Codificação de bits quânticos via eletrodinâmica quântica de cavidades em circuitos

(1)

Universidade Estadual de Campinas

Instituto de F´ısica “Gleb Wataghin”

Disserta¸c˜

ao de Mestrado

Codifica¸

c˜

ao de Bits Quˆ

anticos via Eletrodinˆ

amica

Quˆ

antica de Cavidades em Circuitos

Ol´ımpio Pereira de S´a Neto

Orientador: Prof. Dr. Marcos Cesar de Oliveira

Este exemplar corresponde à reda¸cão final da Disserta¸cão de Mestrado defendida pelo aluno Ol´ımpio Pereira de Sá Neto e aprovada pela Comissão Julgadora.

Campinas, 04 de dezembro de 2009.

(2)

(3)

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Dedicado ao meu inesquec´ıvel primo Aldebasto Lima S´a Filho(in memorian).. “Quando a morte vem ceifar em vossas fam´ılias, levando sem distin¸c˜ao jovens antes de velhos, muitas vezes

dizeis: Deus não é justo, já que sacrifica o que é forte e pleno de futuro para conservar os que viveram longos anos cheios de decep¸cões; já que leva os que são úteis, e deixa os que não servem mais para nada; já

que parte o cora¸c˜ao de uma m˜ae, privando-a da inocente criatura que fazia toda sua alegria. (...)

Regozijai-vos, em lugar de vos lamentar, quando apraz a Deus retirar um de seus filhos deste vale de misérias. Não há ego´ısmo em querer que ele a´ı restasse, para sofrer convosco? Ah! essa dor se concebe

naquele que não tem fé, e que vê na morte uma separa¸cão eterna. O amor não morre. Amor se transforma. Amar é acreditar que o outro não morrerá, jamais!”

Autor desconhecido.

(5)

Agradecimentos

Meus pais, Jos´e Raimundo Lima Ferro e Sara Silva S´a Ferro, incentivadores dos meus ideais, a

quem amo muito em quem me espelho na perseveran¸ca, honestidade e sinceridade;

Meus irmãos, Mahatma e Venâncio, a quem como irmão mais velho procuro dar bons exemplos;

Meu orientador, Professor Doutor Marcos César, pelo carisma, aten¸cão, conselhos e apoio; Minha namorada, Cássia, pelo apoio, compreensão, afeto durante a etapa final de meu mestrado;

Meus tios e primos queridos; a quem amo incondicionalmente; Todos os meus amigos que cruzaram pelo meu caminho, sem exce¸c˜ao;

Aos professores que sempre fui e serei admirador e os terei como exemplo, Prof. Dr. Amir Caldeira

e Prof. Dr. Kyoko;

Ao Prof. Dr. Barranco pela contribui¸c˜ao essencial no projeto;

Ao coordenador do curso da pós do IFGW, aos funcionários da secretaria e professores da gradua¸cão (Prof. Dr. Pimentel, Prof. Dr. Paulo Henrique, Prof. Dr. Francisco Barbosa, Prof. Frankin Cruzio, Prof.

Bulamarque e outros) que muito me ajudaram na minha forma¸c˜ao b´asica. `

A FAPESP pelo apoio financeiro.

(6)

Resumo

Nesta disserta¸cão de mestrado foi analisada a eficiência de um esquema de codifica¸cão espec´ıfico de bits quânticos em estados de campos eletromagnéticos quânticos em linhas de transmissão coplanares

acopla-das a um dispositivo supercondutor, “o Átomo Artificial”, sob a a¸cão de um banho ôhmico. O objetivo central desta pesquisa é estudar a Eletrodinâmica Quântica de Cavidades, bem como aspectos de implementa¸cão de

dispositivos para computa¸cão quântica. Neste contexto, nossa proposta de pesquisa consiste em estudar um esquema prático de processamento de informa¸cão eficiente, explorando recursos f´ısicos de um sistema real.

(7)

Abstract

In this dissertation we analyse the efficiency of a specific quantum bit encoding in a quantum electromagnetic field state prepared in a coplanar transmission line coupled to a single superconducting

device, “the Artificial Atom”, under action of external noise sources affecting the efficiency of the device. The central objective is to study the circuit cavity quantum electrodynamics and to propose practical aspects

of devices for quantum computation implementation.

(8)

Sum´

ario

1 Introdu¸c˜ao 1

2 Eletrodinˆamica Quˆantica de Cavidades em Circuito 6

2.1 Linha de Transmiss˜ao Supercondutora . . . 6

2.1.1 Quantiza¸cão da Voltagem Numa Única Linha de Transmissão . . . 7

2.1.2 Acoplando a Linha de Transmiss˜ao Capacitivamente `a Fonte e ao Dreno . . . 9

2.1.3 Quantiza¸c˜ao do Sistema Acoplado . . . 11

2.2 “ ´Atomo Artificial” . . . 15

2.2.1 Caixa de Pares de Cooper . . . 16

2.2.2 Energia de Carregamento . . . 17

2.2.3 Tunelamento Josephson (com uma Jun¸c˜ao Josephson) . . . 17

2.2.4 Tunelamento Josephson (com duas Jun¸c˜oes Josephson) . . . 18

2.2.5 Hamiltoniano do “ ´Atomo Artificial” . . . 19

2.3 Acoplamento do “ ´Atomo Artificial” com a Linha de Transmiss˜ao . . . 20

3 Optica Quˆ´ antica em Circuitos El´etricos 24 3.1 O Hamiltoniano . . . 24

3.2 Teoria de Perturba¸c˜ao Dependente do Tempo . . . 26

3.3 Propriedades de Gera¸c˜ao de Estado de Superposi¸c˜ao . . . 27

3.3.1 Gera¸c˜ao do Estado de Superposi¸c˜ao do Estado Coerente . . . 36

3.4 Porta CNOT Quˆantica . . . 37

3.5 Equa¸c˜ao Mestra . . . 38

(9)

3.6 O Efeito da Relaxa¸c˜ao do Sistema [12] . . . 39

3.7 O Processo de Medi¸c˜ao Quˆantica . . . 43

4 Conclus˜ao 44

(10)

Lista de Figuras

1.1 Esquema de um ´atomo numa cavidade . . . 1

1.2 Esquema de gera¸cão de estado de superposi¸cão em cavidades de microondas [6], onde B é um forno que selecionará átomos de Rydberg com momentos desejados para um tempo de transito ideal nas cavidades; L é um laser que irá interagir com os átomos, de modo que fiquem todos no estado excitado; Rφ₁ e Rθ 2 são as zonas de Ramsay, cavidades de baixa qualidade, ou seja, sua taxa de perda é maior que a taxa da alimenta¸cão de radia¸cão do campo, logo elas são continuamente bombeadas com a radia¸cão do campo clássico. Geralmente essas cavidades são de cobre; C é uma cavidade supercondutora com uma radia¸cão de campo quantizado representado pelo estado coerente |αi; D é um detector via ioniza¸cão, podendo detectar o ´ atomo no estado excitado De, ou no estado fundamental Dg. . . 2

1.3 Diagrama de espa¸co de parâmetro para eletrodinâmica Quântica de Cavidades [11] . . . 4

1.4 Eletrodinâmica de Quântica Cavidades em Circuitos (modelo do grupo de Yale University) . 4 2.1 Modos de vibra¸cões de densidade de carga numa linha de transmissão . . . 7

2.2 Acoplamento da linha de transmiss˜ao a mais duas linhas em seus extremos . . . 9

2.3 Coeficiente de transmissão como fun¸cão do no_{de onda (T (k) versus k). Para L = 1 e c/C} 0= 10 11 2.4 Este é o gráfico do deslocamento de fase (ou defesagem) em fun¸cão do no de onda (δk vs k). Para L = 1 e c/C0= 60 . . . 12

2.5 Solu¸c˜ao gr´afica para a (2.28) . . . 13

2.6 Dispositivo que representa o “ ´Atomo Artificial” com uma Jun¸c˜ao Josephson . . . 15

2.7 Modelo esquemático para o bit quântico de estado sólido . . . 16

2.8 Circuito com 2 Jun¸c˜oes Josephson . . . 19

(11)

2.9 Auto energias em fun¸c˜ao da carga (com a energia de tunelamento nula) . . . 20

2.10 Modelo do acoplamento . . . 21

2.11 N´ıveis de energia x carga de porta . . . 22

2.12 N´ıveis de energia x carga de porta . . . 23

3.1 a) Gráfico da parte real hα| Re [U−(t)] |αi como fun¸cão de n e t para frequência σ = 8 × 106Hz; b) idem para hα| Re [U+(t)] |αi; c) Gráfico da parte imaginária hα| Im [U−(t)] |αipara frequência σ = 8 × 106_{Hz; d) idem para hα| Im [U}+_{(t)] |αi . . . .} ₃₁

3.2 Varia¸cão da amplitude do estado coerente do campo eRe[θ−] _{quando o estado atˆ}_{omico ´}_{e |−i} como fun¸cão do tempo para vários valores da frequência do fluxo clássico σ . . . 32

3.3 Varia¸cão da amplitude do estado coerente do campo eRe[θ+] _{quando o estado atˆ}_{omico ´}_{e |+i} como fun¸cão do tempo para vários valores da frequência do fluxo clássico σ . . . 33

3.4 Varia¸cão da fase do estado coerente do campo Im[θ−] quando o estado atômico é |−i como fun¸cão do tempo para vários valores da frequência do fluxo clássico σ . . . 34

3.5 Varia¸cão da fase do estado coerente do campo Im[θ+] quando o estado atômico é |+i como fun¸cão do tempo para vários valores da frequência do fluxo clássico σ . . . 35

(12)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao

A Eletrodinâmica Quântica de Cavidades trata da intera¸cão entre campos de radia¸cão quantizados e átomos. De acordo com a figura (1.1), temos um esquema de intera¸cão entre um átomo de 2 n´ıveis e o

campo em uma cavidade, como demonstrada na referˆencia [1].

