AULA 10: Geometria Anal´ıtica
N
esta aula serão apresentadas as noções bá-sicas da geometria analítica, bem como questões envolvendo conceitos de pontos, retas, circunferência e cônicas. A Geometria Ana-lítica tem papel fundamental na análise de figuras geométricas através de equações e do sistema car-tesiano.1
Pontos
1.1
Sistema Cartesiano
As coordenadas cartesianas consistem em dois eixos graduados, x e y, perpendiculares entre si com ori-gem no ponto O. Essas coordenadas formam o sistema cartesiano, e o plano formado por elas é chamado de
plano cartesiano, representado na Figura 1.
Figura 1: Ponto no plano cartesiano.
A reta horizontal, representada por x, é denominada
eixo das abscissas. E a reta vertical, representada por
y, é denominada eixo das ordenadas. Dado um ponto
Pno plano cartesiano, este possuirá coordenadas em
ambos os eixos. Essas coordenadas serão indicadas analiticamente como P (a, b), sendo que as
coordena-das a e b recebem o nome de par ordenado, no qual o primeiro elemento pertence ao eixo das abscissas e o segundo elemento pertence ao eixo das ordenadas. Na Figura 1, por exemplo, temos o ponto P (2, 4), em que x = 2e y = 4, sendo x a abcissa e y a ordenada.
Os eixos dividem o plano em quatro regiões conheci-das como quadrantes, conforme mostrado na Figura 2. Os quadrantes são numerados em sentido anti-horário e definem os sinais de cada ponto no plano cartesiano.
Figura 2: Quadrantes do plano cartesiano.
1.2
Dist ˆancia entre dois pontos
Dados dois pontos distintos A(xa, ya)e B(xb, yb)no
plano cartesiano, a distância entre eles pode ser deno-minada como a medida do segmento de reta AB.
Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo APB da Figura 3, temos:
(dAB)2= (dAP)2+ (dBP)2
(dAB)2= (|xA− xB|)2+ (|yB− yA|)2
Figura 3: Distância entre os pontos A e B.
Logo, a distância entre os pontos A e B pode ser definida da seguinte maneira:
dAB=
p
(xA− xB)2+ (yB− yA)2 (1) FIQUE LIGADO
Note que se o segmento de reta AB for hori-zontal, paralelo ao eixo x, a distância entre os pontos será dada pelo módulo da diferença entre as abcissas de cada ponto, isto é:
dAB = |xa− xb|
Do mesmo modo, se o segmento de reta AB for vertical, paralelo ao eixo y, a distância será dada pelo módulo da diferença entre as orde-nadas de cada ponto, ou seja:
dAB = |ya− yb|
1.3
Ponto M ´edio
Considere o segmento de reta AB formado pelos pontos A(xa, ya)e B(xb, yb). Este segmento é dividido
pelo ponto médio M(xm, ym)como mostra a Figura 4.
Figura 4: Ponto médio do segmento de reta AB.
O ponto médio do segmento AB pode ser calculado da seguinte maneira: xm= xa+ xb 2 e ym= ya+ yb 2 (2)
1.4
Baricentro de um Tri ˆangulo
Conforme visto na seção anterior, qualquer segmento de reta possui um ponto médio que o divide na metade. Em um triângulo, o segmento de reta que tem uma extremidade em um dos vértices e a outra no ponto médio do lado oposto, é chamado de mediana. O
baricentrode um triângulo é definido como o ponto
de cruzamento das três medianas.
Figura 5: Baricentro do triângulo ABC.
Considere o triângulo ABC de vértices A(xa, ya),
B(xb, yb) e C(xc, yc) mostrado na Figura 5. Sendo
G(xg, yg)o baricentro do triângulo ABC, xge yg
po-dem ser definidos como: xg= xa+ xb+ xc 3 e yg = ya+ yb+ yc 3 (3) Exercício 1
(Ulbra) As coordenadas do baricentro G do triângulo ABC onde M(−1/2, 3/2), N(1, 3/2) e P (1/2, 0) são os pontos médios dos lados do triângulo ABC, são:
a) (1/2,2/3) b) (1/3,1) c) (1/2,3/2) d) (1/4,2) e) (2/3,1)
do triângulo como: A(xa, ya), B(xb, yb) e
C(xc, yc), e os pontos médios dos segmentos
AB, BC e CA como M(−1/2, 3/2), N(1, 3/2) e P (1/2, 0), respectivamente.
Utilizando a Equação 2 para o lado AB, temos: −1 2 = xa+ xb 2 ⇒ xa+ xb= −1 −3 2 = ya+ yb 2 ⇒ ya+ yb= 3 Para o lado BC, temos:
1 = xb+ xc 2 ⇒ xb+ xc= 2 3 2 = yb+ yc 2 ⇒ yb+ yc= 3 Para o lado CA, temos:
1 2 = xc+ xa 2 ⇒ xc+ xa= 1 0 = yc+ ya 2 ⇒ yc+ ya= 0
Agrupando os elementos em x, temos o seguinte sistema: xa+ xb = −1 xb+ xc = 2 xc+ xa = 1 E portanto, xa = −1, xb = 0e xc= 2.
Analogamente, para y, temos: ya+ yb = 2 yb+ yc = 6 yc+ ya = 4 Logo, ya = 0, yb = 3 e yc = 0. E portanto, A(−1, 0), B(0, 3) e C(2, 0).
Aplicando as coordenadas A(−1, 0), B(0, 3) e C(2, 0), na Equação 3, temos que as coordena-das do baricentro do triângulo ABC, é:
xg= (−1) + 0 + 2 3 = 1 3 yg= 0 + 3 + 0 3 = 1 Resposta:(b).
1.5
Condic¸ ˜ao de alinhamento de tr ˆes
pontos
Considere três pontos distintos alinhados, A(xa, ya),
B(xb, yb) e C(xc, yc), conforme mostra a Figura 6.
Nota-se que os triângulos ABD e ACE possuem os mes-mos ângulos e, portanto, tem-se que BD
CE = AD AE que pode também ser descrito como:
yb− ya yc− ya =xb− xa xc− xa (yb− ya) · (xc− xa) = (xb− xa) · (yc− ya) ybxc− ybxa− yaxc+ yaxa = xbyc− xbya− xayc+ xaya
Figura 6: Alinhamento dos pontos A, B e C.
Desenvolvendo a equação anterior temos que xayb+
xbyc+ xcya− xayc− xbya− xcyb= 0que pode também
ser escrita na forma do determinante: xa ya 1 xb yb 1 xc yc 1 = 0 (4)
Conclui-se então que três pontos distintos A(xa, ya),
B(xb, yb)e C(xc, yc)são colineares se, e somente se,
satisfizerem a equação 4, ou seja, se o determinante da matriz for nulo.
2
Retas
2.1
Equac¸ ˜ao geral da reta
Sejam A(xa, ya)e B(xb, yb)dois pontos distintos de
uma reta r no plano cartesiano, e P (x, y) um ponto genérico que também pertence à reta r, como mostra a Figura 7. Dessa forma, A, B e P são colineares, e portanto, obedecem a condição do determinante nulo (Equação 4). A partir deste princípio, é possível obter a equação geral da reta.
Figura 7: Equação geral da reta.
Aplicando o determinante nestes pontos, chega-se na relação x(ya− yb) + y(xb− xa) + (xayb− xbya) = 0.
Como xa, ya, xb, ybsão números reais, podemos
consi-derar (ya− yb) = a, (xb− xa) = b, e (xayb− xbya) = c
para simplificar os cálculos. Obtemos então a equação geral da reta r, com coeficientes reais a, b e c, em que ae b são elementos não nulos:
ax + by + c = 0 (5) Note que a e b não podem ser simultaneamente nulos, pois nesse caso ya seria igual a yb e xa seria igual a
xb, ou seja, os pontos A e B não seriam distintos. Se
apenas o coeficiente a da Equação 5 for nulo, temos que ya = yb, ou seja, os pontos A e B possuem a mesma
ordenada. Neste caso, a reta é horizontal, paralela ao eixo x. Da mesma forma, se apenas o coeficiente b da Equação 5 for nulo, temos que xa= xb, e portanto, a
reta é vertical, paralela ao eixo y.
Uma reta possui, também, um ângulo de inclinação αmedido no sentido anti-horário partindo do eixo x. A tangente deste angulo é chamada de coeficiente
angu-lar, que pode ser definido de acordo com a Equação 6.
