UNIVERSIDADE REGIONAL INTEGRADA DO ALTO URUGUAI E DAS MISSÕES CAMPUS DE ERECHIM DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA CURSO DE MATEMÁTICA

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DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA CURSO DE

MATEMÁTICA

CHARLES LUIS BATISTELLA

CÁLCULO DO VOLUME DE UMA PEÇA DE TRANSIÇÃO NÃO

REVOLUCIONÁVEL E DA ÁREA NECESSÁRIA DA CHAPA

METÁLICA PARA SUA CONSTRUÇÃO

ERECHIM

2008

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CHARLES LUIS BATISTELLA

CÁLCULO DO VOLUME DE UMA PEÇA DE TRANSIÇÃO NÃO

REVOLUCIONÁVEL E DA ÁREA NECESSÁRIA DA CHAPA

METÁLICA PARA SUA CONSTRUÇÃO

Trabalho de conclusão de curso,

apresentado ao Curso de Matemática, Departamento de Ciências Exatas e da Terra da URI – Campus de Erechim

Orientador: Prof. Mestre Clémerson Alberi Pedroso

ERECHIM

2008

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DEDICATÓRIA

Dedico este trabalho à memória de meu pai que me apoiou em todos os momentos.

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AGRADECIMENTOS

- Primeiramente agradeço a Deus, pela força e coragem que Ele me deu para atingir meus objetivos.

- Ao meu orientador, Professor Mestre Clémerson Alberi Pedroso, agradeço pelo apoio, incentivo e pelas sugestões em todas as fases deste trabalho.

- Aos meus amigos e colegas de trabalho, que contribuíram para que este trabalho fosse realizado, agradeço.

- À minha família, que esteve ao meu lado me apoiando em todos os momentos, sou grato.

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RESUMO

O objetivo deste trabalho é elaborar modelos matemáticos que permitam encontrar o volume de uma peça de transição não revolucionável de tubulações quadradas para circulares e a área da chapa metálica necessária para a sua construção. Tal peça é usada por funileiros e indústrias em geral, para interligar tubulações de diferentes geometrias, como, por exemplo, conectar uma tubulação retangular a uma tubulação circular. Podem ser utilizadas como moegas, onde se deseja estocar certa quantidade de produto por um período curto ou longo de tempo, para não extrapolar a capacidade da máquina que está à frente da moega. Também servem de “tanques” para a armazenagem de diversos tipos de fluidos, farinhas, entre outros. A dedução da equação possibilita a obtenção de volumes de peças de transição rapidamente, sem a necessidade de recorrer a programas gráficos que levam razoável período de tempo para descobrir esses valores. Com a utilização de um protótipo, desenvolveram-se hipóteses baseadas em conceitos de geometria e de trigonometria que levaram à obtenção das equações desejadas. Os resultados foram comparados com os valores obtidos com o programa AutoCAD 2006, a fim de validar tais equações. Fizeram-se, também, algumas abordagens sobre a história da matemática e sobre alguns aspectos de Modelagem Matemática. Destaca-se a importância da informática, especificamente do programa AutoCAD aliado à Matemática, do ponto de vista prático e da vantagem do uso das equações obtidas.

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LISTA DE FIGURAS

Figura 1 - Foto de uma peça de transição de tubulações quadradas para

circulares...11

Figura 2 - Vista superior da peça...20

Figura 3 - Distribuição dos prismas no cubo...20

Figura 4 - Molde maciço da peça....21

Figura 5 - Localização das variáveis utilizadas no modelo......21

Figura 6 - Localização dos sólidos S1...23

Figura 7 - Variáveis utilizadas para o cálculo do volume do S1...23

Figura 8 - Vista superior do S1...24

Figura 13 - Vista superior do S3...27

Figura 14 - Localização dos sólidos S4...28

Figura 16 - Chapa planificada e traçada.....31

Figura 17 - Distribuição das cores na planificação......32

Figura 18 - Variáveis utilizadas para o cálculo da área A1...33

Figura 21 - Perda do material no corte da planificação em relação a um retângulo...39

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LISTA DE QUADROS

Quadro 1 - Variáveis utilizadas para o desenvolvimento do modelo matemático para

o cálculo do volume ...22

Quadro 2 - Variáveis utilizadas para o desenvolvimento do modelo matemático para

o cálculo da área...33 Quadro 3 - Comparação dos resultados do volume ......38 Quadro 4 - Comparação dos resultados da área ......39

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SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO...10

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA...13

2.1 UM POUCO DE HISTÓRIA...13

2.2 A MODELAGEM MATEMÁTICA...15

2.3 SOBRE OS PROGRAMAS CAD...17

3 DESENVOLVIMENTO DOS MODELOS MATEMÁTICOS.........20

3.1 DESENVOLVIMENTO DO MODELO MATEMÁTICO PARA CALCULAR O VOLUME DA PEÇA DE TRANSIÇÃO DE QUADRADO PARA CIRCULAR...20

3.1.1 Cálculo do volume do Sólido 1 (S1)......23

3.2 EQUAÇÃO GERAL DO VOLUME DA PEÇA DE TRANSIÇÃO QUADRADO PARA CIRCULAR...29

3.3 DESENVOLVIMENTO DO MODELO MATEMÁTICO PARA ENCONTRAR A ÁREA DA CHAPA NECESSÁRIA PARA FABRICAÇÃO DE UMA PEÇA DE TRANSIÇÃO QUADRADO PARA CIRCULAR ...31

3.3.1 Cálculo da área do triângulo 1 (A1)......33

3.4 EQUAÇÃO GERAL DA ÁREA DA PLANIFICAÇÃO GERAL DA ÁREA DA PLANIFICAÇÃO DA PEÇA DE TRANSIÇÃO QUADRADO PARA CIRCULAR...36

4 RESULTADOS E ANÁLISE DOS DADOS...38

4.1 COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS ENCONTRADOS COM AS FÓRMULAS DO VOLUME E DA ÁREA E OS VALORES OBTIDOS COM O PROGRAMA AUTOCAD 2006...38

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5 CONCLUSÕES......41

REFERÊNCIAS......42

APÊNDICES......44 APÊNDICE A - Desenvolvimento detalhado do modelo matemático para o cálculo do volume da peça de transição quadrado para circular...45

APÊNDICE B - Desenvolvimento detalhado do modelo matemático para o cálculo da área da planificação da peça de transição quadrado para circular...48

ANEXOS......53 ANEXO 1 - Protótipo da planificação da peça de transição utilizado para o desenvolvimento do modelo para o cálculo da área...54 ANEXO 2 - Peça de transição interligando cone com válvula gaveta num reservatório de água...54

ANEXO 3 - Peça de transição de quadrado para circular utilizada como moega...55

ANEXO 4 - Churrasqueira acoplada a uma peça de transição.....55

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1 INTRODUÇÃO

Desde os primórdios da antiguidade, o homem buscava modelos matemáticos que sanassem as dificuldades que seus povos encontravam na resolução de problemas práticos do dia-a-dia. Eram muitas as tentativas e os estudos até encontrar uma fórmula para um problema específico que lhe desse uma resposta de maneira rápida e eficaz.

