Adição e subtração de números naturais

(1)

Adi

ç

ão e subtra

ç

ão de números

naturais

Texto retirado de YOUSSEF, Antônio Nicolau; PACHI, Clarice Garneiro da Fonseca; HESSEL, Heloísa Maria. Linguagens e aplicações: Matemática – 6º ano. 1ª edição. São Paulo: Cereja Editora, 2015. Pág. 35.

Vários povos desenvolveram formas diferentes de ler e escrever os números. Com o desenvolvimento do comércio, a necessidade de contar e representar quantidades se tornou ainda maior, pois as pessoas começaram a trocar suas mercadorias nos mercados, grandes quantidades de cargas eram transportadas de uma cidade para outra e passou a ser necessário registrar tudo o que acontecia no comércio.

Foi preciso, então, criar formas de usar os números para fazer cálculos do dia a dia, tais como: • Juntar quantidades;

• Tirar uma quantidade de outra;

• Juntar várias vezes uma mesma quantidade; • Repartir uma quantidade em partes iguais.

Juntamente com o desenvolvimento dos sistemas de numeração, foi necessário também organizá-los com a criação de inúmeras regras e processos destinados a se operar com os números. Você, com certeza já teve contato com as operações fundamentais de adição, subtração, multiplicação e divisão, na escola, em casa e em diversas situações no dia a dia. A partir de agora, porém, vamos estudá-las detalhadamente e conhecer as principais propriedades de cada uma das quatro operações matemáticas fundamentais.

Adi

ç

ão de números naturais

Texto retirado de SILVEIRA, Ênio. Matemática: compreensão e prática – 6º ano. 3ª edição. São Paulo: Moderna, 2015. Pág. 41 e BIGODE, Antônio José Lopes. Matemática do cotidiano: 6º ano. 1ª edição. Pág. 39. Adaptado

Adicionar significa juntar, unir, reunir. Contudo, muitos outros verbos da nossa língua também sugerem a ideia aditiva, como, por exemplo, acrescentar, agregar, ganhar, comprar, receber. Em matemática, todas essas ações são representadas pela operação de adição cujo o sinal é + (lê-se: “mais”).

Acompanhe os exemplos:

Exemplo 1) Na classe do 6º ano há 23 meninas e 16 meninos. Quantos alunos há, ao todo, nessa turma?

23 + 16 = 39

¯ ¯ ¯

Meninas Meninos Total de alunos Nesse caso, a classe é a reunião de meninos e meninas.

Exemplo 2) João coleciona figurinhas. Ele já tinha 23 e comprou 16. Quantas figurinhas ele tem agora?

23 + 16 = ?

¯ ¯ ¯

Antes Comprou Depois

Veja que, nesse caso, tínhamos a situação “antes da compra”, que foi modificada depois de efetuada a compra.

João ficou com: 39 figurinhas (23 + 16 = 39).

Exemplo 3) Maria tinha uma certa quantidade de adesivos. Deu 16 adesivos a um colega e ainda ficou com 23. Quantos adesivos Maria tinha?

(2)

? - 16 = 23

¯ ¯ ¯

Antes Deu Depois

Nesse caso, queremos saber de qual número precisamos retirar 16 unidades para obter 23 unidades. Então, podemos escrever:

? – 16 = 23

O mesmo problema pode ser resolvido por meio de uma adição.

Veja:

23 + 16 = 39

Portanto, Maria tinha 39 adesivos antes de dar os 16 adesivos ao colega.

Os termos da adição

Texto de autoria própria.

Veja como se denominam os termos envolvidos em uma adição:

2 3 ® 1ª parcela + 1 6 ® 2ª parcela

3 9 ® Soma

Como adicionar?

Para resolver uma adição podemos utilizar diferentes estratégias, como, por exemplo, o cálculo mental, a decomposição numérica e o algoritmo da adição (a conhecida “conta em pé”). Vamos conhecer um pouco mais sobre cada uma destas estratégias.

O cálculo mental

Texto retirado de https://www.mathsisfun.com/numbers/addition-tips-tricks.html. Tradução nossa. Adaptado.

O cálculo mental é uma estratégia eficiente para resolver qualquer operação. No caso da adição, conhecer algumas dicas pode torná-lo ainda mais fácil e rápido.

• Conte de um número para cima, iniciando sua contagem sempre pelo maior número.

Exemplo 4) 6 + 3

(3)

• Conte “pulando” casas

Conte de 2 em 2, de 5 em 5, de 10 em 10, ou “pule” quantas casas forem necessárias para ajudar você a resolver a operação.

Exemplo 5) 4 + 12

Pense: 4, ..., 14, 15, 16; logo, 4 + 12 = 16.

• Some totalizando 10

Veja se existem números que somados resultam em 10. Lembre-se que estes números não precisam necessariamente estar próximos um do outro.

Exemplo 6) 7 + 8 + 3 + 2 + 5

7 + 3 = 10

8 + 2 = 10, logo:

10 + 10 + 5 = 25

• Some as dezenas por último

Decomponha os números em unidades e dezenas, em seguida, adicione as unidades, e, por fim, adicione as dezenas.

Exemplo 7) 14 + 5 10 + 4 + 5 4 + 5 = 9, logo: 10 + 9 = 19 Exemplo 8) 14 + 12 10 + 4 + 10 + 2 4 + 2 = 6, logo: 10 + 10 + 6 = 26 • Procure o 10

Quando um número estiver próximo de 10, você pode “emprestar” unidades de outro número para fazê-lo chegar ao 10.

Exemplo 9) 9 + 7

9 está a uma unidade de 10, então pegamos uma unidade do sete e damos ao 9, logo: 9 + 1 + 6

10 + 6 = 16

Pense: 9 mais 1 é igual a 10, 7 menos 1 é igual a 6, 10 mais 6 é igual a 16.

• Use o método da compensação

Compensar, neste caso, é arredondar um número (adicionando a ele uma ou mais unidades para facilitar a adição) e em seguida, após encontrar a soma, retirar dela essas unidades extras que foram previamente adicionadas.