Figura 8: Ângulo de inclinação da reta.
m = tan α = yb− ya xb− xa
(6) Note que se o ângulo de inclinação da reta for 0 (α = 0◦)ela será paralela ao eixo x. E será paralela ao eixo y, ou seja, perpendicular ao eixo x, se o ângulo de inclinação for de 90◦(α = 90◦).
Observe ainda que m também pode ser definido atra-vés dos coeficientes a e b, determinados anteriormente pelas relações ya− yb= ae xb− xa= b, isto é:
m = −a
b (7)
Uma outra forma de determinar a equação da reta é através de um ponto A(xo, yo)e o coeficiente angular
m. Seja P (x, y) um ponto qualquer da reta r da Figura 9, distinto de A(xo, yo), temos:
Figura 9: Equação da reta com um ponto e o coeficiente an-gular conhecidos.
m = tan α = y − yo x − xo
Desenvolvendo a equação acima, chegamos na equa-ção da reta que passa pelo ponto A(xo, yo)e possui
coeficiente angular m:
y − y0= m(x − x0) (8)
2.2
Equac¸ ˜ao reduzida da reta
Considere uma reta r que possui um ângulo de incli-nação α e um ponto genérico P (x, y). A reta r inter-secta o eixo y em um ponto Q cuja abcissa é nula e a ordenada tem valor n, conforme mostra a Figura 10.
Figura 10: Equação reduzida da reta.
Como visto na seção anterior, o coeficiente angular pode ser definido pela Equação 6. Portanto, neste caso temos que:
m = yb− ya xb− xa =y − n x − 0 ou ainda, y = mx + n (9) A Equação 9 é denominada equação reduzida da
reta r, em que m é o coeficiente angular de r, n é
o coeficiente linear, e x e y são as coordenadas de um ponto qualquer da reta r. Note que o coeficiente
linear é o ponto onde a reta intersecta o eixo das
ordenadas.
Exercício 2
(UDESC) A soma do coeficiente angular com o coeficiente linear da reta que passa pelos pontos A(1, 5) e B(4, 14) é: (a) 4 (b) -5 (c) 3 (d) 2 (e) 5
RESOLUÇÃO: Como visto, o coeficiente angular
pode ser obtido através das coordenadas de dois pontos que passam por uma reta. Neste caso, temos que xa = 1, xb = 4, ya = 5e yb = 14,
aplicando esses valores na equação 6, temos: m = yb− ya xb− xa =14 − 5 4 − 1 = 9 3 = 3 Para encontrar o coeficiente linear podemos utilizar a equação 9, visto que temos o valor do coeficiente angular m, e o valor de um ponto qualquer da reta. Utilizando o ponto A(1, 5) e substituindo na equação reduzida, temos:
ya= m · xa+ n
5 = 3 · 1 + n n = 2
Por fim, somando o coeficiente angular e linear encontrados, temos:
n + m = 2 + 3 = 5
Resposta:(e).
2.3
Posic¸ ˜ao relativa entre retas
Considere uma reta r com coeficiente angular mre
coeficiente linear nr, e uma outra reta s com coeficiente
angular e linear, mse ns, respectivamente. Através dos
coeficientes das retas podemos determinar a posição
relativa entre elas. Sendo assim, temos os seguintes casos:
• Caso 1: Duas retas são paralelas se mr = mse
nr 6= ns. Indicamos essa relação como r//s.
Figura 11: Retas paralelas.
• Caso 2: Duas retas são paralelas e coincidentes se mr = ms e nr = ns. Elas possuem infinitos
pontos em comum e, portanto, r = s.
Figura 12: Retas paralelas e coincidentes.
• Caso 3: Duas retas são concorrentes se mr 6=
msindependente do coeficiente linear. Essas duas
retas terão um ponto em comum.
FIQUE LIGADO
Retas perpendiculares são um caso de retas
concorrentes quando seus coeficientes angula-res são tais que mr· ms= −1. Para provar a
condição basta considerar as retas r e s perpe-dinculares entre si, com ângulos de inclinação αre αs, respectivamente. Logo, teremos a
se-guinte igualdade: αs= αr+ 90◦ tan αs= tan(αr+ 90◦) tan αs= sin (αr+ 90◦) cos (αr+ 90◦) = cosαr − sin αr = − 1 tan αr Assim, ms= − 1 mr ⇐⇒ mr· ms= −1
2.4
Intersec¸ ˜ao de retas
Considere duas retas r e s que se intercectam em um ponto P (xp, yp). O ponto P pertence a ambas as
retas e, portanto, deve satisfazer as equações da reta r e da reta s. Sejam as retas:
r : a1x + b1y + c1= 0
s : a2x + b2y + c2= 0
Ao substituirmos as coordenadas do ponto P em ambas as equações, teremos:
a1xp+ b1yp+ c1 = 0
a2xp+ b2yp+ c2 = 0
Resolvendo este sistema de equações lineares, é pos-sível determinar as duas incógnitas (xp e yp), e,
por-tanto, o ponto P .
Ao resolver o sistema de equações, existem três pos-sibilidades: o sistema possível e determinado (SPD), em que as retas r e s serão concorrentes e se cruzarão no ponto de coordenadas que solucionam esse sistema; se o sistema for possível e indeterminado (SPI), as re-tas r e s serão coincidentes, ou seja, possuirão infinitos pontos em comum, cujas coordenadas correspodem às infinitas soluções do sistema; se o sistema não tiver solução, será um sistema impossível (SI), neste caso, as retas r e s serão paralelas, pois não terão pontos em comum (Balestri, 2016). Problema 1 (UDESC) Sejam r : y = 2x − 1, s : x 8 + y 4 = 1 e t : x + 2y + 4 = 0, três retas. Com base nas retas dadas, analise as afirmações.
I. s e t são paralelas.
II. r e s são perpendiculares.
III. r e t se cruzam no ponto de coordenadas −2 5, − 9 5 .
Assinale a alternativa correta:
(a) Somente as afirmações I e II são verdadei-ras.
(b) Somente a afirmação II é verdadeira. (c) Somente as afirmações I e III são
verdadei-ras.
(d) Somente as afirmações II e III são verdadei-ras.
(e) Todas as afirmações são verdadeiras.
RESOLUÇÃO:
I. Correta. Para que as retas r e t sejam para-lelas, seus coeficientes angulares tem que ser iguais, ou seja, ms= mt. Escrevendo a equação
sna sua forma reduzida, temos: x 8 + y 4 = 1 8x 8 + 8y 4 = 8 x + 2y = 8 y = −x 2 + 4 E portanto, ms = − 1 2. Da mesma forma, o coeficiente angular da reta t, pode ser obtido através da sua equação reduzida, isto é:
x + 2y + 4 = 0
y = −x 2 − 2 Logo, mt= −12.
II. Correta. Para que as retas r e s sejam perpendiculares entre si, seus coeficientes devem ser tais que: mr· ms= −1. Da equação
reduzida da reta r, temos que mr= 2, e
utili-zandoo valor de msencontrado anteriormente,
temos que 2 · −1 2 = −1.
III. Correta. O ponto de intersecção das retas re t pode ser obtido resolvendo o sistema de equações das retas, ou seja:
t : y = −x 2 − 2
r : y = 2x + 1
Substituindo uma equação na outra, chegamos em x = −2
5 e y = − 9 5.
Resposta:(e).
2.5
Dist ˆancia entre ponto e reta
Considerando a reta r e o ponto P , não pertencente à r, da Figura 14, é possível traçar uma reta s que passe por P e seja perpendicular a r, determinando um ponto P0em r. A distância entre o ponto P e a reta
ré indicada por d(P, r), e pode ser obtida calculando-se a distância entre P e P0.
Considere o ponto P (3, 3) e a reta r cuja equação da reta é r : 2x + 4y − 8. Para calcular d(P, r), primeiro é necessário calcular o coeficiente angular de r. Para isso, escrevemos a equação reduzida da reta.
2x + 4y − 8 = 0 4y = −2x + 8
y = −1 2x + 2
A partir da equação reduzida, obtém-se o coeficiente angular da reta r que é igual a −1/2, ou seja mr= −12.
Figura 14: Distância entre ponto e reta.
