Modelagem da capacitância de um capacitor de placas paralelas, considerando efeitos de bordas e desvios de paralelismo, utilizando o método de elementos finitos

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação

PAULO HENRIQUE ROESLER

MODELAGEM DA CAPACITÂNCIA DE UM CAPACITOR DE PLACAS PARALELAS, CONSIDERANDO EFEITOS DE BORDAS E DESVIOS DE PARALELISMO,

UTILIZANDO O MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS

CAMPINAS 2019

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PAULO HENRIQUE ROESLER

MODELAGEM DA CAPACITÂNCIA DE UM CAPACITOR DE PLACAS PARALELAS, CONSIDERANDO EFEITOS DE BORDAS E DESVIOS DE PARALELISMO,

UTILIZANDO O MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS

Dissertação apresentada à Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de MESTRE em Engenharia Elétrica, na área de Eletrônica, Microeletrônica e Optoeletrônica.

Orientador: Prof. Dr. Marco Antonio Robert Alves

ESTE TRABALHO CORRESPONDE À VERSÃO FINAL DA DISSERTAÇÃO DEFENDIDA PELO ALUNO PAULO HENRIQUE ROESLER, ORIENTADO PELO PROF. DR. MARCO ANTONIO ROBERT ALVES.

CAMPINAS 2019

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Rose Meire da Silva - CRB 8/5974

Roesler, Paulo Henrique,

R629m RoeModelagem da capacitância de um capacitor de placas paralelas,

considerando efeitos de bordas e desvios de paralelismo, utilizando o método de elementos finitos / Paulo Henrique Roesler. – Campinas, SP : [s.n.], 2019.

RoeOrientador: Marco Antonio Robert Alves.

RoeDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação.

Roe1. Método de elementos finitos. 2. Capacitores. 3. Energia

-Armazenamento. I. Alves, Marco Antonio Robert, 1964-. II. Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Capacitance modelling of a parallel plate capacitor, considering fringing effects and parallelism deviations, using the finite element method

Palavras-chave em inglês: Finite element method Capacitors

Energy - Storage

Área de concentração: Eletrônica, Microeletrônica e Optoeletrônica Titulação: Mestre em Engenharia Elétrica

Banca examinadora:

Marco Antonio Robert Alves [Orientador] Edmundo da Silva Braga

Tárcio André dos Santos Barros Data de defesa: 16-10-2019

Programa de Pós-Graduação: Engenharia Elétrica Identificação e informações acadêmicas do(a) aluno(a)

- ORCID do autor: 0000-0001-8557-2697

- Currículo Lattes do autor: http://lattes.cnpq.br/6273784529748501

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COMISSÃO JULGADORA - DISSERTAÇÃO DE MESTRADO

Candidato: Paulo Henrique Roesler RA: 009593 Data da Defesa: 16 de outubro de 2019

Título da Dissertação: "MODELAGEM DA CAPACITÂNCIA DE UM CAPACITOR

DE PLACAS PARALELAS, CONSIDERANDO EFEITOS DE BORDAS E DESVIOS DE PARALELISMO, UTILIZANDO O MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS”.

Prof. Dr. MARCO ANTONIO ROBERT ALVES (Presidente, FEEC/UNICAMP) Prof. Dr. EDMUNDO DA SILVA BRAGA (FEEC/UNICAMP)

Prof. Dr. TÁRCIO ANDRÉ DOS SANTOS BARROS (FEM/UNICAMP)

A ata de defesa, com as respectivas assinaturas dos membros da Comissão Julgadora, encontra-se no SIGA (Sistema de Fluxo de Dissertação/Tese) e na Secretaria de Pós-Graduação da Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação.

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À minha esposa Jaqueline e aos meus filhos Francisco e João Pedro, minhas fontes de vida e amor.

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AGRADECIMENTOS

Agradeço ao meu orientador Professor Dr. Marco Antonio Robert Alves por toda orientação, sabedoria, paciência, palavras encorajadoras, e pela amizade que começou na orientação de meu trabalho de conclusão de curso em Engenharia Elétrica.

Ao Professor Dr. Edmundo da Silva Braga por todo apoio e motivação para a produção do trabalho apresentado. Muito obrigado!

À minha esposa Jaqueline Vaz Martins Roesler, minha amada, fonte propulsora para os meus projetos e realizações pessoais, acadêmicas e profissionais. Sem o seu apoio e imenso incentivo este trabalho não teria acontecido. Expresso aqui minha eterna gratidão.

Aos meus pais José Oswaldo Roesler e Diva Pinheiro Roesler, que mesmo de origem humilde e com poucos anos de escola, sempre ensinaram aos seus filhos que a educação corresponde a mais poderosa ferramenta de transformação social. Ferramenta esta que permitiu a mim e a minhas duas irmãs conquistar uma vida digna.

Aos meus sogros Judson Pedro Martins e Lígia Vallini Vaz Martins, grandes amigos e incentivadores que sempre estão ao meu lado junto com minha esposa Jaqueline.

Aos meus filhos Francisco Vaz Martins Roesler e João Pedro Vaz Martins Roesler, fontes de amor, energia, inspiração, e que sempre me animam e me alegram mesmo nos momentos em que estou cansado ou preocupado com meus afazeres. Amo vocês!

Ao colega de laboratório Dr. Davi Sabagg Roveri, quem me ajudou a dar os primeiros passos com o software Ansys Maxwell.

Aos doutorandos e amigos de laboratório, os cubanos Carmen Leticia Crespillo Torriente e Pedro Luis Ferrer Penalver, pelas trocas de experiências, conversas sobre a vida, política e assuntos diversos. Obrigado pelo apoio e amizade. Desejo-lhes todo sucesso em suas realizações.

À empresa Engineering Simulation and Scientific Software (ESSS) por fornecer gratuitamente as licenças do software Ansys Maxwell.

A todos os professores que, desde o ensino fundamental à pós-graduação, contribuíram para a minha formação humana e acadêmica. Profissionais

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que em nosso país ainda não são devidamente reconhecidos e valorizados pela sociedade.

