RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NO ENSINO DE PORCENTAGEM: EM BUSCA DE UMA COMPREENSÃO PEDAGÓGICA A PARTIR DOS PROCESSOS REGULADORES GERAIS DA TEORIA DE ROBBIE CASE

EDUCAÇÃO MATEMÁTICA EM REVISTA RS

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NO ENSINO DE PORCENTAGEM: EM BUSCA DE UMA COMPREENSÃO PEDAGÓGICA A PARTIR DOS PROCESSOS REGULADORES GERAIS

DA TEORIA DE ROBBIE CASE

Resumo

Este artigo éuma síntese de uma disser-tação elaborada no Mestrado Profissionalizante em ensino de Física e Matemática no Centro Universitário Franciscano. A pesquisa de cunho qualitativo, na perspectiva daetnografia escolar, foi realizada numa turma de 5asérie do Ensino Fundamental e possui como tema central de investigação resolução de problemas de porcen-tagem por parte dos alunos, tendo por aporte explicativo os processos reguladores gerais da teoria cognitiva de Robbie Case. A identificação de tais processos possibilitou àprofessora com-preender como osalunos processam problemas matemáticos, subsidiando, assim, o planejamen-to de sua prática pedagógica. Ao analisar os da-dos coletada-dos em conexão com a fundamentação teórica, foi possível depreender-se que a noção de porcentagem ganhou um novo significado para os alunos ao ser abordada através da resolução de problemas, pois valorizou seus conhecimentos prévios, seus esquemas mentais internalizados e suas vivências cotidianas. A identificação dos processos reguladores gerais da teoria caseana proporcionou uma compreensão pedagógica, à medida que a professora identificou a regulação mútua e a imitação como os processos mais difundidos pelos alunos e que subsidiaram o uso dos processos de resolução de problemas e exploração, ou seja, o entendimento de que a integração hierárquica dos processos regula-dores gerais contribuiu construtivamente para a resolução dos problemas propostos e para a

Fabiane Fischer Figueiredo Silvia Maria de Aguiar [saia

apreensão da noção de porcentagem por parte de cada aluno.

Palavras-chaves: Resolução de problemas. Ensino de porcentagem. Processos reguladores gerais. Compreensão pedagógica.

Abstract

Thisarticleisa synthesis of thedissertation written for the Professional Master's Degree on Physics and Mathematics teaching at Centro Universitário Franciscano. The research, with qualitative character, according to the school ethnography perspective was performed on a Fundamental Teaching 5th grade group and have as main investigation theme the solving, by the students, ofpercentage problems, having as explanatory approach the general regulatory processes from the cognitive theory of Robbie Case.Theidentification of such processes allowed the teacher to understand how the students process mathematical problems, supporting, that way, his/her pedagogical practice planning. By analyzing the gathered data linked to the theoretical basis, it waspossible to infer that the percentage conception gained a new meaning for the students when approached through problem solving,because itprized their previous knowledge, internalized mental schemes and everyday experiences. The identification of the general regulatory processes of the Case theory allowed a pedagogical understanding, as the teacher identified the mutual regulation and

EMR-RS- ANO 9 - 2008 - número 9 -pp.45 a 56 45

imitation asprocesses more widely disseminated pesquisa resultou numa dissertação, que levou à by the students and which supported the use of obtenção do título de Mestre em Ensino de Mate-the problem solving and exploring processes, or, mática pela UNIFRA, Santa Maria, RS, Brasil.

the understanding that the hierarchical integration Quanto à temática em questão, essa pos-of the general regulatory processes contributed sibilitou encontrar meios que tornaram COllS-constructively for solving the presented problems trutiva a resolução de problemas no ensino de and for the acquiring of the percentage conception porcentagem, uma vez que seinvestigou o modo ~~~ltIfluÀrn!U8 M3 :M3~ATI13.J»Oq 3a OVlI@JmIC@~~rnmWIJml~Wg~

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A abordagem da resolução de problemas noensino de porcentagem, a partir dos processos reguladores gerais da teoria cognitiva de Robbie Case, possibilita ao aluno a oportunidade de explicitar seu processo de resolução ªP€-\3íi.~~ qüentemente, contribui, também, para que os pffifé§lssffi& ê~fJt~cfàimUds

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Ciente dessa afirmativa, a presentMJí{te§@gàÇã~ suri·u[~p.art~hde in~~~eta~ões 9,.ua.p.to à res~l~

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aluno construir conceitos, procedimentos e

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aluno desenvolver-se cogmbvameríte. Para tan

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EDUCAÇÃO MATEMÁTICA EM REVISTA - RS

processos mais gerais que o orientam no

pro-cesso de resolução. Esta pesquisa está centrada

no modelo de integração hierárquica, em que

são difundidos os processos reguladores gerais:

resolução de problemas, exploração, imitação

e regulação mútua.

