Análise da equação de difusão não linear com potências fracionárias do laplaciano via grupo de renormalização

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(1)Universidade Federal de Juiz de Fora Instituto de Ciˆ encias Exatas Programa de P´ os-Gradua¸c˜ ao em Matem´ atica. Nat´ alia Moreira Eleut´ erio Alves. ´ ˜ DE DIFUSAO ˜ NAO ˜ LINEAR ANALISE DA EQUAC ¸ AO ˆ ´ COM POTENCIAS FRACIONARIAS DO ˜ LAPLACIANO VIA GRUPO DE RENORMALIZAC ¸ AO. Juiz de Fora 2016.

(2) Nat´ alia Moreira Eleut´ erio Alves. ´ ˜ DE DIFUSAO ˜ NAO ˜ LINEAR ANALISE DA EQUAC ¸ AO ˆ ´ COM POTENCIAS FRACIONARIAS DO ˜ LAPLACIANO VIA GRUPO DE RENORMALIZAC ¸ AO. Disserta¸caõ apresentada ao Programa de Pós-Gradua¸caõ em Matemática da Universidade Federal de Juiz de Fora, na a´rea de concentra¸cão em Análise, como requisito parcial para obten¸caõ do t´ıtulo de Mestre em Matemática.. Orientador: Prof. Dr. Eduard Toon Coorientadora: Prof(a). Dra. Jussara de Matos Moreira. Juiz de Fora 2016.

(3) AGRADECIMENTOS. Agrade¸co primeiramente a Deus, meu ref´ ugio e for¸ca, por estar sempre ao meu lado e por ter colocado pessoas boas em meu caminho, que me ajudaram a concluir mais essa fase em minha vida. Aos professores Eduard e Jussara, pelo incentivo e acompanhamento que tornou poss´ıvel o desenvolvimento desta disserta¸caõ de mestrado. Aos professores Régis, Carlão, Laura, Flaviana e Willian, pela colabora¸cão e conhecimentos transmitidos. Aos meus pais, Geraldo e Raimunda, que em nenhum momento mediram esfor¸cos para realiza¸cão dos meus sonhos, que me guiaram pelos caminhos corretos, me ensinaram a fazer as melhores escolhas, me mostraram que a honestidade e o respeito são essenciais a` vida, e que devemos sempre lutar pelo que queremos. A eles devo a pessoa que me tornei, sou extremamente feliz e ˆ tenho muito orgulho por chamá-los de pai e mãe. AMO VOCES! Ao meu irmão J´ unior e minha irmã Sabrina, pelo carinho, pela ajuda e pela compreensão. Aos amigos da matemática, em especial a Talita e o Miguel. Enfim a todos que direta ou indiretamente fazem parte dessa história. Meu carinho e muito obrigada!.

(4) RESUMO. O principal objetivo deste trabalho consiste em descrever e aplicar as técnicas do Grupo de Renormaliza¸caõ (RG), desenvolvida por Bricmont et al em [3], no estudo do comportamento assintótico da solu¸caõ do seguinte problema de valor inicial: ut = M u − ηuxxx − ρup ux , t > 1, p ∈ N, p ≥ 2, u(x, 1) = f (x), em que f é o dado inicial, ρ, η ∈ [0, 1] e M é um operador no espa¸co de Fourier definido por M ≡ −(−4)β com 43 < β ≤ 1. O método do Grupo de Renormaliza¸caõ(RG) surgiu no final dos anos 50 em Teoria Quântica de Campos [10] sendo em seguida utilizado para estudar Fenômenos Cr´ıticos em Mecânica Estat´ıstica. No in´ıcio dos anos 90, foi aplicado ainda na análise assintótica de solu¸cões de equa¸co˜es diferenciais [3], através da utiliza¸caõ de conceitos como invariância por escalas e universalidade, na busca por conjuntos de dados iniciais e perturba¸cões de equa¸co˜es cujas solu¸co˜es apresentassem mesmo comportamento assintótico. Tal método envolve um problema de escalas m´ ultiplas, cuja ideia é procurar por uma solu¸caõ que seja invariante por mudan¸ca de escalas, e esta solu¸caõ surge então como um ponto fixo de um operador. Visando um melhor entendimento do método, dividimos o estudo da solu¸caõ em três casos: caso linear (η = ρ = 0), caso linear com termo dispersivo (ρ = 0) e caso não linear (η 6= 0 e ρ 6= 0). Em todos os casos, veremos que as solu¸co˜es se comportam da seguinte maneira: u(x, t) ∼. A ∗x f , (t → ∞), tθ tγ. sendo θ e γ expoentes cr´ıticos, A é um pré-fator que contém informa¸co˜es do dado inicial e do termo não linear ρup ux e f ∗ é chamada fun¸cão perfil. O estudo desenvolvido nesse trabalho foi baseado no artigo [1]..

(5) ABSTRACT. The main objective of this study is to describe and apply the techniques of the Renormalization Group (RG) in the study of the asymptotic behavior of the solution to the following initial value problem: ut = M u − ηuxxx − ρup ux , t > 1, p ∈ N, p ≥ 2, u(x, 1) = f (x), where f is the initial data, ρ, η ∈ [0, 1] and M is an operator in the Fourier space defined by M ≡ −(−4)β with 34 < β ≤ 1. The method of the Renormalization Group (RG) emerged in the late 1950s in Quantum Field Theory [10] and later it was used to study Critical Phenomena in Statistical Mechanics. In the early 1990s, it was applied to the asymptotic analysis of solutions of differential equations [3], through the use of concepts such as scales invariance and universality, in the search for sets of initial data and perturbations of equations whose solutions presented the same asymptotic behavior. This method involves a multi-scale problem, whose idea is to look for a solution that is scales invariant, and this solution then appears as a fixed point of an operator. For a better understanding of the method, this study was divided in three cases: linear case (η = ρ = 0), linear case with dispersive term (ρ = 0) and nonlinear case (η 6= 0 e ρ 6= 0). In all the cases, we see that the solutions behave as follows: u(x, t) ∼. A ∗x f , (t → ∞), tθ tγ. where θ and γ are critical exponents, A is a pre-factor that has the information of the initial data and the nonlinear term ρup ux and f ∗ is the profile function. The study developed in this work was based on Article [1]..

(6) Sum´ ario. 1 Introdu¸c˜ ao. 3. 1.1. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 1.2. Descri¸caõ da disserta¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 1.3. O Método do Grupo de Renormaliza¸caõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 2 Conceitos Preliminares. 7. 2.1. Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2.2. O Espa¸co B3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. 2.3. Teorema do ponto fixo para contra¸cões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17. 3 O Grupo de Renormaliza¸c˜ ao Aplicado ` a Equa¸c˜ ao Linear. 7. 18. 3.1. A Solu¸caõ da equa¸caõ. 3.2. Solu¸co˜es invariantes por mudan¸ca de escalas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19. 3.3. Defini¸caõ do operador RG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.3.1. 3.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18. Lema da Contra¸caõ em B3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23. Análise assintótica para o caso linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24. 4 O Grupo de Renormaliza¸c˜ ao Aplicado ` a Equa¸c˜ ao Linear com Termo Dispersivo 28 4.1. A Solu¸caõ da equa¸caõ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28. 4.2. Defini¸caõ do operador RG e suas propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.

(7) 4.3. Análise do comportamento assintótico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34. 5 O Grupo de Renormaliza¸c˜ ao Aplicado ` a Equa¸c˜ ao N˜ ao Linear 5.1. 38. Existência e unicidade da solu¸cão local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5.1.1. Resultados preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40. 5.1.2. Prova do Lema 5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46. 5.1.3. Prova do Lema 5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50. 5.1.4. Prova do Teorema 5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52. 5.2. O Grupo de Renormaliza¸caõ para o caso não linear . . . . . . . . . . . . . . . . . 53. 5.3. Análise do comportamento assintótico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5.3.1. Passo k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59. 5.3.2. Indu¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62. 2.

(8) Cap´ıtulo 1 Introdu¸ c˜ ao. 1.1. Objetivo. Nesse trabalho descreveremos e aplicaremos a técnica do Grupo de Renormaliza¸cão, desenvolvida por Bricmont et al em [3], com o objetivo de analisar o comportamento assintótico da solu¸caõ do problema de valor inicial (PVI) abaixo: ut = M u − ηuxxx − ρup ux , t > 1, p ∈ N, p ≥ 2, (1.1) u(x, 1) = f (x), f ∈ B3 , em que ρ, η ∈ [0, 1] e B3 é um espa¸co de Banach definido por. sendo. B3 ≡ {f : R → R | fˆ ∈ C 1 (R) e kf k < ∞},. (1.2). h i kf k = sup (1 + |w|3 ) |fˆ(w)| + |fˆ0 (w)| .1. (1.3). w∈R. M é um operador no espa¸co de Fourier, definido como M ≡ −(−4)β , sendo \β u] = |w|2β uˆ, isto é, [−(4) du = −|w|2β uˆ. M. 3 4. < β ≤ 1 e tal que (1.4). Provaremos que, para tempos suficientemente longos e para uma determinada classe de dados iniciais, a solu¸cão do PVI (1.1) se comporta da seguinte forma: x A u(x, t) ∼ θ f ∗ γ , (t → ∞), (1.5) t t Na poderiam ser obtidos no espa¸co Bq ≡ {f : R → R | fˆ ∈ C 1 (R) e kf k = h verdade, todos os resultados i sup (1 + |w|q )|fˆ(w)| + |fˆ0 (w)| < ∞}, com q > 1. A op¸cão por q = 3 foi inspirada em [1] para tornar as 1. w∈R. estimativas independentes de q.. 3.