Exemplo 10) 19 + 16

É mais fácil fazer 19 + 1 + 16 = 20 + 16 = 36.

Contudo, uma vez que foi adicionada uma unidade ao número 19, esta unidade deve agora ser retirada da soma. Assim:

36 – 1 = 35

Exemplo 11) 395 + 126

Contudo, uma vez que foram adicionadas cinco unidades ao número 395, estas unidades devem agora ser retiradas da soma. Assim:

526 – 5 = 521

• Dobre os números se eles forem próximos, e, em seguida, corrija-os.

Exemplo 12) 5 + 6

6 é próximo de 5, mas uma unidade maior, então: 5 + 5 + 1

(4)

Exemplo 13) 7 + 9

9 é próximo de 7, mas duas unidades maior, então: 7 + 7 + 2

14 + 2 = 16

Agora é a sua vez!

Use o método da compensação para calcular mentalmente 49 + 37.

A decomposi

ç

ão numérica

Decompor um número, como vimos anteriormente, é dispor em uma sequência de adições o valor posicional de cada um de seus algarismos. Veja alguns exemplos:

Exemplo 14) 39 = 30 + 9

Exemplo 15) 542 = 500 + 40 + 2

Exemplo 16) 6 127 = 6 000 + 100 + 20 + 7

Exemplo 17) 21 084 = 20 000 + 1 000 + 80 + 4

A decomposição é também uma das formas de se resolver uma adição. Para utilizá-la para este propósito, basta que façamos a decomposição de cada parcela da operação, em seguida, que coloquemos lado a lado os algarismos de mesmo valor posicional e, por fim, que os adicionemos mentalmente. Acompanhe os exemplos:

Exemplo 18) 23 + 16 = 20 + 3 + 10 + 6 23 + 16 = 20 + 10 + 3 + 6 23 + 16 = 30 + 9 23 + 16 = 39 Exemplo 19) 120 + 760 = 100 + 20 + 700 + 60 120 + 760 = 100 + 700 + 20 + 60 120 + 760 = 800 + 80 120 + 760 = 88 Exemplo 20) 8 765 + 3 210 = 8 000 + 700 + 60 + 5 + 3 000 + 200 + 10 8 765 + 3 210 = 8 000 + 3 000 + 700 + 200 + 60 + 10 + 5 8 765 + 3 210 = 11 000 + 900 + 70 + 5 8 765 + 3 210 = 11 975

Agora é a sua vez!

Texto retirado de GALDONE, Linos. Projeto Apoema Matemática: 6º ano. 2ª edição. São Paulo: Editoria do Brasil, 2015. Pág. 06.

(5)

O algoritmo da adi

ç

ão

A estratégia mais usada para adicionar é o algoritmo da adição. Ele é mais conhecido como “conta armada” ou “conta em pé”. Para compreender melhor como a adição é realizada através do algoritmo, utilizaremos o Quadro Valor de Lugar (QVL) para nos auxiliar. Veja os exemplos:

Exemplo 21) 23 + 16

D U

2 3 + 1 6

3 9

Fazendo passo a passo:

• 3 unidades + 6 unidades = 9 unidades • 2 dezenas + 1 dezena = 3 dezenas

A soma é um número formado por 3 dezenas e 9 unidades, ou seja, 39.

Exemplo 22) 234 + 150

C D U

2 3 4 + 1 5 0

3 8 4

• 4 unidades + 0 unidades = 4 unidades. • 3 dezenas + 5 dezenas = 8 dezenas. • 2 centenas + 1 centena = 3 centenas.

A soma é um número formado por 3 centenas, 8 dezenas e 4 unidades, ou seja, 384.

Exemplo 23) 985 + 177 UM C D U 1 1 1 9 8 5 + 1 7 7 1 1 6 2

• 5 unidades + 7 unidades = 12 unidades 12 unidades = 1 dezena + 2 unidades

Como esta é a ordem das unidades, conservamos aqui as 2 unidades e “vai

1” dezena para a ordem das dezenas.

• 1 dezena + 8 dezenas + 7 dezenas = 16 dezenas 16 dezenas = 1 centena + 6 dezenas

Como esta é a ordem das dezenas, conservamos aqui as 6 dezenas, e “vai

1” centena para a ordem das centenas.

• 1 centena + 9 centenas + 1 centena = 11 centenas 11 centenas = 1 unidade de milhar + 1 centena

Como esta é a ordem das centenas, conservamos a 1 centena, e “vai 1”

unidade de milhar para a ordem das unidades de milhar.

• 1 unidade de milhar + 0 unidades de milhar = 1 unidade de milhar

A soma é um número formado por 1 unidade de milhar, 1 centena, 6 dezenas e 2 unidades, ou seja, 1 162. Exemplo 24) 28 971 + 40 505 DM UM C D U 1 4 0 5 0 5 + 2 8 9 7 1 6 9 4 7 6

• 5 unidades + 1 unidade = 6 unidades. • 0 dezenas + 7 dezenas = 7 dezenas.

(6)

• 5 centenas + 9 centenas = 14 centenas

14 centenas = 1 unidade de milhar + 4 centenas

Como esta é a ordem das centenas, conservamos as 4 centenas, e “vai 1”

unidade de milharpara a ordem das unidades de milhar.

• 1 unidade de milhar + 0 unidades de milhar + 8 unidades de milhar = 9

unidades de milhar

• 4 dezenas de milhar + 2 dezenas de milhar = 6 dezenas de milhar.

A soma é um número formado por 6 dezenas de milhar, 9 unidades de milhar, 4 centenas, 7 dezenas e 6 unidades, ou seja, 69 476.

Exemplo 25) 798 473 + 294 718 + 323 004 UMI CM DM UM C D U 1 2 1 1 1 7 9 8 4 7 3 3 2 3 0 0 4 + 2 9 4 7 1 8 1 4 1 6 1 9 5

• 3 unidades + 4 unidades + 8 unidades = 15 unidades 15 unidades = 1 dezena + 5 unidades

Como esta é a ordem das unidades, conservamos aqui as 5 unidades e “vai

1” dezena para a ordem das dezenas.