Case (1989) diz que a resolução de

pro-blemas éo processo emque osujeito, diante de

um objetivo que não pode ser alcançado

me-diante uma seqüência operacional preexistente,

apresenta uma tendência natural a experimentar

novas seqüências para tentar alcançar o objetivo

pertinente ao problema. Esse processo ocorre

mentalmente, a partir de tarefas ou esquemas

mentais, como se pode visualizar no seguinte

esquema:

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Figura 1: Esquema que representa o processo

mental deresolução de problemas.

No ensino daMatemática, aresolução de

problemas é uma das estratégias que oaluno faz

uso para solucionar problemas propostos pelo

professor. Nesse processo regulador, o aluno

procura relembrar deproblemas que já resolveu,

tanto em aula como em suas vivências diárias e

que sejam semelhantes às que foram propostas

pelo professor, na tentativa de usar essas mesmas

estratégias no presente processo de resolução.

De acordo com os PCNs (BRASIL,1998,

p.41), "aproximações sucessivas deum conceito

são construídas para resolver certo tipo de

pro-blemas; num outro momento, oaluno utiliza o

que aprendeu para resolver outros, o que exige

transferências, retificações, rupturas". E comum

que o aluno procure fazer usodeconhecimentos

apreendidos em aula, a fim de tentar aplícá-los

no processo de resolução de problemas.

A exploração é o processo pelo qual o

sujeito, diante de um problema, tem a tendência

de aplicar uma estratégia ou operação particular,

mesmo não podendo prever o resultado dessa

aplicação. Esse processo regulador geral pode

conduzir a uma expansão da gama de situações

às quais podem aplicar-se estruturas jáexistentes

a uma compreensão incrementada das

seqüên-cias e aaplicações sucessivas e seqüenciais de

estruturas, podendo, nesse caso, levar aintegra

-ção (união) a uma estrutura de ordem superior.

Conforme Case (1989), a exploração ocorre

conforme sepode ver no seguinte esquema:

A\"1di3Çio ~fim de \"Cri&.-ar:n:OllQ':io

tntrc:~~

!:

5

de "",loçãodoyrubl,,,, ••

1

gonmdo

r---'c-----..__

ltecodif6ção (\t$..\1:3~aM."i p.ml qlle umC<KnP1t..':tllI:OICQOUtro

Figura 2: Esquema que representa oprocesso

mental deexploração.

Em Matemática, o aluno procura esque

-mas mentais interessantes esignificativos para

si próprio e procura usá-los como estratégias

de resolução em problemas propostos pelo

pro-fessor. Nesse processo, também é comum que

oaluno procure explorar idéias e palavras que

constam no enunciado, na tentativa deencontrar

uma palavra-chave que lhe indique como deverá

resolver.

ParaCury (1992,p.88), valorizar o proces

-so mental de exploração no ensino da Matem

á-tica "permite ao aluno construir a sua própria

solução, já que ameta não édada de antemão e

ele vai aplicar estratégias variadas até chegar a

alguma conclusão". Ao explorar as informações

disponíveis no enunciado doproblema, o aluno

poderá criar e aprimorar suas próprias estra

-tégias de resolução, adquirindo, assim, novos

conhecimentos.

A exploração é um processo que obtém

significativas contribuições em sala de aula se

ao aluno for proporcionada a manipulação de

materiais concretos ou objetos que são

men-cionados no enunciado do problema proposto

e que, de certa forma, oajudem no processo de

resolução. Assim, o trabalho com problemas é

muito importante, pois segundo Carvalho (2005,

EDUCAÇÃO MATEMÁTICA EM REVISTA - RS

p.30), "sua resolução envolve levantamento de

,dados, confecção de gráficos, tabelas, desenhos, aplicação das operações".

Case (1989) denomina como imitação o processo regulador geral em que, a partir de meios naturais, o sujeito mostra forte tendência a observar as ações dos outros sujeitos que o ro-deiam e procura reproduzi-Ias. A imitação pode ser entendida como um processo semelhante aos processos de resolução de problemas e da exploração, diferindo-se apenas por ser um pro-cesso difundido, namaioria dasvezes,através da interação entre indivíduos de um mesmo grupo social. As tarefas que a imitação realiza podem ser compreendidas no seguinte esquema:

oJomln10 de UMa

nova estt\Alllm execUlh't\ Ativar

(1~ Inent.:aisqueh:ípout'(l

foram ohsen-:ldas em outro stljeito

I

para

I

AV\lllar

C$SI:';çs:q!;W'm:;t~>;tfimdequ(: rtptothrnun tirtç'Io emques~iio

I

para I Recodiãcar

QS\~'h~~f~()pcf;íÇi()iíalJ; --~om. ofimJc---tJrt.( Rei>olvtroprobleme) quec()lIl(:ld~'tn-com ~ observadí!S

Figura 3: Esquema que representa o processo mental de imitação.