(9) 1 são expoentes cr´ıticos, A é um pré-fator que depende do dado inicial e do em que θ = γ = 2β termo não linear ρup ux e f ∗ é chamada fun¸caõ perfil dada por 2β fb∗ (w) = e−|w| .. (1.6). Em outras palavras, obteremos o seguinte limite: 1. 1. lim ku(t 2β ·, t) − At− 2β f ∗ (·)k = 0,. t→∞. sendo a norma acima dada por (1.3). O estudo desenvolvido nesse trabalho foi baseado no artigo [1]. Para melhor compreensão do método do Grupo de Renormaliza¸cão no estudo do comportamento assintótico de EDP’s, é conveniente simplificarmos a equa¸cão (1.1) fazendo η = ρ = 0 (caso linear) e em seguida, ρ = 0 (caso linear com termo dispersivo), e buscar por solu¸co˜es do tipo (1.5). Posteriormente, consideraremos o problema não linear (1.1) com p ≥ 2. Nesse caso, a solu¸cão pode ser escrita como u(x, t) = uf (x, t) + N (u)(x, t), (1.7) sendo uf (x, t) a solu¸cão da equa¸cão no caso linear com termo dispersivo Z ∞ 2β 3 e−(|w| −iηw )(t−1) eiwx fb(w)dw, uf (x, t) =. (1.8). −∞. e N (u) definido por: Z. t. Z. p. t−1. S(τ + 1)up (x, t − τ )dτ,. S(t − s + 1)u (x, s)ds =. N (u)(x, t) = 1. (1.9). 0. em que, Z. ∞. S(t)f =. e−(|w|. 2β −iηw 3 )(t−1). eiwx fb(w)dw,. −∞. sendo fˆ a transformada de Fourier de f , definida em (2.2). Após essa análise, provaremos que o comportamento assintótico é o mesmo em ambos os casos (linear, linear com termo dispersivo e não linear), exceto pelo pré-fator, que no caso não linear será obtido como o limite de uma determinada sequência. Assim, solu¸co˜es de equa¸co˜es que diferem apenas quanto à pertuba¸caõ podem ser consideradas em uma mesma classe de universalidade, pois possuem mesmos expoentes cr´ıticos e fun¸co˜es perfil. Enfim, ficará claro neste trabalho, que a técnica do Grupo de Renormaliza¸cão é uma poderosa ferramenta no estudo do comportamento, para tempos longos, de solu¸co˜es de equa¸cões diferenciais parciais.. 4.

(10) 1.2. Descri¸c˜ ao da disserta¸ c˜ ao. A disserta¸cão foi dividida da seguinte forma: na se¸cão 1.3, explicaremos um pouco mais sobre a história e o método do Grupo de Renormaliza¸cão, que denotaremos por RG. No Cap´ıtulo 2, daremos defini¸co˜es e enunciaremos teoremas, lemas e proposi¸co˜es que serão utilizados ao longo do trabalho. No Cap´ıtulo 3, estudaremos o caso linear (η = ρ = 0) da equa¸cão (1.1) e mostraremos que a mesma é invariante por mudan¸cas de escalas. Com isso, definiremos o operador RG, provaremos algumas de suas propriedades e obteremos o comportamento assintótico da equa¸cão linear. Em seguida, no Cap´ıtulo 4, vamos analisar a equa¸cão linear com termo dispersivo (ρ = 0). Novamente, definiremos o operador RG para esse caso e mostraremos que a fun¸caõ f ∗ definida em (1.6) não será ponto fixo do operador como no caso anterior. Entrentanto, veremos que isso não afetará o comportamento assintótico da equa¸cão linear com termo dispersivo. No Cap´ıtulo 5, provaremos a existência e unicidade de solu¸co˜es do problema de valor inicial (1.1), que será de grande importância no estudo, para tempos longos, do mesmo. Finalmente, obteremos o comportamento assintótico da solu¸caõ do problema não linear (1.1).. 1.3. O M´ etodo do Grupo de Renormaliza¸ c˜ ao. A técnica do Grupo de Renormaliza¸caõ (RG) surgiu no final dos anos 50 em Teoria Quântica de Campos (veja [10]). Em seguida, estas idéias foram utilizadas em teorias cr´ıticas de Mecânica Estat´ıstica do Equil´ıbrio. As idéias consistiam em introduzir um operador, atuando sobre o espa¸co das energias, que implementava a mudan¸ca de escalas. Iterando este operador um n´ umero muito grande de vezes ele convergia para seu ponto fixo e a taxa de tal convergência estava associada aos expoentes cr´ıticos da Mecânica Estat´ıstica. A partir de 1960, foram desenvolvidas técnicas para a realiza¸caõ de experiências na vizinhan¸ca de pontos cr´ıticos. Observou-se que existia uma classe de universalidade definida por alguns expoentes cr´ıticos diferentes dos expoentes clássicos. Com isso, na década de 1970, essas idéias foram incorporadas por Kenneth Wilson (veja [20]), que propôs uma teoria para os fenômenos cr´ıticos, baseada numa modifica¸cão de um método utilizado em F´ısica Teórica, chamado teoria do Grupo de Renormaliza¸caõ. Esse método permitiu a descri¸caõ do comportamento dos sistemas próximos ao ponto cr´ıtico e resultados destes estudos mostraram que quando a escala muda, as equa¸cões que descrevem o sistema mudam de tal forma que no limite termodinâmico apenas alguns aspectos são relevantes. Nos anos 90, o RG foi aplicado a`s equa¸co˜es diferenciais na obten¸caõ do comportamento assintótico de solu¸cões de problemas de valor inicial (veja [3]). A ideia nesse caso novamente era relacionar o comportamento assintótico das solu¸co˜es de EDPs com a existência e estabilidade de pontos fixos de um operador apropriado (o operador Grupo de Renormaliza¸caõ) e assim resolver o problema iterativamente, de forma que aplica¸cões sucessivas do operador evoluem progressivamente a solu¸caõ no tempo e simultaneamente renormalizam os termos da EDP, transformando o problema 5.

(11) do limite assintótico em itera¸co˜es de problemas (renormalizados), definidos em intervalos de tempo fixo, seguidas por uma mudan¸ca de escalas. A cada passo da itera¸caõ, subtrai-se da condi¸cão inicial a contribui¸cão em uma dire¸caõ dita marginal com respeito ao operador, no sentido em que essa componente não se altera a cada etapa do método. A diferen¸ca obtida é dita então irrelevante, pois, a` medida que é iterado o procedimento, ela é contra´ıda pelo operador. Assim, repete-se esse procedimento até que se atinja o regime assintótico. Escolhendo a escala apropriada, a cada itera¸caõ o problema torna-se mais simples, justificando a grande utilidade da técnica do Grupo de Renormaliza¸caõ. No in´ıcio dos anos 90, foi também proposta uma versão numérica (veja [5]) para o Grupo de Renormaliza¸caõ, tendo sido aplicada a diversas equa¸co˜es, como a equa¸caõ dos meios porosos, equa¸caõ de Barenblatt, equa¸caõ de difusão com coeficiente periódico, dentre outras. Embora a técnica do Grupo de Renormaliza¸caõ seja um pouco antiga, a mesma ainda é muito utilizada na f´ısica (veja [4, 7, 9, 13]). Na a´rea de estudo do comportamento assintótico de solu¸cões de equa¸cões diferenciais parciais, também, encontramos trabalhos mais recentes (veja [2, 17]), mostrando assim, a grande aplicabilidade do método.. 6.

(12) Cap´ıtulo 2 Conceitos Preliminares. Nesse cap´ıtulo, daremos importantes defini¸co˜es, dentre elas, a defini¸caõ da Transformada de Fourier para fun¸cões em L1 (R) e provaremos algumas de suas propriedades. Também enunciaremos alguns resultados que serão utilizados ao longo do trabalho.. 2.1. Transformada de Fourier. A Transformada de Fourier é uma ferramenta de grande importância no estudo de equa¸cões diferenciais parciais, como por exemplo na solu¸caõ de problemas de processamento digital de imagens (veja [18]). No contexto de estudo do comportamento assintótico de solu¸co˜es de EDPs, utilizando a técnica do Grupo de Renormaliza¸caõ, é preciso analisar o problema no espa¸co de Fourier, uma vez que, o PVI (1.1) é definido com operador multiplicador de Fourier dado por (1.4) e o operador Grupo de Renormaliza¸caõ (RG) que será definido na Se¸cão 3.3 é uma contra¸caõ quando age no espa¸co das fun¸co˜es cujas Transformadas de Fourier se anulam na origem. Antes de definirmos a Transformada de Fourier definiremos o espa¸co Lp (R). Defini¸c˜ ao 2.1 (Espa¸co Lp (R)). Seja p tal que 1 ≤ p < ∞. Definimos o espa¸co Lp (R) como sendo o espa¸co das classes de equivalência de fun¸cões reais p-integráveis no sentindo de Lebesgue, isto é, Z Lp (R) =. |f (x)|p dx < ∞ ,. f :R→R: R. munido da norma Z kf kp =. p1 |f (x)|p dx ,. R ∞. e o espa¸co L (R) como sendo o espa¸co das classes de equivalência de fun¸cões reais mensur´ aveis limitadas, isto é, ∞ L (R) = f : R → R : sup |f | < ∞ , 7.

