Aplicações de Álgebra Linear e Geometria Analítica

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Título Introdução Criptografia História da Criptografia Tipos de Cifras Cifras de Hill Código de Hill-Exemplo Códificando os pares de letras do texto Decifrando o código de Hill Bibliografia

Aplicações de Álgebra Linear e Geometria

Analítica

CRIPTOGRAFIA DE MENSAGENS

Nathalia Nunes Bassi

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Criptografia

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Na linguagem criptográfica, os códigos são denominados CIFRAS, as mensagens não codificadas são denominadas

TEXTOS COMUNS e as mensagens codificadas são denominadas TEXTOS CIFRADOS ou CRIPTOGRAMAS. O

processo de converter um texto comum em um cifrado é chamado CIFRAR ou CRIPTOGRAFAR, e o processo inverso

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História da Criptografia

Antigamente a cifragem era utilizada na troca de mensagens, principalmente em assuntos ligados a guerra, amor e a

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História da Criptografia

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História da Criptografia

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Devido aos esforços de guerra, a criptografia passou a ser muito utillizada.

Durante a Guerra Fria foram criados e utilizados diversos métodos a fim de esconder mensagens a respeito de estratégias e operações, criptografadas com diferentes métodos e chaves.

Atualmente a criptografia é amplamente utilizada na WEB, em segurança afim de autenticar os usuários para lhes fornecer acesso, na proteção de transações financeiras e em

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Tipos de Cifras

•CIFRAS DE SUBSTITUIÇÃO: Substituem cada letra do alfabeto por outra letra.

•CRIPTOGRAFIA RSA: O mais conhecido dos métodos de criptografia de chave pública é o RSA.

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Tipos de Cifras

•CIFRAS DE SUBSTITUIÇÃO: Substituem cada letra do alfabeto por outra letra.

•CRIPTOGRAFIA RSA: O mais conhecido dos métodos de criptografia de chave pública é o RSA.

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•CIFRAS DE HILL: Baseadas em transformações matriciais. Método que utiliza a álgebra linear para CODIFICAR e DECODIFICAR uma mensagem atravéz da multiplicação de matrizes.

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•CIFRAS DE HILL: Baseadas em transformações matriciais. Método que utiliza a álgebra linear para CODIFICAR e DECODIFICAR uma mensagem atravéz da multiplicação de matrizes.

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Cifras de Hill

PROCEDIMENTOS PARA CODIFICAÇÃO

• Primeiro converte-se as letras em números, depois agrupa-se os números n a n e multiplica-se cada grupo por uma matriz quadrada de ordem inversível (det 6= 0). Os

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• Caso algum resultado da multiplicaçao seja um número maior que o número de letras do alfabeto, então deve-se utilizar o resto desse número pelo número de letra do alfabeto, o que será explicado posteriormente.

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• Caso algum resultado da multiplicaçao seja um número maior que o número de letras do alfabeto, então deve-se utilizar o resto desse número pelo número de letra do alfabeto, o que será explicado posteriormente.

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• Supõem-se daqui em diante que cada letra de texto comum e de texto cifrado, excetuando o Z, tem o valor númerico que especifica a sua posição no alfabeto padrão(TABELA 1). TABELA 1

A B C D E F G H I J K L M N O

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

P Q R S T U V W X Y Z

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• Supõem-se daqui em diante que cada letra de texto comum e de texto cifrado, excetuando o Z, tem o valor númerico que especifica a sua posição no alfabeto padrão(TABELA 1).

TABELA 1

A B C D E F G H I J K L M N O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

P Q R S T U V W X Y Z

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Nos casos mais simples, transforma-se pares sucessivos de textos cifrados por:

Passo 1) Escolhe-se uma matriz 2 × 2.

A =

a11 a12

a21 a22

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A =

a11 a12

a21 a22

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A =

a11 a12

a21 a22

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Passo 2)Agrupam-se letras sucessivas do texto comum em

pares, adicionando uma letra fictícia para completar o último par, se caso o texto comum tiver um número ímpar de letras. Substitui-se cada letra do texto comum pelo seu valor númerico seguindo a tabela 1.

Passo 3) Converte-se cada par sucessivo de letras de texto

comum em um vetor coluna:

p =

p1

p2

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Passo 2)Agrupam-se letras sucessivas do texto comum em

pares, adicionando uma letra fictícia para completar o último par, se caso o texto comum tiver um número ímpar de letras. Substitui-se cada letra do texto comum pelo seu valor númerico seguindo a tabela 1.

Passo 3) Converte-se cada par sucessivo de letras de texto

comum em um vetor coluna:

p =

p1

p2

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E forma-se o produto A.p.

Chama-se p de vetor comum e A.p de vetor cifrado.

Passo 4) Converte-se cada vetor cifrado em seu equivalente

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E forma-se o produto A.p.