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“Os ideais que iluminaram meu caminho, e que, de tempos em tempos me dão nova coragem para enfrentar a vida com alegria são a bondade, a beleza e a verdade.”

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RESUMO

Capacitores são dispositivos amplamente utilizados em engenharia. Como sensores capacitivos de proximidade permitem a realização de medidas de distâncias da ordem de nanômetros a milímetros com alta precisão, característica que viabiliza a utilização dos mesmos em diversas aplicações. Nestes dispositivos, a variação na distância entre os eletrodos provoca alteração no campo elétrico entre eles e, consequentemente, na capacitância. Assim, o conhecimento preciso desta grandeza é preponderante para a confiabilidade do sensor. No entanto, as distorções do campo elétrico nas extremidades e entre as faces externas das placas, de comprimento finito e espessura não nula, consistem em não idealidades difíceis de serem contornadas analiticamente para o cálculo preciso da capacitância. Outra não idealidade que pode estar presente corresponde a desvios de paralelismo entre os eletrodos. Diversos modelos matemáticos têm sido propostos buscando considerar essas não idealidades na determinação da capacitância, mas existe carência de trabalhos com resultados experimentais que comprovem o nível de exatidão que esses modelos teóricos podem alcançar. Neste contexto, o presente estudo se propõe a investigar, através de simulações numéricas, utilizando o método de elementos finitos (FEM), o quanto as referidas não idealidades afetam a capacitância de um capacitor constituído por dois eletrodos de geometria planar e paralelos em vácuo. Adotando por referência o erro e a resolução compatíveis com os de interfaces comerciais para a leitura deste tipo de dispositivo, os resultados obtidos com o FEM são comparados com os determinados pelas equações analíticas e semianalíticas disponíveis na literatura, e as limitações destas no projeto de capacitores são apresentadas. Um estudo sobre os menores ângulos de desvio de paralelismo que provocam alteração significativa no comportamento do dispositivo também é realizado.

Palavras-chave: método de elementos finitos, capacitor de placas paralelas,

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ABSTRACT

Capacitors are devices widely used in engineering. As capacitive proximity sensors allow to perform measurements of distances ranging from nanometers to millimeters with high precision, feature that enables to use them in several applications. In these devices, the variation in distance between the electrodes causes changes in the electric field around them and, consequently, in the capacitance. Thus, an accurate knowledge about this property is preponderant for the reliability of the sensor. However, the fringing of the electric field at the edges and between the back sides of the plates, thick and with finite length, constitutes non-idealities difficult to be contoured analytically in the precise calculation of the capacitance. Another non-ideality that may be present corresponds to deviations of parallelism between the electrodes. Many mathematical models have been proposed taking under consideration these non-idealities in the determination of capacitance, but there is a lack of experimental results to certify the level of accuracy that these theoretical models can achieve. In this context, this study proposes to investigate, through numerical simulations, using the finite element method (FEM), how much the referred non-idealities affect the capacitance of a capacitor made up of two parallel planar electrodes in vacuum. Adopting error and resolution references consistent with interfaces available in the market for the reading of this type of device, the results got with the FEM are compared to the results determined by the analytical and semi-analytical equations found in the literature, and the limitations of these equations in the capacitors design are presented. A study on the smaller angles of parallelism deviation that cause relevant change in the performance of the device is also carried out.

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LISTA DE FIGURAS

Figura 3.1 – Secção transversal de um capacitor de placas paralelas mostrando o

comportamento do campo elétrico estabelecido entre os condutores. Fonte: Adaptado de (BAXTER, 1997). ... 28

Figura 3.2 – Secção transversal de um capacitor de placas não paralelas e as

respectivas dimensões. ... 30

Figura 3.3 – Esquemático de um sistema formado por três condutores, tendo a

fronteira como referência, e a indicação das capacitâncias que se estabelecem entre os elementos. Fonte: (ANSYS, 2018). ... 35

Figura 3.4 – Matriz de capacitâncias calculada pelo Maxwell para um sistema

formado por três condutores como o da Figura 3.3. Fonte: (ANSYS, 2018). ... 36

Figura 3.5 – Algoritmo do software Maxwell na busca da solução que satisfaça ao

critério de convergência estabelecido. Fonte: (ANSYS, 2018). ... 37

Figura 4.1 – Modelo 2D do capacitor simulado. ... 38 Figura 4.2 – Malha gerada ao redor do dispositivo para a cofiguração θ = 0.0º, d =

1.0mm e t = 0.1mm. ... 41

Figura 4.3 – Malha gerada em toda a região simulada para a configuração θ = 0.0º,

d = 1.0mm e t = 0.1mm. ... 42

Figura 4.4 – Dimensões relativas da região de simulação (Region). ... 43 Figura 4.5 – Capacitância C em função do parâmetro X_Region para a configuração

θ = 5.0°, d = 4.0mm e t = 1.0mm, mantendo-se fixo Y_Region = 50.0mm. ... 44

Figura 4.6 – Capacitância C em função do parâmetro Y_Region para a configuração

θ = 5.0°, d = 4.0mm e t = 1.0mm, mantendo-se fixo X_Region = 50.0mm. ... 45

Figura 5.1 – Distribuição do campo elétrico ao redor do capacitor com placas

paralelas e de espessura desprezível (t = 0.0mm) na configuração d = 1.0mm (d/l = 0.25). ... 47

Figura 5.2 – Intensidade do campo elétrico em função da posição x, medido à

meia distância entre as placas (y = d/2), para o capacitor com placas paralelas e de espessura desprezível (t = 0.0mm) na configuração d = 1.0mm (d/l = 0.25). ... 47

Figura 5.3 – Capacitância C em função da razão de aspecto d/l. Comparação entre

os resultados determinados pelo FEM e os modelos teóricos para o capacitor com placas paralelas e de espessura desprezível (t = 0.0mm). ... 48

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Figura 5.4 – Erro relativo dos modelos teóricos na determinação da capacitância,

em função da razão de aspecto d/l, para o capacitor com placas paralelas e de espessura desprezível (t = 0.0mm). ... 48

