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PLANEJAMENTO DE REDES MESH SEM FIO

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Academic year: 2021

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PLANEJAMENTO DE REDES MESH SEM FIO Gleicy Aparecida Cabral, Geraldo Robson Mateus

Departamento de Ciˆencia da Computac¸˜ao – Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) Av. Antˆonio Carlos, 6627 – Pampulha – 31270-010 – Belo Horizonte – MG – Brasil

{gleicy, mateus}@dcc.ufmg.br RESUMO

Redes mesh sem fio (Wireless Mesh Networks) s˜ao redes dinamicamente auto-organizadas e auto-configur´aveis cujos n´os automaticamente estabelecem e mantˆem a conectividade entre eles. As redes mesh sem fio possuem dois tipos de n´os: roteadores e clientes. Os roteadores tˆem pouca mobilidade e formam a espinha dorsal (backbone) das redes mesh. A comunicac¸˜ao em uma rede mesh ´e multi-salto (multi-hop), e as funcionalidades de gateway/bridge dos roteadores possibilitam a integrac¸˜ao de diferentes redes, tais como, Internet, Wi-Fi, celular etc. Neste trabalho, ´e proposto um modelo matem´atico para o problema de planejamento de redes mesh sem fio e s˜ao apresentados os resultados dos experimentos realizados para avaliac¸˜ao do modelo.

PALAVRAS-CHAVE: redes mesh sem fio, modelo matem ´atico, soluc¸ ˜ao ´otima.

´

AREA PRINCIPAL: redes de computadores

ABSTRACT

Wireless Mesh Networks are dynamically self-organized and self-configured, with the nodes in the network automatically establishing and maintaining mesh connectivity among themselves. Wireless Mesh Networks consist of two types of nodes: routers and clients. Routers have minimal mobility and form the backbone of mesh networks. Multi-hop communication is used in Wireless Mesh Network and the gateway/bridge functionalities in routers enable the integration of Wireless Mesh Networks with various existing wireless networks such as Internet, Wi-Fi, cellular, etc. This paper presents a mathematical model for the planning of Wireless Mesh Networks and shows the results that have been obtained in experiments for model evaluation.

KEYWORDS: wireless mesh networks, mathematical model, optimal solution.

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1. Introduc¸ ˜ao

O r´apido progresso na pesquisa e desenvolvimento de tecnologias de comunicac¸˜ao sem fio criaram diferentes tipos de sistemas, a exemplo, Bluetooth, Wi-Fi, IEEE 802.11, UMTS (Universal Mobile Telecommunications System) etc. Estes sistemas s˜ao projetados para atender necessidades espec´ıficas de servic¸o e diferem em termos de largura de banda, latˆencia, ´area de cobertura, custo e requisitos de qualidade de servic¸o (QoS). Um desafio nesse cen´ario ´e possibilitar que os usu´arios movam-se atrav´es das diferentes redes e mantenham suas comunicac¸ ˜oes com qualidade e seguranc¸a. Neste contexto, as redes mesh sem fio (Wireless Mesh Networks) aparecem como uma alternativa para garantir a interoperabilidade dos diferentes sistemas de comunicac¸˜ao existentes.

As redes mesh possuem dois tipos de n´os: roteadores mesh e clientes. Os roteadores mesh s˜ao, geralmente, equipados com m ´ultiplas interfaces de rede sem fio que possuem uma ou mais tecnologias de acesso. Os roteadores tˆem m´ınima mobilidade e formam o backbone das redes mesh. Alguns roteadores possuem funcionalidades de gateway/bridge que habilitam a comunicac¸˜ao entre diferentes redes e o acesso `a Internet.

Em uma rede mesh, os clientes podem acessar a rede por meio dos roteadores mesh ou atrav´es de outros clientes. Enquanto a infra-estrutura da rede (backbone) provˆe conectividade com outras redes, tais como, Internet, Wi-Fi, celular etc; a capacidade de roteamento dos clientes possi-bilita aumentar a conectividade e a cobertura dentro da rede mesh.

H´a v´arios cen´arios de aplicac¸˜ao para as redes mesh. Elas podem ser utilizadas para a implantac¸˜ao de redes dom´esticas, redes na vizinhanc¸a, redes corporativas e redes metropolitanas. A capacidade de auto-organizac¸ ˜ao de uma rede mesh reduz a complexidade de implantac¸˜ao e manutenc¸˜ao da rede. E o backbone da rede mesh provˆe uma soluc¸˜ao vi´avel para os usu´arios aces-sarem a Internet em qualquer lugar, a qualquer hora. Um outro potencial das redes mesh, al´em da implantac¸˜ao de redes de acesso `a Internet, ´e a construc¸˜ao de cidades digitais, oferecendo infra-estrutura de comunicac¸˜ao sem fio em ambiente metropolitano a todos os cidad˜aos. Isto j´a ´e uma realidade em cidades como, por exemplo, Dublin, Taipei, Pittsburgh e Filad´elfia.

As principais caracter´ısticas das redes mesh s˜ao: auto-organizac¸ ˜ao dos n´os na rede; proto-colo de roteamento adaptativo, suportando diferentes tipos de n´os (clientes e roteadores); comunicac¸˜ao multi-salto; m ´ultiplas interfaces e m ´ultiplos canais por n´o; mobilidade e consumo de energia de-pendentes do tipo de n´o (cliente ou roteador).