No ensino de Matemática, a imitação é o processo em que o aluno, ao resolver um proble-ma, procura imitar processos de resolução que já fez anteriormente, na tentativa de resolver a situação proposta pelo professor. Também é comum que o aluno tente aplicar aquilo que aprendeu em aula, bem como tente fazer uso de explicações e conhecimentos apreendidos com o professor e com os seus colegas. Nesse sentido, o processo de imitação precisa ser visto como um aliado no ensino da Matemática, pois, conforme Vygotsky (1989), aimitação não é um processo mecânico, mas sim um processo que contribui para odesenvolvimento cognitivo do ser humano. Através da imitação, reconstruímos mentalmente aquilo que observamos nos outros. "[...] Uma pessoa só consegue imitar aquilo que está em seu nível de desenvolvimento. Se uma criança tem dificuldade com um problema de

aritmética e o professor o resolve no q

uadro-negro, a criança pode captar a solução num

instante" (VYGOTSKY,1989, p.99).

A regulação mútua éo processo que

en-volve aadaptação ativa dedois ou mais sujeitos

aos sentimentos, cognições ecomportamentos de cada um (CASE,1989). Esse processo pode ser

umfimemsimesmo, comono caso detransações afetivas ouagressivas; ou um meio para um fim, como nocasode muitas formas de cooperação na realização de tarefas. Em ambos os casos, cada membro da interação social influencia o outro e é influenciado por ele.

O uso do processo de regulação mútua possibilita ao aluno obter conhecimentos atra-vés da interação com um ou mais colegas e/ou com o professor, alémde construir suas próprias operações mentais em consonância com a dos outros e vice-versa. Assim, tanto a aprendizagem de noções matemáticas através da resolução de problemas como o desenvolvimento cognitivo de cada aluno se beneficiam desse processo.

Dessaforma,aresolução de um problema envolve dois ou mais alunos, para que juntos busquem adevida solução, a partir da conexão de suas operações mentais e da ligação de co -nhecimentos prévios eapreendidos em aula. No esquema que consta aseguir, pode-se visualizar como ocorre o processo de regulação mútua:

/ <kpa"dc / ü:msof,idaçiQ d.tl;(lV'~ esllu!tlrn. cx.<:"çu1ivli AtilJlU esmauras exccutivasn ~m aflllcmj,l~num:lj(il\lm,,~ &te:rmillada

I

queproci:;.am ser

I

A\.'nlilJds$

~~a:.o,.~iiclI~ia.ge _par;1cutiu-.

;,,'Omtiajud3de:qUtnl$:sugere

Figura 4: Esquema que representa o processo mental deregulação mútua.

Oprocesso de regulação mútua descrito por Case(1989) apresenta de certa forma ligações com a teoria de Vygotsky,no sentido de que "a prática pedagógica está vinculada às funções interpessoais, cabendo ao professor planejar

EDUCAÇÃO MATEMÁTICA EM REVISTA - RS

-

-diversificadas zonas de desenvolvimento

pro-ximal para cada aluno e para cada momento

de seu processo evolutivo e educativo" (ISAIA,

1999, p.40).

Além disso, Vygotsky (1989, p.101)

en-fatiza que "[...] o aprendizado desperta vários

processos internos de desenvolvimento, quesão

capazes de operar somente quando a criança

interage com pessoas em seuambiente equando

em cooperação com seus companheiros". Essa

idéia seencaixa perfeitamente nas idéias de Case

(1989)quanto à regulação mútua, no sentido de

queoaluno pode apreender conhecimentos com

os colegas e, ao mesmo tempo, pode contribuir

para com os conhecimentos destes.

Portanto, a abordagem dê noções

matemá-ticas através da resolução de problema e o uso

da regulação mútua no processo de resolução

podem beneficiar aaprendizagem do aluno. Os

problemas devem assemelhar-se aos problemas

que oaluno costuma resolver em seu dia-a-dia

e que, ao serem resolvidos com aajuda de um

ou mais colegas, podem gerar atroca ou o apri

-moramento de conhecimentos matemáticos de

forma construtiva e prazerosa.

Análise ediscussão dos resultados

coletados durante a investigação em

sala de aula

Analisei! os meus registros escritos no

diário de aula quanto às observações feitas do

desenrolar de cada sessão, as resoluções escritas

nos protocolos (cálculos e as soluções dos

pro-blemas) dos alunos pesquisados em cada

pro-blema proposto nas sete sessões e suas respostas

escritas em cada pergunta das entrevistas. Esses

dados coletados foram analisados mediante os

subsídios teórico-metodológicos do referencial

teórico, contemplando-se o problema e objetivos

desta pesquisa.