• 1 dezena + 7 dezenas + 0 dezenas + 1 dezena = 9 dezenas. • 4 centenas + 0 centenas + 7 centenas = 11 centenas

11 centenas = 1 unidade de milhar + 1 centena

Como esta é a ordem das centenas, conservamos a 1 centena, e “vai 1”

unidade de milharpara a ordem das unidades de milhar.

• 1 unidade de milhar + 8 unidades de milhar + 3 unidades de milhar + 4 unidades de milhar = 16 unidades de milhar

16 unidades de milhar = 1 dezena de milhar + 6 unidades de milhar

Como esta é a ordem das unidades de milhar, conservamos aqui as 6

unidades de milhar e “vai 1” dezena de milhar para a ordem das dezenas de milhar.

• 1 dezena de milhar + 9 dezenas de milhar + 2 dezenas de milhar + 9 dezenas de milhar = 21 dezenas de milhar

21 dezenas de milhar = 2 centenas de milhar + 1 dezena de milhar

Como esta é a ordem das dezenas de milhar, conservamos aqui 1 dezena de

milhar e “vão 2” centenas de milhar para a ordem das centenas de milhar. • 2 centenas de milhar + 7 centenas de milhar + 3 centenas de milhar + 2

centenas de milhar = 14 centenas de milhar

14 centenas de milhar = 1 unidade de milhão + 4 centenas de milhar Como esta é a ordem das centenas de milhar, conservamos aqui 4 centenas

de milhar e “vai 1” unidade de milhão para a ordem as unidades de milhão.

• 1 unidade de milhão + 0 unidades de milhão = 1 unidade de milhão.

A soma é um número formado por 1 unidade de milhão, 4 centenas de milhar, 1 dezena

de milhar, 6 unidades de milhar, 1 centena, 9 dezenas e 5 unidades, ou seja, 1 416 195.

Agora é a sua vez!

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As propriedades da adição

Texto retirado de BIANCHINI, Edwaldo. Matemática Bianchini – 6º ano. 8ª edição. São Paulo: Moderna, 2015. Págs. 34 e 35. Adaptado.

Considere a adição: 10 + 35 = 45.

Trocando-se a ordem das parcelas, a soma obtida também é 45, ou seja: 10 + 35

45

= 35 + 10

45

A ordem das parcelas não alterou a soma. Isso sempre ocorre quando adicionamos dois números naturais quaisquer. Trata-se da propriedade comutativa da adição, enunciada a seguir.

Em uma adição de dois números naturais, a ordem das parcelas não altera a soma. Veja mais alguns exemplos.

Exemplo 26) 20 + 400 = 400 + 20 Exemplo 27) 130 + 500 = 500 + 130

Agora, observe dois modos de efetuar a adição 5 + 3 + 7. • 1º modo

Efetua-se a adição das duas primeiras parcelas e adiciona-se ao resultado obtido a terceira parcela.

5 + 3 8

+ 7 = 8 + 7 = 15 • 2º modo

Efetua-se a adição das duas últimas parcelas e adiciona-se ao resultado obtido a primeira parcela.

5 + 3 + 7 10

= 5 + 10 = 15

Ao associar as parcelas de modos diferentes, não houve alteração na soma. Esse fato sempre ocorre quando adicionamos três ou mais números naturais quaisquer. Trata-se da propriedade associativa da adição, enunciada a seguir.

Em uma adição de três ou mais números naturais quaisquer, podemos associar as parcelas de modos diferentes sem alterar a soma.

Observe mais alguns exemplos.

Exemplo 28) 2 + 37 + 8 2 + 37 39 + 8 = 39 + 8 = 47 2 + 37 + 8 45 = 2 + 45 = 47 2 + 37 + 8 = 37 + 10 = 47 ® Melhor opção! Exemplo 29) 9 + 26 + 21 + 34 9 + 26 35 + 21 + 34 55 = 35 + 55 = 90 9 + 26 + 21 45 + 34 = 43 + 47 = 90 9 + 26+ 21 + 34= 30 + 60 = 90 ® Melhor opção!

Agora, considere as seguintes adições: • 5 + 0 = 0 + 5 = 0

• 0 + 7 = 7 + 0 = 7 • 53 + 0 = 0 + 53 = 53 • 0 + 129 = 129 + 0 = 129

Note que em todas essas adições há um número (o zero) que, em qualquer posição, não influi no resultado. Esse número é o elemento neutro da adição. A adição de um número natural qualquer com zero (ou vice-versa) é o próprio número. Trata-se de mais uma propriedade da adição: a existência do elemento neutro, enunciada a seguir.

(8)

O zero, quando adicionado a outro número natural qualquer, resulta sempre nesse outro número. Ou seja, o zero como parcela da adição não altera o valor da soma. Por isso, ele é chamado de

elemento neutro da adição.

Em todas as situações anteriores, realizamos adições em que as parcelas eram números naturais. Observe que as somas também eram número naturais. Trata-se da última propriedade da adição: o fechamento, enunciada a seguir.

Em uma adição de dois ou mais números naturais, a soma sempre será um número natural.

Subtra

ç

ão de números naturais

Texto retirado de e BIGODE, Antônio José Lopes. Matemática do cotidiano: 6º ano. 1ª edição. Pág. 40. Adaptado

Subtrair significa diminuir, tirar. Contudo, muitos verbos da nossa língua sugerem a mesma ideia que o verbo tirar: quebrar, dar, diminuir, descarregar, perder, reduzir, abandonar, descontar, cortar. Em matemática, todas essas ações são representadas pela operação de subtração cujo o sinal é - (lê-se: “menos”).

Acompanhe os exemplos:

Exemplo 30) Alice tinha 39 bonecos em sua coleção. Tirou 16 deles, que eram repetidos, e deu-os para seu irmão. Com quantos bonecos Alice ficou?