Neste trabalho, ´e examinado o problema de planejamento de redes mesh. Este problema consiste em atender a demanda dos clientes por acesso `a Internet. Para solucionar o problema deve ser escolhido um subconjunto de roteadores mesh para compor o roteamento entre os clientes e os roteadores mesh com acesso `a Internet.

O restante deste trabalho est´a organizado da maneira descrita a seguir. A sec¸˜ao 2 lista os principais trabalhos relacionados. Nas sec¸ ˜oes 3 e 4, s˜ao apresentados, respectivamente, o modelo matem´atico para o problema de planejamento de redes mesh e os resultados obtidos nos experimen-tos realizados. Finalmente, a sec¸˜ao 5 apresenta as conclus˜oes e trabalhos futuros.

2. Trabalhos relacionados

Em Akyildiz et al. (2005), h´a uma ampla discuss˜ao sobre as caracter´ısticas das redes mesh, arquiteturas, cen´arios de aplicac¸˜ao, bem como as alterac¸ ˜oes necess´arias nas camadas f´ısica, de enlace, rede, transporte e aplicac¸˜ao para implantac¸˜ao das redes mesh.

Muitos dos trabalhos encontrados na literatura concentram-se em resolver problemas rela-cionados a algum aspecto das redes mesh. H´a poucos trabalhos dedicados na definic¸˜ao de um modelo que caracterize v´arios aspectos das redes mesh simultaneamente. Em Bicket et al. (2005), ´e avaliada a habilidade de uma arquitetura para redes mesh sem fio prover acesso `a Internet de alta performance enquanto demanda pouco planejamento de implantac¸˜ao e gerenciamento de operac¸˜ao. A determinac¸˜ao da localizac¸˜ao dos gateways ´e um fator cr´ıtico para o desempenho das redes em malha sem fio. Em Qiu et al. (2004), ´e apresentado um modelo matem´atico para o

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problema de localizac¸ ˜ao dos gateways. Os algoritmos de soluc¸˜ao propostos consideram o layout da rede, as demandas dos usu´arios, caracter´ısticas dos enlaces sem fio, propagac¸˜ao e interferˆencia. Os algoritmos tamb´em s˜ao projetados para prover tolerˆancia a falhas e tratar variac¸ ˜oes da carga de trabalho na rede. Os algoritmos propostos s˜ao avaliados analiticamente e atrav´es de simulac¸˜ao.

A quest˜ao da topologia das redes mesh foi abordada em So and Liang (2006). Neste tra-balho, os n´os vizinhos cooperam e repassam pacotes uns aos outros, para permitir a utilizac¸˜ao de um mesmo acesso `a Internet e distribuir entre a vizinhanc¸a os custos de instalac¸˜ao. O foco do tra-balho ´e minimizar o n´umero de estac¸ ˜oes repetidoras instaladas e o algoritmo de decomposic¸ ˜ao de Benders foi utilizado para encontrar soluc¸ ˜oes ´otimas para as instˆancias do problema.

Em Draves et al. (2004), o foco est´a no roteamento em redes mesh. Neste trabalho, s˜ao consideradas redes sem fio com n´os estacion´arios, como exemplo as redes sem fio de comunidade (Community Wireless Networks). O objetivo ´e escolher um caminho com alto throughput entre uma origem e um destino. Foi estudada a performance de uma m´etrica baseada no tempo de transmiss˜ao esperado (Expected Transmission Time - ETT) de um pacote sobre o enlace.

3. Modelo matem ´atico

Dada uma ´area D onde deve ser disponibilizado o servic¸o (´area de cobertura), um con-junto de n´os clientes I, um concon-junto de roteadores mesh J e um concon-junto de n´os L com a func¸˜ao de disponibilizar acesso `a Internet (roteadores mesh com acesso `a Internet), sendo todos n´os sem mobilidade, com localizac¸˜ao bem definida dentro da ´area D e com um determinado n´umero de in-terfaces de rede K e canais de comunicac¸˜ao por interface dispon´ıveis; o Problema de Planejamento de Redes Mesh Sem Fio (PPRMSF) consiste em selecionar um subconjunto de roteadores mesh de m´ınimo custo que maximize a cobertura e a conectividade dentro da ´area D, isto ´e, o subconjunto de roteadores selecionados deve atender a demanda dos clientes para cada interface de rede dispon´ıvel. O PPRMSF dever´a informar o roteador mesh j ∈ J que atende a demanda do cliente i ∈ I pela

interface de rede k ∈ K. Al´em disso, dever´a existir um caminho de comunicac¸˜ao entre o roteador mesh j e pelo menos um roteador mesh com acesso `a Internet l ∈ L.

O PPRMSF deve gerar a soluc¸˜ao minimizando a soma dos custos dos enlaces da rede utilizados, respeitando sempre os limites de capacidade de cada enlace. O PPRMSF tamb´em deve respeitar as restric¸ ˜oes de energia dos n´os clientes. E ainda, se existirem clientes i ∈ I que n˜ao

estejam no alcance de comunicac¸˜ao de nenhum roteador mesh j ∈ J, a demanda destes clientes

´e atendida associando-o a algum outro cliente o ∈ I que esteja no raio de comunicac¸˜ao de i e no

alcance de comunicac¸˜ao de pelo menos um roteador mesh j ∈ J. O cliente o deve possuir energia

suficiente para o atendimento da sua pr´opria demanda e da demanda do cliente i associado a ele. A seguir s˜ao definidas algumas constantes e parˆametros utilizados na formulac¸˜ao do prob-lema.