Agora iremos escrever a equação da reta s, que é per-pendicular à r e passa pelo ponto P (3, 3). Calculamos, primeiro, o coeficiente angular da reta s (ms):
ms= − 1 mr = 1 −1 2 = 2
Conhecendo o valor de mse o ponto P (3, 3)
perten-cente à s, temos:
y − y0= ms(x − x0)
y − 3 = 2(x − 3) −2x + y + 3 = 0
Como o ponto P0é comum às retas r e s, calculamos
as suas coordenadas resolvendo o sistema abaixo: 2x + 4y − 8 = 0
−2x + y + 3 = 0
Resolvendo o sistema obtemos x = 2 e y = 1, e portanto, P0(2, 1). Por fim, para obter d(P, r), basta
calcular a distância do ponto P0ao ponto P , isto é:
d(P, P0) =p(xP− xP0)2+ (yP − yP0)2
=p(3 − 2)2+ (3 − 1)2
=p(12+ 22=√5
Adotando o mesmo procedimento para o caso gené-rico de um ponto P (x, y) e uma reta r : ax+by +c = 0, temos a seguinte fórmula:
d(P, r) = |ax√p+ byp+ c|
a2+ b2 (10)
Aplicando essa equação para calcular a distância entre o ponto P (3, 3) e a reta r : 2x + 4y − 8 = 0, che-garemos no mesmo resultado calculado anteriormente:
d =|2 · 3 + 4 · 3 + −8|√ 22+ 42 = |10| √ 20 = √ 5 FIQUE LIGADO
Para calcular a distância entre retas paralelas r e s, basta calcular a distância de r a qualquer ponto pertencente a s, ou de s a qualquer ponto de r.
Exercício 3
(Fuvest-SP) Calcule a distância entre a reta r1, de equação 3y = 4x − 2, e a reta r2, de
equação 3y = 4x + 8, sabendo que r1//r2.
RESOLUÇÃO: Como visto anteriormente, para
calcularmos a distância entre retas devemos escolher um ponto pertencente a uma das retas. Neste caso, substituindo y por 0 na equação da reta r1obtemos a coordenada de um ponto
pertencente a r1.
3 · 0 = 4x − 2 ⇒ x = 2 4 =
1 2
ponto P 1 2, 0 e a reta r2: 4x − 3y + 8 = 0: d =|4 · 1 2− 3 · 0 + 8| p42+ (−3)2 = |10| √ 25 = 2 Portanto, a distância entre as retas é de 2 uni-dades.
3
Area de um tri ˆangulo
´
Seja o triângulo de vértices ABC, com coordenadas A(xa, ya), B(xb, yb)e C(xc, yc), exibido na Figura 15.
Figura 15: Área de um triângulo.
Sabemos que a área de um triângulo é calculada através da multiplicação da base do triângulo pela sua altura, dividindo o resultado por dois. Neste caso, podemos tomar a base do triângulo como a distância entre os pontos BC, e portanto, temos:
dB C=
p
(xb− xc)2+ (yb− yc)2
Para definirmos a altura do triângulo, precisamos saber a distância entre o ponto A e o segmento BC. Analisando a Figura 15, notamos que B, P e C são colineares. Sejam (x, y) as coordenadas de um ponto qualquer da reta que contém B e C. Pela condição de alinhamento, temos: xb yb 1 xc yc 1 x y 1 = 0
Resolvendo o determinante, temos:
xb· yc+ x · yb+ xc· y − x · yc− y · xb− xc· yb= 0
x(yb− yc) + y(xc− xb) + (xb· yc− xc· yb) = 0
Note que a equação acima é a equação da reta que passa pelos pontos B, C e P . Portanto, podemos en-contrar a distância entre A e P através do cálculo da
distância entre ponto e reta. Neste caso, utilizando o ponto A e a equação da reta encontrada (chamaremos de r), e aplicando na Equação 10, temos:
d(A, r) = |(yb− yc) · xa+ (xc− xb) · ya+ (xb· yc− xc· yb)| p(yb− yc)2+ (xc− xb)2
Por fim, a área do triângulo é calculada da seguinte forma:
A = 1
2 · dB C· d(A, r)
Observe que dBC pode ser simplificado com o
deno-minador de d(A, r). E portanto, temos: A = 1 2 · |(yb− yc) · xa+ (xc− xb) · ya+ (xb· yc− xc· yb)| Ou, ainda: A = 1 2 · |D|, sendo |D| = xa ya 1 xb yb 1 xc yc 1 (11)
4
Circunfer ˆencia
4.1
Equac¸ ˜ao da circunfer ˆencia
Seja a circunferência c de centro C(a, b) e raio r. Esta circunferência é composta pelo conjunto de todos os pontos P (x, y) do plano cuja distância até C seja igual a r. Portanto, o raio pode ser definido como:
dP C =
p
(x − a)2+ (y − b)2= r
Figura 16: Equação da circunferência.
Ou seja, um ponto P (x, y) pertence à circunferência de centro C(a, b) e raio r se, e somente se:
A equação 12 é chamada de equação reduzida da
circunferência. A partir da equação reduzida,
pode-mos desenvolver os produtos notáveis e obter uma equação equivalente, isto é:
x2− 2ax + a2+ y2− 2by + b2= r2
Por fim, obtemos a equação geral da circunferência: x2+ y2− 2ax − 2by + a2+ b2− r2= 0 (13)
A circunferência com centro em (4,8) e cujo raio mede 3, por exemplo, tem equação reduzida (x − 4)2 + (y − 8)2 = 9, e pode ser escrita como
x2+ y2− 8x − 16y + 71 = 0.
Se a equação da circunferência for dada na sua forma geral, para encontrar o centro e o raio teremos que transformá-la em sua forma reduzida. Podemos fa-zer isso de duas maneiras, pelo método de completar quadrados, ou pelo método da comparação (Balestri, 2016).
M ´etodo de completar quadrados: Para
aplicar-mos o método de completar quadrados, deveaplicar-mos lem-brar dos produtos notáveis:
(a + b)2= a2+ 2ab + b2 (a − b)2= a2− 2ab + b2
Primeiramente, agrupamos os termos em x e em y. Para o exemplo anterior, a equação x2+ y2− 8x − 16y +
71 = 0pode ser escrita da seguinte forma: x2− 8x + y2− 16y = −71.
Note que teremos que adicionar elementos ao com-pletar os quadrados dos termos em x e em y. Neste caso, temos que:
(x2− 8x + 16) = (x − 4)2
(y2− 16y + 64) = (y − 8)2
Agora, teremos que compensar os termos adiciona-dos no outro lado da equação, isto é:
(x − 4)2+ (y − 8)2= −71 + 16 + 64 (x − 4)2+ (y − 8)2= 9
Portanto, a circunferência tem como centro o ponto (4, 8)e raio r = 3.
M ´etodo da comparac¸ ˜ao: Neste método iremos
comparar, termo a termo, os coeficientes da equação com a equação geral da circunferência. Para o mesmo exemplo, temos:
x2+ y2− 8x − 16y + 71 = x2+ y2− 2ax − 2by + a2+ b2− r2
Relacionando os coeficientes, temos: x2= x2
y2= y2
−8x = −2ax ⇒ a = 4 −16y = −2by ⇒ b = 8
71 = a2+ b2− r2⇒ 71 = 16 + 64 − r2⇒ r = 3 Portanto, a circunferência tem como centro o ponto (4, 8)e raio r = 3.
Problema 2
(UFSC) Assinale a(s) proposição(ões)
cor-reta(s).
Para a transmissão da copa do mundo de 2014 no Brasil, serão utilizadas câmeras que ficam suspensas por cabos de aço acima do campo de futebol, podendo, dessa forma, oferecer maior qualidade na transmissão. Suponha que uma dessas câmeras se desloque por um plano para-lelo ao solo orientada através de coordenadas cartesianas. A figura abaixo representa o campo em escala reduzida, sendo que cada unidade de medida da figura representa 10 m no tamanho real.
01. A equação da circunferência que
deli-mita o círculo central do campo na figura é x2+ y2− 12x − 8y + 51 = 0.
02. Se a câmera se desloca em linha reta de um ponto, representado na figura por A(4, 2), até outro ponto, representado na figura C(10, 6), então a equação da reta que corresponde a essa trajetória na figura é 2x − 3y − 2 = 0.
04. Na figura, o ponto B(8, 3) está a uma
distância de 8 unidades da reta que passa pelos pontos A(4, 2) e C(10, 6).