(13) munido da norma kf k∞ = sup{|f (x)|}. w p. L é um espa¸co vetorial normado e completo. Em particular, kf kp satisfaz as desigualdades de Minkowski, isto é, para toda f, g ∈ Lp (R) temos kf + gkp ≤ kf kp + kgkp , e de Hölder kf gk1 ≤ kf kp kgkq , desde que f ∈ Lp (R), g ∈ Lq (R) e. 1 p. +. 1 q. = 1.. Uma consequência imediata da desigualdade de Hölder é a desigualdade de Cauchy-Schwarz: kf gk1 ≤ kf k2 kgk2 .. (2.1). Além disso, L2 (R) é um espa¸co de Hilbert com o produto interno Z ∞ f (x)g(x)dx, < f, g >= −∞. para toda f, g ∈ L2 (R). Defini¸c˜ ao 2.2 (Transformada de Fourier). Seja f : R → R uma fun¸cão de L1 (R). Definimos a Transformada de Fourier de f como Z ∞ ˆ f (w) = F{f (.)}(w) = e−iwx f (x)dx. (2.2) −∞. Defini¸c˜ ao 2.3 (Transformada de Fourier Inversa). Definimos a Transformada de Fourier Inversa de uma fun¸cão f ∈ L1 (R) por Z ∞ 1 −1 d f (x) = F {f (.)}(x) = eiwx fˆ(w)dw. (2.3) 2π −∞ ´ natural fazermos a seguinte pergunta: Quando a fun¸caõ f poder ser obtida a partir de fˆ, isto E é, f (x) = (F −1 fˆ)(x)? Lema 2.1. Seja f ∈ L1 (R) tal que fˆ ∈ L1 (R). Então f (x) = (F −1 fˆ)(x) em todos os pontos x onde f é cont´ınua. Veja demonstra¸cão em [8].. 8.

(14) Defini¸c˜ ao 2.4 (Convolu¸c˜ ao). Dadas duas fun¸cões f, g ∈ L1 (R), a convolu¸cão de f com g, denotada por f ∗ g, é definida por: Z ∞ (f ∗ g)(x) = f (x − y)g(y)dy. (2.4) −∞. Lema 2.2. Se f, g ∈ L1 (R), então (f[ ∗ g)(w) = fˆ(w)ˆ g (w). Prova: Tomando a Transformada de Fourier de (2.4) e pelo Teorema de Mudan¸ca de Variáveis, fazendo z = x − y, temos: Z ∞Z ∞ Z ∞Z ∞ −iwx [ f (z)g(y)e−iw(z+y) dzdy. f (x − y)g(y)e dxdy = (f ∗ g)(w) = −∞. −∞. −∞. −∞. Pelo Teorema de Fubini, Z. ∞ −iwz. (f[ ∗ g)(w) =. f (z)e. Z. ∞. g(y)e−iwy dy = fˆ(w)ˆ g (w).. dz. −∞. −∞. Lema 2.3. Seja a > 0 uma constante positiva. Se f ∈ L1 (R), então: 1 w . F{f (ax)}(w) = fˆ a a Prova: Pela Defini¸caõ 2.2, temos: Z. ∞. eiwx f (ax)dx.. F{f (ax)}(w) = −∞. Fazendo a mudan¸ca de variáveis y = ax, temos: Z F{f (y)}(w) =. ∞. 1 iw y e a f (y)dy a. −∞ Z 1 ∞ iw y = e a f (y)dy a −∞ 1ˆw = f ( ). a a. 9. (2.5).

(15) As demonstra¸co˜es do Teorema 2.1 e do Lema 2.4 podem ser encontradas em [8]. Teorema 2.1 (Identidade de Parseval). Para toda f, g ∈ L2 (R), temos < f, g >=. Em particular, kf k22 =. 1 < fˆ, gˆ > . 2π. 1 kfˆk22 . 2π. Lema 2.4. A Transformada de Fourier é uma bije¸cão de L2 (R) em L2 (R). Isto é, para cada g ∈ L2 (R), existe um u ńico f ∈ L2 (R) tal que fˆ = g. Uma importante propriedade da Transformada de Fourier que será utilizada no cap´ıtulo 5 é a transformada do produto de n fun¸co˜es em L2 (R) ser o produto de n − 1 convolu¸co˜es das transformadas de cada fun¸caõ. Lema 2.5. Se f1 , · · ·, fn ∈ L2 (R), então: F{f1 · · · fn }(w) =. 1 (fˆ1 ∗ · · · ∗ fˆn )(w). (2π)n−1. Prova: Usaremos indu¸caõ para provar esse resultado. Tome f, g ∈ L2 (R), então: Z ∞ F{f (·)g(·)}(w) = e−iwx (f · g)(x)dx. −∞. Pela Identidade de Parseval e como g ∈ L2 (R), obtemos: Z ∞ F{f (·)g(·)}(w) = e−iwx (f · g)(x)dx Z−∞ Z ∞ ∞ 1 0 iw0 x 0 = gˆ(w )e dw f (x)e−iwx dx 2π −∞ Z ∞ −∞ Z ∞ 1 −i(w−w0 )x 0 = gˆ(w ) f (x)e dx dw0 2π −∞ −∞ Z ∞ 1 = fˆ(w − w0 )ˆ g (w0 )dw0 2π −∞ 1 ˆ = (f ∗ gˆ)(w). 2π Agora, suponhamos que (2.6) seja verdadeira para n ∈ N. Então: 1 (F[f1 · · · fn ] ∗ fd n+1 )(w) 2π 1 1 ˆ ˆ d = f1 ∗ · · · ∗ fn ∗ fn+1 (w) 2π (2π)n−1 1 = (fˆ1 ∗ · · · ∗ fˆn ∗ fd n+1 )(w). (2π)n. F{f1 · · · fn · fn+1 }(w) =. 10. (2.6).

(16) Portanto, a igualdade (2.6) vale para todo n ∈ N.. Uma consequência imediata do Lema anterior é fbp (w) =. 1 (fˆ · · · fˆ)(w), (2π)p−1. (2.7). 1, se x ∈ [−1, 1], 0, se x ∈ / [−1, 1].. (2.8). com p − 1 convolu¸co˜es de fˆ. Considere a fun¸cão g : R → R dada por: g(x) =. Claramente g ∈ L1 (R), e sua Transformada de Fourier é dada por: 2 sin θ , se θ 6= 0, θ gˆ(θ) = 2, se θ = 0.. (2.9). Porém, gˆ(w) não pertence a L1 (R). Assim, conclu´ımos que, nem sempre f ∈ L1 (R) implica fˆ ∈ L1 (R), ou seja, uma vez conhecida a Transformada de Fourier de uma dada fun¸caõ em L1 (R), não garantimos a existência de uma aplica¸caõ que seja a inversa da mesma. Assim, faz-se necessário definirmos um espa¸co de fun¸cões na qual garantimos que para toda f que tomarmos nesse espa¸co sua tranformada de Fourier também perten¸ca a ele. Uma escolha poss´ıvel seria tomar o espa¸co C0∞ das fun¸cões infinitamente diferenciáveis, de suporte compacto em R. Porém, nesse espa¸co, podemos tomar fun¸co˜es na qual sua Transformada de Fourier não tenha suporte compacto. Por exemplo, a fun¸cão |x| (2.10) g(x) = 1 − a , se x ∈ [−a, a], 0, se x ∈ / [−a, a], , que não tem suporte compacto. Com isso, sua Transformada de Fourier é gˆ(w) = 2(1−cos(aw)) aw2 escolhemos um outro subespa¸co de L1 (R), o espa¸co de Schwartz ou das fun¸cões rapidamente decrescentes, que é um pouco maior que C0∞ e que denotaremos por S(R). Defini¸c˜ ao 2.5 (Espa¸co de Schwartz). Uma fun¸cão f : R → R é rapidamente decrescente se f ∈ C ∞ (R) e para todo (m, n) ∈ N × N kf km,n = sup |xm Dn f (x)| < ∞. x∈R. Ou seja, f e suas derivadas tendem a zero mais rapidamente que as potências xm vão para o infinito. Toda fun¸caõ em S(R) é absolutamente integrável (veja [8]). Teorema 2.2. Se f ∈ S(R), então fˆ ∈ S(R) e, além disso, dados m, n ≥ 0, n m d d n m ˆ (ix) f =F [(−ix) f ] . dx dx 11. (2.11).