Figura 5.5 – Capacitância C em função da razão de aspecto d/l. Comparação entre

os resultados determinados pelo FEM e os modelos teóricos para o capacitor com placas paralelas e de espessura t = 0.1mm. ... 52

Figura 5.6 – Capacitância C em função da razão de aspecto d/l. Comparação entre

Figura 5.7 – Capacitância C em função da razão de aspecto d/l. Comparação entre

Figura 5.8 – Erro relativo da Equação 3.5 na determinação da capacitância, em

função da razão de aspecto d/l, para o capacitor com placas paralelas e de espessura t = 0.1mm, 0.5mm e 1.0mm. ... 53

Figura 5.9 – Erro relativo da Equação 3.6 na determinação da capacitância, em

função da razão de aspecto d/l, para o capacitor com placas paralelas e de espessura t = 0.1mm, 0.5mm e 1.0mm. ... 54

Figura 6.1 – Distribuição do campo elétrico ao redor do capacitor com placas de

espessura desprezível (t = 0.0mm) na configuração d = 1.0mm (d/l = 0.25) e θ = 2.5º. ... 61

Figura 6.2 – Intensidade do campo elétrico em função da posição x, medido à

meia distância entre as placas (y = d/2), para o capacitor com placas de espessura desprezível (t = 0.0mm) na configuração d = 1.0mm (d/l = 0.25) e θ = 2.5º. ... 61

Figura 6.3 – Capacitância C em função do ângulo de desvio de paralelismo θ na

razão de aspecto d/l = 0.025 para o capacitor com placas de espessura desprezível (t = 0.0mm). Comparação entre os resultados determinados pelo FEM e a Equação 3.7 de Xiang. ... 63

Figura 6.4 – Capacitância C em função do ângulo de desvio de paralelismo θ na

razão de aspecto d/l = 1.0 para o capacitor com placas de espessura desprezível (t = 0.0mm). Comparação entre os resultados determinados pelo FEM e a Equação 3.7 de Xiang. ... 64

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Figura 6.5 – Erro relativo das Equações 3.3, 3.7 e 3.14 na determinação da

capacitância, em função do ângulo de desvio de paralelismo θ, para o capacitor com placas de espessura desprezível (t = 0.0mm) e na razão de aspecto d/l = 0.025. .... 69

capacitância, em função do ângulo de desvio de paralelismo θ, para o capacitor com placas de espessura desprezível (t = 0.0mm) e na razão de aspecto d/l = 0.25. ... 70

Figura 6.14 – Capacitância C em função do ângulo de desvio de paralelismo θ, na

razão de aspecto d/l = 0.025, para o capacitor com placas de espessura t = 0.1mm. Comparação entre os resultados determinados pelo FEM e pelas Equações 3.7 e 6.1. ... 84

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Comparação entre os resultados determinados pelo FEM e pelas Equações 3.7 e 6.1. ... 85

capacitância, em função do ângulo de desvio de paralelismo θ, na razão de aspecto d/l = 0.025, para o capacitor com placas de espessura t = 0.1mm. ... 92

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LISTA DE TABELAS

Tabela 4.1 – Dados da malha gerada para a cofiguração θ = 0.0º, d = 1.0mm e t =

0.1mm. ... 41

Tabela 4.2 – Elementos da matriz de capacitâncias determinada para a configuração

θ = 0.0º, d = 1.0mm e t = 0.1mm. ... 41

Tabela 5.1 – Alterações na capacitância (ΔC) provocadas por pequenas variações

na distância de trabalho (Δd), em diferentes razões de aspecto (d/l), para o capacitor com placas paralelas e de espessura desprezível (t = 0.0mm). ... 49

Tabela 5.2 – Resolução alcançada na medida de variações de proximidade, em

diferentes razões de aspecto, para o capacitor com placas paralelas e de espessura desprezível (t = 0.0mm). ... 51

Tabela 5.3 – Alterações na capacitância (ΔC) provocadas por pequenas variações

na distância de trabalho (Δd), em diferentes razões de aspecto (d/l), para o capacitor com placas paralelas e de espessura t = 0.1mm. ... 55

Tabela 5.6 – Faixas da razão de aspecto (d/l), em função da espessura (t) dos

eletrodos, para as quais a Equação 3.5 atende a um erro limite em torno de 4fF na determinação da capacitância do dispositivo com placas paralelas. ... 58

Tabela 5.7 – Faixas da razão de aspecto (d/l), em função da espessura (t) dos

eletrodos, para as quais a Equação 3.6 atende a um erro limite em torno de 4fF na determinação da capacitância do dispositivo com placas paralelas. ... 58

Tabela 6.1 – Menores ângulos de desvio de paralelismo (θ) que provocam

alterações mensuráveis na capacitância (ΔC), em diferentes razões de aspecto (d/l), para o capacitor com placas de espessura desprezível (t = 0.0mm). ... 62

Tabela 6.2 – Erros das Equações 3.7 e 3.15 na determinação da capacitância (C),

em diferentes razões de aspecto (d/l), para os menores ângulos de desvio (θ) de paralelismo que provocam alterações mensuráveis no comportamento do capacitor com placas de espessura desprezível (t = 0.0mm). ... 62

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Tabela 6.3 – Capacitância (C) em função do ângulo de desvio de paralelismo (θ),

obtida pelo FEM e pela Equação 3.7 de Xiang, para o capacitor com placas de espessura desprezível (t = 0.0mm) na razão de aspecto d/l = 0.025. ... 64

Tabela 6.12 – Variação da capacitância (ΔC) em função do ângulo de desvio de

paralelismo (θ), determinados pelo FEM e pela Equação (3.7) de Xiang, para o capacitor com placas de espessura desprezível (t = 0.0mm) na razão de aspecto d/l = 0.025. ... 74

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capacitor com placas de espessura desprezível (t = 0.0mm) na razão de aspecto d/l = 0.125. ... 74

Tabela 6.21 – Faixas de ângulo de desvio de paralelismo (θ), em função da razão de

aspecto (d/l), em que as Equações 3.3 e 3.14 atendem a um erro limite em torno de 4fF na determinação da capacitância, para o dispositivo com placas de espessura desprezível (t = 0.0mm). ... 79