08. Os pontos (7, 4), (4, 2) e (10, 6) não são
colineares.
do campo de futebol é igual a 100π m2
RESOLUÇÃO:
01. Correta. O centro da circunferência tem
coordenadas (6, 4), e raio de 1 unidade. Apli-cando esses valores na equação 12 com a = 6 e b = 4, temos:
(x − 6)2+ (y − 4)2= 12 x2− 12x + 36 + y2− 8y + 16 = 1
x2+ y2− 12x − 8y + 51 = 0
02. Correta. Aplicando a equação 6 nos pontos
Ae B, temos o seguinte coeficiente angular: m = yc− ya xc− xa = 6 − 2 10 − 4= 4 6 = 2 3 Agora basta aplicar na equação 8 o coeficiente angular e um dos pontos. Aplicando o ponto A, temos: y − ya= m(x − xa) y − 2 = 2 3x − 2 3xa
Multiplicando ambos os lados por 3, chegamos na seguinte equação:
2x − 3y − 2 = 0
04. Incorreta. Aplicando a equação da reta que
liga os pontos A e C calculada na proposição 02 e o ponto B na equação 10, temos:
d =|2 · 8 − 3 · 3 − 2| p22+ (−3)2 = |16 − 9 − 2| √ 4 + 9 d =√|5| 13 = 5√13 13
08. Incorreta. Aplicando a equação 4 nos
pon-tos (7, 4), (4, 2) e (10, 6), temos: 7 4 1 4 2 1 10 6 1 = 0 14 + 40 + 24 − 20 − 42 − 16 = 0 0 = 0 Portanto, os pontos são colineares.
16. Correta. Como o raio do círculo central é
de 1 unidade, e isso equivale a 10 m. Temos que a área do círculo é A = πr2 = π102, e
portanto, a área é de 100π m2.
Resposta:Soma das proposições corretas = 19.
Problema 3
(UFSC) A figura abaixo representa parte do mapa de uma cidade, em que o ponto 0 é o cen-tro e os pontos A, B e C são pontos turísticos (considere 1 unidade linear do plano cartesiano
correspondendo a 1 km).
Com base na figura acima, assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01. Se o prefeito da cidade deseja colocar um
novo terminal de ônibus que fique equidistante dos pontos A, B e C, então sua localização deve ser o ponto T de coordenadas 7
2, 5 2
.
02. A equação da reta que representa a estrada
reta e asfaltada que liga os pontos A e C é x + 7y + 21 = 0.
04. Se o prefeito da cidade deseja construir
um trecho de estrada reto, o mais curto possível, unindo o ponto B com a estrada reta e asfaltada que já liga os pontos A e C, então o comprimento mínimo desse trecho será de 2km.
08. O prefeito da cidade pretende, ainda,
colocar um microônibus para conduzir os turistas por uma linha circular que passa pelos pontos A, B e C; a equação da circun-ferência que representa esta linha circular é x2+ y2− 7x − 5y − 6 = 0.
16. A área da região triangular ABC, a partir
dos pontos A, B e C que formam o “Triângulo Turístico” da cidade é de 10 km2.
RESOLUÇÃO:
01. Correta. T é equidistante dos pontos A,
Be C, se a distância entre T e cada ponto for a mesma, ou seja, dT A = dT B = dT C. Desta
dT A= s 7 2 − 0 2 + 5 2 − 3 2 = s 49 4 + −1 2 2 = r 50 4 dT B = s 7 2− 1 2 + 5 2 − 0 2 = s 5 2 2 +25 4 = r 50 4 dT C= s 7 2− 7 2 + 5 2− 2 2 = s −7 2 2 + 1 2 2 = r 50 4
02. Incorreta. Podemos encontrar a equação
da reta que liga os pontos A e C através do co-eficiente linear e angular. Utilizando a equação 6, calculamos o coeficiente angular:
m = yc− ya xc− xa = 2 − 3 7 − 0 = − 1 7
Como visto anteriormente, o coeficiente linear é o ponto de interesecção entre a reta e o eixo das ordenadas. Neste caso, o ponto A é o ponto de interseção entre a reta e o eixo y, e portanto, n = 3.
Agora basta substituir os coefientes encontrados na equação 9, encontrando assim a equação reduzida da reta que passa pelos pontos A e C:
y = −1 7x + 3
Escrevendo a equação acima na sua forma geral, temos:
x + 7y − 21 = 0
04. Incorreta. Aplicando a equação da reta que liga A e C encontrada anteriormente, e o ponto B, na equação 10, temos: d =|1 · 1 + 7 · 0 − 21|√ 12+ 72 = |1 − 21| √ 1 + 49 d =| − 20|√ 50 = 2 √ 2
08Incorreta. Para verificar se os pontos A, B
e C pertencem a circunferências eles devem
satisfazer a equação dada. Para o ponto A, temos:
x2+ y2− 7x − 5y − 6 = 0 02+ 32− 7 · 0 − 5 · 3 − 6 = 0 −12 6= 0
Visto que o ponto A não pertence à circunfe-rência, não se faz necessário a verificação dos demais.
16. Correta. Aplicando a Equação 11, nos
pon-tos A, B e C, temos: A = 1 2· 0 3 1 1 0 1 7 2 1 A = 1 2 · 20 = 10
Resposta:Soma dos itens corretos = 17.
Problema 4
(UDESC) Considere, na figura abaixo, o qua-drado ABCD inscrito na circunferência de equação x2+ y2− 6x − 10y + 25 = 0e o
qua-drado EF GH circunscrito à circunferência de equação x2+ y2− 4x − 10y + 4 = 0.
Com base nas informações e na figura acima, analise as sentenças.
I. A diferença das áreas dos quadrados EF GH e ABCD é de 82 unidades de área.
II. Se os lados do quadrado EF GH forem paralelos aos eixos do plano cartesiano e às diagonais do quadrado ABCD, então a área do triângulo EAB é de 12 unidades de área. III. A soma dos perímetros dos quadrados ABCD e EF GH é de 52√2 unidades de comprimento.
Assinale a alternativa correta.
(a) Somente as sentenças I e II são verdadeiras. (b) Somente a sentença III é verdadeira. (c) Somente as sentenças II e III são verdadei-ras.
(d) Somente a sentença II é verdadeira. (e) Somente a sentença I é verdadeira.
RESOLUÇÃO:
I. Correta. Utilizando o método de comparação para encontrar o centro e o raio das circunfe-rências, temos:
x2+ y2− 6x − 10y + 25 = 0 x2+ y2− 2ax − 2by + a2+ b2− r2= 0
Relacionando os termos da circunferência que inscreve o quadrado ABCD, temos que a = 3, b = 5e r = 3. Portanto, a circunferência tem centro C(3, 5) e raio r = 3.
Analisando da mesma forma a circunferência que circunscreve o quadrado EF GH, temos que a = 2, b = 5 e r = 5. Portanto, a circunfe-rência tem centro C(2, 5) e raio r = 5.
A área do quadrado EF GH pode ser analisada através do raio da circunferência inscrita à ele. Desta forma, temos que a metade da aresta tem valor de 5 unidades de comprimento, e portanto, o lado equivale a 10 unidades de comprimento. A área do quadrado é então, AE F GH= (10)2= 100unidades de área.
Para a área do quadrado ABCD, podemos en-contrar o valor do lado do quadrado através da distância entre os pontos A e B. Aplicando
os valores de A(0, 5) e B(3, 2) na Equação 1, temos:
dAB=
p
(0 − 3)2+ (5 − 2)2=√18 = 3√2
E portanto, temos que a área do quadrado ABCD é AAB C D = (3
√
2)2 = 18 u.a. A
diferença entre as áreas dos quadrados é então 100 − 18 = 82unidades de área.
II. Correta. A área do triângulo EAB pode ser calculada aplicando os pontos A(0, 3), B(3, 2) e E(−3, 0) na Equação 11: A = 1 2· 0 5 1 3 2 1 −3 0 1 A = 1 2· | − 24| = 12
III. Incorreta. Os perímetros dos quadrados ABCD e EF GH são as somas dos lados de cada um deles. Desta forma, sabemos que o lado do quadrado ABCD é 3√2 u.c, e portanto, o perímetro é 4 · 3√2 = 12√2. Para o quadrado EF GH, o lado é 10 u.c, e portanto, o perímetro é 4 · 10 = 40 u.c. Logo a soma dos perímetros, é 12√2 + 40u.c.
Resposta:(a).
Problema 5
(UFSC) A figura abaixo representa parte do mapa de uma cidade em que uma unidade li-near do plano cartesiano corresponde a 1 km.
Com base nos dados da figura acima, é correto afirmar que:
01. A equação da reta que passa pela praça e
pela igreja também passa pelo banco.
02. A reta que passa pelo banco e é
perpendi-cular à reta que passa pela igreja e pelo hotel tem equação y = 8.
