Nome: ____________________________________ N° USP: ________________ Duração da Prova: 90 min.
Questão 1 (5,0 pontos) – Determine o tamanho da chaveta, paralela com seção
transversal quadrada, necessário para dar um coeficiente de segurança de pelo menos 2,0 contra cisalhamento e esmagamento para o projeto mostrado na figura abaixo. Pressuponha o diâmetro do eixo de 1,75 in, feito de aço com Sut = 108 kpsi e Sy = 62 kpsi. A chaveta também é de aço com Sut = 88 kpsi e Sy = 52 kpsi
Dados:
l = 20 in a = 16 in b = 18 in Tmín = 0 Tmáx = 2000
lb.in
Assumir: Acabamento superficial usinado, confiabilidade de 90% e a operação do eixo será em temperatura ambiente. Utilize múltiplos de 1/8 in na resposta final.
Questão 2 (5,0 pontos) - Um eixo suporte de um cilindro de colheitadeira foi
submetido à análise de tensões para determinar que o diâmetro mínimo requerido com base na resistência é de 40 mm em uma das sedes propostas para o mancal. A partir da análise de forças associadas e de outras especificações de projeto, as seguintes informações são obtidas:
Carga radial do mancal Fr 910lb Carga axial do mancal Fa 620lb
Velocidade do eixo n350rpm
A especificação de vida de projeto é de 10 anos de operação, 50 dias/ano e 20 h/dia Selecione um mancal de rolamento rígido de esferas. Considerar análise individual dos rolamento
Para consulta dos rolamentos
http://www.skf.com/pt/products/bearings-units-housings/ball-bearings/deep-groove-ball-bearings/single-row-deep-groove-ball-bearings/single-row/index.html
Formulário:
1 lb = 4,45 N
1MPa = 0,145038 kpsi (“kilopounds per square inch”) Tensão Efetiva de Von Mises
2 2 ' 3 a a a '
2 2 3 m m m m axial ut m f a f S S N ' ' 1 Fadiga dos Materiaisp/ aços: MPa S MPa S MPa S S S ut e ut ut e 1400 700 1400 5 , 0 ´ ´ ´ sup ´ sup f conf temp erf tamanho carreg f e conf temp erf tamanho carreg e S C C C C C S S C C C C C S Efeito do carregamento Flexão alternada: Ccarreg = 1
Força normal alternada: Ccarreg = 0,7
Torção alternada: Ccarreg = 1
Efeito do tamanho Para peças cilíndricas
6 , 0 10 ) em ( 189 , 1 250 8 ) em ( 869 , 0 10 3 , 0 1 ) 8 ( 3 , 0 097 , 0 097 , 0 tamanho tamanho tamanho tamanho C in d mm d C mm d mm in d C in d in C mm in d 0766 , 0 l w deq p/ chavetas paralelas
* Somente esforço axial Ctamanho = 1
As falhas não são sensíveis ao tamanho Efeito da superfície
b ut erf A S Efeito da temperatura p/ aços: ) 840 ( 0032 , 0 1 1020 840 ) 450 ( 0058 , 0 1 550 450 1 ) 840 ( 450 T C F T F T C C T C C F C T temp temp temp Efeito de confiabilidade Chavetas
