Uma Aplicação de Modelagem em Espaço de Estado para o Cálculo de Curvas de Juros Estáveis 17/04/2013

(1)

Uma Aplicação de Modelagem em

Espaço de Estado para o Cálculo

de Curvas de Juros Estáveis

17/04/2013

Equipe: Luciano Vereda Oliveira (UFF), Adrian Heringer Pizzinga (UFF) e Leonardo Henrique Costa (UNIFAL).

(2)

Tópicos

• Tópicos a serem enfocados:

1) Alguns conceitos básicos: avaliação de fluxos futuros, definição de ETTJ, verificação da “saúde” de uma empresa. 2) Representação estilizada do problema.

3) Estimação da curva de juros.

4) Versão dinâmica do modelo de Svensson. 5) Breve revisão do filtro de Kalman.

6) Intervalos de confiança. 7) Curvas estáveis.

(3)

Tópicos

1) Alguns conceitos básicos: avaliação de fluxos futuros, definição de ETTJ, verificação da “saúde” de uma empresa.

2) Representação estilizada do problema. 3) Estimação da curva de juros.

(4)

Avaliação de Fluxos Futuros

• Qual o preço VP_t que um indivíduo estaria disposto a pagar

por um ativo que promete pagar 1000 reais τ períodos à frente? Suponha que esse pagamento é líquido e certo, ou seja, que não há risco de default.

t t + τ R$ 1000 VP_t

(

,

)

1000

1

t t

VP

R

_τ τ

=

+

(5)

Avaliação de Fluxos Futuros (2)

• Qual o valor VP_t que um indivíduo precisa guardar para

garantir o pagamento de uma dívida de 1000 reais a vencer τ períodos à frente? Suponha que esse desembolso também é líquido e certo. VP_t t

(

,

)

1000

1

t t

VP

R

_τ τ

=

+

t + τ R$ 1000

(6)

Curva de Juros: Definição

• Onde coletar as taxas R_τ,t necessárias para fazer as

avaliações?

• A fonte é a estrutura a termo das taxas de juros (ETTJ), ou curva de juros.

• Define-se, portanto, a ETTJ com base em sua principal função, que é mostrar a relação existente entre as taxas de juros utilizadas para descontar pagamentos e recebimentos futuros livres de risco e os prazos nos quais esses fluxos ocorrem.

• Sob uma perspectiva econômica, a ETTJ é um indicador do valor puro do dinheiro no tempo.

(7)

Curva de Juros: Definição (2)

• Graficamente, a ETTJ é um mapa que informa as taxas de juros anuais correspondentes aos mais diversos prazos.

τ₂ τ₁ Prazo Taxa (% ao ano) 2,t R_τ 1,t R_τ

(8)

Avaliação de Fluxos Futuros (3)

• Generalização: o valor em t de uma corrente de fluxos

certos a serem recebidos nos instantes

t, t + 1, t + 2,... é dado por:

{

X X

t

,

t+1

, ,

…

X

t+τ

}

X_t+1 X_t+2 X_t+τ-1 X_t+τ t+τ A probabilidade do fluxo não ocorrer da

maneira prevista é zero! X_t ... t+2 t+τ-1 t t+1

(

)

0 , 1 t j t j j j t X VP R τ + = = +

∑

(9)

Avaliação de Empresas

▪ Empresa enquanto entidade que possui receitas a auferir e despesas a pagar.

▪ Sob o ponto de vista do período corrente, toda empresa tem uma programação de receitas (ou recebimentos) e despesas (ou pagamentos) que se distribuem ao longo do tempo.

▪ Como verificar a “saúde” de uma empresa?

(10)

Avaliação de Empresas (2)

▪ Solvência: diz-se que uma empresa está solvente se o seu ativo é maior do que o seu passivo, ou seja, se ela consegue cumprir os seus compromissos presentes e futuros com os recursos que constituem o seu patrimônio ou o seu ativo.

