Publicações do PESC Algumas Propriedades de Máquinas sem Perda de Informação

ALGUMAS PROPRIEDADES DAS M ~ W INAS SEM PERDA DE INFORMAÇAO

M O I S ~ S R E N N ~ V I L E L A

T E S E SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENACÃO DOS PROGRA

-

MAS DE POS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDE

-

RAL DO R I O DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS N E C E S S ~

-

R I O S PARA OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS (M,Sc . ) .

A p r o v a d a p o r :

/ L

P a u l o A u g u s t o S i l v a V e l o s o ( P r e s i d e n t e )

3bsé

L u c a s M . R a n g e 1 N e t o S h a n k a r P . B h a t t a c h a r y y

V I

R I O DE J A N E I R O , R J

-

B R A S I L MAIO DE 1 9 7 7

V I L E L A , MOI SÉS R E N N ~

Algumas P r o p r i e d a d e s d a s Máquinas sem Perda de Inf ormagão

.

Rio de J a n e i r o 1 9 7 7 .

V I , 96 p . 29,7 cm (COPPE

-

U F R J , M.Sc.,

Engenharia de S i s t e m a s , 1 9 7 7 .

Tese

-

Univ. Fed. Rio de J a n e i r o . Fac. de Engenharia.

i i i

E s t e t r a b a l h o

é

d e d i c a d o a M e i r e , Marytta, M y r e l l a e

AGRADEC IMENTOS

Ao P r o f e s s o r Paulo Augusto S i l v a Veloso p e l a i n d i c a ç ã o do a s s u n t o e o r i e n t a ç ã o d e s t e t r a b a l h o ; ao P r o f e s s o r Nelson Maculan F i l h o t a n t o g e l o a p o i o c o - mo p e l o i n c e n t i v o c o n s t a n t e ; a o s P r o f e s s o r e s J O S ~ Lucas

M . Range1 N e t o , Shankar 9 . B h a t t a c h a r y y a ; a o s demais p r o f e s s o r e s e c o l e g a s d a COPPE que d e alguma forma c o - l a b o r a r a m com o n o s s o t r a b a l h o .

SINOPSE

E s t e t r a b a l h o t r a t a d e algumas p r o p r i e d a d e s d a s máquinas sem p e r d a d e i n f o r m a s ã o , t a i s como, i n t e r c o n e x õ e s s é r i e , p a r a l e l a , c a s c a t a e r e a l i m e n t a ç ã o . E s t u d a tambem o com- portamento d e s t a s máquinas sob homomorfismos, e f a z o s e u r e l a

-

cionamento com a s máquinas d e memória f i n i t a . E n c o n t r a - s e tam- bém n e s t e t r a b a l h o a s h t e s e da máquina i n v e r s a de uma máquina sem p e r d a de informação que

6

ao mesmo tempo máquina d e memÓ

-

r i a f i n i t a .

A i m p o r t â n c i a d e s t a c l a s s e d e máquinas

é

d e

-

v i d o a s u a s a p l i c a ç õ e s em problemas d e c o d i f i c a g ã o d e i n f o r m a -

ABSTRACT

T h i s work d e a l s w i t h some p r o p e r t i e s of i n f o r m a t i o n - l o s s l e s s m a c h i n e s , s u c h a s s e r i e s , p a r a l l e l and c a s c a d e i n t e r c o n n e c t i o n s a s w e l l a s t h o s e where f e e d b a c k i s p r e s e n t . I f a l s o s t u d i e s t h e b e h a v i o r of i n f o r m a t i o n l o s s l e s s machines u n d e r homomorphisms and e s t a b l i s h e s t h e i r r e l a t i o n

-

s h i p w i t h f i n i t e memory m a c h i n e s . The work a l s o p r e s e n t s t h e s y n t h e s i s of t h e i n v e r s e machine ( t h a t i s a machine which i s t h e i n v e r s e of a n i n f o r m a t i o n - l o s s l e s s machine a c t i n g a t t h e same t i m e a s a f i n i t e - m e m o r y m a c h i n e ) .

The i m p o r t a n c e of t h e s e c l a s s e s of machine l i e s i n t h e i r a p p l i c a t i o n t o problems i n v o l v i n g i n f ormat i o n coding

.

v i i S U M A R I O ...

. . .

I

.

I n t r o d u ç ã o 1 I1

.

R e v i s ã o d a L i t e r a t u r a

. . .

5 I11

.

~ á q u i n a s Sem P e r d a d e Informação

. . .

7

I V

.

C l a - s s i f i c a ç ã o d a s Maquinas Sem P e r d a d e Informa .

. . .

ç ã o 1 9

V

.

Maquina Sem P e r d a d e Informação Reduzida

. . . .

2 4 V I

.

I n t e r c o n e x õ e s d e ~ â q u i n a s S e q u e n c i a i s Sem P e r d a

. . .

d e Informação 2 7 V I 1

.

R e l a ç ã o e n t r e ~ á q u i n a s Sem P e r d a de Informação e ~ á q u i n a s d e MemÔria F i n i t a

. . .

48 V I 1 1

.

aquin nas

D e f i n i d a s

. . .

63 I X

.

C o n c l u s õ e s

. . .

68 X

.

R e f e r ê n c i a s ~ i b l i o g r á f i c a s

. . .

7 1

I . INTRODUCÃO

Um d o s problemas p r i n c i p a i s n a c o d i f i c a ç ã o e t r a n s m i s s ã o d e i n f o r m a ç õ e s

6

a d e t e r m i n a s ã o d a s c o n d i ç õ e s sob a s q u a i s

6

p o s s ? v e l r e c o n s t r u i r a s e q u ê n c i a de e n t r a d a d e uma máquina a p a r t i r d e sua c o r r e s p o n d e n t e s e q u ê n c i a d e s a l d a . E x i s

-

t e uma i m p o r t a n t e c l a s s e d e máquinas q u e , quando e x c i t a d a s por uma s e q u ê n c i a d e e n t r a d a , produzem uma s e q u ê n c i a d e s a í d a de

t a l modo q u e , d e p o i s de um e x p e r i m e n t o d e tamanho f i n i t o s o b r e a s m á q u i n a s , s u a s e q u ê n c i a d e e n t r a d a pode s e r d e t e r m i n a d a a p a r t i r do conhecimento da c o r r e s p o n d e n t e s e q u ê n c i a d e s a í d a , do e s t a d o i n i c i a l , do e s t a d o f i n a l e d a s e s p e c i f i c a ç õ e s p e l a s q u a i s a s máquinas transformam s e q u ê n c i a d e e n t r a d a em s e q u ê n c i a de s a í d a . E s t a s máquinas são chamadas d e máquinas sem p e r d a d e i n - formação. Ainda d e n t r o d e s t a c l a s s e d e máquinas encontramos a s máquinas de ordem f i n i t a que são a q u e l a s em que p a r a o c o n h e c i

-

mento d e um símbolo da s e q u ê n c i a d e e n t r a d a b a s t a conhecermos o

e s t a d o i n i c i a l e uma s e q u ê n c i a d e s a í d a d e comprimento f i n i t o . E s t a p r o p r i e d a d e d a s máquinas sem p e r d a d e informação pode s e r u s a d a na s o l u ç ã o d e inúmeros p r o b l e m a s . Como um exemplo, c o n s i - deremos o problema d e v e r i f i c a r a p r e c i s ã o de o p e r a ç ã o do c i r - c u i t o mostrado n a f i g u r a 1. Um d o s métodos p a r a r e s o l v e r e s t e problema c o n s i s t e na redução da v e r i f i c a ç ã o da p r e c i s ã o d e ope- r a ç ã o do c i r c u i t o p a r a s u c e s s i v a s v e r i f i c a j õ e s da p r e c i s ã o de o p e r a ç ã o d e c a d a máquina. P a r a a p l i c a ç ã o d e s t e método temos que l e v a r em c o n t a que somente temos a c e s s o

2

s a í d a d a maquina

_M7.

A s s a í d a s d a s máquinas

M 5

e

M 6

s ã o e n t r a d a s d a máquina

M 7

; _en

_-

l a s ,

é

n e c e s s á r i o conhecermos a e n t r a d a da máquina

M 7

a p a r t i r da r e s p o s t a do c i r c u i t o . E s t a s i t u a ç ã o

6

a n á l o g a p a r a o c a s o d a s demais máquinas. E n t ã o , uma d a s c o n d i ç õ e s n e c e s s á r i a s s i m - p l i f i c a d o r a s p a r a s o l u ç ã o do problema d e v e r i f i c a r a p r e c i s ã o d e o p e r a c ã o d e c i r c u i t o s como e s t e

6

que t o d a s a s máquinas s e - jam sem p e r d a d e i n f o r m a ç ã o .