ACli−Cli: conjunto de arcos que conectam n´os clientes.

ACli−Rot: conjunto de arcos que conectam n´os clientes e n´os roteadores mesh. ARot−Rot: conjunto de arcos que conectam n´os roteadores mesh.

ARot−Int: conjunto de arcos que conectam n´os roteadores mesh e n´os roteadores mesh com acesso

`a Internet.

cj: custo de instalac¸˜ao do roteador mesh j.

vpq: custo do enlace entre os n´os p e q, tal que, pq ∈ (ARot−Rot ∪ ARot−Int). upq: capacidade m´axima do enlace entre os n´os p e q, pq ∈ (ARot−Rot ∪ ARot−Int). hkij: custo do enlace entre o n´o cliente i e o n´o roteador mesh j para a interface k gkio: custo do enlace entre os n´os clientes i e o para a interface k.

nkj: n´umero m´aximo de n´os clientes que podem ser atendidos pelo roteador mesh j utilizando a

interface k. (Este valor pode ser calculado com base no n´umero de canais dispon´ıveis por interface de rede).

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εtkij: quantidade de energia gasta na transmiss˜ao de 1 unidade de demanda utilizando a interface k

do n´o cliente i at´e o n´o j (n´o cliente ou n´o roteador mesh).

εrk: quantidade de energia gasta na recepc¸˜ao de 1 unidade de demanda utilizando a interface k. ξi: quantidade total de energia do n´o cliente i.

Eq(A): conjunto de arcos que entram no n´o roteador mesh ou n´o roteador mesh com acesso `a

Inter-net q ∈ (J ∪ L) e pertencem ao conjunto A.

Sq(A): conjunto de arcos que saem do n´o roteador mesh ou n´o roteador mesh com acesso `a Internet q ∈ (J ∪ L) e pertencem ao conjunto A.

U: valor bem grande comparado aos demais valores do problema.

α, β e γ: valores utilizados no ajuste de unidades de medida na func¸˜ao objetivo.

akij     

1 se o n´o cliente i est´a no alcance de comunicac¸˜ao do roteador mesh j utilizando a

interface k

0 caso contr´ario

a′iok

(

1 se o n´o cliente i est´a no alcance de comunicac¸˜ao do cliente o utilizando a interface k 0 caso contr´ario

bk j

(

1 se o roteador mesh j possui a interface de comunicac¸˜ao k 0 caso contr´ario

dki n demanda do n´o cliente i para a interface k

As vari´aveis do PPRMSF s˜ao:

xk ij

(

1 se o n´o cliente i ´e atendido pelo roteador mesh j utilizando a interface k 0 caso contr´ario

x′ijkn demanda do n´o cliente i para a interface k que ´e atendida pelo roteador mesh j

yj

(

1 se o roteador mesh j est´a ativo 0 caso contr´ario

yj′k

(

1 se o roteador mesh j est´a ativo e atende a interface k 0 caso contr´ario zjpq     

1 se o arco pq ∈ (ARot−Rot∪ ARot−Int) faz parte da rota entre o n´o

roteador mesh j e um n´o roteador mesh com acesso `a Internet l∈ L 0 caso contr´ario

zjpq

(

demanda atendida pelo roteador mesh j que passa pelo arco

pq∈ (ARot−Rot∪ ARot−Int)

wk io

(

1 se a demanda do cliente i pela interface k ´e atendida atrav´es do cliente o 0 caso contr´ario

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w′k io

n

demanda do cliente i pela interface k ´e atendida atrav´es do cliente o

tki     

1 se o cliente i est´a no alcance de comunicac¸˜ao de pelo menos um roteador mesh j∈ J utilizando a interface k

0 caso contr´ario

A formulac¸˜ao matem´atica para o problema ´e apresentada a seguir.

min f = X j∈ J cjyj+ α X j∈ J X pq∈(ARot−Rot∪ ARot−Int) vpqzjpq (1) +β X ij∈ ACli−Rot X k∈ K hkijxkij+ γ X io∈ ACli−Cli X k∈ K giokwkio X j∈ J akijx′ijk = dkitki + X oi∈ ACli−Cli w′oik, ∀ i ∈ I, ∀ k ∈ K (2) xkij ≤ y′k j , ∀ i ∈ I, ∀ j ∈ J, ∀ k ∈ K (3) X i∈ I akijxkij ≤ nk jy ′k j , ∀ j ∈ J, ∀ k ∈ K (4) X pq∈ Eq(ARot−Rot) z′jpq − X qr∈ Sq(ARot−Rot∪ ARot−Int), r 6= j zjqr′ = 0, (5) ∀ j ∈ J, ∀ q ∈ (J − j) X qr∈ Sq(ARot−Rot∪ ARot−Int) z′jqr = X i∈ I X k∈ K x′ijk (6) q= j, ∀ j ∈ J zjpq′ ≤ upqyp, ∀ j ∈ (J − q), ∀ pq ∈ ARot−Rot (7) zjpq′ ≤ upqyq, ∀ j ∈ (J − q), ∀ pq ∈ ARot−Rot (8) X j∈ J (z′jpq+ zjqp′ ) ≤ upq, ∀ pq ∈ (ARot−Rot ∪ ARot−Int) (9) zjpq′ ≥ zjpq, ∀ j ∈ J, ∀ pq ∈ (ARot−Rot ∪ ARot−Int) (10) zjpq′ ≤ U zjpq, ∀ j ∈ J, ∀ pq ∈ (ARot−Rot ∪ ARot−Int) (11) y′jk = bkjyj, ∀ j ∈ J, ∀ k ∈ K (12) x′ijk ≤ U akijxkij, ∀ i ∈ I, ∀ j ∈ J, ∀ k ∈ K (13) X io∈ ACli−Cli w′iok = (1 − tk i)dki, ∀ i ∈ I, ∀ k ∈ K (14) w′iok ≥ wkio, ∀ io ∈ ACli−Cli, ∀ o ∈ (I − i), ∀ k ∈ K (15)

