Aula 1_Distribuição Discreta de Cargas

Profª. Me Wangner Barbosa da Costa

Física II

Eletricidade e Magnetismo

Aula – Distribuição Discreta de Cargas

e

Fluxo Elétrico

Faculdade de Tecnologia de Bauru

Automação Industrial

A NATUREZA DA ELETRICIDADE

Modelo de Bohr para o átomo

No núcleo estão os prótons e os nêutrons

Os elétrons são carregados negativamente e situam-se em diferentes camadas

Os prótons são carregados positivamente

No seu estado natural, um átomo de qualquer elemento contém um número igual de elétrons e de prótons.

massa do próton = 1.7  10-27 _kg

massa do elétron = 9.1  10-31 _kg  _{muito leve}

Como a carga negativa (-) de cada elétron tem o mesmo valor absoluto que a carga positiva (+) de cada próton, as duas cargas opostas se cancelam. Um átomo nestas condições é eletricamente neutro, ou está em equilíbrio.

(C)

Coulomb

10

6

.

1





q

No atual modelo atómico, as órbitas bem definidas dos elétrons foram substituídas por zonas de probabilidade eletrónica

Os corpos são formados por muitos átomos e em geral contém quantidades iguais de cargas positivas e negativas ( )  são eletricamente neutros

PROPRIEDADES DAS CARGAS ELÉTRICAS

Contudo, por exemplo, friccionando o PVC na lã, haverá transferência de carga de um material para o outro e o PVC fica carregado negativamente, e passa a atrair pequenos objectos.

23

10

~

Cada elétron transferido adiciona uma carga negativa ao PVC  uma carga positiva equivalente é deixada na lã.

Temos um efeito diferente se friccionarmos a lã no nylon  o nylon fica carregado positivamente.

Aproximando o PVC do nylon eles se atraem Aproximando o PVC do PVC eles se repelem Aproximando o nylon do nylon eles se repelem

AS CARGAS SÃO TRANSFERIDAS EM QUANTIDADES DISCRETAS

nq

Q



n  o número de prótons ou elétrons

(C)

Coulomb

10

6

.

1





q

CARGAS DO MESMO SINAL REPELEM-SE

CARGAS DE SINAL OPOSTO ATRAEM-SE

Concluímos que

CONDUTORES E ISOLANTES

CONDUTORES ELÉTRICOS são materiais nos quais alguns elétrons se deslocam de maneira relativamente livre

ISOLANTES ELÉTRICOS são materiais nos quais as cargas elétricas não se deslocam livremente

Exemplos: vidro, borracha e madeira

Exemplos:

Isolantes 

LEI DE COULOMB

Charles Coulomb inventou uma balança de torção e através dela descobriu que a força elétrica entre duas pequenas esferas carregadas é proporcional ao inverso do quadrado da distância r de separação entre elas:

2

/

1 r

F



r

q

q

k

F



A força elétrica entre duas partículas carregadas com cargas q_l e q₂ e separadas por uma distância r é

2 1

q

ˆr

q

k

F







é a constante de Coulomb e a força é medida em newtons se as cargas estão em coulombs e a distância de separação está em metros

C

/

m

N

10

99

.

8

4

1

onde









k

vácuo

do

ade

permitivid

a

é

m

N

/

C

10

8542

.

8

e







Exemplo 1

a) Calcule a força de atração entre o elétron e o próton no átomo de hidrogênio.

Dados:

massa do próton = 1.7  10-27 _kg massa do elétron = 9.1  10-31 _kg

carga do elétron = carga do próton = 1.6  10-19 _C distância entre o elétron e o próton = 5.3  10-11 _m

b) Calcule a relação entre a força elétrica e a força gravitacional entre próton e elétron no caso anterior

Para um sistema de n cargas podemos determinar a força resultante que atua sobre uma das cargas i i e i

r

r

q

q

k

F





ˆ

onde a força entre cada par de cargas é dada por

A

C

B

q

_q

q

F

F

F













F

F

F

F

F

...











Exemplo 2

A

C

B

q

_q

q

q

= 1.5x10

_C

q

= -0.5x10

_C

q

= 0.2x10

_C

r

= 1.2 m e r

= 0.5m

Determine a força resultante sobre a carga q₃.

