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Matemática Financeira. Prof. MSc. Denilson Nogueira da Silva

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(1)

Matemática Financeira

Prof. MSc. Denilson Nogueira da Silva

denilsonnogueira@uol.com.br

(2)

Í

ndice

1 -INTRODUÇÃO ... 3

1.1 – O Excel ... 3

1.2 A Calculadora HP12C. ... 3

1.3 Principais Operações do Excel ... 4

1.4 Operações com HP12C ... 5 1.5 Raiz Quadrada ... 5 1.6 Raiz Enésima... 5 1.7 Potenciação ... 5 1.8 Porcentagem ... 5 1.9 Variação Percentual ... 6

1.10 Operações com datas. ... 6

1.11 Algumas Funções Estatísticas ... 7

2. JUROS SIMPLES ... 8

2.1 Principais Nomenclaturas ... 8

2.2 Adaptação a outras nomenclaturas: ... 8

2.3 Fórmulas Básicas ... 8

2.4 Representação gráfica ... 9

2.5 Juros Simples na HP12C ... 9

2.6 Juros Simples no Excel: ... 9

3. Juros Compostos... 10

3.1 Formulário:... 10

3.2 Calculando o Valor Presente: ... 11

3.3 Calculando a Taxa:... 11

3.4 Calculando o Período ... 12

4. Conversão de Taxas de Juros:... 13

4.1 Juros Simples: ... 13 4.2 Juros Compostos: ... 13 5. Capitalização ... 14 6. Descontos ... 14 6.1 Descontos Simples ... 15 6.2 Descontos Compostos ... 15

7. Séries Uniformes de Pagamentos ... 17

7.1 Anuidades Postecipadas ... 17 7.2. Anuidades Antecipadas ... 18 7.3. Séries Diferidas ... 19 8. Séries Variáveis ... 20 9. Introdução à amortização... 21 10. Indicadores de Viabilidade ... 24 10.1 Payback (PB)... 24 10.2 Payback Descontado (PBD) ... 25

10.3 Valor Presente Líquido (VPL) ... 26

10.4 Taxa Interna de Retorno (TIR) ... 27

(3)

1 -

I

NTRODUÇÃO

Neste capítulo inicial faremos uma breve abordagem das características e operações do Excel e da calculado-ra HP12C.

1.1 – O Excel

O MSExcel é um Software composto de planilhas visando, principalmente, à execução de cálculos. Cada planilha é dividida em linhas (de 1 a 1.048.576) e colunas de (A a XFD). A junção de uma linha com uma coluna é chamada de célula, assim, a célula A10 é representativa da Coluna A com a Linha 10.

As fórmulas são digitadas na Barra de Fórmulas. Quando a planilha estiver apontada para a célula B5, por exemplo, o posicionamento aparecerá na Caixa de Nome e o seu conteúdo na Barra de Fórmulas, sendo o resultado mostrado na própria célula.

Figura 1.

1.2 A Calculadora HP12C.

Ligando e desligando a Calculadora: Indicação de bateria fraca:

Importante: remover as baterias somente com a calculadora desligada. Realizando a operação com a calcu-ladora ligada, pode haver perda de memória inutilizando a calcucalcu-ladora.

Cada tecla pode efetuar duas ou três funções simultâneas, dependendo da cor da função. Exemplo: A tecla n:

Separadores de dígito: a HP trabalha com o padrão americano. Exemplo: Mil Dólares = USD 1,000.00.

Alterando o padrão : Desligue a calculadora. Mantenha pressionado e ligue novamente. Resultado: Barra de Fórmulas Coluna B Linha 5 Célula B5 Caixa de Nome *

Para acionar esta Função, pressione a tecla f e depois N Para acionar esta Função, pressione a tecla g e depois N

(4)

Mil Dólares = USD 1.000,00.

Números Negativos: Para fazer uma operação com números negativos, digite o número e depois a tecla (CHS = CHange Sign = Trocar Sinal).

Números grandes: Precisamos fazer um cálculo com o PIB (Produto Interno Bruto) brasileiro. Supomos que seja de um trilhão, quatrocentos e noventa e cinco bilhões e quinhentos e cinqüenta milhões, assim represen-tados: R$1.495.455.000.000,00, ou 1495455000000. O visor só comporta 10 dígitos e temos treze. Se deslo-carmos a casa decimal 12 vezes, teremos: 1,495455 x 1012. Para o exponencial utilizamos a tecla

Assim, faremos: 1,495455 12 Tecla CLEAR (Limpar):

Limpa o visor

Limpa os registradores estatísticos

Limpa a memória de programação

Limpa a memória financeira

Limpa os registradores

Casas decimais: pressione e quantidade de casas que deseja.

1.3 Principais Operações do Excel Excel:

Operador Operação Exemplo Fórmula

+ Adição Para somar os dois valores digi-tados nas células A1 e A2 de uma planilha

= A1 + A2

- Subtração Para subtrair da célula A2 um valor digitado em A3

= A2 – A3 * Multiplicação Para multiplicar os valores das

células D4 e D6

= D4 * D6 / Divisão Para dividir o valor da célula A2

pelo valor de A3

= A2 / A3 ^ Potenciação Para elevar o valor da célula A2

ao expoente da célula A3

= A2 ^ A3

(5)

Somar o valor de A1, na Plan1 com A2 na Plan2: =Plan1!A1+Plan2!A2 Operação entre Arquivos

Buscar os dados da Célula B16, na Planilha Maio do Arquivo ENEM2004: =[arquivo.XLS]Maio!B16

1.4 Operações com HP12C

As operações são feitas da seguinte forma: Exemplo 1: 52 x 5 = 260

1. Introduza o primeiro número (52) 2. Pressione (resultado: 52,00) 3. Introduza o segundo número (5) 4. Pressione o operador ( X ) 5. Resultado: 260,00

Exemplo 2: (52 x 5) + (30 x 3) = 350

1. Introduza o primeiro número da primeira operação (52) 2. Pressione (resultado: 52,00)

3. Introduza o segundo número da primeira operação (5) 4. Pressione o operador ( X )

5. Introduza o primeiro número da segunda operação (30) 6. Pressione (resultado: 30,00)

7. Introduza o segundo número da segunda operação (3) 8. Pressione o operador ( X )

9. Pressione o operador ( + )

1.5 Raiz Quadrada

Excel: sendo o conteúdo da Célula A1 = 25, deseja-se em A2 = 25 = Raiz(A1) HP12C:

1.6 Raiz Enésima

Excel: sendo o conteúdo da Célula A1 = 25, deseja-se em A2 = 3 27 = (A1)^(1/3), lembrando que

      = 3 1 3 27 27 HP12C: 1.7 Potenciação

Excel: sendo o conteúdo da Célula A1 = 7, deseja-se em A2 = 73 = (A1)^(3)

HP12C:

1.8 Porcentagem

A ENEM S/A teve uma Receita Bruta de R$5.000,00, com Impostos sobre vendas de 20% e Gastos de R$1.800,00: Excel: ENTER ENTER ENTER ENTER 25 g ENTER 27 3 1 / x y x ENTER 7 3 y x

(6)

É importante notarmos que qualquer alteração na alíquota basta alterar D4 e a planilha é recalculada. HP12C: Cálculo da Alíquota:

Cálculo da Receita Líquida:

1.9 Variação Percentual

O lucro da Empresa em 2003 foi de R$1.800,00. Assim, a variação percentual:

HP12C:

1.10 Operações com datas.

Nas operações financeiras, normalmente deseja-se saber a variação entre uma data e outra, ou seja, quantos dias há entre as duas datas. Deseja-se saber quantos dias existem entre um empréstimo efetuado em 22/02/2004, pago em 28/10/2004.