Aqui n e s t e t r a b a l h o t r a t a m o s e s t a s máquinas e s t r i t a m e n t e sob o ponto d e v i s t a t e ó r i c o c o n s i d e r a n d o - a s sob o seu a s p e c t o d e t r a n s f o r m a ç ã o , e n t r a d a / s a í d a .

A n a l i s a n d o uma g r a n d e p a r t e d o s t r a b a l h o s e - x i s t e n t e s s o b r e máquinas sem p e r d a d e i n f o r m a g ã o , s e n t i m o s a n e

-

c e s s i d a d e d e s e f a z e r um e s t u d o d e m a i s algumas d e s u a s p r o p r i e

-

d a d e s , t a i s como seu comportamento d i a n t e do homomorfismo e i n

-

t e r c o n e x õ e s , seu r e l a c i o n a m e n t o com c l a s s e de máquinas d e memó

-

r i a f i n i t a e d e f i n i d a s .

No c a p z t u l o 3 i n t r o d u z i m o s algumas termino10

-

g i a s t e ó r i c a s s o b r e m á q u i n a s , d e f i n i m o s e i d e n t i f i c a m o s máqui- n a s sem p e r d a de i n f o r m a ç ã o . Em KOHAVI' encontramos que s e uma máquina

é

d e ordem f i n i t a ,

é

e v i d e n t e que k < n ( n - l ) / Z + l ,

-

onde k

é

o comprimento d a s e q u ê n c i a d e s a í d a que p r e c i s a m o s c o n h e c e r p a r a determinarmos o p r i m e i r o szmbolo d a s e q u ê n c i a de e n t r a d a e n

é

o número d e e s t a d o s d a máquina. N e s t e c a p í t u l o nós m o s t r a

-

mos e s t a e v i d ê n c i a .

No c a p ? t u l o 4 fazemos uma c l a s s i f i c a ç ã o d e máquinas d e ordem f i n i t a . Damos um a l g o r i t m o p a r a c o n s t r u ç ã o d e máquinas d e ordem f i n i t a k que não

s80

d e ordem f i n i t a ( k - 1 ) .

No c a p l t u l o 5 estudamos o comportamento d a s máquinas sem p e r d a d e informação m e d i a n t e o homomorf ismo .Mostra

-

mos que quando uma máquina d e ordem f i n i t a que p o s s u i e s t a d o s

e q u i v a l e n t e s

é

submetida a o s p r o c e s s o s d e r e d u ç ã o s u a ordem não a l t e r a .

No c a p í t u l o 6 i n t e r c o n e c t a m o s a s m&pin.as sem p e r d a d e informação e a n a l i s a m o s q u a i s seriam a s c a r a c t e r T s t i - c a s da niáquina r e s u l t a n t e .

Nos c a p ? t u l o s 7 e 8 fazemos o r e l a c i o n a m e n t o d a s máquinas sem p e r d a d e i n f o r m a ç ã o . com a s máquinas d e memó- r i a f i n i t a e d e f i n i d a s , v e r i f i c a n d o q u a l a vantagem d e s e . t e r

uma máquina d e memória f i n i t a que s e j a sem p e r d a d e i n f o r m a ç ã o . Damos um a l g o r í t m o p a r a c o n s t r u ç ã o d e t a i s m á q u i n a s .

LI.

Um d o s p r i m e i r o s p e s q u i . s a d o r e s a i n v e s t i g a r máquinas sem p e r d a d e informação f o i EIUFFMAN~

.

E l e , em seu t r a - b a l h o , d e f i n i u a c l a s s e d e máquinas d i t a s sem p e r d a d e informa

-

ç ã o . Mostrou uma forma c a n ô n i c a de c i r c u i t o s em que e s t a s maqui

-

n a s podem s e r s i n t e t i z a d a s e i n v e s t i g o u a e x i s t ê n c i a d o s i n v e r

-

s o s d e s t a s máquinas. D e f i n i u tambem a s máquinas d e ordem f i n i t a k em q u e , p a r a determinarmos o p r i m e i r o simbolo da s e q u ê n c i a de e n t r a d a , b a s t a conhecermos o e s t a d o i n i c i a l e uma s e q u ê n c i a de s a í d a d e comprimento k . Apresentou um t e s t e p a r a v e r i f i c a r quan

-

do

6

que uma máquina

é

d e ordem f i n i t a k . A n a l i s o u a c o n s t r u ç ã o d e s t a s máquinas d i r e t a m e n t e em t e r m o s de Hardware. Um d o s propÔ

-

s i t o s p r i n c i p a i s d e seu t r a b a l h o f o i d e s e n v o l v e r um diagrama que r e p r e s e n t a s s e uma máquina bem g e r a l que f o s s e sem p e r d a de informação

.

EVEN4 d e s c r e v e um t e s t e m a i s e f i c i e n t e que o t e s t e d e s e n v o l v i d o por H U F F M A N ~ . Seu t e s t e

6

baseado em t e r m o s d o s e s t a d o s da máquina.

E m a i s f a c i l m e n t e a n a l i s a d o e pode

s e r minimizado a n t e s d e s u a r e a . l i z a ç ã o . E l e d i s c o r r e s o b r e o que s e -

r i a um g r a f o sem p e r d a d e informação e l o g o em s e g u i d a f a z a p l i

-

c a ç ã o q a r a máquinas s e q u e n c i a i s . Também aborda o s i n v e r s o s d e s - t a s máquinas sem p e r d a d e informação. E l e , em seu t r a b a l h o , n o s dá a l g o r i t m o s s i m p l e s e e f i c i e n t e s p a r a d e t e ç ã o d e máquinas sem p e r d a d e informação

.

NEUMANNg

,

em seu t r a b a l h o , i n v e s t i g a o s e f e i t o s de e r r o s t e m p o r â r i o s , t a i s como e r r o s de e n t r a d a ( t r a n s f o r

-

mação d e s ~ m b o l o s , in s e r ç ã o ) , e r r o s de t r a n s i ç ã o d e e s t a d o s , e r

-

r o s d e s a í d a , e t c , em s i s t e m a s d e comunicação que usam máquinas sem p e r d a d e informação. E l e m o s t r a que e x i s t e m c o d i f i c a d o r a s p a

-

r a a s q u a i s a s d e c o d i f i c a d o r a s t r a b a l h a m i n c o r r e t a m e n t e somente t e m p o r a r i a m e n t e quando q u a l q u e r um d e s t e s e r r o s ocorrem no s i s - tema d e comunicação. Cada uma d e s t a s máquinas c o d i f i c a d o r a s sem p e r d a d e informação c o n s i d e r a d a s por NEUMANN', num s i s t e m a de comunicação

têm

uma s e q u ê n c i a de e n t r a d a que a s r e s i n c r o n i z a quando d a o c o r r ê n c i a d e um e r r o , bem como uma s e q u ê n c i a de s a í - da p a r a r e s i n c r o n i z a r a d e c o d i f i c a d o r a . E l e p a r t e do p o n t o d e que uma c o d i f i c a d o r a e uma d e c o d i f i c a d o r a c o m b i n a c i o n a l , podem s e r e s i n c r o n i z a r p a r a c ó d i g o s i n f i n i t a m e n t e g r a n d e , quando d a o c o r r é n c i a d e um e r r o , e f a z uma g e n e r a l i z a ç ã o p a r a o c a s o d e mãquinas sem p e r d a d e i n f o r m a ç ã o .

~ ~ ~ A ~ ~ ~ " e s e n v o 1 v e um método p a r a s e o b t e r a p a r t i r d e uma mãquina a r b i t r á r i a M, uma máquina sem p e r d a d e informagão que c o n t e n h a M . Seu método

é

baseado em m o d i f i c a ç õ e s da máquina o r i g i n a l com a d i ç ã o de uma s a í d a l ó g i c a . P a r a uma

k

maquina com 2 e s t a d o s , o número d e s a í d a s l ó g i c a s a d i c i o n a i s n e c e s s á r i o p a r a s e o b t e r uma máquina

M 1

que c o n t e n h a M e s e j a

sem p e r d a de informação

6

i g u a l a k .

S E R A N S K I I ' ~ d e s e n v o l v e um método p a r a s e c o n s t r u i r uma msquina que s e j a sem p e r d a d e informação s o b r e um c o n j u n t o r e g u l a r d e p a l a v r a s não v a z i o e s p e c i f i c a d o . E l e p a r t e d e uma máquina a r b i t r á r i a M e v a i i n t r o d u z i n d o s a f d a s a d i c i o - n a i s a t é s e o b t e r uma nova máquina

M 1

que t e n h a a p r o p r i e d a d e mencionada

.