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w′iok ≤ U a′iokwkio, ∀ i ∈ I, ∀ io ∈ ACli−Cli, ∀ k ∈ K (16) tki ≤ X j∈ J akij, ∀ i ∈ I, ∀ k ∈ K (17) U tki ≥ X j∈ J akij, ∀ i ∈ I, ∀ k ∈ K (18) X k∈ K X io∈ ACli−Cli εtkiow ′k io+ X k∈ K X oi∈ ACli−Cli εrkw ′k oi (19) + X k∈ K X j∈ J εtkijx ′k ij ≤ ξi, ∀ i ∈ I xkij, yj, zjpq, wkio, tki ∈ {0, 1}, x ′k ij, y ′k j , z ′ jpq, w ′k io ≥ 0, ∀ i ∈ I,

∀ j ∈ J, ∀ k ∈ K, ∀ io ∈ ACli−Cli,∀ pq ∈ (ARot−Rot ∪ ARot−Int)

O problema de planejamento de redes mesh consiste em minimizar a func¸˜ao objetivo f (equac¸˜ao 1) composta pela soma dos custos de instalac¸˜ao dos roteadores mesh escolhidos e dos custos dos enlaces entre clientes, clientes-roteadores e roteadores utilizados para atender a demanda dos clientes.

A equac¸˜ao 2 garante que a demanda do cliente i pela interface k atendida pelo roteador mesh j ´e igual `a soma da demanda do cliente i e da demanda dos clientes o ∈ I que n˜ao est˜ao no

alcance de comunicac¸˜ao de nenhum roteador e que repassam suas demandas para o cliente i. Um cliente i somente pode ter sua demanda pela interface de rede k atendida pelo roteador mesh j, se o roteador j possui a interface de rede k e foi escolhido para ser instalado (restric¸˜ao 3). Al´em disso, o n´umero de clientes atendidos por um roteador j deve ser menor ou igual ao n´umero m´aximo de clientes que podem ser atendidos pelo roteador j, considerando a interface k.

As equac¸ ˜oes 5 e 6 garantem que a demanda que entra em um n´o roteador mesh q ´e igual `a demanda que sai deste roteador e que a demanda dos clientes atribu´ıdos a um roteador j ´e igual `a demanda que sai deste roteador. As restric¸ ˜oes 7 e 8 asseguram que somente h´a demanda diferente de zero passando pelo arco pq, se os roteadores mesh p e q foram instalados. A soma das demandas que passam pelo arco pq tem que ser menor que a capacidade do arco (restric¸˜ao 9). As restric¸ ˜oes 10 e 11 indicam que somente pode haver demanda atribu´ıda ao roteador mesh j passando pelo arco pq, se o arco pq foi escolhido para fazer parte do roteamento entre o roteador j e um roteador de acesso `a Internet.

A equac¸˜ao 12 define o valor da vari´avel y′jk. A restric¸˜ao 13 garante que somente haver´a demanda do cliente i pela interface k atendida pelo roteador mesh j, se o cliente i foi atribu´ıdo ao roteador j.

A demanda total de um cliente i repassada para outros clientes ´e igual `a sua demanda original (equac¸˜ao 14). As retric¸ ˜oes 15 e 16 asseguram que somente passar´a demanda pelo arco io, se o cliente i est´a no raio de comunicac¸˜ao do cliente o e o cliente i repassar´a parte ou toda a sua demanda para o cliente o.

As restric¸ ˜oes 17 e 18 garantem um valor bin´ario para a vari´avel tki. A inequac¸˜ao 19 est´a relacionada com a restric¸˜ao de energia dos dispositivos clientes. A soma da energia gasta na trans-miss˜ao da demanda do cliente i para outros clientes, da energia gasta na recepc¸˜ao da demanda de outros clientes e da energia gasta na transmiss˜ao da demanda do cliente i para roteadores mesh deve ser menor ou igual `a energia do dispositivo cliente i. ´E interessante notar que um cliente i ou envia sua demanda para outros clientes ou para roteadores mesh. Entretanto, foi modelada apenas uma inequac¸˜ao para a restric¸˜ao de energia.

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restric¸ ˜oes do modelo asseguram que estas vari´aveis somente podem assumir valores inteiros. A reduc¸˜ao do n´umero de vari´aveis inteiras facilita a resoluc¸˜ao do problema.