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Tabela 6.22 – Menores ângulos de desvio de paralelismo (θ) entre as placas que

provocam alterações mensuráveis na capacitância (ΔC), em diferentes razões de aspecto (d/l), para o capacitor com eletrodos de espessura (t) 0.1mm, 0.5mm e 1.0mm. ... 82

Tabela 6.23 – Variação ΔC na capacitância total do dispositivo e mudança ΔCt na

parcela da capacitância associada à espessura das placas, provocadas pelo máximo ângulo de desvio de paralelismo investigado (θ = 1.0° para d/l = 0.025 e θ = 5.0° para as demais configurações), em função da razão de aspecto (d/l), para o capacitor com eletrodos de espessura t = 0.1mm. ... 82

obtida pelo FEM, pela Equação 3.7 e pela Equação 6.1, para o capacitor com placas de espessura (t) 0.0mm, 0.1mm, 0.5mm e 1.0mm, na razão de aspecto d/l = 0.025. ... 87

obtida pelo FEM, pela Equação 3.7 e pela Equação 6.1, para o capacitor com placas de espessura (t) 0.0mm, 0.1mm, 0.5mm e 1.0mm, na razão de aspecto d/l = 0.25. . 88

(21)

obtida pelo FEM, pela Equação 3.7 e pela Equação 6.1, para o capacitor com placas de espessura (t) 0.0mm, 0.1mm, 0.5mm e 1.0mm, na razão de aspecto d/l = 0.75. . 90

Tabela 6.35 – Comparação entre os menores ângulos de desvio de paralelismo (θ),

que provocam alterações mensuráveis na capacitância, em função das diferentes razões de aspecto (d/l) e espessuras (t) de placas estudadas. ... 106

aspecto (d/l), em que as Equações 3.5, 3.6 e 6.1 atendem a um erro limite em torno de 4fF na determinação da capacitância, para o dispositivo com placas de espessura t = 0.1mm. ... 107

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LISTA DE SÍMBOLOS

C Capacitância

Q Quantidade de carga elétrica V Potencial elétrico

Permissividade elétrica relativa Permissividade elétrica do vácuo l Comprimento das placas do capacitor

d Distância de separação entre os centros das placas do capacitor Campo elétrico

t Espessura das placas do capacitor K Integral elíptica completa do primeiro tipo

k Parâmetro da integral elíptica completa do primeiro tipo k’ Módulo complementar de k

Parâmetro para o cálculo da Equação 3.12 de Xiang

Parâmetro para o cálculo da Equação 3.15 de Patla Parâmetro para o cálculo da Equação 3.15 de Patla

_{Densidade de fluxo elétrico}

W Energia armazenada no campo elétrico

Volume da região de simulação encerrada pela fronteira de referência θ Ângulo de inclinação de um eletrodo em relação ao outro

d/l Razão de aspecto do capacitor

r Distância de uma das extremidades do eletrodo ao ponto comum ‘O’ X_Region Dimensão relativa da região de simulação na direção x

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SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ... 24 2 OBJETIVOS DESTE TRABALHO ... 26 3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ... 27

3.1 PRECISÃO DE CIRCUITOS PARA LEITURA DE CAPACITÂNCIA ... 32

3.2 O MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS NO SOFTWARE

ANSYS-MAXWELL ... 33

4 DESENVOLVIMENTO DO MODELO DE SIMULAÇÃO ... 38

4.1 OPERAÇÃO DE MALHA E CRITÉRIO DE CONVERGÊNCIA ... 39 4.2 DIMENSIONAMENTO DA REGIÃO DE SIMULAÇÃO (Region) ... 43

5 ESTUDO DO CAPACITOR COM PLACAS PARALELAS ... 46

5.1 DISPOSITIVO COM PLACAS DE ESPESSURA IDEALMENTE NULA

(t=0.0mm) ... 46

5.1.1 Resultados ... 46 5.1.2 Análise dos resultados e conclusões ... 49

5.2 DISPOSITIVO COM PLACAS ESPESSAS ... 51

5.2.1 Resultados ... 51 5.2.2 Análise dos resultados e conclusões ... 57 6 ESTUDO DO CAPACITOR COM PLACAS NÃO PARALELAS ... 59

6.1 DISPOSITIVO COM PLACAS DE ESPESSURA IDEALMENTE NULA

(t=0.0mm) ... 59

6.1.1 Resultados ... 60 6.1.2 Análise dos resultados e conclusões ... 78

6.2 DISPOSITIVO COM PLACAS ESPESSAS ... 80

6.2.1 Resultados ... 81 6.2.2 Análise dos resultados e conclusões ... 105 7 CONCLUSÃO ... 109 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ... 111

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1 INTRODUÇÃO

Capacitores possuem inúmeras aplicações em circuitos eletrônicos. Atuando como sensores os capacitores desempenham papel fundamental na aquisição de dados, podendo ser utilizados como sensores de proximidade, detectores de nível de líquido em reservatórios, na medida de espessura de materiais dielétricos, sensores de toque em substituição a chaves mecânicas, sensores para medida de pressão de gases, entre outras aplicações (BAXTER, 1997). Como sensores de proximidade, permitem a realização de medidas de distâncias da ordem de nanômetros a milímetros com alta precisão. Tal característica viabiliza a sua utilização em chaves microeletrônicas (LUO; WANG, 2002), sistemas mecatrônicos (XIA; MAKINWA; NIHTIANOV, 2012), microacelerômetros (TAY et al., 1999), metrologia e medições de precisão em máquinas ferramentas (SMITH; VALLANCE; MARSH, 2005). Nestes dispositivos, a variação na distância entre os eletrodos provoca alteração no campo elétrico entre eles e, consequentemente, na capacitância. Assim, o conhecimento preciso da capacitância é preponderante para a confiabilidade de capacitores utilizados em aplicações que requerem alta precisão.