Chama-se p de vetor comum e A.p de vetor cifrado.

Passo 4) Converte-se cada vetor cifrado em seu equivalente

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Título Introdução Criptografia História da Criptografia Tipos de Cifras Cifras de Hill Código de Hill-Exemplo

Códificando os pares de letras do texto Decifrando o código de Hill Bibliografia

Código de Hill-Exemplo

EXEMPLO: OBTER A CIFRA DE HILL DA MENSAGEM DE

TEXTO COMUM:

"SE VOCÊ CONSEGUE LER ISSO, AGRADEÇA UM PROFESSOR DE ALGA"

Para a matriz codificadora:

A =

4 3 1 2

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Código de Hill-Exemplo

EXEMPLO: OBTER A CIFRA DE HILL DA MENSAGEM DE

TEXTO COMUM:

"SE VOCÊ CONSEGUE LER ISSO, AGRADEÇA UM PROFESSOR DE ALGA"

Para a matriz codificadora:

A =

4 3 1 2

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SOLUÇÃO:

Já que a tabela 1 não possui a letra Ç, substituimos por "C". → Agrupamos o texto comum em pares de letras para poder efetuar a codificação.

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→Usando a tabela 1, encontramos os seus correspondentes numéricos.

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OBS:Tendo em vista que a tabela 1 só tem 26 números, sendo

eles de 0 à 25. Precisamos transformar os números maiores que 25 em números iguais ou menores que este, para isto utilizamos a aritmética modular.

Definição(aritmética modular): Dado um número inteiro

positivo m e dois inteiros a e b quaisquer, dizemos que a é equivalente a b módulo m e escrevemos:

a ≡ b (mod m)

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a ≡ b (mod m)

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a ≡ b (mod m)

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PARA ENTENDER MELHOR, OBSERVE OS EXEMPLOS ABAIXO.

Encontrando os resíduos módulo 26 dos seguintes números:

(a) 35

dividindo |35| = 35 por 26 encontramos o valor inteiro 1 e um resto 9.

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(a) 35

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(a) 35

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(b) -67

dividindo | − 67| = 67 por 26 encontramos o valor inteiro 2 e um resto 15, ou seja 26-15=11.

Podemos afirmar que −67 ≡ 11(mod 26) (c) -26

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(b) -67

dividindo | − 67| = 67 por 26 encontramos o valor inteiro 2 e um resto 15, ou seja 26-15=11.

Podemos afirmar que −67 ≡ 11(mod 26)

(c) -26

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Códificando os pares de letras do texto

Decifrando o código de Hill Bibliografia

Códificando os pares de letras do texto

Para codificá-los efetuamos A.p I1 par de letras: SE 4 3 1 2 . 19 5 = 91 29 = 13 3 (mod 26) = M C

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Códificando os pares de letras do texto

Para codificá-los efetuamos A.p I1 par de letras: SE 4 3 1 2 . 19 5 = 91 29 = 13 3 (mod 26) = M C

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Decifrando o código de Hill Bibliografia I2 par de letras: VO 4 3 1 2 . 22 15 = 133 52 = 3 0 (mod 26) = C Z

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Decifrando o código de Hill Bibliografia I2 par de letras: VO 4 3 1 2 . 22 15 = 133 52 = 3 0 (mod 26) = C Z

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Decifrando o código de Hill Bibliografia I3 par de letras: CE 4 3 1 2 . 3 5 = 27 13 = 1 13 (mod 26) = A M

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Decifrando o código de Hill Bibliografia I3 par de letras: CE 4 3 1 2 . 3 5 = 27 13 = 1 13 (mod 26) = A M

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Decifrando o código de Hill Bibliografia I4 par de letras: CO 4 3 1 2 . 3 15 = 5 7 = E G I5 par de letras: NS 4 3 1 2 . 14 19 = 113 52 = 9 0 (mod 26) = I Z

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Decifrando o código de Hill Bibliografia I6 par de letras: EG 4 3 1 2 . 5 7 = 41 19 = 15 19 (mod 26) = O S

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Decifrando o código de Hill Bibliografia I 10 par de letras: SS 4 3 1 2 . 19 19 = 133 57 = 3 5 = C E

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I12 par de letras: GR 4 3 1 2 . 7 18 = 122 43 = 4 17 (mod 26) = D Q

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I14 par de letras: EC 4 3 1 2 . 5 3 = 29 11 = 3 11 (mod 26) = C K

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I16 par de letras: MP 4 3 1 2 . 13 16 = 100 45 = 22 19 = V S

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I18 par de letras: FE 4 3 1 2 . 6 5 = 39 16 = 13 16 (mod 26) = M P

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I20 par de letras: OR 4 3 1 2 . 15 18 = 114 51 = 10 25 (mod 26) = J Y