Solução da Prova: Questão 1 – Chavetas: 1 Dados do problema 𝑒𝑖𝑥𝑜: 𝑑 = 1,75 𝑖𝑛; 𝑆𝑢𝑡 = 108 𝑘𝑝𝑠𝑖; 𝑆𝑦 = 62 𝑘𝑝𝑠𝑖 𝑐ℎ𝑎𝑣𝑒𝑡𝑎: 𝑆𝑢𝑡 = 88 𝑘𝑝𝑠𝑖; 𝑆𝑦 = 52 𝑘𝑝𝑠𝑖 𝑐ℎ𝑎𝑣𝑒𝑡𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑎 𝑒 𝑑𝑒 𝑠𝑒çã𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑙 = 20 𝑖𝑛; 𝑎 = 16 𝑖𝑛; 𝑏 = 18 𝑖𝑛 𝑇𝑚í𝑛 = 0, 𝑇𝑚á𝑥= 2000 𝑙𝑏. 𝑖𝑛 𝑁𝑓 = 2,0 𝑃 = 1000 𝑙𝑏𝑓 𝑇𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑎𝑚𝑏𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒; 𝐶𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 = 90%; 𝑎𝑐𝑎𝑏𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑢𝑠𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒1 8 𝑛𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 2 Escolha da largura nominal da chaveta
Utiliza-se a tabela abaixo, através do valor do diâmetro:
𝑊 = 0,375 𝑖𝑛 3 Torque do sistema
O torque do eixo é variável e possui um valor mínimo e um valor máximo. Deste modo, podemos calcular o valor da componente média e da componente alternada: 𝑇𝑎𝑛𝑜𝑚 = 𝑇𝑚á𝑥− 𝑇𝑚í𝑛 2 = 2000 − 0 2 = 1000 𝑙𝑏𝑓. 𝑖𝑛 𝑇𝑚𝑛𝑜𝑚 = 𝑇𝑚á𝑥+ 𝑇𝑚í𝑛 2 = 2000 + 0 2 = 1000 𝑙𝑏𝑓. 𝑖𝑛 4 Componentes alternada e média das forças na chaveta
A equação abaixo relaciona o torque atuante com a força na chaveta (localizada na superfície do eixo): 𝑇 = 𝐹 × 𝑟 Portanto, 𝐹𝑎= 𝑇𝑎 𝑟 = 1000 1,75 2 = 1143 𝑙𝑏 𝐹𝑚= 𝑇𝑚 𝑟 = 1000 1,75 2 = 1143 𝑙𝑏
5 Cálculo das tensões de cisalhamento
Com o valor das forças que atuam na chaveta, é possível estabelecer uma relação entre a tensão de cisalhamento e o comprimento da chaveta (nossa variável de interesse). 𝜏𝑎= 𝐹𝑎 𝐴𝑐𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝐹𝑎 𝑊. 𝐿 𝜏𝑚= 𝐹𝑚 𝐴𝑐𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝐹𝑚 𝑊. 𝐿
Portanto, 𝜏𝑎 = 1143 0,375. 𝐿 = 3047,62 𝐿 𝜏𝑚 = 1143 0,375. 𝐿= 3047,62 𝐿 6 Obtendo as tensões efetivas de Von Mises
Para aplicarmos nosso modelo, temos que transformar esforços cisalhantes num equivalente normal. Para isso, utiliza-se o método das tensões efetivas de Von Mises, através das equações abaixo:
𝜎𝑎′ = √𝜎𝑥𝑎2 + 𝜎𝑦𝑎2 − 𝜎𝑥𝑎𝜎𝑦𝑎+ 3𝜏𝑥𝑦𝑎2 = √3𝜏𝑎2 = √3 𝜏𝑎 = 5278,63 𝐿 𝜎𝑚′ = √𝜎 𝑥𝑚2 + 𝜎𝑦𝑚2 − 𝜎𝑥𝑚𝜎𝑦𝑚+ 3𝜏𝑥𝑦𝑚2 = √3𝜏𝑚2 = √3 𝜏𝑚= 5278,63 𝐿 7 Cálculo do limite de fadiga
7.1 Limite de fadiga do corpo de prova
𝑆𝑢𝑡 = 88 𝑘𝑝𝑠𝑖 < 200 𝑘𝑝𝑠𝑖
Para esta condição utiliza-se a seguinte expressão para estimar o limite de fadiga do corpo de prova:
𝑆𝑒′ = 0,5𝑆
𝑢𝑡 = 0,5 × 88 = 44 𝑘𝑝𝑠𝑖
7.2 Coeficientes de correção do limite de fadiga
𝐶𝑐𝑎𝑟𝑟𝑒𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 1, 𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑠𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
𝐶𝑡𝑎𝑚𝑎𝑛ℎ𝑜= 1, 𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑎𝑖𝑛𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛ℎ𝑒𝑐𝑒𝑚𝑜𝑠