Tendo emvista os instrumentos utilizados,

analisei e discuti os dados obtidos conforme a

ordem que transcorreram na prática em sala de

aula, ouseja,conforme a ordem de resolução dos

problemas e sua distribuição nas sete sessões.

1Naanálise ediscussão dosresultados coletados durante a

investigação em sala de aulaena Sessão7, atividade prática Loja Sotero,usa-se a primeira pessoa dosingular porsetratar de considerações relacionadas à investigação realizada em sala de aula e pela autora Figueiredo (2008).

A seguir, e para exemplificar omodo como foi

realizada a pesquisa em sala de aula, irei

des-crever a última sessão realizada, denominada

de Sessão 7, uma vez que os alunos montaram

uma loja, denominada por eles como Loja

Sote-ro, onde eles puderam vivenciar o processo de

compra e venda, e que em meio a esse processo

utilizaram os conhecimentos apreendidos sobre

a porcentagem.

Sessão 7:atividade prática Loja Sotero

Como culminância do período de

in-vestigação em sala de aula e para verificar a

aprendizagem dos alunos quanto à noção de

porcentagem, desenvolvi uma atividade prática

denominada de Loja Sotero. Através daorgani

za-ção de uma lojafictícia, com calçados, roupas e

diversos produtos usados, os alunos vivenciaram

o processo de compra e venda, a.partir da

reso-lução de problemas envolvendo a porcentagem

(descontos), o pagamento com as cédulas de

dinheiro emoedas fictícias, situações de troco,

preenchimento de notas fiscais, etc.

Osmateriais utilizados na organização e

execução da lojaforam: cartelas com os

proble-mas a serem resolvidos pelos alunos; cédulas

de dinheiro emoedas fictícias que imitavam as

verdadeiras; roupas, calçados e produtos usados

de diversos tipos; notas fiscais para registrar as

compras; calculadoras, canetas, classes e

ca-deiras para servirem de prateleiras; cartaz com

os percentuais de desconto e cartazes com os

preços de cada tipo de produto. O desenrolar da

Sessão 7ocorreu em cinco momentos. Primeiro

momento: coleta de calçados, roupas ediversos

produtos usados que não fossem mais úteis às

famílias dos alunos eque pudessem ser usados

na Loja Soieto. Segundo momento: organização

da sala de aula, com aturma dividida em grupos

para classificar os produtos arrecadados nas

res-pectivas prateleiras (classes),organizar os caixas

(classes comcadeiras emunidas de calculadora,

caneta, dinheiro de papel para o troco eas notas

fiscais) e os cartazes com os preços, percentuais

de desconto. Terceiro momento: resolução dos

problemas propostos, com aturma dividida em

grupos de 4 alunos, que exerceram o papel de

operador de caixa, vendedor e os compradores.

Para que cada aluno pudesse vivenciar os três

tipos de papéis (operador de caixa, vendedor,

comprador), revezaram-se as funções na loja.

EDUCAÇÃO MATEMÁTICA EM REVISTA - RS

Quarto momento: registro nos protocolos e nas

entrevistas, onde em duplas os alunos

escre-veram o modo como resolveram os problemas

e como interagiram entre si, que dificuldades

efacilidades encontraram nas resoluções, etc.

Quinto momento: análise das informações regi

s-tradas pelos grupos nas notas fiscais; verificação

dos erros nas notas fiscais preenchidas durante

o desenrolar da atividade e preenchimento de

novas notas fiscais com dados e informações

mais precisas.

Osproblemas propostos nessa sessão não

possuíam em seus enunciados dados

percentu-ais,vistoque o objetivo da atividade era imitar o

cotidiano deuma loja, através da compra e venda

com descontos percentuais (lucrativos para o

consumidor). A seguir consta cada problema

proposto, seguido do comentário referente ao que

foi observado durante a sua resolução.

Problema 1

ComRS100,OO no bolso, comprenaLojaSoteroos seguintes produtos:

• 1 calça infantil;

• 2camisetas em tamanho infantil;

• 1 camiseta tamanho adulto; • 1 parde calçados; • 3produtos diversos.

Seráqueépossível pagar essascompras comRSlOO,OO?

Figura 5:Problema 1da Sessão 7.

No problema 1, em que cada dupla de

compradores recebeu R$ 100,00em cédulas de

dinheiro fictícias e que deveria comprar na Loja

Sotero os produtos solicitados no enunciado,

verificando se seria possível comprar com apenas

R$100,00,interagi com os alunos eobservei que

foi no caixa, em específico, que os alunos resol

-veram oproblema 1efizeram uso daporce

nta-gem. Também foi nessa parte que tiveram de se

relacionar bem comtodos os colegas envolvidos

na situação: os compradores, o vendedor e o operador de caixa, porque necessitavam

confe-rir os cálculos e os descontos percentuais para

que os compradores não sofressem prejuízo eos funcionários da loja (ovendedor eo caixa) não dessem os descontos eotroco errados.