A pr´oxima sec¸˜ao apresenta os resultados obtidos nos testes realizados para avaliac¸˜ao do modelo proposto aqui.

4. Resultados computacionais

O modelo matem´atico proposto foi avaliado resolvendo-se diferentes instˆancias do prob-lema utilizando o pacote de otimizac¸˜ao comercial CPLEX [Ilog, Inc.(2007)]. N˜ao foram encon-trados trabalhos na literatura que caracterizassem, simultaneamente, tantos aspectos das redes em malha sem fio como este trabalho. At´e mesmo em trabalhos com ˆenfase em algum aspecto de re-des em malha sem fio, n˜ao foi poss´ıvel extrair valores de referˆencias para parˆametros do modelo matem´atico. Tamb´em n˜ao foi encontrado na literatura um conjunto de instˆancias para o problema de planejamento de redes em malha sem fio que pudesse ser usado na validac¸˜ao do modelo proposto. Dessa forma, as instˆancias utilizadas nos testes s˜ao artificiais e foram obtidas atrav´es do gerador de instˆancias descrito a seguir.

4.1. Gerador de instˆancias

Nos problemas produzidos pelo gerador de instˆancias, a ´area de cobertura ´e quadrada, e os poss´ıveis locais candidatos para instalac¸˜ao dos roteadores mesh est˜ao distribu´ıdos de forma eq¨uidis-tante, formando um quadriculado. Os poss´ıveis locais candidatos para instalac¸˜ao de roteadores mesh com acesso `a Internet, bem como os enlaces entre estes e os roteadores mesh s˜ao definidos aleatoriamente. Nas instˆancias geradas, n˜ao h´a enlaces que conectem diretamente clientes mesh e roteadores mesh com acesso `a Internet. Valores como custo e capacidade de cada enlace, demanda e energia de cada n´o cliente s˜ao obtidos escolhendo-se, de forma aleat´oria, um valor em um intervalo de valores previamente definido para cada tipo de informac¸˜ao do modelo (custo, capacidade etc.).

4.2. Cen ´arios dos testes

Foram realizados testes com instˆancias de trˆes diferentes proporc¸ ˜oes. Na Tabela 1, s˜ao apresentadas as caracter´ısticas de cada tipo de instˆancia.

Tipo de instˆancia Caracter´ısticas 9 roteadores mesh

1 roteador mesh com acesso `a Internet

p 10 clientes mesh

1 interface de rede

10 canais por interface de rede 25 roteadores mesh

2 roteadores mesh com acesso `a Internet

m 55 clientes mesh

2 interfaces de rede 15 canais por interface 64 roteadores mesh

4 roteadores mesh com acesso `a Internet

g 161 clientes mesh

4 interfaces de rede

20 canais por interface de rede

Tabela 1. Cen ´arios definidos para os testes computacionais

Para cada tipo p, m ou g, foram criadas instˆancias que variam alguma caracter´ıstica do modelo. Todas as variac¸ ˜oes consideradas est˜ao listadas na Tabela 2. O objetivo desta estrat´egia ´e avaliar o impacto de cada caracter´ıstica no modelo separadamente.

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Variac¸˜ao Descric¸˜ao

Custos de instalac¸˜ao dos roteadores mesh iguais e unit´arios; Custos dos enlaces entre n´os iguais e unit´arios;

A capacidade dos enlaces entre roteadores mesh variando entre 1 e 10 unidades de capacidade;

A capacidade dos enlaces entre roteadores e roteadores com acesso `a Internet podendo ser 1, 2 ou 3 vezes o n´umero de clientes;

A demanda de um cliente para um tipo de interface de rede variando 1 entre 1 e 3 unidades de demanda;

A energia dos clientes mesh igual a 100 unidades de energia;

A energia gasta na recepc¸˜ao de 1 unidade de demanda ´e igual a 1 unidade de energia;

A energia gasta na transmiss˜ao de 1 unidade de demanda variando entre 1 e 5 unidades de energia;

Cada cliente est´a no raio de comunicac¸˜ao de todos os roteadores mesh; Cada cliente est´a no raio de comunicac¸˜ao de todos os outros clientes mesh. 2 Igual a 1, mas com os custos de instalac¸˜ao dos roteadores mesh variando

entre 1 e 10 unidades de custo.

3 Igual a 1, mas com os custos dos enlaces entre roteadores mesh variando entre 1 e 10 unidades de custo.

4 Igual a 1, mas com os custos dos enlaces entre clientes e roteadores mesh variando entre 1 e 10 unidades de custo.

Igual a 1, mas com os custos dos enlaces entre clientes mesh variando entre 1 e 10 unidades de custo. Para instˆancias do tipo p, todos os roteadores 5 est˜ao no alcance de comunicac¸˜ao de cada cliente. Para instˆancias do tipo m e g,

10 e 20 clientes, respectivamente, n˜ao est˜ao no alcance de comunicac¸˜ao de nenhum roteador.

