias “lápis e papel” e o software Winplot, para o desenvolvimento do pensamento geométrico. As atividades produzidas contemplam estratégias para, inicialmente, o traçado de planos. Em seguida, serão traçados gráficos dos cilindros quádricos e não quádricos e das superfícies quádricas, por meio de intersecções (cortes) com planos e as superfícies em estudo. Neste artigo, é apresentada uma atividade de traçado de planos e é mostrada a metodologia para o traçado do esboço dos cilindros e das quádricas.
Palavras-chave: Seqüência didática; Planos; Cilindros; Quádricas.
INTRODUÇÃO
Considerando que “dar aulas é diferente de ensinar. Ensinar é dar condições para que o aluno construa seu próprio conhecimento”, conforme menciona Lorenzato (2006, p.3), é indispensável repensarmos nossa prática docente e procurarmos estratégias de ensino que possam oferecer aos estudantes condições suficientes para que este aprenda e vença a dificuldade de aprendizagem do conteúdo proposto.
Trabalhando com a disciplina Geometria Analítica, nos cursos de Licenciatura em Matemática, percebemos as dificuldades dos alunos na visualização geométrica de figuras no espaço tridimensional. Nossa experiência, também nos permite observar que
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 2 as dificuldades dos alunos nos tópicos de geometria perpassam toda a educação básica, chegando ao ensino superior.
Esta deficiência, em nossos cursos básicos, é evidenciada por vários pesquisadores em Educação Matemática, tais como: Lorenzato (1995), Dante (1988), Perez (1991), Pavanelo (1993), que discutem o problema da falta de aprendizagem da geometria e suas possíveis causas.
Essa defasagem gera dificuldades na aprendizagem de disciplinas como Geometria Analítica, além de dificuldades em tópicos relacionados com geometria, como é o caso de algumas aplicações do Cálculo Diferencial e Integral, da Álgebra Linear, dentre outros (Pavanello, 2002). Também Gravina (1996, p.2) registra que “... os alunos chegam à universidade sem terem atingido os níveis mentais da dedução e do rigor. Raciocínio dedutivo, métodos e generalizações - processos característicos e fundamentais da Geometria”.
Dessa forma, nossa intenção é sugerir uma proposta metodológica capaz de amenizar as dificuldades do desenvolvimento do pensamento geométrico e visualização de algumas figuras geométricas, pois concordamos com Lorenzato (1995) quando argumenta que a aprendizagem da geometria traz o desenvolvimento de capacidades e habilidades, dentre as quais: a criatividade, a percepção espacial, o raciocínio hipotético-dedutivo.
A nossa proposta compõe-se de uma seqüência didática para o ensino dos tópicos: planos, cilindros e quádricas. Será explorada a visualização e o traçado dessas superfícies, utilizando intersecções das mesmas com planos (cortes) na obtenção de seu esboço, por meio de uma análise da equação das superfícies e dos planos interceptos.
As atividades propostas serão desenvolvidas de forma a articular a mídia “lápis e papel” com ferramentas informatizadas, utilizando o aplicativo Winplot, que é um programa freeware (gratuito), executado no sistema operacional Windows, o qual permite uma dinâmica de rotação e translação de figuras, facilitando a visualização geométrica em espaços tridimensionais com múltiplas representações.
O uso de ferramentas computacionais pode tornar o estudo de conteúdos bem mais produtivo e interessante, de forma a proporcionar verdadeiras e significativas
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 3 aprendizagens matemáticas, garantindo o sucesso da integração: Tecnologia e Educação Matemática, tão bem retratada por (Zuchi, 2009):
“Com a integração das TICEs, novos elementos aparecem, em especial, a necessidade de desenvolver recursos didáticos para a implementação das atividades em sala de aula, onde o trabalho colaborativo entre professores e pesquisadores tem um papel chave. (...) o desenvolvimento de recursos que permitem a integração das tecnologias no ensino da matemática toma, em diferentes países, um espaço considerável na pesquisa em educação matemática.” (Zuchi, 2009, p. 240)
A nossa prática profissional com estudantes da Licenciatura em Matemática e cursos de Engenharias, revelou o quanto é difícil trabalhar o tópico Quádricas nas disciplinas Geometria Analítica ou Cálculo Diferencial e Integral, seja por termos curriculares – pequena carga horária disponível para trabalhar vários tópicos destas disciplinas – seja pela própria dificuldade que os estudantes têm na visualização geométrica no espaço tridimensional.
