Ferramentas Matemáticas para Sistemas Lineares: Álgebra Linear

(1)

Ferramentas Matem´

aticas para Sistemas Lineares:

´

Algebra Linear

Samir Angelo Milani Martins1

1_{UFSJ-MG / Campus Santo Antˆ}_{onio, MG – Brasil}

(2)

O que nos espera?

1 Bases, representa¸c˜ao e ortonormaliza¸c˜ao

2 Equa¸c˜oes alg´ebricas lineares

3 Transforma¸c˜ao de similaridade

4 Forma diagonal e forma de Jordan

5 Fun¸c˜oes de uma matriz quadrada Teorema de Cayley-Halmilton

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´

Algebra Linear

Rever e introduzir conceitos e resultados de ´algebra linear, tais como:

• Bases de espa¸cos vetoriais e representa¸c˜oes;

• Resolu¸cão de equa¸cões algébricas lineares;

• Diagonaliza¸c˜ao de matrizes;

• Fun¸c˜ao de matrizes;

• Matriz definida positiva;

(4)

Bases, representa¸c˜ao e ortonormaliza¸c˜ao

Dependˆencia linear

• Um conjunto de vetores [x1, x2, . . . , xm] em Rn ´e dito linearmente

dependente se existem n´umeros α1, α2, . . ., αm, n˜ao todos zeros em que α1x1+ α2x2+ . . . + αmxm = 0.

• Combina¸cão linear x1 = −_α1₁ [α2x2+ α3x3+ . . . + αmxm] . • Adimensão de um espa¸co linear pode ser definido como o número máximo de vetores linearmente independentes.

(5)

Bases e representa¸c˜ao

• _{Todo vetor x em R}n _{pode ser expresso unicamente como} x = α1q1+ α2q2+ . . . + αnqn.

• O conjunto de vetores linearmente independentes Q = [q1, q2, . . . , qn] ´e uma base do espa¸co.

• O conjunto de números [α1,α2, . . . , αn] é arepresenta¸cão do vetor em rela¸cão a base Q.

(6)

Exerc´ıcio: Considere os vetores x = 1 3 , q1 = 3 1 e q2= 2 2 .

Determine a representa¸c˜ao de x em rela¸c˜ao a q1 e q2.

(7)

Normas de vetores

Qualquer fun¸c˜ao de valor real de x, denotada por kxk, pode ser definida como norma se tem as seguintes propriedades:

1 kxk ≥ 0 ∀ x e kxk = 0 se e s´o se x = 0. ; 2 kαxk = |α| kxk, para qualquer α real;

(8)

Norma um kxk₁ = n X i=1 |xi| . Norma Euclideana kxk₂ = √ x0x = n X i=1 |xi|2 !1 2 . Norma infinita kxk_∞= maxi|xi| . Exerc´ıcio:

Calcule as normas um, Euclidiana e infinita do vetor x = 3 −1 4 0 .

(9)

Ortonormaliza¸c˜ao

Um conjunto de vetores ´e dito ortonormal se

x0_ixj =

0, Se i 6= j, 1, Se i = j.

Procedimento de ortonormaliza¸c˜ao de Schmidt

u1 = e1, q1= u1 ku1k , u2 = e2− (q01e2)q1, q2 = u2 ku₂k, um = em− m−1 X (q0em)q , qm= um .

(10)

Exerc´ıcio:

Encontre vetores ortonormais que sirvam como base do mesmo espa¸co determinado pelos vetores:

  2 −3 1   e   1 1 1  .

(11)

Considere o conjunto de equa¸c˜oes alg´ebricas lineares

Ax = y.

A seguir a condi¸cão de existência e aforma da solu¸cão geral da equa¸cão acima será discutida.

(12)

• Oespa¸co-coluna de A ´e definido como todas as poss´ıveis combina¸c˜oes lineares das colunas de A.

• Oposto de A ´e a dimens˜ao do Espa¸co-coluna.

• Um vetor x ´e chamadovetor nulo se Ax = 0.

• Anulidade é definida como o número máximo de vetores nulos linearmente independentes de A.

• A nulidade pode ser dada pela rela¸c˜ao

Nulidade(A) = n´umero de colunas de A − posto(A).

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Exerc´ıcio: Seja a matriz A =   0 1 1 2 1 2 3 4 2 0 2 0  .

Determine o posto, a nulidade e bases para o espa¸co-coluna e o espa¸co-nulo.