HP12C

1. Habilitar a função D.MY: (aparece D.MY no visor). 2. Lançar a Data digitando Dia Vírgula Mês e Ano

3. Para desabilitar a função D.MY:

4. Assim, para a Data digita-se Mês Vírgula Dia e Ano HP12C:

Excel: sendo o conteúdo da Célula A1 = 22/02/2004 e A2 =28/10/2004, o resultado em A3 será = A2-A1, ou 249.

O Excel conta também os dias úteis, da seguinte forma:

Habilite as ferramentas de análise em: FERRAMENTAS / SUPLEMENTOS / FERRAMENTAS DE ANÁ-LISE.

Sintaxe:DIATRABALHOTOTAL(data_inicial;data_final;feriados) O(s) feriado(s) deve(m) estar em uma célula ou faixa de células.

Exemplo: um município com dois feriados em Junho de 2004:

Resultado Alíquota Fórmula ENTER 5000 20 % ENTER 5000 20 % - Fórmula ENTER 1800 2200 ∆% ENTER 22,022004 g 4 g 5 28,102004 g ∆DYS

(7)

Outro exemplo é uma aplicação vencível em 60 dias úteis, contratada 01/09/2004: A1 = 01/09/2004 A2 = 60 A3 = 07/09/2004 (1º Feriado) A4 = 12/12/2004 (2º Feriado) A5 = 02/11/2004 (3º Feriado)

A6 = DIATRABALHO(A1;A2;A3:A5) (formatar para data).

1.11 Algumas Funções Estatísticas HP12C:

Somatório e Produtório:

Primeiramente, deve-se limpar a memória de soma da calculadora com: ou

A cada dado, ou par de dados lançados, a HP12C acumula-os da seguinte forma:

R1 n Número de dados lançados (também aparece no Display). R2 ∑x Somatório dos valores de x.

R3 ∑x2 Quadrado da Soma dos valores de x. R4 ∑y Somatório dos valores de y.

R5 ∑y2 Quadrado da Soma valores de y. R6 ∑xy Somatório do produto de xy.

Lembrando que: cada registrador equivale a uma operação STO / RCL. Exemplo: 25 STO 3 Valor 25 armazenado no Registrador 3 (STORAGE).

RCL 3 Traz de volta o valor do registrador 3 (RECALL).

Exemplo 3: Em uma conta corrente ocorreram os seguintes eventos: Saldo Inicial: R$15,23 Depósito de R$1.000,00 Depósito de R$589,00 Cheque compensado de R$879,52 Pagamento de Tarifa de R$12,00 Retirada de R$ 800,00 Saldo: -R$87,29

Exemplo 4: Uma carteira de ações de R$5.000,00 obteve os seguintes retornos:

Resultados do Portfólio:

Retorno Médio

( )

x : = 0,024 = 2,4%

Investimento Médio

( )

y : = R$1.000,00 Desvio Padrão dos Retornos (Risco) = 7,02% Retorno do Investimento (Produtório): = R$ 29,00 No Excel:

Empresa Valor Taxa A R$ 500,00 5% B R$ 800,00 7% C R$ 1.500,00 -6% D R$ 1.300,00 -4% E R$ 900,00 10% Total R$ 5.000,00 f f SST f 15,23 ∑+ ∑+ 1000 ∑+ 879,52 CHS ∑+ 589 ∑+ 12 CHS ∑+ 800 CHS RCL 2 f ENTER 500 0,05 ∑+ ENTER 800 0,07 ∑+ ENTER 1500 CHS 0,06 ENTER 1300 CHS 0,04 ENTER 900 0,1 ∑+ ∑+ ∑+ 0 g 0 g x ⇐⇐⇐⇐ y s g 6 RCL

(8)

Exercício de fixação (resolver no Excel e na HP12C):

1) Calcule o retorno médio e o risco de um investimento que apresentou o seguinte perfil: Ano Cambial Mercado acionário

1999 4% 20%

2000 -5% -15%

2001 8% 16%

2002 3% 5%

2003 10% 30%

Compare os Retornos com os respectivos Riscos

2. JUROS SIMPLES

O Juro Simples se caracteriza pela retirada dos Juros (pago ou recebido), sendo a base do entendimento da Matemática Financeira, uma vez que as outras fórmulas derivam do Juro Simples.

2.1 Principais Nomenclaturas

P = Principal ou Valor Presente (valor atual ou original da operação). j = Juro (valor pago ou recebido).

n = Período da operação.

i = Taxa da operação expressa em porcentagem, podendo ser ao dia (a.d.), ao mês (a.m.), ao ano (a.a.) ou a qualquer outro período.

S = Montante (resultado da Operação).

2.2 Adaptação a outras nomenclaturas: P = C = Vp = Pv S = M = Vf = Fv 2.3 Fórmulas Básicas n . i. P j= S=P+ j

Substituindo-se na segunda a primeira, tem-se:

=SOMA(B2:B6) =B2*C2 =SOMA(D2:D6) =MÉDIA(D2:D6) =MÉDIA(B2:B6) =DESVPAD(D2:D6)

(9)

) n . i 1 ( P S n . i. P P S= + ∴ = +

Exemplo 5: Um investimento de R$4.000,00 foi feito por um ano a uma taxa simples de 2%a.m. 00 , 960 $ 12 x 02 , 0 x 4000 $ j= = e S=$4.000+$960=$4.960,00, ou: 00 , 960 . 4 $ 24 , 1 x 000 . 4 $ ) 12 x 02 , 0 1 ( 000 . 4 $ S= + = = 2.4 Representação gráfica 2.5 Juros Simples na HP12C

A HP12C calcula Juros Simples com ano comercial (360 dias) ou normal (365 dias). Mas, em qualquer situ-ação, é importante obedecer às seguintes regras:

Observações:

a) a taxa deve estar ao ano; b) o período deve estar em dias.

Exemplo 6: Um investidor aplica R$1.000,00 por 2 meses a uma taxa simples de 16%a.m.

Resultado dos Juros para ano comercial: Montante a resgatar para ano comercial: Montante a resgatar com base 365 dias:

Observação: Quando se digita, troca-se o sinal para obedecer ao fluxo de caixa de investimento, pois, na visão do investidor, primeiro o dinheiro sai do bolso (negativo).

2.6 Juros Simples no Excel:

Exercícios de Juros Simples

1) Qual o juro aplicado a um investimento de $5.600,00 a uma taxa de 4,8%a.m. durante um ano?

2) Qual o montante a resgatar na questão anterior?

3) Qual o período que $25.000 deve ficar aplicado para se transformar em $30.000 a uma taxa de 83%a.a.? (resposta em dias).