Com o aparecimento de matemáticos importantes, tais como Euclides, Arquimedes, Tales, Pitágoras, Heron, entre outros, a Matemática ganhou uma nova ênfase no aprimoramento dos estudos e dos conceitos nos diversos ramos desta ciência.

Alguns ramos como a Geometria Espacial, Analítica, Descritiva e Diferencial, foram bastante explorados por Pitágoras, Platão e, sobretudo, por Euclides, que escreveu um livro chamado “Elementos”. Destaca-se a Geometria Espacial, que abriu amplos campos de estudos sobre conceitos de três dimensões e espaço.

A curiosidade e o fascínio pelas formas da natureza levaram tais matemáticos a explorarem estas formas, desenvolvendo estudos sobre sólidos geométricos que se assemelhassem às configurações encontradas na natureza. Claro que estes sólidos eram de fácil visualização e de fácil análise. Com isso, foram determinadas equações particulares para cada sólido, com as quais era possível calcular a área e o volume dos mesmos.

Graças a estes estudiosos, pode-se calcular facilmente, por exemplo, quantos mililitros de óleo comporta uma lata com formato cilíndrico, quantos litros de vinhos cabem em um barril, o espaço ocupado por uma esfera, a capacidade de um congelador, entre outras aplicações.

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O volume dos sólidos, tais como o cilindro, tronco de pirâmide, cone, cubo, paralelepípedo, entre outros, é bastante utilizado na engenharia para construção de tanques, moegas, tubulações onde passam fluidos e sólidos, caixas de armazenagem de produtos, etc. A área do quadrado, do retângulo, do círculo, da coroa circular e do setor circular também é de grande valia, pois através dela descobrimos a quantidade de material necessário para produzir equipamentos como os citados anteriormente.

Outros sólidos utilizados comumente na engenharia, conforme ilustra a figura abaixo, são as peças de transição que compõem tubulações onde se inicia com um tubo quadrado ou retangular e termina com um tubo circular. Podem ser utilizadas como moegas ou “tanques” para a armazenagem de diversos tipos de fluidos ou sólidos.

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Entretanto, como estas peças servem para acumular produtos e fluidos, é necessário encontrar o volume e a área da chapa para confecção destas peças. Mas como fazer isso, se o sólido não é revolucionável? Por isso, estudou-se uma peça em escala menor para definir uma equação para a capacidade do objeto, bem como a área de uma superfície plana de uma chapa metálica necessária para a produção da mesma, uma vez que não existem equações determinadas para este tipo de artefato metálico.

O presente trabalho foi estruturado da seguinte maneira. Na primeira seção, descreve-se a importância da Geometria na resolução de problemas, expondo o problema da pesquisa, a justificativa e explicando a aplicabilidade da peça estudada. Na segunda seção, faz-se uma abordagem geral sobre a história da matemática, enfatizando a divisão da Geometria, o surgimento, o significado e a utilização dos cálculos de volume e da área no ramo das engenharias. A terceira seção traz o desenvolvimento dos modelos matemáticos para calcular o volume da peça de transição e a área da planificação utilizada na sua confecção. Na quarta seção, compara-se, através de quadros, os valores de volume e área encontrados com os modelos desenvolvidos e os fornecidos pelo programa AutoCAD 2006. Na última seção, são apresentadas as conclusões da pesquisa.

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2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

2.1 UM POUCO DE HISTÓRIA

Sabe-se que a Matemática é uma das ciências mais antigas e que é originária de diversas civilizações da antiguidade. Salienta-se que vários matemáticos, como Tales, Pitágoras, Arquimedes, Euclides, entre outros, buscavam a compreensão dos problemas existentes na sua época. Porém, estes problemas que envolviam Matemática acabavam se tornando de difícil resolução, requerendo um grande estudo por parte dos matemáticos.

Graças aos matemáticos que aceitaram o desafio e permitiram não rebaixar os problemas de seus povos, existem muitas interpretações e soluções no que diz respeito às formulas e teoremas que compõem a geometria, a trigonometria, cálculos, enfim, tudo que se refere às áreas matemáticas (BARON, 1985, p. 1).

Contudo, muitos registros feitos na época em que viveram, perderam-se com o tempo e o que foi encontrado está em papiros. Em um deles, denominado Papiro de Moscou, é apresentado um cálculo do volume do tronco de pirâmide. Conforme o site Cálculo Matemático (2007), não se sabe se as intenções do papiro eram pedagógicas ou simplesmente anotações. Basicamente o papiro apresenta informações sobre trigonometria, aritmética, equações e cálculo de área e volume.

Nota-se que os antigos tinham a preocupação com o estudo da Geometria e tentavam expressar os fatos em forma de problemas. Vale lembrar que Geometria significa “medida da terra”, nome dado pelos gregos, conforme citação que segue.

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Os gregos perceberam que os egípcios eram capazes de executarem cálculos e medidas de dimensionamento da terra e através destes conhecimentos assimilaram demonstrações dedutivas rigorosas das leis acerca do espaço. A este conhecimento os gregos deram o nome de Geometria (CÁLCULO MATEMÁTICO, 2007).

A Geometria divide-se em diversos ramos. Alguns deles, como a Geometria Espacial que funciona como uma ampliação da Geometria Plana (euclidiana) e trata das técnicas para o estudo de sólidos ou objetos em três dimensões, assim como a relação entre esses elementos; a Geometria Analítica que investiga as propriedades das linhas, superfícies e volumes; a Geometria Descritiva com que se representam e estudam os sólidos tridimensionais, de grande valor, pois os teoremas pertencentes a estas áreas do conhecimento científico são utilizados, muitas vezes, no cotidiano sem as pessoas disso se dêem conta, como, por exemplo, a capacidade de uma garrafa para nela armazenar determinado produto.

Com a definição de sólido que, segundo Euclides, é “aquilo que tem comprimento, largura, e espessura” (BOYER, 1996, p. 81), surgiu a idéia de volume, e, no ano de 1615, Joames Kepler estipula a Steometria (“stereo”, que significa volume e “metria”, que significa medida), ou seja, o cálculo de volume para sólidos geométricos. A palavra volume vem de volumen, que é a propriedade de um barril (vinho, azeite, etc) rolar com facilidade.

Tem-se conhecimento de que o matemático Arquimedes atribuiu a Demócrito teoremas como: “todo prisma triangular se decompõe em três pirâmides equivalentes, o volume de um cone é um terço do volume do cilindro de mesma base e altura”. (BARON, 1985, p. 20). Já, Euclides trata do volume no livro “XII dos Elementos”, porém, não há fórmulas escritas. Arquimedes foi o primeiro a realizar com autenticidade os cálculos de volume. Seu trabalho foi restrito ao volume da esfera e da área de sua superfície.

Mas o que quer dizer volume? Conforme o Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA, 2007), “volume de um sólido é a quantidade de espaço por ele ocupado”, sendo isso não uma especificação matemática, mas apenas uma elaboração intelectual.