Figura 1.1: Esquema de um ´atomo numa cavidade

Esta intera¸c˜ao pode ser representada pelo seguinte Hamiltoniano

H = ¯hwca†a + ¯hνaσz+ ¯hgσx a†+ a + Hγ+ Hκ, (1.1)

onde, ¯h é a constante de Planck dividido por 2π, a(a†) são operadores bosônicos de aniquila¸cão(cria¸cão), νa

é a frequência de transi¸cão atômica, g é a constante de acoplamento átomo - campo, σz = |gi hg| − |ei he|, σx _{= |ei hg| + |gi he|, onde |gi ´}_{e o estado fundamental atˆ}_{omico, |ei ´}_{e o estado excitado atˆ}_{omico, H}

γ ´e o

Hamiltoniano de relaxa¸cão do sistema devido ao acoplamento dos modos do átomo com os modos do vácuo

(13)

CAPÍTULO 1. INTRODUÇ ÃO 2

da cavidade, e Hκ é o Hamiltoniano de decaimento do fóton na cavidade devido às colisões dos fótons com

as moléculas das paredes da cavidade. Lembrando que neste Hamiltoniano é considerado que o átomo é um dipolo elétrico e os dois primeiros n´ıveis de energia são ‘isolados’ dos demais.

Após formula¸cões de Eletrodinâmica Quântica de Cavidades, novos resultados foram obtidos para gera¸cão de estados de superposi¸cão, como o experimento do grupo do Haroche em 1997 [2], com átomos de

Rydberg em cavidades de microondas, esquematizado na figura (1.2).

Figura 1.2: Esquema de gera¸cão de estado de superposi¸cão em cavidades de microondas [6], onde B é um forno que selecionará átomos de Rydberg com momentos desejados para um tempo de transito ideal nas

cavidades; L é um laser que irá interagir com os átomos, de modo que fiquem todos no estado excitado; Rφ₁ e Rθ

2 s˜ao as zonas de Ramsay, cavidades de baixa qualidade, ou seja, sua taxa de perda ´e maior que a taxa

da alimenta¸cão de radia¸cão do campo, logo elas são continuamente bombeadas com a radia¸cão do campo clássico. Geralmente essas cavidades são de cobre; C é uma cavidade supercondutora com uma radia¸cão de

campo quantizado representado pelo estado coerente |αi; D ´e um detector via ioniza¸c˜ao, podendo detectar o ´

atomo no estado excitado De, ou no estado fundamental Dg.

Os átomos são selecionados com momentos desejados para um certo tempo de trânsito nas cavidades.

Selecionados, os átomos sofrem uma incidência de um laser, de modo que eles ficam excitados, e vão para a primeira cavidade que é uma zona de Ramsay, uma cavidade de baixa qualidade que apenas rotaciona o

estado atˆomico da seguinte maneira

|ei → |gi − |ei√

2 , (1.2)

e o átomo segue o trânsito para a segunda cavidade, que é uma cavidade supercondutora com estado de

(14)

σ−= |gi he|, de modo que a intera¸c˜ao para wct = π, resulta em

exp 1 i¯hHof ft

|gi − |ei √

2 ⊗ |αi →

|gi ⊗ |αi − |ei ⊗ |−αi √

2 . (1.3)

Finalizando a intera¸cão na segunda cavidade, o átomo entra na terceira cavidade, uma outra zona de Ramsay, com mesma propriedades da primeira cavidade rotacionando os estados atômicos, |ei → (|gi − |ei) /√2, |gi → (|gi + |ei) /√2, obtendo

1

2{|gi ⊗ (|αi + |−αi) + |ei ⊗ (|αi − |−αi)} . (1.4)

Finalmente o átomo será detectado num detector via ioniza¸cão no estado excitado |ei ou fundamental |gi, sendo medido zero ou um lógico com probabilidades iguais.

|0i_L≡ |αi + |−αi√

2 , (1.5)

e,

|1i_L≡ |αi − |−αi√

2 . (1.6)

Fazendo este procedimento pela segunda vez é poss´ıvel implementar a opera¸cão lógica quântica CNOT, como demonstraremos no Cap´ıtulo 3 desta disserta¸cão.

Para gerarmos estados de superposi¸cão, mudan¸cas de popula¸cões são indesejadas para a realiza¸cão da opera¸cão. Para isso ser satisfeito, apenas em regimes de intera¸cão fortemente dispersivo pode acontecer, e

apenas em experimentos com átomos de Rydberg e em Eletrodinâmica Quântica de Cavidades em circuitos (circuit CQED), como mostrado na figura (1.3), o diagrama de parâmetros para Eletrodinâmica Quântica de

Cavidades. Neste diagrama vemos as rela¸cões das contantes de acoplamento e dessintonias de frequências de transi¸cões atômicas e frequência do campo da cavidades, e também os regimes alcan¸cáveis em cada sistema

f´ısico.

Com grandes vantagens a Eletrodinˆamica de Quˆantica de Cavidades em Circuitos se sobressai.

Com elementos de circuitos supercondutores, temos um tempo de coerência do campo na cavidade muito grande, forte acoplamento átomo - campo, favorecendo a troca de informa¸cão, permitindo alcan¸car regimes

praticamente imposs´ıveis com experimentos com átomos naturais e em semicondutores (pontos quânticos), e outros, sem contarmos que já estão sendo compactadosna forma de chip, ou uma espécie de circuito integrado.

(15)

Figura 1.3: Diagrama de espa¸co de parâmetro para eletrodinâmica Quântica de Cavidades [11]

Figura 1.4: Eletrodinˆamica de Quˆantica Cavidades em Circuitos (modelo do grupo de Yale University)

Nosso objetivo central nesta disserta¸cão, primeiro é de ter um entendimento da figura (1.4) que se refere a um dispositivo supercondutor acoplado a uma linha de transmissão, de como ela pode ser interpretada

como um experimento de óptica quântica. Isto é o que será feito no Cap´ıtulo 2. Em seguida vem nossa proposta central que é a gera¸cão de estados de superposi¸cão. Diferentemente do experimento do grupo do

(16)

campo de radia¸c˜ao quantizada em nenhum momento. Logo teremos que tomar outra forma de tratamento

do problema. Isso será mostrado no Cap´ıtulo 3, incluindo a relaxa¸cão do sistema com seus efeitos, as possibilidades de realiza¸cões experimentais, e poss´ıvel realiza¸cões das portas lógicas quânticas, Hadamad

(17)

Cap´ıtulo 2

Eletrodinˆ

amica Quˆ

antica de

Cavidades em Circuito

Neste cap´ıtulo apresentaremos uma formula¸cão de um esquema de codifica¸cão espec´ıfico de bit quântico. Este esquema consiste em uma linha de transmissão supercondutora acoplada capacitivamente a

uma fonte e um dreno em seus extremos, os quais, alimentam e dissipam modos de radia¸cão eletromagnética quantizada. Mostramos como se dá o acoplamento capacitivo da linha de transmissão a n´ıveis de carga de um

dispositivo supercondutor. Sob certas condi¸cões podemos considerar apenas 2 n´ıveis de carga do dispositivo, assim constitu´ındo o “ Átomo Artificial” de 2 n´ıveis. A intera¸cão da radia¸cão quantizada e do dispositivo

supercondutor, é então descrita pelo Hamiltoniano de intera¸cão Átomo-Campo, tão importante em diversas aplica¸cões em óptica quântica. O conteúdo que será apresentado é embasado na referência [3].

2.1 Linha de Transmiss˜

ao Supercondutora

Nesta se¸cão mostraremos uma formula¸cão da eletrodinâmica quântica de cavidades em circuitos,

come¸cando com o estudo do comportamento dos modos eletromagnéticos quantizados em apenas uma linha de transmissão supercondutora. Logo após, acoplaremos capacitivamente uma fonte e um dreno aos extremos

da linha de transmiss˜ao, estabelecendo assim um modelo te´orico descrevendo o sistema.

(18)

CAPÍTULO 2. ELETRODIN ÂMICA QU ÂNTICA DE CAVIDADES EM CIRCUITO 7

2.1.1 Quantiza¸

c˜

ao da Voltagem Numa ´

Unica Linha de Transmiss˜

ao

Quando nós transmitimos um sinal de microondas através de uma linha de transmissão de

com-primento L, se o comcom-primento de onda for muito maior do que a dimensão da se¸cão transversal da linha, as cargas sobre na linha de transmissão podem ser consideradas como se estivessem movendo-se em uma

´

unica dimensão, figura (2.1). Os n modos de radia¸cão comportados nesta linha de transmissão podem ser modelados por um conjunto de elementos LC discretos e infinitesimais conhecidos como elementos de circuito

concentrados (lumped circuit). O Lagrangeano do sistema ´e:

Figura 2.1: Modos de vibra¸c˜oes de densidade de carga numa linha de transmiss˜ao

` =X n li2 n 2 − q2 n 2c , (2.1)

onde c é a capacitância e l é a autoindutância da linha do n - ésimo da linha de transmissão. Neste caso a

varia¸cão temporal da carga no nó n do circuito, é dada por ˙qn = in−1− in e in = −P n

m=1q˙m´e a corrente

no n´o. Substituindo no Lagrangeano (2.1), temos

` =X n l(Pn m=1q˙m)2 2 − q2 n 2c . (2.2)

(19)

Como ´e usual neste tipo de sistema faremos uso da natureza infinitesimal destes elementos (os graus de

liberdade do sistema) para levar a equa¸cão (2.2) para o cont´ınuo. Nós definimos a variável

Γ(x, t) = Z x

−L 2

dx0q(x0, t) (2.3)

onde q(x) ´e a densidade linear de carga. Fazendo as substitui¸c˜oes: Pm=1

n qm(t) → Γ(x, t), qn(t) → q(x, t) = ∂Γ

∂x, a densidade de Lagrangeano unidimensional se escreve

= = l ˙Γ 2 2 − 1 2c ∂Γ ∂x 2 . (2.4)

Aqui c e l transformam-se em densidade linear de capacitância e indutância da linha de transmissão, respec-tivamente. Aplicando Euler-Lagrange na (2.4), obtemos

1 c ∂2_Γ ∂x2 − l ∂2_Γ ∂t2 = 0, (2.5)

com condi¸cões de contorno Γ(−L₂, t) = Γ(L₂, t) = 0 devido à neutralidade de carga (linha de transmissão aberta). Esta equa¸cão pode facilmente ser resolvida por separa¸cão de variáveis. A solu¸cão é dada por

Γ(x, t) = r 2 L jcorte X j=1 φj(t)     

cos jπx_L , para j impar, sen jπx_L , para j par

(2.6)

com velocidade ν = 1/√lc, e autofrequências wj = jπν/L. O jcorteé um corte no número de modos impostos

pelo fato da existˆencia de uma estrutura n˜ao exatamente unidimencional.