4) Qual a taxa necessária para transformar $40.000 em $50.000 durante 5 meses? 5) Qual o montante de uma aplicação de R$1.300 por 75 dias a uma taxa de 11%a.a.?

-$4.000,00 11 x $80,00 $4.000,00 + $80,00 CHS 1000 PV 16 i 60 n f int f int + f int R x ⇐⇐⇐⇐ y + CHS 1000 PV ) in 1 ( P S= +

(10)

3. Juros Compostos

Denomina-se composição de juros a reaplicação da parcela de juros.

Exemplo 6: Uma aplicação de R$1.000,00 a juros compostos a uma taxa de 10%a.m., durante 3 meses.

1º Mês: 2º Mês: 3ºMês

Resultado:

3.1 Formulário:

Como a composição do Juro se dá pelo reinvestimento, temos pela fórmula de Juros Simples, para n = 1

1 n ) i 1 .( P S1 = 1 + ∀ =

Para n=2 (lembrar que o Principal no 2º mês é o montante do 1º mês):

) i 1 ).( i 1 .( P S ) i 1 .( S S 1 n ) i 1 .( P S2 = 2 + ∀ = → 2 = 1 + ∴ 2 = 1 + +

Para n=3 (lembrar que o Principal no 3º mês é o montante do 2º mês):

) i 1 ).( i 1 ).( i 1 .( P S ) i 1 .( S S 1 n ) i 1 .( P S3 = 3 + ∀ = → 3 = 2 + ∴ 3 = 1 + + +

Desta forma, no enésimo mês:

n n P.(1 i)

S = + , que é a fórmula geral dos Juros Compostos. Resolvendo o Exemplo 6, tem-se:

00 , 331 . 1 $ R 331 , 1 . 1000 ) 1 , 1 .( 1000 %) 10 1 ( 1000 S ) i 1 .( P S= + n∴ = + 3 = 3 = = No Excel: Sintaxe: VF(taxa;nper;pgto;vp;tipo) Taxa: é a taxa de juros por período.

nper: é o número total de períodos de pagamento em uma anuidade.

pgto: é o pagamento feito a cada período; não pode mudar durante a vigência da anuidade. Geral-mente, pgto contém o capital e os juros e nenhuma outra tarifa ou taxas. Se pgto for omitido, você deverá incluir o argumento vp, assim, para o cálculo de juros compostos, sem pagamentos interme-diários.

vp: é o valor presente ou a soma total correspondente ao valor presente de uma série de pagamentos futuros.

tipo: o número 0 ou 1 indica as datas de vencimento dos pagamentos, podendo ser início do período (0), ou final do período (1). Só é relevante para cálculo de séries de pagamento.

Na HP12C: R$1.000 R$100 R$1.000 R$1.100 R$110 R$1.100 R$1.210 R$121 R$1.210 R$1.000 R$1.331 CHS 1000 PV 10 i 3 n FV

(11)

3.2 Calculando o Valor Presente: n n ) i 1 ( S P ) i 1 .( P S + = → + =

Exemplo 7: Quanto deve ser aplicado hoje, para obter R$5.000,00 em 2 anos a uma taxa de 0,65%a.m. 96 , 279 . 4 $ R 1682 , 1 5000 0065 , 1 5000 %) 65 , 0 1 ( 5000 ) i 1 ( S P n 24 = 24 = = + = + =

Observar que n = 24, para igualar o período da Taxa ao próprio Período.

Cálculo do Valor Presente no Excel: Sintaxe: VP(taxa;nper;pgto;vf;tipo)

Cálculo do Valor Presente na HP12C:

3.3 Calculando a Taxa: 1 P S i P S i 1 P S ) i 1 ( ) i 1 .( P S n 1 n 1 n n                 = ∴       = + ∴       = + → + = Lembramos que : n 1 n y x y x = ⇔ =

Exemplo 8:Um empréstimo de R$5.600,00 foi pago 6 meses depois com R$8.000,00.

(

)

(

)

(

)

. m . a % 1248 , 6 061248 , 0 i 1 061248 , 1 1 42857 , 1 1 600 . 5 000 . 8 1 P S i 6 0,16 1 n 1 = = − = − = −                 = −                 =

Cálculo do Valor Presente no Excel:

Sintaxe: TAXA(nper;pgto;vp;vf;tipo;estimativa)

No Excel a Estimativa é utilizada para acelerar o cálculo, uma vez que o cálculo é feito por tentativas suces-sivas.

Na HP12C:

CHS

5000 FV 0,65 i 24 n PV

Observar que nper é multiplicado por 12 para igualar à taxa.

A TAXA é calculada por iteração e pode ter zero ou mais soluções. Se os resultados sucessivos de TAXA não convergirem para 0,0000001 depois de 20 iterações, TAXA retornará o valor de erro #NÚM!.

CHS

(12)

Pode ser resolvido também de forma científica (para outras calculadoras): 3.4 Calculando o Período

( )

1 i Log P S Log n P S Log ) i 1 ( nLog P S ) i 1 ( ) i 1 .( P S n n +       = ∴       = + ∴       = + → + = Lembrando que:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

a Ln b Ln a Log b Log x b Log a Log . x b ax = → = ∴ = =

Exemplo 9: Deseja-se obter R$10.000,00 ao final de uma aplicação de R$9.000,00, a uma taxa de 2%a.a. Qual o período de aplicação?

( )

(

)

5,320532 0086 , 0 045755 , 0 02 , 1 Log 1 , 1 Log 02 , 0 1 Log 9000 10000 Log i 1 Log P S Log n = = = +       = +       =

O cálculo com Log Natural também leva ao mesmo resultado:

( )

(

)

5,320532 019803 , 0 105361 , 0 02 , 1 Ln 1 , 1 Ln 02 , 0 1 Ln 9000 10000 Ln i 1 Ln P S Ln n = = = +       = +       =

Se repetirmos o cálculo, com qualquer Base, iguais na divisão, positiva e maior que 1 (um), o resultado con-tinuará sendo o mesmo.

Cálculo do Período no Excel:

Sintaxe: NPER(taxa;pgto;vp;vf;tipo)

Lembrando que se arredondarmos para 5 meses, não alcançaremos R$10.000,00 e sim R$9.936,72, por isso a HP12C mostrará o resultado com 6. Para efeito de cálculos, teríamos na verdade 5 meses e 10 dias.

Na HP12C:

Pode ser resolvido também de forma científica (para outras calculadoras):

÷ 8000 Enter 1 5600 yx 6 1/x - 100 x CHS 9000 PV 10000 FV 2 i n ÷ 10000 Enter 0,02 9000 Enter g 1 ÷ g Ln Ln ÷

(13)

Exercícios de juros compostos:

1 – DETERMINE O MONTANTE DE UMA APLICAÇÃO DE R$ 3.500,00 A UMA TAXA DE 2% a .m. POR UM PERÍODO DE 2 ANOS.

2 - DETERMINE O VALOR QUE DEVE SER APLICADO HOJE, PARA OBTER R$ 5.000,00, DAQUI A 5 MESES A UMA TAXA DE 0,5% a .d.