▪ Condição suficiente de solvência: o somatório dos valores presentes descontados dos recebimentos deve ser maior do que o somatório dos valores presentes descontados dos pagamentos.

(11)

Avaliação de Empresas (3)

X_t+τ X_t+1 X_t+2 X_t+τ-1 X_t ...

(

)

0 , 1 t j t j j j t X A R τ + = = +

∑

t+τ-1 t+τ t t+1 _t+2

(

)

0 , 1 t j t j j j t Y P R τ + = = +

∑

X_t X_t+1 X_t+2 X_t+τ t+1 t+2 t+τ-1 t+τ ... t X_t+τ-1 t t A ≥ P Solvência

(12)

Avaliação de Empresas (4)

▪ O que ocorre se P_t > A_t?

▪ Essa é uma situação que pode levar à falência!

▪ Em mercados estratégicos regulados pelo governo, exige-se que a empresa aumente o “colchão” de recursos disponíveis. ▪ Esse é precisamente o caso do mercado segurador.

▪ O órgão regulador (Superintendência de Seguros Privados: SUSEP) exige que a seguradora aumente as suas reservas

(o que é uma forma de aumentar A_t) a fim de restabelecer a

condição de solvência.

▪ Ver principalmente a Circular SUSEP no _{410, de 22 de}

dezembro de 2010, que define os procedimentos necessários para executar o teste de adequação de passivos (TAP).

(13)

Tópicos

1) Alguns conceitos básicos: avaliação de fluxos futuros, definição de ETTJ, verificação da “saúde” de uma empresa.

2) Representação estilizada do problema.

(14)

Representação do Problema

▪ Ver planilha “Exemplo para a palestra.xls”.

▪ “Moral da história”: as reservas oscilam consideravelmente à medida que a ETTJ utilizada para descontar os fluxos se movimenta.

▪ Solução: utilização de uma curva de juros “estável”, definida como aquela que estipula uma probabilidade mínima para as reservas existentes em t permanecerem estáveis em t + x.

26/12/2008 24/06/2009 30/12/2009 30/06/2010 29/12/2010 29/06/2011 28/12/2011 27/06/2012

ATIVO 400538 591218 460685 419390 406567 383593 583065 923151

PASSIVO 403453 606141 423359 455410 453521 414759 733904 1403669

A-P -2915 -14922 37325 -36020 -46954 -31167 -150839 -480518

(15)

Representação do Problema (2)

▪ O que fazer para reduzir essa variabilidade?

▪ Solução: utilização de uma curva de juros “estável”, definida como aquela que “amarra” uma probabilidade mínima para as reservas existentes em t permanecerem estáveis em t + x.

▪ Como as reservas exigidas pelo TAP tendem a aumentar à medida que as taxas de juros diminuem, a curva de juros “estável” reflete uma fronteira inferior cujo rompimento ocorre com uma probabilidade pequena.

A taxa de juros relativa a algum prazo fica abaixo da taxa de juros correspondente

(16)

Representação do Problema (3)

▪ Quais são os elementos necessários para resolver o problema?

1) Estimar a ETTJ vigente a cada t.

2) Calcular intervalos de confiança para taxas de juros “individuais”. Com base nesses intervalos é possível dizer que...

(cont...)

(

inf sup

)

,t ,t

,

,t

1

(17)

Representação do Problema (4)

(cont...)

3) Calcular intervalos de confiança “conjuntos” para as taxas de juros. Com base nesses intervalos é possível dizer que...

4) Fazer previsões para o comportamento da ETTJ, dado que o seu estado futuro determina as reservas a constituir (cujos valores desejamos estabilizar).

(

) (

)

(

)

(

1 1 2 2

)

inf inf inf

,t ,t ,t ,t _N ,t _N ,t

(18)

Tópicos

3) Estimação da curva de juros.

(19)

Estimação da ETTJ

• É necessário estimar a ETTJ!