39 - 16 = ?

¯ ¯ ¯

Antes Tirou Depois

Como 39 – 16 = 23, Alice ficou com 23 bonecos.

Exemplo 31) Otávio tem 39 lápis de cor e sua irmã Clara tem 23. Quantos lápis Otávio tem a mais que Clara?

Neste caso, a ideia e o verbo associado têm a ver com a situação de comparar.

Ao reler o problema, você perceber você perceberá que Otávio tem mais lápis que Clara.

Como 39 – 23 = 16, Otávio tem 16 lápis a mais que Clara.

Exemplo 32) A festa de aniversário de Júlia está animada. Ela selecionou 39 músicas, das quais já tocaram 23. Quantas músicas ainda falta tocar?

39 - ? = 23 ¯ ¯ ¯ Músicas selecionadas Músicas por tocar Músicas já tocadas Falta tocar 16 músicas (39 – 23 = 16).

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Os termos da subtração

Veja como se denominam os termos envolvidos em uma subtração:

3 9 ® Minuendo - 1 6 ® Subtraendo

2 3 ® Resto ou Diferença

Como subtrair?

Uma subtração também pode ser resolvida utilizando diferentes estratégias. Contudo, ao contrário da adição, que possui propriedades como a comutatividade (onde a ordem das parcelas não altera a soma) e a associatividade (onde pode-se somar três ou mais parcelas e estas parcelas podem ser associadas de modos diferentes sem alterar a soma), aqui nem todas as estratégias funcionam para todos os casos e, por isso, trabalharemos apenas com duas delas, as que têm validade geral, que são: o cálculo mental e o algoritmo da subtração.

O cálculo mental

Texto retirado de https://www.homeschoolmath.net/teaching/a/subtract_mentally_2_digit.phpl. Tradução nossa. Adaptado.

Vamos conhecer algumas dicas para auxiliar na subtração mental. o Subtraia em duas partes

Exemplo 33) 53 – 8 53 – 3 – 5 50 – 5 = 45 Exemplo 34) 72 – 6 72 – 2 – 4 70 – 4 = 66

o Use fatos de subtração conhecidos

Exemplo 35) 74 – 6

Sabemos que 14 – 6 = 8, logo, sabemos também que a resposta de 74 – 6 terminará em 8 mas terá nas dezenas o algarismo 6. Assim: 74 – 6 = 68.

Exemplo 36) 55 – 8

Sabemos que 15 – 8 = 7, logo, sabemos também que a resposta de 55 – 8 terminará em 7 mas terá nas dezenas o algarismo 4. Assim: 55 – 8 = 47.

o Subtraia primeiro as dezenas e depois as unidades

Decomponha os números em unidades e dezenas, em seguida, subtraia as dezenas, e, por fim, subtraia as unidades.

Exemplo 37) 75 – 21 75 – 20 – 1 55 – 1 = 54 Exemplo 38) 87 – 46 87 – 40 – 6 47 – 6 = 41 o Adicione

Se os números estiverem bem próximos, você pode resolver a subtração através de uma adição. Para isto basta pensar em quanto você precisa adicionar ao número que está sendo subtraído (o subtraendo) para obter o número do qual você está subtraindo (o minuendo). Exemplo 39) 71 – 67 Pense: 67 + 4 = 71. Logo, 71 – 67 = 4. Exemplo 40) 558 – 556 Pense: 556 + 2 = 558. Logo, 558 – 556 = 2.

o Adicione até encontrar a diferença

Para encontrar a diferença, comece com o número menor e vá adicionando até chegar ao número maior.

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Você pode primeiro completar a primeira dezena, em seguida adicionar dezenas e por fim, adicionar unidades. Exemplo 41) 84 – 37 37 + 3 = 40 40 + 40 = 80 80 + 4 = 84

Como nós adicionamos 3, 40 e 4, temos um total de 47. Assim: 84 – 37 = 47.

Exemplo 42) 92 – 35

35 + 5 = 40 40 + 50 = 90 90 + 2 = 92

Como nós adicionamos, 5, 50 e 2, temos um total de 57. Assim: 92 – 35 = 57.

o Use o método da compensação

O princípio é o mesmo que o utilizado na adição mental; muda-se apenas o desenvolvimento do processo. Compensar, significa aqui, arredondar o subtraendo (adicionando a ele uma ou mais unidades para facilitar a subtração) e em seguida, após encontrar a diferença, adicionar a ela essas unidades extras que foram previamente “subtraídas a mais”.

Exemplo 43) 74 – 39

É mais fácil fazer 74 – (39 + 1) = 74 – 40 = 34.

Contudo, uma vez que foi adicionada uma unidade ao subtraendo, esta unidade foi

“subtraída a mais” e, portanto, deve agora ser adicionada a diferença. Assim: 34 + 1 = 35.

Exemplo 44) 81 – 57

Contudo, uma vez que foram adicionadas três unidades ao subtraendo, estas unidades foram “subtraídas a mais” e, portanto, devem agora ser adicionadas a diferença. Assim:

21 + 3 = 24.

Agora é a sua vez!

Use o método da compensação para calcular mentalmente 62 - 19.

O algoritmo da subtra

ç

ão

Assim como na adição, a estratégia mais usada para subtrair é o algoritmo. Como já dissemos, eles são mais conhecidos como “contas armadas” ou “contas em pé”. Para compreender melhor como a subtração é realizada através de seu algoritmo, utilizaremos o Quadro Valor de Lugar (QVL) para nos auxiliar. Veja os exemplos:

Exemplo 45) 39 – 23

D U

3 9 - 2 3

1 6

(11)

• 3 dezenas – 2 dezenas = 1 dezena

A diferença é um número formado por 1 dezena e 6 unidades, ou seja, 16.