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Em 1669, o físico-matemático inglês Isaac Newton e o matemático Leibniz, desenvolveram simultaneamente o cálculo diferencial e integral. Desta forma, tornou-se possível achar o volume e a área de qualquer sólido independente de sua simetria, pois, antes disso, era necessário o estudo e o conhecimento de geometria e trigonometria para tentar descobrir alguma fórmula específica para determinar o volume e a área de cada tipo de sólido.

Nas engenharias os cálculos de volume e área tornam-se necessários para o dimensionamento dos equipamentos, a fim de verificar se a capacidade atende à demanda do cliente, o espaço disponível na indústria para locar o equipamento e também, para averiguar os custos de fabricação contidos. Para tanto, pode-se citar, por exemplo, a capacidade de armazenamento de grãos de um silo, capacidade de estocagem em moegas, volume de produto que um transportador helicoidal leva por hora, volume da câmara do cilindro do motor de um carro.

Com o aprimoramento das técnicas de fabricação, novas formas geométricas foram surgindo e também softwares específicos de desenho, os quais apresentam ao desenhista e projetista o cálculo de maneira mais rápida de volumes e de áreas, sem a necessidade de apelar a várias fórmulas da Geometria.

2.2 A MODELAGEM MATEMÁTICA

Um dos ramos mais instigantes da matemática e que vem contribuindo ativamente para a construção de modelos nas diversas áreas sociais é a Modelagem Matemática.

Há várias definições para Modelagem Matemática; resumidamente, constitui-se do processo de transformação de situações reais em problemas matemáticos e soluciona-os procurando verificar sua validade no mundo real (BASSANEZI, 2004). As equações que se utiliza continuamente no meio acadêmico são modelos matemáticos baseados em teorias e conceitos formulados por estudiosos em vários anos de pesquisa e dedicação. Alguns destes modelos foram escritos há milhares de

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anos. Um exemplo disso é o povo egípcio que, segundo o site Somatemática (2007), utilizavam o cálculo da área para demarcar as proporções de terras destinadas a cada proprietário, pois os marcos eram levados durante o período das cheias do Rio Nilo. Quando se deparavam com um terreno irregular, que não era quadrado e nem triangular, apelavam para um artifício denominado triangulação, usado até os dias de hoje.

De fato, a Modelagem Matemática busca solucionar problemas e fenômenos, transformando-os em equações que se possa usufruir de modo contínuo no meio social. Ainda mostra que a Matemática evolui gradativamente e prova a sua verdadeira aplicabilidade, não ficando apenas em cálculos mecânicos feitos no papel.

No entanto, a escolha de um modelo matemático apropriado para corresponder a fenômenos é muito difícil. Muitas vezes o matemático deve fazer várias tentativas a fim de escolher o melhor exemplo, aquele que não fique apenas em uma bela demonstração matemática, mas possa ser articulado e manipulado por outras pessoas que sejam leigas nestas áreas.

Segundo Bassanezi (2004, p. 12),

[...] um modelo complexo pode ser motivo de orgulho para um matemático e inadequado para o pesquisador que vai aplicá-lo. Muitas vezes, as necessidades imediatas de um pesquisador são atendidas por um modelo parcial e simples, o qual não comporta todas as variáveis que possam influenciar na dinâmica do fenômeno estudado.

Com o desenvolvimento de computadores mais rápidos e de técnicas numéricas eficientes, os modelos complexos puderam ser resolvidos quase sem restrições. No entanto, alguns programas, como o AutoCAD, utilizados nas indústrias por engenheiros, desenhistas e projetistas, não trazem nos seus padrões “moldar” peças sem algum padrão de simetria, que é o caso da peça de transição quadrado para circular.

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Muitos profissionais, principalmente da área de engenharia, usam programas como AutoCad, Solid Works, Inventor, entre outros, sem perceber que estes utilizam inúmeros modelos e variáveis para executar os cálculos de área, volume, resistência, pressão, etc. Segundo Taube Netto citado por Pallone (2008), “[...] um modelo matemático pode conter até 30 mil equações e envolver até um milhão de variáveis. Certamente os avanços da informática permitem hoje que se faça cálculos para lidar com sistemas tão complexo assim”.

Embora existam programas que respondam de uma forma eficaz na obtenção dos resultados, não se deve deixar a matemática de lado, pois ela está presente em todos os meios. Deve-se desafiar e aguçar a capacidade de pensar, de modo que se possa resolver os problemas cotidianos de maneira ampla e clara, através de modelos matemáticos consistentes que visem a facilitar e agilizar as tarefas propostas nos diversos ramos profissionais.

2.3 SOBRE OS PROGRAMAS CAD

Computer-Aided Design (CAD), ou desenho auxiliado por computador, é definido

pela Wikipédia (2008), como o nome genérico de sistemas computacionais (software) utilizados pela engenharia, geologia, arquitetura, e design para facilitar o projeto e desenho técnicos.

Conforme a enciclopédia virtual, referida, estes sistemas consistem numa série de ferramentas para construção de entidades geométricas planas (como linhas, curvas, polígonos) ou mesmo objetos tridimensionais (cubos, esferas, etc.). Também deve haver ferramentas para relacionar essas entidades ou esses objetos, por exemplo: criar um arredondamento (filete) entre duas linhas ou subtrair as formas de dois objetos tridimensionais para obter um terceiro.

Ainda é encontrada na Wikipédia (2008) uma abordagem referente à divisão entre os softwares CAD. É baseada na capacidade do programa em desenhar apenas em 2 dimensões ou criar modelos tridimensionais. Nos softwares pode haver intercâmbio entre o modelo 3D e o desenho 2D (por exemplo, o desenho 2D pode

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ser gerado automaticamente a partir do modelo 3D).

Conforme a Wikipédia (2008), a utilização dos softwares CAD fica limitada a um grupo pequeno de usuários, devido a sua intensa especialização e a seu alto custo. Existem poucas ferramentas livres nessa área, e em muitos aspectos ficam aquém dos softwares comerciais. Também costumam demandar hardware caro.

O principal software CAD para indústrias pequenas, arquitetos e treinamento é o AutoCAD, produzido pela empresa Autodesk. Seu formato de armazenamento de arquivo (ficheiro), o DWG (Drawing), é muito difundido no mercado, e isso fez com que recentemente um consórcio de empresas fosse formado, advogando pela passagem do DWG para o domínio público. Para grandes indústrias e projetos mais complexos, alguns softwares mais usados são o SolidWorks, SolidEdge, o Catia, o Unigraphics NX, o Pro-Engineer, o Inventor (também da Autodesk) e o Microstation. A seguir, algumas especificações que a enciclopédia virtual Wikipédia (2008) traz dos programas mais utilizados pela indústria metal-mecância.

AutoCAD criado e comercializado pela Autodesk, desde 1982, é utilizado principalmente para a elaboração de peças de desenho técnico em duas dimensões (2D) e para criação de modelos tridimensionais (3D). Além dos desenhos técnicos, o software vem disponibilizando, em suas versões mais recentes, vários recursos para visualização em diversos formatos. É amplamente utilizado em arquitetura, design de interiores, engenharia mecânica e em vários outros ramos da indústria. O AutoCAD é atualmente disponibilizado apenas em versões para o sistema operacional Microsoft Windows.