No caixa,também pude observar os passos seguidos pelosgrupos ao resolverem oproblema

1:a)o operador de caixa conferia com ovendedor se os produtos que oscompradores compraram estavam de acordo com os que eram solicitados na cartela doproblema; b) ooperador de caixa registrava o nome de cada produto comprado

nanota fiscal; c) em cadaproduto o operador de

caixa anotava aquantidade eo preço unitário,

conforme ovalor que constava nos cartazes em

cada prateleira, e calculava o valor total do(s)

produto(s) sem o desconto (alguns somaram,

outros multiplicaram o valor unitário pela

quan-tidade decada produto para assim obter ovalor

total sem o desconto); d) o operador de caixa

registrava na calculadora omodo de resolução

quehavia pensado juntamente com ovendedor

eoscompradores, ouseja,digitava ovalor total

sem o desconto e omultiplicava pelo perce

ntu-al de desconto (conforme o cartaz mostrava os

descontos) elogo odividia por 100,para obter o

valor do desconto emreais. Caso ovalor obtido

possuísse mais de duas casas decimais,

consi-derava apenas as duas depois da vírgula (ponto

na calculadora); e) para obter o total a pagar

semo desconto, o operador decaixa digitava na

calculadora o valor total sem desconto esubtraía

ovalor dodesconto, para obtê-lo.

Ao término decada compra, indaguei aos

compradores quanto à solução do problema e

todos me responderam que com R$100,00daria

para pagar as compras e ainda sobraria troco.

Conforme as minhas observações quanto

aos papéis desempenhados na resolução do

problema 1,épossível afirmar quehouve o em- •

prego mental dosprocessos reguladores gerais da

teoria caseana. Pararepresentar como ocorreu o

processo da resolução do problema 1,vejamos

o seguinte esquema:

EDUCAÇÃO MATEMÁTICA EM REVISTA - RS

PROBLEMA I

vbjdl\O> I

-produtos solicitados no enunciado ff~a me ~ntc:- possível pagar com R:S100 00 e

9 nl~groçao . .

___

-

-

"

<

:

---

H.etátqu,,,,, dos "lI1dawbrutroco Preencbcra notaIiscaldeacordo VcrlflCM",RSloo,OOscria

'u

f

l

c

i

yll

C

COmos ptcÇ<Yó""postas nasprrecleêns e para __ ••• compra!

fazendo usodos.d~CUltDS. percenruals P-ds.."'\.OSdo processe deresoluçâo. [')Compm.por partedosuluuoscompmdores e cem a ájudndó colegavendedor. dosprodlllOS

Usaracalculadora, SOIíClt9dl)sno enuneiado do problema: eédulasdedinheim e 2")No caixa ocorreuoprocessode,olu.;i.l0

moedas fictielas, Processos propriamente ditodoproblemao ouso daporcentagem,

produtosexpostos Regulad-ru'e..\ ossim cemo o uS<1daliIlótaS fiseais,~lculculadoro,cédula..,

naloja, ctc. Gerais de dinheirofictícias,preços.,reIH<;':;cs,teP"I?""I<ll110

etroco, e-te.

3") Verific•.ram'1'''' RSI00,IlO emsuficiente pam o pagamento eulnda sobrava troco

(Rc,gulnçà,) mÚtuaJt---l •••a..(Resoluçãodeproblema, )

\ ~

\

entreos integraníes de '

nol'à:t.~rusode seus próprios

~tI{lt~grupo~ltO~p~p~is dê

comprador.vendedor e conhecimentoseprocessosde operador de caixa, bem como resoluçãojá íntcruallzados, comigo (quando {llgUI15grupos nabUSC3 da soluçâo, sem precisararn de auxiho) preverSeseriam csmais

adeqeudes

.

(

,",

~

"

,)

.

\

~reCIlCher) noras fiscaisC()~'---dC-I'-,'(J(:-'./e$S4< deresolLlçôojá utilizMO$ os-produtos comprados, verificando preços e nas sessões anteriores. da-modo

pcnc-erttua.isde descontos eJiPl}.,~tosna[(~a como usararu:1calculadora nasessâo :mkrlOf c no segundo momento, quandO'

tevc,:t,..'\r1lm QSra[)éis e1Ít,..çsi.constatei

Gueosi')}UIlM procuravam imitaro modo

como ocolega do seugrupodesempenhou

omesmo papel no primeiro momento Figura 6:Esquema de resolução do Problema 1da Sessão 7, utilizado pelos alunos da turma 51.

Problema 2

Com R$ 150,00,é possível comprar mais de 10produtos naLoja Satero?

Figura 7 - Problema 2da Sessão 7.