Substituindo Γ na equa¸c˜ao de movimento (2.5), temos:

¨

φj+ wj2φj= 0 (2.7)

com densidade de Lagrangeano:

=j(φj, ˙φj; t) = l 2 ˙ φ2_j− 1 2c jφ L 2 φ2_j. (2.8)

Com isso podemos obter o Hamiltoniano em fun¸c˜ao de φj e o momentum conjugado canˆonico Pj ≡ ∂=j ∂ ˙φj : <j(Pj, φj; t) = P2 j 2l + 1 2c jπ L 2 φ2_j. (2.9)

Agora para a quantiza¸cão do Hamiltoniano, nós promovemos as variáveis para operadores,

(20)

introduzimos os operadores bosônicos de cria¸cão e aniquila¸cão que requeremhaj, a†j0

i = δjj0. Ap´os alguma ´ agebra n´os obtemos: φj(t) = r ¯ hwjc 2 L jπ h aj(t) + a†j(t) i (2.10) Pj(t) = −i r ¯ hwjl 2 h aj(t) − a†j(t) i (2.11)

que, se substitu´ıdos no Hamiltoniano da (2.9), dá o Hamiltoniano diagonalizado análogo ao do oscilador harmônico <j(t) = ¯hwj a†_j(t)aj(t) + 1 2 . (2.12)

Portanto a solu¸c˜ao final para Γ ´e escrita como

Γ(x, t) = jcorte X j=1 r ¯ hwjc L L jπ h aj(t) + a†j(t) i      cos jπx_L para j ´ımpar sen jπx_L para j par (2.13)

e a voltagem na linha de transmiss˜ao:

V (x, t) = 1 c ∂Γ(x, t) ∂x = jcorte X j=1 r ¯ hwj Lc h aj(t) + a†j(t) i      −sin jπx_L para j ´ımpar cos jπx_L para j par (2.14)

2.1.2 Acoplando a Linha de Transmiss˜

ao Capacitivamente `

a Fonte e ao Dreno

Para investigarmos as caracter´ısticas da linha de transmiss˜ao acoplada ao meio externo, n´os

pode-mos colocar uma linha transmissão semi-infinita em cada extremo dela, figura (2.2). Sabendo que teremos uma certa distância entre as linhas de transmissão, também haverá uma capacitância de acoplamento C0.

Figura 2.2: Acoplamento da linha de transmiss˜ao a mais duas linhas em seus extremos

Por simplicidade, nós assumimos que as duas linhas de transmissão semi-infinitas acopladas à linha

de transmissão são todas de mesmas densidades de indutância e capacitância.

Incluindo a energia armazenada no acoplamento capacitivo, a densidade de Lagrangeano fica:

= = l ˙Γ 2 2 − 1 2c ∂Γ ∂x 2 − Γ 2 2C0 δ x −L 2 + δ x + L 2 , (2.15)

(21)

onde C0 é a capacitância dos dois acoplamentos nos extremos da linha de transmissão central que são

assumidos como idênticos. A equa¸cão de Euler-Lagrange é:

1 c ∂2_Γ ∂x2 − Γ C0 δ x −L 2 + δ x + L 2 − l∂ 2_Γ ∂t2 = 0. (2.16)

Aqui n´os podemos ver todo o sistema como comprimido numa linha de transmiss˜ao infinita com

descontinui-dades δ x −L₂ e δ x +L

2 devido aos acoplamentos capacitivos. De fato, a equa¸c˜ao ainda ´e a mesma que a

de Euler-Lagrange para uma única linha de transmissão, mas agora com condi¸cões de contorno determinadas

pela rela¸c˜ao entre os efeitos dos acoplamentos capacitivos e a voltagem ao longo dos extremos da linha de transmiss˜ao. Analisando a descontinuidade na primeira derivada:

1 c Z −L₂+ξ −L 2−ξ dx∂ 2_Γ ∂x2 − 1 C0 Z −L₂+ξ −L 2−ξ dxΓ δ x − L 2 + δ x +L 2 − l Z −L₂+ξ −L 2−ξ dx∂ 2_Γ ∂t2 = 0, (2.17) 1 c Z L2+ξ L 2−ξ dx∂ 2_Γ ∂x2 − 1 C0 Z L2+ξ L 2−ξ dxΓ δ x −L 2 + δ x + L 2 − l Z L2+ξ L 2−ξ dx∂ 2_Γ ∂t2 = 0, (2.18) fazendo ξ → 0, teremos: 1 c   ∂Γ−L 2d ∂x − ∂Γ−L 2e ∂x  = 1 C0 Γ −L 2d = 1 C0 Γ −L 2e (2.19) 1 c   ∂Γ₂L d ∂x − ∂Γ₂L e ∂x  = 1 C0 Γ L 2d = 1 C0 Γ L 2e . (2.20)

Aqui d e e s˜ao os lados direito e esquerdo dos capacitores formados devido aos acoplamentos. Este problema ´e

análogo ao da equa¸cão de Schrodinger com potencial delta. A solu¸cão da parte espacial com modos simétricos é da forma Γs(x) =            Bcos (kx + δk) para x ≥ L₂ Acos (kx) para −L 2 ≤ x ≤ L 2 Bcos (kx − δk) para x ≤ −L₂ (2.21)

aqui o deslocamento de fase δk, ´e a diferen¸ca de fase entre o modo de entrada e de sa´ıda da linha de transmiss˜ao

central. Com as condi¸cões de contorno, obtemos o coeficiente de transmissão T (k) da linha de transmissão

central, T (k) ≡ A 2 B2 = 1 1 + c2 k2_C2 0 cos2 kL 2 − 2c kC0sen kL 2 cos kL 2 . (2.22)

(22)

Figura 2.3: Coeficiente de transmiss˜ao como fun¸c˜ao do no_{de onda (T (k) versus k). Para L = 1 e c/C} 0= 10

Na figura (2.3) mostramos o comportamento do coeficiente de transmissão em fun¸cão do número de onda para modos simétricos. Note que temos picos periódicos. Esses picos ocorrem em situa¸cões de ressonâncias

quando k ´e multiplo de π.

A figura (2.4) mostra o deslocamento de fase

δk = tan−1 tan kL 2 − c kC0 −kL 2 , (2.23)

em fun¸cão do número de onda para modos simétricos. Note que temos saltos nos mesmos pontos dos picos

do coeficiente de transmissão. Isso mostra que em situa¸cões de ressonância a diferen¸ca de fase entre o modo de entrada e de sa´ıda da linha de transmissão zera.

2.1.3 Quantiza¸

c˜

ao do Sistema Acoplado

Para derivar o Hamiltoniano para o sistema incuindo os acoplamentos das linhas de transmiss˜oes,

n´os podemos iniciar reescrevendo o Lagrangeano total

`T L= Z +∞ −∞ dx= ˙ Γ,∂Γ ∂x, Γ (2.24)

(23)

Figura 2.4: Este é o gráfico do deslocamento de fase (ou defesagem) em fun¸cão do node onda (δkvs k). Para

L = 1 e c/C0= 60

substituindo a densidade de Lagrangeano da (eq. 2.15), reescrevemos

`T L= Z +∞ −∞ dx " l 2 ˙ Γ2− 1 2c ∂Γ ∂x 2# − C0 2c2 " ∂Γ(L 2d) ∂x − ∂Γ(₂L e) ∂x #2 − C0 2c2 " ∂Γ(−L 2d) ∂x − ∂Γ(−₂L e) ∂x #2 . (2.25)

A densidade de lagrangeano em fun¸cão de variáveis cont´ınuas Γ, integra¸cão é feita em todo espa¸co. Aqui d e e são os lados direito e esquerdo dos capacitores formados devido aos acoplamentos. Com isso passamos a ter a descontinuidade na primeira derivada nos extremos da linha de transmissão central da seguinte maneira:

1 c ∂ΓC −L₂ ∂x = ΓC −L₂ C0 , (2.26) 1 c ∂ΓC L₂ ∂x = ΓC L₂ C0 . (2.27)

De novo nós apenas olhamos para o modo simétrico fundamental. A equa¸cão produz uma solu¸cão a ser

determinada numericamente, ou graficamente por

tan kL 2 = c C0k . (2.28)

O gráfico na figura(2.5) representa as fun¸cões da equa¸cão (2.28) em fun¸cão de k, onde a curva cont´ınua é a fun¸cão tan kL₂ e a pontilhada é a fun¸cão c

C0k, isso para L = 1 e c/C0= 60. A primeira solu¸c˜ao n˜ao negativa

(24)

Figura 2.5: Solu¸c˜ao gr´afica para a (2.28)

k ≈ π

L(1 − 2), (2.29)

onde definimos = C0/Lc,

w = νk ≈ πν

L (1 − 2). (2.30)

Agora aplicando o mesmo procedimento que foi usado para apenas uma linha de transmiss˜ao, teremos: ΓC(x, t) r ¯ hwc L L πcos(kx)a †_{(t) + a(t)} (2.31)

e a voltagem nos extremos da linha de transmiss˜ao ser´a

VC ±L 2 =1 c ∂Γ0 ±L₂ ∂x = ∓ r ¯ hw Lc(1 − 2) 1 −π 22 2 a†_{(t) + a(t) .} _(2.32)

O mesmo pode ser feito nas duas linhas de transmiss˜ao semi-infinitas. Resolvendo a linha de

transmiss˜ao do lado direito, com a condi¸c˜ao de contorno: 1 c ∂ΓR L₂ ∂x = ΓR L₂ C0 , (2.33) leva ao resultado: ΓR(x, t) = X q s ¯ hwqc Linf 1 qsen q x − L 2 + δq b† q(t) + bq(t) , (2.34)

(25)

onde Linf é o comprimento da linha de transmissão semi-infinita. A frequência wq e o deslocamento de fase

δq s˜ao dado por: wq= νq, (2.35) δq= tan−1 C0q c . (2.36)

Embora pare¸ca que o acoplamento capacitivo não cause a troca de freqüências nas linhas de transmissão

semi-infinitas, de fato há uma pequena mudan¸ca de fase para todos os modos delas. A voltagem na linha de transmissão do lado direito será

VR( L 2, t) = X q s ¯ hwq Linfc cos (δq)b†q(t) + bq(t) , (2.37) quando C0/Lc << 1, cos(δq) ≈ 1.

