Cap15 Sec4 2x4

(1)

Capítulo 15

Integrais Múltiplas

INTEGRAIS MÚLTIPLAS

15.4 Integrais Duplas em

Coordenadas Polares

Nesta seção, nós aprenderemos: Como expressar integrais duplas em

coordenadas polares.

INTEGRAIS DUPLAS EM COORDENADAS POLARES

Suponha que queiramos calcular a integral dupla , onde R é uma das regiões mostradas na figura.

( , ) R

f x y dA

³³

Em qualquer dos casos, a descrição de R é complicada em coordenadas retangulares, mas a descrição de R fica mais fácil utilizando-se coordenadas polares.

Lembre-se, a partir desta figura, de que as coordenadas polares (r, ) de um ponto estão relacionadas com as coordenadas retangulares (x, y)

pelas equações

r2_{= x}2_{+ y}2

x = r cos y = r sen

RETÂNGULO POLAR

As regiões da primeira figura são casos especiais de um retângulo polar

R = {(r, ) | a r b, }

que é aqui apresentado.

Para calcular a integral dupla

onde R é um retângulo polar, dividimos:  o intervalo [a, b] em m subintervalos [ri–1, ri]

de larguras iguais r = (b – a)/m.

 o intervalo [ ,] em n subintervalos [j–1, i] de larguras iguais = ( – )/n. ( , ) R f x y dA

³³

RETÂNGULO POLAR

Então os círculos r = r_ie os raios = _i dividem o retângulo polar R nos retângulos polares menores

mostrados na figura.

(2)

SUB-RETÂNGULO POLAR

O “centro” dos sub-retângulo polar

R_ij= {(r, ) | r_i–1 r r_i, _j–1 _i} tem coordenadas polares

r_i* = ½ (r_i–1+ r_i)

_j* = ½ (_j–1+ _j)

Calculamos a área de R_ijusando o fato de a área de um setor de círculo de raio r e ângulo central é ½r2_.

Subtraindo as áreas de dois desses setores, cada um deles com ângulo central = _j– _j-1, descobrimos que a área de R_ijé:

2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 *

(

)

(

)(

)

i i i i i i i i i i

A

r

T

'

' '

RETÂNGULOS POLARES

Apesar de termos definido a integral dupla

em termos de retângulos convencionais, podemos mostrar que, para as funções contínuas f, obtemos a mesma resposta usando retângulos polares.

( , )

R

f x y dA

³³

As coordenadas retangulares do centro R_ij são (r_i* cos _j*, r_i* sen _j*), portanto uma soma de Riemann típica é

RETÂNGULOS POLARES Equação 1

Se escrevermosg(r, ) = r f(r cos , r sen ), então a soma de Riemann na Equação 1 pode ser reescrita como

que é a soma de Riemann para a integral dupla * * 1 1

( , )

m n i j i j

g r

T

' '

r

T

¦¦

( , ) b a g r dr d E D

T

³ ³

MUDANÇA PARA COORD. POLAR Fórmula 2

Se f é contínua no retângulo polar R dado por

0 a r b, 

(3)

A fórmula em (2) diz que convertemos coordenadas retangulares para coordenadas polares em uma integral dupla:

 Escrevendo x = r cos e y = r sen ; Usando os limites de integração adequados

para r e ;

 Substituindo dA por r dr d.

MUDANÇA PARA COORD. POLAR

Cuidado para não esquecer o fator

adicional r no lado direito da Fórmula 2.

Um método clássico para se lembrar disso está na figura

.

Podemos pensar nos retângulos polares “infinitesimais” como

retângulos

convencionais com dimensões r d e dr. Portanto, com “área”

dA = r dr d.

onde R é a região no semiplano superior limitada pelos círculos x2_{+ y}2_{= 1 e}

x2_{+ y}2_{= 4.} 2

(3

4 )

R

x

y

dA

³³

MUDANÇA PARA COORD. POLAR EXEMPLO 1

A região R pode ser descrita como

R = {(x, y) | y 0, 1 x2_{+ y}2_4}

A região R pode ser descrita como

R = {(x, y) | y 0, 1 x2_{+ y}2_4}

É a metade do anel.

