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A2 BC1519 OndasEM Poynting

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Academic year: 2021

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(1)

Óptica Ondulatória. Equações de Maxwell, Ondas eletromagnéticas.

(2)

ÓPTICA ONDULATÓRIA A LUZ É DESCRITA COMO UMA ONDA  Introdução ao conceito de ondas propagantes

o Ex.: Pulso propagando-se numa corda

o Ex.: Onda harmônica. Forma: cos(kz t)  onda que caminha para a direita (direção +z) com velocidade v   k (Para a luz v = c).

(3)

EQUAÇÃO DE ONDA

 Ondas que se propagam na direção z com velocidade c podem ser descritas através de uma equação que envolve derivadas parciais de 2ª ordem em relação ao tempo e espaço:

             t u c z u

o A equação acima é conhecida como EQUAÇÃO DE ONDA e a função )

, ( tz u

u  é chamada FUNÇÃO DE ONDA.

É possível demonstrar que qualquer função u cuja dependência com o espaço z e com o tempo t aparece na forma

z

ct

é solução da Equação de Onda.

Ex.: Onda harmônica cos( ) cos[ ( t)] cos[k(z ct)] k z k t kz      , com k c   .

(4)

u

(

z

,

t

)

u

(

z

ct

)

é solução da Equação de Onda              t u c z u

 Qualquer função

u

(

z

,

t

)

u

(

z

ct

)

representa uma onda que se propaga na direção z com velocidade c.

OBS.: O sentido da propagação depende do sinal (+ ou ).  SENTIDO DE PROPAGAÇÃO: + z ou z ?

 Um dado ponto de uma onda (por exemplo, certa crista de uma onda harmônica) é determinado pelo valor do argumento zct

 Para um ponto específico de uma onda zct = constante.

o Vamos calcular as posições (z e z’) de um ponto da onda em dois tempos distintos (t e t’), considerando t’ > t :

zctzct  zzc(tt)  z z    z  z   A onda se propaga na direção +z

(5)

zctzct  z zc(tt)  z z    z  z  A onda se propaga na direção z

u(z,t) u(zct): Onda que se propaga com velocidade c na direção + z u(z,t) u(zct): Onda que se propaga com velocidade c na direção z

(6)

DESCRIÇÃO REAL DE UMA ONDA HARMÔNICA

 Onda descrita na forma de senos ou cossenos

 Onda harmônica se propagando na direção +z com velocidade c ] ) ( cos[ ) cos( ) , (z ta kz

t

a k zct

u o a : amplitude o k : número de onda (k  

) o

: comprimento de onda

o

: frequência angular (radianos/segundo) (

 



) o

: frequência em Hz (ciclos/segundo)

o T : período (segundos) (T 

)

o

: fase inicial (fase da onda em z = t = 0) o c

k



: velocidade (de fase) da onda

(7)

 Representação instantânea de uma onda harmônica: u(z,t)  acos(kz

t)

o Em um tempo fixo (por ex. t = 0)

o Em uma posição fixa (por ex. z = 0)

z-axis +aa 0 +aa 0 time (t) T

(8)

REFRAÇÃO: Relações entre grandezas Freqüência     2   2   2 Velocidade de fase 1 0 1 c n cc2c0 n2 c1c0 n1 Comprimento de onda 1 0 1  n   2 0 n2 1 0 n1 Número de onda 1 0 1 1 2 k n k     k2 2 2k0n2 k1 2 1k0n1

 Na ilustração da figura acima: n2n1

n1 n2 n1

(9)

DESCRIÇÃO COMPLEXA DE UMA ONDA HARMÔNICA

 Função de onda real: u(z,t)  e

U(z,t)

)

, ( tz

U é chamada FUNÇÃO DE ONDA COMPLEXA

o Fórmula de Euler ) sin( ) cos( ) exp(

i i ei    , i   Simplificando a notação:

(z ),tkz

t

) cos cos( ) , (z t a kz t a u    

( , )

, com ( , ) exp( ) ) exp( cos ) , (

i a t z U t z U e i a e a t z u      

(10)

 Representação de U(z,t)  aexp(i

) no plano complexo

 (z ),tkzt

U(z,t)  aexp[i(kz

t

)] aexp(i

)exp(ikz)exp(i

t)

U(z,t) Uz exp(i

t), Uzaexp(i

)exp(ikz) a Amplitude Complexa  u(z,t) e

U(z,t)

[U(z,t) U(z,t)]      , U( tz, )= Complexo conjugado

(11)

CONCEITO DE FRENTE DE ONDA

 Ondas se propagam no espaço 3-D

 Uma FRENTE DE ONDA é uma superfície no espaço 3-D formada por pontos equifase (pontos de mesma fase)

 FRENTE DE ONDA: Conjunto de pontos com mesmo caminho óptico até a fonte

(12)

 Frentes de Onda são perpendiculares aos raios de luz

 Uma lente pode ser usada para alterar a forma de uma frente de onda. Abaixo, frentes de onda planas são convertidas em frentes esféricas após passar pela lente.