I I I ,

MAQU

INAS SEM PERDA DE INFORMACÃO

Uma máquina s e q u e n c i a l (de Mea1y)pode s e r r e

-

p r e s e n t a d a p e l a q u ? n t u p l a M = < C , S , A, f

,

g >

,

onde : a ) C

é

um c o n j u n t o f i n i t o não v a z i o q u e r e p r e s e n t a o a l f a b e t o d e e n t r a d a . b) S

é

um c o n j u n t o f i n i t o não v a z i o q u e r e p r e s e n t a o s e s t a d o s d a mgquina. c ) A

é

um c o n j u n t o f i n i t o não v a z i o que r e p r e s e n t a o a l b a b e t o de s a í d a . d ) f : S x C +.S r e p r e s e n t a a f u n c ã o t r a n s i ç ã o d e e s t a d o s . e ) g : S x C + A r e p r e s e n t a a f u n ç ã o s a í d a . (Ver B O O T H ~ ) . Em M o prÕximo e s t a d o S ( t + l )

é

d e t e r m i n a d o u n i c a m e n t e em f u n ç ã o do e s t a d o a t u a l S ( t ) e da e n t r a d a p r e s e n t e x ( t ) , ou s e j a : p a r a x p e r t e n c e n d o a C (x E C ) .

,

z ( t ) E A , s ( t ) , s ( t + l ) E S ,

Podemos também u s a r uma s e t a (+) p a r a e s c r e

-

vermos a s d u a s e q u a ç õ e s a c i m a , i s t o

é;

. f

s ( t )

,

x

( t ) --ts ( t + l )

R

em obtermos S ( t + l )

.

Do mesmo modo s ( t )

,

x ( t ) -r*z ( t ) i n t e r p r e t a

-

mos como : s ( t ) , x ( t ) a t r a v é s da f u n ç ã o g i m p l i c a em obtermos

z ( t ) . Sempre com e s t a n o t a ç ã o queremos d i z e r que com a informa

-

ção que temos

5

e s q u e r d a da s e t a determinamos a informação _que

L e s t á a d i r e i t a da s e t a . Usualmente n ó s estendemos a s f u n ç õ e s d e t r a n

-

s i ç ã o f : S x C + S . e d e s a í d a g : S x C + A p a r a f : S x C* -t S e g : S x C*+ A*, t a l que s e u , v E C* e ~ ( t ) E S , f ( s ( t ) , U V ) ~ i g u a l a f (£ ( s ( t ) , u ) , v ) e g ( s ( t ) , u v )

6

i g u a l a g (f ( s ( t ) , u ) , v ) g (s ( t ) , u )

.

Onde C* e A* r e p r e s e n t a m o c o n j u n t o de s e q u ê n c i a s de comprimento f i n i t o , p o s i t i v o ou n u l o s o b r e , r e s p e c t i v a m e n t e , C e A .

Dizemos que

M

é

uma máquina d e Moore s e e s o

-

mente s e t o d o s s e u s e s t a d o s s ã o e s t a d o s de Moore, i s t o

é ,

s e e

somente s e p a r a t o d o a , y E C e s ( t ) ~ S , g ( s ( t ) , o ) = g ( s ( t ) , y ) . N e s t e c a s o podemos d e f i n i r a f u n ç ã o d e Moore h : S -t A, t a l que

h ( s ) s e j a i g u a l a g ( s , a ) .

1 1 1 . 2 . D e f i n i ç ã o (Ver KOHAVI')

Uma máquina M = C, S , A , f ,g>

6

sem p e r d a de informação s e o conhecimento do e s t a d o i n i c i a l , da s e q u ê n c i a de s a í d a e do e s t a d o f i n a l

é

s u f i c i e n t e p a r a d e t e r m i n a r a sequên- c i a d e e n t r a d a , i s t o

é ,

s e s i , sf E S , y s A* e

x

E C* e n t ã o

S i , S f ,

Y

+ X .

Uma máquina M s e r á sem p e r d a d e informação quando n e l a não o c o r r e r , p a r a algum e s t a d o , d o i s ou m a i s s u c e s

-

9

s o r e s com s u a s r e s p e c t i v a s s a í d a s i d ê n t i c a s , ou d u a s s e q u 6 n c i a s d e e n t r a d a d i s t i n t a s dando uma mesma s e q u ê n c i a de s a í d a p a r a um mesmo e s t a d o i n i c i a l e um mesmo e s t a d o f i n a l .

111.3. I d e n t i f i c a ç ã o d e uma máquina sem p e r d a d e i n f o r m a -

Mostramos a q u i n e s t e í t e m , com a u x í l i o d e d o i s exemplos, a d e f i n i ç ã o , a i d e n t i f i c a ç ã o d e uma máquina sem p e r d a d e informacão e a c o n d i ç ã o p a r a que e l a s e j a sem p e r d a de informação

.

A máquina M da f i g u r a 2

6

sem p e r d a d e i n f o r

-

mação p o i s : 1. nenhuma d a s l i n h a s da t a b e l a d e t r n a s i ç ã o da f i g u r a 2 p o s s u i d o i s pr6ximos e s t a d o s i d ê n t i c o s a s s o c i a d o s com s í m b o l o s d e s a í d a i g u a i s . 2 . A t a b e l a d e t e s t e d a f i g u r a 3 não p o s s u i nenhum p a r d e e s t a - d o s si = s que s ã o (sob a s a í d a ) yk s u c e s s o r e s d e algum e s -

j

t a d o s

,

ou s e j a , não p o s s u i nenhum p a r c o m p a t í v e l c o n s i s t i n

P

-

do d e e s t a d o s i g u a i s . Na f i g u r a 3 o p a r não ordenado formado p e l o s e s t a d o s A e B

6

o p a r c o m p a t í v e l AB, p o i s o s d o i s e s t a

-

d o s A e B s ã o yk = 0 0 , s u c e s s o r e s d e A . O p a r c o m p a t í v e l BC

é

um p a r i m p l i c a d o p e l o p a r c o m p a t í v e l AB. A máquina

M

d a f i g u r a 4

é

com p e r d a d e i n f o r

-

mação p o i s s u a t a b e l a d e t e s t e r e p r e s e n t a d a n a f i g u r a 4 p o s s u i um p a r c o m p a t í v e l (por exemplo BB) c o n s i s t i n d o d e d o i s e s t a d o s i d g n t i c o s

.

F i g u r a 2

AE,

DE

-

AB, BC

-

AB, BC

-

AB, BC

F i g u r a 3

-

_{AC, BC}

-

_{AB, BB}

A A BC

F i g u r a

4

Na máquina da f i g u r a 4 temos A,B,111 + 0 0 1 e A,B,111 + 1 1 0 , ou s e j a , um e s t a d o i n i c i a l A, um e s t a d o f i n a l B e uma Ú n i c a s e q u ê n c i a d e s a ? d a a s s o c i a d a com d u a s s e q u ê n c i a s d e e n t r a d a d i f e r e n t e s , c o n t r a r i a n d o a d e f i n i ç ã o d e máquinas sem p e r d a d e informação. 111.4. ~ á ~ u i n a I n v e r s a L

Em KOHAVI' encontramos que uma máquina M i e i n v e r s a d e

U ,

s e quando M i f o r e x c i t a d a p e l a s e q u ê n c i a d e s a í d a d e

M

p r o d u z i r a s e q u ê n c i a d e e n t r a d a d e M com um a t r a s o f i n i t o .

1 2

I

!

e v i d e n t e que a máquina M i s Õ pode s e r cons

-

t r u f d a s e M f o r sem p e r d a d e i n f o r m a ç ã o , e e l a p o d e r á s e r c o n s

-

t r u í d a p a r a p r o d u z i r a s e q u ê n c i a d e e n t r a d a de M d e p o i s d e um a t r a s o f i n i t o s e e somente s e M f o r uma máquina sem p e r d a d e i n formação d e ordem f i n i t a , i s t o

é ,

s e M f o r t a l que o conhecimen

-

t o do e s t a d o i n i c i a l e uma s e q u ê n c i a de s a í d a d e comprimento f i

-

n i t o forem s u f i c i e n t e s p a r a d e t e r m i n a r um símbolo da s e q u ê n c i a d e e n t r a d a . O s i s t e m a da f i g u r a 5

é

usado p a r a c o d i f i c a

-

ção e t r a n s m i s s ã o d e i n f o r m a ç õ e s . M c o d i f i c a a informação e t r a n s m i t e p a r a M i que d e c o d i f i c a , r e c o n s t i t u i n d o assim a i n f o r - mação r e c e b i d a p o r M . E s t e s i s t e m a d e c o d i f i c a ç ã o

,

t r a n s m i s s ã o e d e c o d i f i c a ç ã o

é

u s a d o n a t r a n s m i s s ã o d e i n f o r m a ç õ e s a t r a v é s d e c a n a i s em que o s i g i l o q u a n t o

à s

mesmas

6

m u i t o i m p o r t a n t e , ou que o s s i n a i s e s t ã o s u j e i t o s

5

i n t e r v e n ç ã o humana ou a r u z d o s .