(17) Prova: Primeiro, provaremos para todo n ≥ 0 que F[Dn f ](w) = (iw)n fˆ(w).. (2.12). Seja f ∈ S(R) e pela Defini¸caõ 2.2 obtemos: fˆ0 (w) = F(f (x))(w) = 0. Z. ∞. e−iwx f 0 (x)dx.. −∞ −iwx. Fazendo u = e. 0. e dv = f (x)dx, e usando integral por partes, temos: Z ∞ 0 ˆ f (w) = e−iwx f 0 (x)dx −∞

(18) ∞ Z ∞

(19) −iwx f (x)(−iw)e−iwx dx − = e f (x)

(20)

(21) −∞

(22) −∞ Z ∞ ∞

(23) −iwx

(24) e−iwx f (x)dx + (iw) = e f (x)

(25) −∞. −∞. = (iw)fˆ(w). Suponhamos que, F[Dn f ](w) = (iw)n fˆ(w) seja verdadeira para todo n ≥ 0. Então F(D(n+1)f )(w) = F[D(D(n) )f ](w) = (iw)F(D(n) )(w) = (iw)[(iw)n fˆ](w) = (iw)n+1 fˆ(w), e assim, (2.12) vale para todo n ≥ 0. Agora, provaremos para todo n ≥ 0 que Dn fˆ = F[(−ix)n f ]. Se f ∈ S(R), podemos diferenciar sobre o sinal da integral, obtendo para n=1: Z ∞ ˆ Df = (−ix)e−iwx f (x)dt = F[(−ix)f (x)](w). −∞. Suponha que, Dn fˆ = F[(−ix)n f ] seja válida para todo n ≥ 0. Então, Dn+1 fˆ = D(Dn fˆ) = D[F{(−ix)n f }] = F{(−ix)(−ix)n f } = F{(−ix)n+1 f }. Logo, (2.13) é verdadeira para todo n ≥ 0. E portanto, de (2.12) e (2.13) obtemos (2.11). Finalmente, mostraremos que fˆ ∈ S(R). Considerando f ∈ S(R), m, n ≥ 0 e (2.11), kfˆkm,n = sup |xm Dn fˆ(x)| x∈R

(26) m

(27)

(28)

(29) d n = sup

(30)

(31) F [(−ix) f (x)]

(32)

(33) dx x∈R

(34) Z ∞

(35) m

(36)

(37) d = sup

(38)

(39) e−iwx [(−ix)n f (x)]dx

(40)

(41) dx x∈R −∞

(42) m Z ∞

(43)

(44) −iwx d

(45) n

(46) ≤ sup e [(−ix) f (x)]dx

(47)

(48)

(49) dx x∈R −∞

(50) Z ∞

(51) m

(52) d

(53) n

(54) [x f (x)]

(55)

(56) dx < ∞. ≤

(57) dx −∞ já que Dm (xn f ) ∈ L1 (R). 12. (2.13). (2.14).

(58) 2.2. O Espa¸co B3. Seja B3 o espa¸co de fun¸cões reais definido por B3 ≡ {f : R → R | fˆ ∈ C 1 (R) e kf k < ∞}, sendo. h i kf k = sup(1 + |w|3 ) |fˆ(w)| + |fˆ0 (w)| . w∈R. Provaremos que o espa¸co B3 é um espa¸co de Banach e que se f ∈ B3 então f ∈ L1 (R) ∩ L2 (R) ∩ L∞ (R). Além disso, mostraremos que dado L > 1 o espa¸co C(1, L2β ; B3 ) ≡ {u(x, t) : u(., t) ∈ B3 , ∀t ∈ [1, L2β ]}. (2.15). kukL = sup ku(., t)k.. (2.16). com a norma t∈[1,L2β ]. também é um espa¸co de Banach. Proposi¸c˜ ao 2.1. B3 ⊂ L1 (R) ∩ L2 (R) ∩ L∞ (R). Prova: Tome f ∈ B3 então fˆ ∈ C 1 e kf k < ∞. Pela defini¸caõ da norma em B3 (veja equa¸cão (1.3)) C temos |fˆ0 (w)|, |fˆ(w)| ≤ 1+|w| 3 sendo C = kf k. Assim, R R. |fˆ(w)|dw ≤. C dw R 1+|w|3. R. <∞. e. R R. |fˆ0 (w)|dw ≤. C dw R 1+|w|3. R. < ∞.. Logo, fˆ, fˆ0 ∈ L1 (R). Analogamente, temos que fˆ, fˆ0 ∈ L2 (R), e portanto, fˆ, fˆ0 ∈ L1 (R) ∩ L2 (R). Pelo Lema 2.4, como a Transformada de Fourier é uma bije¸caõ em L2 (R), existe a inversa de fˆ. Assim, F −1 (fˆ) = f ∈ L2 (R). Pelo Teorema 2.2, temos que fˆ0 = F[−ixf ]. Logo, F −1 (fˆ0 ) = F −1 (F[−ixf ]) = −ixf ∈ L2 (R). Portanto, pela Defini¸cão 2.1, temos kf k2 < ∞ e kxf k2 < ∞. Agora, vamos escrever f = (1 + |x|)−1 · (1 + |x|)f . Então, pela desigualdade de Cauchy-Schwarz dada por (2.1), temos: kf k1 = ≤ ≤ ≤ <. k(1 + |x|)−1 · (1 + |x|)f k1 k(1 + |x|)−1 k2 · k(1 + |x|)f k2 K1 (k(1 + |x|)f k2 ) K1 (kf k2 + kxf k2 ) ∞. 13.

(59) sendo K1 = k(1 + |x|)−1 k2 . Logo, f ∈ L1 (R) e com isso, f ∈ L1 (R) ∩ L2 (R). Finalmente, falta mostrar que f ∈ L∞ (R). Como f ∈ L2 (R), então f (x) = F −1 (fd (.)). Logo, considerando a Defini¸cão 2.3 e que kf k < ∞, obtemos: |f (x)| = |F −1 (fd (.))|

(60) Z

(61)

(62) 1

(63) iwx ˆ =

(64)

(65) e f (w)dw

(66)

(67) 2π R Z 1 ≤ |eiwx ||fˆ(w)|dw 2π R Z 1 kf k ≤ dw 2π R 1 + |w|3 ≤ kf kK2 < ∞ sendo K2 =. 1 2π. R. 1 dw. R 1+|w|3. Pela Defini¸caõ 2.1, conclu´ımos que f ∈ L∞ (R).. Proposi¸c˜ ao 2.2. B3 é um espa¸co de Banach munido da norma h i kf k = sup (1 + |w|3 ) |fˆ(w)| + |fˆ0 (w)| . w∈R. Prova: B3 é um espa¸co vetorial. De fato, se f, g ∈ B3 e α ∈ R, então pela linearidade da Transformada de Fourier e do operador derivada, temos que (f + g) ∈ B3 e αf ∈ B3 . Além disso, temos que (1.3) é uma norma. De fato, 1. kf k ≥ 0 e kf k = 0 ⇔ f = 0. Claramente kf k é não negativa. Se kf k = 0, então sup(1 + |w|3 )[|fˆ(w)| + |fˆ0 (w)|] = 0. w. Logo, (1 + |w|3 )[|fˆ(w)| + |fˆ0 (w)|] ≤ sup(1 + |w|3 )[|fˆ(w)| + |fˆ0 (w)|] = 0, ∀ w. w. Então, |fˆ(w)| = |fˆ0 (w)| = 0, ∀ w. Como f ∈ L1 (R) e pela defini¸caõ da Transformada Inversa de Fourier de f , temos: Z ∞ 1 −1 d f (x) = F {f (.)}(x) = eiwx fˆ(w)dw = 0 2π −∞ Portanto, f = 0. Por outro lado, se f = 0 então fˆ(w) = 0 e fˆ0 (w) = 0. Logo, kf k = 0. 2. kλf k = |λ|kf k. Note que

(68) Z

(69) d |(λf )(w)| =

(70)

(71). ∞. −∞. e. −iwx.

(72)

(73) Z

(74)

(75)

(76) λf (x)dx

(77) = |λ|

(78)

(79). ∞. −∞. 14. −iwx. e.

(80)

(81) f (x)dx

(82)

(83) = |λ||fb(w)|..

(84) d)0 (w)| = |λ||fˆ0 (w)|. Logo, Analogamente, |(λf d)(w)| + |(λf d)0 (w)|] = |λ| sup(1 + |w|3 )[|fˆ(w)| + |fˆ0 (w)|] = |λ|kf k. kλf k = sup(1 + |w|3 )[|(λf w. w. 3. kf + gk ≤ kf k + kgk. Pela linearidade da Transformada de Fourier e da derivada, temos que |(f\ + g)(w)| = |fˆ(w) + gˆ(w)| ≤ |fˆ(w)| + |ˆ g (w)| e. 0. |(f\ + g) (w)| = |fˆ0 (w) + gˆ0 (w)| ≤ |fˆ0 (w)| + |ˆ g 0 (w)|. Logo, h i 0 \ \ kf + gk = sup(1 + |w| ) |(f + g)(w)| + |(f + g) (w)| 3. w. ≤ sup(1 + |w|3 )[(|fˆ(w)| + |ˆ g (w)|) + |fˆ0 (w)| + |ˆ g 0 (w)|] w. ≤ sup(1 + |w|3 )[|fˆ(w)| + |fˆ0 (w)|] + sup(1 + |w|3 )[|ˆ g (w)| + |ˆ g 0 (w)|] w. w. = kf k + kgk. Agora, vamos provar que B3 é um espa¸co completo. Para isso, temos que mostrar que toda sequência (fn ) de Cauchy em B3 é convergente. Seja (fn ) ∈ B3 uma sequência de Cauchy. Então, dado ε > 0 existe n0 ∈ N tal que h i 0 kfn − fm k = sup(1 + |w|3 ) |(fn\ − fm )(w)| + |(fn\ − fm ) (w)| w h i 0 0 3 b c b c = sup(1 + |w| ) |fn (w) − fm (w)| + |fn (w) − fm (w)| w. ε < , ∀n, m ≥ n0 . 2 ε b0 c0 Da´ı, segue que, (1 + |w|3 )|[fbn (w) − fc m (w)| + |fn (w) − fm (w)|] < 2 .. Logo, e.

(85)

(86) ε

(87)

(88) sup(1 + |w|3 )

(89) fbn (w) − fc m (w)

(90) < , ∀n, m ≥ n0 2 w

(91) 0

(92) ε 0

(93)

(94) sup(1 + |w|3 )

(95) fbn (w) − fc (w)

(96) < , ∀n, m ≥ n0 . m 2 w. (2.17). 0 Pelo Critério de Cauchy (veja cap´ıtulo V em [15]), (fbn (w)) e (fbn (w)) convergem uniformemente 0 em R. Logo, fbn (w) → h(w) ∈ R e fbn (w) → h0 (w) ∈ R. Agora, precisamos mostrar que h(w) ∈ L2 (R). De (2.17), temos que, para todo w ∈ R. |h(w)| = |fbn (w) − h(w) + fbn (w)| ≤ |fbn (w) − h(w)| + |fbn (w)| <. 15. ε (1+|w|3 ). +. C . (1+|w|3 ).