Lembrando que a solu¸cão é simétrica, podemos afirmar que a solu¸cão da linha da transmissão do lado esquerdo seja a mesma do lado direito. Agora nós podemos concluir a constru¸cão do modelo teórico para

a linha de transmiss˜ao acoplada a duas linhas de transmiss˜ao semi-infinitas em cada extremo, escrevendo abaixo o Hamiltoniano diretamente do Lagrangeano total:

HT L = ¯hwa†a + ¯h X q wqb†q,Lbq,L+ ¯h X q wqb†q,Rbq,R − ¯hX q λq(a†+ a)(b†q,L+ bq,L) + ¯h X q λq(a†+ a)(b†q,R+ bq,R), (2.38)

no qual as frequências w (2.30) e wq (2.34) são dadas acima, e os novos parâmetros são

¯ hλq = C0 r ¯ hw Lc s ¯ hwq Linfc (1 − 2) 1 − π 22 2 cos(δq) ≈ C0¯h c r w L r _w q Linf . (2.39)

Na representa¸c˜ao de intera¸c˜ao, os termos do Hamiltoniano abq ou a†b†q oscilam rapidamente devido

`

a presen¸ca do termo exp[±i(w + wq)t]. Na maioria dos casos a sua contribui¸c˜ao pode ser desprezada. Fazendo

aproxima¸c˜ao, chamada de aproxima¸c˜ao de onda girante, o Hamiltoniano final fica:

HT L = ¯hwca†a + ¯h X q wqb†q,Lbq,L+ ¯h X q wqb†q,Rbq,R − ¯hX q λq(ab†q,L+ a †_b q,L) + ¯h X q λq(ab†q,R+ a †_b q,R) (2.40)

Assim vemos que cada modo da cavidade é acoplado aos modos q da fonte e do dreno. Note que agora a linha da transmissão central atua como um ressonador com frequência do campo wc, e os dispositivos acoplados

(26)

Baseando em bombeamento cl´assico de cavidades [5] podemos reescrever o Hamiltoniano da seguinte

maneira: HT L= ¯hwca†a + ¯h X q wqb†qbq+ ¯h X q λq(ab†q+ a †_b q) + ¯h Fexp[−iwt]a†+ F∗exp[iwt]a (2.41)

onde wc é a frequência do campo na cavidade (ressonador), wq são as frequências dos modos q do dreno,

w é a frequência de oscila¸cão da fonte, λq é a constante de acoplamento cavidade-dreno, e F é a constante

de acoplamento do bombeamento da fonte do campo cl´assico na cavidade. Os operadores a(a†) e bq(b†q) s˜ao

operadores bosônicos de aniquila¸cão (cria¸cão) do modo do campo da cavidade e do dreno.

2.2 “ ´

Atomo Artificial”

Nesta se¸cão apresentaremos o “ Átomo Artificial”, que consiste em um dispositivo supercondutor ensanduichando uma jun¸cão conhecida como Jun¸cão Josephson, na qual um lado supercondutor fica com n

Pares de Cooper e o outro fica conectado ao ‘terra’. Montaremos o Hamiltoniano do “ ´Atomo Artificial”. Logo depois o diagonalizaremos e mostraremos que o problema pode ser reduzido para um sistema de dois

n´ıveis.

(27)

2.2.1 Caixa de Pares de Cooper

Uma Caixa de Pares de Cooper é basicamente uma ilha supercondutora conectada a um terra via Jun¸cão Josephson composta por n pares de Cooper, veja a figura (2.7). Cada Par de Cooper é composto por

2 el´etrons. Para come¸carmos a estudar o Hamiltoniano do “ ´Atomo Artificial”, temos que entender o processo

Figura 2.7: Modelo esquemático para o bit quântico de estado sólido

(28)

2.2.2 Energia de Carregamento

Vamos considerar o circuito da figura (2.7). Assumimos que na ilha haja excesso de n pares de Cooper e a diferen¸ca de potencial V (n),

−2ne = Cg(V (n) − Vg) + CjV (n). (2.42)

Isolando a diferen¸ca de potencial obtemos

V (n) = CgVg− 2ne CΣ

, (2.43)

onde CΣ= Cg+ Cj. Note que a diferen¸ca de potencial causar´a o excesso de pares de Cooper. Portanto a

energia necess´aria para deslocar ∆n pares de Cooper na ilha ´e:

E(n + ∆n) − E(n) = −2e Z ∆n 0 V (n + n0)dn0= 2e 2_(∆n)2_{+ 4e}2_{n∆n − 2eC} gVg∆n CΣ . (2.44)

Para facilitar o manuseio deste aspecto, usamos:

E(0) = 1 2CΣ

(CgVg) 2

. (2.45)

Então para n arbitrário, a energia de carga é

E(n) = 4EC(n − ng) 2

, (2.46)

onde a energia de carregamento de um único elétron é definido como EC ≡ e2/2CΣ e a carga de porta em

ng≡ CgVg/2e que tem unidade adimensional.

2.2.3 Tunelamento Josephson (com uma Jun¸

c˜

ao Josephson)

O Hamiltoniano que descreve o tunelamento Josephson ´e dado por

HJ = −

Z dϕ1

Z

dϕ2|ϕ1, ϕ2i EJcos (ϕ1− ϕ2) hϕ1, ϕ2| , (2.47)

onde, ϕ1e ϕ2são as fases nos dois lados das jun¸cões e EJé a energia Josephson. Para nossa finalidade é mais

´

util transformar este Hamiltoniano para a base de n´umero. Inserindo as completezas das bases de n´umeros, obtemos: HJ = − X n1,n2,n3,n4 Z dϕ1 Z dϕ2|n1, n2i hn1, n2|ϕ1, ϕ2i EJcos (ϕ1− ϕ2) hϕ1, ϕ2| n3, n4i hn3, n4| (2.48)

(29)

CAPÍTULO 2. ELETRODIN ÂMICA QU ÂNTICA DE CAVIDADES EM CIRCUITO 18 HJ = − EJ 8π2 X n1,n2,n3,n4 Z 2π 0 dϕ1exp[−i(n1− n3)ϕ1] Z 2π 0 dϕ2|n1, n2i hn3, n4| × exp[−i(n2− n4)ϕ2] × (exp[i(ϕ1− ϕ2)] + exp[−i(ϕ1− ϕ2)]) , (2.49) obtendo, HJ = − EJ 2 X n1,n2 (|n1, n2i hn1− 1, n2+ 1| + |n1, n2i hn1+ 1, n2− 1|) , (2.50)

aqui o estado de vetores |n1, n2i exibe o n´umero de pares nos dois lados da jun¸c˜ao. O resultado significa

que o tunelamento Josephson ´e simplesmente a passagem de pares de Cooper de uma lado para o outro da

jun¸cão um a um. Um lado da jun¸cão numa Caixa de Pares de Cooper corresponderá ao n1. O outro lado

supercondutor conectado ao ‘terra’ corresponder´a ao n2. Devido ao car´ater do ‘terra’ que consiste em um

reservat´orio de cargas com capacidade de infinitas cargas, podemos considerar n2 ≈ n2± 1, resultando no

seguinte Hamiltoniano de Josephson

HJ = − EJ 2 X n |ni hn + 1| + |n + 1i hn| . (2.51)

2.2.4 Tunelamento Josephson (com duas Jun¸

c˜

oes Josephson)

De acordo com a referêcia [12], quando temos o circuito como na figura (2.8), podemos fazer o tratamento de aproxima¸cão de SQUID. Considerando as duas ju¸cões indênticas, a diferen¸ca passa a ser só na energia de tunelamento: EJ =⇒ 2EJcos πΦx(t) Φ0 , (2.52)

onde EJ é o valor máximo da energia de tunelemento e Φ0 é o fluxo quântico [17].

Φ0=

hc

2e = 2.07 × 10

−7_G/cm2_. _(2.53)

Agora a energia de tunelamento do “ ´Atomo Artificial” passa a depender de um fluxo do campo magn´etico

(30)

Figura 2.8: Circuito com 2 Jun¸c˜oes Josephson

2.2.5 Hamiltoniano do “ ´

Atomo Artificial”

Juntando as contribui¸cões da energia de cada valor de n (2.46), e a contribui¸cão de tunelamento (2.51) levando - se em conta o fluxo variável (2.52), temos:

Em experimentos reais, EC e EJ tem que ser bem maior que a energia t´ermica kBT . Assim desprezamos

as flutua¸c˜oes t´ermicas e EC deve ser menor do que o gap de energia supercondutora pera evitar indesejadas

excita¸cões. Também nós escolhemos trabalhar no limite de carga, que corresponde a EC > EJ, de modo

que a energia de carga ´e dominante [12]. A figura (2.9), representa a energia dos dois primeiros n´ıveis de

autoenergias do Hamiltoniano em fun¸c˜ao da carga de porta para energia de tunelamento nula (Φx= Φ0/2),

sendo mostrada a degenerescˆencia quando ng = 0.5. Veremos mais adiante a figura (2.11) que representa

a energia dos dois primeiros n´ıveis de autoenergias do Hamiltoniano em fun¸cão da carga de porta quando temos a energia de tunelamento não nula. Note que a energia de tunelamento quebra a degenerescência em

(31)

Figura 2.9: Auto energias em fun¸c˜ao da carga (com a energia de tunelamento nula)

2.3 Acoplamento do “ ´

Atomo Artificial” com a Linha de

Trans-miss˜

ao

Este modelo de acoplamento foi demonstrado teoricamente e experimentalmente em 2004 [3] e [4]. Neste acoplamento como mostra a figura (2.10), notamos que a linha de transmiss˜ao central ´e o ressonador,

as outras duas acopladas, são a fonte e o dreno de radia¸cão. O átomo é o dispositivo composto por 2 jun¸cões Josephson, uma ilha de pares de Cooper acoplada capacitivamente à linha de transmissão, e um

loop conectado ao ‘terra’ servindo como um reservat´orio de carga com capacidade de infinitas cargas. Neste sistema ser´a considerado apenas dois n´ıveis, devido ao gap que existe para os demais n´ıveis de energias do

supercondutor estar fora de sintonia com qualquer frequência dos modos do campo de radia¸cão, que serão considerados posteriormente.