O SolidWorks é desenvolvido pela SolidWorks Corporation e funciona nos sistemas operativos Windows. Baseia-se em computação paramétrica, criando formas tridimensionais a partir de formas geométricas elementares. No ambiente do SolidWorks, a criação de um sólido ou superfície típica começa com a definição de topologia em um esboço 2D ou 3D. A topologia define a conectividade e certos relacionamentos geométricos entre vértices e curvas, no esboço e externos ao esboço.

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Autodesk Inventor é um programa que permite modelar imagens a três dimensões. Os modelos 3D gerados pelo Autodesk Inventor também são funcionais, ou seja, eles funcionam como no mundo real. Se o modelo for um motor, por exemplo, as peças que se movem e giram no modelo real também se movem e giram no modelo 3D. O Autodesk Inventor também contempla a parte de engenharia, não apenas modelando as peças, como também dimensionando-as, superando assim o escopo de ferramentas CAD. A versão 11 do produto vem com um módulo de simulação dinâmica (Dynamic Simulation), onde o mecanismo é colocado sob os efeitos da aceleração da gravidade e de todas as outras forças presentes no sistema, permitindo-se observar e analisar seu comportamento.

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3 DESENVOLVIMENTO DOS MODELOS MATEMÁTICOS

3.1 DESENVOLVIMENTO DO MODELO MATEMÁTICO PARA CALCULAR O VOLUME DA PEÇA DE TRANSIÇÃO DE QUADRADO PARA CIRCULAR

Para o desenvolvimento do modelo matemático para calcular o volume da peça de transição, a parte circular foi substituída por um dodecágono (veja figura 2) para facilitar no desenvolvimento das equações já que a perda no valor final do volume seria mínima. Depois, considerando um cubo que foi dividido em vários prismas, cujo os de mesmo formato e tamanho se atribuiu a mesma cor, conforme figura 3.

Figura 2 – Vista superior da peça

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Como se pode observar na figura 3, o sólido 1 e o sólido 2, denominados respectivamente como S1 e S2, aparecem 8 vezes sobre a superfície do cubo. Já o

sólido 3 e o sólido 4, designados como S3 e S4 , repetem-se 4 vezes. Todos os

sólidos apresentam base triangular.

Após a identificação dos sólidos, a extração dos mesmos do cubo permitiria a obtenção da peça desejada, conforme indica a figura 4.

Figura 4 – Molde maciço da peça

A figura 5 mostra a localização das variáveis atribuídas para auxiliar na elaboração do Modelo Matemático.

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O quadro 1 ilustra o significado de cada variável e como foram obtidas:

b Largura.

l Comprimento. O comprimento é igual à largura (l=b) por se tratar de um

quadrado. No desenvolvimento do modelo esta variável não aparecerá.

h Altura.

Ød Diâmetro da parte circular. A

Corresponde ao lado menor da base do sólido S1, obtido da expressão

2

d b

A= − .

2

b Corresponde ao lado maior da base do S1, obtida através da largura ou

comprimento da peça de transição dividido por dois.

B

Corresponde ao lado maior da base do S2, obtida através do Teorema de

Pitágoras. Resulta na equação 2

2 2 A b B  +     

= , ou seja, a hipotenusa da base

do S1.

L

Encontrado através do Teorema de Pitágoras. Resulta na equação 2 2 2     + = D p

L , ou seja, a hipotenusa da base do S3.

D Obtido da equação         −               +       = ₂ 2 2 2 2 r b b

D , isto é, a altura da base do S3.

r Raio da circunferência.

p Resultante da expressão p r

⋅

=0,5176 , ou seja, distância entre os pontos de ligação que formam o dodecágono.

r² Resultante da expressão r2 = p⋅1,8660, ou seja, o raio do círculo que inscreve o

dodecágono.

Quadro 1 - Variáveis utilizadas para o desenvolvimento do modelo matemático para o cálculo do

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A seguir, segue demonstração dos cálculos para encontrar o volume de cada sólido.

3.1.1 Cálculo do volume do Sólido 1 (S1)

Os Sólidos 1 (S1), em vermelho, estão localizados nas extremidades do cubo e

totalizam 8 prismas de mesmo formato e tamanho, conforme mostra a figura 6. Em seguida mostram-se, através da figura 7, as variáveis utilizadas para os cálculos referentes aos sólidos S1.

Figura 6 – Localização dos sólidos S1

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Observando a vista superior do S1, conforme mostra a figura 8, A é

perpendicular ao lado . 2

b

Figura 8 – Vista superior do S1

Sabe-se que para calcular o volume de um prisma basta encontrar a área da sua base e multiplica-lá pela sua altura. Como o prisma é uma pirâmide de base triangular e a área do triângulo é encontrada multiplicando-se a base pela altura e

dividindo por dois, a área da base corresponde à equação: 2 2 A b ⋅       .

Sabe-se também que o volume de uma pirâmide é igual a um terço do volume do prisma de mesma base e mesma altura (DI PIERRO NETTO; ORSI FILHO, 2000).

Então: 3 . 2 2 3 1 1 h A b V h base da Área VS S ⋅       = ⇒ ⋅

= , simplificando, obtém-se a equação

geral do volume do S1: 6 1 h A b VS ⋅ ⋅ =

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Os Sólidos 2 (S2), em azul, estão localizados entre o S1, em vermelho e o S3, em

verde, totalizando 8 prismas de mesmo formato e tamanho, como mostra a figura 9. Após, mostram-se, através da figura 10, as variáveis utilizadas para os cálculos referentes aos sólidos S2.

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Para determinar a equação do volume do S2 a fim de que a mesma pudesse ser

usada para encontrar o volume de qualquer outro tipo de peças de transição, utilizou-se a Fórmula de Heron para encontrar a área da base da pirâmide, onde C é a área que se deseja encontrar e s corresponde ao semiperímetro. Então:

(

s p

) (

s B

) (

s L

)

Fórmula de Heron s C= ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⇒ tro Semiperíme do Equação L B p s= + + ⇒ 2

Obtendo a expressão da área da base da pirâmide é possível modelar a expressão do volume do S2: 3 . 2 h C VS =

Os Sólidos 3 (S3), em verde, estão localizados no meio dos sólidos S2, em azul,

totalizando 4 prismas de mesmo formato e tamanho, como mostra a figura 11. Em seguida, mostram-se, através da figura 12, as variáveis utilizadas para os cálculos referentes aos sólidos S3.

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Figura 12 – Variáveis utilizadas para o cálculo do volume do S3

A figura 13 mostra a vista superior do S3, onde é possível observar as outras

variáreis utilizadas no cálculo.