No problema 2, em que os compradores

receberam R$ 150,00em cédulas fictícias de di

-nheiro etinham de comprar 10produtos ou mais

para verificar se seria possível comprar com esse

dinheiro, observei que a resolução desse segundo

problema envolveu tanto o momento da escolha

dos produtos como o preenchimento da nota

•fiscal, pois, ao interagir com os alunos, observei

que: a) na escolha dos produtos, os compradores

foram influenciados pelo vendedor e pelo

ope-rador de caixa a escolher 10 ou mais produtos

com omenor preço e aqueles que julgavam que

poderiam ser pagos com R$150,00; b) no caixa,

o operador de caixa contou com a colaboração

do vendedor e compradores para preencher a

nota fiscal de acordo com os preços e descontos

percentuais, revelando, com isso, que o modo

como procederam na resolução doproblema 2,

foi o mesmo adotado no problema 1.

Após cada compra efetuada, indaguei a

cada grupo quanto àsolução do problema, e

to-dos me responderam que, com R$ 150,00,daria

para pagar as compras e ainda sobraria troco, se

fossem comprados osprodutos mais baratos.

Representando omodo como ocorreu a

re-solução do problema 2,eiso seguinte esquema:

EDUCAÇÃO MATEMÁTICA EM REVISTA - RS

PROBLEMAZ objetivos

---~ ~~ ~ ~ __-J

Comprar Jm Loin 5(>ttW(J10 produtos OU mais,verificando se RS150~OOseria

suficiente para p~lgÚwlos

Passos do processo de resoluçâo;

l"lCompm. por partedos alunos compradores ecom 8aj"da

do (lQJq;lH'tn<.I"<Ior.<Ic 100u m~i$prodU!ÕS!lUC mais

g,0SIJI".", eos mais baratos;

2"}1<0caixa OC01TeU o processo de solução propriamenre ditodoproblema C I'uso daporcentagem, assim como

óU$(>das o<>la..fiscais, àcalculadPl1I. cédulas ficlieins de dinheiro, preço" ,e Iações de pngll11lentl> e.troco, eie. 3")Verificaram que R$l50.00era suficiente paro I>pagomellro e ainda

sobrava Iroro,se fu<sern comprados os produtos mo;sbaratos,

Figura 8:Esquema de resolução do Problema 2da Sessão 7,utilizado pelos alunos da turma 51.

A respeito da resolução dos dois problemas

propostos ede todas as evidências constadas, foi

possível observar que o uso do cálculo de

por-centagem ocorreu em específico no caixa e com o

auxílio da calculadora. Também foi no caixa que

o relacionamento entre os integrantes do grupo

precisou serharmônico, visto que oscompradores,

o vendedor eooperador decaixa tinham que calcu

-lar everificar se os descontos percentuais estavam

corretos. A regulação mútua entre os integrantes

de cada grupo, eaté mesmo com os demais colegas,

foi fundamental para o êxito da resolução dos dois

problemas e,conseqüentemente, contribuiu para a

aprendizagem construtiva dos alunos.

Como aatividade envolveu toda a manhã (5

horas/aula de 45min,cada), acredito queo cansaço e a

distração interferiram nos registros das notasfiscais,

porque no geral os operadores de caixa falharam ao

calcular a diferença entre o preço da prateleira e o

desconto dado; a soma detodos os valores a serem

pagos no totale o troco, Poroutro lado, acredito que

se preocuparam em calcular corretamente o

descon-to percerÍtual, pois a maioria deles estava correta,

até porque foio conteúdo pautado no período de

investigação ea porcentagem foi apreendida através

de seus conhecimentos prévios.

Apesar das dificuldades constatadas, os

alunos sentiram-se satisfeitos com a atividade

e desempenharam-na a contento. Os processos

reguladores gerais: exploração, resolução de

problemas, imitação eregulação mútua dateoria

caseana estiveram evidenciados, uma vez que os

problemas propostos foram elaborados deacordo

com os conhecimentos apreendidos pelos alunos

acerca da porcentagem; e,aodesempenharem os

papéis de comprador, vendedor e operador de

caixa, puderam colocá-los em prática. na atividade

Loja Soteto, imitatíva ao dia-a-dia de COmpra e

venda no comércio. Ao explorar as informações

disponíveis nos enunciados e resolver os dois

problemas damaneira.que julgaram ser a mais cor

-reta, que ocasionaria asolução correta de cada um

deles, os alunos puderam aprimorar seus c

onhe-cimentos. Inclusive, ao procurar imitar processos

de resolução empregados por eles anteriormente,

precisaram compartilhar conhecimentos qUI;) os

levassem àelaboração deum processo comum ao

grupo eque os ajudassem no preenchimento das

notas fiscais (regulaçâo mútua].