Iniciando o argumento teórico do acoplamento “ Átomo Artificial”-Campo, o Hamiltoniano da Caixa de Pares de Cooper (2.54) em nota¸cão de bit quântico, é escrito como

Hqb= (E1− E0)σz− EJcos πΦx(t) Φ0 σx, (2.55)

σx_{= |1i h0| + |0i h1| e σ}z_{= |0i h0| − |1i h1|.}

(32)

Figura 2.10: Modelo do acoplamento

enegias de carga:

En+1− En= 2EC(n + 1 − ng)2− (n − ng)2 ,

para n = 0

E1− E0= 2EC(1 − 2ng).

A voltagem de carga passa a ser a diferen¸ca de potencial da linha de transmiss˜ao (2.14). Devido ao primeiro

modo ser nulo no centro do ressonador, onde é posicionado o “ Átomo”, o modo de acoplamento será o segundo modo do ressonador. Sendo assim o acoplamento “ Átomo Artificial” e o campo do ressonador fica:

HA−C= −4ECngσz= − 2ECCg e σ z r ¯ hw2 Lc a†₂+ a2 cos (π) = eCg CΣ σz r ¯ hw2 Lc a†₂+ a2 . (2.56)

O Hamiltoniano completo do sistema para o caso especial para o bit quântico com apenas um modo acoplado ao “ Átomo artificial” no centro da linha de transmissão é:

H_|0i,|1i = −EJcos

πΦx(t) Φ0 σx+ ¯hgσz a†+ a + ¯hwca†a + ¯hX q wqb†qbq+ ¯h X q

(33)

CAPÍTULO 2. ELETRODIN ÂMICA QU ÂNTICA DE CAVIDADES EM CIRCUITO 22 onde ¯ hg = eCg cΣ r ¯ hw Lc. (2.58)

O Hamiltoniano H|0i,|1i est´a expresso na base dos Pares de Cooper, demonstrados na figura (2.11), σx =

|1i h0| + |0i h1| e σz_{= |0i h0| − |1i h1|.}

Figura 2.11: N´ıveis de energia x carga de porta

Mudando a base atˆomica para uma nova representa¸c˜ao, figura (2.12):

σz→ σx_{, σ}x_{→ −σ}z_. _(2.59)

Assim os trˆes primeiros termos do Hamiltoniano H|0i,|1i tornam-se:

EJcos πΦx(t) Φ0 σz+ ¯hwca†a + ¯hgσx a†+ a (2.60)

com σx_{= |+i h−| + |−i h+| e σ}z_{= |−i h−| − |+i h+|, representado numa nova base, (2.60) torna-se o famoso}

Hamiltoniano de intera¸c˜ao `atomo-campo para dois n´ıveis, justificando o motivo do ‘apelido’ do dispositivo.

A figura (2.10), representa um sistema similar ao que pode ser encontrado em eletrodinâmica quântica de cavidades, onde um átomo de dois n´ıveis passa através de uma cavidade ressonante. Os parâmetros

importantes são a intera¸cão átomo - campo com constante g, a taxa de decaimento κ do fóton (devido ao acoplamento de cada modo do campo com os modos da parede da cavidade), e a taxa de decaimento γ do

(34)

Figura 2.12: N´ıveis de energia x carga de porta

´

atomo (devido ao acoplamento do modos do ´atomo com o v´acuo). Em seguida vemos um comportamento

quˆantico mais interessante, no limite de forte acoplamento no sistema, quando g >> γ, κ.

O dreno está relacionado à dissipa¸cão dos modos do campo da cavidade e ao acoplamento do

modo do átomo com os modos do vácuo. Neste modelo espec´ıfico a dissipa¸cão se deve ao caráter indutivo do “ Átomo Artificial” com o ressonador, resultando a mesma relaxa¸cão do sistema. Devido aos efeitos

térmicos de um sistema real, poderemos inverter os estados em qualquer situa¸cão (excitado-fundamental ou fundamental-excitado). O Hamiltoniano de intera¸cão na dissipa¸cão no átomo HA−R está descrito na base de

|0i e |1i

H_{(“ ´}_{AtomoArtif icial}00_{−Reservat´}_orio)= HA−R= σz⊗ χreservat´orio= ¯h

X k λkσz a†_k+ ak , (2.61)

onde λk é a constante de acoplamento dos modos atômicos com os modos da dissipa¸cão.

Foi mostrado uma analogia do circuito supercondutor espec´ıfico com Eletrodinˆamica Quˆantica de

Cavidades, respeitando todas as propriedades f´ısicas existentes no sistemas, onde podemos fazer diversas propostas de experimentos de ´Optica Quˆantica.

(35)

Cap´ıtulo 3

´

Optica Quˆ

antica em Circuitos

El´

etricos

Neste cap´ıtulo apresentaremos uma formula¸cão de gera¸cão de estado de superposi¸cão do campo coerente numa cavidade ressonante unidimensional. Esta gera¸cão se deve à intera¸cão entre o campo com

o “ Átomo Artificial”. Devido à manipula¸cão temporal na frequência de transi¸cão atômica com um fluxo magnético clássico aplicado sobre o átomo, diferentes fases e amplitudes serão alteradas no campo de acordo

com o dado estado atômico. Com o modelo teórico apresentado, faremos a proposta experimental para gera¸cão de estados de superposi¸cão do campo coerente do ressonador e poss´ıvel realiza¸cão da opera¸cão da

porta lógica quântica, Hadamad para um bit quântico, e Não - Controlada (CNOT) para dois bits quânticos em Eletrodinâmica Quântica de Cavidades em Circuito Supercondutor no regime fortemente dispersivo.

3.1 O Hamiltoniano

Nesta se¸c˜ao partiremos do Hamiltoniano (2.60). Faremos uma mudan¸ca de base nos operadores

deste Hamiltoniano, para um melhor estudo do sistema.

H = ¯hwca†a + EJcos πΦx(t) Φ0 σz+ ¯hg a†σ−+ aσ++ aσ−+ a†σ+ . (3.1) 24

(36)

CAP´ITULO 3. OPTICA QU ˆ´ ANTICA EM CIRCUITOS EL ´ETRICOS 25

Respeitando a equa¸c˜ao de Schr¨odinger

H |ψi = i¯h∂

∂t|ψi , (3.2)

na qual substituindo o Hamiltoniano (3.1), e rotacionando com o campo da cavidade, temos:

expiwca†at Hexp −iwca†at exp iwca†at |ψi = i¯hexp iwca†at

∂

∂texp−iwca

†_{at exp iw}

ca†at |ψi ,

onde definimos:

expiwca†at |ψi =

˜

ψE. (3.3)

Com a representa¸cão da equa¸cão de Schrödinger nesta nova base:

EJcos πΦx(t) Φ0 σz ˜

ψE + ¯hg a†exp [iwct] σ−+ aexp [−iwct] σ−+ aexp [−iwct] σ++ a†exp [iwct] σ+

˜ ψE = i¯h∂ ∂t ˜ ψE.

Agora rotacionaremos os estados atˆomicos para uma nova base:

exp [iwcσzt] × × EJcos πΦx(t) Φ0

σz+ ¯hgσx a†exp [iwct] + aexp [−iwct]

× exp [−iwcσzt] exp [iwcσzt]

˜ ψE

= i¯hexp [iwcσzt]

∂ ∂texp [−iwcσ z_{t] exp [iw} cσzt] ˜ ψE, sendo, exp [iwcσzt] ˜ ψE=ψ´ . (3.4) Isto resulta em σz EJcos πΦ0(t) Φ0 − ¯hwc + ¯hg ã†˜σ−+ ã˜σ++ ã†σ˜++ ã˜σ− ψ´ = i¯h∂ ∂t ψ´ ,

onde, ˜a† = a†exp [iwct], ˜a = aexp [−iwct], ˜σ+ = σ+exp [2iwct] e ˜σ− = σ−exp [−2iwct] respectvamente.