Segundo Flores (2001) a visualização de figuras bidimensionais e tridimensionais é complexa para muitos alunos que, partindo da expressão algébrica, muitas vezes não conseguem expressar graficamente objetos matemáticos.
OBJETIVOS
O nosso objetivo geral é explorar a visualização e representação dos planos, cilindros e das superfícies quádricas, utilizando intersecções (cortes) de planos com estas superfícies, por meio da análise da equação algébrica dessas figuras.
Utilizaremos uma seqüência didática que possibilite ao estudante desenvolver a habilidade de visualização, por meio de atividades que articulem as mídias “papel e lápis” com ferramentas tecnológicas: software Winplot.
Os objetivos específicos são: verificar em livros textos didáticos de Matemática como ocorre a abordagem metodológica dos conteúdos: planos, cilindros e quádricas; elaborar e testar uma seqüência didática que desenvolva o pensamento visual e geométrico, interligado aos aspectos teóricos da matemática; explorar as intersecções das superfícies no espaço, de forma que o estudante possa se preparar para o estudo do
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 4 Cálculo, especialmente, os tópicos relacionados às funções de várias variáveis e a determinação dos limites na montagem de integrais duplas e triplas.
MÉTODO DE PESQUISA
O método que será utilizado será a elaboração, aplicação e avaliação de uma seqüência didática de atividades, além da realização de entrevistas com alunos para analisar a estrutura, elaboração e aplicação das atividades propostas.
A SEQÜÊNCIA DIDÁTICA
As seqüências didáticas se apresentam como uma maneira de encadear e articular as diferentes atividades ao longo de uma unidade didática, de forma que se possa analisar as atividades realizadas e as possíveis intervenções para a execução dessas, Zabala (1998).
A realização da seqüência didática possibilita ao estudante construir um conhecimento significativo, ao tempo que desencadeia as indagações, refutações, comparações e analogias, integrando as informações obtidas e descobertas.
As seqüências didáticas estão presentes em trabalhos da Engenharia Didática. Segundo Artigue (1996) a Engenharia Didática é vista como metodologia de pesquisa, se caracteriza, em primeiro lugar, por ser um esquema experimental baseado em realizações didáticas em classe, isto é, sobre a concepção, a realização, a observação e a análise de seqüências de ensino.
ELABORAÇÃO DA SEQÜÊNCIA DIDÁTICA
Buscamos o desenvolvimento de uma seqüência didática que seja incorporada à metodologia, de forma a trazer condições aos estudantes de se tornarem ativos e protagonistas do processo de ensino e aprendizagem.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 5 Assim, na construção da seqüência de atividades, nos preocupamos em reconhecer a validade das mesmas, como seqüência didática, procurando, segundo Zabala (1998) verificar se a mesma:
permite determinar os conhecimentos prévios que cada aluno tem em relação aos novos conteúdos de aprendizagem, propondo-os de forma que sejam significativos e funcionais, provocando um conflito cognitivo no estabelecimento de relações entre os novos conteúdos e os conhecimentos prévios;
propõe atividades que são adequadas ao nível de desenvolvimento de cada aluno, representando um desafio alcançável pelo mesmo;
promova uma atitude favorável, motivadora em relação à aprendizagem dos novos conteúdos;
ajude o aluno a adquirir habilidades relacionadas com o aprender a aprender, que lhe permitam ser cada vez mais autônomos em suas aprendizagens.