(14)

Teorema 3.1

1 - Seja uma matriz A m × n e um vetor y m × 1. Uma solu¸cão x da equa¸cão Ax = y existe se e só se y está no espa¸co-coluna de A ou, equivalentemente, ρ(A) = ρ([A y]).

2 - Seja uma matriz A. Uma solu¸c˜ao de Ax = y existe para todo y se e s´o se posto(A) = m.

(15)

Teorema 3.2 (Parametriza¸c˜ao das solu¸c˜oes)

Seja uma matriz A m × n, um vetor y m × 1, uma solu¸c˜ao xp da equa¸c˜ao Ax = y e k a nulidade.

Se k = 0 (posto(A) = n) então a solu¸cão xp é única. Se k > 0 então para todo real αi, i = 1, 2, . . . , k, o vetor x = xp+ α1n1+ . . . + αknk é uma solu¸cão de Ax = y, sendo {n1, . . . ,nk,} a base do espa¸co-nulo de A.

(16)

Exerc´ıcio

Calcule uma parametriza¸cão das solu¸cões da equa¸cão Ax = y descrita abaixo   0 1 1 2 1 2 3 4 2 0 2 0       x1 x2 x3 x4     =   −4 −8 0  .

(17)

Determinantes e inversas de matrizes quadradas

• Se A é triangular ou diagonal então o determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal.

• O determinante de qualquer submatriz r × r de A ´e chamado demenor de ordem r .

• Se A tem posto r então há no m´ınimo um menor de ordem r não nulo e todo menor de ordem maior que r é nulo.

• Uma matriz quadrada é ditanão-singular se o determinante é diferente de zero.

(18)

Teorema 3.3

Seja a equa¸c˜ao Ax = y com A quadrada.

1- Se A é não-singular então a equa¸cão tem solu¸cão única para todo y e a solu¸cão é igual a A−1y. Em particular a única solu¸cão de Ax = 0 é x = 0. 2- A equa¸cão homogênea Ax = 0 tem solu¸cão não nula se e só se A é singular. O número de solu¸cões linearmente independente é igual a nulidade de A.

(19)

Considere uma matriz A n × n que mapeia Rn em Rn.

• Se for associado com Rn _{a base canˆ}_{onica (ortonormal) ent˜}_{ao a i-´}_esima coluna de A é a representa¸cão de Aii com respeito a base ortonormal. • Se for selecionada uma base diferente {q1, q2, . . . , qn} então a matriz A tem uma representa¸cão diferente ¯A.

• A i-ésima coluna de ¯A é a representa¸cão de Aqi com rela¸cão à base {q₁, q2, . . . , qn}.

(20)

Exemplo de transforma¸c˜ao de similaridade Seja a equa¸c˜ao Ax = y sendo A =   3 2 −1 −2 1 0 4 3 1   e y =   2 1 3  . Considere a base Q =y Ay A2y =   2 5 −5 1 −3 −13 3 14 25  .

(21)

Exemplo de transforma¸c˜ao de similaridade (continua¸c˜ao)

O sistema transformado ser´a ¯A¯x = ¯y sendo ¯x = Q−1x,

¯ y = Q−1y =   0,8823 −0,2941 0,0588  e ¯ A = Q−1AQ (transforma¸c˜ao de similaridade) =   0 0 17 1 0 −15 0 1 5  .

As matrizes A e ¯A s˜ao chamadas similares.

(22)

Objetivo:

Introduzir uma transforma¸cão de similaridade na qual arepresenta¸cão da matriz serádiagonal oubloco diagonal.

Considere a rela¸c˜ao

Ax = λx A ´e uma matriz n × n,

λ é um número real ou complexo chamado autovalor , x é um vetor não-nulo chamado autovetor .

(23)

C´alculo dos Autovalores e Autovetores

Ax = λx = λIx (A − λI) x = 0

• Para que x seja n˜ao-nulo, a matriz (A − λI) deve ser singular.

• Assim, a resolu¸c˜ao da equa¸c˜ao abaixo resulta os autovalores.

∆ (λ) = det (A − λI) = 0 (equa¸c˜ao caracter´ıstica) .

• Calculados os autovalores, os autovetores podem ser obtidos resolvendo (A − λI) x = 0.

(24)

Caso 1: Os autovalores s˜ao distintos

• Nesse caso, a representa¸c˜ao de A ser´a diagonal

¯ A = Q−1AQ =        λ1 0 0 . . . 0 0 λ2 0 . . . 0 0 0 λ3 . . . 0 .. . ... ... ... 0 0 0 . . . λn        .