111.5. ~ â q u i n a s sem p e r d a d e informação d e ordem f i n i t a

Quando t i v e r m o s um s i s t e m a d e máquinas sem p e r d a d e informação conforme a f i g u r a 5 , sendo u s a d o como um d i s p o s i t i v o d e c o d i f i c a ç ã o e d e c o d i f i c a ç ã o d e i n f o r m a ç õ e s

,

a r e c o n s t r u ç ã o da s e q u ê n c i a d e e n t r a d a

6

f e i t a l e v a n d o - s e em con- t a o e s t a d o i n i c i a l e o e s t a d o f i n a l . O maior problema n e s t e d i s p o s i t i v o d e d e c o d i f i c a ç ã o

é

que a informação q u a n t o a o e s t a - do f i n a l

só

é

t r a n s m i t i d a d e p o i s que t o d a s e q u ê n c i a d e s a I d a for t r a n s m i t i d a . Consequentemente t o d a informação d e v e r á s e r armaze

-

nada p a r a d e p o i s i n i c i a r a d e c o d i f i c a ç ã o . E n t ã o , p a r a o c a s o d e

13

uma s e q u ê n c i a d e s a í d a m u i t o l o n g a , e s t e p r o c e s s o de c o d i f i c a

-

s ã o , t r a n s m i s s ã o e d e c o d i f i c a ç ã o d e i x a d e s e r v i á v e l q u a n t o ao seu u s o . Tendo em v i s t a e s t a l i m i t a c ã o , d e s e n v o l v e u - s e um e s t u - do p a r a c o n s t r u ç ã o d e uma máquina em que não f o s s e n e c e s s á r i o o armazenamento d e t o d a informação t r a n s m i t i d a ; uma máquina em que o p r o c e s s o d e d e c o d i f i c a ç ã o p u d e s s e s e r i n i c i a d o somente quando s e c o n h e c e s s e o e s t a d o i n i c i a l e uma s e q u ê n c i a d e s a í d a de comprimento

f

i n i t o

.

IIUFFMAN~ d e f i n i u uma máquina que com o conhe

-

cimento do e s t a d o i n i c i a l e d e uma s e q u ê n c i a d e s a í d a d e compri

-

mento f i n i t o determinamos o p r i m e i r o símbolo da s e q u ê n c i a d e

e n t r a d a . A e s t a máquina e l e deu o nome d e máquina d e ordem f i n i

-

t a . Então s e emM = < L, S , A , f , g > p a r a s l E A , k y E bk (onde A r e p r e s e n t a o c o n j u n t o d e t o d a s a s s e q u ê n c i a s d e comprimento k d e A), x E L, s l , 1 y -c x1 dizemos que M

é

d e o r - dem f i n i t a i g u a l a k , s e lc f o r o mínimo com e s t a p r o p r i e d a d e .

No s i s t e m a da f i g u r a 5 p a r a uma máquina d e ordem f i n i t a k , Mi i n i c i a a d e c o d i f i c a ç ã o d e p o i s que r e c e b e r k s í m b o l o s d e s a í d a t r a n s m i t i d o s p e l a máquina M . N e s t e c a s o temos que: p a r a yi E A, x i E L

I

I

r---

I

t - - - ~

I

I

I

I

I

atraso

I

I ,

I

I

2/

I 1

I

I

I

I

b

I

I

I _I

1

I

I

I

I

I

1

L

transiç Ões de

M

J

I

F i g u r a

6

e assim p o r d i a n t e a t é que t o d a s e q u ê n c i a d e s a ? d a s e j a d e c o d i - f i c a d a .

A f i g u r a 6 m o s t r a um esquema d e um s i s t e m a i d ê n t i c o ao d a f i g u r a 5 ,

só

que n e s t a temos uma máquina d e o r - dem f i n i t a k. Na f i g u r a 6 r e p r e s e n t a m o s M conforme s u a i n t e r p r e

-

t a ç á o , i s t o

é ,

e s t a n d o no e s t a d o s ( t ) E S , no i n s t a n t e t , M

dá

s a í d a y ( t ) , t a l que s ( t ) , u ( t ) + y ( t ) , e no próximo i n s t a n t e ( t + l ) e s t a r á no e s t a d o s ( t + l )

,

d e modo que s ( t ) ,u ( t ) .+ s ( t + l )

é

armazenado no a t r a s o . Transmitimos s i com c h a v e s 1 e 2 l i g a d a s e vamos armazenando a s saTdas. A s s i m que a c a b a r o armazenamento

'

d a s s a í d a s d e s l i g a m o s a s c h a v e s 1 e 2 e l i g a m o s a chave 3 . Com 'i e a saTda o c i r c u i t o l ó g i c o dá o p r i m e i r o símbolo d a e n t r a d a que i n t r o d u z i d o numa s e ç ã o onde temos a cÕpia d a s t r a n s i ç õ e s d e M p r o d u z i n d o assim que

é

t r a n s m i t i d o ao c i r c u i t o l ó g i - c o . Com si+l e o s s í m b o l o s y

,

Y ~ + ~ . . .ykc2 temos x 2 e a s s i m p o r d i a n t e .

E V E N ~ d i z que uma máquina

M

é

sem p e r d a d e informação d e ordem f i n i t a k = R + 2 s e e somente s e seu g r a f o d e t e s t e f o r l i v r e d e c i c l o s , e s e o comprimento do m a i o r cami

-

nho do g r a f o

é

R . Então c o n s i d e r e m o s p o r exemplo a mgquina M

sem p e r d a d e informação r e p r e s e n t a d a na f i g u r a 7 . Sua t a b e l a d e t e s t e e s t á r e p r e s e n t a d a na f i g u r a 8 . D e s t a t a b e l a constru?mos seu g r a f o d e t e s t e que e s t á r e p r e s e n t a d o n a f i g u r a 8 , e v e r i f i - camos que o mesmo não tem c i c l o s e o seu m a i o r caminho

é

i g u a l a 1. Logo, a máquina da f i g u r a 7

6

d e ordem f i n i t a i g u a l a 3 , i s

-

t o

ê,

s u a i n v e r s a tem que e s p e r a r r e c e b e r 3 s í m b o l o s da sequên-

F i g u r a

7

c i a d e s a í d a p a r a i n i c i a r a d e c o d i f i c a ç ã o .

Em KOFIAVI' temos que s e M

é

sem p e r d a d e i n - formação d e ordem f i n i t a k com n e s t a d o s k

-

n ( n - 1 ) / 2 + 1 . I s t o

é

e v i d e n t e p o i s , s e M tem ordem f i n i t a k podemos d i z e r que e x i s t e um r E S t a l que l a / z l = l b / z l = k , oride al

#

b l , conforme f i g u r a

9 p a r a p i , q . E S , a i , bi E L , zi E A i = 1 , .

..

.k.De a c o r d o com

1

a d e f i n i ç ã o d e máquinas sem p e r d a d e informação d e ordem f i n i t a

p i

#

qi e piqi

#

p.-.q- (J J i , 1 2 , .

.

( k - 1 ) ) Se pi = qi d a f i - g u r a 9 , vemos que M s e r á com p e r d a d e i n f o r m a ç ã o , p o i s t e r e m o s

r

,

p i , Z1, Z 2 . . - 2 . ' . + a a 1 2 * * . a j e ,J r

,

p , Z ,

z 2 . . . z -

+ b b

. .

. b i , i s t o

é ,

a p a r e c e r á um p a r com- 3 1 2 p a t í v e l c o n s i s t i n d o d e e s t a d o s temos piqi = p j q j , a c o n t e c e n d o e qi = p j , também temos piqi =

f i g u r a 11. D e s t a s d u a s f i g u r a s s e q u ê n c i a s d e e n t r a d a b a s t a n t e s?mbolo e que produzem a mesma

ir

-

i d ê n t i c o s . Se pi = _{p e qi}

_-

_{q j}

_,

o e x p o s t o na f i g u r a 1 0 . Se p i = q j p.jqj., a c o n t e c e n d o o e x p o s t o na vemos que podemos c o n s t r u i r d u a s l o n g a s que d i f e r e m no p r i m e i r o s e q u ê n c i a d e s a í d a . P a r a e s t e s

''

c a s o s t e r e m o s no g r a f o d e t e s t e o p a r c o m p a t í v e l piqi l i g a d o a e l e mesmo p e l a s e q u ê n c i a d e s a í d a

z i + l z i + 2

...

zj,

i s t o

6 ,

v e - mos c l a r a m e n t e a e x i s t ê n c i a d e um c i c l o no g r a f o d e t e s t e , O

que f a z com que M d e i x e d e s e r sem p e r d a d e informação d e ordem f i n i t a . D i a n t e d i s t o , vemos que t o d o s o s p a r e s não o r d e n a d o s

n

são d i s t i n t o s . Com n e s t a d o s podemos o b t e r ( 2 ) = n (n-1)/2 pa- r e s d e e s t a d o s não o r d e n a d o s e d i s t i n t o s . Da f i g u r a 9 vemos que temos P l q l , P292 9 H Pk-19k-1' que são (k-1) p a r e s não o r d e n a

-

F i g u r a 9

F i g u r a

10

I V , CLASSIFICAÇÃO DAS MÁ~QUINAS SEM PERDA DE

INFORMAÇAO

-

P r o p o s i ç ã o :

a ) Existem máquinas que s ã o d e ordem lc mas que não s ã o d e ordem k-1.