(97) Assim, para todo w ∈ R 2 Z Z Z ε+C 1 2 2 |h(w)| dw ≤ dw ≤ [ε + C] dw < ∞. 3 3 R R (1 + |w| ) R 1 + |w| Logo, h(w) ∈ L2 (R) e pelo Lema 2.4 existe f (w) ∈ L2 (R) tal que h(w) = fˆ(w). Assim, h i 0 kfn − f k = sup(1 + |w|3 ) |(fbn − fˆ)(w)| + |(fbn − fˆ0 )(w)| w. h i 0 0 b c = sup lim (1 + |w|3 ) |(fbn − fc )(w)| + |( f − f )(w)| m n m w m→∞ h i 0 0 3 b c ≤ sup sup (1 + |w| ) |(fbn − fc m )(w)| + |(fn − fm )(w)| w m≥n 0 0 3 3 b c b c ≤ sup sup (1 + |w| )|(fn − fm )(w)| + sup sup (1 + |w| )|(fn − fm )(w)| w. w. m≥n. m≥n. ε ε + = ε, ∀n ≥ n0 . ≤ 2 2 Logo, fn −→ f . Além disso, kf k = kfn − f − fn k ≤ kfn − f k + kfn k < ∞. Portanto f ∈ B3 .. Proposi¸c˜ ao 2.3. Seja L > 1, então C(1, L2β ; B3 ) ≡ {u(x, t) : u(., t) ∈ B3 , ∀t ∈ [1, L2β ]}. (2.18). com a norma kukL = sup ku(., t)k, t∈[1,L2β ]. é um espa¸co de Banach. Prova: (C(1, L2β ; B3 ), k · kL ) é um espa¸co vetorial normado. De fato, tome u1 (x, t), u2 (x, t) ∈ C(1, L2β , B3 ) e considere α ∈ R então u1 (., t), u2 (., t) ∈ B3 para todo t ∈ [1, L2β ]. Como B3 é um espa¸co vetorial temos u1 (·, t) + u2 (·, t) ∈ B3 e αu1 (·, t) ∈ B3 . Logo, u1 (x, t) + u2 (x, t) ∈ C(1, L2β ; B3 ) e αu1 (x, t) ∈ C(1, L2β ; B3 ). Como k · k é uma norma e pelas propriedades do sup temos que k · kL é uma norma. Agora, vamos mostrar que C(1, L2β ; B3 ) é completo. Para isso, tome (fn ) uma sequência de Cauchy em C(1, L2β ; B3 ). Então, dado ε > 0, existe n0 ∈ N, tal que kfn − fm kL < ε ∀n, m ≥ n0 . Mas, kfn − fm kL = sup kfn (·, t) − fm (·, t)k. t∈[1,L2β ]. Logo, kfn (·, t) − fm (·, t)k < ε, e portanto, (fn (·, t)) é uma sequência de Cauchy em B3 . Pela proposi¸caõ anterior, B3 é um espa¸co completo. Logo, a sequência (fn (·, t)) é convergente em B3 , isto é, fn (·, t) −→ f (·, t) ∈ B3 . Portanto, (fn (x, t)) −→ f (x, t) ∈ C(1, L2β , B3 ), o que finaliza a demonstra¸caõ.. 16.

(98) 2.3. Teorema do ponto fixo para contra¸ co ˜es. Defini¸c˜ ao 2.6. Um ponto fixo de uma aplica¸cão T : X → X é um elemento de x ∈ X cuja imagem coincide com ele mesmo, isto é, T x = x. Defini¸c˜ ao 2.7. Seja (X, d) um espa¸co métrico, sendo d a fun¸cão distância. Uma aplica¸c˜ ao f : X → X é uma contra¸cão se existir um n´ umero real positivo α < 1 tal que, para todo x, y ∈ X, d(f (x), f (y)) ≤ αd(x, y). (2.19) Enunciaremos, a seguir, um importante resultado que será utilizado na prova da existência e unicidade de solu¸cões do problema de valor inicial (1.1), o Teorema do ponto fixo para contra¸cões em espa¸cos métricos completos. A demonstra¸cão desse teorema encontra-se em [14]. Teorema 2.3. Seja (X, d) um espa¸co métrico completo. Se f : X → X é uma contra¸cão, ent˜ ao f tem um ponto fixo em X.. 17.

(99) Cap´ıtulo 3 O Grupo de Renormaliza¸ c˜ ao Aplicado ` a Equa¸ c˜ ao Linear. Nesse cap´ıtulo, definiremos e aplicaremos o operador Grupo de Renormaliza¸cão (RG) para o seguinte problema de valor inicial: ut = M u, t > 1, x ∈ R (3.1) u(x, 1) = f (x), f ∈ B3 . Na primeira se¸caõ, encontraremos a solu¸cão do PVI (3.1). Na Se¸cão 3.2, motivaremos a defini¸caõ do operador Grupo de Renormaliza¸cão, que será definido na Se¸caõ 3.3, através da defini¸caõ de solu¸co˜es invariantes por uma mudan¸ca de escala adequada. Também, na Se¸caõ 3.3 provaremos importantes propriedades do operador RG. Finalmente, na Se¸cão 3.4, obteremos o comportamento assintótico da solu¸caõ do PVI (3.1).. 3.1. A Solu¸c˜ ao da equa¸c˜ ao. Iremos obter formalmente uma expressão para a solu¸caõ do PVI (3.1), através da Transformada de Fourier (veja Defini¸caõ 2.2). Aplicando a Transformada de Fourier em ambos os lados da equa¸caõ (3.1) e usando (1.4), obtemos: uˆt = −|w|2β uˆ ⇒. dˆ u = −|w|2β dt. uˆ. Integrando, ln (ˆ u) = −|w|2β t + C. ⇒. uˆ = e−|w|. 2β t+C. Fazendo ec = C0 , uˆ(w, t) = C0 e−|w| 18. 2β t. .. ⇒. uˆ = e−|w|. 2β t. ec ..

(100) Assim, para t = 1 temos, uˆ(w, 1) = C0 e−|w|. 2β. = fˆ(w).. Então, C0 =. fˆ(w) . e−|w|2β. Logo, para todo t: 2β uˆ(w, t) = fˆ(w)e−|w| (t−1) .. (3.2). Tomando a Transformada Inversa de Fourier(veja Defini¸caõ 2.3) da equa¸caõ acima, obtemos: Z ∞ 2β (3.3) e−|w| (t−1) eiwx fb(w)dw. u(x, t) = −∞. 3.2. Solu¸c˜ oes invariantes por mudan¸ ca de escalas. Nas u ´ltimas décadas do século XX, grupos de f´ısicos passaram a se interessar pela dinâmica de sistemas ditos complexos, cujas partes se interagem de forma não linear. Uma das propriedades marcantes de tais sistemas é a presen¸ca de leis de escala. A tentativa de se construir um esquema teórico para esses fenômenos deu origem a novos ramos da f´ısica, como a teoria do caos e a f´ısica dos sistemas complexos. Conceitos como criticalidade, autossimilaridade e leis de escala passaram a fazer parte da f´ısica contemporânea (veja [10, 20]). Nos anos 90 tais ideias come¸caram a surgir no contexto de EDP, na busca pelo comportamento assintótico de solu¸co˜es (veja [1, 3]). Apresentaremos nessa se¸caõ como a ideia de invariância por escalas se aplica nesse contexto, para o caso particular da solu¸caõ de ut = M u. Queremos obter aqui uma mudan¸ca de escalas adequada de maneira que após a mudan¸ca de escalas a fun¸caõ ainda seja solu¸caõ de tal equa¸caõ. Assim, se reescalonarmos a variável espacial por L > 1, gostar´ıamos de determinar qual deverá ser a mudan¸ca de escalas na variável temporal e na própria solu¸caõ de forma que a equa¸caõ fique invariante, isto é, quais deverão ser os expoentes α e λ de maneira que: v(x, t) = Lα u(Lx, Lλ t) (3.4) seja também solu¸caõ da mesma equa¸caõ. Mostraremos que os expoentes λ e α devem ser, respectivamente 2β e 1. Definindo as variáveis y = Lx e s = Lλ t e tomando a derivada de v em rela¸caõ a t, temos, pela regra da cadeia: vt (x, t) = Lα+λ us (Lx, Lλ t). Como u é solu¸cão de (3.1), então us = M u e podemos escrever a equa¸cão acima em fun¸caõ do operador M , isto é, υt (x, t) = Lα+λ M u(Lx, Lλ t). (3.5). 19.