Assim, ,aLoja Sotero favoreceu a integração

dos processos reguladores gerais, pois, conforme

Case (1989, p,3.28)2salienta em sua teoria:

2Tradução de:''l\jmargen deIasituación específicaque con-dujera ala instrucción (... ]elmiembro másjoyen deIa díada

-yasea por observacíón oporque se10dicen - com prenderia

EDUCAÇÃO MATEM~;ICA EM REVISTA- RS

À parteda situação específica que con

-duziria a instrução [...] omembro mais

jovem do grupo - seja por observação

ou porque lhe dizem - compreenderia

que há um problema que nãosabecomo

resolver e queomembro maisvelho sabe

como solucioná-Ia. Na continuação o

mais jovem prestaria atenção a toda

demonstração ou observação propor

-cionada pelomembro mais velho e ten

-taria aplicarquaisquer observações que

tivesse em seu repertório com ofim de

seguir a descriçãoou modelo pre

ssupos-to. Simultaneamente, omembro mais

velho observaria astentativas do mais

jovem e complementaria ou modificaria

a instrução conforme o necessário.

Através da atividade prática Loja Sotero, os

alunos reorganizaram seus conhecimentos prévios

na resolução dos problemas, bemcomo pensaram

acerca do modo como deveriam registrar seus

processos mentais, tanto na calculadora como

nas notas fiscais.A aquisição denovos esquemas

mentais foi favorecida pela interação entre os

alunos, que elaboraram emconjunto os processos

de resolução. Também minha interação com os

alunosfoimuito importante para verificar o modo

como os alunos obtiveram cada informação das notas fiscais (como mencionado anteriormente), que foi praticamente igual para todos, tanto no

problema 1como no problema 2.

Todavia, saliento que assessões

desenvol-vidas antes da Sessão 7 foram, de certa forma,

preliminares a essa atividade prática e contribu-íram construtivamente para oseu êxito.

Considerações finais

Diante da pesquisa realizada, reafirma-se

aimportância de ensinar, de forma construtiva e

prazerosa, anoção de porcentagem a alunos da

5asérie doEnsino Fundamental. Nessa tentativa,

acredita-se que o aluno necessita resolver pro-blemas deporcentagem para apreender a noção,

que hay un problema que no sabe cómo r~solve:, yque ~l

miembro mayor sísabesolucionado. Acontínuacíón el mas joven prestaria atención a toda demostraci.ón u ob:ervación proporcionada por elmiembro mayor e intentaria aplicar cualesquiera observaciones que ya tuviera en su repertorio con elfin de seguir Ia descripción omodelo propuestos. Simultáneamente, el miembro mayor observaría losintentos dei más jovenycomplementaría o modificaría Ia instrucción según correspondíera."

-

-deforma queo professor possa contemplar, nos enunciados desses problemas propostos, os conhecimentos prévios do aluno sobre porcen-tagem, possibilitando, assim, que sejam aprimo-rados e/ou,até mesmo, sejaminstrumentos para

aaquisição de outros novos. Ao mesmo tempo,

entende-se que a compreensão, por parte do

pro-fessor,dosprocessos reguladores gerais da teoria

caseana (1989) pode transformar a sua prática

pedagógica com respeito aoprocesso de re solu-ção dos problemas propostos, levando em conta

os seguintes processos: resolução deproblemas,

imitação, exploração e regulação mútua.

Ao observar omodo como os alunos

re-solveram os problemas propostos e analisando os registros escritos de suas resoluções (cálculos registrados em cada problema), constatou-se que os processos de ensinar e apreender foram

favorecidos pela relação aluno-aluno e a

luno-professor, pois cada um contribuiu com o outro naaquisição e aprimoramento de conhecimentos quanto ànoção de porcentagem, o quemais uma

vez evidencia aimportância de um ensino que

favoreça a regulação mútua.

Ficou claro também que, ao ensinar a

noção através da resolução de problemas, os

alunos puderam utilizar processos deresolução que os levaram a reorganizar osconhecimentos

já adquiridos em Matemática, aqueles ligados

às operações com números racionais e ao r

a-ciocínio proporcional, que são fundamentais

para a compreensão da porcentagem. Além disso, o êxito dos alunos se deu pelo fato de

que os problemas propostos se assemelhavam a situações vivenciadas por eles em seu dia -a-dia ou quehaviam vivenciado juntamente com suas famílias.

Quanto aoprocesso mental de resolução

de problemas, ele foi evidenciado quando as

duplas e os trios interpretavam as informações

dosenunciados eprocuravam elaborar suas pró

-prias estratégias de resolução. Semelhante a esse processo, também ocorreu oprocesso mental de

exploração, usado pelos alunos, na maior parte

das vezes, quando eles interpretavam com seus

companheiros de trabalho as informações dos

enunciados ebuscavam resolver os problemas

da maneira que achavam ser a correta e a mais

fácil, através da exploração de suas próprias estratégias, palavras-chave dos enunciados, etc.