→ A ETTJ não é diretamente observável, ela precisa ser estimada a partir das cotações de mercado de títulos de renda fixa ou instrumentos financeiros derivativos.

→ Esses dados são ruidosos e estão disponíveis apenas para um número finito de vencimentos.

→ Output desejável: estimativa “pontual” da ETTJ

“verdadeira” + representação da incerteza em torno dessa estimativa, explicitada sob a forma de um intervalo de confiança.

(20)

Estimação da ETTJ (2)

Cross-section Time series Taxas Pré-fixadas 0 5 10 15 20 25 02 /02/ 05 02 /05/ 05 02 /08/ 05 02 /11/ 05 02 /02/ 06 02 /05/ 06 02 /08/ 06 02 /11/ 06 02 /02/ 07 02 /05/ 07 02 /08/ 07 02 /11/ 07 02 /02/ 08 02 /05/ 08 02 /08/ 08 02 /11/ 08 02 /02/ 09 02 /05/ 09 02 /08/ 09 02 /11/ 09 02 /02/ 10 02 /05/ 10 02 /08/ 10 02 /11/ 10 02 /02/ 11 02 /05/ 11 Modelos Paramétricos Splines _{Modelos de} Equilíbrio Modelos “Exponenciais”

Fonte: “Zero-coupon Yield Curves: Technical Documentation”, Working Paper no _{25, Bank of International Settlements, 2005.}

(21)

Estimação da ETTJ (3)

• Modelos Paramétricos: Idéia Básica

1) Especificar uma única função válida para todo o domínio de maturidades k; 1 2 3 4 1 1 1 ˆ k k k k k k e e e r e e k k k λ λ λ λ λ

β β

β

λ

− − − − ⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞ − = + _⎜ _⎟ + _⎜ − _⎟ + _⎜ − _⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ _⎝ _⎠ 0

, ,

1 2

, , ,

3

β β β β λ λ

(22)

Estimação da ETTJ (4)

• Modelos Paramétricos: Idéia Básica (cont.)

2) Determinar os parâmetros minimizando os desvios entre taxas observadas e ajustadas pelo modelo (válido também para preços de mercado).

{ 1, 2, , }

(

ˆ

)

min

n k k k K

d r

r

α α α ∈

−

∑

…

ˆ

_k

Svensson

⇒

r

Taxa teórica correspondente Taxa observada

k K

∈ ⇒

Conjunto de prazos utilizado na estimação

P

(23)

Estimação da ETTJ (5)

(

1 2

)

ˆ_k , , , , _n r = f k α α … α f 5.0% 5.5% 6.0% 6.5% 7.0% 7.5% 8.0% 8.5% 9.0% 9.5% 0 1 2 3 4 5 6 7 k r_k f

(24)

Estimação da ETTJ (6)

→ SUSEP: estimação cross-section da ETTJ utilizando o modelo de Svensson, utilização de algoritmos genéticos (método matemático) para resolver o problema P.

→ Nossa opção: método time series, processo estatístico.

“Estabilização” dos resultados de estimação.

Inferência: intervalos de confiança + previsões fora da amostra (curva estável) + diagnósticos (análise de resíduos)

Consegue-se “entregar” os elementos 1 a 4!

(25)

Tópicos

4) Versão dinâmica do modelo de Svensson.

5) Breve revisão do filtro de Kalman. 6) Intervalos de confiança.