3 – DETERMINE QUANTO UMA PESSOA IRÁ PAGAR TOMANDO UM EMPRÉSTIMO HOJE PARA PAGAR DAQUI A 90 DIAS A UMA TAXA DE 12% a . m.. obs: O EMPRÉSTIMO FOI DE R$ 3.000,00.

4 – DETERMINE QUANTO TEMPO UM INVESTIMENTO DE R$ 5.000,00 SE TRANSFORMA EM R$ 6.655,00 A UMA TAXA DE 10% a . m.

5 – DETERMINE O PERÍODO NECESSÁRIO PARA QUE R$ 14.000,00 SE TRANSFORME EM R$ 17.484,08 A UMA TAXA DE 2,5% a . m.

6 – DETERMINE O TEMPO NECESSÁRIO PARA TRIPLICAR UM CAPITAL A UMA TAXA DE 12% a . m.

4. Conversão de Taxas de Juros:

4.1 Juros Simples:

A conversão de Juros Simples é linear, assim, pode ser resolvida, entre outras maneiras por regra de três, da seguinte forma:

Exemplo 11: Sendo uma taxa de 36%a.a., determine a taxa equivalente a: a) 3 meses: 36% 12 meses

x 3 meses 12x = 36%. 3 x =9% a.t.

b) 1 dia: 36% 360 dias

x 1 dia 360x = 36% x =0,1% a.d.

c) 257 dias: x = 0,1%a.d. .257 = 25,7%a.257d.

4.2 Juros Compostos:

A conversão de Juros Compostos é exponencial, assim, obedecendo à seguinte regra, por exemplo:

(

) (

)

(

)

30

(

a.d.

)

1 . m . a 30 . d . a . m . a 1 i 1 i 1 i i 1+ = + → + = +

De modo geral, teremos a conversão menor elevada a quantidade de períodos da conversão maior. Resolven-do o Exemplo 11 para juros compostos: senResolven-do uma taxa de 36%a.a., determine a taxa equivalente a:

a) 3 meses:

(

) (

)

(

) (

)

(

1 36%

)

(

1 i

)

i

( )

1,36 1 7,99%at.. i 1 i 1 i 1 i 1 25 , 0 . t . a . t . a 12 3 3 12 . t . a . a . a 12 . m . a . a . a = − = ∴ + = + + = + → + = + b) 1 dia:

(

) (

)

(

)

(

)

(

1 36%

)

(

1 i

)

i

( )

1,36 1 0,08545%a.d. i 1 i 1 i 1 i 1 7 002 , 0 . d . a . d . a 360 1 . d . a 360 1 . a . a 360 . d . a . a . a = − = ∴ + = + + = + → + = + c) 257 dias:

(

) (

)

(

)

(

)

(

1 36%

)

(

1 i

)

i

( )

1,36 1 24,55%a257.d. i 1 i 1 i 1 i 1 8 713 , 0 . d . a . d . a 360 257 . d 257 . a 360 257 . a . a 257 360 . d 257 . a . a . a = − = ∴ + = + + = + → + = +

(14)

Resolução da Conversão Composta na HP12C: Sendo: 36%a.a. = 24,55% a.257d.

Resolução no Excel:

5. Capitalização

O processo de capitalização consiste em, a partir de uma determinada taxa, capitalizar os períodos de rendi-mento. Um exemplo típico de taxa capitalizada é a poupança com aniversário.

Por exemplo: uma poupança com aniversários todo dia 10, se receber um depósito no dia 15 de junho, este depósito só contará a partir de 10 de julho, com o rendimento sobre o mesmo sendo creditado dia 10 de agos-to. Da mesma forma, se um resgate for efetuado no dia 1/set, o rendimento entre 10/ago e a data do resgate será perdido, conforme o fluxo abaixo:

Exemplo 12: Um investimento de R$5.000,00 foi contratado por dois anos a uma taxa de 24%a.a. com capi-talização mensal. Qual o valor de resgate?

1º passo: Trazer a taxa para o período de capitalização, utilizando Juros Simples. . m . a % 2 12 % 24 12 i ia.m.= a.a. = =

2º passo: Levar a taxa para o período capitalizado, utilizando Juros Compostos.

(

1 i

) (

1 i

)

ia.24m

(

1 2%

)

24 1 1,0224 1 1,6084 60,8437% 24 m . a m 24 . a = + ∴ = + − = − = =

+ 3º passo: Aplicar a taxa ao

valor capitalizado:

(

1 i

)

5000

(

1 60,8437%

)

R$8.042,19 P

S= + a.24m = + =

6. Descontos

Descontos são operações financeiras de antecipação de pagamento, onde o valor nominal sofre uma redução do seu pagamento. A categoria descontos dividi-se em:

Racional Simples ÷ 36 Enter 1 100 257 Enter 1 Enter 360 ÷ yx - 100 ÷

10/jun 10/jul 10/ago 10/set

Depósito 15/jun

Cômputo do depósito para efeito de juros

Juros Creditados

Resgate: 1/set Juros não

(15)

Comercial

Racional Composto

Comercial

Os Descontos Comerciais são conhecidos como por fora, ao passo que os Descontos Racionais são conheci-dos como por dentro.

6.1 Descontos Simples

6.1.1 Desconto Racional Simples: consiste em calcular o Valor do Título através da fórmula padrão de Ju-ros Simples:

, onde: V = Valor atual do título e N = Valor Nominal (ou de face) do título.

Exemplo 13: Deseja-se descontar um título no valor de face de R$1.300,00, vencível em 10/12/2004, em 15/08/2004. A taxa praticada é de 16%a.a.

Taxa ao dia: 0,04%a.d. 360 % 16 360 i ia.d.= a.a. = = Cálculo do n: = 117 dias

Assim, o valor do Desconto será:

D = V – N = R$1.300,00 – R$1.235,74 = R$64,25

6.1.2 Desconto Comercial Simples

É o desconto bancário simples, onde a taxa linear de desconto é chamada de d.

(

1 dn

)

N V = −

Assim, conforme o exemplo anterior, o desconto comercial simples será:

(

1 dn

)

1300

(

1 117.0,0004

)

1300

(

1 0,052

)

1300.