O conjunto de vetores base que produzirão a diagonaliza¸cão é composto pelos autovetores associados aos autovalores calculados,

Q = [v1, v2, v3, . . . , vn] .

(25)

Exerc´ıcio

Calcule os autovalores e autovetores da matriz

A =   0 0 0 1 0 2 0 1 1  .

(26)

Caso 2: Os autovalores s˜ao complexos

Matriz diagonal J Q−1AQ ´e transformada na forma modal ¯ A = ¯Q−1_{J ¯}_Q. ¯ A =   1 0 0 0 1 1 0 j −j     λ 0 0 0 α + jβ 0 0 0 α − jβ     1 0 0 0 0,5 −0,5j 0 0,5 0,5j  . ¯ A =   λ 0 0 0 α β 0 −β α 

 (matriz bloco diagonal).

(27)

Caso 2: Os autovalores s˜ao complexos (Continua¸c˜ao)

A matriz de transforma¸c˜ao P relaciona A e ¯A.

P−1= [v1, Re (v2) , Im (v2)]

sendo v1 o autovetor associado a λ,

Re (v2) a parte real do autovetor associado a α + jβ, Im (v2) a parte imagin´aria do autovetor associado a α + jβ.

¯

(28)

Exerc´ıcio

A =   −1 1 1 0 4 −13 0 1 0  .

(29)

Caso 3: Autovalores repetidos

• Nesse caso, a matriz A pode ter uma representa¸c˜ao diagonal ou bloco diagonal. Exemplos de matrizes bloco diagonais s˜ao mostrados abaixo.

A1=     λ1 1 0 0 0 λ1 1 0 0 0 λ1 1 0 0 0 λ1     , A2=     λ1 1 0 0 0 λ1 1 0 0 0 λ1 0 0 0 0 λ1     , A3=     λ1 1 0 0 0 λ1 0 0 0 0 λ1 1 0 0 0 λ1     , A4=     λ1 1 0 0 0 λ1 0 0 0 0 λ1 0 0 0 0 λ1     .

(30)

• No caso em que não há uma representa¸cão diagonal, deve-se empregar como base os autovetores generalizados.

• Um vetor ´e chamado autovetores generalizados de grau n se

(A − λI)nv = 0

e

(A − λI)(n−1)v 6= 0.

(31)

Caso 3:Autovalores repetidos (continua¸c˜ao)

• C´alculo dos autovetores generalizados:

(A − λI) v1 = 0, (A − λI) v2 = v1, (A − λI) v3 = v2, (A − λI) v4 = v3.

(32)

Exerc´ıcio

A =     11 −8,5 2,5 −2 11 −10 4 −2 15 −19 9 −2 6 −5,5 1,5 1     .

(33)

• Polinˆomios de uma matriz n × n:

Ak= AA . . . A, (k vezes) , A0 = I.

• Seja o polinˆomio f (λ) = λ3+ 2λ2− 6.

⇒ f (A) ´e definida como f (A) = A3+ 2A2− 6.

• Pode ser mostrado que f (A) = Pf ( ¯A)P−1.

• Polinômio mônico é um polinômio em que o coeficiente do termo de maior potência é 1.

• Polinômio m´ınimo é definido como o polinômio mônico ψ(λ) de menor grau tal que ψ(A) = 0.

(34)

• O grau do polinˆomio m´ınimo corresponde a ordem do maior bloco de Jordan para autovalores repetido.

• A nulidade de (A − λI) corresponde ao n´umero de blocos de Jordan de autovalores repetidos. Exemplo A1=     λ1 1 0 0 0 λ1 1 0 0 0 λ1 0 0 0 0 λ1     A2=     λ1 1 0 0 0 λ1 0 0 0 0 λ1 1 0 0 0 λ1    

Polinˆomio m´ınimo: (A1− λ1I)3

Nulidade: 2

Polinˆomio m´ınimo: (A2− λ1I)2

Nulidade: 2

(35)

• Conhe¸caCayley e Hamilton

Teorema de Cayley-Halmilton

Toda matriz A ∈ Cn×n satisfaz sua pr´opria equa¸c˜ao caracter´ıstica.

