ALGORITMOS PARA PLANEJAMENTO INTEGRADO DE PRODUÇÃO E TRANSPORTE DE MINÉRIOS

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ALGORITMOS PARA PLANEJAMENTO INTEGRADO DE PRODUÇÃO

E TRANSPORTE DE MINÉRIOS

Franklin Assunção Almeida Bruno Santos Pimentel {franklin, brunosp}@dcc.ufmg.br

Departamento de Ciência da Computação – Universidade Federal de Minas Gerais Avenida Antônio Carlos, 6627 – 31.270-010 – Belo Horizonte – Minas Gerais

RESUMO

Aplicações recentes de pesquisa operacional para a indústria da mineração são tradicionalmente concentradas no planejamento e desenvolvimento de mina, alocação e despacho de caminhões e escavadeiras, programação de operações ferroviárias e programação de fila de navios em portos. Tais problemas são tratados de forma independente, desconsiderando a influência das operações à jusante e à montante na cadeia. Este artigo tem como objetivo explorar a integração funcional entre esses diversos problemas, de acordo com uma abordagem de cadeia de suprimentos na indústria de mineração. Um modelo matemático de programação inteira-mista é proposto com o objetivo de representar adequadamente as características de um problema de planejamento e transporte de minérios. Para lidar com a alta complexidade computacional do problema, propõem-se algoritmos baseados na heurística relax-and-fix. Resultados preliminares da abordagem são apresentados.

PALAVRAS CHAVE. Mineração. Cadeia de suprimentos. Logística. Aplicações a Logística e Transportes.

ABSTRACT

Recent operations research approaches for the mining industry are highly concentrated on mine development, hauling equipment dispatch, railway scheduling and ship queue scheduling problems. Those are often addressed individually, in disregard of upstream and downstream operations. The main objective of this paper is to explore functional integration between mining problems, according to a global mining supply chain approach. We propose an integer programming mathematical model that addresses the integrated ore production and transportation problem. In order to deal with the high computational complexities involved, we have developed specific solution algorithms based on the relax-and-fix heuristic. Preliminary results are provided. KEYWORDS. Mining. Supply chain. Logistics. Applications to Logistics and Transportation.

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1. Introduc¸˜ao

Grandes operações de minério de ferro dispõem de diversas minas com diferentes capaci-dades, além de usinas de beneficiamento e pelotização, áreas de estocagem, ferrovias, terminais portuários e entrepostos. Dependendo das caracter´ısticas do minério ofertado em cada mina e da demanda estabelecida por clientes do mercado interno ou externo, as decisões de extração, beneficiamento, blendagem e manuseio podem utilizar diferentes instalações em diferentes estágios da cadeia produtiva. Por exemplo, pode haver usinas de pelotização localizadas tanto nos complexos mineradores quanto nos terminais portuários (mas não necessariamente em cada mina ou cada terminal portuário); a blendagem pode ocorrer nas diversas áreas de estocagem ao longo de toda cadeia; e o minério em proces-samento pode seguir para diferentes destinos dependendo da integração entre as minas e a malha ferroviária. Cada uma dessas decisões deve considerar os custos e as capacidades de produção, transporte e estocagem de todo o sistema.

A literatura sobre o assunto mostra-se altamente concentrada na solução de problemas de planejamento de lavra e alocação e despacho de caminhões de mina; e com menor ênfase em operações ferroviárias e portuárias. Ademais, poucos trabalhos analisam cenários em que decisões de produção e transporte, desde a lavra até o cliente final, são trata-dos de forma integrada. Abordagens baseadas no conceito de cadeia de suprimentos [Pimentel et al. 2009], onde o fluxo de matérias-primas e produtos acabados, bem como as operações de transformação, armazenagem e distribuição são tratados sistematicamente são mais indicadas para a análise do problema aqui colocado. Todos esses problemas apre-sentam alta complexidade computacional e a solução por pacotes comerciais de otimização é fact´ıvel apenas para instâncias de tamanho reduzido, não necessariamente representativas de casos reais.

O objetivo deste trabalho é reportar o desenvolvimento de um modelo matemático e método de solução para o problema do planejamento integrado de produção e transporte de minérios. No nosso contexto, o termo integração refere-se à integração na dimensão fun-cional [Pochet and Wolsey 2006], onde a tomada de decisão em processos aparentemente independentes em mina, ferrovia e porto são avaliados simultaneamente no mesmo n´ıvel de decisão, neste caso, o n´ıvel tático. O modelo matemático é baseado no problema de fluxo de custo m´ınimo, porém com restrições de integralidade nas variáveis de produção e em algumas variáveis de transporte. A alta complexidade computacional observada impede sua resolução por pacotes comerciais de otimização. Uma heur´ıstica baseada na estratégia

relax-and-fix[Dillenberger et al. 1994] é proposta e alguns experimentos ilustram sua apli-cabilidade na solução de problemas de tamanho prático.