-

Demonstração :

Se seguirmos o s p a s s o s do a l g o r i t m o a b a i x o , obtemos a máquina sem p e r d a d e informação d e ordem f i n i t a K com

zk-'

e s t a d o s , r e p r e s e n t a d a p o r s u a t a b e l a de t r a n s i ç ã o na _{f i g u}

_-

r a 1 3 .

-

A l g o r i t m o :

1. Começamos a c o n s t r u i r a á r v o r e c u j a forma mostramos também n a f i g u r a 1 3 , p e l a r a i z que s e r á o e s t a d o 1. 2 . Da r a i z passamos p a r a o n í v e l 1 , que t e r á o s e s t a d o s 1 e 2 . Do n í v e l i passamos p a r a o n í v e l 2 , que t e r á o s e s t a d o s 1 , 2 , 3 e 4 , e a s s i m por d i a n t e a t é o n í v e l k - 1 , onde t e r e m o s o s k -1 e s t a d o s l , 2 , 3 , 4

. . .

2

.

3 . Colocamos a s t r a n s i ç õ e s 0 / 0 , 1 / 0 p a r a o s e s t a d o s d e 1 a t é k-2 4 . Colocamos a s t r a n s i ç õ e s 0 / 1 , 1/1 p a r a o s e s t a d o s d e (2 + 1 )

k-1 2k-l-1, Z k - L 2 , $4 + 1 a t é ( z k - l ) . O s e s t a d o s 2

_,

vão r e s p e c t i v a m e n t e p a r a o s e s t a d o s (1 e Z ) , (3 e 4 ) , ( 5 e 6 ) , k-1

.

( ~ ~ e - 12

1.

Como um exemplo d e a p l i c a ç ã o do a l g o r i t m o a c i m a , vamos c o n s t r u i r uma máquina que s e j a d e ordem f i n i t a i - g u a l a 3 e que não s e j a d e ordem f i n i t a 2 . Com o s p a s s o s 1 e 2 obtemos a f i g u r a 1 2 . a . No n í v e l (k-1 = 2) temos o s e s t a d o s 1 ,

2 , 3 , 4 . Com o s p a s s o s 3 e 4 obtemos a f i g u r a 1 2 . b .

A n a l i s a n d o a á r v o r e r e p r e s e n t a d a na f i g u r a 12,bvemos que o p a s s o 3 do a l g o r i t m o g a r a n t e que p a r a uma s e - q u ê n c i a d e comprimento (k-1) o p r i m e i r o símbolo da s e q u ê n c i a d e e n t r a d a não pode s e r d e t e r m i n a d o . Com o p a s s o 4 g a r a n t i m o s que com o conhecimento d e q u a l q u e r s e q u ê n c i a d e s a í d a d e comprimen- t o i g u a l a 3 conseguimos d e t e r m i n a r o p r i m e i r o símbolo d a s e - q u ê n c i a de e n t r a d a .

O a l g o r i t m o acima c o n s t r ó i a s máquinas p a r a k > 2 . P a r a k

-

2 temos a s máquinas r e p r e s e n t a d a s n a f i g u r a 14.

1

I,

r a i z nível

I

F i g u r a 1 2 a

i

nível nível

t

F i g u r a 1 2 b

raiz

1

2

3

2

k-2

2k-2

t l

2

k-1

-

1

2

k - l

n ivel nível

T

3

/I

4/1

1

/

1

2/

1

F i g u r a

13

Ordem finita igual a

2

@=:O

O r d e m finita igual a

1

F i g u r a 1 4

máquina

M 1

tabela de t e s t e

da máquina

M 1

F i g u r a

1 5

I

máquina

MZ

to8eia de teste

d a m a q u i n a

M 2

V. MAQUINA SEM PERDA DE

INFORMAÇÃO

REDUZIDA

N e s t e item mostramos o comportamento d a s má- q u i n a s sem p e r d a d e informação m e d i a n t e a r e d u ç ã o .

Dizemos que uma máquina M = c C, S , A , f , g >

6

r e d u z i d a s e e somente s e não tem e s t a d o s d i s t i n t o s que produ- zem uma mesma s e q u ê n c i a d e s a í d a p a r a uma mesma s e q u ê n c i a d e en

-

t r a d a , i s t o

é,

s e e somente s e não p o s s u i r e s t a d o s d i s t i n t o s e - q u i v a l e n t e s . (Ver KOHAVI'

,

p á g i n a 2 8 5 ) . Sabemos tambgm que s e M1 = C

L,

S1, A, f l , gl p o s s u i r e s t a d o s e q u i v a l e n t e s , podemos,

m e d i a n t e p r o c e s s o s de redução ( v e r KOHAVI'

,

$gins

2 8 6 ) , o b t e r uma máquina r e d u z i d a M 2 = <

,

S 2 , A , f 2 , g 2 > que s e j a e q u i v a

-

L

l e n t e a M1. Uma d a s p r o p r i e d a d e s d e 8 t a máquina r e d u z i d a _{e que} e l a

é

imagem homomorfa d e Ril, ou s e j a , e x i s t e uma f u n ç ã o $ :S1+S2 chamada homomorfismo, t a l que p a r a t o d o s E S l , o E = I:

,

t 2 ( $ ( S I ,

1

= $ ( f l ( %

I

e g 2 ( $ ( ~ ) ' d = gl ( 5 9 0

I *

Então sejam M i = c C , , A ,fi, g i > d u a s

má

-

q u i n a s s e q u e n c i a i s com o s mesmos a l f a b e t o s de e n t r a d a e 3 a í d a , e

s e j a : S1 + S2 um homomorf ismo d e M1 s o b r e M 2 .

V . 1 . P r o p o s i ç ã o

a ) Se

M 2

é

sem p e r d a d e i n f o r m a ç ã o , e n t ã o M1 também

é.

b) Se uma d a s máquinas f o r d e ordem f i n i t a , a o u t r a também e , p o s s u i n d o a mesma ordem.

-

Demonstrações :

a ) A c o n d i ç ã o n e c e s s á r i a p a r a que M1 s e j a sem p e r d a d e i n f o r m a

-

ç ã o

6

que p a r a t o d o sl E S I , U , V E L* s e f l ( s l , u ) ' f o r

-

i

g u a l a f l ( s l , v ) e gl ( s l , U ) = g1 ( s l , V ) , e n t ã o u tem que

s e r i g u a l a v .

Sabendo que @

6

um homomorf ismo d e M1 s o b r e M2, a c o n d i ç ã o acima f i c a ou s e j a , Como M 2

é

sem p e r d a d e i n f o r m a ç ã o u = v ; 10

-

go M1

é

sem p e r d a d e i n f o r m a ç ã o . b ) 1. Se M1

é

d e ordem f i n i t a kl e n t ã o M 2

é

d e ordem f i n i t a k z

2.

kl ' k

Dados s 2 E S 2 , u , v E L 1 , suponhamos que g 2 ( s 2 , u )

-

-

g 2 ( s 2 , v )

-

Como a f u n ç ã o (do homomorfismo)

é

s o b r e , p a r a algum s1 E S1, s 2 =

O

( S I L E n t ã o g l ( s l , u ) = g l ( s l , % e , mo M1 tem ordem k l , u = v .

2 . Se M 2

é

d e ordem f i n i t a k 2 , e n t ã o M1

é

d e ordem f i n i t a kl

5.

k Z

k

Dados sl E S I , u , v E C 2 , suponhamos que gl ( s l , u ) =

g1(s15 v ) *

-

-

Como $

é

um homomorf ismo temos que g 2

(0

( s l ) , u )

-

g 2 ( $ ( s l ) , V ) , e como M 2 tem ordem k 2 , u = v .

Com a a n á l i s e f e i t a n o s s u b - i t e n s b . 1 e b . 2 , podemos c o n c l u i r que s e uma d a s máquinas f o r d e ordem f i n i t a a o u t r a também

é ,

e que a ordem d e uma

é

e x a t a m e n t e i g u a l a da ou

-

t r a .