Ou seja, se Q(λ) = det (λI − A) = λn+ an−1λn−1+ . . . + a1λ + a0λ0= 0 Ent˜ao,

Q(A) = An+ an−1An−1+ . . . + a1A + a0A0= 0

Ax = λx, em que x ´e um autovetor e λ um autovalor portanto,

(36)

Q(A) = An+ an−1An−1+ . . . + a1A + a0A0= 0

(A − λI)x = 0 ⇒ det (A − λI) = det (λI − A) = 0

(37)

Q(A) = An+ an−1An−1+ . . . + a1A + a0A0= 0

(38)

Fun¸c˜oes de matriz quadrada • Ideia central:

Como A é solu¸cão de sua equa¸cão caracter´ıstica:

λn= −an−1λn−1− . . . − a1λ − a0λ0 (1)

Se multiplicarmos ambos os lados por λ:

⇒ Lado direito: λn+1

⇒ Lado esquerdo: λn_{, λ}n−1_{, . . . , λ}1_.

Substituindo λn pelo lado direito de (1), tem-se que

λn+1 pode ser escrito em termos de λn−1, λn−2, . . . , λ0

⇒ . . . generalizando

λn+k −→ λn−1_{, λ}n−2_{, . . . , λ}0_{, para} _{qualquer k}

(39)

Fun¸c˜oes de matriz quadrada • Ideia central:

Como A é solu¸cão de sua equa¸cão caracter´ıstica:

λn= −an−1λn−1− . . . − a1λ − a0λ0 (1)

Se multiplicarmos ambos os lados por λ:

⇒ Lado direito: λn+1

⇒ Lado esquerdo: λn_{, λ}n−1_{, . . . , λ}1_.

Substituindo λn pelo lado direito de (1), tem-se que

(40)

• Assim, a s´erie (de Taylor) infinita: f (λ) = ˆβ0+ ˆβ1λ + ˆβ2λ2+ . . . = ∞ X i=0 ˆ βiλi

pode ser expressa como

f (λ) = β0+ β1λ + β2λ2+ . . . + βn−1λn−1 (2)

Resta determinar βi, i = 0, . . . , n − 1.

(41)

Em resumo:

Toda fun¸cão f (A), A ∈ Cn×n, que possa ser expressa como uma série de potências: f (A) = ˆβ0I + ˆβ1A + ˆβ2A2+ . . . = ∞ X i=0 ˆ βiAi

pode ser calculada usando potˆencias de A menores ou iguais a n − 1:

f (A) = β0I + β1A + β2A2+ . . . βn−1An−1

(42)

Em resumo:

Toda fun¸cão f (A), A ∈ Cn×n, que possa ser expressa como uma série de potências: f (A) = ˆβ0I + ˆβ1A + ˆβ2A2+ . . . = ∞ X i=0 ˆ βiAi

pode ser calculada usando potˆencias de A menores ou iguais a n − 1:

f (A) = β0I + β1A + β2A2+ . . . βn−1An−1

Como calcular βi, i = 1, . . . , n − 1?

(43)

Encontrando βi

• Suponha n autovalores distintos λ1,. . .,λn. Então (2) é válida para

esses n autovalores:      f (λ1) f (λ2) .. . f (λn)      =      1 λ1 λ21 · · · λn−11 1 λ2 λ22 · · · λn−12 .. . ... ... . .. ... 1 λn λ2n · · · λn−1n      | {z } Matriz deVandermonde      β0 β1 .. . βn−1      (3)

O que permite calcular

 β0 β   1 λ1 λ21 · · · λn−11 1 λ λ2 · · · λn−1 −1 f (λ1) f (λ ) 

(44)

no Matlab. . .

• Veja o comando vander(x), que monta a matriz de Vandermonde

⇒x =λ1 λ2 · · · λn

• Cuidado: Para usar vander(x) ´e preciso mudar a ordem das inc´ognitas:

     f (λ1) f (λ2) .. . f (λn)      | {z } F(λ) =      λn−1₁ λn−2₁ · · · λ1 1 λn−1₂ λn−2₂ · · · λ2 1 .. . ... ... . .. ... λn−1_n λn−2_n · · · λn 1      | {z } V(λ)      βn−1 βn−2 .. . β0      | {z } β(λ) (5) • Portanto, β(λ) = V−1(λ)F(λ)

(45)