2. Operações na ind ústria da mineração

A extração de minério é realizada por uma frota de caminhões fora-de-estrada e escava-deiras, que removem o minério bruto (Run Of Mine - ROM) das frentes de lavra e o trans-ferem para instalações de britagem e peneiramento, onde ocorre a primeira redução de tamanho de acordo com as especificações de alimentação das usinas de beneficiamento. Problemas t´ıpicos incluem o planejamento de lavra [Sattarvand and Niemann-Delius 2008] e alocação e despacho de caminhões de mina [Ta et al. 2005]. Depois de britado e penei-rado, o ROM é estocado em pilhas pulmão e em seguida transferido para pátios onde ocorre a homogeneização de suas caracter´ısticas f´ısicas e qu´ımicas para alimentar as usinas de beneficiamento.

Nas usinas, processos de classificação e concentração provêm ganho adicional de quali-dade ao minério, gerando produtos granulados, finos e superfinos. Os produtos granulados

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são utilizados para alimentação direta de altos-fornos, enquanto que os finos e superfi-nos têm ainda que passar por processos de sinterização e pelotização, respectivamente, para serem alimentados em altos-fornos. Os produtos gerados nas usinas de benefici-amento e pelotização são transferidos para pátios onde são empilhados e retomados de acordo com a programação comercial e a disponibilidade dos canais log´ısticos (rodovias, ferrovias, hidrovias, etc.) para transporte até os portos ou até os clientes do mercado interno. Nesses pátios podem ocorrer os primeiros ajustes de qualidade por blendagem [Moraes et al. 2006] na composição de lotes de produtos de minério.

O transporte até os portos, ou até grandes clientes do mercado interno, é comumente realizado pelo modal ferroviário. Para o mercado interno, a entrega de produtos de minério de ferro pode ser feita diretamente, quando o cliente possui um ramal ferroviário dedicado, ou indiretamente, quando a ferrovia transfere os produtos para entrepostos a partir de onde os minérios seguem pela via rodoviária para o cliente. O planejamento adequado do trans-porte ferroviário, principalmente em vias com recursos limitados, é de extrema importância [Ahuja et al. 2002].

Os portos podem receber minérios de diversos complexos mineradores. De acordo com a programação de navios [Lee and Chen 2009], a disponibilidade de produtos em es-toque e suas caracter´ısticas, os minérios recebidos podem ser encaminhados para pátios de estocagem, para usinas de pelotização, ou mesmo para embarque direto nos navios. É co-mum a blendagem de produtos compat´ıveis para possibilitar a obtenção de caracter´ısticas desejáveis no portfólio de vendas da empresa mineradora. Apesar de algumas empresas possu´ırem navios para o transporte dos produtos de minério de ferro, a maioria realiza a venda para os clientes do mercado externo por meio de armadores independentes. Grandes operações podem incluir ainda entrepostos internacionais que funcionariam como centros de distribuição para atender demandas espec´ıficas.

3. O Problema de Planejamento Integrado de Produc¸˜ao e Transporte

A cadeia de suprimentos da mineração pode ser definida como uma rede integrada de instalações destinadas ao processamento, por meio de diversas técnicas de produção, e à distribuição, utilizando uma variedade de modais de transporte, de produtos de minério (de ferro) desde as minas até os clientes siderúrgicos, os quais podem estar a grandes distâncias geográficas [Pimentel et al. 2009].

Figura 1. A cadeia global de suprimentos da minerac¸ ˜ao.