Figura 13 – Vista superior do S3

Para determinar a área da base do sólido foi utilizada a fórmula da área de um triângulo qualquer, fazendo uso das variáveis correspondentes:

2 3

D p

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Com isso, é possível expressar o modelo matemático que satisfaz o volume do S3: ⇒       ⋅ ⋅ = 3 2 3 h D p VS 6 3 D p h VS ⋅ ⋅ =

Os Sólidos 4 (S4), de cor magenta, estão localizados nas laterais da peça,

totalizando 4 prismas de mesmo formato e tamanho, como mostra a figura 14.

As variáveis utilizadas para o cálculo foram as mesmas do S1. Porém, para

encontrar a área da base da pirâmide foi necessário rotacionar a lateral do prisma 90°, de modo que a parte plana ficaria paralela a um plano imaginário, o que acarretou que a largura continuaria correspondente a b e o comprimento, agora, correspondesse a h , ou seja, à altura do S4, conforme mostra a figura 15.

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Figura 15 – Variáveis utilizadas para o cálculo do volume do S4

Neste caso, a área da base é encontrada com a seguinte expressão:

2 4

h b

S = ⋅

Agora, para determinar a equação do volume do S4, é necessário adotar A

como sendo a nova altura. Portanto:

⇒       ⋅ ⋅ = 3 2 4 A h b VS 6 4 A h b VS ⋅ ⋅ =

3.2 EQUAÇÃO GERAL DO VOLUME DA PEÇA DE TRANSIÇÃO QUADRADO PARA CIRCULAR

Para encontrar a equação geral do volume foi feito um somatório das equações individuais, multiplicando cada uma pela quantidade dos respectivos sólidos e simplificando ao máximo todas as expressões. Foi tomado VTS, como a variável que

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representa o volume total dos sólidos ou a perda do volume em relação ao cubo. Em seguida, seguem os procedimentos utilizados para definição do modelo matemático para encontrar o volume total da peça de transição quadrado para circular:

4 3 2 1 8. 4. 4. . 8 S S S S TS V V V V V = + + +       ⋅ ⋅ +       ⋅ ⋅ +       +       ⋅ ⋅ = 6 . 4 6 . 4 3 . . 8 6 . 8 b A h Ch h p D b h A VTS

(

A b C p D

)

h V_TS = ⋅ ⋅ 2⋅ ⋅ +4⋅ + ⋅ 3 2                 −               +       ⋅ + ⋅ +       − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ₂ 2 2 2 2 4 2 2 3 2 r b b p C d b b h VTS

(

)

[

]

        _⋅ _⋅ ₋ _⋅ ₊ _⋅ ₋ _⋅ ₋ _⋅ _⋅ − ⋅ ⋅ = 2 2 2 2 8 2 3 2 h p r2 C b2 d p b VTS

(

) (

)

(

)

[

]

        _⋅ _⋅ ₋ _⋅ _⋅ ₋ _⋅ ₋ _⋅ ₋ ₊ _⋅ ₋ _⋅ ₋ _⋅ _⋅ − ⋅ ⋅ = 2 2 2 2 8 2 3 2 h p r2 s s p s B s L b2 d p b VTS

Tomando VT como volume da peça de transição, VC como volume do cubo e VTS

como o volume total dos sólidos, é possível escrever uma equação geral simplificada

para o volume. Assim:

TS C

T V V

V = −

Substituindo as variáveis pelos respectivos valores, obtém-se:

(

)

                ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ = 4 3 2 2 2 2 2 9998 , 0 5357 , 2 6077 , 1 25 , 0 1250 , 0 8170 , 0 3 2 d b d b d d b d b h h b VT

(31)

3.3 DESENVOLVIMENTO DO MODELO MATEMÁTICO PARA ENCONTRAR A ÁREA DA CHAPA NECESSÁRIA PARA FABRICAÇÃO DE UMA PEÇA DE TRANSIÇÃO QUADRADO PARA CIRCULAR

Para o desenvolvimento do modelo matemático para encontrar a área da chapa necessária para a fabricação da peça de transição quadrado para circular, fez-se uso da chapa planificada, esboçada com o auxílio do AutoCAD 2006.

Como a peça de transição é confeccionada com duas chapas iguais, a planificação representa apenas a metade do objeto. Os traços marcados na superfície servem de referência para conformar a peça.

Fazendo uso dos traços referencias, foi possível desenvolver a equação que determina a área da chapa. Conforme mostra a figura 16, os traços saem dos vértices da linha b , que corresponde à largura da peça, e ficam a uma distância p um dos outros, de modo que quando se fizer o somatório de p , ter-se-á o meio perímetro do círculo da peça de transição. Para ter 100% de garantia que a planificação corresponderá ao objeto que se almeja produzir, as linhas

2

b _{e E}

devem ser perpendiculares entre si.

(32)

Nota-se que a superfície da planificação traçada apresenta triângulos de diferentes dimensões e áreas. Os de mesma área e tamanho foram nomeados igualmente e atribuída a mesma cor, conforme mostra a figura 17.

Figura 17 – Distribuição das cores na planificação

Como se pode observar na figura 17, os triângulos 1 e 3, denominados, respectivamente, A1 e A3, aparecem 2 vezes no desenho da planificação, de modo

que os dois triângulos laterais, quando somados, representam uma única área A1. Já

o triângulo 2, nomeado como A2, repete-se 4 vezes.

Para cada triângulo foram criadas equações individuais da área, utilizando-se dos princípios básicos de trigonometria e geometria. Após, todas as equações foram somadas e simplificadas, a fim de se obter uma fórmula onde fosse possível calcular a área da chapa para fabricação de qualquer peça de transição, utilizando somente as partes fundamentais do objeto: comprimento, largura, altura e diâmetro.

A maioria das variáveis empregadas para o modelo matemático da área são as mesmas utilizadas no cálculo do volume. O quadro 2 explana o significado das demais variáveis e como foram obtidas.

(33)

Figura 16

E

Corresponde à diagonal do lado da peça de transição encontrada através do Teorema de Pitágoras com a equação_E ₌ _h2 ₊_A2 _{. Na planificação}

corresponde à altura da parte central do objeto.

n Resultante da expressão 2 2 2     + = E b

n , ou seja, a hipotenusa do triângulo 1.

m _{Resultante da expressão}_m₌ _L2 ₊_h2 _{, ou seja, o lado maior do triângulo 3.}

Quadro 2 - variáveis utilizadas para o desenvolvimento do modelo matemático para o cálculo da área

A seguir, segue demonstração dos cálculos para encontrar a área de cada triângulo.

3.3.1 Cálculo da área do triângulo 1 (A1)

O triângulo 1 (A1), em magenta, está situado no centro da planificação e nas

laterais, conforme mostra a figura 17, sendo que cada lateral equivale à metade da A1. Com isso, após somadas as duas laterais, tem-se 2 triângulos de mesmo formato

e mesma área, conforme mostra a figura 18.

Figura 18 – Variáveis utilizadas para o cálculo da área A1

(34)

Assim, tem-se: 2 1 E b A = ⋅

O triângulo 2 (A2), em azul, está situado entre as áreas A1,

2 1

A

, em magenta, e A3, em verde, totalizando 4 triângulos de mesmo formato e mesma área, conforme

mostra a figura 17. Abaixo, mostram-se, através da figura 19, as variáveis utilizadas para os cálculos referentes à área do triângulo A2.