F

F

F

 

 

e

r

q

q

k

e

r

q

q

k

F

F

F



















 

 

r

x

N

q

q

k

r

q

q

k

F



₄

_.

₀₆

₁₀































CAMPO ELÉTRICO

O campo gravitacional num ponto no espaço

é igual à força gravitacional que age sobre

uma partícula de prova (teste) de massa m

dividida pela massa da partícula de prova:

0

m

F

g

g







Campo gravitacional

O campo elétrico num ponto do espaço é definido como a força elétrica que age sobre

uma partícula de prova, colocada neste ponto, dividida pela carga q

da partícula de

prova (teste). Assim:

0

q

F

E

e







O vetor

E



newtons por coulomb (N/C)

tem as unidades SI de

A carga de teste serve como detetor do campo elétrico

Escolhemos a convenção de que uma partícula de prova tem sempre uma carga elétrica positiva

:

nal

gravitacio

Campo























m

F

g





Campo elétrico

E

q

F







Conhecendo-se o campo elétrico num ponto P, podemos calcular a força que age sobre

uma partícula com carga q colocada nesse ponto, porque:

r

q

r

qq

k

q

F

E

ˆ











A força exercida sobre uma carga de prova situado à uma distância r da carga q é dada pela Lei de Coulomb:

r

r

qq

k

F







ˆ

O campo elétrico criado por q no ponto P ( posição da carga de prova) é

r

q

k

E

ˆ









q

q

r

E



E



r

r

q

k

E

_e

ˆ





₂



E

q

F



_e





Se q for positiva, o campo elétrico estará orientado radialmente para fora a partir dela. Se q for negativa, o campo se orientará para dentro.

Campo elétrico num ponto P devido à um conjunto de partículas:

i i _i i e

r

r

q

k

E









ˆ

r

r

dq

k

E









ˆ

Campo elétrico num ponto P devido à uma distribuição contínua de cargas

r

r

q

k

E

_e

ˆ





₂



q

q

r

E



E



LINHAS DO CAMPO ELÉTRICO

As linhas de campo elétrico é uma representação gráfica que fornece uma descrição qualitativa do campo elétrico.

• O vetor campo elétrico é tangente à linha do campo elétrico em cada ponto

LINHAS DE CAMPO PARA UMA CARGA PONTUAL POSITIVA

 ESTÃO ORIENTADAS RADIALMENTE PARA FORA

LINHAS DE CAMPO PARA UMA CARGA PONTUAL NEGATIVA

 ESTÃO ORIENTADAS RADIALMENTE PARA DENTRO

• O campo elétrico é grande onde as linhas do campo estão próximas e pequeno onde as linhas

estão bem separadas  número de linhas por unidade de área é proporcional à intensidade do campo elétrico

LINHAS DE CAMPO ELÉTRICO PARA UMA CARGA PONTUAL POSITIVA E OUTRA NEGATIVA IGUAIS:

E



E



LINHAS DE CAMPO PARA CARGAS PONTUAIS (continuação)

 Pequenos pedaços de fibra suspensas em óleo se alinham com as linhas de E

LINHAS DE CAMPO ELÉTRICO PARA DUAS CARGAS PONTUAIS POSITIVAS IGUAIS

LINHAS DE CAMPO ELÉTRICO PARA UMA CARGA PONTUAL POSITIVA E OUTRA NEGATIVA IGUAIS (continuação):

LINHAS DE CAMPO ELÉTRICO PARA UMA CARGA POSITIVA (+2q) E OUTRA NEGATIVA (-q)

MOVIMENTO DE PARTÍCULAS CARREGADAS NUM CAMPO ELÉTRICO UNIFORME A força elétrica resultante exercida sobre a carga é dada por

A força resultante faz com que a partícula acelere. A segunda lei de Newton aplicada à partícula fornece

a

m

F







m

E

q

a







Se o campo elétrico é uniforme (isto é, se tem magnitude e direção constantes), a aceleração é constante

e

F



Se uma partícula tiver carga positiva, sua aceleração será na direção do campo

elétrico.

Se a partícula tiver carga negativa, sua aceleração será na direção oposta à do campo

elétrico.

m

E

q

a





_

Cargas elétricas lançadas perpendicularmente à um campo elétrico uniforme

EXEMPLO

Um elétron entra numa região de campo elétrico uniforme (como na Figura), com uma velocidade inicial constante, v_i (fora da ação do campo elétrico). Obtenha a equação da trajetória da partícula na região do campo elétrico.