04. A equação da circunferência com
cen-tro na praça e que passa pela escola é x2+ y2− 10x − 6y + 24 = 0.
08. A distância da escola ao hotel é de√73 km.
16. A área do quadrilátero convexo formado
pela escola, pelo banco, pelo hotel e pela igreja tem 23, 5 km2.
32. O ponto da circunferência, com centro na
praça e que passa pela escola, que fica mais próximo da igreja é (3, 4).
RESOLUÇÃO:
01. Incorreta. A reta que passa pela praça
P (5, 3)e pela igreja I(3, 5), pode ser definida através de seus pontos. Aplicando os pontos na Equação 6, temos:
m = 5 − 3 3 − 5 = −1
Aplicando um dos pontos, neste caso o ponto P (5, 3), e o coeficiente angular m na Equação 8, temos que a equação da reta que passa pela praça e pela igreja é y − 2 = −(x − 5) ⇒ y = −x + 8. O ponto B(8, 1) não satisfaz a equação da reta, e portanto, não pertence a reta que liga P a I.
02. Incorreta. Note que a reta que passa pela
igreja e pelo hotel é a reta y = 5. A reta perpendicular à ela e que passa pelo banco é a reta x = 8.
04. Correta. Se a circunferência tem centro na
praça P (5, 3), e passa pela escola E(2, 2), pode-mos calcular seu raio através da distância entre esses pontos. Aplicando a Equação 1, temos:
dP C =
p
(5 − 2)2+ (3 − 2)2=√10
Determinados o centro e o raio, temos que a equação reduzida da circunferência é: (x − 5)2 + (y − 3)2 = 10, que equivale a
x2+ y2− 10x − 6y + 24 = 0.
08. Correta. Aplicando a distância entre a
es-cola E(2, 2) e o hotel H(10, 5) na Equação 1, temos: dEH = p (2 − 10)2+ (2 − 5)2 dEH = √ 64 + 9 =√73
16. Correta. Dividindo o quadrilátero em dois
triângulos EIB e HIB, podemos calcular a
área de cada um através da Equação 11, e por-tanto, temos: AE I B = 1 2 · 2 2 1 3 5 1 8 1 1 =1 2 · | − 19| = 9, 5 AH I B = 1 2 · 10 5 1 3 5 1 8 1 1 = 1 2 · |28| = 14 Somando as áreas dos triângulos, temos que a área do quadrilátero é: A = 23, 5 km2.
32. Incorreta. A equação da circunferência
com centro em P (5, 3) e que passa pelo ponto E(2, 2)foi calculada no item 04. O ponto (3, 4) não satisfaz a equação (x − 5)2+ (y − 3)2= 10,
e portanto, não pertence a circunferência.
Resposta:Soma dos itens corretos = 28.
4.2
Posic¸ ˜
oes relativas entre ponto e
cir-cunfer ˆencia
Como visto, todos os pontos de uma circunferência tem a mesma distância até o centro, e esta distância é a medida do raio. Se a distância de um ponto P qualquer do plano cartesiano até o centro C é diferente de r, então o ponto P é externo ou interno à circunferência.
Logo, temos 3 casos:
• Caso 1: Se dP C= r, então P pertence à
circun-ferência (Figura 17a).
• Caso 2: Se dP C< r, então P é interno à
circun-ferência (Figura 17b).
• Caso 3: Se dP C > r, então P é externo à
circun-ferência (Figura 17c).
(a) dP C= r
(b) dP C< r
(c) dP C> r
4.3
Posic¸ ˜
oes relativas entre reta e
cir-cunfer ˆencia
No plano existem retas que intersectam a circun-ferência em dois pontos (secantes), retas que tocam a circunferência em apenas um ponto (tangentes), e retas que não intersectam a circunferência em ponto algum (externas à circunferência). Seja uma circunfe-rência de centro C e raio r, e uma reta s, temos os três casos:
• Caso 1: A reta s é tangente à circunferência. Nesse caso, a distância da reta ao centro C corres-ponde à medida do raio r.
Figura 18: Reta tangente à circunferência (d(C, s) = r).
• Caso 2: A reta s é secante à circunferência. Nesse caso, a distância da reta ao centro C é menor que a medida do raio r.
Figura 19: Reta secante à circunferência (d(C, s) < r).
• Caso 3: A reta s é externa à circunferência. Nesse caso, a distância da reta ao centro C é maior que a medida do raio r.
Figura 20: Reta externa à circunferência (d(C, s) > r).
Problema 6
(UFSC) Em relação às proposições abaixo, é
CORRETOafirmar que:
01. O ponto P (−1, 1) pertence à bissetriz dos
quadrantes ímpares.
02. Não existe n ∈ N tal que A(−2, n);
B(4, −11)e C(1, −2) sejam colineares.
04. A equação geral da reta s que passa
pelo ponto A(4, 2) e é perpendicular à reta r : x
8 − y
4 = 1é s : −2x − y − 6 − 0.
08. A equação 4x2+ 4y2+ 4x + 8y + 9 = 0é
de uma circunferência de centro −1 2, −1 . 16. A reta r : 4x + 3y − 15 = 0 é secante à circunferência C : x2+ y2+ 6x − 8y = 0. RESOLUÇÃO:
01. Incorreta. A bissetriz dos quadrantes
ímpares é a reta y = x. Substituindo o ponto P (−1, 1)na equação, temos que 1 6= −1, e portanto, o ponto não pertence à reta.
02. Incorreta. Para que os pontos sejam
co-lineares, eles devem satisfazer a Equação 4. Substituindo os pontos A(−2, n), B(4, −11) e C(1, −2)na equação, temos: −2 n 1 4 −11 1 1 −2 1 = 0 22 + n − 8 + 11 − 4 − 4n = 0 3n = 21 n = 21 3 = 7
04. Incorreta. Desenvolvendo a equação da
reta r na sua forma reduzida, temos: x − 2y = 8 ⇒ y = 1
2· x − 4
Portanto, o coeficiente angular da reta s, é ms =
1
2. Como r e s são perpendiculares, o coeficiente angular de r, é mr= −
1 ms
= −2. Conhecendo o coeficiente angular de r, e um ponto A(4, 2), temos a equação da reta r:
(y − 2) = −2(x − 4) y − 2 = −2x + 8 −2x − y + 10 = 0
08. Incorreta. Dividindo ambos os lados da
equação por 4, e aplicando o método da com-paração para encontrar a equação reduzida da circunferência, temos:
x2+ y2+ x + 2y +9 4 = 0 x2+ y2− 2ax − 2by + a2+ b2− r2= 0
Ao determinar os coeficientes, temos que a = −1
2, b = −1 e r
2 = −1. Logo, r 6∈ R, e
portanto, a equação não corresponde a uma circunferência.
16. Correta. Aplicando o método de
comple-tar quadrados na equação da circunferência, temos:
x2+ 6x + y2− 8y = 0 (x + 3)2+ (y − 4)2= 25
Portanto, a circunferência possui centro em C(−3, 4)e raio r = 5.
Para determinar a posição relativa entre a reta e a circunferência, devemos calcular a distân-cia entre o centro da circunferêndistân-cia e a reta r. Utilizando a Equação 10, temos:
d(C, r) = |4 · (−3) + 3 · 4 + (−15)|√ 16 + 9 =
15 5 = 3 A distância entre o centro da circunferência e a reta r é menor que o raio da circunferência. Logo, a reta é secante à circunferência.
Resposta:Soma dos itens corretos = 16.
4.4
Posic¸ ˜
oes relativas entre duas
cir-cunfer ˆencias
A posição relativa de duas circunferências de centro O e P com raios rO e rP, respectivamente, pode ser
determinada comparando-se a distância OP entre os centros com a soma rO + rP ou com o módulo da
diferença |rO−rP|das medidas dos raios. Sendo assim,
temos três casos:
• Caso 1: Circunferências tangentes. Nesse caso, elas possuem um ponto em comum e podem ser tangentes exteriores ou interiores. Tangentes
ex-teriorespossuem distância entre centros OP igual
à soma dos raios rO+ rP. Tangentes interiores
possuem distância entre centros OP igual ao mó-dulo da diferença dos raios OP = |rO− rP|.
Figura 21: (a) Circunferências tangentes exteriores (OP =
rO+ rP). (b) Circunferências tangentes interiores
(OP = |rO− rP|).
• Caso 2: Circunferências secantes. Nesse caso, as circunferências possuem dois pontos em comum, e a distância entre centros OP é maior que o módulo da diferença entre seus raios |rO− rP|, e menor
que a soma das medidas dos raios rO+ rP .