(

0,948

)

R$1.232,40 N

V = − = − = − = = D = V – N =

R$1.300,00 – R$1.232,40 = R$67,60

6.1.3 Formulário do Desconto Simples

Racional Comercial

6.2 Descontos Compostos

Caracterizam-se por utilizar a base de Juros Compostos no seu cálculo. 6.2.1. Desconto Racional Composto

      + = n . i 1 n . i. N Dr Dc = N.d.n

(

1 d.n

)

N VC = −       = n . V D d r r r       + = n . i 1 N Vr       − = n . d 1 d dc

(

1 in

)

N V + = ENTER 15,082004 10,122004 g ∆DYS

(

)

R$1.235,74 052 , 1 1300 % 4 0 , 0 . 117 1 1300 V = = + =

(16)

Exemplo 14: Uma empresa possui um Título que o seu valor de face é R$4.500,00, vencível em 75 dias. Ela consegue descontá-lo a uma taxa de 8%a.m. O valor recebido será:

Desta forma, o desconto será de:

D = V – N = R$4.500,00 – R$3.712,39 = R$787,61

6.2.2 Desconto Comercial Composto

É o mais utilizado por obter um desconto maior, sendo assim representado:

Utilizando o Exemplo 14, teremos:

Desta forma, o desconto será de:

D = V – N = R$4.500,00 – R$3.545,29 = R$954,71

6.2.3. Formulário do Desconto Composto

Racional Comercial       + = n f ) i 1 ( N V

( )

1,2122 R$3.712,39 4500 08 , 1 4500 ) 08 , 0 1 ( 4500 V 5 , 2 5 , 2 f =      =         =         + =

( )

(

n

)

(

( )

n

)

C N N 1 i 1 N 2 1 i V = − + − = − +

(

)

(

2 1 0,08

)

4500

(

2 1,2122

)

R$3.545,29 4500 VC = − + 2,5 = − =

( )

(

1 i 1

)

N DC = + n

( )

(

1 i 1

)

dC = + n −       + − + = n n f ) i 1 ( 1 ) i 1 ( d       + = n f ) i 1 ( N V       + − + = n n f ) i 1 ( 1 ) i 1 ( N D

( )

(

n

)

C N 2 1 i V = − +

(17)

n i% a

3 2,5% a

1) Determine a taxa equivalente em juros simples a 15%a.a. para: a) 2 meses

b) 75 dias c) 2 trimestres d) 17 meses

2) Determine a taxa equivalente em juros compostos a 16,25%a.a. para: a) 2 meses

b) 75 dias c) 2 trimestres d) 17 meses

3) Uma aplicação de $3.000,00 foi feita por 20 meses a uma taxa de 24%a.a. Determine o valor do resgate, sendo a capitalização:

a) Mensal b) Diária c) Semestral

4) Um título de $5.000 para vencimento daqui a 3 meses foi oferecido pagando $4.500,00 pelo mesmo, a juros compostos simples racional. Determine a taxa praticada.

5) Um título de $8.000,00 para vencimento a 300 dias foi descontado com uma taxa de desconto co-mercial simples de 0,003% a.d. Pergunta-se:

Qual o valor do desconto? ___________________________

Qual o valor pago? _________________________________

Qual a taxa efetiva praticada? ________________________

6) Determine a taxa de um desconto racional composto de um título de $6.000,00 que teve um descon-to de $300,00 por 3 meses.

7. Séries Uniformes de Pagamentos

As séries uniformes são caracterizadas por pagamentos regulares, a uma mesma taxa de juros durante todo o período.

Exemplo 15: Um equipamento de R$1.500,00 é vendido em três prestações mensais e fixas, a uma taxa de 2,5%a.m. Deseja-se saber o valor das prestações.

7.1 Anuidades Postecipadas

A anuidade é o fator que compõe o pagamento, sendo assim representada:

Onde, no exemplo 15, seria: 7.1.1 Cálculo da Anuidade Postecipada:

Substituindo: n i% a

( )

( )

1 i PMT. . i 1 i 1 . PMT VP n n =         + − + =

(

)

(

)

(

)

(

)

21 , 525 $ 856 , 2 1500 0269 , 0 0769 , 0 1500 0769 , 1 . 025 , 0 1 0769 , 1 1500 025 , 0 1 . 025 , 0 1 025 , 0 1 . 1500 3 3 R PMT PMT = = =       =       = ∴       + − + =

(18)

Utilizando a HP12C

Cálculo da Anuidade no Excel:

Sintaxe: PGTO(taxa;nper;vp;vf;tipo) O Tipo = 0 significa postecipada.

Quando utilizamos o VF significa que restou algum resíduo.

7.1.2 Cálculo de uma Anuidade Postecipada a Valor presente

Exemplo 16: Em um programa de televisão intitulado Sua Resposta vale um Milhão, um participante ganhou o prêmio máximo, porém, na hora de receber soube que receberia 25 parcelas de R$40.000,00. Considerando a taxa de juros 1% a.m., o valor correto do prêmio seria:

Utilizando a HP12C

7.1.3 Cálculo do período de uma Anuidade Postecipada. Utilizando o exemplo 16:

( )

(

)

(

( )

)

(

)

( )

25 00995 , 0 2487 , 0 01 , 1 Ln 7798 , 0 Ln 01 , 1 Ln 2202 , 0 1 Ln 01 , 0 1 Ln 01 , 0 . 000 . 40 23 , 926 . 880 1 Ln i 1 Ln i. PMT VP 1 Ln n = − − = − = = − − = +       − = +       − − =

7.1.4. Cálculo da Taxa de uma anuidade Postecipada.

Não se pode obter uma fórmula para a determinação precisa da taxa de juros de uma série uniforme. Ela só é obtida a partir da tentativa e erro, com o cálculo de uma taxa estimada:

(

)

(

40.000

( )

25

)

0,04541 0,03524 1,02% 23 , 926 . 880 23 , 926 . 880 000 . 40 n . PMT VP PV PMT ie = − 2 = − 2 = − =

Recalculando o PMT para 1,02%, obtemos: R$878.752,46, portanto acima do pretendido. Nos passos seguin-tes ajustaríamos i, a partir de ie, para chegarmos a um valor mais próximo.

7.2. Anuidades Antecipadas

A anuidade Antecipada se caracteriza pelo fato da primeira prestação ser efetuada no ato da contratação.

(

)

(

)

(

(

)

)

23 , 926 . 880 $ R 012824 , 0 2824 , 0 000 . 40 2824 , 1 . 01 , 0 1 2824 , 1 000 . 40 PV 01 , 0 1 . 01 , 0 1 01 , 0 1 . 000 . 40 PV 25 25 =       = =       = ∴         + − + = N 40000 PMT 25 1 i PV N 1500 PV 3 2,5 i PMT

(19)

Utilizando ainda o exemplo 16, em uma série antecipada o pagamento seria do tipo: 1 parcela no ato mais 24 mensais.

7.2.1 Cálculo da Anuidade Antecipada:

( )

( )

( )

( )

(

21,2434

)

40.000 849.735,49 889.735,49 . 000 . 40 000 . 40 012697 , 0 2697 , 0 . 000 . 40 000 . 40 01 , 0 . 2697 , 1 1 2697 , 1 . 000 . 40 000 . 40 01 , 0 . i 1 1 01 , 1 000 . 40 000 . 40 i. i 1 1 i 1 PMT PMT PV 24 24 1 n 1 n = + = + =       + =       − + =         + − + =         + − + + = −

7.2.2 Cálculo de uma Anuidade Antecipada a Valor presente

( )

( )

( )

( )

(

(

)

)

(

0,04496

)

40.000,00 . 49 , 735 . 889 2824 , 0 012697 , 0 49 , 735 . 889 1 2824 , 1 01 , 0 . 2697 , 1 49 , 735 . 889 1 01 , 1 01 , 0 . 01 , 1 49 , 735 . 889 1 i 1 i. i 1 VP PMT 25 24 n 1 n = =       =       − =         − =         − + + = −

7.2.3 Cálculo do período de uma Anuidade Antecipada.

( )

( )

( )

( )

[

]

( )

[

( )

]