Se M1

é

sem p e r d a d e i n f o r m a ç ã o , M 2 não

é

n e

-

c e s s a r i a m e n t e sem p e r d a d e i n f o r m a ç ã o . Vejamos a máquina M1 r e - p r e s e n t a d a p e l a s u a t a b e l a d e t r a n s i ç õ e s n a f i g u r a 1 5 , onde S1 = { s , ~ , ~ } e C = A

=$"

0 , l I . A n a l i s a n d o M1, vemos que a mesma não

é

r e d u z i d a , p o i s p

6

e q u i v a l e n t e a q . A p l i c a n d o o s p r o c e s -

s o s d e r e d u ç ã o , v e r KOHAVI', p á g i n a 286, obtemos a máquina r e d u

-

z i d a M 2 e q u i v a l e n t e a M1, r e p r e s e n t a d a n a f i g u r a 1 6 , que

6

com p e r d a d e informação

.

VI. INTERCONEXÕES DE MAQUINAS SEQUENC IAIS SEM PERDA DE INFORMA-

Sejam M i = < Li, S i , Ai, f i , g i > , i = 1 , 2 duas máquinas s e q u e n c i a i s a r b i t r á r i a s d a s * a i s estudaremos o comportamento sob a s conexões s é r i e , p a r a l e l a , c a s c a t a e com r e a l i m e n t a ç ã o .

VI. 1. Conexão s é r i e (Ver BOOTH', p á g i n a 118)

V I . 1.1. Def i n i c ã o

F i g u r a

17

V I . 1 . 2 . P r o p o s i ç ã o

a ) Se M1 e M 2 são máquinas sem p e r d a d e i n f o r m a ç ã o , e n t ã o M tam bém

é.

b) Se M1

é

sem p e r d a de informação d e ordem f i n i t a kl e M 2 sem p e r d a de informação d e ordem f i n i t a k 2 , M

6

sem p e r d a d e i n - formação de ordem f i n i t a k

-

< kl + k 2

-

1.

c ) Se M

é

sem p e r d a d e i n f o r m a ç ã o , e n t ã o M1

6

sem p e r d a d e i n f o r

-

mação.

d ) Se M tem ordem f i n i t a k , M1 tem ordem f i n i t a kl

-

< k .

-

Demonstração a ) Se M 2

é

sem p e r d a d e i n f o r m a ç ã o , e n t ã o s 2 E S 2 , t 2 E S 2 ,

*

Y E $ V l E E 2 , p a r a s 2 e s t a d o i n i c i a l e t 2 e s t a d o f i n a l . Se M1

6

sem p e r d a d e i n f o r m a ç ã o , e n t ã o sl E S1 .-.

*

t l E S1, Y1 E A ; + U ~ E L1, p a r a s1 e s t a d o i n i c i a l e t 2 e s - t a d o f i n a l .

*

Em M t e r e m o s ( s l , s 2 ) , ( t l , t 2 ) ,y.+u1 E Z p a - Logo M

6

sem p e r d a d e i n f o r m a ç ã o .

c) Imaginando que M1

e'

com p e r d a d e informação temos _que

onde ul j! u 2 .

N e s t e c a s o , p a r a q u a l q u e r e s t a d o sl e s 2 de M2, temos s

z1

+ s 2 , y1 E A2, f a z e n d o com que em M t e n h a

1 '

-

mos < t l , s l ) > U l + ( t 2 , s 2 ) , yl e ( t 1 9 s 1 ) , u 2 + ( t 2 , s 2 ) , Y l

'

o que n o s l e v a a c o n c l u i r que M s e r ã com p e r d a de informa

-

ç ã o

,

c o n t r a r i a n d o a h i p ó t e s e i n i c i a l .

Logo, s e

M

f o r sem p e r d a de informagão

,

_Ml também

é.

d ) Fixando um e s t a d o s 2 E S2 e supondo que sl

,

u +

z

em

M 1

com u = u1

. .

.

u k E Ck, vamos m o s t r a r que s l ,

z

+ u l .

Em M 2 s 2 ,

z

+ y . Como M tem ordem k , ( s l , s 2 ) ,

y + u l . P o r t a n t o , em M1, s l , z + u 1'

V I . 1 . 3 . Observações

a ) A máquina i n v e r s a d e M pode s e r r e p r e s e n t à d a como m o s t r a a f i g u r a 1 8 .

F i g u r a 18

b ) Sendo

M

uma máquina sem p e r d a d e informação d e ordem f i n i t a ou n ã o , M 2 pode ou não s e r sem p e r d a d e informação. Senão v e

-

jamos : s e j a a máquina M sem p e r d a d e informação r e p r e s e n t a - d a na f i g u r a 1 9 . a , que

é

a conexão s é r i e d e M1 com Ef2,também r e p r e s e n t a d a s n a f i g u r a 1 2 . a . A s máquinas M1 e M , como v e - mos em s u a s t a b e l a s d e t e s t e são sem p e r d a d e informação e a máquina M

é

com p e r d a de i n f o r m a ç ã o .

~á

mostramos tambem a n

2

-

t e r i o r m e n t e que s e M 2

é

sem p e r d a d e i n f o r m a ç ã o ,

M

é

sem p e r

-

d a de informação s e e somente s e M1 também f o r . D i a n t e d i s t o

é

c l a r o que s e

M

é

sem p e r d a d e informação M 2 pode ou não s e r .

c ) No exemplo da f i g u r a 1 9 . a temos que o a l f a b e t o d e s a í d a da máquina M1

é

d i f e r e n t e do a l f a b e t o d e e n t r a d a da máquina Y2, i s t o

é ,

em L 2 o c o r r e o símbolo c que não o c o r r e em L1.Esta

é

a m a n e i r a m a i s f ã c i l d e v e r a o b s e r v a ç ã o do i t e m b. E s t a mes

-

máquina

M 1

'2

=(0,

b. C , d}

A 2 =

{ a , b, C} tabela de teste de

M1

tabela de teste de

M e

,Tp%k

tabela de teste d e

M

Figura 1 9 a

t a bela d e t e s t e de M 1 A B C D

F G / G G

FG

FG

F G

tabela de t e s t e de

M 2

B/a A l a A / b B / b C / c D / C D/d C

/ d

m á q u i n a M 1

E1'

0.1

SI=

A. B.G.'D

A I =

a . 4 c . d

I

a b C d

ma o b s e r v a ç ã o pode s e r v e r i f i c a d a com A = L 2 , i s t o

é,

c o n s - 1

t r u i m o s uma máquina M 2 com p e r d a d e informação com s e q u ê n -

*

c i a s p e r t e n c e n t e s a 1; que não pertencem a AI, conforme O

exemplo d a f i g u r a 1 9 . b . Na máquina M 2 temos a s s e q u ê n c i a s d e e n t r a d a a c e b d , que quando o e s t a d o i n i c i a l f o r E p r o d u z i

-

mos a s e q u ê n c i a d e s a í d a a a e vamos p a r a o e s t a d o f i n a l G.Se

observarmos a máquina M1 notaremos que a mesma nunca p r o d u z i

-

r á e s t a s d u a s s e q u ê n c i a s de s a í d a a c e bd.

E n t ã o quando M1 e s t i v e r c o n e c t a d a em s é r i e com M 2 t e r e m o s a máquina M sem p e r d a d e informação conforme podemos v e r i f i c a r p e l a f i g u r a 1 9 . b .

VI.2. C o n s i d e r a q õ e s a r e s p e i t o d e c i r c u i t o c o m h i n a c i o n a l

Um c i r c u i t o c o m b i n a c i o n a l

6

um c i r c u i t o com somente um e s t a d o , i s t o

é,

que não tem nenhuma memória. P a r a um c i r c u i t o c o m b i n a c i o n a l o símbolo d e e n t r a d a (ou uma combinação de s$mbolos) p a r a um dado i n s t a n t e d e t e r m i n a o símbolo d e s a í d a

(ou uma combinação d e s?mbolos)

.

Pode s e r r e p r e s e n t a d o conforme a f i g u r a 20.