Nesse contexto, estamos interessados no problema de planejamento integrado de pro-dução e transporte de minérios, com foco na tomada de decisões no n´ıvel tático. Proble-mas semelhantes, porém com escopo mais restrito, foram abordados anteriormente na literatura. Por exemplo, [Mateus et al. 1994] apresentam um modelo de programação li-near para o planejamento multi-per´ıodo de transporte de minério de ferro de uma

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min-eradora brasileira, considerando a oferta de produtos finais nos pátios de estocagem, a movimentação entre pátios, a transferência pelas ferrovias e a blendagem que ocorre nos portos. [Pendharkar and Rodger 2000] ampliam o escopo propondo um modelo não-linear multi-per´ıodo para determinação do programa de produção, transporte e blendagem de carvão, considerando minas, silos de blendagem e mercados consumidores. A solução é aproximada por um algoritmo de busca genética. [Everett 2001] aborda um cenário australiano composto de três minas que produzem minério de ferro com diferentes quali-dades e os transferem até um porto através de uma ferrovia de via única. O autor propõe um modelo simples de programação quadrática para minimizar desvios de qualidade na blendagem de produtos finais que ocorre no porto. [Lu et al. 2005] concentram a análise na cadeia de suprimentos dos importadores chineses, envolvendo portos, ferrovias e indústrias siderúrgicas. Os autores propõem um modelo de programação inteira mista para mini-mizar o custo total de circulação de minério na cadeia. A solução de instâncias de pequeno tamanho (quatro per´ıodos de tempo, três tipos de minério, três fornecedores e três consu-midores) é poss´ıvel com pacotes comerciais de otimização, mas não se discutem métodos de solução para instâncias maiores.

O problema de planejamento integrado de produção e transporte de minérios é mode-lado como um problema de fluxo multi-produto, multi-per´ıodo, de custo m´ınimo, onde os nós de oferta representam as frentes de lavra em cada mina do sistema e os nós de demanda representam os clientes siderúrgicos. As decisões, localizadas no n´ıvel tático, incluem os n´ıveis de produção de minas e usinas de beneficiamento ou pelotização, bem como os vo-lumes de ROM, produtos intermediários e finais armazenados ou transportados para outras instalações. Alguns aspectos do modelo são derivados de caracter´ısticas observadas em operações reais. Por exemplo, os fluxos de transporte e movimentação de produtos são, com exceção de correias transportadoras e dutos, baseados quantidades pré-definidas. Isso significa que, quando ocorre o transporte por caminhões, trens ou navios, as quantidades transportadas devem obedecer a carga máxima de cada modal. Algo semelhante se observa com os contratos de fornecimento de minério por empresas terceiras, quando lotes básicos de compra devem ser utilizados. Já no caso da produção, a prática orienta as usinas a ope-rarem sempre nas proximidades de suas capacidades nominais, onde se observa a melhor relação entre custo e produtividade. Dessa forma, considera-se que a produção de usinas de beneficiamento e pelotização é operadaCL

ij em n´ıveis discretos, associados `as suas

capaci-dades nominais. Esse número pode ser, por exemplo, igual a 30, com a variável de decisão associada representando o número de dias de um dado mês em que a produção ocorre. De maneira análoga, para CL

ij = 3, as instalac¸˜oes produtivas trabalhariam sempre a 0%, 50%

ou 100% da capacidade nominal. As seções seguintes descrevem a notação utilizada e a formulação matemática do modelo.

3.1. Notac¸˜ao Conjuntos :

B : Pontos de blendagem (B ⊂ X); D : Centros de demanda (clientes);

Ex : Arcos de canais (cont´ınuos) de movimentac¸˜ao e transporte de produtos;

Ey : Arcos de processos produtivos e de transformac¸˜ao;

Ew : Arcos de compra de min´erios de terceiros;

Ek

z : Arcos de transporte pelo modal discretok ∈ Q, Ez =

S

k∈QEzk;

O : Centros de oferta (frentes de lavra);

P : Produtos de min´erio, sendo P = (PF ∪ PO∪ PI) incluindo produtos Finais,

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Q : Modais de transporte discreto utilizados em canais de distribuição (caminhões fora-de-estrada, caminhões rodoviários, trem, navio, etc.);

R : Centros de compra de min´erio de terceiros;

S : P´atios de estocagem de produtos originais, intermedi´arios ou finais; T : Per´ıodos de tempo no horizonte de planejamento;

V : Todas as instalações do sistema, sendo V = {B ∪ O ∪ R ∪ S ∪ X ∪ Y } ; X : Pontos de transbordo (simples transferência ou carregamento e embarque);

Y : Instalações produtivas onde ocorrem processos de transformação; Parâmetros :

βbp: Parcela do produtop ∈ PF na composic¸˜ao do produto blendadob ∈ PF, tal que

βbp∈ (0, 1),

P

p∈PF βbp= 1, ∀b ∈ PF;

cpt

∗ : Custos unitários de transporte, estocagem, produção e compra de terceiros do

produtop ∈ P em t ∈ T ;

dpt_i : Demanda pelo produtop ∈ PF no centro de consumoi ∈ D em t ∈ T ;