Para tanto, osproblemas propostos conduziram ao emprego mental desses processos, uma vez

54 EMR-RS -ANO 9-2008 - número 9

J

---que os enunciados foram elaborados com essa

finalidade e para atender às características

pessoais eao nível cognitivo dos alunos, a seus conhecimentos prévios, às suas vivências coti-dianas, etc.

Sobre o processo mental deimitação, ele

foi um dos processos reguladores mais difun

-didos, pois a maioria das duplas e dos trios de alunos procurou imitar processos de resolução já empregados por eles anteriormente, nas ses

-sões e nos problemas propostos, até na mesma sessão; houve, inclusive, casos que procuraram imitar processos que viram a professora ou os demais colegas utilizarem. Também aimitação

foi utilizada como subsídio pedagógico eauxí -lio aalunos que apresentavam dificuldades na

interpretação ou na elaboração de processos de

resolução, pois através desse processo podiam pensar em problemas que já haviam resolvido para extrair informações e contribuições úteis à resolução do problema atual.

A regulação mútua, que foi o processo mais enfatizado nas resoluções e que norte ou

o uso dos demais processos reguladores, con-tribuiu construtivamente para as relações entre aluno-aluno e aluno-professor, porque os alunos trabalharam em duplas e trios, o que permitiu a troca de informàções e de experiências relativas aos conhecimentos necessários à resolução dos problemas propostos, favorecendo a construção mútua de soluções matemáticas. Também os alu

-nos sedispuseram por afinidade, o que favoreceu a troca de idéias econhecimentos, pois um pôde ajudar o outro na construção de sua aprendiza

-gem acerca da noção de porcentagem, através da resolução dos problemas propostos, e se algum colega ainda tivesse dificuldade, mesmo com o auxílio da professora, o outro colega o auxiliava na compreensão.

Portanto, aregulação mútua e a imitação

foram os processos reguladores gerais que mais se destacaram durante a pesquisa e serviram de ponto de partida para o uso mental dos processos de resolução de problemas e exploração, ou

seja,para a integração hierárquica dos processos reguladores gerais.

Ao longo doprocesso da investigação em sala de aula foram propostos problemas, tendo em vista que os alunos estavam cursando a 5a

série do Ensino Fundamental, a primeira das séries finais, para que apreendessem anoção de forma construtiva e prazerosa, que contribuísse

para a utilização da porcentagem, tanto nas

de-mais séries e disciplinas escolares como na sua

vida em sociedade.

Poroutro lado, todas as sessões realizadas

foram preliminares à última, uma vez que a

atividade prática Loja Sotero visava ao emprego

dos conhecimentos de porcentagem apreendidos

durante o período de investigação, através da

simulação de uma situação da vida cotidiana

(compra e venda no comércio, pagamento em

cédulas de dinheiro e troco, etc.). De acordo

com as análises e discussões feitas durante a

atividade e com os registros escritos pelos al

u-nos,compreendeu-se que eles evoluíram em seu

processo de resolução, visto que conseguiram

utilizar seus conhecimentos aoresolver os pro

-blemas propostos e porque nos enunciados não

estava explícita a noção deporcentagem, ou seja, o uso da noção estava implícito nos processos de resolução, permitindo, assim, tornar-lhes conscientes das suas operações mentais ou das suas estruturas decontrole executivo.

Através dessa pesquisa, que resultou

numa dissertação deMestrado, conclui-se que é

importante contemplar noensino daMatemática

aintegração hierárquica dos processos regulação

mútua, exploração, resolução de problemas

eimitação da teoria cognitiva de Robbie Case

(1989). As práticas pedagógicas voltadas para a

ênfase desses processos naresolução de proble-mas no Ensino de Matemática, em especial de porcentagem, oportunizam ao professor compre-ender amaneira como o aluno apreende. A partir dessa compreensão, elepode planejar e desenvol-ver a sua prática coerentemente, bem como pode avaliar efetivamente os processos de resolução do aluno. Nessa perspectiva, o professor estará

oferecendo ao aluno uma aprendizagem cons-trutiva de noção deporcentagem.

Referências

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Fabiane FischerFigueiredo -Mestre em Ensino de Matemática (UNIFRA) - Professora deMatemática na E.M.E.E Sotero Her

-mínio Frantz do município de Pantano Grande/RS e tutora a distância no curso de Licenciatura emMatemática da REGESD/ UNISC - fffaby@ibest.com.br

SilviaMaria de Aguiar Isaia - Doutora em Educação (UFRGS)-Professora do curso de Mestrado Profissionalizante em Ensino de Físicae Matemática da UNIFRAedo Mestrado em Educação da UFSM- sisaia@terra.com.br

RECEBIDO em 20/06/2008 APROVADO em 27/08/2008