(26)

Svensson - Versão Dinâmica

1 2 , , , ₁ N t t t t _N

r

R

r

τ τ τ _×

⎡

⎤

⎢

⎥

⎢

⎥

= ⎢ ⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

1, 2, , ₁ t t t K t _K x x X x × ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

Vetor com N taxas de juros observadas, referentes aos prazos

τ₁,τ₂,...,τ_N. Vetor com K variáveis de estado (fatores comuns, driving processes). Idéia: o conjunto de taxas se movimenta ao sabor de um número reduzido de fatores condicionantes

K

N

(27)

( )

1 2 , ₁ ₁ ₁ ₂ ₁ _1, _1, , 2 1 2 2 2 2, 2, 3, 4, , 1 2 , ₁ 4 4 1 1 1 1 1 N t _t _t t t t t t N t N N N t _N N N r _F _G _G r F G G F G G r τ τ τ β ε τ τ τ β ε τ τ τ β β ε τ τ τ _× _× _× × ⎡ ⎤ _⎡ _⎤ _⎡ _⎤ _⎡ _⎤ ⎢ ⎥ _⎢ _⎥ _⎢ _⎥ _⎢ _⎥ ⎢ ⎥ ₌ _⎢ _⎥ _⎢ _⎥ ₊ _⎢ _⎥ ⎢ ⎥ _⎢ _⎥ _⎢ _⎥ _⎢ _⎥ ⎢ ⎥ _⎢ _⎥ _⎢ _⎥ _⎢ _⎥ ⎢ ⎥ ⎢_⎣ ⎥_⎦ _⎣ _⎦ _⎣ _⎦ ⎣ ⎦

( )

1 e F λτ τ λτ − − =

( )

1 1 e G e λτ λτ τ λτ − − − = −

Equação de medição

Svensson - Versão Dinâmica (2)

( )

2 1 e G e λτ λτ τ λτ − − − = −

(28)

1, ₁ 1,1 1, 1 1, 2, ₂ 2,2 2, 1 2, 3, 3,3 3, 1 3, 4, _{4 1} _{4 1} 4,4 _{4 4} 4, 1 _{4 1} 4, _{4 1} 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 t t t t t t t t t t t t β _β φ β η β _β φ β η β φ β η β φ β η − − − − × × × × × ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ₌ ⎢ ⎥ ₊ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ₊ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Equação de estado

(29)

Svensson - Versão Dinâmica (4)

(

)

(

)

1, 2, ₂ ₂ ₂ ,1 ,2 , , ₁ 0, , , , t t t N N t _N N diag _ε _ε _ε ε ε ε σ σ σ ε _× ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∼ … 2 2 , ; σ_ε _n =σ_ε ; n =1, 2, ,… N ou

(

)

(

)

1, 2, ₂ ₂ ₂ ₂ ,1 ,2 ,3 ,4 3, 4, _{4 1} 0, , , , t t t t t N diag _η _η _η _η η η η σ σ σ σ η η _× ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∼

( )

2 ,n f n ε σ = τ

(

_t, _{t j}

)

0 Corr ε ε ₋ = ∀j _Corr

(

_{η η}_t_, _{t j}₋

)

_{= ∀}₀ _j t t ε ⊥η

(30)

Svensson - Versão Dinâmica (5)

1,0 2,0 0 3,0 4,0 4 1 : β β β β β _× ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

Estado inicial do sistema

( )

0 0 E β = b Var

( )

β₀ = P₀

(

k t, k,0

)

0; 1, 2,3, 4; 1, 2, , E η β = k = t = … T

(

n t, k,0

)

0; 1, 2, , ; 1, 2,3, 4; 1, 2, , E ε β = n = … N k = t = … T

(31)

Svensson - Versão Dinâmica (6)

t t t

R

=

MX

+

ε

1 1 t t t

β

₊

= + Φ +

β

β η

₊ Equação de Medição Equação de Estado

Toda uma tecnologia para estimação e inferência!

Peças-chave: MLE + filtro de Kalman

Modelo em Espaço de Estado

(32)

Svensson - Versão Dinâmica (7)

t t t

R

=

MX

+

ε

1 1 t t t

β

₊

= + Φ +

β

β η

₊ Equação de Medição Equação de Estado Parâmetros Estado

,

1, 2, ,

t

X

t

=

…

T

2 2 2 ,1 ,4 1,1 4,4 1 2

, ,

_ε

,

_η

, ,

_η

,

, ,

λ λ σ σ

…

σ

φ

…

φ β β

Resultados de Estimação 13

(33)

Tópicos

4) Versão dinâmica do modelo de Svensson.