Em um capacitor de placas paralelas ideal, a equação para o cálculo da capacitância é facilmente deduzida a partir do campo elétrico uniforme que se estabelece entre os eletrodos, os quais são considerados idealmente finos e de dimensões muito maiores que a distância de separação entre os mesmos. No entanto, em dispositivos reais, as distorções do campo elétrico nas extremidades e entre as faces externas das placas, de comprimento finito e espessura não nula, consistem em não idealidades difíceis de serem contornadas analiticamente para o cálculo preciso da capacitância (LOVE, 1923; ELLIOTT, 1966; XIANG, 2006). Outra não idealidade, que pode estar presente devido a restrições de fabricação ou de aplicação, corresponde a desvios de paralelismo entre os eletrodos. Em sistemas de alta precisão, como em um microacelerômetro diferencial, têm se verificado que o modelo ideal subestima a capacitância em nível indesejado quando da existência de um ângulo de dois graus entre os eletrodos (TAY et al., 1999). Já em experimentos de gravitação, desvios de paralelismo da ordem 10-6rad não podem ser desprezados (PATLA, 2013).

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Diversos modelos matemáticos têm sido propostos buscando considerar essas não idealidades na determinação da capacitância. No entanto, existe carência de trabalhos com resultados experimentais que comprovem o nível de exatidão que esses modelos teóricos podem alcançar. Por outro lado, na atualidade, soluções numéricas com alta precisão podem ser obtidas através de simulações computacionais utilizando o método de elementos finitos (FEM). Implementado em

softwares comerciais, o FEM viabiliza a solução de problemas eletromagnéticos, e é

muito flexível quanto à variação dos parâmetros da geometria em estudo. Esta característica possibilita a produção de dados referentes a um grande número de configurações do dispositivo em estudo, o que seria inviável de se realizar através da fabricação e caracterização de protótipos.

(26)

2 OBJETIVO

O objetivo da pesquisa é apresentar um estudo sobre a influência das referidas não idealidades na determinação da capacitância de um capacitor, constituído por dois eletrodos de geometria planar e paralelos em vácuo, utilizando-se o FEM. Variando-utilizando-se a distância entre os eletrodos, a espessura dos mesmos e o ângulo de inclinação entre eles, os resultados das simulações numéricas, realizadas com o software Ansys Maxwell 18.0, são comparados com os determinados pelas equações analíticas e semianalíticas disponíveis na literatura. Adotando por referência o erro e a resolução compatíveis com os de interfaces comerciais para a leitura de capacitância, as limitações das equações no projeto de capacitores destinados a aplicações que requerem alta precisão são apresentadas. Considerando-se desvios de paralelismo, tomados em relação ao centro de um dos eletrodos, podemos considerar a espessura das placas na determinação da capacitância. Um estudo sobre os menores ângulos de desvio que provocam alteração significativa no comportamento do dispositivo também é realizado.

(27)

3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

A capacitância (C) entre dois corpos condutores é definida pela Equação 3.1. Onde Q representa a carga acumulada em um dos corpos e V o potencial elétrico aplicado em cada um deles.

(3.1)

Embora a capacitância seja definida pela razão entre carga elétrica e diferença de potencial, trata-se de uma grandeza que depende exclusivamente da geometria dos condutores e da permissividade elétrica do material dielétrico que os separa (IDA, 2015). Para um capacitor de placas paralelas, uma equação ideal para a capacitância é obtida levando-se em consideração somente o campo elétrico uniforme entre as placas. Com esta aproximação, o campo elétrico é facilmente determinado pela lei de Gauss. A integração de permite encontrar a diferença de potencial entre os condutores em função da carga elétrica Q. Substituindo-se na Equação 3.1, a capacitância por unidade de comprimento passa a ser determinada pela Equação 3.2 (IDA, 2015):

(3.2)

onde: é a permissividade elétrica relativa do meio dielétrico entre as placas; é a permissividade elétrica do vácuo; l corresponde ao comprimento das placas (de iguais dimensões); e d a distância de separação entre elas.

A aproximação dada pela Equação 3.2 é considerada válida para d << l. No entanto, distorções no campo elétrico ocorrem nas extremidades e entre as faces externas das placas de dispositivos reais, conforme apresentado na Figura 3.1. Assim, a Equação 3.2 não é adequada para o cálculo da capacitância no projeto de dispositivos de alta precisão.

(28)

Figura 3.1 – Secção transversal de um capacitor de placas paralelas mostrando o comportamento do

campo elétrico estabelecido entre os condutores. Fonte: Adaptado de (BAXTER, 1997).

Considerando as distorções do campo elétrico, para a condição d/l << 1.0 e desprezando a espessura dos eletrodos, Bromwich (1902 apud LOVE, 1923) apresentaram a Equação 3.3 para o cálculo da capacitância por unidade de comprimento. Desenvolvida a partir de mapeamento conforme (conformal mapping) do campo utilizando a transformação de Schwartz-Christoffel, a Equação 3.3 corresponde a uma aproximação de primeira ordem da equação semianalítica geral determinada em função de integrais elípticas. A aproximação de primeira ordem é justificada julgando que, em vista dos erros envolvidos ao se negligenciar a espessura das placas, aproximações mais exatas teriam significado físico duvidoso (LOVE, 1923).

(3.3)

Utilizando o mesmo método matemático, (ELLIOTT, 1966) apresenta a Equação 3.4. Esta aproximação para a capacitância por unidade de comprimento também é desenvolvida para a condição d/l << 1.0 e considerando desprezível a espessura dos eletrodos.

(3.4)

A influência da espessura (t) dos eletrodos na capacitância é considerada no modelo aproximado proposto por Yang (2000 apud BAO, 2001). Para a condição d/l << 1.0, a capacitância por unidade de comprimento é dada pela Equação 3.5. Nesta, observa-se que o primeiro termo entre os colchetes é associado à

(29)

capacitância de um dispositivo ideal, o segundo é relativo ao comprimento finito (l) das placas e o terceiro refere-se à capacitância associada à espessura (t) dos eletrodos. (3.5)

A precisão da Equação 3.5 é estudada por (LEUS e ELATA, 2004). Aplicando o método de elementos finitos (FEM) a um dispositivo com dimensões genéricas l = 50, t = 5 e 1 ≤ d ≤ 10, os resultados obtidos com as simulações computacionais são comparados com os determinados pelo modelo teórico. Leus e Elata mostram que um modelo mais exato é obtido pela associação da Equação 3.3 (de Bromwich) com o termo referente à espessura dos eletrodos da Equação 3.5 (de Yang) divido por dois. A formulação é apresentada na Equação 3.6.