Agora temos uma base ´otima para estudarmos o sistema no regime fortemente dispersivo, que veremos na

pr´oxima se¸c˜ao, ou seja, o Hamiltoniano transformado se escreve

H0 = σz EJcos πΦ0(t) Φ0 − ¯hwc + ¯hg ã†σ˜−+ ã˜σ++ ã†σ˜++ ã˜σ− . (3.5) Vale lembrar que fases nos autoestados devido às rota¸cões de base, são fases globais. Na solu¸cão da equa¸cão de Schrödinger temos que o termo dependente do tempo dificulta o processo, vamos para isso

(37)

3.2 Teoria de Perturba¸

c˜

ao Dependente do Tempo

Nesta se¸cão faremos uma breve revisão de teoria de perturba¸cão dependente do tempo [13].Se tivemos um Hamiltoniano escrito como

HS= H0S(t) + VS, (3.6)

dados pelo Hamiltoniano de intera¸c˜ao VS_{, e por H}S

0(t) que ´e dependente explicitamente do tempo, tal que

H0S(t) >> VS. Como auto estado temos

|ψS(t)i = U0(t, t0) |ψI(t)i . (3.7)

o que leva `a equa¸c˜ao:

i¯h∂U0 ∂t = H S 0(t)U0, (3.8) com U0(t, t0) = exp −i ¯ h Z t t0 h H₀S(t0)idt0 (3.9)

s´o ´e valido seH(t), H(t‘_{) = 0, tal que}

U₀†= U₀−1, (3.10)

implicando em

U0(t0, t0) = 1. (3.11)

Analisando com a perturba¸c˜ao temos que

i¯h∂ ∂t|ψSi =H S 0(t) + V S_|ψ Si (3.12) i¯h ∂U0 ∂t |ψIi + U0 ∂ |ψIi ∂t =HS 0 + V S_U 0|ψIi (3.13) i¯h∂ ∂t|ψI(t)i = V I_{(t) |ψ} I(t)i , (3.14) onde, VI_{(t) = U}† 0V S_U

0 e hV i = hψI(t)| VI(t) |ψI(t)i. Continuando a an´alise da perturba¸c˜ao:

i¯h∂V I ∂t = U0V S_i¯_h∂U0 ∂t + i¯h ∂U₀† ∂t V S_U 0+ U0†i¯h ∂VS ∂t U0= U † 0V S_HS 0U0− U0†H S 0V S_U 0+ U0i¯h ∂VS ∂t U0. (3.15)

(38)

Respeitando a rela¸c˜ao [H0, U0] = 0, tal que H0S = H0I, temos

i¯h∂V I ∂t =V I_{, H}I 0 + U † 0i¯h ∂VS ∂t U0=V I_{, H}S 0 + U † 0i¯h ∂VS ∂t U0. (3.16) Se ∂VS

∂t = 0 a equa¸cão se reduz à equa¸cão de Heisenberg de movimento. Com o autoestado da representa¸cão

de intera¸cão podemos fazer um estudo da influência devido à perturba¸cão com um novo operador unitário

|ψI(t)i = U (t, t0) |ψS(t0)i , (3.17) |ψI(t0)i = |ψS(t0, t0)i , (3.18) i¯h∂U ∂t = V I_(t)U, _(3.19) obtendo U (t, t0) = 1 + 1 i¯h Z t t0 h VI(t0)U (t0, t0) i dt0 (3.20) U (t0, t0) = 1 (3.21) U (t0, t0) = 1 + 1 i¯h Z t t0 h VI(t00)U (t00, t0) i dt00 (3.22)

Substituindo a equa¸c˜ao (3.22) na (3.20), obtemos:

U (t, t0) = 1 + 1 i¯h Z t t0 VI (t1) dt1+ 1 (i¯h)2 Z t t0 VI (t1) dt1 Z t1 t0 VI (t2) dt2U (t2, t0). (3.23)

Fazendo este procedimento n vezes, interativamente obtemos a s´erie de Dyson

U = 1 + ∞ X n=1 1 (i¯h)n Z t t0 dt1 Z t1 t0 dt2. . . Z tn−1 t0 dtnVI(t1)VI(t2) . . . VI(tn). (3.24)

Daqui em diante analisaremos os efeitos da perturba¸c˜ao em um sistema fortemente dispersivo num sistema

de Eletrodinˆamica Quˆantica de Cavidades em Circuitos.

3.3 Propriedades de Gera¸

c˜

ao de Estado de Superposi¸

c˜

ao

Nesta se¸c˜ao faremos um tratamento perturbativo dependente do tempo no Hamiltoniano (3.5), no

qual trabalharemos num regime fortemente dispersivo com uma dessintonia entre a frequência da cavidade e a frequência de transi¸cão atômica bem maior que a constante de acoplamento, ao mesmo tempo, menor que qualquer transi¸cão energética de n´ıveis atômicos

r 8ECEJcos h πΦx(t) Φ0 i >> EJcos h πΦx(t) Φ0 i − ¯hwc >> ¯hg.

(39)

Consideramos (3.5) como sendo da forma (3.6) onde HS 0 = σz EJcos h πΦx(t) Φ0 i − ¯hwc , U0(t, t0) = exp iσzRt t0 wc− EJcos πΦx(t 0 ) Φ0 dt0

, e VS _{= ¯}_{hg ˜}_a†_σ_˜−_{+ ˜}_a˜_σ+_{+ ˜}_a†_˜_σ+_{+ ˜}_a˜_σ−_{, demonstrados}

teorica-mente na se¸c˜ao anterior.

Aqui adotaremos a fun¸c˜ao temporal do pulso de fluxo magn´etico na seguinte forma:

Φx(t) = A

Φ0

2 exp [iσt] , (3.25)

onde A é um parâmetro adimensional, σ é a frequência do pulso, e Φ0é o fluxo quâtico. Tomando t0= 0, os

termos de primeira ordem da equa¸c˜ao (3.24), para , s˜ao dados por

σ+a Z t 0 dt1exp " −2i Z t1 0 dt0 " wc− EJ ¯ h cos " πΦx(t 0 ) Φ0 ##! + iwct1 # + σ−a† Z t 0 dt1exp " 2i Z t1 0 dt0 " wc− EJ ¯ h cos " πΦx(t 0 ) Φ0 ##! − iwct1 # + σ+a† Z t 0 dt1exp " −2i Z t1 0 dt0 " wc− EJ ¯ h cos " πΦx(t 0 ) Φ0 ##! + 3iwct1 # + σ−a Z t 0 dt1exp " 2i Z t1 0 dt0 " wc− EJ ¯ h cos " πΦx(t 0 ) Φ0 ##! − 3iwct1 # (3.26)

Para uma fun¸cão de U (t) com t pequeno (até o primeiro meio per´ıodo de oscila¸cão), podemos desprezar o termo de primeira ordem e considerar apenas o termo de segunda ordem da equa¸cão (3.24).

Vamos dar in´ıcio ao estudo da mudan¸ca no comportamento do campo coerente devido ao acoplamento com um “ ´Atomo Artificial” de dois n´ıveis sujeito ao pulso de fluxo magn´etico.

U (t) |ψ(0)i = U (t) ψ“ ´AtomoArtif icial00 E ⊗ |αi |{z} CampodoRessonador. , (3.27)

onde, atuando U (t) nos estados atˆomicos nas bases |+i e |−i teremos

U (t) |−i |αi = −g2a†σ−aσ+F (t) + aσ−a†σ+G(t) |−i |αi , (3.28)

U (t) |+i |αi = −g2nσ+aa†σ−F0(t) + a†σ+aσ−G0(t)o|+i |αi (3.29)

onde, F (t) = Z t 0 dt1exp " 2i Z t1 0 dt0 " wc− EJ ¯ h cos " πΦx(t 0 ) Φ0 ##! + iwct1 # × Z t1 0 dt2exp " −2i Z t2 0 dt00 " wc− EJ ¯ h cos " πΦx(t 00 ) Φ0 ##! − iwct2 # , (3.30)

(40)

CAP´ITULO 3. OPTICA QU ˆ´ ANTICA EM CIRCUITOS EL ´ETRICOS 29 G(t) = Z t 0 dt1exp " 2i Z t1 0 dt0 " wc− EJ ¯ h cos " πΦx(t 0 ) Φ0 ##! − iwct1 # × Z t1 0 dt2exp " −2i Z t2 0 dt00 " wc− EJ ¯ h cos " πΦx(t 00 ) Φ0 ##! + iwct2 # , (3.31) F0(t) = Z t 0 dt1exp " −2i Z t1 0 dt0 " wc− EJ ¯ h cos " πΦx(t 0 ) Φ0 ##! − iwct1 # × Z t1 0 dt2exp " 2i Z t2 0 dt00 " wc− EJ ¯ h cos " πΦx(t 00 ) Φ0 ##! + iwct2 # , (3.32) e G0(t) = Z t 0 dt1exp " −2i Z t1 0 dt0 " wc− EJ ¯ h cos " πΦx(t 0 ) Φ0 ##! + iwct1 # × Z t1 0 dt2exp " 2i Z t2 0 dt00 " wc− EJ ¯ h cos " πΦx(t 00 ) Φ0 ##! − iwct2 # . (3.33)

Podemos reescrever as equa¸c˜oes (3.28) e (3.29):

U (t) |−i |αi = −g2G(t) + (F (t) + G(t)) aa† |−i |αi , (3.34)

U (t) |+i |αi = −g2nF0(t) +F0(t) + G0(t)aa†o|+i |αi . (3.35)

Fazendo a seguinte aproxima¸cão nas equa¸cões (3.34) e (3.35), tal que o número médio de fótons seja pequeno, obtemos

− g 2 G(t) | {z } F aseGlobal 1 + 1 + F (t) G(t) a†a | {z } ≈exp 1+F (t)_G(t)a†_a

|−i |αi −→ |−i |αexp [θ−(t)]i , (3.36)

− g 2 F0 (t) | {z } F aseGlobal ( 1 + 1 + G 0 (t) F0 (t) ! a†a ) | {z } ≈exp h 1+G 0 (t) F0(t) a†_a i

|+i |αi −→ |+i |αexp [θ+(t)]i . (3.37)

Portanto esta intera¸c˜ao permitiu que uma fase condiocionada ao estado atˆomico fosse impressa ao

(41)

EJ << EC << ∆, T ≈ 30mK, KBT ≈ 3µeV , EJ/¯h ≈ 15, 9 × 1010Hz, EC = 250µeV e ∆ ≈ 458, 3µeV .