Figura 22: Circunferências secantes (|rO− rP| < OP < rO+
rP).
• Caso 3: Circunferências externas ou internas. Nesse caso, as circunferências não possuem pon-tos em comum. Em circunferências internas, a distância entre os centros OP é menor que o mó-dulo da diferença entre seus raios |rO− rP|. Já
em circunferências externas, a distância entre os centros OP é maior que a soma das medidas dos seus raios rO+ rP.
Figura 23: (a) Circuferências internas (OP < |rO− rP|. (b)
5
C ˆ
onicas
5.1
Elipse
5.1.1 Definic¸ ˜ao de elipse
Ao intersectar um cone reto com um plano não pa-ralelo à sua base, conforme a Figura 24, é obtida uma seção cônica, chamada de elipse.
Figura 24: Definição de elipse (Balestri, 2016).
Sejam dois pontos distintos F1 e F2 de um plano.
Sabendo que a distância entre eles é igual a 2c, define-se elipdefine-se como define-sendo o conjunto de pontos do mesmo plano cuja soma das distâncias a F1 e F2 é igual à
constante 2a, que é maior que 2c. Sendo assim, para o ponto H da Figura 25, temos:
HF1+ HF2= 2a
Portanto, um ponto genérico P pertence à uma elipse se P F1+ P F2= 2a.
Figura 25: Elipse.
5.1.2 Elementos de uma elipse
Na Figura 26, podemos destacar os principais ele-mentos que compõem uma elipse. Os pontos F1e F2
são denominados focos da elipse, e a distância en-tre eles, igual a 2c, é denominada distância focal. O segmento A1A2possui um comprimento de 2a e é
cha-mada de eixo maior. Já o segmento B1B2com
com-primento de 2b é chamada de eixo menor. A elipse possui um centro O que é o ponto médio de F1F2,
A1A2 e B1B2. Além disso, a razão
c
a é denominada
excentricidade.
Figura 26: Elementos de uma elipse.
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo re-tângulo OF2B1ou OF1B1, temos que as medidas a, b
e c de uma elipse tem a seguinte relação: a2= b2+ c2. FIQUE LIGADO
Note que a excentricidade determina a forma da elipse. Quanto mais próxima de 1 for a relação e = c
a, mais arredendoda será a elipse, e quanto mais próxima de 0, mais achatada.
5.1.3 Equac¸ ˜ao da elipse
Seja o ponto P (x, y) da elipse com focos F1(−c, 0)e
F2(c, 0), e origem O(0, 0) da Figura 27.
Figura 27: Equação da elipse I.
Sabemos que para um ponto qualquer pertencer à uma elipse, a relação P F1+ P F2= 2adeve ser
satis-feita. Desenvolvendo esta relação, temos: p
(x + c)2+ (y − 0)2+p(x − c)2+ (y − 0)2= 2a
p
(x + c)2+ y2= 2a −p(x − c)2+ y2
Elevando os dois lados ao quadrado e desenvolvendo, temos:
(x + c)2+ y2= 4a2− 4ap(x − c)2+ y2+ (x − c)2+ y2
4xc = 4a2− 4ap(x − c)2+ y2
ap(x − c)2+ y2= a2
− xc
Elevando novamente os dois lados da igualdade ao quadrado, temos: a2(x − c)2+ a2y2= (a2− cx)2 a2x2− 2a2cx + a2c2+ a2y2= a4− 2a2cx + c2x2 a2x2− c2x2+ a2y2= a4− a2c2 (a2− c2)x2+ a2y2= a2(a2− c2) b2x2+ a2y2= a2b2
Dividindo os dois lados da igualdade por a2b2,
che-gamos na equação reduzida da elipse: x2
a2 +
y2
b2 = 1 (14)
Analogamente, para a elipse da Figura 28, temos que P F1+ P F2 = 2a, repetindo o desenvolvimento
anterior chegamos a equação da elipse: y2
a2+
x2
b2 = 1 (15)
Figura 28: Equação da elipse II.
FIQUE LIGADO
Se o centro da elipse não coincidir com a ori-gem do plano cartesiano, as equações 14 e 15 não poderão ser aplicadas. Nesse caso, vamos transladar o sistema de origem definindo o cen-tro da elipse como O0(x
o, yo), e os eixos como
x0 = x − xoe y0= y − yo.
Se o eixo maior da elipse for paralelo ao eixo x, sua equação em relação ao centro O0 é:
(x − xo)2
a2 +
(y − yo)
b2 = 1 (16)
Se o eixo maior da elipse for paralelo ao eixo y, sua equação em relação ao centro O0é:
(y − yo)2
a2 +
(x − xo)
b2 = 1 (17)
5.2
Hip ´erbole
5.2.1 Definic¸ ˜ao de hip ´erbole
A intersecção de duas folhas de um cone duplo reto com um plano, conforme mostrado na Figura 29, é chamada de hipérbole.
Figura 29: Definição de hipérbole (Balestri, 2016).
Sejam dois pontos distintos F1 e F2 da Figura 30,
com distância de 2c entre eles, e ponto médio O. A
hipérbolepode ser definida como o conjunto de pontos
do plano cuja a diferença das distâncias a F1e F2é a
constante 2a, que é menor que 2c.
Figura 30: Hipérbole.
Logo, para o ponto H pertencente à hipérbole da Figura 30, temos:
|HF1− HF2| = 2a
Portanto, para um ponto qualquer pertencer à uma hipérbole, ele deve satisfazer a expressão |P F1 −
P F2| = 2a.
5.2.2 Elementos de uma hip ´erbole
Os principais elementos de uma hipérbole são os
fo-cos F1e F2, o centro O, e o eixo real ou transverso
A1A2. A distância 2c entre os focos é chamada de
dis-tância focal, e a distância 2a é a medida do eixo real.
A hipérbole também possui uma excentricidade dada por c
a. Outro elemento importante a ser destacado na
hipérbole é o eixo imaginário, que determina o seg-mento B1B2. Nota-se que os elementos a, b e c, tem a
seguinte relação: a2+ b2= c2.
Figura 31: Elementos de uma hipérbole.
5.2.3 Equac¸ ˜ao da hip ´erbole
Seja o sistema cartesiano da Figura 32, em que a origem do sistema é o ponto médio O do segmento F1F2, que está contido no eixo x.
Figura 32: Equação da hipérbole I.
Sabendo que a distância focal é de 2c, as coor-denadas dos pontos F1 e F2 são, respectivamente,
F1(−c, 0)e F2(c, 0). Como visto anteriormente, um
ponto P pertence à hipérbole se satisfizer a expressão |P F1− P F2| = 2a. Deselvonvendo esta igualdade
che-garemos na equação reduzida da hipérbole. Portanto, temos:
|P F1− P F2| = 2a
|p(x + c)2+ (y − 0)2−p(x − c)2+ (y − 0)2| = 2a
p
(x + c)2+ y2=p(x − c)2+ y2± 2a
Elevando os dois lados da igualdade ao quadrado, temos: (x + c)2+ y2= (x − c)2+ y2± 4ap (x − c)2+ y2+ 4a2 2xc = −2xc ± 4ap(x − c)2+ y2+ 4a2 4xc = ±4ap(x − c)2+ y2+ 4a2 xc − a2= ±ap(x − c)2+ y2
Elevando novamente os dois lados da igualdade ao quadrado, temos:
x2c2− 2xca2+ a4= a2(x − c)2+ a2y2 x2c2+ 4a4= a2x2+ a2c2+ a2y2 x2c2− a2x2− a2y2= a2c2− 4a4
(c2− a2)x2− a2y2= a2(c2− a2)
Analisando a Figura 29, sabemos que b2+ a2= c2,
e portanto, podemos substituir c2− a2por b2. Desta
forma, temos:
b2x2− a2y2− a2b2
Dividindo a igualdade por a2b2, chegamos à
equa-ção reduzida da hipérbole:
x2
a2 −
y2
b2 = 1 (18)
Analogamente, quando a hipérbole apresenta seu eixo real A1A2contido no eixo y, e seu eixo imaginário
B1B2contido no eixo x, conforme a Figura 33, temos
a seguinte equação reduzida da hipérbole: y2
a2 −
x2
Figura 33: Equação da hipérbole II.
