Cap7 Sec2 2x4

(1)

Capítulo 7

Técnicas de

Integração

7.2

Integrais Trigonométricas

Nesta seção aprenderemos como utilizar identidades trigonométricas para integrar certas

combinações de funções trigonométricas. TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO

Começaremos com as potências de seno e cosseno.

INTEGRAIS TRIGONOMÉTRICAS

Calcule cos3_{x dx}

• A simples substituição u = cos x não ajuda, porque assim du = -sen x dx.

• Para integrarmos potências de cosseno, necessitaríamos de um fator extra sen x.

• Analogamente, uma potência de seno precisaria de um fator extra cos x.

Exemplo 1

Dessa forma, podemos separar um fator cosseno e converter o fator cos2_{x restante}

em uma expressão envolvendo o seno usando a identidade sen2_{x + cos}2_{x = 1:}

cos3_{x = cos}2_x._{cosx = (1 - sen}2_{x) cos x}

INTEGRAIS SENO E COSSENO Exemplo 1

Podemos então calcular a integral substituindo u = sen x.

 De modo que, du = cos x dx e

INTEGRAIS SENO E COSSENO Exemplo 1

Em geral, tentamos escrever um integrando envolvendo as potências de seno e cosseno em uma forma onde tenhamos somente um fator seno (e o restante da expressão em termos de cosseno) ou apenas um fator cosseno (e o restante da expressão em termos de seno).

INTEGRAIS SENO E COSSENO

Encontre sen

5

_{x cos}

2

_{x dx}

• Poderíamos converter cos2_{x para 1 – sen}2_x.

• Mas ficaríamos com uma expressão em termos de sen

x sem um fator extra cos x.

Exemplo 2 INTEGRAIS SENO E COSSENO

(2)

Em vez disso, separamos um único fator de seno e reescrevemos o fator sen4_{x restante}

em termos de cos x: Então, temos:

 Substituindo u = cos x, temos du = sen x dx. Assim,

A Figura mostra os gráficos do integrando sen5_{x cos}2_{x do Exemplo 2 e sua integral}

indefinida (com C = 0).

Nos exemplos anteriores, uma potência ímpar de seno ou cosseno nos permitiu separar um único fator e converter a potência par remanescente.

Se um integrando contém potências pares tanto para seno como para cosseno, essa estratégia falha.

Nesse caso, podemos aproveitar as identidades dos ângulos-metade:

Calcule

• Se escrevermos sen2_{x = 1 - cos}2_{x, a integral não é}

mais simples de calcular.

Usando a fórmula do ângulo-metade para sen2_{x, temos:}

Observe que mentalmente fizemos a substituição u = 2x quando integramos cos 2x.

• Outro método para se calcular essa integral foi dado no Exercício 43 na Seção 7.1.

(3)

 Encontre sen4_{x dx}

• É possível calcular essa integral usando a fórmula de redução para senn_{x dx com o Exemplo 3 (como no}

Exercício 43 na Seção 7.1).

Entretanto, outro método é escrever sen4_x

(sen2_x)2_{e usar uma fórmula do}

ângulo-metade:

Como cos2 _{2x ocorre, precisamos usar outra}

fórmula do ângulo-metade

2 1

2

cos 2

x

(1 cos 4 )

x

Isso resulta em:

Para resumir, listamos as regras que devem ser seguidas quando calculamos integrais da forma

senm_{x cos}n_{x dx}

em que m 0 e n 0 são inteiros.

Se a potência do cosseno é ímpar

(n = 2k + 1), guarde um fator cosseno e use cos2_{x = 1 - sen}2_{x para expressar os fatores}

remanescentes em termos de seno:

•A seguir, substitua u = sen x.

 Se a potência de seno é ímpar (m = 2k + 1), guarde um fator seno e use sen2_{x = 1 - cos}2_x

para expressar os fatores remanescentes em termos de cosseno:

ESTRATÉGIA B ESTRATÉGIAS

Observe que se ambas as potências de seno e cosseno forem ímpares, podemos usar (a) ou (b).

(4)

Se as potências de seno e cosseno são pares, utilizamos as identidades dos ângulos-metade

• Algumas vezes é útil usar a identidade:

ESTRATÉGIA C

TANGENTE & INTEGRAL DE SECANTE

Podemos empregar uma estratégia

semelhante para calcular integrais da forma

tg

m

_{x sec}

n

_{x dx}

 Como (d/dx)tg x = sec2_{x, podemos separar}

um fator sec2_{x e converter a potência (par)}

de secante remanescente em uma expressão envolvendo a tangente, utilizando a identidade sec2_{x = 1 + tg}2_x.