(13)

 No espaço 3-D, a equação z = constante representa um plano (infinito).  A equação zct = constante representa um plano que se propaga com

velocidade c na direção + z

 A equação uacos(kz

t) representa uma onda harmônica, cujas frentes de onda são planos que se propagam na direção z com velocidade c

k

FRENTES DE ONDA PLANAS

(14)

ONDAS ELETROMAGNÉTICAS

 LUZ = Onda de natureza eletromagnética

o Campo eletromagnético  Especificado por dois vetores

E = Vetor campo elétrico [E] = Volt/metro H = Vetor campo magnético [H] = Ampere/metro

(15)

BASES TEÓRICAS DO ELETROMAGNETISMO

 As bases teóricas do eletromagnetismo estão formuladas nas Equações de Maxwell

Conjunto de 4 equações diferenciais que relacionam os campos E e

H. São válidas para os casos estático (Eletrostática) e dinâmico

(Eletrodinâmica). o Caso estático:        t t H E E e H são independentes o Caso dinâmico: t  E e     t H

E e H NÃO são independentes

Determinado pela distribuição das cargas elétricas no espaço

Determinado pela distribuição das correntes

(16)

Equações de Maxwell

(1) LEI DE GAUSS DO CAMPO ELÉTRICO (1) 0  Q S  

E dS (Forma integral) Teorema da divergência:

 

 V SE dS ( E)dV (2) 0V    E (Forma diferencial) (2) LEI DE GAUSS DO CAMPO MAGNÉTICO

(3)

  

SH dS (Forma integral)

 Estabelece a inexistência de monopolos magnéticos (4) H  (Forma diferencial)

(17)

(3) LEI DE FARADAY (5) t H C      

E dl

(Forma integral) o  

S

H H dS : fluxo do campo magnético

o

= 4  107 H/m (Permeabilidade do vácuo)  Teorema de Stokes:

 

  S CE dl ( E) dS (6) t       E

H (Forma diferencial)

(18)

(4) LEI DE AMPERE-MAXWELL (7) C StE      

H dl J dS 0 (Forma integral)

o E

SEdS : fluxo do campo elétrico

o

= 8.854  1012 F/m (Permissividade do vácuo)

 Teorema de Stokes:

CHdl

S(H)dS (8) HJ 0Et (Forma diferencial)

(19)
(20)

Equações de Maxwell na ausência de cargas e correntes Lei de Gauss da Eletricidade

(1) E  

Lei de Gauss do Magnetismo (2) H  Lei de Faraday (3) t       E

H (

= 4  107 H/m) Lei de Ampere-Maxwell (4) t      H

0 E (

= 8.854  1012 F/m)

(21)

EQUAÇÃO DE ONDA Tomando o  (3) e usando (4):                   t t E H E)

( )

(

Usando (1) e a identidade vetorial: (E)  (E)E

Chegamos à       t E E

. (Analogamente       t H H

)

Equação de Onda: Descreve uma onda que se propaga com velocidade

   

c

v = 3108 m/s (velocidade da luz no vácuo) 

= 4  107 H/m (Permeabilidade do vácuo)

= 8.854  1012 F/m (Permissividade do vácuo) 2

v 

(22)

EQUAÇÕES DE MAXWELL EM UM MEIO DIELÉTRICO,

HOMOGÊNEO E ISOTRÓPICO  Exemplo: Bloco de vidro

0 (Permeabilidade do meio)

0 (Permissividade do meio)

 VELOCIDADE DE PROPAGAÇÃO DA LUZ NO MEIO

  c

o Permissividade relativa (ou Constante dielétrica): K   

o Permeabilidade relativa: Km   

(A maioria dos materiais ópticos transparentes são não-magnéticos  Km )

 ÍNDICE DE REFRAÇÃO

K c

c

(23)

Ondas eletromagnéticas planas / Simplificando as equações de Maxwell  Consideremos a forma exponencial de uma onda harmônica plana: exp i(krt)

 Derivada temporal: exp i( t) i exp i( t) t          r k r k

 Derivada espacial (ex. componente x):

) ( exp ) ( exp ) ( exp t i k i t z k y k x k i x t i x x z y x                 r k r k o Aplicação do operador: z z y y x x         

 ˆ ˆ ˆ (xˆ, yˆ, zˆ: versores nas direções x, y, z)

) ( exp ) ( exp i  ti i  tk r k k r

 Temos, portanto as seguintes relações para os operadores:

i t     k i  

(24)