1 24 1 25 00995 , 0 2388 , 0 1 01 , 1 Ln 7876 , 0 Ln 1 01 , 1 Ln 2224 , 0 01 , 1 Ln 1 01 , 1 Ln 01 , 0 . 000 . 40 49 , 735 . 889 01 , 1 Ln 1 i 1 Ln i. PMT VP i 1 Ln n = + = + − − = + − = + − − = +       − − = + +       − + − =

7.2.4 Cálculo da Taxa de uma Anuidade Antecipada.

(

)

(

)

(

(

)

)

(

)

( )

0,047 0,03688 0,0101 1% 576 000 . 40 49 , 735 . 849 49 , 735 . 849 000 . 40 1 25 000 . 40 000 . 40 49 , 735 . 889 000 . 40 49 , 735 . 889 000 . 40 1 n PMT PMT PV PMT PV PMT ie 2 2 = = − =       −       =         − − −       − =         − − −       − =

Este método também fornece um valor aproximado de i

7.3. Séries Diferidas

Este tipo de série tem uma seqüência de capitais de valores nominalmente iguais e uniformes, com exceção do primeiro período, chamado de carência.

Utilizando ainda o Exemplo 16, podemos supor que se o prêmio de UM MILHÃO fosse pago em 25 parcelas de R$40.000 com a primeira daqui a três meses:

( )

( )

(

(

)

)

(

)

(

)

R$855.018,32 03213 , 0 2824 , 0 000 . 40 3213 , 1 . 01 , 0 1 2824 , 1 000 . 40 PV 01 , 0 1 . 01 , 0 1 01 , 0 1 . 000 . 40 i. i 1 1 i 1 . PMT PV 28 25 c n n =       =       = ∴         + − + =         + − + = +

(20)

8. Séries Variáveis

As séries variáveis são caracterizadas por pagamentos irregulares, na qual cada parcela deve ser calculada individualmente, sendo o seu valor presente a soma das séries.

Exemplo 17: Um investimento pagou parcelas mensais de R$4.500, R$5.000 e R$5.500. Qual o valor presen-te despresen-te investimento, considerando que nespresen-tes meses o IGPM foi de: 1,31%(Mai/2004)?

( )

(

) (

)

(

)

n n n 2 2 2 n 1 j 1 1 1 j j j i 1 FC ... i 1 FC i 1 FC i 1 FC VP + = + + + + = + =

= Resolvendo, temos:

(

) (

) (

)

73 , 602 . 14 $ R 39 , 289 . 5 $ R 53 , 871 . 4 $ R 82 , 441 . 4 $ R 0131 , 0 1 500 . 5 0131 , 0 1 000 . 5 0131 , 0 1 500 . 4 VP 1 2 3 = + + = + + + + + =

Este seria o valor na contratação, ou seja, FEV/2004 Utilizando a HP12C:

1) Uma pessoa deposita $2.450,00 todo fim de mês em um fundo de investimento que paga juros no-minais de 120%a.a. capitalizados mensalmente. Calcular o montante de aplicação no fim do 16º mês. R.: $88.076,84

2) Uma compra no valor de $16.000,00 será paga por meio de uma entrada de 20% e um determinado número de prestações mensais de $4.038,02, sendo a primeira, um mês depois da compra. A juros efetivos de 10% a.m., calcular o número de prestações necessárias para liquidar a dívida. R.: 4 prestações.

3) Uma máquina é vendida em 12 prestações mensais de $307. A juros efetivos de 10%a.m., qual de-veria ser o seu valor de venda a vista? R.: $2.091,80.

4) Calcular o valor de uma aplicação mensal necessária que permita acumular ao fim de 16 meses um montante de $2.300.000, considerando um rendimento efetivo de 6%a.m. R.: 89.589,93

5) Um bem de $350, pode ser pago por meio de uma entrada e mais quatro prestações bimentrais de $100. A juros de efetivos de 5%a.m., calcular o valor da entrada. R.: $34,72

6) Considerando uma remuneração efetiva de 6% a.m., calcular a aplicação necessária a ser feita hoje que permita sacar mensalmente $3.280 durante os próximos 19 meses. R.: 36.598,62

7) Uma pessoa financiou uma compra no valor de $43.000,00 em 12 prestações mensais de $7.932,64. Calcular a taxa de juros efetiva mensal cobrada pelo financiamento. R.: 15%

8) A juros efetivos de 8%a.m., em que prazo pode ser liquidado um financiamento de $2.300 pagando prestações mensais de $278,98? R.: 14 meses.

9) Determinar a taxa de juros efetiva mensal efetiva cobrada por um empréstimo de $132.000, que se-rá reembolsado por meio de 13 parcelas mensais de $15.793,71. R.: 7%

÷ 4500 Enter 2 1,0131 Enter ∑+ yx 2 RCL ÷ 5000 Enter 1,0131 ∑+ 3 Enter yx ÷ 5500 Enter 1,0131 ∑+

(21)

Introdução à amortização

Amortização é um processo de extinção de uma dívida através de pagamentos periódicos, que são realizados em função de um planejamento, de modo que cada prestação corresponde à soma do re-embolso do Capital ou do pagamento dos juros do saldo devedor, podendo ser o rere-embolso de am-bos, sendo que Juros são sempre calculados sobre o saldo devedor.

Os principais sistemas de amortização são:

1. Sistema de Pagamento único: um único pagamento no final.

2. Sistema de Pagamentos variáveis: vários pagamentos diferenciados.

3. Sistema Americano: pagamento no final com juros calculados período a período.

4. Sistema de Amortização Constante (SAC): amortização da dívida é constante e igual em cada período.

5. Sistema Price ou Francês (PRICE): os pagamentos (prestações) são iguais.

6. Sistema de Amortização Misto (SAM): os pagamentos são as médias dos sistemas SAC e Price.

7. Sistema Alemão: os juros são pagos antecipadamente com prestações iguais, exceto o pri-meiro pagamento que corresponde aos juros cobrados no momento da operação.

Em todos os sistemas de amortização, cada pagamento é a soma do valor amortizado com os juros do saldo devedor, isto é:

Pagamento = Amortização + Juros

Em todas as nossas análises, utilizaremos um financiamento hipotético de R$300.000,00 que será pago ao final de 5 meses à taxa mensal de 4%.

Na sequência, será essencial o uso de tabelas consolidadas com os dados de cada problema e com informações essenciais sobre o sistema de amortização. Em todas as análises, utilizaremos a mesma tabela básica que está indicada abaixo, com os elementos indicados:

Sistema de Amortização n Juros Amortização do

Saldo devedor Pagamento Saldo devedor

0 300.000,00 1 2 3 4 5 0 Totais 300.000,00

Sistema de Pagamento Único

O devedor paga o Montante=Capital + Juros compostos da dívida em um único pagamento ao final de n=5 períodos. Uso comum: Letras de câmbio, Títulos descontados em bancos, Certificados a prazo fixo com renda final.