6 Igual a 1, mas com o n´umero de roteadores no alcance de comunicac¸˜ao de cada cliente sendo definido de forma aleat´oria;

7 Igual a 1, mas com o n´umero de clientes no alcance de comunicac¸˜ao de cada cliente sendo definido de forma aleat´oria;

8 Igual a 1, mas com a quantidade de energia de cada cliente mesh variando entre 1 e 100 unidades de energia.

9 Igual a 1, mas com a presenc¸a simultˆanea das variac¸ ˜oes 2-8.

(9)

Os valores dos parˆametros do modelo que aparecem na descric¸˜ao das variac¸ ˜oes das car-acter´ısticas das instˆancias foram escolhidos arbitrariamente em raz˜ao do desconhecimento de re-ferˆencias de valores reais. O objetivo dos testes especificados neste trabalho ´e validar o modelo proposto atrav´es da comparac¸˜ao do comportamento esperado (que pode ser obtido analiticamente) e do comportamento real observado durante a execuc¸˜ao dos testes.

4.3. Resultados e discuss˜ao

Os testes foram executados em m´aquinas com sistema operacional Linux (kernel 2.6), pro-cessador Intel Pentium 4 de 2.40 GHz, 1.0 GB de RAM.

As tabelas 3, 4 e 5 mostram a m´edia e, entre parˆentesis, o desvio padr˜ao da execuc¸˜ao de 5 instˆancias diferentes geradas para cada problema. A primeira coluna das tabelas cont´em o identificador do tipo da instˆancia, a segunda coluna cont´em o valor da func¸˜ao objetivo e a terceira coluna apresenta o gap de dualidade. Muitas t´ecnicas de otimizac¸˜ao utilizam o conceito de gap de dualidade para garantir que uma dada soluc¸˜ao encontrada ´e ´otima. Nestas t´ecnicas, a cada iterac¸˜ao do algoritmo, s˜ao encontradas duas soluc¸ ˜oes: uma soluc¸˜ao a partir da relaxac¸˜ao de algumas restric¸ ˜oes (limite inferior) e uma soluc¸˜ao vi´avel para o problema (limite superior). O valor da diferenc¸a entre o limite superior e o limite inferior dividido pelo limite superior corresponde ao percentual de gap. Quando os limites superior e inferior s˜ao iguais, ou seja, gap igual a zero, significa que a soluc¸˜ao encontrada ´e ´otima.

A quarta e quinta colunas das tabelas mostram, respectivamente, o n´umero de roteadores mesh instalados para o roteamento da demanda dos clientes e o n´umero de roteadores mesh com acesso `a Internet utilizados. Na sexta coluna, encontra-se o tempo m´edio de execuc¸˜ao do CPLEX. Em todos os testes realizados, o tempo de execuc¸˜ao do CPLEX foi limitado em 10 horas.

Instˆancia Func¸˜ao Gap Node Node roteadores Tempo objetivo (%) roteadores c/ acesso `a Internet (s)

p 1 12 (0) 0 (0) 1 (0) 1 (0) 0,03 (0) p 2 20 (1) 0 (0) 1 (0) 1 (0) 0,06 (0,01) p 3 14 (1) 0 (0) 1 (0) 1 (0) 0,03 (0) p 4 33 (3) 0 (0) 5 (1) 1 (0) 0,10 (0,03) p 5 12 (0) 0 (0) 1 (0) 1 (0) 0,03 (0,01) p 6 17 (0) 0 (0) 3 (0) 1 (0) 0,06 (0,02) p 7 12 (0) 0 (0) 1 (0) 1 (0) 0,07 (0,01) p 8 12 (1) 0 (0) 1 (0) 1 (0) 0,03 (0,01) p 9 78 (18) 0 (0) 3 (1) 1 (0) 0,16 (0,05)

Tabela 3. Resultados para as inst ˆancias do tipo p

Observando os dados da Tabela 3, ´e poss´ıvel verificar que o gap de dualidade para todas as instˆancias ´e igual a zero, ou seja, em todos os casos, a soluc¸˜ao encontrada ´e a soluc¸˜ao ´otima para o problema. O n´umero de roteadores mesh instalados foi pequeno, sendo que, para a maioria das instˆancias, apenas um roteador foi necess´ario para atender toda a demanda dos clientes. O n´umero de roteadores mesh com acesso `a Internet utilizados foi constante e igual a um. Este resultado j´a era esperado, uma vez que havia somente um roteador deste tipo dispon´ıvel. O tempo de execuc¸˜ao para as instˆancias do tipo p foi baixo, n˜ao sendo superior a 0,16 s.

Na Tabela 4, verifica-se que o gap de dualidade somente ´e diferente de zero para a instˆancia m 7. Neste caso, como a execuc¸˜ao do CPLEX terminou porque o tempo limite de 10 horas foi exce-dido, n˜ao ´e poss´ıvel afirmar se a soluc¸˜ao encontrada ´e a soluc¸˜ao ´otima para o problema. O n´umero de roteadores mesh instalados nas instˆancias do tipo m foi maior que o n´umero de roteadores

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insta-Instˆancia Func¸˜ao Gap Node Node roteadores Tempo

objetivo (%) roteadores c/ acesso `a Internet (s)

m 1 59 (0) 0 (0) 2 (0) 2 (1) 1,84 (1,01) m 2 62 (2) 0 (0) 2 (0) 2 (1) 1,17 (0,10) m 3 60 (2) 0 (0) 2 (0) 2 (1) 2,36 (1,20) m 4 98 (4) 0 (0) 11 (1) 2 (0) 62,08 (20,18) m 5 59 (1) 0 (0) 2 (0) 1 (1) 4.457,29 (3.463,67) m 6 65 (3) 0 (0) 4 (1) 2 (0) 135,27 (13,39) m 7 59 (0) 1,71 (0,03) 2 (0) 2 (1) 36000,07 (0,01) m 8 59 (0) 0 (0) 2 (0) 1 (1) 0,91 (0,12) m 9 243 (49) 0 (0) 7 (1) 2 (0) 2.398,43 (1.422,11)