Exemplo 46) 597 - 142

C D U

5 9 7 - 1 4 2

4 5 5

• 7 unidades – 2 unidades = 5 unidades • 9 dezenas – 4 dezenas = 5 dezenas • 5 centenas – 1 centena = 4 centenas

A diferença é um número formado por 4 centenas, 5 dezenas e 5 unidades, ou seja, 455. Exemplo 47) 7 385 – 5 998 UM C D U 67 123 178 15 - 5 9 9 8 1 3 8 7

• 5 unidades – 8 unidades, por ora, não é uma operação possível.

Então, para resolvê-la precisamos pegar algumas unidades “emprestadas” da ordem imediatamente maior que a ordem com a qual estamos trabalhando (ou seja, a ordem à esquerda) que contenha estas unidades, que, no caso, é a ordem das dezenas. Pegaremos “emprestado” 1 dezena desta ordem e levaremos para a ordem das unidades. Assim, onde haviam 8 dezenas, agora

haverão apenas 7 e, onde haviam 5 unidades, agora haverão 1 dezena + 5 unidades = 10 unidades + 5 unidades = 15 unidades.

15 unidades – 8 unidades = 7 unidades.

• 7dezenas - 9 dezenas, por ora, não é uma operação possível.

Aplicando o “método do empresta”, acima descrito, pegaremos “emprestado”

1 centena da ordem das centenas e a levaremos para a ordem das dezenas. Assim, onde haviam 3centenas agora haverão 2 e, onde haviam 7 dezenas

agora haverão 1 centena + 7 dezenas = 10 dezenas + 7 dezenas = 17

dezenas.

17 dezenas – 9 dezenas = 8 dezenas.

• 2 centenas – 9 centenas, por ora, não é uma operação possível.

Aplicando o “método do empresta”, pegaremos “emprestado” 1 unidade de milhar da ordem das unidades de milhar e a levaremos para a ordem das centenas. Assim, onde haviam 7 unidades de milhar haverão 6 e, onde haviam 2 centenas agora haverão 1 unidade de milhar + 2 centenas = 10 centenas + 2 centenas = 12 centenas.

12 centenas – 9 centenas = 3 centenas.

• 6 unidades de milhar – 5 unidades de milhar = 1 unidade de milhar. A diferença é um número formado por 1 unidade de milhar, 3 centenas, 8 dezenas e 7 unidades, ou seja, 1 387. Exemplo 48) 10 000 – 8 752 DM UM C D U 01 9 10 9 10 9 10 10 - 8 7 5 2 1 2 4 8

• 0 unidades – 2 unidades, por ora, não é uma operação possível.

Então, para resolvê-la precisamos pegar algumas unidades “emprestadas” da ordem imediatamente maior que a ordem com a qual estamos trabalhando (ou seja, a ordem à esquerda) que contenha estas unidades, que, no caso, é a ordem das dezenas de milhar. Contudo, devido ao valor posicional dos algarismos, não podemos simplesmente tomar emprestada uma dezena de milhar e transferi-la diretamente para a ordem das unidades. Esta dezena de

(12)

milhar precisa percorrer todo o caminhando, passando de ordem em ordem, até chegar ao seu destino final. Descrevamos este processo passo a passo:

o Pegaremos emprestado 1 dezena de milhar da ordem das dezenas de milhar e a levaremos para a ordem das unidades de milhar. Assim, onde havia 1 dezena de milhar, não haverá mais nenhuma e onde não haviam unidades de milhar haverá agora 1 dezena de milhar + 0 unidades de milhar = 10 unidades de milhar + 0 unidades de milhar = 10 unidades de milhar.

o Pegaremos emprestado 1 unidade de milhar da ordem das unidades de milhar e a levaremos para a ordem das centenas. Assim, onde haviam 10 unidades de milhar, haverão agora 9 e onde não haviam centenas haverá agora 1 unidade de milhar + 0 centenas = 10 centenas + 0 centenas = 10 centenas.

o Pegaremos emprestado 1 centena da ordem das centenas e a levaremos para a ordem das dezenas. Assim, onde haviam 10 centenas, haverão agora 9 e onde não haviam dezenas haverá agora 1 centena + 0 dezenas = 10 dezenas + 0 dezenas = 10 dezenas.

o Pegaremos emprestado 1 dezena da ordem das dezenas e a levaremos para a ordem das unidades. Assim, onde haviam 10 dezenas, haverão agora 9 e onde não haviam unidades haverá agora 1 dezena + 0 unidades = 10 unidades + 0 unidades = 10 dezenas.

Feito este trajeto, podemos seguir normalmente com a operação. Logo:

10 unidades – 2 unidades = 8 unidades. • 9 dezenas – 5 dezenas = 4 dezenas. • 9 centenas – 7 centenas = 2 centenas.

• 9 unidades de milhar – 8 unidades de milhar = 1 unidade de milhar. • 0 dezenas de milhar – 0 dezenas de milhar = 0 dezenas de milhar.

A diferença é um número formado por 1 unidade de milhar, 2 centenas, 2 dezenas e 8 unidades, ou seja, 1 248.

Agora é a sua vez!

Arme e efetue: 533 035 435 – 93 848 736.

Dica da Vivi!

• Ao armar uma adição e/ou uma subtração:

o Disponha os números da direita para a esquerda, de modo que cada ordem esteja embaixo de sua semelhante, ou seja, unidade embaixo de unidade, dezena embaixo de dezena, centena embaixo de centena e assim por diante. Cabe lembrar que se você dispor algum dos números de forma incorreta, você alterará o valor posicional de seus algarismos e, portanto, você encontrará a soma e/ou a diferença errada.

o Disponha os números em ordem decrescente, de cima para baixo, ou seja, o maior número será a 1ª parcela (no caso da adição) ou o minuendo (no caso da subtração), o 2º maior número será a 2ª parcela (no caso da adição) ou o subtraendo (no caso da subtração), e assim por diante (se a operação for uma adição de três ou mais números). Esta é uma condição obrigatória para que uma subtração aconteça (uma vez que, por ora, não se pode tirar de um número outro número maior que ele) mas também ajudará nas adições pois evitará que você se confunda e garantirá que você não omita nenhuma ordem. • Ao resolver uma adição e/ou uma subtração, sempre inicie pela ordem das unidades, ou seja, resolva-a da

direita para a esquerda.