Para determinar a equação da área A2, a fim de que a mesma pudesse ser

usada para encontrar a área de qualquer outro tipo de peças de transição, novamente foi usada a Fórmula de Heron, onde A₂ é a área que se deseja encontrar e s1 corresponde ao semiperímetro.

(35)

Assim: tro Semiperíme do Equação m n p s = + + ⇒ 2 1

(

s p

) (

s n

) (

s m

)

Fórmula de Heron s A₂ = ₁⋅ ₁− ⋅ ₁− ⋅ ₁ − ⇒

O triângulo 3 (A3), em verde, está situado entre as áreas A2,em azul, totalizando

2 triângulos de mesmo formato e mesma área, conforme mostra a figura 17. A figura 20 mostra as variáveis utilizadas para os cálculos referentes à área do triângulo A3.

tro Semiperíme do Equação m m p s = + + ⇒ 2 2

(

s p

) (

s m

) (

s m

)

Fórmula de Heron s A₃ = ₂⋅ ₂ − ⋅ ₂ − ⋅ ₂ − ⇒

(36)

3.4 EQUAÇÃO GERAL DA ÁREA DA PLANIFICAÇÃO GERAL DA ÁREA DA PLANIFICAÇÃO DA PEÇA DE TRANSIÇÃO QUADRADO PARA CIRCULAR

Para encontrar a equação geral da área foi feito um somatório das equações individuais das áreas, multiplicando cada uma pela quantidade que aparece na planificação. Foi tomada A_T, como a variável que representa a área total da

planificação. Abaixo segue demonstração dos procedimentos utilizados para

definição do modelo matemático para encontrar a área total da planificação da peça de transição quadrado para circular:

(

₁ ₃

)

4 ₂ 2 A A A A_T = ⋅ + + ⋅

(

s m

)

s s p s

(

s p

) (

s n

) (

s m

)

E b A_T _+ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ −      ⋅ − ⋅ − +       + ⋅ = ₂ ₂2 ₂ 4 ₁ ₁ ₁ ₁ 2 2

(

)

(

) (

)

B C D A T s m s s p s s p s n s m E b A + ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ −           ⋅ − ⋅ − +       + ⋅ = ₂ ₂2 ₂ 4 ₁ ₁ ₁ ₁ 2 2 4 2 4h2 b2 d2 d b b A= ⋅ + + − ⋅ ⋅ d B d B= ⋅ ⇒ =0,1294⋅ 2 2588 , 0 2 2 2 4 9328 , 0 7317 , 2 2 2 1 h d d b b C= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅

(

)

[

2 2 3 4 2 2

]

(

2 3

)

2 5 , 0 1295 , 0 9658 , 0 2679 , 0 0625 , 0 0669 , 0 5825 , 0 d b d b d h d d b d b D= − + − + + − ⋅

(

A B C

)

D AT =2⋅ + ⋅ +

(37)

Portanto:

(

)

[

2 2 3 4 2 2

]

(

2 3

)

2 2 2 2 2 2 2 5 , 0 1295 , 0 9658 , 0 2679 , 0 0625 , 0 0669 , 0 5825 , 0 4 9328 , 0 7317 , 2 2 1294 , 0 2 2 4 b d b d d h d b d b d h d d b b d b d d b h b AT ⋅ − + + − + − + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − + + ⋅ =

(38)

4 RESULTADOS E ANÁLISE DOS DADOS

4.1 COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS ENCONTRADOS COM AS FÓRMULAS DO VOLUME E DA ÁREA E OS VALORES OBTIDOS COM O PROGRAMA AUTOCAD 2006

Para investigar se as equações encontradas representam o volume e a área da chapa da peça de transição, foram desenhadas, no AutoCAD 2006, três peças de diferentes dimensões e, após, os valores encontrados nas expressões foram comparados com os valores fornecidos pelo programa.

Os quadros abaixo ilustram um comparativo entre os valores encontrados com as equações e os valores fornecidos pelo programa AutoCAD 2006, bem como o valor do erro, para o volume e para a área, e a perda de material da planificação em relação a um retângulo. PEÇA 1 2 3 LARGURA E COMPRIMENTO (mm) 150 X 150 500 X 500 800 X 800 ALTURA (mm) 150 400 950 DIÂMENTRO (mm) 100 300 600 E Q U A Ç Ã O VOLUME (L) 2,25 62,3333 388,7037 A U T O C A D VOLUME (L) 2,2499 62,3326 388,7083 E R R O (L) 0,0001 0,0007 0,0046

(39)

PEÇA 1 2 3 LARGURA E COMPRIMENTO (mm) 150 X 150 500 X 500 800 X 800 ALTURA (mm) 150 400 950 DIÂMENTRO (mm) 100 300 600 E Q U A Ç Ã O ÁREA (m²) 0,0351 0,3081 1,1534 A U T O C A D ÁREA (m²) 0,0351 0,3082 1,1535 E R R O (m²) 0 0,0001 0,0001 P E R D A (%) 27,32 29,59 27,28

Quadro 4 - Comparação dos resultados da área

Analisando o quadro 3, observa-se que o valores encontrados através da fórmula do volume ficam muito próximos dos fornecidos pelo programa AutoCAD 2006 e que o erro aumenta pouco à medida que o tamanho da peça aumenta. Avaliando o quadro 4, também se pode observar que os valores obtidos através da equação da área ficam bem próximos aos valores fornecidos pelo programa. A última linha refere-se à perda do material no corte da planificação em relação a um retângulo, conforme mostra a área hachurada da figura 21.

(40)

Pode-se dizer que a perda de material fica, aproximadamente, entre 27 a 30%. O valor do erro é decorrente da quantidade de casas decimais usadas. No cálculo do volume e da área, usando as equações, foram utilizadas quatro casas decimais com truncamento. Já, o programa AutoCAD 2006, automaticamente ajusta os valores para quatro casas decimais, porém, sem truncamento.

(41)

5 CONCLUSÕES

O presente trabalho propõe modelos matemáticos que permitem encontrar o volume de peças de transição não-revolucionáveis de tubulações quadrangulares para circulares e para encontrar a área da chapa metálica necessária para a sua construção a partir de suas dimensões nominais: largura, comprimento, altura e diâmetro. Mostra formas geométricas incomuns no meio acadêmico, mas que são utilizadas amplamente nas engenharias.

Observando os resultados analisados, pode-se concluir que os modelos matemáticos apresentados representam o volume da peça de transição e a área da sua planificação com pouco erro, se comparados aos resultados apresentados pelo software AutoCAD 2006.

A elaboração desses modelos pode contribuir para a melhoria de projetos onde estas peças são aplicadas, trazendo excelente custo benefício, pois deixam o profissional livre do uso de programas gráficos como o AutoCAD para o cálculo de volume e áreas que, como abordado neste trabalho, são de alto custo comercial e dependem de pessoas qualificadas para elaboração de modelos tridimensionais complexos.