Tabela 4. Resultados para as inst ˆancias do tipo m

lados nas instˆancias correspondentes do tipo p, em raz˜ao do aumento das proporc¸ ˜oes do problema. Todavia, a soluc¸˜ao para as instˆancias m 5 e m 8 utiliza somente um dos dois roteadores mesh com acesso `a Internet dispon´ıveis para este tipo de instˆancia. O tempo de execuc¸˜ao para as instˆancias do tipo m variou muito, partindo de alguns segundos e chegando at´e a 10 horas de processamento.

Instˆancia Func¸˜ao Gap Node Node roteadores Tempo

objetivo (%) roteadores c/ acesso `a Internet (s)

g 1 167 (0) 1,67 (0,15) 3 (0) 2 (1) 36.000,76 (0,47) g 2 170 (3) 0,99 (0,01) 3 (0) 2 (1) 3.949,02 (1.489,31) g 3 169 (2) 0,99 (0,02) 3 (0) 2 (1) 3.451,82 (2.803,00) g 4 221 (8) 0,85 (0,25) 18 (1) 4 (0) 9.116,19 (1.851,58) g 5 165 (0) 0,91 (0,01) 2 (0) 2 (0) 7.967,94 (770,27) g 6 171 (1) 2,57 (0,59) 5 (0) 3 (1) 36.000,27 (0,12) g 7 165 (0) 0,89 (0,03) 2 (0) 2 (1) 784,63 (157,83) g 8 168 (2) 0,67 (0,58) 3 (1) 2 (1) 3.847,49 (4.171,07) g 9 423 (12) 13,42 (2,81) 14 (1) 4 (0) 36.000,28 (0,12)

Tabela 5. Resultados para as inst ˆancias do tipo g

Observa-se, na Tabela 5, que o gap de dualidade ´e maior que zero para todas as instˆancias. Entretanto, ocorreram duas situac¸ ˜oes diferentes nos testes. Para as instˆancias g 1, g 6 e g 9, o tempo de execuc¸˜ao excedeu o tempo limite previamente definido e, assim, n˜ao ´e poss´ıvel afirmar se a soluc¸˜ao encontrada ´e ´otima. Para o restante das instˆancias, o tempo de execuc¸˜ao n˜ao excedeu o tempo limite, sendo a soluc¸˜ao encontrada ´otima e o gap de dualidade diferente de zero. Isto mostra que o m´etodo de soluc¸˜ao do CPLEX consegue determinar que a soluc¸˜ao encontrada em uma iterac¸˜ao, para um problema de programac¸˜ao inteira, ´e ´otima, mesmo o gap encontrado na iterac¸˜ao sendo diferente de zero. Considerando o n´umero de roteadores mesh instalados, as instˆancias do tipo g possuem um valor igual ou maior que as instˆancias correspondentes do tipo m. Al´em disso, na maioria das soluc¸ ˜oes, somente dois dos quatro roteadores mesh com acesso `a Internet dispon´ıveis foram utilizados. A variac¸˜ao do tempo de execuc¸˜ao do CPLEX para as instˆancias do tipo g foi menor se comparada com a variac¸˜ao dos tempos de execuc¸˜ao das instˆancias do tipo m. Para a maioria das instˆancias do tipo g, o tempo de execuc¸˜ao esteve entre 1 e 3 horas.

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Analisando as tabelas 3, 4, 5, ´e poss´ıvel verificar que o valor da func¸˜ao objetivo aumenta com o crescimento das proporc¸ ˜oes das instˆancias do problema. Este fato ocorre porque o valor da func¸˜ao objetivo ´e obtido somando-se os custos de instalac¸˜ao dos roteadores mesh escolhidos e os custos dos enlaces utilizados no roteamento da demanda entre os clientes e os roteadores mesh com acesso `a Internet, e as instˆancias do tipo p possuem o menor n´umero de clientes e roteadores instal-ados, enquanto as instˆancias do tipo g s˜ao as que possuem o maior n´umero de clientes e roteadores instalados. O tempo de execuc¸˜ao tamb´em aumenta das instˆancias do tipo p para as instˆancias do tipo m e destas para as instˆancias do tipo g. ´E interessante notar que, para as instˆancias correspondentes entre os tipos p, m e g (exemplo: p 1, m 1 e g 1), o tempo de execuc¸˜ao aumenta consideravelmente com o aumento do n´umero de clientes e locais candidatos para a instalac¸˜ao de roteadores mesh, ev-idenciando que o planejamento de redes mesh sem fio ´e um problema computacionalmente dif´ıcil. E ainda que, provavelmente, n˜ao seja conhecido um algoritmo determin´ıstico polinomial para o problema.

Para algumas instˆancias, a exemplo a instˆancia g 8, observa-se que o valor do desvio padr˜ao encontrado para o tempo de execuc¸˜ao e o gap de dualidade ´e alto se comparado ao valor m´edio obtido para estas medidas. Isto ocorre devido ao car´ater aleat´orio dos problemas gerados. Dessa forma, para um mesmo tipo de problema, algumas instˆancias podem ser mais f´aceis de serem re-solvidas do que outras.