Em coordenadas polares é dado por

1 r 2, 0 S

Portanto, da Fórmula 2, segue

Determine o volume do sólido limitado pelo

:

 plano z = 0

 Paraboloide z = 1 – x2_{– y}2

(4)

Se tomarmos

z = 0

na equação do paraboloide, obteremos

x

2

_{+ y}

2

_{= 1.}

Isso significa que o plano intercepta o paraboloide no círculo x2_{+ y}2_{= 1.}

O sólido está abaixo do paraboloide e acima do disco circular D dado porx2_{+ y}2_1.

Em coordenadas polares, D é dado por 0 r 1, 0 2S.  Como 1 – x2_{– y}2_{= 1 – r}2_{, o volume é:} 2 1 2 2 2 0 0 2 1 ₃ 0 0 1 2 4 0 (1 ) (1 ) ( ) 2 2 4 2 D V x y dA r r dr d d r r dr r r S S T T S S ª º « » ¬ ¼

³³

³ ³

³

Se trabalhássemos com coordenadas

retangulares em vez de coordenadas polares, obteríamos

o que não é fácil de calcular, pois envolve determinar (1 – x2₎3/2 _dx. 2 2 2 2 1 1 ₂ ₂ 1 1 (1 ) (1 ) D x x V x y dA x y dy dx

³³

³ ³

O que fizemos até aqui pode ser estendido para tipos de região mais complicados, como o mostrado.

Isso é semelhante à região com coordenadas retangulares do tipo II vista na Seção 15.3.

De fato, combinando a Fórmula 2 desta seção com a Fórmula 15.3.5, obtemos o seguinte:

Se f é contínua em uma região polar da forma

D = {(r, ) | , h₁() r h₂()} então

MUDANÇA PARA COORD. POLAR Fórmula 3

Em particular, tomando f(x, y) = 1, h₁() = 0, e h₂() = h() nessa fórmula, vemos que a área da região D limitada por = , = , e

r = h() é:

que coincide com a Fórmula 10.4.3.

( ) 2 ( ) 0 0 2 1 2 ( ) 1 2 [ ( )] h h D r A D dA r dr d d h d T E T E D D E D T T T T ª º « » ¬ ¼

³³

³ ³

³

(5)

Use a integral dupla para determinar a área contida em um laço da rosácea de quatro pétalas r = cos 2.

MUDANÇA PARA COORD. POLAR EXEMPLO 3

D = {(r, ) | –S/4 S/4, 0 r cos 2}

Determine o volume do sólido que está:

 sob o paraboloide z = x2_{+ y}2

 acima do plano xy;

 dentro do cilindro x2_{+ y}2_{= 2x}

O sólido está acima do disco D cuja fronteira tem equação x2_{+ y}2_{= 2x, ou, após}

completar os quadrados, (x – 1)2_{+ y}2_{= 1.}

Em coordenadas polares, temos

x2_{+ y}2_{= r}2_{e x = r cos}

assim, a fronteira circular fica

r2_{= 2r cos ou r = 2 cos}

Portanto, o disco D é dado por

D = {(r, ) | –S/2 S/2 , 0 r 2 cos }

E, da Fórmula 3, vem

Cap15 Sec4 2x4

Integrais Múltiplas

15.4

Integrais Duplas em

Coordenadas Polares

³³

³³

(

)

(

)(

)

A

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

T

T

T

T

T

'



'



'





'

' '

( , )

f x y dA

³³

( , )

g r

T

' '

r

T

¦¦

T

T

³ ³

Cuidado para não esquecer o fator

adicional r no lado direito da Fórmula 2.

.

(3

4 )

x



y

dA

³³

:

z = 0

x

+ y

= 1.

³³

³ ³

³

³

³³

³ ³

³³

³ ³

³

³

_{+ y}

_{= 1.}