Ressalta-se a extrema importância da Modelagem Matemática em parceria com a informática, pois graças a estes dois fatores foi possível verificar muito antes do término do modelo, se as equações elaboradas correspondiam ao volume real do sólido e à área real da planificação. Uma vez encontrados valores divergentes significativos, o modelo era ajustado ou corrigido a fim de se obter o máximo de confiabilidade entre os valores.

Para trabalhos futuros, propõe-se a elaboração de modelos matemáticos para encontrar o volume de peças de transição de tubulações elípticas para circulares e elípticas para quadrangulares, assim como a área das planificações.

(42)

REFERÊNCIAS

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matemática: origens e desenvolvimento do cálculo: unidade 1. Brasília: Editora

Universidade de Brasília, 1985.

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______. Modelagem matemática: uma disciplina emergente nos programas de

formação de professores. Disponível em:

<http://www.ime.unicamp.br/~biomat/bio9art_1.pdf>. Acesso em: 04 abr. 2008.

BOYER, Carl B.; GOMIDE, Elza F (Trad.). História da matemática. 2. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 1996.

CÁLCULO MATEMÁTICO. História da geometria espacial. Disponível em: <http://calculomatematico.vilabol.uol.com.br/geoespacial.htm>. Acesso em: 11 nov. 2007.

DI PIERRO NETTO, Scipione; ORSI FILHO, Sérgio. Quanta: matemática em

fascículos para o ensino médio: os sólidos geométricos e suas medidas. São

Paulo: Saraiva, 2000.

GIECK, Kurt; LAUAND, Carlos Antônio (Trad.). Manual de fórmulas técnicas. São Paulo: Hemus, 2001.

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(43)

LEITHOLD, Louis. O cálculo com geometria analítica 3. ed. São Paulo: HARBRA, 1994. V.2.

LEITHOLD, Louis; PATARRA, Cyro de Carvalho (Trad.). O cálculo com geometria

analítica 3. ed. São Paulo: HARBRA, 1994. V.1.

PALLONE, S. Empresas também utilizam métodos matemáticos. Disponível em: <http://www.comciencia.br/reportagens/modelagem/mod05.htm>. Acesso em: 21 maio 2008.

SENAI – RS. Informações Técnicas-Mecânicas. 10. ed. Porto Alegre: CFP SENAI de Artes Gráficas “Henrique d´Ávila Bertaso”, 1996.

SOMATEMÁTICA. História da geometria. Disponível em:

(44)

(45)

APÊNDICE A - Desenvolvimento detalhado do modelo matemático para o cálculo do volume da peça de transição quadrado para circular

4 3 2 1 8. 4. 4. . 8 _S _S _S _S TS V V V V V = + + +

Substituindo S1, S2, S3 e S4 pelas respectivas equações:

      ⋅ ⋅ +       ⋅ ⋅ +       +       ⋅ ⋅ = 6 . 4 6 . 4 3 . . 8 6 . 8 b A h Ch h p D b h A VTS

Simplificando a expressão tem-se:

(

A b C p D

)

h VTS ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ = 2 4 3 2 Substituindo as variáveis A e D:                 −               +       ⋅ + ⋅ +       − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ₂ 2 2 2 2 4 2 2 3 2 r b b p C d b b h VTS

(

)

[

]

        _⋅ _⋅ ₋ _⋅ ₊ _⋅ ₋ _⋅ ₋ _⋅ _⋅ − ⋅ ⋅ = 2 2 2 2 8 2 3 2 h p r₂ C b2 d p b VTS Substituindo C:

(

) (

)

(

)

[

]

        _⋅ _⋅ ₋ _⋅ _⋅ ₋ _⋅ ₋ _⋅ ₋ ₊ _⋅ ₋ _⋅ ₋ _⋅ _⋅ − ⋅ ⋅ = 2 2 2 2 8 2 3 2 h p r2 s s p s B s L b2 d p b VTS

(46)

Substituindo s:

(

)

                                                    ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ +       −       + + ⋅       −       + + ⋅       −       + + ⋅       + + ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = 2 2 2 2 2 2 2 2 8 2 3 2 2 2 b p d b L L B p B L B p p L B p L B p r p h VTS

(

)

(

)

[

]

                        + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ + ⋅ − − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 4 2 2 2 4 2 2 4 2 2 p L p L B p L B b p d b r p h V_TS Substituindo B e A contido em B:

(

)

(

)

                                                                                                      + ⋅ ⋅ − +         _⋅ ₋ _⋅ _⋅ ₊ ⋅ ⋅ + ⋅ −         _⋅ ₋ _⋅ _⋅ ₊ − + ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 4 2 2 4 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 p L p L d d b b p L d d b b b p d b r p h VTS

(47)

(

)

(

)

(

)

(

)

                                                        ⋅ + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = 4 16 8 16 4 16 8 8 4 32 8 16 16 16 2 2 4 4 4 3 2 4 2 2 4 2 3 2 2 2 3 4 2 2 2 2 4 2 2 p d p d b d p d b p d b d b L p d d b b L b p d b r p h VTS Substituindo L:

(

)

(

)

(

)

(

)

                                                        ⋅ + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = 4 9 10 20 4 20 8 8 4 24 8 16 16 16 2 2 4 4 4 3 2 4 2 2 4 2 3 2 2 2 3 4 2 2 2 2 4 2 2 p d p d b d p d b p d b d b D p d d b b D b p d b r p h VTS Substituindo D novamente:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 4 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 4 2 2 4 4 4 4 2 2 16 32 2 32 16 8 24 16 2 8 2 24 2 4 32 4 20 10 9 2 3 4 TS p r b d p b r b r b b d d p r d b d p b r d p b d p d b d p d p h V  _⋅ _⋅ ₋ _⋅ ₋ _⋅ _{− ⋅} _⋅ _⋅ ₋      _⋅ ₋ _⋅ _{⋅ ⋅} ₊ _⋅ ₊ _{⋅ ⋅} ₋ _⋅ ₊ _⋅ _⋅   _ _       _{− −}_  _⋅ _{⋅ ⋅} ₋ _⋅ _⋅ ₊ _⋅ _⋅ _⋅ _⋅ ₊ _⋅ ₋ _⋅ _⋅ _    _ _  _ _ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅  ⋅    = ⋅ −                             

(48)

Substituindo r2 sendo r₂ =0,4829⋅d:

(

)

(

)

(

)

                    ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ = 4 2 2 4 2 3 2 2 2 2 9 5971 , 15 0045 , 0 3909 , 36 0983 , 0 32 5355 , 0 25 , 0 4829 , 0 7071 , 0 3 2 p d p d b d p d b p d d p b p d b h VTS

Substituindo p sendo p=0,2588⋅dtem-se a equação da perda do volume em

relação ao cubo:     ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = 2 ₀_,₈₁₇₀ ₀_,₁₂₅₀ 2 ₀_,₂₅ ₁_,₆₀₇₇ 2 2 ₂_,₅₃₅₇ 3 ₀_,₉₉₉₈ 4 3 2 d b d b d d b d b h VTS

APÊNDICE B - Desenvolvimento detalhado do modelo matemático para o cálculo da área da planificação da peça de transição quadrado para circular

(

₁ ₃

)

4 ₂

2 A A A

AT = ⋅ + + ⋅

Substituindo A1, A2 e A3 pelas suas respectivas equações:

(

s m

)

s s p s

(

s p

) (

s n

) (

s m

)

E b AT + ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ −      ⋅ − ⋅ − +       + ⋅ = ₂ ₂2 ₂ 4 ₁ ₁ ₁ ₁ 2 2

Para facilitar, cada expressão foi simplificada individualmente. Para isso foram atribuídas variáveis dividindo a equação em quatro partes: A, B, C e D.