Um c i r c u i t o c o m b i n a c i o n a l sem p e r d a d e i n f o r

-

masão

é

d e f i n i d o como sendo a q u e l e . q u e tem a p r o p r i e d a d e a d i c i o

-

n a 1 d e p e r m i t i r que a s a z d a d e t e r m i n e a e n t r a d a . E n e s t e c a s o dizemos que não h á combinações d i f e r e n t e s de s i m b o l o s d e e n t r a - da produzindo uma mesma combinação d e s í m b o l o s d e s a í d a . E n t á o , s e

x

+ y e y -+

x ,

dizemos que o c i r c u i t o ^ . é sem p e r d a d e i n f o r m a -

F i g u r a 2 0 L C i r c u i t o

X

C o m b i n a c i o n a l enfrada

1

4

Y

e n t r a d a 3 F i g u r a 22

N a f i g u r a 2 1 temos a r e p r e s e n t a ç ã o do t i p o

de

c i r c u i t o combinacional que usaremos n e s t e t r a b a l h o . N Õ S dizemos que o c i r c u i t o L da f i g u r a 2 1

é

p a r c i a l m e n t e sem p e r d a d e i n f o r

-

mação em r e l a ç ã o a e n t r a d a 1 s e a s a í d a d e t e r m i n a r a e n t r a d a 1. Dizemos também que L

6

um c i r c u i t o c o n t r o l a d o p e l a e n t r a d a 2 s e p a r a c a d a e n t r a d a 2 a s a í d a d e t e r m i n a r a e n t r a d a 1. A s mesmas c o n s i d e r a ç õ e s podemos f a z e r l e v a n d o em c o n s i d e r a ç ã o a s demais e n t r a d a s . V I . 3 . Conexão P a r a l e l a ( v e r BOOTH

,

p á g i n a 1 1 8 ) V I . 3 . 1 . D e f i n i ç ã o C A conexão p a r a l e l a d e M1 com M 2 e i l u s t r a d a n a f i g u r a 2 2 . N e s t e c a s o supomos que a s e n t r a d a s d e ambas a s má

-

q u i n a s s ã o a s mesmas e que a s a í d a da máquina M, r e s u l t a n t e d e s

-

t a c o n e x ã o ,

6

formada p e l a combinação l ó g i c a d a s s a í d a s d e M1 e M 2 . E n t ã o , S = SI

x

S 2 , L: = Z1 = L 2 , L : Alx A 2 + A, e p a r a t o d o ( t l , s l ) , ( t Z , s 2 ) E S , LI E 1 , Z E A, t l , t 2 E S1,S1,S2 E S23 y1 E A l , ' y 2 E A 2 , ( t 1 3 ~ 1 ) , u + ( t 2 , ~ 2 ) ,

z

onde z = L ( y 1 , y 2 ) , t l , u -i t 2 , y1 e s l , u 3 s 2 , Y 2 . V I . 3 . 2 . P r o p o s i ç ã o a ) Se MJ

é

sem p e r d a d e i n f o r m a ç ã o , L

é

um c i r c u i t o ' p a r c i a l m e n

-

t e sem p e r d a de informação em r e l a ç ã o a s a i d a da máquin.a

M J ;

b ) Se

MJ

é

d e ordem f i n i t a kJ e L

6

p a r c i a l m e n t e sem p e r d a d e informação em r e l a ç ã o a s a í d a da máquina MJ, e n t ã o

M

6

d e ordem f i n i t a k

-

< kJ.

-

Demonstracão

a ) Considerando o c a s o em que

J

= 1 , em L temos p a r a u E

Al,

v

E A 2 e y E A que u , v -t y e y + u . Em M1 temos p a r a t l

,

t 2 E S I , w E C l que t l , t 2 , u + W , f i c a n d o e n t ã o em M ( t l , s l ) , ( t 2 , s 2 ) , y + w. Logo, M

6

sem p e r d a de i n f o r m a ç ã o . 0 mesmo r e s u l t a d o pode s e r o b t i d o p a r a J = 2 . b ) Se M1 f o r d e ordem f i n i t a k l , temos p a r a t l E S1 , x l E C1, 1, Se L

6

p a r c i a l m e n t e sem p e r d a d e informação com r e l a ç ã o a s a í d a da máquina M1 temos p a r a z l E A 2 ,

z

E A

y l , Z1 -+ Z e z + Y1'

Logo, temos M d e ordem E i n i t a k

-

c kl p o i s pa

-

r a s1 E S2 t e r e m o s ( t l , s l ) E S ,

z1 z 2 z3

...

zkl+

x

1' uma

k

vez que p a r a z E A 1 em L

z l

+ y l , z 2 -r y 2 ,

z 3

-+

y 3 7 ' * ' 9 z k l De modo anál'ago, mostramos que chegaremos em M d e ordem f i n i t a k

-

< k 2 ' s e L f o r p a r c i a l m e n t e sem p e r d a d e

informação com r e l a ç ã o a A 2 e M 2 f o r sem p e r d a d e informacão de ordem f i n i t a k 2 .

máquina

M 1

c i r c u i t o

L

mdquina

M e

F i g u r a 23 AC AD B C BD Figura

24

AC/O BD/O A C / 1

BD/L

AC/O B D A A C / 1 BD/1 m á q u i n a

M

Se M f o r sem p e r d a d e i n f o r m a ç ã o , d e - ordem f i n i t a ou n ã o , M1, M 2 e L não p r e c i s a m s e r sem p e r d a d e informa

-

ç ã o ou d e ordem f i n i t a . Por exemplo vejamos a s máquinas M1, M 2 , M e o c i r c u i t o L r e p r e s e n t a d o s n a f i g u r a 23. Vemos que M , cone

-

x ã o p a r a l e l a d e M1 e M 2 com c i r c u i t o l ó g i c o L ,

é

sem p e r d a de

i n f o r m a ç ã o . embora

M1,

M 2 e L sejam com p e r d a d e i n f o r m a ç á o . A máquina i n v e r s a d e M , sendo M a conexão pa

-

r a l e l a d e

M1

e M 2 com s a i d a l õ g i c a L ,

6

m o s t r a d a n a f i g u r a 2 4

.

Na máquina i n v e r s a

M i

temos o i n v e r s o do c i r c u i t o l ó g i c o L _que

J

r e p r e s e n t a m o s por L i , e a i n v e r s a d e uma d a s máquinas que r e p r g sentamos por M:, e n e s t e c a s o podemos t e r J i g u a l a 1 ou 2 . Pa-

L

L! r e p r e s e n t a o c i r c u i t o i n v e r s o do c i r c u i t o l ó g i c o L que e sem p e r d a de informação com r e l a ç ã o a s a í d a d a máquina M J .

VI.4.

Conexão C a s c a t a ( v e r B O O T H ~ , p á g i n a 1 4 3 )

V I . 4 . 1 . D e f i n i ç ã o

A f i g u r a 25 i l u s t r a uma conexão c a s c a t a de

M

com M 2 com i n t e r c o n e x õ e s l q g i c a s I : C + .E1, J : E xAl + E 2 ,

1

L : A1

x

Z

x

A2+ A . Dando aomo r e s u l t a d o uma máquina M onde

S = S1

x

S 2 , e p a r a t o d o u E

E ,

( t l @ s 1 ) , ( t 2 , s ) E S . , Y E A ,

( t l , s l ) , u + ( t 2 , s 2 ) , y . Sendo que p a r a t l , t 2 E S1, s1s2 E S2.w & A l

V I . 4 . 2 . P r o p o s i ç ã o

a ) M s e r á sem p e r d a d e informação s e :

1. L f o r p a r c i a l m e n t e sem p e r d a d e informação em r e l a ç ã o a

e n t r a d a do c i r c u i t o I , ou

2 . L f o r sem p e r d a d e informação em r e l a ç ã o a s a í d a d a máqui

-

na M1, e M1 e I forem sem p e r d a d e i n f o r m a ç ã o , ou

3 . L f o r sem p e r d a d e informação em r e l a ç ã o a s a f d a d a máqui

-

na M 2 , M 2 f o r sem p e r d a d e informação e J f o r sem p e r d a d e informação com r e l a ç ã o a e n t r a d a do c i r c u i t o I , ou 4 . L f o r sem p e r d a d e informação com r e l a ç ã o a s a f d a d a

má

-

q u i n a M 2 , M 2 f o r sem p e r d a de i n f o r m a ç ã o , J f o r sem p e r d a d e informação com r e l a ç ã o a s a í d a d a máquina M1, Ml e I forem sem p e r d a d e i n f o r m a ç ã o .

b) M s e r á d e ordem f i n i t a s e :

1. L f o r p a r c i a l m e n t e sem p e r d a d e informação com r e l a ç ã o a e n t r a d a do c i r c u i t o I , e n e s t e c a s o M tem ordem f i n i t a i- g u a l a 1, ou

2 . L f o r sem p e r d a d e informação com r e l a ç ã o a s a í d a d a

má-

q u i n a M1, M1 f o r d e ordem f i n i t a kl e I f o r sem p e r d a d e informação

,

ou

3 . L f o r sem p e r d a d e informação com r e l a ç ã o a s a í d a d a

má-

q u i n a M2, M 2 f o r d e ordem f i n i t a

ki

e J f o r sem p e r d a d e informação com r e l a ç ã o a e n t r a d a do c i r c u i t o I , ou

4 . Se L f o r sem p e r d a d e informação com r e l a ç ã o a s a z d a da máquina M2, M 2 f o r d e ordem f i n i t a k 2 , J sem p e r d a d e i n - formação em r e l a ç ã o a s a í d a da máquina M1, M1 f o r d e o r - dem f i n i t a kl e I sem p e r d a d e i n f o r m a ç ã o .