δpt_i : Penalidade aplicada sobre a demanda n˜ao atendida do produtop ∈ PF para o

clientei ∈ D em t ∈ T ;

ǫpti : Perda inerente à movimentação, estocagem e transbordo do produto p ∈ P na

instalac¸˜aoi ∈ (S ∪ X) em t ∈ T , sendo ǫpt_i ∈ (0, 1];

ηpt_ij : Eficiência do processo de transformação(i, j) ∈ Ey para o produtop ∈ P em

t ∈ T , sendo ηpt_ij ∈ (0, 1]; l∗

∗ : Limite inferior dos fluxos de transporte, compras e n´ıveis de estoque;

u∗

∗ : Limite superior dos fluxos de transporte, compras e n´ıveis de estoque;

λpt_ij : Limite inferior do processo(i, j) ∈ Ey que gera o produtop ∈ P em t ∈ T ;

υptij : Limite superior do processo(i, j) ∈ Ey que gera o produtop ∈ P em t ∈ T ;

opti : Limite de oferta do produtop ∈ POna frente de lavrai ∈ O em t ∈ T ;

rpt_i : Limite de oferta do produtop ∈ (PI ∪ PF) pelo fornecedor i ∈ R em t ∈ T ;

CP

ij : Capacidade do processo produtivo(i, j) ∈ Ey tal queCijP = υ pt ij/CijL;

CL

ij : Quantidade de n´ıveis viáveis discretos de produção (incluindo o n´ıvel nulo) para

o processo produtivo(i, j) ∈ Ey, sendoCijL ∈ N ∗

;

C_Qq : Capacidade m´edia de um lote de produtos transferidos pelo modalq ∈ Q; C_Rip: Lote b´asico de compra do produtop ∈ (PI∪ PF) com o fornecedor i ∈ R;

Vari´aveis de decis˜ao :

bpti : Demanda do produtop ∈ (PI∪ PF) n˜ao atendida em i ∈ D no per´ıodo t ∈ T ;

spti : N´ıvel de estoque do produtop ∈ (PI∪ PF) no p´atio i ∈ S em t ∈ T ;

xptij : Fluxo do produtop ∈ P atrav´es do canal (i, j) ∈ Exemt ∈ T ;

ypt_ij : N´ıvel de produção determinado para o processo(i, j) ∈ Ey na geração do

pro-dutop ∈ P at t ∈ T ;

wptij : N´umero de lotes do produtop ∈ (PI∪ PF) comprados do fornecedor i ∈ R,

atrav´es do canal(i, j) ∈ Ew emt ∈ T ;

z_ijqpt : N´umero de unidades de transporte empregadas no fluxo do produtop ∈ P atrav´es do canal(i, j) ∈ Ez, usando o modalq ∈ Q at t ∈ T .

E, para simplificar a representac¸˜ao do modelo, sejam: Eχ : Eχ= {Ex∪ Ez}; γ_ijpt : γ_ijpt = C_ijpy_ijpt; ζijqpt : ζ pt ijq = C q Qz pt ijq; χptijq : χ pt ijq = x pt ij + P q∈Qζ pt ijq; ωpt_ij : ωpt_ij = C_Ripw_ijpt.

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3.2. Formulação matemática

A função objetivo busca minimizar os custos de produção, transporte, estocagem e compras de terceiros ao longo de todo o horizonte de planejamento, bem como evitar penalidades por não atendimento à demanda do per´ıodo:

Minimizar X t∈T X p∈P   X (i,j)∈Eχ cpt_ijqχpt_ij + X (i,j)∈Ey cpt_ijγ_ijpt+ X (i,j)∈Ew cpt_ijω_ijpt+X i∈S cpt_i spt_i +X i∈D δ_iptbpt_i   (1)

Os limites de oferta de ROM nas frentes de lavra, bem como de fornecimento de min´erios de terceiros devem ser respeitados:

X j ζijqpt ≤ o pt i ∀i ∈ O, p ∈ PO, q = {caminh˜ao}, t ∈ T (2) X j ω_ijpt ≤ r_ipt ∀i ∈ R, p ∈ (PI∪ PF) , t ∈ T (3)

Em todos os pontos de transbordo, o material transferido pelos diferentes modais pode sofrer perdas devido ao manuseio:

X

j

χpt_ijq− ǫpt_i X

k

χpt_kiq = 0 ∀i ∈ X, p ∈ P, t ∈ T (4)