Exemplo Sejam A(t) =2t 3 0 −4e−2t e f (A) = sin(A) + A2 ⇒ Calculando os autovalores: det(λI − A(t)) = 0 ⇒ (λ − 2t)(λ + 4e−2t) = 0 logo: λ1 = 2t e λ2 = −4e−2t ⇒ Monte as matrizes F(λ), V(λ) e β(λ): F(λ) = sin(2t) + (2t)2 sin(−4e−2t) + (−4e−2t)2 = sin(2t) + 4t2 − sin(4e−2t) + 16e−4t

(46)

⇒ No matlab:

syms L t % L = lambda;

A = [2*t 3; 0 -4*exp(-2*t)];

p = simple(det(L*eye(2)-A)); % p-> pol. caract. L1 = 2*t; L2 = -4*exp(-2*t); % autovalores f1 = sin(L1)+L1^2; f2 = sin(L2)+L2^2; F = [f1; f2]; V = [L1 1; L2 1]; betas = simple(inv(V)*F) β(λ) =    sin(2 t)+4 t2_+sin₍_{4 e}−2 t₎_{−16 e}−4 t 2 t+4 e−2 t 2 e−2 tsin(2 t)+8 e−2 tt2−t sin₍4 e−2 t)+16 te−4 t t+2 e−2 t   

(47)

⇒ Portanto, f (A) = sin(A) + A2 pode ser calculada como f (A) = sin (2 t) + 4 t 2_{+ sin 4 e}−2 t_{− 16 e}−4 t 2 t + 4 e−2 t I +2 e −2 t_{sin (2 t) + 8 e}−2 t_t2_{− t sin 4 e}−2 t_{+ 16 te}−4 t t + 2 e−2 t A(t) ⇒ No matlab, para t = π/4: >> f = betas(1)*eye(2) + betas(2)*A; >> subs(f,t,pi/4) resulta:

(48)

E se os autovalores n˜ao s˜ao distintos?

Calcule os autovalores de A ∈ Cn×n; Fa¸ca f (A) = f (λ); (troque A por λ) Defina h(λ) um polinˆomio de grau n − 1; Calcule os coeficientes de h(λ) usando: f(`)_(λ i) = h(`)(λi), ` = 0,1, . . . ,(ni− 1) e i = 0,1, . . . , m ⇒f(`)(λi) = d `_{f (λ)} dλ` λ=λi ⇒h(`)_(λ

i) definido de maneira similar. ⇒Calcule f (A) por meio de h(A).

(49)

Exerc´ıcios (sugest˜ao) 1 Sendo A =   1 0 0 0 1 0 −2 −3 −4   e B =   −2.9474 −1.3158 0 0.8421 −5.0526 0 −1.6842 2.1053 −4  ,

calcule via Cayley-Hamilton:

a. e−At; b. At_; c. A100_; d. 3 sin Bt; e. eBt_; f. e(A+B)t

(50)

Exerc´ıcio Calcule: a - A100 sabendo que A = 0 1 −1 −2 . b - eAt com A =   0 0 −2 0 1 0 1 0 3  .

(51)

S´erie de potˆencias

• Assuma que f (λ) possa ser expressa como

f (λ) = ∞ X

i=0 βiλi

com raio de convergˆencia ρ.

• Se todos os autovalores de A tem magnitude menor que ρ ent˜ao

f (A) = ∞ X

i=0 βiAi.

(52)

Resultados importantes e0 = I eA(t1+t2)_{= e}At1_eAt2 eAt−1 = e−At deAt dt = Ae At_{= e}At_A e(A+B)t6= eAteBt

LeAt = (sI − A)−1, sendo L [·] a transformada de Laplace. L de

At dt

= sLeAt − e0 = ALeAt

(53)

Equa¸c˜ao de Lyapunov

Considere a equa¸c˜ao

AM + MB = C

sendo A n × n, B m × m, e as matrizes C e D n × m. Como exemplo considere n = 3 e m = 4

  a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33     m11 m12 m21 m22 m31 m32  +   m11 m12 m21 m22 m31 m32   b11 b12 b21 b22 = =   c11 c12 c21 c22 c31 c32  .

(54)

A equa¸c˜ao pode ser reescrita como AM = C sendo A =        a11+ b11 a12 a13 b21 0 0 a21 a22+ b11 a23 0 b21 0 a31 a32 a33+ b11 0 0 b21 b21 0 0 a11+ b22 a12 a13 0 b12 0 a21 a22+ b22 a23 0 0 b12 a31 a32 a33+ b22        , M =        m11 m21 m31 m12 m22 m32        e C =        c11 c21 c31 c12 c22 c32        .

