SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE GEOCIÊNCIAS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO LATO-SENSU - PPLS

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SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ

INSTITUTO DE GEOCIÊNCIAS

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO LATO-SENSU - PPLS

APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS DE LINHA COM AUXÍLIO DO PROGRAMA MATHEMATICA

Prof. Dr. MANUEL COSTA

BELÉM – PA 2018

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SUMÁRIO DE APRESENTAÇÃO

1 Introdução;

2 Campos Vetoriais;

2.1 Definição;

2.2 Representação de um Campo Vetorial;

3 Integral de linha;

3.1 Definição;

3.2 Particularidades das Integrais de Linha;

3.2.1 Cálculo e Forma Expandida de uma integral de linha; 3.2.2 Integrais de linha em relação a X, Y, Z;

3.2.3 Orientação de uma integral de linha ;

3.2.4 Integração de um Campo vetorial ao longo de uma curva; 3.2.5 Integrais de linha ao Longo de curvas lisas por partes; 4 Aplicações;

4.1 Teorema de Green;

4.2 Trabalho realizado por uma força; 4.3 Densidade linear;

5 Conclusão e Perspectivas; 6 Referências

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 MOTIVAÇÃO:

O interesse pelo estudo das integrais de linha surgiu pela complexidade das aplicações destas integrais em diversos problemas do cotidiano e pela sua precisão no cálculo matemático, usando uma ferramenta computacional para ratificar os resultados obtidos.

 OBJETIVOS:

 GERAL:

• Mostrar a importância da aplicação na resolução de tais integrais em problemas práticos, com o auxilio de um programa computacional.

 ESPECÍFICOS:

• Mostrar a importância das aplicações das integrais de linha, em particular; Teorema de Green, Trabalho realizado por uma força e Densidade linear.

• Utilizar o programa computacional Mathematica na ratificação dos resultados obtidos analiticamente.

1

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2

2 CAMPOS VETORIAIS

DEFINIÇÃO

2.1

De acordo com Anton, Bivens e Davis (2007) e Stewart (2012), os campos vetoriais (2D) e (3D), respectivamente, representam-se por:

(1)

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REPRESENTAÇÃO DE UM CAMPO VETORIAL

2.2

Figura 1 - Representação do campo vetorial .

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3

3 INTEGRAL DE LINHA

Figura 2 - Representação geométrica de uma curva lisa.

Fonte: Adaptado de STEWART, 2012.

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Seja uma função definida sobre uma curva lisa com equações paramétricas abaixo:

;

Desta maneira, segundo Anton, Bivens e Davis (2007) e Stewart (2012), se é definida sobre uma curva lisa parametrizada, então a integral de linha de sobre é definida da seguinte forma:

DEFINIÇÃO

3.1

3.1 (3)

(8)

3.2

3.2 CÁLCULO E FORMA EXPANDIDA

3.2.1

3.2.1 PARTICULARIDADES DAS INTEGRAIS DE LINHA

O Cálculo e a Forma Expandida de uma integral de linha, respectivamente, são dadas por (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2007; STEWART, 2012):

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INTEGRAL DE LINHA EM X E Y

3.2.2

Seja uma função definida em uma região e uma curva lisa diferençiável parametrizada por , com . Assim, a integral de linha em relação a e , respectivamente, é definida como (Processo de derivação):

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(7)

(10)

ORIENTAÇÃO DE UMA INTEGRAL DE LINHA

3.2.3

 A integral de linha de em relação a :

 A integral de linha de em relação a e :

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(9)

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INTEGRAÇÃO DE UM CAMPO VETORIAL AO LONGO

DE UMA CURVA

3.2.4

Assim, de acordo com Anton, Bivens e Davis, (2007) e Stewart (2012), se for um campo vetorial contínuo definido sobre uma curva lisa orientada, então a integral de linha de ao longo de é dada por:

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INTEGRAIS DE LINHA AO LONGO DE CURVAS LISAS

POR PARTES

3.2.5

Figura 3 - Representação esquemática de uma curva C por partes.

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Teorema de Green

Teorema de Green Trabalho realizado Trabalho realizado _{por uma força}_{por uma força} _{Densidade linear}Densidade linear

4

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4.1

4.1 TEOREMA DE GREEN

Segundo Anton, Bivens e Davis, (2007), e Flemming e Gonçalves (2007), seja uma curva fechada simples, suave por partes, orientada no sentido anti-horário, e a região fechada delimitada por . Se e forem contínuas e tiverem derivadas parciais de primeira ordem contínuas em algum conjunto aberto contendo , então:

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Calcule, diretamente e utilizando o teorema de Green, a integral de linha , onde é a fronteira do triângulo delimitado pelos vértices e , orientada no sentido anti-horário.

Figura 4 - Representação esquemática do Triângulo R formado pelos pontos e

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• : segmento de a , assim , e .

 CÁLCULO DA INTEGRAL DE LINHA DIRETAMENTE

(17)

• : segmento de a , assim , , com .