(

)

(

) (

)

B C D A T s m s s p s s p s n s m E b A + ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ −           ⋅ − ⋅ − +       + ⋅ = ₂ ₂2 ₂ 4 ₁ ₁ ₁ ₁ 2 2 Simplificando A: 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 d b d b h b d b h b A h b E b A + ⋅ ⋅ − + ⋅ =       − + ⋅ = + ⋅ =       + =

(49)

4 2 4h2 b2 d2 d b b A= ⋅ + + − ⋅ ⋅ Simplificando B:

(

)

2 2 2 p m m m b m s B =      − + = − = , sendo p= ⋅d ⇒ p=0,2588⋅d 2 5176 , 0 d B d B= ⋅ ⇒ =0,1294⋅ 2 2588 , 0 Simplificando C:       + ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ + =       + ⋅ −       + = ⋅ − = 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 p m p m p m p m p p m p p s s C 2 4 m2 p2 C= ⋅ − Substituindo p:

(

)

2 0670 , 0 4 2 2588 , 0 4 m2 d 2 m2 d2 C= ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ Substituindo m:

(

)

2 0670 , 0 4 4 2 0670 , 0 4 _L2 _h2 2 _d2 _L2 _h2 _d2 C= ⋅ + − ⋅ = ⋅ + ⋅ − ⋅ Substituindo L e p contido em L:

(

)

2 0670 , 0 4 1294 , 0 4 2 2 2 2 2 _d _h _d D C ⋅ − ⋅ +       ₊ _⋅ ⋅ =

(50)

2 0670 , 0 4 0670 , 0 4 D2 d2 h2 d2 C= ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ 2 4 4 D2 h2 C= ⋅ + ⋅ Substituindo D:

(

)

2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 h b r b r h r b b C = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ +         −               +       ⋅ = Substituindo r₂, sendo r₂ =0,4829⋅d: 2 2 2 4 9328 , 0 7317 , 2 2 2 1 h d d b b C= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ Simplificando D:

(

s p

) (

s n

) (

s m

)

s D=4⋅ ₁⋅ ₁− ⋅ ₁− ⋅ ₁ − Substituindo s₁:       − + + ⋅       − + + ⋅       − + + ⋅ + + ⋅ = p n m p n m p p n m n p n m m D 2 2 2 2 4 Simplificando:       + − ⋅       + − ⋅       + − ⋅ + + ⋅ = 2 2 2 2 4 p n m m n p m p n n p m D

(51)

Simplificando: 4 2 2 4 2 2 2 2 4 2 2 2n m p m n p n p m D= − + + − + − Substituindo m:

(

2 2

)

4 2

(

2 2

)

2 2

(

2 2

)

2 4 2 2 4 2 2 2n L h p L h n p n p h L D= − + + ⋅ + + ⋅ + − + − 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2h L h n L n h p L p h n p n p L D= − − − − + + + + − + −

Substituindo L e simplificando a expressão:

(

)

[

]

(

)

{

4 2 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2

}

5625 , 0 5 , 2 5 , 1 2 5 , 1 2 2h n p D h n p h n p n p D D= − + − + + − + + − +

Substituindo D e simplificando a expressão:

(

)

[

]

[

(

)

]

(

)

[

]

(

)

        + − + + − + + − + + ⋅ + − + − + − + + ⋅ − − = 4 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 4 2 5625 , 0 5 , 2 5 , 1 2 75 , 0 25 , 0 5 , 0 3 4 4 2 5 , 1 2 2 3 5 , 0 4 p n p n h p n h b p n h b r b p n h b r p n h b r b r D

Substituindo n e simplificando a expressão:

(

)

[

]

[

(

)

]

(

)

(

)

        + − + ⋅ − + + + + − + ⋅ ⋅ ⋅ − + − ⋅ + − + − + ⋅ − − = 4 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 4 2 5625 , 0 5 , 1 3750 , 1 5 , 0 0625 , 0 5 , 2 2 5 , 0 5 , 0 3 4 5 , 0 4 5 , 1 2 5 , 2 2 5 , 0 4 p h p h b p h b E p h b E r b p h b E b r p h b E r b r D

Substituindo E e simplificando a expressão:

(

)

[

]

[

(

)

]

(

)

(

)

(

)

        − − − + ⋅ − − ⋅ − + ⋅ ⋅ + − − + − + + ⋅ − − = 4 2 2 2 2 4 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 4 2 5625 , 0 4 6250 , 0 0625 , 0 25 , 1 25 , 0 2 25 , 0 5 , 0 3 2 5 , 1 5 , 0 2 5 , 0 4 p h p d p d b d p d b p d r b p d db r p d db b r b r D

(52)

Substituindo r₂, sendo r₂ =0,4829⋅d:

(

)

(

)

(

)

(

)

[

]

        ⋅ + − ⋅ − − − − + ⋅ − − ⋅ − ⋅ − = ₂ 2 3 2 4 2 2 2 2 4 2 3 2 2 2 5 , 0 4488 , 1 0324 , 0 9658 , 0 5625 , 0 4 9748 , 0 0003 , 0 25 , 1 0168 , 0 2 7164 , 0 b d p d b d p h p d p d b d p d b p d D Substituindo p , sendo p= ⋅d ⇒ p=0,2588⋅d 2 5176 , 0 :

(

)

[

2 2 3 4 2 2

]

(

2 3

)

2 5 , 0 1295 , 0 9658 , 0 2679 , 0 0625 , 0 0669 , 0 5825 , 0 d b d b d h d d b d b D= − + − + + − ⋅

(

A B C

)

D AT =2⋅ + ⋅ + Portanto:

(

)

[

2 2 3 4 2 2

]

(

2 3

)

2 2 2 2 2 2 2 5 , 0 1295 , 0 9658 , 0 2679 , 0 0625 , 0 0669 , 0 5825 , 0 4 9328 , 0 7317 , 2 2 1294 , 0 2 2 4 b d b d d h d b d b d h d d b b d b d d b h b AT ⋅ − + + − + − + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − + + ⋅ =

(53)

(54)

ANEXO 1 - Protótipo da planificação da peça de transição utilizado para o desenvolvimento do modelo para o cálculo da área

ANEXO 2 - Peça de transição interligando cone com válvula gaveta num reservatório de água

(55)

ANEXO 3 - Peça de transição de quadrado para circular utilizada como moega

(56)