Onde ∆ é o gap de energia supercondutora. A fun¸cão temporal do pulso de fluxo magnético é a que foi mencionada na equa¸cão (3.25), com os parâmetros A = 0, 7, wc= 70, 7 × 1010Hz e σ variável para um estudo

melhor ( mais amplo) do modelo. Lembrando que para nossas contas usaremos

cos πΦx(t) Φ0 = 1 − 1 2! πΦx(t) Φ0 2 + . . . |{z} truncado . (3.38) Sendo θ+(t) = 1 +F (t)_G(t) e θ−(t) = 1 + G 0 (t)

F0(t), tem contribui¸c˜ao na dinˆamica do estado coerente de

(42)

Figura 3.1: a) Gráfico da parte real hα| Re [U−(t)] |αi como fun¸cão de n e t para frequência σ = 8 × 106_{Hz; b)}

idem para hα| Re [U+_{(t)] |αi; c) Gr´}_{afico da parte imagin´}_{aria hα| Im [U}−_{(t)] |αipara frequˆ}_{encia σ = 8 × 10}6_Hz;

d) idem para hα| Im [U+_{(t)] |αi}

Os graficos da figura (3.1) representam a parte real e imagin´aria do valor m´edio hα, ±| U (t) |α, ±i = hα| U±_{(t) |αi no estado coerente de campo com o operador evolu¸}_c˜_{ao em fun¸}_c˜_{ao do tempo e do n´}_{umero m´}_edio

de fótons, para ua frequência do fluxo magnético clássico σ = 8 × 106_{Hz. As superf´ıcies quase lineares s˜}_ao

(43)

e um numero médio de fótons aproximadamente ¯n = 0.3, temos uma boa aproxima¸cão.

Figura 3.2: Varia¸c˜ao da amplitude do estado coerente do campo eRe[θ−] _{quando o estado atˆ}_{omico ´}_{e |−i como}

fun¸cão do tempo para vários valores da frequência do fluxo clássico σ

As figuras (3.2) e (3.3) mostram a varia¸c˜ao da amplitude eRe[θ±] _{como fun¸}_c˜_{ao do tempo para}

vários valores da frequência do fluxo magnético clássico σ aplicado no “ Átomo Artificial”. Outros valores de frequência σ do fluxo magnético clássico Φx(t) podem ser estudados dentro da validade da aproxima¸cão, mas

(44)

Figura 3.3: Varia¸c˜ao da amplitude do estado coerente do campo eRe[θ+] _{quando o estado atˆ}_{omico ´}_{e |+i como}

fun¸cão do tempo para vários valores da frequência do fluxo clássico σ

A amplitude eRe[θ−]_{, e que ocorre decaimento oscilante com o tempo cuja frequˆ}_{encia de oscila¸}_c˜_{ao ´}_e

menor para todo menor σ e a tempos longos estabiliza em torno de um valor de um valor que diminui com

(45)

Figura 3.4: Varia¸cão da fase do estado coerente do campo Im[θ−] quando o estado atômico é |−i como fun¸cão

do tempo para vários valores da frequência do fluxo clássico σ

As figuras (3.4) e (3.5) mostram a varia¸cão da frequência Im[θ±] como fun¸cão do tempo para

vários valores da frequência do fluxo magnético clássico σ aplicado no “ Átomo Artificial”. Note para σ = 0 a frequência acumulada está longe da frequência A.C. Stark [11] devido a grande desintonia entre a frequência

(46)

Figura 3.5: Varia¸cão da fase do estado coerente do campo Im[θ+] quando o estado atômico é |+i como fun¸cão

do tempo para vários valores da frequência do fluxo clássico σ

A cada meio periodo de fluxo magnético clássico aplicado sobre o átomo é acumulada uma fase de

valor π para fase Im[θ−]. Já no caso da fase Im[θ+], não temos nenum acumulo na mesma situa¸cão. Isso é

(47)

3.3.1 Gera¸

c˜

ao do Estado de Superposi¸

c˜

ao do Estado Coerente

Para nosso problema, o Φx(t) equa¸cão (3.25) será ligado com uma frequência no valor σ = 16π ×

106_{Hz durante a um intervalo de tempo de T = 62, 5ns (meio per´ıodo), isso para gerar uma fase atuando}

apenas em um certo estado atômico. Antes, preparamos o “ Átomo Artificial” no estado fundamental na base |0i devido à baixa temperatura do sistema, logo representaremos na base |+i e |−i e o campo como sendo

coerente

|ψ(0)i = |0i |αi = (|−i + |+i)√

2 |αi . (3.39)

Note que as fases alteradas do campo est˜ao relacionadas aos estados de base |−i e |+i,

|ψ(T )i = U (T ) |−i |αi + U (T ) |+i |αi√

2 =

(|−i |−αi + |+i |αi) √

2 , (3.40)

Esta a¸cão do operador unitário nos autoestados é devido à intera¸cão átomo campo que foi descrita nesta se¸cão. Finalmente para fazermos a medida do sistema, voltamos para antiga base |0i e |1i,

|ψ(T )i = ((|0i + |1i) |−αi + (|0i − |1i) |αi

2 =

|0i (|αi + |−αi)

2 +

|1i (|−αi − |αi)

2 . (3.41)

Se o átomo é detectado em |0i, teremos a informa¸cão do estados de superposi¸cão par do campo

coerente devido a um único pulso do fluxo magnético no “ Átomo Artificial” com frequência σ = 16π × 106Hz num intervalo de T = 62, 5ns. Outras frequências podem ser aplicadas resultando em tempos diferentes na

gera¸cão desses estados de superposi¸cão. A medi¸cão pode ser feito por um transistor de um elétron [12], e a deteçcão é totalmente probabil´ıstica nos estados |0i ou |1i, assim mostrado um esquema e uma formula¸cão

teórica da demonstra¸cão de uma opera¸cão lógica quântica Hadamad para um bit quântico. Agora operador densidade para t = 0, é descrito da seguinte maneira:

ρAC(0) = |0i h0| ⊗ |αi hα| , (3.42)

logo ap´os o pulso em um certo instante, ficar´a:

ρAC(t) = |ψAC(t)i hψAC(t)| , (3.43)

(48)

|0i (|αexp [Im[θ−(t)]i + |αexp [Im[θ+(t)]i])

2 +

|1i (|αexp [Im[θ−(t)]i − |αexp [Im[θ+(t)]i])

2 . (3.44)

Detetando o estado atˆomico, temos informa¸c˜ao do estado do campo

ρ(|0i)_C (t) = h0 |ρAC(t) |0i ,

ρ(|1i)_C (t) = h1 |ρAC(t) |1i ,

logo sendo medido (antes da relaxa¸c˜ao do sistema):

ρ(|0i,|1i)_C (t) =1

4[|αexp [θ−(t)]i hαexp [θ−(t)] |+ |αexp [θ+(t)]i hαexp [θ+(t)] |

± (|αexp [θ+(t)]i hαexp [θ−(t)] |+ |αexp [θ−(t)]i hαexp [θ+(t)] |]) (3.45)

3.4 Porta CNOT Quˆ

antica

Nesta se¸cão mostraremos a opera¸cão CNOT quântica para dois bits quânticos sem a relaxa¸cão do sistema.

Na se¸cão anterior foi demonstrada a gera¸cão de estados de superposi¸cão do estados coerentes que corresponde a uma raiz de uma porta lógica quântica CNOT ou porta lógica quântica Hadamad para um

bit quântico, isso foi devido a um único pulso de fluxo magnético clássico dependente do tempo com caráter oscilatório aplicado no “ Átomo Artificial”.

Aqui os estados de superposi¸c˜ao ser˜ao definidos como

|0i_L≡ √1

2(|αi + |−αi) , (3.46)

|1i_L≡ √1

2(|−αi − |αi) . (3.47)

Uma vez aplicada o primeiro pulso de fluxo magnético clássico no “ Átomo Artificial”, podemos detectar o estado zero ou um lógico com probabilidades iguais. Aplicando o segundo pulso, teremos a

(49)

|0i ⊗ |0i_L

| {z }

entrada

−→ U (T )√

2 (|−i + |+i) ⊗ |0iL−→ |0i ⊗ |0i_| _{z L_}

sa´ıda.

|1i ⊗ |0i_L

| {z }

entrada

−→ U (T )√

2 (|−i − |+i) ⊗ |0iL−→ |1i ⊗ |0i_| _{z L_}

sa´ıda.

|0i ⊗ |1i_L

| {z }

entrada

−→ U (T )√

2 (|−i + |+i) ⊗ |1iL−→ |1i ⊗ |1i_| _{z L_}

sa´ıda.

|1i ⊗ |1i_L

| {z }

entrada

−→ U (T )√

2 (|−i − |+i) ⊗ |1iL−→ |0i ⊗ |1i_| _{z L_}

sa´ıda.

Se no primeiro pulso detectamos o estado 0 l´ogico e aplicamos o segundo pulso, n˜ao teremos troca

neste estado atômico quando aplicarmos o segundo pulso, diferente do estado 1 lógico. Isso mostra que o estado 1 lógico é o estado de troca. Logo, verificamos a opera¸cão da porta lógica quântica CNOT. Esta é

uma representa¸cão computacional deste esquema de Eletrodinâmica Quântica de Cavidades.