Para a maioria das instˆancias, o desvio padr˜ao obtido para o n´umero de roteadores mesh instalados ´e igual a zero. Isto significa que, para as cinco instˆancias geradas para cada tipo de problema, foi instalado o mesmo n´umero de roteadores mesh. Assim, pode-se concluir que h´a um n´umero ideal de roteadores mesh a ser instalado para cada tipo de instˆancia considerada.

Analisando em conjunto as tabelas 3, 4, 5, nota-se que, para todos os tipos de instˆancia (p, m e g), as variac¸ ˜oes 2 e 3 diferem da variac¸˜ao 1 com relac¸˜ao ao valor da func¸˜ao objetivo, a justificativa ´e que trata-se do mesmo problema, entretanto, nas variac¸ ˜oes 2 e 3, o custo de instalac¸˜ao dos roteadores e o custo dos enlaces entre roteadores mesh varia entre 1 e 10 unidades de custo.

As instˆancias da variac¸˜ao 4 apresentam um n´umero de roteadores mesh instalados bem elevado, isto ocorre porque os custos dos enlaces entre clientes e roteadores mesh variam entre 1 e 10 unidades de custo e isto faz com que a demanda de cada cliente seja atendida pelo roteador mesh cujo enlace de comunicac¸˜ao entre eles seja o de menor custo, aumentando assim o n´umero de roteadores instalados.

O valor da func¸˜ao objetivo e o n´umero de roteadores mesh instalados para as instˆancias da variac¸˜ao 5 s˜ao menores ou iguais aos valores para as instˆancias da variac¸˜ao 1 porque, neste caso, alguns clientes n˜ao est˜ao no alcance de comunicac¸˜ao de nenhum roteador mesh e as demandas destes clientes s˜ao atendidas pelos clientes que est˜ao no alcance de comunicac¸˜ao de pelo menos um roteador mesh. Por esta raz˜ao, h´a um agrupamento da demanda de alguns clientes e ocorre economia de escala.

As instˆancias da variac¸˜ao 6 possuem um valor de func¸˜ao objetivo e um n´umero de roteadores mesh instalados maior que as instˆancias da variac¸˜ao 1. Este fato ocorre porque os roteadores que podem atender a demanda de um dado cliente s˜ao escolhidos aleatoriamente, isto faz com que se tenha que instalar um determinado conjunto de roteadores para que toda a demanda dos clientes seja atendida. J´a para as instˆancias da variac¸˜ao 7, os clientes que podem atender a demanda de outros clientes tamb´em s˜ao escolhidos aleatoriamente, entretanto, neste caso, o valor da func¸˜ao ob-jetivo e o n´umero de roteadores mesh instalados s˜ao menores ou iguais aos valores das instˆancias da variac¸˜ao 1 por causa do agrupamento de demanda e, conseq¨uente, economia de escala.

A variac¸˜ao da quantidade de energia de cada cliente (p 8, m 8, g 8) n˜ao impactou signi-ficativamente no valor da func¸˜ao objetivo e no n´umero de roteadores instalados.

As instˆancias da variac¸˜ao 9 re´unem todas as caracter´ısticas das variac¸ ˜oes 2 a 8 e possuem os maiores valores para a func¸˜ao objetivo. Al´em disso, utilizam todos os roteadores com acesso `a

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Internet dispon´ıveis e apresentam o segundo maior valor para o n´umero de roteadores mesh instal-ados.

5. Conclus˜ao e trabalhos futuros

Neste trabalho, foi abordado o problema est´atico de planejamento de redes mesh sem fio. Um modelo matem´atico para o problema foi apresentado, bem como os resultados dos testes real-izados considerando diferentes cen´arios.

Os resultados obtidos mostram que a complexidade do problema ´e consideravelmente in-crementada com um pequeno aumento das dimens˜oes do problema. Como exemplo, enquanto o n´umero de clientes passou de 55 para 161 (2,93 vezes maior) e o n´umero de locais candidatos para instalac¸˜ao dos roteadores mesh passou de 25 para 64 (2,56 vezes maior) da instˆancia m 9 para a instˆancia g 9, o tempo de execuc¸˜ao do CPLEX foi de 2.398,43 s para 36.000, 28 s (aproximada-mente, 15 vezes maior), mesmo assim sem encontrar a soluc¸˜ao ´otima para a instˆancia g 9 dentro do tempo limite de execuc¸˜ao estipulado. Dessa forma, dependendo das dimens˜oes da rede mesh, torna-se necess´aria a utilizac¸˜ao de heur´ısticas para determinar o roteamento da demanda entre os clientes e os roteadores mesh com acesso `a Internet. Um trabalho futuro ´e definir boas heur´ısticas para o problema de planejamento de redes mesh sem fio.

H´a v´arios outros aspectos relacionados com redes mesh que n˜ao foram considerados neste trabalho e que precisam ser tratados. Como exemplo, ´e interessante investigar o impacto da mobil-idade nas redes mesh, al´em de modelos de interferˆencia e requisitos de qualmobil-idade de servic¸o para estas redes. Assim, outro trabalho futuro ´e abordar aspectos dinˆamicos do problema utilizando simulac¸˜ao.

Referˆencias

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Referências

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