(22)

Sistema de Pagamento Único n Juros Amortização do

Saldo devedor Pagamento Saldo devedor

0 0 0 0 300.000,00 1 12.000,00 312.000,00 2 12.480,00 324.480,00 3 12.979,20 337.459,20 4 13.498,37 350.957,57 5 14.038,30 300.000,00 364.995,87 0 Totais 64.995,87 300.000,00 364.995,87 Sistema de Pagamentos Variáveis

O devedor paga o periodicamente valores variáveis de acordo com a sua condição e de acordo com a combinação realizada inicialmente, sendo que os juros do Saldo devedor são pagos sempre ao final de cada período. Uso comum: Cartões de crédito.

Dado: O devedor pagará a dívida da seguinte forma: No final do 1o.mês: R$ 30.000,00 + juros No final do 2o.mês: R$ 45.000,00 + juros No final do 3o.mês: R$ 60.000,00 + juros No final do 4o.mês: R$ 75.000,00 + juros No final do 5o.mês: R$ 90.000,00 + juros

Sistema de Pagamentos Variáveis n Juros Amortização do

Saldo devedor Pagamento Saldo devedor

0 0 0 0 300.000,00 1 12.000,00 30.000,00 42.000,00 270.000,00 2 10.800,00 45.000,00 55.800,00 225.000,00 3 9.000,00 60.000,00 69.000,00 165.000,00 4 6.600,00 75.000,00 81.600,00 90.000,00 5 3.600,00 90.000,00 93.600,00 0 Totais 42.000,00 300.000,00 342.000,00 Sistema Americano

O devedor paga o Principal em um único pagamento no final e no final de cada período, realiza o pagamento dos juros do Saldo devedor do período. No final dos 5 períodos, o devedor paga também os juros do 5o. período.

Sistema Americano n Juros Amortização do

Saldo devedor Pagamento Saldo devedor

0 0 0 0 300.000,00 1 12.000,00 12.000,00 300.000,00 2 12.000,00 12.000,00 300.000,00 3 12.000,00 12.000,00 300.000,00 4 12.000,00 12.000,00 300.000,00 5 12.000,00 300.000,00 312.000,00 0 Totais 60.000,00 300.000,00 360.000,00

(23)

Sistema de Amortização Constante (SAC)

O devedor paga o Principal em n=5 pagamentos sendo que as amortizações são sempre constantes e iguais. Uso comum: Sistema Financeiro da Habitação

Sistema de Amortização Constante (SAC) N Juros Amortização do

Saldo devedor Pagamento Saldo devedor

0 0 0 0 300.000,00 1 12.000,00 60.000,00 72.000,00 240.000,00 2 9.600,00 60.000,00 69.600,00 180.000,00 3 7.200,00 60.000,00 67.200,00 120.000,00 4 4.800,00 60.000,00 64.800,00 60.000,00 5 2.400,00 60.000,00 62.400,00 0 Totais 36.000,00 300.000,00 336.000,00 Sistema Price (Sistema Francês)

Todas as prestações (pagamentos) são iguais. Uso comum: Financiamentos em geral de bens de consumo.

Sistema Price (ou Sistema Francês) n Juros Amortização do

Saldo devedor Pagamento Saldo devedor

0 0 0 0 300.000,00 1 12.000,00 55.388,13 67.388,13 244.611,87 2 9.784,47 57.603,66 67.388,13 187.008,21 3 7.480,32 59.907,81 67.388,13 127.100,40 4 5.084,01 62.304,12 67.388,13 64.796,28 5 2.591,85 64.796,28 67.388,13 0 Totais 36.940,65 300.000,00 336.940,65 Sistema de Amortização Misto (SAM)

Cada prestação (pagamento) é a média aritmética das prestações respectivas no Sistemas Price e no Sistema de Amortização Constante (SAC). Uso: Financiamentos do Sistema Financeiro da Habita-ção.

Cálculo:

PSAM = (PPrice + PSAC) ÷ 2

n PSAC PPrice PSAM

1 72.000,00 67.388,13 69.694,06 2 69.600,00 67.388,13 68.494,07 3 67.200,00 67.388,13 67.294,07 4 64.800,00 67.388,13 66.094,07 5 62.400,00 67.388,13 64.894,07

(24)

Sistema de Amortização Misto (SAM) n Juros Amortização do

Saldo devedor Pagamento Saldo devedor

0 0 0 0 300.000,00 1 12.000,00 57.694,06 69.694,06 242.305,94 2 9.692,24 58.801,83 68.494,07 183.504,11 3 7.340,16 59.953,91 67.294,07 123.550,20 4 4.942,01 61.152,06 66.094,17 62.398,14 5 2.495,93 62.398,14 64.894,07 0 Totais 36.470,34 300.000,00 336.470,94

10. Indicadores de Viabilidade

São critérios para se decidir se um projeto de investimento deverá ser aceiro ou não. Os mé-todos mais tradicionais e utilizados para avaliação de um projeto de investimento são:

1. Payback

2. Payback descontado 3. Valor Presente Líquido 4. Taxa Interna de Retorno

5. Taxa Interna de Retorno Modificada 6. Custo Anual Equivalente

10.1 Payback (PB)

É um método de avaliação simples é muito utilizado em meados do século passado quando não existiam recursos computacionais para estimar outros indicadores. O payback mede o tempo neces-sário para recuperar o investimento realizado.

Exemplo: Os donos de uma lanchonete estimam que o negócio produza anualmente R$ 75 mil de caixa. A lanchonete foi posta a venda por R$ 150 mil, logo o prazo para recuperar o valor investido será de dois anos.

Critério para o Payback

Se o payback do investimento é menor do que o payback estabelecido pela empresa, deve aceitar o projeto.

Se o payback do investimento é igual do que o payback estabelecido pela empresa, então é indiferente aceitar ou não.

Se o payback do investimento é maior do que o payback estabelecido pela empresa, deve re-jeitar o projeto.

Exemplo : O uso de garrafas de plástico descartáveis de dois litros para refrigerante está crescendo e a empresa fabricante necessita aumentar sua capacidade de produção dessas garrafas de plástico descartáveis para poder acompanhar a tendência de mercado. De acordo com um estudo inicial, para aumentar a capacidade de produção será necessário um investimento inicial no valor de R$ 2,5 mi-lhões, para compra, e instalação de novos equipamentos e a realização de modificações nas instala-ções existentes. O fluxo de caixa anual foi estimado em R$ 850 mil durante os cinco anos de

(25)

dura-ção do projeto. Realize uma avaliadura-ção do projeto, considerando que o critério da empresa é acei-tar investimentos que tenham prazo de recuperação do valor total investido menor do que três anos.

Ano Fluxo de Caixa (R$) Fluxo de Caixa Acumulado (R$)

0 -2.500.000 -2.500.000 1 850.000 -1.650.000 (-2.500.000 + 850.000) 2 850.000 -800.000 (-1.650.000 + 850.000) 3 850.000 50.000 (-800.000 + 850.000) 4 850.000 900.000 (50.000 + 850.000) 5 850.000 1.750.000 (900.000 + 850.000)

Olhando o fluxo acumulado, notamos que este passa de negativo para positivo entre o segundo (R$ -800.000) e o terceiro ano (R$ 50.000). Portanto, recuperamos o investimento nesse intervalo. Para determinar o valor exato do payback basta aplicar a seguinte fórmula:

− + + + − = FCA FCA FCA Ano Payback Onde:

Ano+ = ano em que o Fluxo de Caixa Acumulado fica positivo

FCA+ = Fluxo de Caixa Acumulado do ano em que fica positivo

FCA- = Fluxo de Caixa Acumulado do ano em que fica negativo anterior ao positivo

No exemplo temos que:

(

)

3 0,06 2,94 000 . 800 000 . 50 000 . 50 3 = − = − − − = Payback

Resumindo, o investimento será recuperado em 2,94 anos, logo a empresa deverá aceitar este investimento, pois é menor do que o valor estabelecido (de três anos) pela direção da empresa.