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I22 par de letras: AL 4 3 1 2 . 21 12 = 40 25 = 14 25 (mod 26) = N Y

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Assim, obtemos a mensagem cifrada completa:

MCCZAMEGIZOSUEKVUJCEKQDQPICKOQVSMVMPCEJY ENNYEI

Agrupando-as dois a dois,

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Decifrando o código de Hill

Bibliografia

Decifrando o código de Hill

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Bibliografia

Cada cifra possui um método para decifrar. No caso da Cifra de Hill, usa-se a inversa(mod 26) da matriz codificadora. Para ser preciso, dizemos que uma matriz A é inversível módulo m, no caso (mod26) se existir uma matriz B que

satisfaça:

A.B = B.A = I (mod m)

Sendo I a matriz identidade:

1 0 0 1

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Bibliografia

EXEMPLO: DECIFRANDO A CIFRA DE HILL DO EXEMPLO

a b c d

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Bibliografia

Após, calculamos o determinate da matriz codificadora: det(A) = ad − bc = 4.2 − 3.1 = 5

Depois de encontrarmos o valor do determinante da matriz codificadora, achamos o seu correspondente do recíproco módulo 26 na tabela 2:

TABELA 2: (recíprocos módulo 26)

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Bibliografia

Assim, podemos determinar a matriz inversa de det(A) (mod 26) que é dada por:

A−1= _detA1 . d −b −c a (mod 26)

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Bibliografia Então, A−1=21. 2 −3 −1 4 = 42 −63 −21 84 = 16 15 5 6 (mod 26)

•42 > 25, então 42₂₆ =1 resto 16, isto é, 42 ≡ 16(mod 26) •| − 63| > 25, então63₂₆ =2 resto 11, 26 − 11 = 15 isto é, 63 ≡ 15(mod 26)

• −21, quando temos um valor negativo menor que 25, subtraimos 26 do módulo deste valor, achando seu recíproco módulo 26, 26 − 21 = 5, isto é, −21 ≡ 5(mod 26)

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•42 > 25, então 42₂₆ =1 resto 16, isto é, 42 ≡ 16(mod 26)

•| − 63| > 25, então63₂₆ =2 resto 11, 26 − 11 = 15 isto é, 63 ≡ 15(mod 26)

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Bibliografia

Conferindo a matriz inversa módulo 26:

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Bibliografia

Código da frase mostrada anteriormente:

MCCZAMEGIZOSUEKVUJCEKQDQPICKOQVSMVMPCEJY ENNYEI

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Bibliografia

DECIFRANDO O CÓDIGO:

Para decifrarmos o cógido de Hill, multiplicamos o

correspondente numérico das letras(tabela 1), pela matriz inversa da matriz codificadora módulo 26, calculada anteriormente:

Correspondentes na tabela 1, do código acima:

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Bibliografia

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Bibliografia I5 par de letras: IZ 16 15 5 6 . 9 0 = 14 19 = N S

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Bibliografia I 6 par de letras: OS 16 15 5 6 . 15 19 = 525 189 = 5 7 (mod 26) = E G

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Bibliografia I7 par de letras: UE 16 15 5 6 . 21 5 = 411 135 = 21 5 (mod 26) = U E

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Bibliografia I 8 par de letras: KV 16 15 5 6 . 11 22 = 506 187 = 12 5 (mod 26) = L E

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Bibliografia I 9 par de letras: UJ 16 15 5 6 . 21 10 = 486 165 = 18 9 (mod 26) = R I

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Bibliografia

I10 par de letras: CE 16 15 5 6 . 3 5 = 123 45 = 19 19 (mod 26) = S S

(78)

Bibliografia I 11 par de letras: KQ 16 15 5 6 . 11 17 = 431 157 = 15 1 (mod 26) = O A

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Bibliografia I 12 par de letras: DQ 16 15 5 6 . 4 17 = 319 122 = 7 18 (mod 26) = G R

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Bibliografia

I14 par de letras: CK 16 15 5 6 . 3 11 = 213 81 = 5 3 (mod 26) = E C

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Bibliografia I 20 par de letras: JY 16 15 5 6 . 10 25 = 535 200 = 15 18 (mod 26) = O R

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Bibliografia

I22 par de letras: NY 16 15 5 6 . 14 25 = 599 220 = 1 12 (mod 26) = A L

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Bibliografia

Mensagem cifrada:

SE VO CE CO NS EG UE LE RI SS OA GR AD EC AU MP RO FE SS OR DE AL GA Trocando o segundo C por Ç:

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Bibliografia

•www .inf .ufsc.br / davigp/INE − 5386/Enigma/ •informatica.hsw .uol.com.br /criptografia.htm •ensino.univates.br / chaet/AlgebraLinear .html

•www .infowester .com/criptografia.php

•www .magiadamatematica.com/diversos/eventos/20 − congruencia.pdf

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Bibliografia

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