3.5 Equa¸

c˜

ao Mestra

Neste sistema poderiamos fazer um estudo da dissipa¸cão no dreno do ressonador, mas o tempo de vida do fóton na cavidade é bem maior que o tempo de relaxa¸cão do sistema (praticamente só haverá

dissipa¸cão no átomo). Nesta se¸cão apresentaremos a equa¸cão mestra do sistema com um banho de osciladores harmônicos como forma de dissipa¸cão. Considerando o sistema + reservatório, temos

H = HS+ HAR+ HR, (3.48) onde, HS = EJcos πΦx(t) Φ0 σx+ ¯hgσz(a†+ a), (3.49) HAR= ¯h X k λkσz(a†k+ ak), (3.50)

(50)

HR= ¯h

X

k

wka†kak. (3.51)

O auto estado do Hamiltoniano H é |ψACR(t)i. Logo a equa¸cão de evolu¸cão do operador densidade ρACR(t) =

|ψACR(t)i hψACR(t)| se escreve como

∂ ∂tρACR(t) = ∂ ∂t|ψACR(t)i | {z } 1

i¯hH|ψACR(t)i

hψACR(t)| + |ψACR(t)i

∂ ∂thψACR(t)| | {z } −1 i¯hhψACR(t)|H , (3.52) ou ∂ ∂tρACR(t) = 1 i¯h[H, ρACR(t)] . (3.53)

A solu¸c˜ao formal dessa equa¸c˜ao de van Neuman leva

ρACR(t) = ρACR(0) − i ¯ h Z t 0 dt1[H(t1), ρACR(t1)] , (3.54) ρACR(t1) = ρACR(0) − i ¯ h Z t1 0 dt2[H(t2), ρACR(t2)] , (3.55) substituindo a equa¸c˜ao (3.55) na (3.54): ρACR(t) = ρACR(0) − i ¯ h Z t 0 dt1[H(t1), ρACR(0)] − 1 ¯ h2 Z t 0 dt1 Z t1 0 dt2[H(t1), [H(t2), ρACR(t2)]] . (3.56)

Para eliminarmos as informa¸cões do banho é só tra¸carmos a equa¸cão mestra no reservatório ρAC(t) =

T rR{ρACR(t)}. Sabendo que: ρACR(0) = ρAC(0) ⊗ ρR e ρR =

exp HR

KB T

Z para reservatório térmico, Z é o

fator normaliza¸cão. Substituindo a equa¸cão (3.56) na (3.53) e depois tra¸cando no reservatório, teremos: ∂ ∂tρAC= − i ¯ h[HS, ρAC] − 1 ¯ h2 Z t 0 dt1T rR{[HAR(t), [HAR(t1), ρAC(t) ⊗ ρR]]} . (3.57)

Mais informa¸cões da evolu¸cão do sistema com intera¸cões naturais (ru´ıdo de cargas, temperatura, etc...) serão apresentados na próxima se¸cão.

3.6 O Efeito da Relaxa¸

c˜

ao do Sistema [12]

Nesta se¸cão vamos descrever um modelo devido a dissipa¸cão no “ Átomo Artificial”, este modelo

teórico já é bem estabelecido (por Leggett et al.,1987 e Weiss, 1999)1. O ambiente é modelado com um banho de osciladores acoplados a um sistema de dois n´ıveis.

1_{Leggett, A. J., S. Chakravarty, A. T. Dorsey, M. P. A. Fisher,A. Garg, and W. Zwerger, 1987, “Dynamics of the dissipative}

two-state system”, Rev. Mod. Phys. 59, 1.; Weiss, U., 1999, Quantum Dissipative Systems, 2nd ed. (World Scientific, Singapore).

(51)

O Hamiltoniano total ´e da forma:

H = HS+ HAR+ HR, (3.58)

onde a parte controlada do Hamiltoniano ´e

HS = −EJcos πΦx(t) Φ0 σx+ ¯hg a†+ a σz = − ∆E 2 (cos [η] σz+ sen [η] σx) , (3.59)

sendo os estados atˆomicos |0i e |1i dados por

´e o Hamiltoniano do banho. O operador banho χ =P

kλkxkacopla a σz, dando o Hamiltoniano de intera¸c˜ao:

HAR= ¯hσz

X

k

λkxk. (3.63)

No equil´ıbrio térmico a transformada de Fourier simetrizada do operador correla¸cão é dada por:

hχwi 2 = 1 2 Dn χ(t), χ(t0)oE w = ¯hJ (w)coth _w 2KBT , (3.64)

onde a densidade espectral do banho ´e definida por

J (w) = π

2β¯hw (3.65)

a qual é linear a baixas frequências. O parâmetro dimensional β reflete a for¸ca de dissipa¸cão. Aqui nós concentraremos em uma for¸ca fraca β << 1, e somente este regime é relevante para a engenharia

de estados quânticos. Mas o termo dominante são ambos poss´ıveis desde a rela¸cão na escala de energia ∆E = r (2¯hg(a†_{+ a))}2₊_2E Jcos h πΦx(t) Φ0 i2

, caracterizando a evolu¸cão coerente e a taxa de defasagem. O termo do Hamiltoniano dominante é realizado quando ∆E >> βKBT . Neste regime é natural

descrever a evolu¸c˜ao do sistema na autobase (3.60) e (3.61), a qual diagonaliza HS:

H = −1

(52)

onde ρz= |0i h0| − |1i h1| e ρx= |1i h0| + |0i h1|.

A evolu¸c˜ao temporal ´e caracterizada por duas escalas distintas (Gorlich et al., 1989; Weiss and Wollensak,1989; Weiss, 1999)2_. _{Na primeira, defasando na escala de tempo τ}

ϕ os elementos da matriz

densidade. Os termos fora da diagonal decaem para zero. Eles são representados pelos valores esperados dos operadores ρ±≡12(ρx± ρy). Onde a dependência temporal para longos tempos é dado por

hρ±(t)i = hρ±(0)i exp [∓i∆Et] exp

− t

τϕ

. (3.67)

A segunda escala ´e o tempo de relaxa¸c˜ao τrelaxonde os termos diagonais tendem aos seus valores de equil´ıbrio

t´ermico: hρz(t)i = ρz(∞) + [ρz(0) − ρz(∞)] exp − t τrelax , (3.68) onde ρz(∞) = tanh ∆E 2KBT .

As taxas s˜ao (Leggett et al.,1987; Weiss, 1999):

τ_relax−1 = πβsin2[η]∆E ¯ h coth ∆E 2KBT , (3.69) τϕ−1= 1 2τ −1 relax+ πβcos 2 [η]2KBT ¯ h . (3.70)

A componente longitudinal do campo flutuando, proporcional ao cos [η], n˜ao induz processo de

relaxa¸c˜ao. No entanto, contribui nas flutua¸c˜oes das autoenergias e assim para uma fase relativa para os dois estados.

O operador unit´ario

U ≡ exp −iσzΦ 2 , (3.71) com Φ =P kλk a

†_{+ a, com a rota¸c˜ao das bases (Leggett et al., 1987):}

˜ H = U HU−1= −1 2∆Ecos [η] σ z −1 2∆Esin [η] σ +_{exp [−iΦ + H.c.] + H} R. (3.72)

Agora, recome¸camos no limite η = 0, onde o sistema e o banho são desacoplados, o qual requer um tratamento espec´ıfico. A evolu¸cão temporal é trivial para o operador, σ±(t) = exp [∓i∆Et] σ±(0), que nos tráz:

σ±(t) = exp [∓iΦ(t)] exp [±iΦ(0)] exp [∓i∆Et] σ±(0). (3.73)

2_{Gorlich, R., M. Sassetti, and U. Weiss, 1989, “Lowtemperature properties of biased two-level systems: effects of}

frequency-dependent damping”, Europhys. Lett. 10, 507.; Weiss, U., and M. Wollensak, 1989, “Dynamics of the biased two-level system in metals”, Phys. Rev. Lett. 62, 1663.; Weiss, U., 1999, Quantum Dissipative Systems, 2nd ed. (World Scientific, Singapore).

(53)

A m´edia sobre o banho nos traz a correla¸c˜ao

P (t) ≡ hexp [iΦ(t)] exp [−iΦ(0)]i = hexp [−iΦ(t)] exp [iΦ(0)]i , (3.74)

o qual foi estudado extensivamente por muitos autores (Leggett et al., 1987; Odintov, 1988; Panyukov and Zaikin, 1988; Nazarov, 1989; Devoret et al., 1990)3_{. Isto pode ser expresso como P (t) = exp [K(t)], onde}

K(t) = 4 π¯h Z ∞ 0 dwJ (w) w2 coth _¯_hw 2KBT (cos[wt] − 1) − isin[wt] . (3.75)

Para um banho ˆOhmico (3.65) com t > ¯h/2KBT resulta em Re [K(t)] ≈ − 2K_¯_hBT πβt. Assim,

nós reproduzimos a equa¸cão (3.67) com τϕdado pela equa¸cão (3.70) no limite η = 0.

No regime que ∆E << βKBT , o Hamiltoniano do bit quˆantico ´e fraco para a base fixa, logo o

banho fica sendo predominante no Hamiltoniano total. Consequentemente deve-se tratar o problema na auto base do observ´avel σz _{do acoplamento com o banho. A base de |±i pode tunelar incoerentemente nos dois}

autoestados de σz. Para encontrar a taxa de tunelamento, podemos outra vez usar a transformada unit´aria (3.71) resultando no Hamiltoniano (3.72). Na aproxima¸c˜ao na regra de ouro de Fermi obtemos (Leggett et

al., 1987) a seguinte rela¸c˜ao no limite ∆E << βKBT :

τ_relax−1 =2π ¯ h ∆E2_sin2_[η] 4 h ˜_{P (∆Econ[η]) + ˜}_{P (−∆Econ[η])}i ≈∆E 2_sin2_[η] 2π¯hβKBT , (3.76)

onde ˜P (· · ·) ´e a transformada de Fourier de P (t). Para encontrar a taxa de defasamento outra vez usamos a equa¸c˜ao (eq.3.73) e obtemos

τϕ−1=

2πβKBT

¯

h . (3.77)

Neste regime o defasamento é bem mais rápido que a relaxa¸cão do sistema. Além disso, nós observamos que

τ_relax−1 ∝ (βKBT )−1 quando τϕ−1∝ βKBT . Isto implica que é mais rápido o defasamento e a relaxa¸cão mais

lenta. Tais comportamentos s˜ao devidos ao efeito (Harris and Stodolsky, 1982)4_{Zeno: a frequˆ}_{encia ambiente}

“observa” o estado de spin, assim impedindo o tunelamento.

3_{Odintsov, A. A., 1988, “Effect of dissipation on the characteristics of small-area tunnel junctions: application of the polaron}

model”, Sov. Phys. JETP 67, 1265.; Panyukov, S. V., and A. D. Zaikin, 1988, “Quantum fluctuations and quantum dynamics of small Josephson junctions”, J. Low Temp. Phys. 73, 1.; Nazarov, Y. V., 1989, “Anomalous current-voltage characteristics of tunnel junctions”, Sov. Phys. JETP 68, 561.; Devoret, M. H., D. Esteve, H. Grabert, G. L. Ingold, and H. Pothier, 1990, “Effect of the electromagnetic environment on the Coulomb blockade in ultrasmall tunnel junctions”, Phys. Rev. Lett. 64, 1824.