10.2 Payback Descontado (PBD)

Esse indicador utiliza o mesmo conceito do payback, mas introduz a idéia de valor do di-nheiro no tempo.

Exemplo: Levando-se em conta o fluxo de caixa a seguir, aplique o payback descontado sabendo-se que o custo de capital da empresa é igual a 14% a.a.

Ano Fluxo de Caixa (R$ mil) Valor Presente Fluxo de Caixa Acumulado (R$ mil)

0 -500 -500 -500 1 250

(

)

1 14 , 0 1 250 30 , 219 + = -280,70 (-500 + 219,30) 2 250

(

)

2 14 , 0 1 250 37 , 192 + = -88,33 (-280,70 + 192,37) 3 250

(

)

3 14 , 0 1 250 74 , 168 + = 80,41 (-88,33 + 168,74) 4 250

(

)

4 14 , 0 1 250 02 , 148 + = 228,43 (80,41 + 148,02)

(

)

3 0,48 2,52 33 , 88 41 , 80 41 , 80 3 = − = − − − = DESCONTADO Payback

A empresa só aceita projetos que recuperem o investimento em menos do que dois anos. Pelo

payback teríamos que aceitar o projeto uma vez que o indicador é de dois anos. Já pelo payback

descontado (2,52 anos) é maior do que o payback aceito pela empresa e, portanto, devemos rejeitar o projeto.

(26)

10.3 Valor Presente Líquido (VPL)

Esse método consiste em trazer cada valor do fluxo de caixa no futuro para a data atual, utilizando uma determinada taxa de desconto (na prática o custo de capital).

Fórmula FC1 FC2 FC3 FCt 0 1 2 3 t FCI

( ) ( ) ( )

( )

t t i FC i FC i FC i FC FCI VPL + + + + + + + + + − = 1 1 1 1 3 3 2 2 1 K Onde:

FCI = fluxo de caixa do investimento na data zero FC1 = fluxo de caixa na data 1

FC2 = fluxo de caixa na data 2

FC3 = fluxo de caixa na data 3

FCt = fluxo de caixa na data t

i = taxa de juros (no caso de análise de projetos o custo de capital)

Critério para o VPL

Se o valor presente líquido é maior do que zero, o projeto deve ser aceito. Se o valor presente líquido é igual a zero, é indiferente aceitar ou não.

Se o valor presente líquido é menor do que zero, o projeto não deve ser aceito.

Exemplo: A empresa do ramo de biscoitos está interessada em investir R$ 250 mil em um projeto para criar um novo produto: biscoito com frutas. A expectativa de geração de caixa é descrita na tabela abaixo. Considerando que o custo de capital da empresa é igual a 15% ao ano, verifique se esse projeto deve ser aceito aplicando o método do valor presente líquido.

Ano Fluxo de Caixa (R$ mil)

1 100

2 100

3 100

4 100

5 100

O valor presente líquido desse fluxo de caixa é igual a:

(

) (

) (

) (

) (

1 0,15

)

85.215,51 000 . 100 15 , 0 1 000 . 100 15 , 0 1 000 . 100 15 , 0 1 000 . 100 15 , 0 1 000 . 100 000 . 250 2 3 4 5 = + + + + + + + + + + − = VPL ou

(

)

(

1 0,15

)

85.215,51 15 , 0 1 15 , 0 1 000 . 100 000 . 250 5 5 =       + × − + × + − = VPL Na HP: 250000 CHS g CF0 100000 g FCj

(27)

5g Nj

15 i

f NPV

Como o valor presente líquido é positivo, o investimento deverá ser aceito. Isso significa que o pro-jeto consegue pagar o custo do capital e deixa um retorno extra para a empresa indicando que ele sairá do negócio mais “rico” do que entrou, pois suas expectativas de retorno serão superadas. Relação entre VPL e o custo do capital

Usando o exemplo anterior, notamos que quando elevamos o custo de capital, o valor do VPL cai. Além disso, se a taxa de desconto for muito alta o VPL pode ser negativo, o que inviabili-za o investimento no projeto. (150) (100) (50) 0 50 100 150 200 250 300 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% Custo de Capital V P L ( R $ m il ) Custo de Capi-tal VPL (R$ mil) 0% 250,0 5% 182,9 10% 129,1 15% 85,2 20% 49,1 25% 18,9 30% - 6,4 35% - 28,0 40% - 46,5 45% - 62,4 50% - 76,3 55% - 88,5 60% - 99,2

10.4 Taxa Interna de Retorno (TIR)

A TIR é a taxa de juros que iguala o VPL a zero. Matematicamente é representado pela seguinte fórmula:

(28)

(

)

= + + = = t t t t TIR FC FCI VPL 1 1 0 Onde:

FCI = fluxo de caixa do investimento na data zero FCt = fluxo de caixa na data t

TIR = Taxa Interna de Retorno

Exemplo: O lançamento de um sabonete líquido deverá ter sucesso, pois irá atender ‘a expectativa do de novidades do mercado de cosméticos. Os estudos de mercado, de produção e de engenharia permitiram definir o fluxo de caixa do projeto representado pelo gráfico abaixo, onde os valores referem-se a milhares de R$. Estime a taxa interna de retorno para o projeto.

100 100 100 0 1 2 3 200

(

) (

) (

)

23,37% 1 100 1 100 1 100 200 0 0 3 2 1+ + + + ⇒ = + + − = = ⇒ TIR TIR TIR TIR VPL TIR Na HP: 200 CHS g CF0 100g FCj 3g Nj f IRR

Critério para a taxa interna de retorno

Se a taxa interna de retorno for maior do que o custo do capital, o projeto deve ser aceito Se a taxa interna de retorno for igual ao custo do capital, é indiferente aceitar ou não

Se a taxa interna de retorno for menor do que o custo do capital, o projeto deve ser rejeitado Tomando o exemplo anterior, se o custo do capital da empresa é igual a 10%, a empresa deve acei-tar ou não o projeto?

BIBLIOGRAFIA

BELLIO, Antonio Carlos. DTCOM: Matemática Financeira com Excel. MatFin Cursos e Treinamentos Em-presariais: Curitiba, 2002.

HEWLETT PACKARD, HP12C: Manual do Usuário. 2000.

LAPPONI, Juan Carlos. Modelagem Financeira com Excel. Campus: Rio de Janeiro. 2004. NETO, Assaf. Matemática Financeira e suas aplicações. Atlas: Rio de Janeiro. 2010.

PUCCINI, Abelardo Lima. Matemática Financeira - Objetiva e Aplicada – Campos: Rio de Janeiro. 9ª Ed. 2011

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