(13)

Relação fundamental da subtração

Texto retirado de SILVEIRA, Ênio. Matemática: compreensão e prática – 6º ano. 3ª edição. São Paulo: Moderna, 2015. Págs. 46 e 47.

Paula comprou um sapato por R$ 83,00. Como pagamento, deu uma cédula de R$ 100,00 e recebeu R$ 17,00 de troco.

Ela poderia conferir o troco de duas maneiras: • Por meio de uma subtração:

R$ 100,00 - R$ 83,00 = R$ 17,00

¯ ¯ ¯

Valor pago Preço do objeto Troco

100 - 83 = 17

¯ ¯ ¯

Minuendo Subtraendo Diferença

• Por meio de uma adição:

R$ 17,00 + R$ 83,00 = R$ 100,00

¯ ¯ ¯

Troco Preço do objeto Valor pago

83 + 17 = 100

¯ ¯ ¯

Subtraendo Diferença Minuendo

Para verificar se uma subtração está correta, podemos fazer uma adição, pois a adição do subtraendo com o resto (ou diferença) deve ser sempre igual ao minuendo. Trata-se da Relação fundamental da subtração, enunciada a seguir.

Se minuendo menos subtraendo é igual ao resto então subtraendo mais resto é igual ao minuendo. Por isso, dizemos que a adição e a subtração são operações inversas.

Exercícios

Questões fáceis

1) Complete a tábua de adições.

+ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Atenção!

NÃO use calculadora para resolver as questões!

(14)

2) Calcule mentalmente: a) 12 + 7 = _________ b) 24 + 61 = ________ c) 15 + 8 = _________ d) 32 + 64 = ________ e) 60 + 3 + 2 + 7 = ____ f) 91 + 83 = ________ g) 17 + 6 = _________ h) 14 + 15 = ________ i) 52 + 50 = ________ j) 81 + 4 + 19 + 6 = ___ k) 39 + 43 = ________ l) 97 + 65 = ________

3) Resolva as seguintes adições por meio da decomposição das parcelas: a) 934 + 128 b) 810 + 290 c) 2 422 + 2 240 d) 4 835 + 2 424 4) Arme e efetue: a) 519 + 265 b) 957 + 973 + 874 c) 4 539 + 5 086 d) 5 720 + 3 096 + 1 585 e) 54 470 + 40 960 f) 27 660 + 45 160 + 59 775

(15)

g) 243 118 + 612 743 h) 832 094 + 425 536 + 881 320 i) 3 627 815 + 2 663 827 + 364 799 j) 5 625 136 + 3 736 627 + 1 736 349 + 19 002 847

5) Que número natural deve ser colocado no lugar de ✭? a) 27 + 26 = 26 + ✭ _________________

b) (14 + 26) + 32 = 26 + (14 + ✭) _____

c) 29 + ✭ = 38 ____________________ d) 0 + ✭ = 315 ____________________

6) A tartaruga Tata foi visitar uma amiga. Andou 3 quilômetros no primeiro dia. Em cada um dos dias seguintes, andou 2 quilômetros a mais do que havia andado no dia anterior Assim, Tata levou 4 dias para chegar. Descubra a distância, em quilômetros, que Tata percorreu para chegar à casa de sua amiga.

7) Uma doceira não perde uma ocasião de vender as cocadas que faz. Esta semana ela já vendeu 847 cocadas, mas ainda restam 103. Quantas cocadas ela tinha para vender?

8) Júlia vendeu 1 250 pães na segunda-feira; o dobro desse número na terça-feira e 1 824 na quarta-feira. Quantos pães ela vendeu nesses três dias?

(16)

9) A tabela a seguir apresenta a quantidade de refeições que o restaurante de uma grande indústria serviu a seus funcionários, de segunda a sexta-feira, no horário do almoço e do jantar, em determinada semana.

Dia da semana Segunda-feira Terça-feira Quarta-feira Quinta-feira Sexta-feira

Almoço 1 250 1 112 990 1 030 1 120

Jantar 660 452 345 552 463

Responda:

a) Em qual dia da semana foram servidas mais refeições? Quantas foram?

b) Em qual dia da semana foram servidas menos refeições? Quantas foram?

c) Quantos almoços foram servidos durante a semana? E quantos jantares?

10) Na biblioteca de um colégio, há 2 milhares e 7 centenas de livros de literatura, 5 centenas e 8 dezenas de livros de pesquisa e 1 milhar e 2 centenas de livros infantis. Quantos livros há, no total, na biblioteca do colégio?

(17)

11) Considere os seguintes números:

1 576 8 916 2 050 794

Agora, determine os totais obtidos com: a) A adição dos dois maiores números

b) A adição dos dois menores números

c) A adição do menor número com o maior número

12) Soma-se o sucessor de 1 889 com o antecessor de 3 500. Qual é o resultado encontrado?

13) Soma-se o menor número de quatro algarismos diferentes com o sucessor de 3 249. Qual é o resultado encontrado?

14) Arme as adições abaixo e, em seguida, complete com os números que faltam: a) 4 a5b + 2 1c2 = d 677

b) a 3b4 + 1 c0d = 5 796

(18)

15) Complete a tábua de subtrações. Su b tr a e n d o Minuendo - 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 16) Calcule mentalmente: a) 33 – 4 = _________ b) 44 – 9 = _________ c) 89 – 26 = ________ d) 78 – 75 = ________ e) 65 – 26 = ________ f) 42 – 29 = ________ g) 92 – 5 = _________ h) 93 – 8 = _________ i) 56 – 35 = ________ j) 692 – 688 = ______ k) 91 – 57 = ________ l) 83 – 38 = ________ 17) Arme e efetue: a) 858 – 321 b) 600 – 434

(19)

c) 4 711 – 2618 d) 7 004 – 3 705 e) 36 096 – 14 414 f) 68802 – 56 648 g) 700 000 – 22 971 h) 669 861 – 411 812 i) 8 986 409 – 3 603 584 j) 805 084 030 – 57 386 963

18) Paulo tem R$ 1 856,00 e quer comprar um computador que custa R$ 2 349,00. Qual é a quantia que lhe falta?