Nos pontos de entrada e sa´ıda das instalações produtivas, a transformação ocorre de acordo com a eficiência do processo utilizado:

γijpt− η pt ij X k χp_kiq′t = 0 ∀(i, j) ∈ Ey, p′ ∈ P, p ∈ (PI∪ PF) , t ∈ T (5) X j χpt_ijq− γ_kipt= 0 ∀(k, i) ∈ Ey, ∀p ∈ (PI∪ PF) , ∀t ∈ T (6)

Nos p´atios de estocagem, a diferenc¸a entre os fluxos de entrada e sa´ıda de produtos deter-mina o estoque armazenado ao final do per´ıodo:

X j χptijq− ǫ pt i X k χpt_kiq− ǫpti X k ω_kipt = spt−1i − s pt i ∀i ∈ S, p ∈ P, t ∈ T (7)

Nos pontos de blendagem, os insumos para a geração de produtos blendados são combina-dos na proporção definida a priori:

X b βbp X j χbt ijq− X k χpt_kiq = 0 ∀i ∈ B, p ∈ PF, t ∈ T (8)

A demanda dos clientes deve ser atendida na sua totalidade. A parcela não atendida é determinada para o cômputo de penalidades contratuais:

X

k

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Limites sobre os fluxos nos diversos arcos e sobre as capacidades de estocagem devem ser impostos: lijpt≤ x pt ij ≤ u pt ij ∀(i, j) ∈ Ex, p ∈ P, t ∈ T (10) lijt ≤ X p∈P xptij ≤ u t ij ∀(i, j) ∈ Ex, t ∈ T (11)

l_ijqpt ≤ ζ_ijqpt ≤ upt_ijq ∀(i, j) ∈ Eq

z, q ∈ Q, p ∈ P, t ∈ T (12) lpt_ij ≤ ωpt_ij ≤ u_ijpt ∀(i, j) ∈ Ew, ∀i ∈ R, ∀p ∈ (PI∪ PF) , t ∈ T (13) lt ijq ≤ X p∈P ζ_ijqpt ≤ ut ijq ∀(i, j) ∈ Ezq, q ∈ Q, p ∈ P, t ∈ T (14) lt ij ≤ X p∈P X q∈Q ζ_ijqpt ≤ ut ij ∀(i, j) ∈ Ez, t ∈ T (15) lpt_i ≤ spt_i ≤ upt_i ∀i ∈ S, p ∈ P, t ∈ T (16) lt i ≤ X p∈P spt_i ≤ ut i ∀i ∈ S, t ∈ T (17) λpt_ij ≤ γ_ijpt ≤ υ_ijpt ∀(i, j) ∈ Ey, p ∈ P, t ∈ T (18)

Por fim, definem-se as restrições de integralidade e não-negatividade das variáveis de de-cisão: xptij, s pt k, b pt l ≥ 0 ∀(i, j) ∈ Ex, k ∈ S, l ∈ D, p ∈ P, t ∈ T (19) χpt_ij ≥ 0 ∀(i, j) ∈ Eχ, p ∈ P, t ∈ T (20) z_ijkpt , ypt_lm, wpt oq ∈ Z+ ∀(i, j) ∈ Ez, k ∈ Q, (l, m) ∈ Ey, (o, q) ∈ Ew, p ∈ P, t ∈ T (21) γ_ijpt ∈ Z+ ∀(i, j) ∈ Ey, p ∈ P, t ∈ T (22) ζ_ijkpt ∈ Z+ ∀(i, j) ∈ Ez, p ∈ P, t ∈ T (23)

4. Métodos de resolução do problema

O modelo matemático mantém a estrutura do problema de fluxo de custo m´ınimo, mas apresenta restrições de integralidade sobre algumas variáveis, configurando um problema de programação inteira mista. Sob determinadas condições, no entanto, esse problema pode ser resolvido com relativa facilidade. Isso ocorre quando se utiliza um maior número de n´ıveis de produção (CL

ij), quando demandas e limites de fluxo s˜ao inteiros, e quando os

fatores de atenuac¸˜ao (ǫpti ,η pt

ij) são iguais a 1. Nessa configuração, boa parte dos parâmetros

do problema são inteiros, e com isso, a relaxação linear do problema tende a fornecer bons limites inferiores [Wolsey 1998]. É importante observar, entretanto, que apesar de as duas primeiras condições não serem tão restritivas, a terceira ignora aspectos práticos bastante significativos nas operações do sistema. Fora dessas condições, a solução do modelo se torna bem mais complexa.