FIQUE LIGADO
Se o centro da hipérbole não estiver na origem do plano cartesiano, as equações 18 e 19 não poderão ser utilizadas. Nesse caso, assim como na elipse, o sistema terá que ser transladado. Se o eixo real da hipérbole de centro O0(x
o, yo)
for paralelo ao eixo x, a equação reduzida será: (x − xo)2
a2 −
(y − yo)2
b2 = 1 (20)
Se o eixo real da hipérbole de centro O0(x o, yo)
for paralelo ao eixo y, a equação reduzida será: (y − yo)2
a2 −
(x − xo)2
b2 = 1 (21)
5.3
Par ´abola
5.3.1 Definic¸ ˜ao de par ´abola
Uma parábola pode ser definida como a seção cô-nica obtida pela intersecção da superfície de um cone reto com um plano paralelo a uma das geratrizes.
Figura 34: Definição de parábola (Balestri, 2016).
Seja um ponto F denominado foco e uma reta cha-mada de diretriz. Uma parábola pode ser definida pelo
conjunto de pontos cuja distância até F é igual a dis-tância até a reta diretriz. Considerando o ponto H na parábola da Figura 35, temos a seguinte relação:
HF = HH0
Figura 35: Parábola.
5.3.2 Elementos de uma par ´abola
Como visto anteriormente, uma parábola é composta por um ponto fixo F chamado de foco e uma reta, neste caso d, chamada de diretriz. Através da Figura 36, podemos identificar outros elementos importantes como os pontos V e D. O ponto V é chamado de
vértice, e a distância F D é chamada de parâmetro
p. A reta que passa pelo foco e é perpendicular à reta diretriz é denominada eixo de simetria.
Figura 36: Elementos de uma parábola.
5.3.3 Equac¸ ˜ao da par ´abola
Considere a figura 37, em que P (x, y) é um ponto qualquer da parábola, V (xo, yo)é o vértice, d a diretriz,
e F o foco da parábola. Pela definição, temos que a distância do ponto P até F é igual a distância de P até P0. E sabemos que a distância de d até F é o parâmetro p, e portanto, Fp
Figura 37: Equação da parábola I.
Pela definição temos que: P F = P P0
Desenvolvendo a equação acima, e elevando ambos os lados ao quadrado, temos:
r h x −xo+ p 2 i2 + (y − yo) 2 = r h x −xo− p 2 i2 + (y − y)2 [x − (xo+ p 2)] 2+ (y − y o)2= [x − (xo− p 2)] 2 − 2x(xo+ p 2) + (xo+ p 2) 2+ (y − y o)2= − 2x(xo− p 2) + (xo− p 2) 2 − xp + xop + y2 − 2yyo + yo2 = xp − xop
Agrupando os elementos em comum, chegamos a
equação reduzida da parábolacom vértice V (xo, yo),
diretriz paralela ao eixo y e à esquerda do foco: (y − yo)2= 2p(x − xo) (22)
Para uma parábola de vértice V (xo, yo), diretriz
tam-bém paralela ao eixo y, porém à direita do foco (Figura 38), teremos a seguinte equação reduzida:
(y − yo)2= −2p(x − xo) (23)
Figura 38: Equação da parábola II.
Para uma parábola com reta diretriz paralela ao eixo xe vértice V (xo, yo), teremos mais duas possibilidades.
Se a parábola tiver diretriz abaixo do foco, conforme a Figura 39, teremos a seguinte equação:
(x − xo)2= 2p(y − yo) (24)
Já para uma parábola com reta diretriz paralela ao eixo x, mas localizada acima do foco, conforme a Fi-gura 40, teremos:
(x − xo)2= −2p(y − yo) (25)
Figura 40: Equação da parábola IV.
Problema 7
(UFSC) 01. O foco da parábola y2 = 3xé o
ponto F 3 4, 0
.
02. A equação da reta que é perpendicular à
bissetriz dos quadrantes ímpares e que passa pelo ponto A(−8, −3) é x + y + 11 = 0.
04. A equação da circunferência de centro
no ponto C(−2, −2) e tangente aos eixos coordenados é x2+ y2+ 2x + 2y − 4 = 0.
08. A área delimitada pelo polígono cujos
vértices são A(2, 2), B(8, 1), C(10, 5) e D(3, 5) é 47 unidades de área.
16. A excentricidade da elipse de equação
16x2+ 25y2− 400 = 0é 4
5.
32. Se duas circunferências têm um único
ponto em comum, então a posição relativa entre elas é tangente e a distância entre seus centros é igual à soma das medidas de seus raios.
64. A distância do ponto A(7, 2) à reta
r : 4x − 3y + 3 = 0 é igual a 5 unidades de comprimento.
RESOLUÇÃO:
01. Correta. A parábola y2= 3xé a equação
reduzida da parábola com diretriz paralela ao eixo y com vértice V (0, 0). Pela equação 22, temos então que 2p = 3, e portanto, o parâmetro p = 3
2. O parâmetro p define a distância entre o foco e a diretriz. Como a parábola está na origem, as coordenadas do foco são Fp 2, 0, e portanto, F 3 4, 0 .
02. Correta. A bissetriz dos quadrantes
ímpares é a reta y = x com coeficiente angular mb = 1. Como as retas são perpendiculares,
o coeficiente angular da reta perpendicular à y = xé menos o inverso de mb= 1, e portanto,
tem coeficiente angular m = −1.
Tendo o coeficiente angular m = −1 e o ponto A(−8, −3), podemos encontrar a equação da reta aplicando a equação 8:
y + 3 = −1(x + 8) x + y + 11 = 0
04. Incorreta. Se a circunferência possui
C(−2, −2), e é tangente aos eixos coordena-dos, sabe-se que seu raio é r = 2. Aplicando esses valores na equação 12, temos:
(x + 2)2+ (y + 2)2= 22 x2+ 4x + 4 + y2+ 4 + 4 = 4
x2+ y2+ 4x + 4y + 4 = 0
08. Incorreta. O polígono ABCD pode ser
dividido em dois triângulos ACD e ACB.
Desta forma, podemos aplicar a Equação 11 para calcularmos a área de cada triângulo. Para o triângulo ACD, temos:
A = 1 2 · 2 2 1 10 5 1 3 5 1 A = 1 2 · |21| = 21 2 Para o triângulo ACB, temos:
A = 1 2 · 2 2 1 10 5 1 8 1 1 A = 1 2· | − 26| = 13
Somando as duas áreas, temos que a área do polígono é:
A = 21
2 + 13 = 47
2
16. Incorreta. Transformando a equação da
elipse em sua forma reduzida, temos: 16x2 400 + 25x2 400 = 1 x2 25+ y2 16 = 1 x2 52 + y2 42 = 1
Logo, os coeficientes a e b são, respectivamente, 5e 4. Através da figura 26, temos que a elipse satisfaz a seguinte relação: a2= b2+ c2. Desta
forma, temos:
25 = 16 + c2 c = 3
E finalmente, aplicando c na relação de excentricidade da elipse, temos e = c
a = 3 5.
32. Incorreta. Duas circunferências que
possuem um ponto em comum podem ser tangentes interiores ou exteriores. No caso de tangentes exteriores, a distância entre seus centros equivale a soma dos raios. Já se forem interiores, a distância entre os centros é o módulo da diferença dos raios.
64. Correta. Aplicando a equação 10, temos:
d(A, r) = |4 · 7 − 3 · 2 + 3|√ 16 + 9 =
25 5 = 5
Resposta:Soma dos itens corretos = 67.
Problema 8
(Unirio) As equações x2−9y2−6x−18y−9 = 0,
x2+ y2− 2x + 4y + 1 = 0e x2− 4x − 4y + 8 = 0
representam, respectivamente, uma: (a) Hipérbole, uma elipse e uma parábola. (b) Hipérbole, uma circunferência e uma reta. (c) Hipérbole, uma circunferência e uma parábola.
(d) Elipse, uma circunferência e uma parábola. (e) Elipse, uma circunferência e uma reta.
RESOLUÇÃO: Utilizaremos o método de
completar quadrados para desenvolver cada equação e chegar à sua forma reduzida.
Para a primeira equação, temos: x2− 9y2− 6x − 18y − 9 = 0 x2− 6x − 9y2− 18y = 9 (x − 3)2− (3y − 3)2= 27 (x − 3)2− (9y2− 18y + 9) = 27 (x − 3)2 9 − (y 2 − 2y + 1) = 3 (x − 3)2 9 − (y − 1) 2= 3 (x − 3)2 27 − (y − 1)2 3 = 1
Portanto, a primeira equação representa uma hipérbole com centro O0(3, 1), a = √27 e
b =√3.