5) Breve revisão do filtro de Kalman.

(34)

Modelos em Espaço de Estado

,

~

(0,

)

t t t t t t t

Y

=

Z

γ

+ +

d

ε ε

NID

H

Equação de Medição

Equação de Estado 1

,

~

(0, )

t

T

t t

c

t

R

t t t

NID

Q

t

γ

₊

=

γ

+ +

η η

4 4

,

0,

,

t t t t t t t t t

Y

R Z

M

d

T

c

R

I

γ

β

_×

=

= Φ

=

…

Correspondências:

(35)

Modelos em Espaço de Estado (2)

:

1

, , ,

2 T

Y Y

…

Y

T observações de Y 1 2

( , ,..., ) :

j

σ

Y Y

Y

j

ℑ ≡

σ-álgebra produzida pelas medidas

até o instante j Momentos condicionais: |

ˆ

_{t j}

E

( |

_t _j

)

γ

≡

γ

ℑ

(

)(

)

(

)

|

ˆ

|

ˆ

| tr t j t t j t t j j

P

≡

E

γ γ

−

γ γ

−

ℑ

(36)

Modelos em Espaço de Estado (3)

1| | 1| |

ˆ

_t _t _{t t t}

ˆ

_t tr tr t t t t t t t t t

T

c

P

T P T

R Q R

γ

₊

γ

+

=

+

=

+

• Previsão:

j t

= −

1

1 | | 1 | 1 1 | | 1 | 1 | 1

ˆ

tr t t t t t t t t t tr t t t t t t t t t t t

P Z F

P

P Z F Z P

γ

−

υ

− − − − − −

=

+

=

−

• Atualização:

j t

=

υ

t

= −

Y

t

Z

t t t

γ

ˆ

| 1−

−

d

t | 1 tr t t t t t t

F

=

Z P Z

₋

+

H

(37)

Modelos em Espaço de Estado (4)

• Suavização:

j T

=

| | 1 | 1 1 1 1 1 | 1 | | 1 | 1 1 | 1 1 1 1 1 | 1 | 1

ˆ

(

)

(

)

(

)

0,

0

t T t t t t t tr tr tr t t t t t t t t t t t t t T t t t t t t t tr t t t t tr tr tr t t t t t t t t t t t t t t t T T

P r

r

Z F

T T P Z F Z

r

P

P N P

N

Z F Z

T T P Z F Z

N T T P Z F Z

r

N

γ

υ

− − − − − − − − − − − − − − − − −

=

+

=

+

−

=

−

=

+

−

=

…

(38)

Modelos em Espaço de Estado (5)

• Cálculo de intervalos de confiança: a distribuição de

probabilidades condicional da v.a.

dada

a

informação contida em para algum

instante j, é normal com média e variância

1 2

( , ,..., )

j

σ

Y Y

Y

j

ℑ ≡

t t t

A

γ

+

b

|

ˆ

t t j t

A

γ

+

b

| tr t t j t

A P A

.

(39)

Modelos em Espaço de Estado (6)

( )

(

)

(

)

| 1 /2 | ;100 1 % | 1 /2 |

ˆ

_',

ˆ

'

t t t t t j t t t j t Condicional A b t t j t t t j t

A

b

z

A P A

IC

A

b

z

A P A

α γ α α

γ

− + − −

⎛

₊

₋

⎞

⎜

⎟

=

⎜

₊

⎟

⎝

⎠

• Logo...