O método branch-and-cut [Wolsey 1998] é base para diversos pacotes comerciais de otimização de problemas de programação inteira e inteira-mista. No entanto, à medida em que o problema cresce, o branch-and-cut eventualmente torna-se ineficiente devido ao aumento exponencial do número de nós a serem explorados, o que dificulta inclusive a obtenção de soluções viáveis para o problema. Alternativas para lidar com essa dificuldade incluem técnicas baseadas em decomposição, heur´ısticas para promover uma exploração mais seletiva do espaço de busca, ou mesmo metaheur´ısticas.

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Neste trabalho aplicamos o método Relax-and-Fix [Dillenberger et al. 1994]. Basica-mente, temos um conjuntoQ de variáveis inteiras que é particionado em N subconjuntos disjuntosQi,i = 1, 2, ..., N . A cada iteração, apenas um desses subconjuntos mantem sua

integralidade, enquanto os demais têm suas variáveis inteiras relaxadas. Feito isso, o mode-lo resultante é resolvido e as variáveis inteiras do subconjunto i têm seus valores fixados para as próximas iterações. A principal caracter´ıstica do Relax-and-Fix é assim a tentativa de resolver o problema por meio da solução de subproblemas menores e, provavelmente, mais fáceis de se resolver do que o problema original. A eficiência e a qualidade das soluções obtidas pelo método estão ligadas não somente ao grau de dificuldade do prob-lema, mas também à maneira pela qual o conjunto de variáveis inteiras é particionado e fixado durante o processo.

Algoritmo R&F

Passo inicial: Particione o conjunto de vari´aveis inteiras em N subconjuntos disjuntos, Qi, i = 1, 2, ..., N e defina um crit´erio de

fixação das variáveis. Relaxe as variáveis de todos os subconjuntos. enquanto i < N faça

Primeiro passo: retorne as vari´aveis do subconjunto i ao seu estado original e resolva o modelo resultante.

Segunto passo: se a solução obtida no primeiro passo for inviável PARE. Caso contrário, fixe os valores obtidos para as variáveis do subconjunto Qi, incremente i e retorne ao primeiro passo.

fim-enquanto

´

E importante observar que a heur´ıstica não apresenta garantia de otimalidade para o pro-blema original, nem há tampouco garantia de viabilidade para cada subpropro-blema. Para tratarmos tal situação, adotamos a extensão proposta por [Escudero and Salmeron 2005]. Nessa abordagem, se em uma das iterações uma solução viável não for encontrada, o algo-ritmo retira os valores fixados para a iteração anterior, e a executa novamente, porém sobre a união dos dois subconjuntos de variáveis inteiras envolvidos. No pior caso, retorna-se ao conjunto não particionado de variáveis e, por consequência, resolve-se o problema original. O gap de otimalidade da solução encontrada pelo relax-and-fix pode ser calculado pela ex-pressão1 − LB

U B, ondeLB corresponde ao limite inferior para a solução, dado pela função

objetivo obtida na primeira iteração do algoritmo, e U B corresponde ao limite superior, dado pela função objetivo obtida com a execução completa do algoritmo.

5. Testes computacionais

Nesta seção apresentamos e analisamos os resultados computacionais das estratégias de solução aplicadas ao problema. A implementação foi feita por meio da biblioteca Concert para a linguagem Java, versão 1.6, fazendo-se uso do software de otimização CPLEX 10.2. Os testes foram executados em máquinas Intel Core 2 Quad 2.5Ghz 64 bits, com 4.0 GB de memória RAM e sistema operacional Linux, distribuição Ubuntu 8.10.

Avaliamos inicialmente duas estratégias de partição e fixação do conjunto de variáveis, ambas dividindo o conjunto de variáveis inteiras de acordo com o tamanho do horizonte de planejamento|T |. A primeira estratégia, denominada PC, relaxa e fixa as variáveis do primeiro ao último per´ıodo de planejamento, enquanto que a segunda estratégia, denom-inada PD, realiza a ordenação inversa. Com essas estratégias, a cada iteração viável os subconjuntos de variáveis inteiras têm sempre o mesmo tamanho.