(101) Usando o Lema 2.3 e (1.4), temos:

(102)

(103) w 1

(104) w

(105) 2β λ F{M u(Lx, L t)}(w) = −

(106)

(107) uˆ ,L t L L L w i 1 h 2β λ − |w| u ˆ , L t . = L1+2β L λ. Observe que, aplicando a Transformada de Fourier em (3.4), obtemos novamente do Lema 2.3: F{υ(x, t)}(w) = F{Lα u(Lx, Lλ t)}(w) w α 1 λ = L · uˆ ,L t L L w λ ,L t . = Lα−1 uˆ L Assim, λ. . 1. 2β. 1. . −|w| · α−1 vˆ(w, t) L1+2β L 1 d = M v(w). Lα+2β. F{M u(Lx, L t)}(w) =. Tomando a Transformada Inversa de Fourier da equa¸caõ acima, obtemos: M u(Lx, Lλ t) =. 1 Lα+2β. M v(x, t).. (3.6). Substituindo (3.6) em (3.5), temos: 1 vt (x, t) = α+2β M v(x, t). α+λ L L Logo, para que a equa¸caõ fique invariante, devemos ter: λ = 2β. Observe que, se fizermos β = 1 na equa¸caõ (3.1) obtemos a equa¸cão do calor (ut = uxx ). A princ´ıpio, α poderia assumir qualquer valor, porém, motivados pelos resultados obtidos para a equa¸caõ do calor (veja [16]), mostraremos, através de uma “lei de conserva¸cão” que o expoente α deve ser igual a 1. Seja u(x, t) a solu¸cão da equa¸cão (3.1), então, para L > 1: v(x, t) = Lα u(Lx, L2β t), ∀x ∈ R, ∀t > 0. Para a determina¸caõ de α, definiremos a massa M de uma fun¸cão f por: Z M≡ f (x)dx. R. Considerando a conserva¸caõ da massa para o problema em questão, obtemos: Z Z M≡ u(x, 1)dx = u(x, t)dx, ∀t ≥ 1, R. R. 20.

(108) em que u(x, t) é solu¸caõ do PVI (3.1). Assim, Z M=. Z u(x, 1)dx =. R. Z u(x, t)dx =. R. α. 2β. L u(Lx, L t)dx = L. α−1. R. Z. u(x, L2β t)dx.. R. Fazendo t = 1/L2β na u ´ltima integral, obtemos que M = Lα−1 M , e, portanto, α = 1. Logo, a mudan¸ca de escalas que será utilizada é v(x, t) = Lu(Lx, L2β t).. 3.3. (3.7). Defini¸c˜ ao do operador RG. Motivados pelo resultado obtido na se¸caõ anterior, definiremos o operador RG para a equa¸caõ (3.1) e veremos algumas de suas propriedades. Dado L > 1, faremos o seguinte: 1. Integramos a equa¸caõ (3.1) e evolu´ımos o dado inicial f (x) = u(x, 1) do tempo t = 1 ao tempo t = L2β , obtendo assim, u(x, L2β ); 2. Reescalonamos, então, a variável espacial por L e obtemos, u(Lx, L2β ); 3. Por fim, reescalonamos a solu¸cão u por L, obtendo Lu(Lx, L2β ). Os três passos descritos acima podem ser resumidos pela seguinte expressão: RL f (x) ≡ Lu(Lx, L2β ).. (3.8). Observe que a fun¸cão obtida após a realiza¸cão dos três passos descritos acima é a imagem do dado inicial do PVI (3.1) pelo operador RL . Assim, RL é um operador atuando sobre o espa¸co dos dados iniciais. Ele possui as seguintes propriedades: 1. RL f ∈ B3 , ∀f ∈ B3 ; 2. RL f é linear; 3. RL possui a propriedade de semi-grupo, ou seja, RLn ≡ RL ◦ · · · ◦ RL = RLn ; 2β 4. RL f ∗ = f ∗ , sendo fb∗ (w) = e−|w| .. Provaremos essas propriedades a seguir.. 21.

(109) Propriedade 1: Pela Defini¸caõ do operador RL em (3.8) e pelo Lema 2.3 w 1 w 2β 2β 2β d c u ˆ , L = u ˆ , L . R f (w) = Lu(Lx, L ) = L · L L L L. (3.9). Além disso, da solu¸cão (3.2), w 2β −2β d ˆ RL f (w) = f e−|w| (1−L ) . L De (1.3), definimos a norma de RL f da seguinte maneira: h i d d0 kRL f k = sup (1 + |w|3 ) |R . L f (w)| + |RL f (w)|. (3.10). (3.11). w∈R. Como f ∈ B3 , temos que fˆ( wL ) ∈ C 1 (R). Logo, derivando a equa¸cão (3.10), encontramos: 1 ˆ0 w ˆ w 2β −2β 0 2β−1 −2β d (RL f ) (w) = f +f (−2β|w| )(1 − L ) e−|w| (1−L ) . (3.12) L L L Portanto, da Defini¸caõ (3.11), temos: 3. kRL f k ≤ sup 1 + |w| w∈R. .

(110)

(111)

(112)

(113)

(114)

(115)

(116) ˆ w

(117) 1

(118) ˆ0 w

(119) 2β−1 −2β

(120) ˆ w

(121) −|w|2β (1−L−2β ) (1 − L )

(122) f .

(123) f

(124) +

(125) f

(126) + 2β|w|

(127) e L L L L. Usando que L > 1 temos que 1 + w3 ≤ L3 + w3 e, tomando 2β −2β C(β) ≡ sup 1 + 2β|w|2β−1 (1 − L−2β ) e−|w| (1−L ) , w∈R. então, kRL f k ≤ C(β) sup L. 3. w∈R. .

(128) w

(129) 3

(130) w

(131)

(132) w

(133)

(134)

(135) ˆ0

(136)

(137)

(138)

(139) ˆ ≤ L3 C(β)kf k < ∞, 1+

(140)

(141)

(142) +

(143) f

(144)

(145) f L L L. pois f ∈ B3 . Portanto, RL f ∈ B3 .. Propriedade 2: Considere u solu¸c˜ ao da equa¸cão (3.1) tal que u(x, 1) = (cf + g)(x) para fun¸c˜ oes f, g ∈ B3 e c ∈ R. Ent˜ ao aplicando o operador Grupo de Renormaliza¸cão em u, temos RL u(x, 1) = RL (cf + g)(x) = Lu(Lx, L2β ) sendo u dada por (3.3). Reescalonando devidamente a equa¸cão (3.3), temos Z ∞ 2β 2β \ RL (cf + g)(x) = L e−|w| (L −1) eiwLx (cf + g)(w)dw −∞. Como a Transformada de Fourier é uma aplica¸cão linear e pela linearidade da integral, temos Z ∞ Z ∞ 2β 2β −|w|2β (L2β −1) iwLx b RL (cf + g)(x) = cL e e f (w)dw + L e−|w| (L −1) eiwLx gb(w)dw −∞. −∞. = cRL f + RL g. Logo, o operador RG é linear.. 22.

(146) Propriedade 3: Considere a solu¸c˜ ao u, para 1 ≤ t ≤ L4β e defina v(x, t) = Lu(Lx, L2β t). Ent˜ ao, como já provamos, v(x, t) é também solu¸cão da equa¸cão, mas com o dado inicial Lu(Lx, L2β ) e est´ a bem definida, para todo t ∈ [1, L2β ]. Ent˜ ao, por (3.7) e (3.8), obtemos: v(Lx, L2β ) = Lu(LLx, L2β L2β ) = Lu(L2 x, L4β ). Assim, RL2 f = L2 u(L2 x, L4β ) = Lv(Lx, L2β ). Mas, v(x, 1) = Lu(Lx, L2β ) e RL v(x, 1) = Lv(Lx, L2β ). Logo, 2 RL2 f = RL v(x, 1) = RL (Lu(Lx, L2β )) = RL (RL f ) = RL f. n ≡ R ◦ · · · ◦ R = R n. Esse exato procedimento segue para obtermos RL L L L. Propriedade 4: Substituindo 2β fc∗ (w) = e−|w|. em (3.10) obtemos: w 2β −2β ) ∗ (w) = e−|w| (1−L ∗ c \ R f f L L 2β −w2β (1−L−2β ) −( w ) = e e L = e−w. 2β +( w )2β −( w )2β L L 2β. = e−w . ∗ c∗ \ Logo, R L f (w) = f (w) e tomando a Transformada Inversa de Fourier obtemos o resultado.. 3.3.1. Lema da Contra¸ c˜ ao em B3. Outra importante propriedade do operador RL é que fun¸cões com certas propriedades podem ser contra´ıdas pela aplica¸c˜ ao do Grupo de Renormaliza¸cão. De fato, para L suficientemente grande, veremos que o operador RL ser´ a uma contra¸c˜ ao no espa¸co das fun¸cões g ∈ B3 tais que gˆ(0) = 0. Lema 3.1. Suponha g ∈ B3 tal que gˆ(0) = 0. Ent˜ ao, dado L0 > 1, existe uma constante C1 (dependente apenas de β) tal que para todo L ≥ L0 : kRL gk ≤. C1 (β) kgk. L. Prova: De (3.2) e (3.9), temos: w w w 2β −2β 2β −( w )2β (L2β −1) d L , L = g ˆ R g(w) = u ˆ = g ˆ e e−w (1−L ) . L L L L Derivando a equa¸c˜ ao acima, w w 1 0 2β −2β 2β −2β 2β−1 d R (1 − L−2β )e−w (1−L ) gˆ + gˆ0 e−w (1−L ) . L g (w) = −2βw L L L. 23. (3.13).

(147) Como g ∈ B3 , segue que gˆ ∈ C 1 (R). Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, gˆ. w L. Z = gˆ(0) +. w L. gˆ0 (t)dt.. 0. Da defini¸cão de norma em B3 temos que |ˆ g 0 (w)| ≤ kgk. Assim, Z w

(148) w

(149)

(150) w

(151) Z wL L

(152)

(153)

(154)

(155) kgkdt ≤ kgk dt ≤

(156)

(157) kgk.