A aceleração da partícula no campo elétrico é Resolução y

e

m

eE

a













Eliminando o tempo, obtém-se a equação da

 2 2

2

1

)

(

x

v

E

m

e

x

y





EXEMPLO:

Tubo de raios catódicos

Os elétrons são defletidos em várias direções

As placas criam o campo elétrico e permitem que o feixe de elétrons seja orientado

Os elétron passam entre cada par de duas placas  uma delas carregada positivamente e outra carregada negativamente .

FLUXO ELÉTRICO

O fluxo elétrico é uma grandeza proporcional ao número das linhas do campo elétrico

que entram numa superfície

O número de linhas N

por unidade de área (densidade das linhas) é

proporcional à intensidade do campo elétrico



que o número de linhas que entram a

superfície da área A é proporcional ao

produto EA

E

A

N

_

O produto EA é chamado de fluxo elétrico

EA

E





(semelhante ao fluxo de água vA)

 

Quando a superfície A não for perpendicular ao

campo elétrico (figura b)

A

E

EA















ou

cos



θ é um ângulo entre o campo elétrico e a normal à

superfície.

θ = 0



a superfície é perpendicular ao campo e

o fluxo elétrico é máximo.

θ = 90





a superfície é paralela ao campo e o

fluxo elétrico é zero.

θ

E



A



i i

i

E



E



A

cos





Fluxo elétrico através de uma pequena superfície

Definição geral do fluxo elétrico através de uma superfície

i

A













A

d

E





Definição geral do fluxo elétrico

i i E

E

A













ou

Fluxo elétrico de uma superfície fechada

dA

E

A

d

E

















representa uma integral sobre uma superfície fechada.



é a componente do campo elétrico normal à superfície. n

E

90





0





90





N

N







 quando existe mais linhas saindo do que entrando na superfície.

0





0







é um vetor que representa um

elemento local de área

LEI DE GAUSS

Através da Lei de Gauss podemos calcular o campo elétrico para distribuições

simétricas de cargas em problemas mais complexos.

Consideramos uma carga pontual positiva q situada no centro de uma superfície

esférica de raio r,

As linhas do campo irradiam para fora e,

portanto, são perpendiculares à superfície em

cada ponto



E





A



E



A



E



A



0

cos





A





A



O fluxo através da pequena área é

dA

E

dA

E













O fluxo resultante através de toda a superfície

EA

dA

E

E









EA

E





 módulo do campo elétrico em toda a parte da superfície esférica

2

r

q

k

E



 área da superfície esférica

2

4 r

A





Substituindo na expressão do fluxo teremos

 

r

k

q

r

q

k

EA

4



4























4

1







k

4

4

4







k

q

q









q





o fluxo resultante através de uma superfície esférica é proporcional à carga q no interior da superfície

Superfícies fechadas de várias formas englobando uma carga q

 é uma representação matemática do fato de que:



q





• O fluxo resultante é proporcional ao número de linhas do campo

• O número de linhas do campo é proporcional à carga no interior da superfície • Toda linha do campo a partir da carga tem de atravessar a superfície

o número de linhas do campo elétrico através da superfície esférica S₁ = ao número de linhas do campo elétrico através das superfícies não esféricas S₂ e S₃.

Portanto, é razoável concluir que o fluxo resultante através de qualquer superfície fechada é independente da forma dessa superfície

O fluxo resultante através de qualquer superfície fechada que envolve uma carga pontual q é dado por



Uma carga pontual localizada no exterior de uma superfície fechada

O número de linhas entrando na superfície é igual ao número de linhas saindo da superfície

O fluxo elétrico resultante através de uma superfície fechada que não engloba nenhuma carga é nulo

A Lei de Gauss afirma que o fluxo resultante através de qualquer superfície fechada é

0 int

.



q

A

d

E













onde q_int representa a carga líquida no interior da superfície, e;

representa o campo elétrico em qualquer ponto sobre a superfície.