(3.6)

Outra não idealidade que afeta o comportamento da capacitância corresponde à existência de desvios de paralelismo entre os eletrodos. Tay et al. (1999) utiliza o FEM para estudar a influência da falta de paralelismo em um microacelerômetro diferencial, onde o problema é inerente ao processo de fabricação. Ele mostra que o modelo ideal, representado pela Equação 3.2, subestima a capacitância em nível indesejado quando da existência de um ângulo θ = 2º entre os eletrodos.

Considerando que desvios de paralelismo podem estar presentes devido a restrições de fabricação ou de aplicação, Xiang (2006) desenvolve o modelo semianalítico representado pela Equação 3.7. Assumindo eletrodos de espessura desprezível, a equação é obtida por meio de mapeamentos (conformal mappings) do campo elétrico utilizando a transformação de Schwartz-Christoffel.

(30)

A Equação 3.7 determina a capacitância por unidade de comprimento através da soma de uma parcela Cin, associada ao campo elétrico entre as faces

internas das placas, e outra parcela Cout, relativa ao campo que se estabelece entre

as faces externas. Os termos K(k) correspondem à integral elíptica completa do primeiro tipo do argumento k, onde 0 < k < 1. Observa-se que, K’(k) = K(k’), sendo k’ o módulo complementar de k, ou seja, k² + k’² = 1 (LAWDEN, 1989; XIANG, 2006). Em função das dimensões indicadas na Figura 3.2, os parâmetros kin, k’in, kout e k’out

são determinados pelas equações 3.8 a 3.11. Ressalta-se que o modelo de Xiang é flexível quanto à referência para o desvio angular θ, e também pode ser utilizado para a determinação da capacitância em dispositivos com placas de comprimentos diferentes (l1 l2).

Figura 3.2 – Secção transversal de um capacitor de placas não paralelas e as respectivas

dimensões. (3.8) (3.9) (3.10) (3.11)

(31)

No caso particular θ = 0º, tomando-se l1 = l2 = l e sendo d a distância entre

as placas, o modelo geral dado pela Equação 3.7 é reduzido à Equação 3.12 para o cálculo da capacitância por unidade de comprimento de um capacitor de placas paralelas e de espessura desprezível (XIANG, 2006). Onde o parâmetro é calculado através da Equação 3.13.

(3.12) (3.13)

A Equação 3.12 é utilizada por (CATALAN-IZQUIERDO et al., 2010) para validar seu modelo aproximado para um capacitor de placas paralelas, o qual foi desenvolvido no estudo de um capacitor com dimensões compatíveis com as de dispositivos utilizados em métodos não invasivos para diagnóstico de patologias em seres humanos. Utilizando o FEM, simulações foram realizadas variando o comprimento das placas da ordem de metros, a espessura da ordem de centímetros e o espaçamento entre as mesmas de centímetros a metros. A partir de análise estatística dos resultados, os autores propuseram a Equação 3.14, aqui reescrita de forma a fornecer a capacitância por unidade de comprimento dos eletrodos. Observa-se que, embora a espessura das placas tenha sido variada nas simulações, a Equação 3.14 não leva em consideração este parâmetro.

_(3.14)

Trabalhando em gravitação experimental com o objetivo de testar o princípio da equivalência fraco, onde capacitores de placas paralelas são utilizados como atuadores, Patla (2013) relata que desvios de paralelismo da ordem de 10-6rad não podem ser negligenciados e que nesta magnitude a Equação 3.7 de Xiang não permite encontrar resultados precisos. O problema se deve ao fato da equação envolver razões entre integrais elípticas completas do primeiro tipo, as quais

(32)

precisam ser avaliadas numericamente e são singulares em 0 e 1. Assim, para determinadas combinações dos parâmetros l1, l2, d e θ, um sistema computacional

de 64bits não tem a precisão necessária para calcular o modelo de Xiang. Devido a esta dificuldade, considerando ângulos muito próximos de zero, Patla realiza uma série de manipulações algébricas e aproximações na Equação 3.7 e apresenta a Equação 3.15 independente de funções elípticas. Nesta, a capacitância é calculada por unidade de comprimento, a espessura dos eletrodos é desprezada, e os parâmetros in e out são determinados pelas Equações 3.16 e 3.17.

(3.15) (3.16) (3.17)

Estudando um capacitor com placas quadradas de dimensões l = 1.0mm e separadas por d = 0.10mm, utilizando o FEM, Patla mostra que sua equação é mais exata que a de Xiang para ângulos inferiores a 10-2rad (≈0.57º).

Na literatura não são encontrados trabalhos que modelem ou discutam a influência da espessura das placas na determinação da capacitância de um dispositivo com placas não paralelas.

3.1 PRECISÃO DE CIRCUITOS PARA LEITURA DE CAPACITÂNCIA

A precisão de um capacitor também é limitada pelo circuito que faz a leitura da capacitância. A medida de capacitâncias muito pequenas, comuns em sensores capacitivos de proximidade, requer circuitos muito sensíveis. Assim, erros sistemáticos como offset, erros de ganho, não linearidade, erros aleatórios como

(33)

ruído, e mesmo interferência eletromagnética precisa ser evitada (TOTH, 1997). O erro e a resolução destes circuitos também são dependentes da rapidez com se que realiza as medições. Quanto maior a frequência de leitura do sensor, maior o erro e menor a resolução (FLEMING, 2013). Neste sentido, na literatura são encontrados trabalhos que apresentam interfaces com tempo de aquisição variando da ordem de segundo até dezenas de microssegundos, e resolução entre femto e attofarad (GOZZINI et al., 2009; REGTIEN, 2012; SHIN et al., 2011; TOTH, 1997; XIA, 2012). O compromisso entre estes parâmetros é determinado pela aplicação do sensor.