-

Demonstração

a . 1 . Temos que em L p a r a v l E Al,

wl

E A2, u E L , y E A , v l , wl,

u + y e y + u . Em M1 t l & S1, I ( u ) E ,Y1 + t 2 & S 1 , v1 e em M 2 s1 E S 2 , J ( v l , u ) E E 2 + s 2 E S 2 , wl. E d a í e n t ã o k l s e r á

z m

p e r d a d e informação p o i s t e r e m o s ( t l , s l )

,

( t 2 , s 2 ) , y + u on- d e em L y + u . a . 2 . Em

I ,

I ( u ) + X l e x l + U . E m M l , t l , x l & Z + t 2 , V1 e t l , t2, v1 + x l . Em L

,

v l , w l , u + y e y + v l . Em H 2 . 5 1 , J ( v l , u ) + s 2 , w1 e em M t e r e m o s ( t l , s l ) , ( t 2 , s 2 ) , y + U , i s t o

é ,

M sem p e r d a d e informação p o i s p o r L y + v l , p o r M1 t l

,

t 2 ,vl + x1 e p o r I x l + u .

+ u , i s t o

é,

M

sem p e r

_-

d a d e i n f o r m a ç ã o p o i s p o r L , y + wl, p o r M 2 S1,S2,W1 + Z1 e p o r J zl + u . s l , z1 + s 2 , w1 e w -+ zl e em M t e r e m o s ( t l , s l ) , ( t 2 , s 2 )

,

1 y + u , i s t o

é,

M

sem p e r d a d e i n f o r m a ç ã o p o i s p o r L y + wl, s1 ,wl +

zl:,

p o r

J

zl+ v l , p o r M1 tl,tZ,vl-..--+ X 1 p o r I X1 + U . b . 1 . Se L

é

sem p e r d a d e i n f o r m a ç ã o com r e l a ç ã o a C ,

6

e v i d e n t e que em M c a d a símbolo d a s e q u z n c i a d e sai'da produz um si'mbo

-

10 d a s e q u ê n c i a d e e n t r a d a ; l o g o

M

tem ordem f i n i t a k = 1. b.2. Aqui temos p a r a y E A k l = yl y Z . . . k Ykl , Z E ~ ~1 2 ~ 3 " ' = Z Z Z t l E S Z ' X 1' 1 E L1 e em I X l + u E L.

.

E m M temõs p a r a s1 E S2 ( t l , s l ) , y + U , i s t o

é,

p a r a t o d o y E A k l com um e s t a d o i n i c i a l ( t l , s l ) E S determinamos o p r i m e i r o s í m b o l o d a s e q u ê n c i a d e e n t r a d a . k b.3. P a r a y E A ~ Z = y1 y 2 . . . y k 2 , ZFE b22 = z1 z 2 i . . ZkZ em L J X 2 + U E _{E . E m M f i c a m o s com ( t l} E S1, s1 E S 2 ) , y + u

,

ou s e j a , uma máquina d e ordem f i n i t a k 2 .

c i r c u i t o

I

c i r c u i t o

J

máquina

M 1

máquina

M 2

m a q u i n a

M

AB

c i r c u i t o

K

F i g u r a 2 6

A B A

AB/O

Novamente em L wk

.

Em M 2 s 2 ,

z 2 z3

...

+ 2+ 1

-

Z k 2 + l Z k 2 + 1 v 2 e s 2 , v 2 + s3. Em J v 2 + y 2 . E a s s i m por d i a n t e como no c a s o da conexão s é r i e , a t é que em L wk + k -+ z 2.. 1-1 k2+kl -1' em M~ Skl. Z k 2 Zk2+1

...

z k2+ kl -1 + V _kl , e m J v kl -b Y k l * E a g o r a em M1 _{t l , yl y 2 . .}

.

_Ykl+ X 1 E Z1 e e m I x 1 - u 1 E L . E a í e n t ã o em M temos ( t l , s 1 ) , y1 y2

.

.

.yk + k 3 u l , OU 1 2 - 1 s e j a , uma máquina d e ordem f i n i t a kl + k2-1.

V I . 4 . 3 . Observações

Se M

é

sem p e r d a d e i n f o r m a ç ã o , d e ordem f i - n i t a ou n ã o , I , J , L , M1 e M 2 não precisam s e r . Por exemplo v e - jamos a s máquinas r e p r e s e n t a d a s n a f i g u r a 26. A máquina M

6

sem p e r d a d e informação embora sendo uma conexão c a s c a t a d e I , J , L , M1 e M 2 , em que t o d o s s ã o com p e r d a d e i n f o r m a ç ã o .

V I . 5 . Conexão com R e a l i m e n t a ç ã o ( v e r B O O T H ~ , p á g i n a 118)

V I . 5 . 1 . D e f i n i ç ã o

Supondo A1 = E 2 e que M 2

é

uma máquina d e Moore com f u n ç ã o de Moore h : S2 + A 2 , ( i s t o

é ,

h(s)=g2(s,ylcZ2)), a conexão com r e a l i m e n t a ç ã o d e M1 com M 2 produz uma máquina M = E , S , A , f , g > r e p r e s e n t a d a na f i g u r a 27 onde S= SI X S2

A = A l , L : C X A 2 +E1 e que p a r a u E C , t l , t 2 E S1, s 2 E S 2 , ( t l , s 2 ) , U + y em M e t l , L ( u , h ( s 2 ) ) + t 2 , y em M1 e s 2 , y + s3

F i g u r a 2 7 V I . 5 . 2 . P r o p o s i ç ã o a ) Se L

é

um c i r c u i t o combinakional sem t r o l a d o p e l a s a í d a d e M 2 ,

M 2

sem peri p e r d a I a d e d e informação con

-

informação (de o r - dem f i n i t a ) , e n t ã o

M

6

sem p e r d a d e informação (de ordem f i - n i t a k = k l )

L

b) Se M

6

sem p e r d a d e informação (de ordem f i n i t a ) , e n t ã o L e um c i r c u i t o c o n t r o l a d o p e l a s a í d a da máquina M 2 d e s d e que a

f u n ç ã o h s e j a s o b r e j e t o r a .

c ) Se M

6

sem p e r d a de informação (de ordem f i n i t a )

,

e n t ã o

_Mp;

é

sem p e r d a d e informação (de ordem f i n i t a ) d e s d e que

-

Demonstração

a ) Em M temos ( t l , s l ) , u E 1 + ( t 2 , s 2 ) ,y .

E m M 1 t l , x + t 2 , y 1 e t 1 9 t 2 9 Y l +

x

1 p o i s M1

6

sem p e r d a

d e informação

.

Sendo L sem p e r d a d e informa.ção c o n t r o l a d o p e l a s a í d a d a

má-

q u i n a M2, temos que u E L ' , h ( s l ) + X e h ( s l ) , x + u .

Em M 2 _{s1 ,yl} -+ s 2 , h ( s l ) e a í e n t ã o ( t l , s l ) ,

( t 2 , s 2 ) , y + U , i s t o

é ,

M

é

sem p e r d a d e i n f o r m a ç ã o .

Agora s e M1

é

sem p e r d a d e informação d e o r

-

dem f i n i t a kl temos que t l ,

x

+ y e t l , y + x l p a r a

k Y = Y1 Y2 O * * Y k l E b l l e x = X~ x 2

...

x

E kl Em M 2 s l , y l + h ( s l ) , em L , h ( s l ) ,xl + u e em M ( t l , S I ) , Y + u e a í e n t ã o hl

é

d e ordem f i n i t a k

-

< k l . Se M tem ordem f i n i t a k e n t ã o ( t l , s l ) , y + v1 E 1 p a r a y = yl y2

...

yk E A:1 e em L v l , h ( s l ) + vlo E1 e com i s t o em M1 t l , y + u l e k ₁ < _- k. Logo k = kl.

b ) Se L não

6

um c i r c u i t o sem p e r d a d e informação c o n t r o l a d o por

A 2 , temos que p a r a u , v E L , sl E S 2 , x l E 11, u =

v

e h

uma f u n ç ã o s o b r e j e t o r a , u , h ( s l ) + X 1 e v , h ( s l ) + X 1 . Em

M1 p a r a t l J 2 E S1 e y1 E Al, t l , X1 -+ t 2 , yl. Em M 2 sl7y1 + s 2

E S2.

aí

em M t e r e m o s ( t l , s l ) ,u + ( t 2 , s 2 ) y 1 , ( t l , S I ) , V +

( t 2 , s 2 ) ,yl e u =

v .

Logo, p a r a uma máquina M sem p e r d a d e i n

-

f o r m a ç ã o , L tem que s e r sem p e r d a d e informação por A 2 -