A LEI DE GAUSS AFIRMA QUE O FLUXO ELÉTRICO RESULTANTE ATRAVÉS DE QUALQUER SUPERFÍCIE FECHADA É IGUAL À CARGA LÍQUIDA DENTRO DA SUPERFÍCIE DIVIDIDA POR



No caso de haver muitas cargas pontuais dentro da superfície pode-se generalizar:

Esta técnica é adequada para calcular o campo elétrico nas situações onde o grau de

Exemplo 1:

Determinar o fluxo elétrico através de uma superfície cilíndrica, que está

num campo elétrico uniforme

E



A

d

E











Φ





E

cos



dA

180

cos

Φ





E

dA







EdA





E



R

a



b



0

cos

Φ





E

dA





EdA



E



R

0

90

cos

Φ





E

dA



c















Exemplo 2

:

A partir da lei de Gauss, calcule o campo e1étrico devido a uma carga

pontual isolada q.

O campo elétrico de uma carga pontual

positiva é radial para fora por simetria e,

portanto, é normal à superfície em todo

ponto.

Consequentemente, é paralelo a

em todo ponto sobre a superfície e, então

E



d

A



EdA

A

d

E









Pela lei de Gauss

0



q

dA

E

A

d

E



















Por simetria, E é constante em toda parte sobre a superfície, então pode ser removido da integral. Consequentemente 0 2

4





r

q

E

dA

E

dA

E











onde usamos o fato de que a área da superfície de uma esfera é . Agora, obtemos o campo elétrico: 2 2

4

r

q

k

r

q

E









 que é o campo elétrico de uma carga pontual que desenvolvemos a partir da lei de Coulomb .

2

CONDUTORES EM EQUILÍBRIO ELETROSTÁTICO

Num condutor elétrico, tal como o cobre, as cargas (elétrons) que não estão presas a nenhum átomo são livres para se mover dentro do material

Quando nenhum movimento de carga ocorre dentro do condutor, este está em equilíbrio eletrostático e tem quatro propriedades que vamos analisar a seguir

•

Considere uma placa condutora num campo elétrico

E



As cargas induzidas sobre as superfícies da placa produzem um campo elétrico que se opõe ao campo externo, fornecendo um campo resultante nulo dentro do condutor

p

E



E





Se o campo elétrico não fosse nulo  cargas livres no condutor que seriam aceleradas sob ação da força elétrica

• SE O CONDUTOR ISOLADO TIVER UMA CARGA LÍQUIDA, A CARGA EM EXCESSO FICA

INTEIRAMENTE SOBRE SUA SUPERFÍCIE

Utilizaremos a lei de Gauss para verificar a segunda propriedade do condutor em equilíbrio eletrostático

Desenhamos uma superfície gaussiana dentro do condutor tão próxima da superfície quanto desejarmos

0 int

.



q

A

d

E













Como em qualquer ponto E = 0



Φ

= 0 portanto q

= 0

De acordo com a Lei de Gauss

• O CAMPO ELÉTRICO IMEDIATAMENTE EXTERIOR AO CONDUTOR CARREGADO É

PERPENDICULAR À SUPERFÍCIE DO CONDUTOR E TEM UMA MAGNITUDE  / ₀, ONDE  É A CARGA POR UNIDADE DE ÁREA NESSE PONTO

Nenhum fluxo atravessa a face plana do cilindro dentro do condutor porque E = 0 em qualquer ponto dentro do condutor.

Logo, o fluxo resultante através da superfície gaussiana é o fluxo através da face plana fora do condutor onde o campo é perpendicular à superfície.

Para essa face, o fluxo é EA, onde E é o campo elétrico na face externa do condutor e A é a área da face do cilindro

0 0 int







A

q

EA

EdA















Aplicando a essa superfície Lei de Gauss





A

EA









E

Supomos uma superfície Gaussiana na forma de um cilindro pequeno



• NUM CONDUTOR DE FORMA IRREGULAR, A CARGA POR UNIDADE DE ÁREA É MÁXIMA NOS

Exemplo

: Padrão do campo elétrico de uma placa condutora carregada

próxima de um cilindro condutor com carga oposta.

(1) as linhas do campo elétrico são

perpendiculares aos condutores.

(2) não há linhas dentro do cilindro (E= 0).

Observe

que

Pequenos pedaços de fibra suspensos em óleo se

alinham com as linhas do campo elétrico.