A seqüência didática será composta por atividades de investigação, exploração, visualização e construção de significados com base nas superfícies no espaço. Será aplicada a estudantes dos cursos de Matemática e Engenharia. Tais atividades utilizarão como mídias: “o lápis e o papel” e o software Winplot, contemplando os seguintes tópicos: 1)Planos. 2)Cilindros (quádricos e não quádricos). 3)Elipsóide / Esferóide / Esfera. 4)Parabolóide elíptico. 5)Hiperbolóide de uma folha / Hiperbolóide de duas folhas. 6)Cone quádrico. 7)Parabolóide hiperbólico (sela).
A seguir, apresentamos parte da primeira atividade da nossa pesquisa, cuja temática é o estudo dos planos:
ATIVIDADE 1: PLANOS
Os objetivos da atividade proposta são: analisar a constituição e os parâmetros da equação geral do plano; analisar a variação desses parâmetros; traçar gráficos (manualmente e computacionalmente); utilizar o aplicativo Winplot e trabalhar com famílias de planos.
Os tópicos abordados na atividade são: equações geral e reduzida de planos; traçado dos planos e de figuras tridimensionais compostas por planos.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 6 Inicialmente, trabalhamos com uma seqüência de atividades para facilitar o trabalho no espaço tridimensional e identificação de octantes. Em seguida propomos outra seqüência para exploração da equação do plano e os diversos esboços. No desenvolvimento das atividades, partimos da representação do plano para o tridimensional.
O aluno deverá esboçar os gráficos no papel e fazer plotagem desses no aplicativo Winplot e será levado a fazer conjecturas e buscar comprovações das mesmas.
Atividade
1. Equação Geral do Plano / Representação Gráfica
1.1. Identifique as variáveis da equação. 1.2. Identifique os parâmetros da equação.
1.3. Quais as características gerais que podemos descrever para essa equação? 1.4. Se o parâmetro d for nulo (d=0), que tipo de equação teremos?
1.5. Das equações abaixo, selecione aquelas que podem ser equações de planos: 0 10 4 5 2 1 ) )( 0 5 3 2 5 ) )( z y x b z y x a 0 2 2 3 ) )( 0 3 4 7 ) )( z y d z xy c 2 10 3 2 4 ) )( 0 10 10 7 ) )( 2 y z x f z y x e
2. Variação dos parâmetros
2.1 Considere a equação x y 2 0
a) Como será a representação gráfica desta equação considerando o 2 (plano xy)? Faça o esboço do gráfico.
b) Esta equação é uma equação de plano, dê os valores dos parâmetros.
c) Vamos descobrir como se dá a representação gráfica no 3. Siga os passos: c.1) Complete a equação introduzindo a variável z.
c.2) Dê as coordenadas das intersecções da reta com os eixos x e y no sistema tridimensional.
Todo plano é representado por uma equação do tipo: ax by cz d 0 com a, b, c e d reais
A equação reduzida é obtida através da equação geral, quando algum dos parâmetros é anulado.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 7 c.3) Esboce o gráfico usando os interceptos do plano com os eixos coordenados.
d) Quanto ao esboço do gráfico, responda:
d.1) Quais são as coordenadas que apresentam valores fixos nos eixos? d.2) Qual(is) a(s) variável(is) livre(s)?
d.3) O plano proposto está contido em quais octantes? d.4) O plano proposto está paralelo a quais eixos? d.5) O plano proposto intercepta quais eixos? e) Plote o gráfico no Winplot.