Comercialmente, existem conversores analógico-digitais (AD) destinados à leitura da capacitância para diversas aplicações. Considerando o uso em sensores capacitivos de proximidade, destacamos as interfaces AD7156 e AD7745 do fabricante Analog Devices (ANALOG DEVICES INC., 2008). A interface AD7156, para uma faixa de capacitância de 4pF, apresenta erro 50fF, tempo de conversão de 10ms e resolução que varia de 1.0fF a 2.0fF. Para aplicações mais exigentes, o dispositivo AD7745 possui precisão de 4fF em uma faixa de 4pF, com resolução variando entre 40aF e 4.2aF, para tempos de conversão de 11ms a 109.6ms, respectivamente.

Com base no exposto, limites em torno de 4fF para erro e de 5aF para resolução são definidos como referências a serem aqui utilizadas. Ao longo do trabalho, os erros associados às equações analisadas são calculados subtraindo-se a capacitância determinada por cada equação do resultado para a capacitância obtido com o FEM.

3.2 O MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS NO SOFTWARE ANSYS-MAXWELL Muitos problemas de interesse prático não possuem soluções analíticas diretas, assim, soluções numéricas são necessárias. Entre os métodos numéricos encontrados na literatura, o método de elementos finitos (FEM – Finite Elements

Method) tem se apresentado como uma ferramenta útil na determinação da

distribuição de campos em diversas áreas da engenharia (KALTENBACHER, 2007). Neste trabalho, o software comercial Ansys-Maxwel 18.0, que emprega o FEM na solução de problemas eletrostáticos em geometrias complexas, foi utilizado no estudo da capacitância.

(34)

O Maxwell divide a área ou volume de interesse em pequenos polígonos, triângulos para áreas (simulações em 2D) e tetraedros para volumes (simulações em 3D) (ANSYS, 2018). Tais elementos, denominados “elementos finitos”, permitem uma discretização infinitesimal da geometria do dispositivo em estudo. O conjunto destes elementos constitui uma “malha de elementos finitos” (finite elements mesh) que viabiliza a solução numérica da equação de Poisson para um modelo eletrostático. Esta é apresentada, em coordenadas cartesianas, na Equação 3.18.

(3.18)

Tendo-se configurado as condições de contorno do problema, os cálculos são realizados para a determinação do potencial elétrico (V) em posições específicas de cada elemento finito, posições denominadas “nodos”. Um elemento triangular apresenta seis nodos e um elemento tetraédrico dez, sendo que os nodos estão localizados nas extremidades e nos pontos médios das arestas dos elementos finitos (ANSYS, 2018). Considera-se que elementos triangulares são considerados tendo profundidade unitária, de forma que um volume sempre estará implícito.

A determinação espacial do campo elétrico se dá através do gradiente do potencial determinado nos nodos de cada elemento finito, de acordo com a Equação 3.19 (ANSYS, 2018; IDA, 2015).

(3.19)

A Equação 3.20 permite determinar a densidade de fluxo elétrico (ANSYS, 2018; IDA, 2015), onde é a permissividade elétrica relativa do meio dielétrico e é a permissividade elétrica do vácuo.

(3.20)

Neste trabalho, a grandeza física de interesse é a capacitância (C). Esta é determinada pelo Maxwell a partir da energia armazenada no campo elétrico. Considerando um sistema de n condutores, n simulações de campo são automaticamente realizadas, sendo que em cada simulação 1V é aplicado em

(35)

apenas um condutor e 0V em todos os demais (ANSYS, 2018). Assim, a energia armazenada no campo estabelecido entre dois condutores i e j do sistema é calculada através da Equação 3.21 (ANSYS, 2018; IDA, 2015):

(3.21)

onde:

- é a densidade de fluxo elétrico no caso em que 1V é aplicado no condutor i;

- é o campo elétrico no caso em que 1V é aplicado no condutor j; - corresponde ao volume da região de simulação encerrada pela fronteira de referência.

Calculado a energia Wij, a capacitância entre os condutores i e j é

determinada pela Equação 3.22 (ANSYS, 2018; IDA, 2015).

(3.22)

A título de exemplo, para o sistema formado por três condutores da Figura 3.3, o software calcula a matriz de capacitâncias apresentada na Figura 3.4 (ANSYS, 2018).

Figura 3.3 – Esquemático de um sistema formado por três condutores, tendo a fronteira como

referência, e a indicação das capacitâncias que se estabelecem entre os elementos. Fonte: (ANSYS, 2018).

(36)

Figura 3.4 – Matriz de capacitâncias calculada pelo Maxwell para um sistema formado por três

condutores como o da Figura 3.3. Fonte: (ANSYS, 2018).

Em concordância com a Equação 3.1 (C = |Q| / |V1 – V2|), a matriz de

capacitâncias fornece a relação entre a carga elétrica Q acumulada e o potencial de excitação V aplicado em cada condutor da estrutura. Observa-se que a matriz é quadrada e simétrica.

Entretanto, a precisão dos resultados encontrados depende de quanto refinada é a malha obtida na discretização dos elementos da estrutura em análise. Quando se inicia a simulação, uma malha é gerada automaticamente. Através do algoritmo interativo da Figura 3.5, a malha gerada é automaticamente refinada, aumentando a densidade de elementos nas regiões de maior gradiente do campo, a fim de atender ao critério de convergência. O critério de convergência utilizado na presente pesquisa, definido inicialmente de forma a satisfazer a precisão desejada, corresponde ao máximo erro relativo entre as intensidades do campo elétrico calculado nas sucessivas iterações (ANSYS, 2018).

(37)

Figura 3.5 – Algoritmo do software Maxwell na busca da solução que satisfaça ao critério de

convergência estabelecido. Fonte: (ANSYS, 2018).

Visando garantir precisão e convergência, o Maxwell disponibiliza uma série de configurações específicas associadas à maneira que o software irá operar durante as simulações. Entre elas: o número máximo de iterações, que corresponde ao número de refinamentos de malha realizados; incremento percentual no número de elementos da malha, para que esta seja refinada a cada novo passo; operações de malha (quantidade e tamanho dos elementos a serem gerados); etc. Estas configurações são utilizadas de acordo com a necessidade de cada projeto.