19) Comprei uma caixa com sete dezenas e meia de chocolates. Dei duas dúzias à vovó. Com quantos chocolates fiquei?

(20)

20) Em uma subtração, o subtraendo é 4 728 e o resto é 149. Qual é o minuendo?

21) A soma de três números é 8 470. O primeiro é 4 319 e o segundo é 1 843. Determine o terceiro número.

22) Maria, Patrícia e Helena têm dinheiro em cadernetas de poupança. Maria tem R$ 12 485,00, Patrícia tem R$ 1 570,00 a mais que Maria e Helena tem R$ 6 979,00 a menos que Patrícia. Quantos reais possuem Patrícia e Helena juntas?

23) (ENEM 2012) Uma pesquisa realizada por estudantes da Faculdade de Estatística mostra, em horas por dia, como os jovens entre 12 e 18 anos gastam seu tempo, tanto durante a semana (de segunda-feira a sexta-feira), como no fim de semana (sábado e domingo). A seguinte tabela ilustra os resultados da pesquisa.

Rotina juvenil Durante a semana No fim de semana

Assistir à televisão 3 3

Atividades domésticas 1 1

Atividades escolares 5 1

Atividades de lazer 2 4

Descanso, higiene e alimentação 10 12

Outras atividades 3 3

De acordo com esta pesquisa, quantas horas de seu tempo gasta um jovem entre 12 e 18 anos, na semana inteira (de segunda-feira a domingo), nas atividades escolares?

(21)

24) (ENEM PPL 2016) O quadro apresenta a ordem de colocação dos seis primeiros países em um dia de disputa nas Olimpíadas. A ordenação é feita de acordo com as quantidades de medalhas de ouro, prata e bronze, respectivamente.

País Ouro Prata Bronze Total

1º China 9 5 3 17 2º EUA 5 7 4 16 3º França 3 1 3 7 4º Argentina 3 2 2 7 5º Itália 2 6 2 10 6º Brasil 2 5 3 10

Se as medalhas obtidas por Brasil e Argentina fossem reunidas para formar um único país hipotético, qual a posição ocupada por esse país?

A_1ª B_2ª C_3ª D_4ª E_5ª

25) (ENEM 2009) Uma pousada oferece pacotes promocionais para atrair casais a se hospedarem por até oito dias. A hospedagem seria em apartamento de luxo e, nos três primeiros dias, a diária custaria R$ 150,00, preço da diária fora da promoção. Nos três dias seguintes, seria aplicada uma redução no valor da diária, cuja taxa média de variação, a cada dia, seria de R$ 20,00. Nos dois dias restantes, seria mantido o preço do sexto dia. Nessas condições, um modelo para a promoção idealizada é apresentado no gráfico a seguir, no qual o valor da diária é função do tempo medido em número de dias.

De acordo com os dados e com o modelo, comparando o preço que um casal pagaria pela hospedam por sete dias fora da promoção, um casal que adquirir o pacote promocional por oito dias fará uma economia de:

A_{R$ 90,00} B_{R$ 110,00} C_{R$ 130,00} D_{R$ 150,00} E_{R$ 170,00}

(22)

26) (ENEM 2011) O número mensal de passagens de uma determina empresa aérea aumentou no ano passado nas seguintes condições: em janeiro foram vendidas 33 000 passagens; em fevereiro, 34 500; em março, 36 000. Esse padrão de crescimento se mantém para os meses subsequentes. Quantas passagens foram vendidas por essa empresa em julho do ano passado?

A_{38 000} B_{40 500}

C_{41 000} D_{42 000}

E_{48 000}

27) (ENEM PPL 2011) O responsável por realizar uma avaliação em uma escola convocou alguns professores para elaborar questões e estipulou uma meta mínima. Cada professor deveria elaborar, em média, 13 questões por dia durante uma semana. Nos seis primeiros dias, as quantidades de questões elaboradas por um professor foram 15, 12, 11, 12, 13, 14. Para cumprir a meta mínima, a quantidade mínima de questões que o professor deverá elaborar no último dia é:

A₁₁ B₁₂ C₁₃ D₁₄ E₁₅

28) (ENEM 2012) Jogar baralho é uma atividade que estimula o raciocínio. Um jogo tradicional é a Paciência, que utiliza 52 cartas. Inicialmente são formadas sete colunas com as cartas. A primeira coluna tem uma carta, a segunda tem duas cartas, a terceira tem três caras, a quarta tem quatro cartas, e assim sucessivamente até a sétima coluna, a qual tem sete cartas, e o que sobra forma o monte, que são as cartas não utilizadas nas colunas. A quantidade de cartas que forma o monte é:

A₂₁ B₂₄ C₂₆ D₂₈ E₃₁

29) (ENEM 2014) Um executivo sempre viaja entre as cidades A e B, que estão localizadas em fusos horários distintos. O tempo de duração da viagem de avião entre as duas cidades é de 6 horas. Ele sempre pega um voo que sai de A às 15h e chega à cidade B às 18h (respectivos horários locais). Certo dia, ao chegar à cidade B, soube que precisava estar de volta à cidade A, no máximo até às 13h do dia seguinte (horário local de A). Para que o executivo chegue à cidade A no horário

(23)

correto e admitindo que não haja atrasos, ele deve pegar um voo saindo da cidade B, em horário local de B, no máximo à(s):

A_16h B_10h C_7h D_4h E_1h

Questões médias

30) (UNICAMP) Minha calculadora tem lugar para 8 algarismos. Eu digitei nela o maior número possível, do qual subtraí o número de habitantes do estado de São Paulo, obtendo, como resultado, 63 033 472. Qual era a população do estado de São Paulo nesse ano?