Aplicando o mesmo método na segunda equa-ção, temos:
x2+ y2− 2x + 4y + 1 = 0 x2− 2x + y2+ 4y = −1 (x − 1)2+ (y + 2)2= 4
Portanto, a segunda equação representa uma circunferência com centro C(1, −2) e raio r = 2.
Por fim, a última equação pode ser escrita da seguinte forma:
x2− 4x − 4y + 8 x2− 4x − 4y = −8 (x − 2)2− 4y = −4 (x − 2)2= 4(y − 1)
Portanto, a terceira equação representa uma parábola com a reta diretriz paralela ao eixo x, vértice em V (2, 1) e parâmetro p = 2.
Resposta:(c).
COLABORADORES DESTA AULA
• Texto: Amanda Conradt • Diagramação: Amanda Conradt Laura Braz • Revisão: Laura Braz
Refer ˆencias Bibliogr ´aficas
Balestri, Rodrigo (2016). Matemática: interação e
tec-nologia. Leya.
Lista de Problemas
Alguns dos exercícios apresentados na lista abaixo foram retirados de Balestri, 2016. Outros problemas, bem como os resolvidos nesta aula, foram retirados diretamente dos cadernos de prova dos referidos vesti-bulares.
1. (ITA-SP) Sejam A = (0, 0), B = (0, 6) e C = (4, 3) vértices de um triângulo. A distância do baricen-tro deste triângulo ao vértice A, em unidades de distância, é igual a: (a) 5 3 (b) √ 97 3 (c) √ 109 3 (d) √ 5 3 (e) 10 3
2. (PUC-SP) Suponha que no plano cartesiano mostrado na figura abaixo, em que a unidade de medida nos eixos coordenados é o quilô-metro, as retas r e s representam os trajetos percorridos por dois navios, N1e N2, antes de
am-bos atracarem em uma ilha, localizada no ponto I.
Considerando que, no momento em que N1 e
N2se encontravam atracados em I, um terceiro
navio, N3, foi localizado no ponto de coordenadas
(26, 29), a quantas quilômetros N3distava de I?
(a) 28 (b) 30 (c) 34
(d) 36 (e) 40
3. (UFJF-MG) Considere as retas r1 : y = m1x + b1
e r2 : y = m2x + b2, tais que r1 e r2 são
paralelas, a reta r1 passa pelo ponto A(0, 2), e
a reta r2 pelo ponto B(1, 0). Sabendo que a
reta l passando pelos pontos A e B é perpen-dicular à reta r1, qual é o valor do produto m2· b1?
(a) −1 2 (b) 0 (c) 1 2 (d) 1 (e) 2
4. (FGV-SP) A medida da altura AH de um triângulo de vértices A(1, 5), B(0, 0) e C(6, 2) é: (a) 2 √ 7 10 (b) 5 √ 10 7 (c) 3 √ 10 5 (d) 7 √ 10 5 (e) 8 √ 10 7
5. (FGV-SP) No plano cartesiano, a reta tangente à circunferência de equação x2+ y2= 8, no ponto
P de coordenadas (2, 2), intersecta a reta de equação y = 2x no ponto: (a) 7 16, 14 6 (b) 6 5, 12 5 (c) 5 4, 10 4 (d) 4 3, 8 3 (e) 3 2, 3
6. (UFPB) A secretaria de infraestrutura de um município contratou um arquiteto para fazer o projeto de uma praça. Na figura a seguir, está o esboço do projeto proposto pelo arquiteto: uma praça em formato retangular medindo 80 m x 120 m, onde deverá ser construído um jardim em forma de elipse na parte central.
Estão destacados na figura os segmentos AC e BD que são, respectivamente, o eixo maior e o menor da elipse, bem como os pontos F1 e
F2, que são os focos da elipse onde deverão ser
colocados dois postes de iluminação.
Com base nessas informações, conclui-se que a distância entre os postes de iluminação será, aproximadamente, de: (a) 68 m (b) 72 m (c) 76 m (d) 80 m (e) 84 m
7. (UFAM) Uma parábola tem foco no ponto F (3, 5) e sua diretriz é a reta de equação y = −3. Então a sua equação é igual a:
(a) (x − 3)2= 8(y − 1)
(b) (x − 3)2= −16(y − 1)
(c) (x − 3)2= 16(y − 1)
(d) (x − 3)2= −8(y − 1)
(d) (x − 3)2= 8(y + 1)
8. (UDESC) A região sombreada da figura abaixo tem como limitantes as retas y = 0, y = 2x, y = x + 2, y = 7e y = 25 − 3x.
A área da região sombreada é: (a) 152 3 (b) 319 6 (c) 107 3 (d) 214 3 (e) 86 3
9. (UDESC) A figura abaixo apresenta o triângulo ABCinscrito em uma circunferência de centro O.
Analise as afirmativas abaixo de acordo com a figura.
I – A área do triângulo ABC é igual a 2√3 unida-des de área.
II – A equação da circunferência é dada por x2+
y2+ 4x = 0.
III – A equação da reta que passa pelos pontos A e C é dada por y = 3x.
IV – A medida do ângulo A é igual a 60◦.
Assinale a alternativa correta.
(a) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. (b) Somente as afirmativas III e IV são verdadei-ras.
(c) Somente as afirmativas I e IV são verdadeiras. (d) Somente as afirmativas I, II e IV são verdadei-ras.
(e) Somente a afirmativa I é verdadeira.
10. (UFPR) Considere a circunferência B, cuja equação no plano cartesiano é x2 + y2 − 8x + 10y + 21 = 0. Qual das
equações abaixo descreve uma circunferência que tangencia B? (a) (x + 1)2+ (y − 2)2= 15 (b) (x + 2)2+ (y + 2)2= 5 (c) (x − 3)2+ (y − 1)2= 3 (d) (x − 7)2+ (y − 2)2= 10 (e) (x + 3)2+ (y + 2)2= 9
11. (UFPR) Na figura abaixo estão representados, em um sistema cartesiano de coordenadas, um quadrado cinza de área 4 unidades, um quadrado hachurado de área 9 unidades e a reta r que passa por um vértice de cada quadrado. Nessas condições, a equação da reta r é:
(a) x − 2y = −4 (b) 4x − 9y = 0 (c) 2x + 3y = −1 (d) x + y = 3 (e) 2x − y = 3
12. (UFRGS) A área do quadrilátero formado pelos pontos de interseção da circunferência de equação (x + 1)2+ y2= 4com os eixos coordenados é: (a)√3
(b) 2√3 (c) 3√3 (d) 4√3 (e) 12
13. (UFRGS) A elipse de equação x2
4 + y2
9 = 1está
esboçada na imagem a seguir.
A área do quadrilátero ABCD é: (a) 4 (b) 9 (c) 12 (d) 24 (e) 36 14. (FUVEST) A elipse x2+y2 2 = 9 4 e a reta y = 2x+1
do plano cartesiano se interceptam nos pontos A e B. Pode-se afirmar que o ponto médio do segmento AB é: (a)−2 3, − 1 3 (b) 2 3, − 7 3 (c) 1 3, − 5 3 (d)−1 3, 1 3 (e) −1 4, 1 2
15. (UEPG) Os pontos A(0, 0) e B(4, 0) são vértices de um paralelogramo ABCD, situado no pri-meiro quadrante. O lado AD é perpendicular à reta y = −2x + 1 e o vértice D pertence à circunferência de centro na origem e raio√5. Nesse contexto, assinale o que for correto.
01. A equação da reta suporte da diagonal AC é
6x − y = 0.
02. O comprimento da diagonal BDé u.c. 04. A soma das coordenadas do ponto C é 7. 08. A área do paralelogramo é 2 u.a.
16. As diagonais se interceptam no ponto (3, 2).
6
Gabarito
1. Item (b): √ 97 3 2. Item (b): 30. 3. Item (d): 1. 4. Item (d): 7 √ 10 5 . 5. Item (d): (4 3, 8 3 . 6. Item (d): 80 m. 7. Item (c): (x − 3)2= 16(y − 1). 8. Item (c): 107 3 .9. Item (c): Somente as afirmativas I e IV são verdadeiras. 10. Item (b): (x + 2)2+ (y + 2)2= 5. 11. Item (a): x − 2y = −4. 12. Item (d): 4√3. 13. Item (c): 12. 14. Item (d):−1 3, 1 3 .
15. Soma dos itens corretos: 09. Item 01: Correta. Item 02: Incorreta. Item 04: Incorreta. Item 08: Correta. Item 16: Incorreta.