𝐶𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 = 1, 𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑠𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑎 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎
Para confiabilidade de 90%:
𝐶𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 = 0,897
Para o coeficiente de superfície: a peça é usinada. Utilizando a tabela abaixo:
O cálculo do coeficiente de superfície é então feito da seguinte forma: 𝐶𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒 = 2,7 × 𝑆𝑢𝑡−0,265= 2,7 × 88−0,265= 0,824
7.3 Calculando o limite de fadiga da peça
𝑆𝑒 = 𝑆𝑒′ × 𝐶𝑐𝑎𝑟𝑟𝐶𝑡𝑎𝑚𝐶𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝐶𝑡𝑒𝑚𝑝𝐶𝑐𝑜𝑛𝑓 = 44 × 0,824 × 0,897 = 32,52 𝑘𝑝𝑠𝑖
8 Aplicação do modelo
Aplicando os valores calculados ao modelo, temos: 𝑁𝑓 = 1 𝜎𝑎′ 𝑆𝑒+ 𝜎𝑚′ 𝑆𝑢𝑡 = 2 → 1 5278,63 𝐿 32521,63 + 5278,63 𝐿 88000 = 1 0,1623 𝐿 + 0,06 𝐿 = 1 0,2224 𝐿 = 2 𝐿 = 0,44 𝑖𝑛
Utilizaremos o múltiplo de 1/8 mais próximo, portanto: 𝐿 = 0,5 𝑖𝑛 (4/8") 9 Validação do comprimento encontrado (L=0,5 in)
Primeiro passo é calcular o Ctam que desconhecíamos inicialmente. Para isso, é
necessário calcular o diâmetro equivalente da chaveta:
𝑑𝑒𝑞 = √𝑊. 𝐿 0,0766 = √0,375 × 0,5 0,0766= 1,5645 𝑖𝑛 Então: 𝐶𝑡𝑎𝑚= 0,869 × 𝑑𝑒𝑞−0,097 = 0,869 × 1,5645−0,097= 0,8321
Aplicando ao limite de fadiga:
𝑆𝑒 = 32,52 × 0,8321 = 27,06 𝑘𝑝𝑠𝑖 Aplicando ao modelo: 𝑁𝑓 = 1 𝜎𝑎′ 𝑆𝑒 + 𝜎𝑚′ 𝑆𝑢𝑡 → 1 5278,63 0,5 27060 + 5278,63 0,5 88000 = 1,96 < 2,00 (𝑎𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜 𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎çã𝑜)
Devemos, pois, aumentar o comprimento para o próximo múltiplo de 1/8: 𝐿 = 0,625 𝑖𝑛 (5/8")
10 Validação do comprimento encontrado (L=0,625 in)
Primeiro passo é calcular o Ctam que desconhecíamos inicialmente. Para isso, é
necessário calcular o diâmetro equivalente da chaveta:
𝑑𝑒𝑞 = √𝑊. 𝐿 0,0766 = √0,375 × 0,625 0,0766= 1,7492 𝑖𝑛 Então: 𝐶𝑡𝑎𝑚= 0,869 × 𝑑𝑒𝑞−0,097 = 0,869 × 1,7492−0,097= 0,8231
Aplicando ao limite de fadiga: 𝑆𝑒 = 32,52 × 0,8231 = 26,77 𝑘𝑝𝑠𝑖 Aplicando ao modelo: 𝑁𝑓 = 1 𝜎𝑎′ 𝑆𝑒 + 𝜎𝑚′ 𝑆𝑢𝑡 → 1 5278,63 0,625 26770 + 5278,63 0,625 88000 = 2,43 > 2,00 (𝑎𝑐𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎çã𝑜)
Logo, com relação à avaliação de cisalhamento, o comprimento da chaveta é: 𝐿 = 0,625 𝑖𝑛 (5/8")
11 Analisando o esmagamento
A área do esmagamento é definida por: 𝐴𝑒𝑠𝑚 = 1 2 ℎ. 𝐿 → 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑎 𝑠𝑒çã𝑜 é 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎 → 𝐴𝑒𝑠𝑚 = 1 2𝑊. 𝐿 Assim, 𝐴𝑒𝑠𝑚 =1 2× 0,375 × 0,625 = 0,1172 𝑖𝑛 2
A força máxima atuante na chaveta é:
𝐹𝑚á𝑥 = 𝐹𝑎+ 𝐹𝑚= 1143 + 1143 = 2286 𝑙𝑏 Portanto a tensão normal máxima atuante é:
𝜎𝑚á𝑥 = 𝐹𝑚á𝑥 𝐴𝑒𝑠𝑚 =
2286
0,1172 = 19507 𝑝𝑠𝑖 Finalmente, o coeficiente de segurança é:
𝑁𝑠 =
𝑆𝑦 𝜎𝑒𝑠𝑚
=52000
19507= 2,67 > 2,00 (𝑎𝑐𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎çã𝑜)
A chaveta escolhida para este projeto é, portanto:
Questão 2 – Rolamentos: 12 Dados do problema 𝑑𝑒𝑖𝑥𝑜 = 40𝑚𝑚 𝐹𝑟 = 910 𝑙𝑏; 𝐹𝑎 = 620 𝑙𝑏 𝑛 = 350 𝑟𝑝𝑚 10 𝑎𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎çã𝑜; 50𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑎𝑛𝑜 ; 20 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑎 13 Cálculo da vida útil requerida
A vida útil é dada pela expressão abaixo: 𝑣𝑖𝑑𝑎 ú𝑡𝑖𝑙 = 10 𝑎𝑛𝑜𝑠 × 50𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑎𝑛𝑜 × 20 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑎 = 10000ℎ E, em ciclos: 𝐿ℎ = 𝐿 × 10 6 60𝑛 → 𝐿 = 𝐿ℎ× 60𝑛 106 = 10000 × 60 × 350 106 = 210 𝐿10 = 210 × 106𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠
14 Escolhendo o rolamento inicial
Para escolher o rolamento, é necessário aplicar o valor de L encontrado na etapa anterior na equação abaixo:
𝐿 = (𝐶 𝐹𝑟) 3 → ( 𝐶 910) 3 = 210 → ( 𝐶 910) = 5,9 𝐶 = 5723 𝑙𝑏 × 4,448𝑁 𝑙𝑏 = 25467,35 𝑁
Utilizando o catálogo de rolamentos anexo no fim da resolução, o rolamento inicial é (utilizam-se os rolamentos simples apenas, como 6008, 6108, 6208, 6308, etc):
15 Verificação do rolamento 15.1 Rotação máxima:
350 𝑟𝑝𝑚 < 11000 𝑟𝑝𝑚 (𝑎𝑝𝑟𝑜𝑣𝑎𝑑𝑜!) 15.2 Carga estática:
𝑃𝑜= 0,6 𝐹𝑟+ 0,5 𝐹𝑎 = 0,6 × 910 + 0,5 × 620 = 856 𝑙𝑏 Como Po é menor que Fr:
𝑃𝑜 = 𝐹𝑟 = 910 𝑙𝑏 𝑜𝑢 4050 𝑁
Comparando Po com Co:
4050 𝑁 < 19000 𝑁 (𝑎𝑝𝑟𝑜𝑣𝑎𝑑𝑜!) 15.3 Carga dinâmica:
A análise da carga dinâmica requer alguns passos a mais do que o que é feito para carga estática, cuja comparação é feita diretamente. O primeiro passo é calcular o ecalc.
𝑒𝑐𝑎𝑙𝑐 = 𝐹𝑎 𝑉. 𝐹𝑟 =
620
1 × 910= 0,68 E então obter etab:
𝐹𝑎 𝐶𝑜 = 620 × 4,448 19000 = 0,145 → 𝑒𝑡𝑎𝑏= 0,27 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑒𝑡𝑎𝑏< 𝑒𝑐𝑎𝑙𝑐, 𝑛ã𝑜 𝑠𝑒 𝑝𝑜𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑟𝑒𝑧𝑎𝑟 𝐹𝑎 Portanto, 𝑋 = 0,56; 𝑌 = 1,6; 𝑉 = 1 𝑃 = 𝑋. 𝑉. 𝐹𝑟+ 𝑌. 𝐹𝑎 𝑃 = 0,56 × 1 × 910 + 1,6 × 620 = 1501,6 𝑙𝑏 𝑜𝑢 6682,12 𝑁 15.4 Recalculando a vida do rolamento
𝐿 = (𝐶 𝑃) 3 = ( 32500 6682,12) 3 = 115,055 × 106𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠 < 210 × 106𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠 (𝑟𝑒𝑝𝑟𝑜𝑣𝑎𝑑𝑜!)
Avançamos, então, para o rolamento 6308 16 Calculando a vida para 6308
𝐿 = (𝐶 𝑃) 3 = ( 42300 6682,12) 3 = 253,675 × 106𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠 > 210 × 106𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠 (𝑎𝑝𝑟𝑜𝑣𝑎𝑑𝑜!)