31) (OBMEP 2017 – Nível 1) Em uma mesa há nove cartões numerados de 1 a 9. Ana e Beto pegaram três cartões cada um. A soma dos cartões de Ana é 7 e a soma dos cartões de Beto é 23. Qual é a diferença entre o maior e o menor dos números dos três cartões deixados sobre a mesa?

A₃ B₄ C₅ D₆ E₇

32) (OBMEP 2015 – Nível 1) Ana listou todos os números de três algarismos em que um dos algarismos é par e os outros dois são ímpares e diferentes entre si. Beto fez outra lista com todos os números de três algarismos em que um dos algarismos é ímpar e os outros dois são pares e diferentes entre si. Qual é a maior diferença possível entre um número da lista de Ana e um número da lista de Beto?

(24)

Gabarito

Agora é a sua vez!

Pág. 04

Contudo, uma vez que foi adicionada uma unidade ao número 49, pelo método da compensação, esta unidade deve agora ser retirada da soma. Assim: 87 – 1 = 86.

Pág. 04 9 543 + 2 725 = 9 000 + 500 + 40 + 3 + 2 000 + 700 + 20 + 5 9 543 + 2 725 = 9 000 + 2 000 11 000 + 500 + 700 1 200 + 40 + 20 60 + 3 + 5 8 9 543 + 2 725 = 11 000 + 1 200 + 60 + 8 9 543 + 2 725 = 12 200 + 68 9 543 + 2 725 = 12 268 Pág. 07

CMI DMI UMI CM DM UM C D U

1 2 2 2 2 1 1 1 0 2 8 3 7 4 5 7 3 6 3 6 2 2 3 4 3 8 7 4 4 + 9 6 8 6 7 4 2 2 0 5 4 7 8 5 Pág. 10

Contudo, uma vez que foi adicionada uma unidade ao subtraendo, esta unidade foi “subtraída

a mais” e, portanto, pelo método da compensação, deve agora ser adicionada à diferença. Assim: 42 + 1 = 43.

Pág. 12

CMI DMI UMI CM DM UM C D U

45 123 123 9 10 123 145 134 123 15

- 9 3 8 4 8 7 3 6

4 3 9 1 8 6 6 9 9

Gabarito dos exercícios nas próximas páginas!

(25)

Exercícios

Questões fáceis

1) + 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2) a) 19 b) 85 c) 23 d) 96 e) 72 f) 174 g) 23 h) 29 i) 102 j) 110 k) 82 l) 162 3) a) 1 062 b) 1 100 c) 4 462 d) 7 259 4) a) 784 b) 2 804 c) 9 625 d) 10 401 e) 95 430 f) 132 595 g) 855 861 h) 2 138 950 i) 6 656 441 j) 30 100 959 5) a) 27 b) 32 c) 8 d) 315

6) A tartaruga Tata percorreu 24 quilômetros. 7) 950 cocadas 8) 5574 pães 9) a) Segunda-feira; 1 910 refeições b) Quarta-feira; 1 335 refeições c) 5 5502 almoços; 2 472 jantares 10) 4 480 livros 11) a) 10 966 b) 2 370 c) 9 710

(26)

12) 5 389 13) 4 273 14) a) a = 5; b = 5; c = 2; d = 6 b) a = 4; b = 9; c = 4; d = 2 c) a = 5; b = 4; c = 2; d = 0 15) Su b tr a e n d o Minuendo - 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 2 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 3 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 4 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 5 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 6 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 7 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 8 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 9 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 10 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 11 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 12 8 7 6 5 4 3 2 1 0 13 7 6 5 4 3 2 1 0 14 6 5 4 3 2 1 0 15 5 4 3 2 1 0 16 4 3 2 1 0 17 3 2 1 0 18 2 1 0 19 1 0 20 0 16) a) 29 b) 35 c) 63 d) 3 e) 39 f) 13 g) 87 h) 85 i) 21 j) 4 k) 34 l) 45

(27)

17) a) 537 b) 166 c) 2 093 d) 3 299 e) 21 682 f) 12 154 g) 677 029 h) 258 049 i) 5 382 825 j) 747697067 18) R$ 493,00 19) 51 chocolates 20) 4 887 21) 2 308 22) R$ 21 131,00 23) E 24) B 25) A 26) D 27) D 28) B 29) D

Questões médias

30) 36 966 527 habitantes 31) B 32) E

Bibliografia

• ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS. Maria José. Praticando matemática – 6. 3ª edição renovada. São Paulo: Editora do Brasil, 2012.

• BIANCHINI, Edwaldo. Matemática Bianchini – 6º ano. 8ª edição. São Paulo: Moderna, 2015.

• BIGODE, Antônio José Lopes. Matemática do cotidiano: 6º ano. 1ª edição. São Paulo: Scipione, 2015. • GALDONE, Linos. Projeto Apoema Matemática: 6º ano. 2ª edição. São Paulo: Editoria do Brasil, 2015.

• MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Satiko. Matemática: ideias e desafios - 6º ano. 18ª edição. São Paulo: Saraiva, 2015. • SILVEIRA, Ênio. Matemática: compreensão e prática – 6º ano. 3ª edição. São Paulo: Moderna, 2015.

• YOUSSEF, Antônio Nicolau; PACHI, Clarice Garneiro da Fonseca; HESSEL, Heloísa Maria. Linguagens e aplicações: Matemática – 6º ano. 1ª edição. São Paulo: Cereja Editora, 2015.

• https://www.mathsisfun.com/numbers/addition-tips-tricks.html. Acesso em: 24 de março de 2018. Tradução nossa. • https://www.homeschoolmath.net/teaching/a/subtract_mentally_2_digit.php. Acesso em: 25 de março de 2018. Tradução

nossa.

• http://portal.inep.gov.br/provas-e-gabaritos. Acesso em: 25 de março de 2018.