Use a opção equação plano e informe os parâmetros a, b e c e um ponto pertencente ao plano (k, m, n)
f) Plote também os seguintes planos: 1)x y 3 0 2)x y 5 0 3)x y 10 0
f.1) O que podemos observar sobre as representações gráficas destes planos? f.2) Podemos dizer que os gráficos representam famílias de planos? Por quê? g) Dê a equação geral dos planos que tiverem as mesmas características que esse.
h) Plote os seguintes planos e descreva o que foi observado:
0 5 3 ) 2 0 3 2 ) 1 y x y x
Apresentamos abaixo a plotagem, no aplicativo Winplot, de alguns planos propostos nas atividades:
ATIVIDADE 2: CONSTRUÇÃO GRÁFICA DAS QUÁDRICAS Figura 1: Plano x y 3 0 Figura 2: Plano2y 3z 6 0 Figura 3: Plano2x 3y z 6 0
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 8 A metodologia utilizada explora o pensamento geométrico visual. O esboço da quádrica é elaborado pela intersecção (corte) de planos com mesma, a partir da análise da equação algébrica.
Segue um exemplo da metodologia a ser empregada. Entretanto, as atividades terão formato característico diferente do apresentado.
Exemplo: Seja o parabolóide de revolução z x2 y2
1º. Passo: z k(constante), com k 0. Resulta em circunferências, com centro no eixo z e em planos paralelos ao plano xy.
2º. Passo: x 0 ou y 0. Resulta em parábolas nos planos yz e xz.
3º. Passo: x k(constante), y k(constante), com k 0. Resulta em parábolas em planos paralelos a yz e xz.
Dessa forma, com esses “cortes” (intersecções de planos com a quádrica), o estudante poderá fazer o esboço da mesma.
Teremos, nesse exemplo, o seguinte parabolóide e suas intersecções com os planos:
Na figura 4, visualizamos o parabolóide 2 2 y x
z , interceptado pelo plano 4
z , visto de cima, mostrando, no corte, uma circunferência, com centro no eixo z e
Quádricas são figuras no espaço tridimensional cuja equação em 3 (três) variáveis tem, pelo menos, uma do 2º Grau e as demais do 1º Grau.
Figura3: Parabolóide plotado no aplicativo Winplot com interseção com planoz x2 y2, z 4
Figura 4: Parabolóide plotado no aplicativo Winplot com interseção com plano z x2 y2, z 4
Figura5: Parabolóide plotado no aplicativo Winplot com interseção com planoz x2 y2, x 2
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 9 raio 2 e na figura 5, visualizamos o mesmo parabolóide, interceptado pelo plano x 2, mostrando, no corte, a parábola de equação 2
4 y
z , eixo z.
Assim, as atividades estão sendo desenvolvidas, a partir desta metodologia, com formatação própria, explorando o estudo por meio de questões orientadas aos estudantes.
A análise dos resultados das atividades será de forma qualitativa, através da identificação de categorias que definam o objeto estudado e será realizada após a aplicação das mesmas. Para esta análise, será observada a forma como os estudantes apresentarão suas representações gráficas, como desenvolverão as atividades propostas, quais serão suas reflexões, dúvidas e resultados. As discussões sobre esses resultados serão realizadas posteriormente, uma vez que a pesquisa encontra-se em fase de execução.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Com esta proposta metodológica, pretendemos desafiar a curiosidade do estudante, fazendo com que este tenha motivação para o estudo. Assim, é necessário que ele atue na construção do seu próprio conhecimento, através de uma participação mais ativa na construção e elaboração de atividades. Conforme (Cury, 2007, p.62): “Os professores devem promover a educação participativa. Os alunos devem ser estimulados de todas as maneiras a deixarem de serem espectadores passivos”.
Ao mesmo tempo, pretendemos colaborar com o ensino da geometria, pois assim como retrata (Nacarato, 2004, p.1): “ao nos referirmos a tendências didático-pedagógicas em Geometria estamos entendendo-as como um modo de produzir conhecimentos geométricos na sala de aula e para a sala de aula.” As atividades possibilitarão ao estudante o desenvolvimento do pensamento geométrico no trabalho com planos e quádricas, especialmente no traçado de seus gráficos.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 10 ANDRADE, J. A. A.; NACARATO, A. M. Tendências Didático-Pedagógicas para o Ensino de Geometria. In: 27ª Reunião da Anped, 2004, Caxambu/MG. GT 19 -
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