( )

(

|

)

1 |

)

;100 1 %

ˆ

',

t t t Condicional t t j t t t j t A b

IC

_γ ₊ ₋_α

=

A

γ

+

b

−

z

₋_α

A P A

+∞

| |

ˆ

_ˆ

t j t t j t

Y

=

Z

γ

+

d

(40)

Modelos em Espaço de Estado (7)

• Previsão:

(

)

| 1 |

ˆ

_{t x t}

_T

_{t x t x}

ˆ

_c

_{t x}

ˆ

_t

ˆ

_{t t}

γ

₊

=

₊

γ

_{+ −}

+

₊

γ

=

γ

(

)

| 1| | tr tr t x t t x t x t t x t x t x t x t t t

P

₊

=

T P

₊ _{+ −}

T

₊

+

R Q R

₊ ₊ ₊

P

=

P

| |

ˆ

_ˆ

t x t t x t x t t x

Y

₊

=

Z

₊

γ

₊

+

d

₊

( )

ˆ

| | tr t x t t x t x t t x t x

MSE Y

₊

=

Z P Z

₊ ₊ ₊

+

H

₊

(41)

Tópicos

6) Intervalos de confiança.

(42)

Intervalos de Confiança

• Intervalos de confiança.

→ Faixas nas quais as taxas de juros para diversos prazos estão contidas com uma determinada probabilidade.

estimativa pontual para a taxa de juros de τ períodos no

instante t é , e que o valor verdadeiro dessa taxa está

contido no intervalo com probabilidade 0,95 (ou seja, constrói-se um intervalo cujo nível de confiança é 95%).

,t

r

→ Com base neles é possível dizer, por exemplo, que a

τ inf sup ,t

,

,t

r

_τ

r

_τ

⎡

⎤

⎣

⎦

(43)

6,00% 6,20% 6,40% 6,60% 6,80% 7,00% 12 18 24 30 36 48 60 72 84 96 108 120 180

Curva Observada Curva Ajustada Limite Superior Limite Inferior

Taxas de juros embutidas nos contratos de swap DI x IPCA negociados no dia 30/06/2010: estimativa “pontual” (linha contínua), dados originais (quadrados), limites superior e inferior da faixa formada por intervalos de confiança com nível de confiança de 95%.

(44)

4,00% 4,20% 4,40% 4,60% 4,80% 5,00% 5,20% 5,40% 5,60% 5,80% 6,00% 12 18 24 30 36 48 60 72 84 96 108 120 180

Curva Observada Curva Ajustada Limite Superior Limite Inferior

Taxas de juros embutidas nos contratos de swap DI x IPCA negociados no dia 29/12/2011: estimativa “pontual” (linha contínua), dados originais (quadrados), limites superior e inferior da faixa formada por intervalos de confiança com nível de confiança de 95%.

(45)

Tópicos

6) Intervalos de confiança.

(46)

Curvas Estáveis

• Curvas estáveis.

→ Definidas como aquelas que estipulam uma probabilidade mínima para as reservas existentes em t permanecerem estáveis em t + x

→ Fronteira inferior para a curva prevista em t para t + x:

→ 1

, , ,

2 N k k k

l l

…

l

(

k t x1, k1 k t x2, k2 k t xN , kN

)

1 P r

₊

> ∩

l

r

₊

>

l

∩ ∩

…

r

₊

>

l

≥ −

α

: E

∩

(47)

Curvas Estáveis (2)

• Curvas estáveis.

→ Definidas como aquelas que estipulam uma probabilidade máxima de alguma taxa romper para baixo a fronteira inferior da curva de juros prevista para t + x

→ Fronteira inferior para a curva prevista em t para t + x:

→ 1

, , ,

2 N k k k

l l

…

l

(

k t x1, k1 k t x2, k2 k t xN , kN

)

P r

₊

≤ ∪

l

r

₊

≤

l

∪ ∪

…

r

₊

≤

l

≤

α

: OU

∪

(48)

Curvas Estáveis (3)

Versão Dinâmica do Modelo de Svensson Intervalos de Confiança “Individuais”

(

k t x1, k1

)

1 P r

₊

>

l

= −

p

(

k t x2, k2

)

1 P r

₊

>

l

= −

p

(

k t x_N , k_N

)

1 P r

₊

>

l

= −

p

Correção de Bonferroni Intervalo de Confiança “Conjunto”

(49)

Curvas Estáveis (4)

• Correção de Bonferroni.