 Ou, como (d/dx) sec x = sec x tg x, podemos separar um fator sec x tg x e converter a potência (par) de tangente remanescente para secante.

Calcule tg

6

_{x sec}

4

_{x dx}

• Se separamos um fator sec2_{x, poderemos expressar o}

fator remanescente sec2_{x em termos de tangente}

usando a identidade sec2_{x = 1 + tg}2_x.

• Podemos então calcular a integral substituindo u = tg x de modo que du = sec2_{x dx.}

Exemplo 5 TANGENTE & INTEGRAL DE SECANTE

Temos:

Encontre tg

5

_sec

7

• Se separarmos um fator sec2_{como no exemplo}

anterior, ficaremos com um fator sec5_{que não é}

facilmente convertido para tangente.

 Contudo, se separarmos um fator sec tan

poderemos converter a potência

remanescente de tangente em uma expressão envolvendo apenas a secante, usando a identidade tg2_{= sec}2_{– 1.}

Poderemos então calcular a integral substituindo u = sec , de modo que

du = sec tg d:

(5)

Os exemplos anteriores mostram as estratégias para calcular integrais da forma

tgm_{x sec}n_{x para dois casos, resumidos aqui.}

 Se a potência da secante é par (n = 2k, k 2) guarde um fator de sec2_x.

•Use tg2_{x = 1 + sec}2_{x para expressar os fatores}

remanescentes em termos de tg x:

•A seguir, substitua u = tg x.

ESTRATÉGIA A

 Se a potência da tangente é ímpar (m = 2k

+ 1), guarde um fator de sec x tan x. • Use tg2_{x = sec}2_{x – 1 para expressar os fatores}

remanescentes em termos de sec x:

• A seguir, substitua u = sec x.

ESTRATÉGIA B

Para outros casos as regras não são tão simples.

Talvez seja necessário usar:

• Identidades

• Integração por partes • Um pouco de engenhosidade

 Algumas vezes precisaremos integrar tg x utilizando a fórmula estabelecida em 5.5.5:

Também precisaremos da integral indefinida de secante:

Fórmula 1 TANGENTE & INTEGRAL DE SECANTE

Poderíamos verificar a Fórmula 1 derivando o lado direito, ou como a seguir.

Primeiro multiplicamos numerador e denominador por sec x + tg x:

 Se substituirmos u = sec x + tg x, então

du = (sec x tg x + sec2_x).

• Assim a integral torna-se: (1/u) du =ln |u| + C Então, temos:

(6)

 Encontre tg3_{x dx} • Aqui apenas tg x ocorre;

• Então usamos tg2_{x = sec}2_{x - 1 para reescrever um fator}

tg2_{x em termos de sec}2_x.

Portanto usamos tg2_{x - sec}2_{x = 1.}

• Na primeira integral substituímos mentalmente u = tg x de modo que du = sec2_{x dx.}

Se uma potência par de tangente aparece com uma potência ímpar de secante, é útil expressar o integrando completamente em termos de sec x.

 As potências de sec x podem requerer a integração por partes, como mostrado no exemplo a seguir.

Encontre sec3_{x dx}

• Aqui integramos por partes com:

Então,

Usando a Fórmula 1 e isolando a integral pedida, temos:

As integrais como as do Exemplo 8 podem parecer muito especiais.

• Mas elas ocorrem frequentemente nas aplicações de integração, como veremos no Capítulo 8.

Finalmente, podemos usar outras identidades trigonométricas. Para calcular as integrais, use a identidade correspondente.

Equação 2

Integral Identidade

a senm_{x cos}n_{x dx}

b senm_{x sen}n_{x dx}

(7)

 Calcule sen 4x cos 5x dx

• Essa integral pode ser calculada utilizando-se integração por partes, mas é mais fácil usar a identidade na Equação 2(a), como a seguir:

Cap7 Sec2 2x4

Técnicas de

Integração

7.2

Integrais Trigonométricas

 Encontre sen

x cos

x dx

 Calcule

cos 2

x

(1 cos 4 )



x

tg

x sec

x dx

 Calcule tg

x sec

x dx

 Encontre tg

sec

Encontre sen

_{x cos}

_{x dx}

Calcule

_{x sec}

_{x dx}

Calcule tg

_{x sec}

_{x dx}

Encontre tg

_sec