Portanto, a integral de linha ao longo de , equivale a:

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 CÁLCULO UTILIZANDO O TEOREMA DE GREEN

Considerando:

Pelo Teorema de Green, tem-se:

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 CÁLCULOS REALIZADOS NA INTERFACE DO MATHEMATICA

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4.2

4.2 TRABALHO REALIZADO POR UMA FORÇA

Segundo Anton, Bivens e Davis, (2007) e Stewart (2012), supõe-se que uma partícula se mova ao longo de uma curva lisa sob o efeito de um campo de forças contínuo e que orienta-se no sentido do movimento da partícula. Então, o trabalho realizado pelo campo de forças na partícula é dado por:

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Seja uma curva simétrica em relação ao eixo que vai de a , como mostrada na Figura (7) que segue. Sabendo-se que a área da região delimitada por e pelo eixo vale 16, calcule o trabalho realizado pela força descrita abaixo:

Figura 7 - Curva simétrica C em relação ao eixo y de (4,0) a (-4,0).

Fonte: Autoria própria.

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_,

ou

• não é conservativo;

Figura 8 - Curva simétrica C fechada por sobre o eixo x de (4,0) a (-4,0).

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• é a região limitada por , é de classe (partição de um conjunto) no plano (2D) e que corresponde a fronteira de contida em (2D), orientada no sentido anti-horário, neste caso, pode-se aplicar o Teorema de Green.

• é uma função ímpar na variável

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4.3

4.3 DENSIDADE LINEAR

De acordo com Flemming (2007) e Thomas (2012), considera-se a curva como sendo o formato do fio, e a função sendo a densidade do fio, então a massa e o centro de massa como uma integral de linha em uma forma expandida, são dados, nesta ordem, por:

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onde, o centro de massa do fio é o ponto de coordenadas (, , ).

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Figura 10 - Representação do Arame com formato de uma hélice.

Fonte: Autoria própria.

Determine a massa e o centro da massa de um arame com formato da hélice:

com, , se a densidade no ponto é .

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 CÁLCULO DA MASSA DO ARAME

• , , , ,

(30)

 CÁLCULO DO CENTRO DA MASSA DO ARAME

• Cálculo da Coordenada :

(31)

• Cálculo da Coordenada :

(32)

• Cálculo da Coordenada :

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5

5 _{CONCLUSÕES E PERPECTIVAS}

 Neste trabalho foram apresentadas algumas aplicações das integrais de linha, enfatizando o teorema de green, trabalho realizado por uma força e densidade linear, com o intuito de mostrar a importância destas integrais em problemas práticos e mostrar a importância do programa Mathematica para ratificar os resultados obtidos analiticamente.

 Como perspectiva indica-se um estudo mais aprofundado relacionado ao cálculo diferencial e integral em trabalhos futuros, como por exemplo, as Integrais de superfícies, além do emprego de outros programas computacionais para aplicá-los em situações práticas das mais diversas áreas científicas.

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6

6 REFERÊNCIAS

ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen. CÁLCULO. Tradução de Claus Ivo Doring. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007. 2 v.

BARON, Margareth E. Curso de História da matemática: Origens e desenvolvimento do

cálculo. Brasília: UNB, 1985.

BOYER, Carl B. História da Matemática. Tradução técnica de Helena Castro. Tradução da 3. ed. Norte Americana. São Paulo: Blücher, 1978.

EVES, Howard. Introdução à história da matemática. Tradução de Hygino H. Domingues. Campinas: Editora da Unicamp, 2004.

FALCETTA, Filipe A. M. Tutorial Mathematica v5.0 para Windows. Campinas: Unicamp, 2005.

FERREIRA, Juliano C. Integral de Linha de campos Vetoriais / Trabalho Realizado: imagem de conceito e definição de conceito. Juiz de Fora: Universidade federal de Juiz de Fora, 2013

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FLEMMING, Diva M.; GONÇALVES, Mirian B. Cálculo B: Funções de Várias Variáveis, Integrais Múltiplas, Integrais Curvilíneas e de Superfície. 2. ed. São Paulo: Pearson

Education, 2007.

GUIDORIZZI, Luiz H. Um Curso de Cálculo. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001. 1 v. LARSON, Roland E. Cálculo com aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 1998.

LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica. 3. ed. São Paulo: HARBRA, 1994. 1 v.

NOBREGA, Giovani A. S. Integrais de Linha Intervalares: Fundamentos e Aplicações. Natal: Universidade Federal do Rio Grande do Norte, 2010.

STEWART, James. Cálculo. Tradução técnica de Antônio Carlos Moretti, Antônio Carlos Gilli Martins. Revisão técnica de Helena Castro. Tradução da 6ª ed. Norte Americana. São Paulo: Cengage Learning, 2012. 2 v.

THOMAS, George B; WEIR, Maurice D; HASS, Joel. Cálculo. Tradução de Carlos Scalici. Revisão técnica de Cláudio Hirofume Asano. 12. ed. São Paulo: Pearson Education do

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