(55)

Considere a equa¸c˜ao AM = ηM:

• O escalar η ´e um autovalor de A.

• Pode ser mostrado que ηk= λi+ µj sendo λi e µj os autovalores de A e B respectivamente.

• Se λi+ µj 6= 0 para todo i e j então a solu¸cão M existe e é única. • Se λi+ µj = 0 para algum i e j então a existência de solu¸cão depende de C. Caso exista não será única.

(56)

F´ormulas usuais

• Considere matrizes A m × n e B n × p. Tem-se que

ρ(AB) ≤ min(ρ(A),ρ(B)), sendo ρ o posto.

• Sejam as matrizes n˜ao-singulares A m × n, C m × n, D m × m, ent˜ao tem-se que

ρ(AC) = ρ(A) = ρ(DA).

• Seja M = A 0 C B ou M = A C 0 B assim det(M) = det(A)det(B).

(57)

Considere matrizes A m × n e B n × m: • Defina N = Im A 0 In , Q = Im 0 −B In e P = Im −A B In . • Pode ser mostrado que

det(QP) = det(NP) = det(P) = det(Im+ AB) = det(In+ BA).

• Em N, Q e P se In, Im e B s˜ao trocados respectivamente por √

sIn, √

sIm e −B obt´em-se

(58)

Forma quadr´atica e definida positiva

• Uma matriz quadrada M ´e chamada sim´etrica se M0 = M.

• Os autovalores de matrizes sim´etricas s˜ao todos reais.

• Uma matriz quadrada A ´e chamada ortonormal se A0A = I, ou seja, A−1= A0.

Teorema 3.6

Para toda matriz sim´etrica M, existe uma matriz ortogonal Q tal que

M = QDQ0 ou D = Q0MQ

sendo D a matriz diagonal com os autovalores de M, os quais ser˜ao reais.

(59)

Teorema 3.7

Uma matriz simétrica M n × n é definida positiva (ou semidefinida) se e somente se uma das condi¸cões acontece:

1 Todo autovalor de M ´e positivo (ou zero);

2 Todos os principais menores de M s˜ao positivos (ou zeros);

3 _{Existe uma matriz n˜}_{ao-singular N (n × n ou m × n sendo m < n) tal} que M = N0N.

(60)

Teorema 3.8

1. Uma matriz H m × n com m ≥ n, tem posto n, se e somente se a matriz H0H n × n tem posto n, ou seja, det(H0H) 6= 0.

2. Uma matriz H m × n com m ≤ n, tem posto m, se e somente se a matriz HH0 m × m tem posto m, ou seja, det(HH0) 6= 0.

Obs.: Os autovalores não nulos de HH0 e HH0 são iguais. A diferen¸ca entre as matrizes está no número de autovalores nulos.

(61)

Decomposi¸c˜ao em valores singulares

Seja H uma matriz real m × n. Defina M = H0H. Sabe-se que r ´e o n´umero de seus autovalores positivos. Os autovalores de M podem ser ordenados como

λ12≥ λ22 ≥ . . . λr2 > 0 = λr+1= . . . = λn.

Sejan = min(m,n). Ent˜_e ao o conjunto

λ1≥ λ2 ≥ . . .λr> 0 = λr+1= . . . = λ_en.

´

(62)

Teorema 3.9 (decomposi¸c˜ao em valores singulares)

Toda matriz H m × n pode ser reescrita na forma

H = RSQ0

sendo R0R = RR0 = Im, Q0Q = QQ0= In e S m × n com valores singulares de H na diagonal.

(63)

Exerc´ıcio

1 - Calcule os valores singulares da matriz

H = −4 −1 2 2 0,5 −1 .

2 - Fa¸ca a decomposi¸c˜ao da matriz abaixo em valores singulares

K =   1 1 0 1 1 0  .

(64)

Normas de matrizes • Norma um kAk₁= maxj n X i=1

|aij| = maior soma absoluta das colunas.

• Norma Euclideana

kAk₂ = maior valor singular de A.

• Norma infinita kAk_∞= maxi

n X j=1

|aij| = maior soma absoluta das linhas.

(65)

Norma de matrizes tem as seguintes propriedades: 1 kAxk ≤ kAk kxk;

2 kA + Bk ≤ kAk + kBk; 3 kABk ≤ kAk kBk.

(66)

Exerc´ıcio

Calcule as normas um, Euclidiana e infinita da matriz

H = −4 −1 2 2 0,5 −1 .