Ondas eletromagnéticas planas / Simplificando as equações de Maxwell i t     k i   (1) EHkE    HkE  H       i ( i ) t (2) HEkH   EkH  E      i ( i ) t (3) E0kE0 (4) H0kH0

k, E e H são mutuamente ortogonais

GEOMETRIA DOS VETORES 

 Relação entre as magnitudes de E e H: De (1) kE H H k EcE

  

   

(25)

FLUXO DE ENERGIA / VETOR DE POYNTING

 Vamos definir um vetor S (chamado vetor de Poynting) como: SEH

 [E] = Volt/metro; [H] = Ampere/metro  [S] = VoltAmpere/metro2 = Watt/metro2

 Unidade de potência: Watt = Joule/segundo (Energia/tempo)

S especifica a Energia por unidade de tempo por unidade de área  Consideremos ondas harmônicas planas dadas pelas expressões:

) cos(  t

E k r

E 0 e HH0cos(krt)

 Valor instantâneo do vetor de Poynting: SE0H0cos2(krt)

 Valor médio do vetor de Poynting: SE0H0

2 1 ; cos2(krt) 1 2  De fato: 

     2 0 2 2 ) ( cos 2 1 cos d 2 1 ] ) 2 cos( 2 1 2 1 [ 2 1 cos ) 2 cos 1 ( 2 1 cos 2 0 2 0 2 2      

         d d 0 

(26)

FLUXO DE ENERGIA / VETOR DE POYNTING: SE0H0

2 1

 A partir da geometria dos vetores: S E0 H0 kˆ kˆ

2 1 2 1 0 0H I E    

 O vetor S especifica ambos, a magnitude ( I ) e direção (kˆ ) do fluxo de energia

 A irradiância I é definida como 0 0

2 1 H E I  e k k kˆ  ; [ I ] = Watt/metro2 (SI)

 Uma vez que H0E0, a irradiância é proporcional ao quadrado do campo elétrico: I(E0)2

(27)

MATERIAL COMPLEMENTAR (OPCIONAL)

OPERADOR NABLA

Na forma diferencial, as equações de Maxwell aparecem escritas utilizando um operador vetorial: o Símbolo nabla z y x           xˆ yˆ zˆ (Coordenadas Cartesianas)  xˆ , yˆ e zˆ = versores nas direções x, y e z. xˆ  yˆ  zˆ   x   , y   e z  

= Derivadas parciais nas coordenadas x, y e z

(28)

 Por exemplo, no cálculo do gradiente, divergente ou rotacional o DIVERGENTE

Operação aplicada em um campo vetorial na forma de um produto escalar. Por exemplo: EExxˆ  Eyyˆ  Ezzˆ

x y z

z y x E ˆ ˆ ˆ Exˆ Eyˆ Ezˆ z y x                   z E y E x Ex y z         

 E Escalar que mede a tendência do campo convergir ou

divergir de um ponto.

(29)

o ROTACIONAL

Operação aplicada em um campo vetorial na forma de um produto vetorial.

z y x z y x z y x E ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ                                                          y E x E x E z E z E y E E E E z y x x y z x y z z y x

OBS.: Pode ser calculada através do determinante

z y x E E E z y x          z y x E ˆ ˆ ˆ

 E  Vetor que descreve a rotação do campo vetorial em um ponto. A direção é o eixo de rotação, dada pela “regra da mão direita”.

(30)

o GRADIENTE

= Derivada vetorial de um campo escalar representado por uma função ff (x, y,z) z y x           xˆ yˆ zˆ  xˆ yˆ zˆ z f y f x f f          

(31)

o LAPLACIANO

Operador que pode ser aplicado a campos escalares ou vetoriais.  Definido como o divergente do gradiente:

                     z y x

 Aplicado a um campo escalar f (x, y,z)

                 z f y f x f f  Resulta em um escalar

 Aplicado a um campo vetorial E(x, y,z)

z y x EEx ˆ Ey ˆ Ez ˆ    Resulta em um vetor

 Aparece frequentemente em equações de onda envolvendo campos eletromagnéticos e em mecânica quântica.

(32)

o TEOREMA DE STOKES (TEOREMA DO ROTACIONAL)

 Relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial numa superfície aberta S com a integral de linha do campo vetorial sobre sua fronteira C.

   

C

S ( E) ndS E dl

OBS.: A orientação da circulação em C segue a regra da mão

direita, com o vetor n (normal à superfície) na direção do polegar.

(33)

o TEOREMA DA DIVERGÊNCIA

 Relaciona a integral do divergente de um campo vetorial no volume V com a integral do campo na superfície fechada S que delimita V.

   V SE ndS ( E)dV  

Referências

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