Para análise do modelo, propusemos o sistema de produção e distribuição de minério ilustrado na Figura 2. Tal estrutura favorece a geração de instâncias representativas para

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Figura 2. Sistema produtivo considerado nos experimentos.

exercitar importantes aspectos tratados pelo modelo, como a geração de estoques e a blendagem de produtos provenientes de diferentes origens. Em relação à complexidade, a estrutura assemelha-se a sistemas produtivos de minério de ferro encontrados no Brasil. Com base nesse sistema de produção, cinco instâncias foram elaboradas com o objetivo de avaliar o efeito de diferentes configurações sobre as estratégias de solução (Tabela 1). É importante notar que são considerados dois sistemas produtivos no contexto considerado: o primeiro formado pelas minas M1 a M14, pela Ferrovia 1 e porto P2; e o segundo for-mado pela mina M15, pela Ferrovia 2 e porto P2. O grau de interdependência entre esses sistemas é regulado pelos acoplamentos entre ferrovias, entrepostos e no atendimento aos centros de demanda.

Nome Caracter´ısticas

I1 Toda a malha produtiva mostrada na figura.

I2 Apenas minas M1 a M14, ferrovia 1, entreposto nacional e porto P1. I3 Apenas mina M15, Ferrovia 2, entreposto nacional e porto P2.

I4 Apenas minas M1 e M15, Ferrovias 1 e 2, entreposto nacional e portos P1 e P2. I5 Sistemas produtivos independentes, com o entreposto nacional associado apenas `a

Ferrovia 1 e centros de demanda atendidos apenas por um dos sistemas.

Tabela 1. Inst ˆancias geradas para os testes computacionais do problema.

Evidentemente, há uma série de aspectos que podem ser variados na análise do mode-lo e dos métodos propostos para sua solução. Neste trabalho, consideramos apenas três: número de per´ıodos de tempo T , número de n´ıveis de produção das usinas CL

ij e a

inte-gralidade dos fatores de perda ǫpti e eficiˆencia produtiva η pt

ij, daqui em diante chamados

de fatores de atenuação. O número de per´ıodos de tempo tem um efeito direto sobre o tamanho do problema e por isso merece bastante atenção. Por outro lado, tanto o número de n´ıveis de produção quanto a integralidade dos fatores de atenuação afetam a dificuldade de solução do modelo sem necessariamente aumentar o tamanho do problema.

5.1. Primeiro experimento: parˆametros favor´aveis

Consideramos inicialmente o número de n´ıveis de produção de todas as instalações pro-dutivas definido como 30, os fatores de atenuação definidos como 1, em um horizonte de planejamento com 3, 6, 12 e 24 per´ıodos. Limitamos o tempo de processamento da solução

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em 3 horas, alocando 2GB de memória RAM para a execução do CPLEX, que utilizaria o disco r´ıgido caso esse valor não fosse suficiente. As heur´ısticas Relax-and-Fix também foram limitadas em 3 horas de execução no total, ou seja, cada iteração seria limitada a uma parcela do limite total de 3 horas. Os demais parâmetros do CPLEX foram mantidos nos seus valores default. Na Tabela 2 comparamos os gaps obtidos, os tempos de solução e indicamos as melhores estratégias Relax-and-Fix para cada instância.

Per´ıodos Gap CPLEX(%) t(s) CPLEX Gap R&F(%) t(s) R&F

Instância I1 3 0,9 10.800,0 1,5 (PC) 11,5 6 - 10.800,0 11,3 (PC) 54,5 12 - 10.800,0 2,5 (PD) 10.800,0 24 - 10.800,0 0,4 (PD) 7.433,0 Instância I2 3 0,5 22,5 0,5 (PC) 25,0 6 0,4 36,0 11,3 (PC) 45,9 12 2,3 10.800,0 2,5 (PC) 187,9 24 ótimo 211,2 0,4 (PC) 351,8 Instância I3 3 7,2 10.800,0 9,3 (PC) 0,5 6 11,3 10.800,0 11,3 (PC) 23,4 12 2,5 10.800,0 2,8 (PC) 342,9 24 ótimo 216,3 0,6 (PC) 464,7 Instância I4 3 1,9 10.800,0 2,3 (PC) 3.726,3 6 11,3 10.800,0 11,3 (PC) 1,2 12 - 10.800,0 2,5 (PC) 31,2 24 - 10.800,0 0,4 (PC) 32,5 Instância I5 3 3,1 10.800,0 4,7 (PC) 0,2 6 ótimo 90,9 96,3 (PC) 4,9 12 7,1 10.800,0 7,1 (PC) 41,5 24 6,8 10.800,0 24,3 (PC) 1.379,0

Tabela 2. Primeiro experimento: par âmetros de soluç ão favor áveis.