(158) gˆ

(159) ≤ L L 0 0

(160)

(161) ≤ kgk e 1 − L−2β ≤ 1,

(162) w

(163) h

(164) w

(165)

(166)

(167) −w2β (1−L−2β )

(168) 2β−1 −2β −w2β (1−L−2β )

(169) kRL gk ≤ sup (1 + |w|3 )

(170) gˆ e + 2β|w| (1 − L )e

(171)

(172) gˆ

(173) + L L w∈R

(174) w

(175)

(176)

(177) 1

(178)

(179)

(180)

(181)

(182) −w2β (1−L−2β )

(183) 0 e

(184)

(185) gˆ L

(186) L

(187)

(188)

(189)

(190)

(191) 1 3 −w2β (1−L−2β )

(192) w

(193) 2β−1 −2β

(194) w

(195) ≤ sup (1 + |w| )e (1 − L )

(196)

(197) kgk + kgk

(198)

(199) kgk + 2β|w| L L L w∈R h i kgk 2β −2β . ≤ sup (1 + |w|3 )e−w (1−L ) |w| + 2β|w|2β + 1 L w∈R.

(200) Usando ainda que

(201) gˆ0. w L. Definindo, C1 (β) = sup (1 + |w|3 )e−w. 2β (1−L−2β ) 0. h i |w| + 2β|w|2β + 1. w∈R. obtemos, kRL gk ≤ C1 (β)L−1 kgk. que é o resultado desejado.1. 3.4. An´ alise assint´ otica para o caso linear. Provaremos, nessa se¸c˜ ao, que através do operador RG é poss´ıvel caracterizar o comportamento assintótico da solu¸c˜ ao de um problema de valor inicial, desde que este perten¸ca a B3 e seja suficientemente pequeno. A ideia para obten¸c˜ ao do comportamento assintótico consiste em decompor o dado inicial em duas parcelas, sendo uma delas na dire¸c˜ ao da fun¸cão f ∗ , ou seja, do ponto fixo do operador RG: f (x) = fˆ(0)f ∗ (x) + g0 (x),. (3.14). isto é, definiremos uma fun¸c˜ ao g0 ≡ f − fˆ(0)f ∗ de forma a obter a decomposi¸cão acima. Seguindo os passos descritos na Se¸c˜ ao 3.3 encontraremos a solu¸cão reescalonada para o primeiro problema, que será utilizada como condi¸c˜ ao inicial para o próximo PVI, similiar ao anterior. Então, o problema de tomar t → ∞ ir´ a se tranformar em itera¸c˜ oes de aplica¸cões do operador RG ao dado inicial e obteremos uma sequência de PVIs em intervalos limitados de tempo fixo. O procedimento se resume portanto em estudar a evolu¸c˜ ao do dado inicial, sendo que em cada itera¸cão, uma das componentes sempre estar´ a na dire¸cão do ponto fixo e a componente restante decairá para zero quando n tende para infinito. 1. Observe que L0 pode ser qualquer constante maior que um. A imposi¸cão de que L ≥ L0 é para que as estimativas sejam uniformes em L de forma que a constante C1 independa de L.. 24.

(202) Teorema 3.1. Sejam u solu¸c˜ ao do PVI (3.1) e f ∗ definida em (1.6). Ent˜ ao, 1. 1. lim kt 2β u(t 2β ·, t) − fˆ(0)f ∗ (·)k = 0.. (3.15). t→∞. Para demonstrar o teorema acima precisaremos do seguinte lema: Lema 3.2. Seja f ∗ o ponto fixo do operador RL . Ent˜ ao existe uma constante C β tal que kf ∗ k ≤ C β . De fato, da defini¸c˜ ao da norma em B3 : h i 0 kf ∗ k = sup (1 + |w|3 ) |fˆ∗ (w)| + |fˆ∗ (w)| . w∈R 2β Como fc∗ (w) = e−|w| ,. 2β 2β kf ∗ k = sup (1 + |w|3 ) e−|w| + 2β|w|2β−1 e−|w| w∈R 2β 2β 2β 2β = sup e−|w| + 2β|w|2β−1 e−|w| + |w|3 e−|w| + 2β|w|2β+2 e−|w| . w∈R. Encontraremos uma cota superior (independente de w) para cada parcela da equa¸cão acima, encontrando os máximos, que ser˜ ao obtidos através da derivada de cada fun¸cão:. 1. Para a primeira parcela n˜ ao é necessária a obten¸cão do máximo da fun¸cão, visto que obtemos 2β facilmente uma cota superior para a primeira fun¸cão acima: Ω(w) = e−|w| ≤ 1. 2β. 2. ϕ(w) = 2β|w|2β−1 e−|w| . ϕ0 (w). =. (4β 2 |w|2β−2. +. . Então, ϕ(w) ≤ 2β 1 −. 2β|w|2β−2 1 2β. 1−. 1 2β. − . e. 2β 4β 2 |w|4β−2 )e−|w|. ⇒. =0. . w = 1−. 1 2β. . 1 2β. .. . 1 −1 2β. .. 2β. 3. ψ(w) = |w|3 e−|w| . ψ 0 (w) = (3|w|2 − 2β|w|2β+2 )e−|w| 3 3 3 2β − 2β Entao, ψ(w) ≤ 2β e .. 2β. =0. ⇒. . w=. . 3 2β. 1 2β. .. 2β. 4. χ(w) = 2β|w|2β+2 e−|w| . χ0 (w) = 4β 2 |w|2β+1 + 4β|w|2β+1 − 4β 2 |w|4β+1 = 0 1+ 1 β − 1 +1 Então, χ(w) ≤ 2β 1 + β1 e β .. ⇒. 1 2β w = 1 − β1 .. Logo, kf ∗ k ≤ C β , sendo: ". . 1 C β ≡ 1 + 2β 1 − 2β. 1−. 1 2β. . e. . . 1 −1 2β. +. 3 2β. . 25. 3 2β. 3 − 2β. e. 1 # 1 1+ β − 1+ β1 + 2β 1 + e . β. (3.16).

(203) Prova do Teorema: Como f, f ∗ ∈ B3 e explicitamos uma constante C β , dependente apenas de β tal que kf ∗ k ≤ C β , podemos definir uma fun¸cão g0 ∈ B3 por: g0 (x) ≡ f (x) − fˆ(0)f ∗ (x). Pela defini¸cão da norma em B3 , e como kf ∗ k ≤ C β temos, kg0 k ≤ kf k + |fˆ(0)|kf ∗ k ≤ (1 + C β )kf k.. (3.17). Dado L ≥ L0 > 1, como RL é um operador linear, f ∗ é ponto fixo do RL e definindo g1 ≡ RL g0 , obtemos: RL f. = RL [fˆ(0)f ∗ ] + RL g0 = fˆ(0)RL f ∗ + g1 = fˆ(0)f ∗ + g1 .. Fazendo A0 = fˆ(0), temos. RL f = A0 f ∗ + g1 ≡ f1 .. Observe que como fc∗ (0) = 1, ent˜ ao gb0 (0) = 0. Logo, pelo Lema da Contra¸cão, kg1 k = kRL g0 k ≤. C1 kg0 k. L. Observe que por (3.10). w −|w|2β (1−L−2β ) [ , gb1 (w) = R gˆ0 L g0 (w) = e L e assim, gb1 (0) = 0. Em seguida, definimos g2 ≡ RL g1 : h i 2 RL f = RL (f1 ) = RL fˆ(0)f ∗ (x) + RL g1 = A0 f ∗ + RL g1 = A0 f ∗ + g2 . Como gb1 (0) = 0, podemos aplicar o Lema da contra¸cão, e obtemos: kg2 k = kRL g1 k ≤. C1 kg1 k. L. Mas, C1 kg1 k ≤ kg0 k L. ⇒. kg2 k ≤. C1 L. 2 kg0 k.. Além disso, mais uma vez, temos: cL g1 (w) = e−|w|2β (1−L−2β ) gˆ1 w ⇒ gˆ2 (0) = 0. gb2 (w) = R L. 26.

(204) nf = A f∗ + g , Usaremos um racioc´ınio indutivo para provar o teorema. Portanto, suponhamos que RL 0 n com gbn (0) = 0 e n C1 kg0 k. (3.18) kgn k ≤ L. Assim, n+1 n RL f = RL (RL f ) = RL (A0 f ∗ + gn ) = A0 f ∗ + RL gn .. Agora, seja gn+1 = RL gn . Ent˜ ao, pelo Lema da Contra¸cão, C1 kgn+1 k = kRL gn k ≤ kgn k ≤ L. . C1 L. n+1 kg0 k.. Temos ainda gd n+1 (0) = 0, pois, w −|w|2β (1−L−2β ) [ gd gˆn ⇒ gˆn+1 (0) = 0. n+1 (w) = RL gn (w) = e L n f (x) = Ln u(Ln x, L2nβ ) pela propriedade de Portanto, (3.18) é v´ alida, para todo n ∈ N e, como RL semi-grupo do RG, n C1 n n 2nβ ∗ kg0 k, ∀n ∈ N. kL u(L x, L ) − A0 f (x)k ≤ L. Considerando L > C1 , quando n → ∞ obtemos: lim kLn u(Ln x, L2nβ ) − A0 f ∗ (x)k = 0.. n→∞. Tomando t = L2nβ , obtemos finalmente: 1. 1. lim kt 2β u(t 2β x, t) − fˆ(0)f ∗ (x)k = 0,. t→∞. que é o resultado desejado.. 27. (3.19).