(38)

4 DESENVOLVIMENTO DO MODELO DE SIMULAÇÃO

Para a realização do estudo proposto, o dispositivo foi modelado em duas dimensões (2D). Simulações em 2D permitem obter a capacitância por unidade de comprimento dos eletrodos, compatível com a capacitância absoluta determinada utilizando um modelo em três dimensões (3D), exigindo um menor esforço computacional e tempo de simulação.

A Figura 4.1 apresenta o modelo 2D construído no Maxwell, onde estão indicados os parâmetros geométricos do dispositivo: l1 e l2, os comprimentos dos

eletrodos; t, a espessura dos eletrodos; d, a distância de trabalho entre os centros dos eletrodos; θ, o ângulo de inclinação de um eletrodo em relação ao outro; r1 e r2,

as distâncias das extremidades dos eletrodos ao ponto comum ‘O’, determinado pelo cruzamento dos eixos longitudinais, quando da existência de desvio de paralelismo. Ainda na Figura 4.1, observa-se os limites da região de simulação (Region), cuja importância e dimensões serão discutidas no momento oportuno.

(39)

O dispositivo foi projetado com as placas quadradas e tendo dimensões l1

= l2 = l = 4.0mm, compatíveis com sensores capacitivos de proximidade disponíveis

no mercado (LION, 2018; MICRO-EPSILON, 2018). A distância de trabalho d foi variada de 0.1mm a 4.0mm, ou seja, razão de aspecto 0.025 ≤ d/l ≤ 1.0. Para a espessura t dos eletrodos foram atribuídos os valores: 0.0mm (caso ideal), 0.1mm, 0.5mm e 1.0mm. No estudo do dispositivo com eletrodos não paralelos, o ângulo θ foi variado em relação ao centro do eletrodo 1 considerando a faixa 0.0º < θ ≤ 5.0º. As dimensões r1 e r2, necessárias para o cálculo dos parâmetros do modelo de

Xiang (Equação 3.7), são determinadas pelas Equações 4.1 e 4.2.

(4.1)

(4.2)

As superfícies dos eletrodos foram mantidas em potenciais (V) constantes durante as simulações. Potenciais constantes foram assegurados configurando os eletrodos como condutores elétricos perfeitos (PEC – Perfect Electrical Conductors). Assim, a condição de contorno Dirichlet (KALTENBACHER, 2007) V = 1V foi mantida sobre a placa 1, e a condição V = 0V sobre a placa 2.

A região de simulação foi definida como vácuo e discretizada em uma malha de elementos triangulares (simulação em 2D). As fronteiras desta região foram configuradas como condição de contorno de Neumann (KALTENBACHER, 2007), garantindo que o campo elétrico seja tangencial às mesmas e que não haja fluxo através delas.

Para viabilizar as simulações do modelo projetado, garantindo limites em torno de 4fF para erro e de 5aF para resolução (estabelecidos na seção 3.1), primeiro foi necessário determinar as configurações iniciais de simulação.

4.1 OPERAÇÃO DE MALHA E CRITÉRIO DE CONVERGÊNCIA

No processo iterativo executado na determinação do campo elétrico, conforme discutido na secção 3.2, o Maxwell realiza refinamentos adaptativos de malha automáticos nas regiões de maior gradiente de campo (regiões críticas). Para garantir convergência e a precisão estabelecida, o software ainda permite configurar

(40)

o quanto refinada deve ser a malha pela adição manual de “operações de malha”. Assim, especificação sobre o comprimento mínimo das arestas dos elementos finitos sobre as bordas dos eletrodos foi adicionada através da operação On Selection. Esta opera na criação da malha favorecendo a localização de elementos reduzidos nas bordas da geometria (ANSYS, 2018).

Para a determinação da especificação dos elementos de malha sobre as bordas dos eletrodos, o estudo foi realizado considerando as seguintes referências:

- sensores capacitivos de proximidade comerciais, com eletrodos tendo área da mesma ordem de grandeza que o capacitor aqui projetado, apresentam resolução nanométrica quando operam com distância de trabalho (d) em torno de 0.1mm ou 0.2mm (d/l = 0.025 ou 0.05) (LION, 2018; MICRO-EPSILON, 2018);

- interfaces para leitura de capacitância disponíveis no mercado apresentam limites em torno de 4fF para erro e de 5aF para resolução (referências adotadas nesta pesquisa, conforme seção 3.1);

- uma matriz de capacitâncias simétrica deve ser obtida como resultado da simulação de um modelo bem desenvolvido (ANSYS, 2018).

Considerando inicialmente a configuração de placas paralelas (θ = 0.0º), d = 0.1mm e variações na distância de trabalho (Δd) assumindo 1nm, 10nm e 100nm, simulações foram realizadas para todas as espessuras (t) de placas definidas no projeto. Resultados compatíveis com as referências acima relacionadas foram obtidos especificando elementos de malha com arestas de comprimento mínimo igual a 10-4mm (10-7m) sobre as bordas dos eletrodos. Como critério de convergência foi adotado erro máximo inferior a 0.1% entre as intensidades do campo elétrico calculado nas duas últimas iterações. Posteriormente, o modelo desenvolvido se mostrou viável no estudo das demais configurações investigadas no trabalho, com as simulações convergindo em duas ou três iterações.

É importante salientar que as operações de malha semeiam elementos finitos, com arestas de comprimento igual ou inferior ao especificado, de forma a direcionar o refinamento adaptativo automático. Após o cumprimento das especificações nos locais onde as operações foram aplicadas, o software pode gerar elementos maiores nas outras regiões. Portanto, a malha obtida não é homogênea.

Para a configuração θ = 0.0º, d = 1.0mm e t = 0.1mm, a Tabela 4.1 apresenta o número de elementos triangulares gerados, bem como os comprimentos mínimos e máximos de suas arestas, em cada um dos componentes do modelo