Podemos ver que nas instâncias I2, I3, I4 e I5 o CPLEX foi capaz de resolver a maio-ria das instâncias com bons gaps, no entanto quase sempre precisou de todo o tempo de execução dispon´ıvel. Nessas mesmas instâncias, a estratégia de per´ıodos crescentes foi a que se sobressaiu, alcançando resultados compat´ıveis aos obtidos pelo CPLEX com ganhos de desempenho em diversos casos. Um resultado na instância I2, chama a atenção. Para o horizonte de planejamento de 6 per´ıodos, um gap de cerca de 96% foi encontrado, embora o valor da função objetivo final seja semelhante ao encontrado pelo CPLEX. Imagina-se que a retirada da relaxação no último passo gerou tal anomalia, já que algum fluxo repre-sentado por variável inteira teve seu fluxo superado ou para atender a demanda não estaria de acordo com as capacidades estipuladas.

No caso da instância I1, a mais complexa em termos de malha produtiva, percebe-se que as estratégias de solução tiveram mais dificuldade. No caso do CPLEX, apenas para 3 per´ıodos de planejamento alcançou-se algum resultado. A heur´ıstica relax-and-fix, por outro lado, conseguiu resultados satisfatórios. É interessante notar que com um aumento do número de per´ıodos de tempo a estratégia de per´ıodos decrescentes obteve melhores resultados, indicando uma tendência de melhor desempenho para instâncias maiores e com

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maior número de variáveis. Uma vez que esta instância apresenta maiores desafios de solução e ao mesmo tempo ilustra com maior fidelidade situações encontradas na prática da indústria, focamos o restante da análise na instância I1.

5.2. Parˆametros realistas

Para avaliar o efeito da variação dos parâmetros do problema, mantivemos inicialmente os fatoresǫpt_i eη_ijpt iguais a 1, mas reduzimos o número de n´ıveis de produção, comCL

ij = 3.

A tabela abaixo compara os resultados obtidos adotando, além do limite de 3h horas, uma tolerância de gap de 5%. A redução do parâmetroCL

ij aumenta a dificuldade do problema,

|T | = 3, CL ij= 3, ǫ pt i =η pt ij = 1

7.374 variáveis no total, 4.038 variáveis inteiras e 8.216 restrições

Estratégia Função Objetivo Gap(%) Tempo solução (s)

Relaxac¸˜ao linear 1.070.129 - 0,4

CPLEX — — 10.800,0

PC 1.306.645 12,0 10.800,0

PD — — 10.800,0

Tabela 3. Segndo experimento: an álise da influ ência do par âmetro CL ij= 3.

uma vez que a relaxação linear passa a não prover um limite inferior tão bom quanto anteriormente. Com isso, o CPLEX não foi capaz de produzir uma solução viável dentro do limite de tempo estabelecido. A estratégia PC conseguiu obter uma solução com gap razoável, porém utilizando todo tempo de solução. A estratégia PD não encontrou solução viável ao longo do processamento e voltou ao problema original.

Em seguida, retornamos o parˆametroCL

ij para 30, mas reduzimos os fatores de

atenua-ção, considerando a eficiência dos processos de transformação e as perdas decorrentes dos transporte. Para essa configuração, nenhum dos métodos produziu resultados satisfatórios.

|T | = 3, CL ij= 30, ǫ pt i < 1; η pt ij < 1

7.374 variáveis no total, 4.038 variáveis inteiras e 8.216 restrições

Estratégia Função Objetivo Gap(%) Tempo solução (s)

Relaxac¸˜ao linear 1.249.196 - 0,3

CPLEX — — 10.800,0

PC 1.601.268.501 99,9 10.800,0

PD — — 10.800,0

Tabela 4. Terceiro experimento: an álise da influ ência dos par âmetros ǫpti e η pt ij.

A estratégia PC não obteve um gap razoável no limite de tempo estabelecido. A estratégia PD, teve desempenho idêntico ao do CPLEX, uma vez que foi necessário retroceder ao problema original devido às inviabilidades ocorridas nas iterações.

6. Conclus˜oes

A aplicação métodos exatos para solução do problema de planejamento integrado de produ-ção e transporte de minérios só gera resultados satisfatórios em condições muito favoráveis e dificilmente encontradas na prática. O método relax-and-fix mostrou-se uma boa alter-nativa, embora possa apresentar dificuldades em instâncias mais complexas e gerar gaps altos em certas situações. Mesmo assim, mostra-se uma alternativa de solução válida em relação ao Cplex. Acreditamos que outras estratégias de partição e relaxação devem ser exploradas para possibilitar um tratamento satisfatório do problema.

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