( )

1 1

1

N N k k k k

P

A

P A

= =

⎛

⎞

≥ −

⎜

⎟

⎝

∩

⎠

∑

:

k

A

Evento “A taxa para operações de τ períodos vigente em

t + x é maior do que o seu respectivo limiar”.

:

k

A

Evento “A taxa para operações de τ períodos vigente em

t + x é menor ou igual do que o seu respectivo limiar”. A

probabilidade de ocorrência desse evento é .

(

k t x_n, k_n

)

1

(

k t x_n, k_n

)

P r ₊ > l = − ⇒p P r ₊ ≤ l = p

(50)

Curvas Estáveis (5)

• Correção de Bonferroni.

( )

1 1

1

N N k k k k

P

A

P A

= =

⎛

⎞

≥ −

⎜

⎟

⎝

∩

⎠

∑

=

Np N

= ×

α α

N

=

• Logo...

(

k t x1, k1 k t x2, k2 k t xN , kN

)

1 P r

₊

> ∩

l

r

₊

>

l

∩ ∩

…

r

₊

>

l

≥ −

α

(51)

Curvas Estáveis (6)

Curvas de juros com mais vértices Diminuição de p

Diminuição dos limiares

α 10% N α/N 5 2,00% 10 1,00% 15 0,67% 20 0,50%

(52)

Curvas Estáveis (7)

Aumento da probabilidade de nenhuma taxa romper para baixo o seu limiar

Diminuição de p

Diminuição dos limiares

N 10 1-α α/N 80% 2,00% 90% 1,00% 95% 0,50% 99% 0,10%

Curva conservadora mais baixa

(53)

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 12 18 24 30 36 48 60 72 84 96 108 120 180

Curva Observada em 30/06/2010 Curva Prevista em 31/03/2010 para 30/06/2010 Curva Conservadora calculada em 31/03/2010 para 30/06/2010 Curva Prevista em 26/05/2010 para 30/06/2010 Curva Conservadora calculada em 26/05/2010 para 30/06/2010

Taxas de juros indexadas ao IPCA, 30/06/2010: dados originais (quadrados), previsões (linhas pontilhadas nas cores azul (26/03/2010) e vermelha (31/05/2010)) e curvas conservadoras

(54)

Curvas Estáveis (9)

• Testes de sensibilidade:

→ Efeitos de mudanças em α. → Efeitos de “postergar x”.

(55)

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 1 3 6 12 18 24 30 36 48 60 72 84 96 Curva Observada em 23/08/2012 Curva Prevista em 24/05/2012 para 23/08/2012

Curva Conservadora calculada em 24/05/2012 para 23/08/2012, α =10% Curva Conservadora calculada em 24/05/2012 para 23/08/2012, α = 5% Curva Conservadora calculada em 24/05/2012 para 23/08/2012, α = 1%

Influência de α

Prazo (meses) Taxas (% a.a.)

Taxas de juros pré-fixadas, curva prevista em 24/05/2012 para 23/08/2012, curvas conservadoras calculadas em 24/05/2012 para 23/08/2012 (13 semanas à frente) com α = 10%, 5% e 1%.

(56)

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 1 3 6 12 18 24 30 36 48 60 72 84 96

Curva Conservadora calculada em 24/05/2012 para 21/06/2012, 4 passos, α =10%

Postergar x

Taxas (% a.a.)

Prazo (meses)

Taxas de juros pré-fixadas, curvas conservadoras calculadas em 24/05/2012 para 21/06/2012 (4 semanas à frente), 23/08/2012 (13 semanas à frente), 22/11/2012 (26 semanas à frente) e