(205) Cap´ıtulo 4 O Grupo de Renormaliza¸ c˜ ao Aplicado ` a Equa¸ c˜ ao Linear com Termo Dispersivo. Nesse cap´ıtulo, obteremos o comportamento assintótico do seguinte problema de valor inicial: ut = M u − ηuxxx , t > 1, x ∈ R u(x, 1) = f (x), f ∈ B3 ,. (4.1). sendo η ∈ [0, 1]. Para esse estudo seguiremos as mesmas ideias usadas no cap´ıtulo anterior, isto é, na Se¸cão 4.1 encontraremos a solu¸c˜ ao do PVI (4.1). Na Se¸cão 4.2 definiremos o operador RG que possui as mesmas propriedades definidas na Se¸caõ 3.3, exceto a propriedade 4. Mostraremos, na Se¸c˜ ao 4.2, ∗ que para o caso linear com termo dispersivo, a fun¸cão f não será ponto fixo do operador como no caso linear. No entanto, isso n˜ ao afetar´ a a caracteriza¸cão do comportamento assintótico do PVI acima que será obtido na Se¸c˜ ao 4.3.. 4.1. A Solu¸c˜ ao da equa¸c˜ ao. Para obtermos uma solu¸c˜ ao para o PVI acima utilizaremos o Teorema 2.2 que relaciona a transformada de Fourier de uma fun¸c˜ ao com sua derivada. Para n = 0 e m = 1, (ix). d dx. 0. fˆ = F. ". d dx. #. 1. 0. [(−ix) f ]. →. u ˆx = iwˆ u.. Para n = 0 e m = 2, (ix)2. . d dx. 0. fˆ = F. ". d dx. 2. # [(−ix)0 f ]. 28. →. u ˆxx = −w2 u ˆ..

(206) Para n = 0 e m = 3, (ix). 3. . d dx. 0. fˆ = F. ". d dx. #. 3. 0. u ˆxxx = −iw3 u ˆ.. →. [(−ix) f ]. Aplicando a Transformada de Fourier em ambos os lados da equa¸cão (4.1), obtemos: u ˆt = −|w|2β u ˆ + iηw3 u ˆ.. (4.2). Integrando, ln (ˆ u) = −(|w|2β − iηw3 )t + C. u ˆ = e−(|w|. ⇒. 2β −iηw 3 )t+C. ⇒. u ˆ = e−(|w|. 2β −iηw 3 )t. ec. Fazendo ec = C, u ˆ(w, t) = Ce−(|w|. 2β −iηw 3 )t. Temos que: u ˆ(w, 1) = Ce−(|w|. 2β −iηw 3 ). = fˆ(w). Logo, para todo t: u ˆ(w, t) = fˆ(w)e−(|w|. 2β −iηw 3 )(t−1). .. (4.3). Tomando a Transformada Inversa de Fourier (veja defini¸cão (2.3)) da equa¸cão acima, obtemos: Z ∞ 2β 3 u(x, t) = e−(|w| −iηw )(t−1) eiwx fb(w)dw. −∞. 4.2. Defini¸c˜ ao do operador RG e suas propriedades. Seja u a solu¸cão de (4.1) e defina, para L > 1, u1 (x, t) = Lu(Lx, L2β t). Gostar´ıamos de mostrar que u1 também é solu¸cão da mesma equa¸cão (4.1), com u1 (x, 1) = Lu(Lx, L2β ). Para isso, definimos y = Lx e s = L2β t e tomemos a derivada de u1 em rela¸cão a t, e pela regra da cadeia, (u1 )t = L2β+1 us . Tomando agora a derivada em rela¸c˜ ao a x, temos que (u1 )x = L2 uy , e com isso, (u1 )xxx = L4 uyyy . Na Se¸cão 3.2 mostramos que M u = us = M u − ηuyyy. ⇒. 1 M u1 L1+2β. (veja (3.6) e como u é solu¸cão de (4.1), temos:. (u1 )t 1 (u1 )xxx = 1+2β M u1 − η L4 L1+2β L. ⇒. Logo, u1 satisfaz o seguinte problema de valor inicial: (u1 )t = M u1 − ηL2β−3 (u1 )xxx , u1 (x, 1) = Lu(Lx, L2β ) ≡ f1 (x).. 29. (u1 )t = M u1 − ηL2β−3 (u1 )xxx .. (4.4).

(207) Agora, iteramos esse procedimento, considerando u1 solu¸cão de (4.4) e definindo u2 (x, t) = Lu1 (Lx, L2β t). Novamente, usando que M u1 =. 1 M u2 , L1+2β 2β+1. (u2 )t = L. . temos 1. 2β−3. L1+2β. . M u2 − ηL. (u2 )xxx L4. .. Logo, u2 satisfaz o PVI: . (u2 )t = M u2 − ηL4β−6 (u2 )xxx , u2 (x, 1) = Lu1 (Lx, L2β ) = L2 u(L2 x, L4β ) ≡ f2 (x).. (4.5). Assim, para obter a sequência de PVIs, procederemos indutivamente. Então, suponha uk solu¸cão de: (uk )t = M uk − ηLk(2β−3) (uk )xxx , (4.6) uk (x, 1) = Luk−1 (Lx, L2β ) = Lk u(Lk x, L2kβ ) ≡ fk (x) e seja uk+1 definida por uk+1 (x, t) = Luk (Lx, L2β t). Então, (uk+1 )t = L2β+1 us = L2β+1 (M uk − ηLk(2β−3) (uk )yyy ). Novamente temos, M uk =. 1 M uk+1 . L1+2β. Assim, 2β+1. (uk+1 )t = L. . 1 L1+2β. k(2β−3). M uk+1 − ηL. . (uk+1 )xxx L4. .. Logo, uk+1 satisfaz: o novo PVI: (uk+1 )t = M uk+1 − ηL(k+1)(2β−3) (uk+1 )xxx , uk+1 (x, 1) = Luk (Lx, L2β ) = Lk+1 u(Lk+1 x, L2(k+1)β ) ≡ fk+1 (x).. (4.7). Vimos que, definindo a sequência de fun¸cões renormalizados uk (x, t) = Lk u(Lk x, L2kβ t), em que u é solu¸cão de (4.1), ent˜ ao uk satisfaz, para cada k o PVI (4.7). Assim, somos motivados a definir o operador RG para o problema (4.1). Considerando η ∈ [0, 1] e fk o dado inicial do problema (4.6), então, RL,ηk fk (x) ≡ Luk (Lx, L2β ),. (4.8). sendo ηk = ηL(2β−3)k com k = 0, 1, 2, ... . O segundo ´ındice na defini¸cão do operador RG diz respeito ao coeficiente do termo dispersivo uxxx . Além disso, como L > 1, η ∈ [0, 1] e 2β − 3 ≤ −1 ent˜ ao |ηk | ≤ |η| ≤ 1. Considerando a solu¸c˜ ao do problema (4.1) dada por (4.3) é fácil ver que as propriedades 1, 2 e 3 da se¸cão 3.3 s˜ ao verdadeiras para o operador RL,ηk . Além disso, veremos, mais adiante, que o operador RL,ηk também satisfaz o Lema da Contra¸cão (Lema 4.3). Para o problema (3.1) vimos que a fun¸c˜ ao f ∗ dado por (1.6) é ponto fixo do operador RL definido em (3.8). O mesmo n˜ ao ocorre no caso linear com termo dispersivo, isto é, f ∗ não é ponto fixo do operador RL,ηk . Entretanto, mostraremos que assintoticamente ele será. Para isto, considere o seguinte lema:. 30.

(208) Lema 4.1 (Ponto fixo assint´ otico). Suponha que:. 3 4. kRL,ηk f ∗ − f ∗ k ≤. < β ≤ 1. Ent˜ ao, existem constantes L0 (β) e Cβ tais Cβ , ∀L ≥ L0 (β). Lk+1. (4.9). Prova: Pela defini¸c˜ ao (1.3) temos: i h ∗ (w) − f ∗ (w))0 | . ∗ (w) − f ∗ (w)| + |(R\ c c f f kRL,ηk f ∗ − f ∗ k = sup (1 + |w|3 ) |R\ L,ηk L,ηk w∈R. Além disso, a transformada de Fourier de f ∗ é dada por: 2β fc∗ (w) = e−|w| .. Observe que RL,ηk f ∗ = Luk (Lx, L2β ), em que uk é solu¸cão do problema (4.6) com dado inicial f ∗ . Assim, analogamente ao que foi feito na análise do problema (3.1), obtemos portanto 2β (2β−3)k L(2β−3) |w|3 )(1−L−2β ) −| w |2β −(| w |2β −iηL(2β−3)k (| w |3 )(L2β −1) ˆ∗ w ∗ L L R\ f = e−(|w| −iηL e L . L,ηk f (w) = e L Como ηk = ηL(2β−3)k , podemos escrever: 2β 2β 3 −2β −(|w|2β −iηk+1 |w|3 )(1−L−2β ) −| w ∗ R\ e L | = e−|w| +iηk+1 |w| (1−L ) . L,ηk f (w) = e. Assim, −|w|2β iηk+1 |w|3 (1−L−2β ) ∗ c∗ R\ (e − 1). L,ηk f (w) − f (w) = e. (4.10) i 2−2β ∗ c∗ Para estimar o termo sup (1 + |w|3 )|R\ L,ηk f (w) − f (w)|, analisaremos dois casos. Fixado µ ∈ 0, 3−2β , . w∈R. consideraremos inicialmente que w, L e k são tais que |w|3 < L−(2β−3)(k+1)µ . Caso 1: |w|3 < L−(2β−3)(k+1)µ . (2β−3)(k+1) |w|3 (1−L−2β ). Defina ϕ ≡ |eiηL. − 1|, α = L(2β−3) e x = ηαk+1 |w|3 (1 − L−2β ).. Assim, ϕ(x) = |eix − 1|. Temos: Z 0. x.

(209) x eit

(210)

(211) 1 e dt =

(212) = (eix − 1). i