Teoria Macroeconómica - Aula 7

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Teoria Macroeconómica - Aula 7

1 Modelo de Ramsey-Cass-Koopmans

1.1 Problema do Consumidor

• (Fundamentos Microeconómicos da Macroeconomia)

• Tipicamente: contexto estático - 1 período apenas.

• Contexto mais geral: contexto dinâmico - vários períodos.

• Para um consumidor que viva mais do que um período os seus proble- mas de consumo estão ligados intertemporalmente, pois o que consome hoje determina o que poupa hoje e por conseguinte as suas possibili- dades de consumo amanhã.

• Problema típico, num contexto determinístico / sem incerteza, em tempo discreto:

max

{ct}^∞t=0

U0 = X∞

t=0

( 1

1 +ρ)^tu(ct) =

= u(c0) + 1

1 +ρu(c1) + ( 1

1 +ρ)²u(c2) +...

sujeito a :

at+1 = (1 +r)(at+wt−ct) em que:

U0 utilidade ao longo da vida ρ taxa de preferência temporal

c consumo do período (fluxo e ”control variable”) u(c)utilidade do período dado o consumo c a riqueza (stock ou ”state variable”)

r taxa de juro

w rendimento do período

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• No óptimo prevalece a impossibilidade de arbitragem / ganho imediato.

Assim, as condições de primeira ordem (condições necessárias para o óptimo) satisfazem a seguinte sequência de Equações de Euler (que podem ser derivadas de forma heurística e não formal pelo método da perturbação):

u⁰(ct)

| {z }

Cmg

= 1 +r

1 +ρu⁰(ct+1)

| {z }

Bmg

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• No equilíbrio não se deseja alterar a decisão. Assim, no equilíbrio temos:

Custo Marginal = Benefício Marginal

caso contrário há que alterar a decisão, pelo que não é equilíbrio.

• A variável a decidir é o consumo, período após período.

• Se consumir menos uma unidade hoje a função objectivo diminui pela utilidade marginal do consumo (recorda-se que a utilidade marginal é a variação na utilidade total quando se varia o consumo em uma unidade). Assim, o Cmg de consumir menos uma unidade hoje é u⁰(ct) em termos de utilidade (ou utils). Quando consumo menos uma unidade hoje, passo a poupar mais uma unidade hoje, o que me rende (1 +r) unidades de consumo amanhã, pois posso obter juros sobre a minha poupança. Por conseguinte, o benefício de consumir menos uma unidade hoje é consumir mais (1 +r)unidades de consumo amanhã, o que vale(1 +r)u⁰(ct+1) em termos de utilidade (ou utils). No entanto, este benefíco só ocorre amanhã enquanto o custo ocorre hoje, pelo que para poder comparar o benefício com o custo tenho que descontar o benefício uma vez.

• Propriedades da função utilidade:

u⁰ > 0 u⁰⁰ < 0

• Exemplo: CRRA:

u(c) = c¹⁻^θ−1

1−θ (2)

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em que θ é o coeficiente de aversão ao risco relativo:^1,2 θ =−u⁰⁰c

u⁰

• Utilizando a forma funcional assumida para a função consumo, podemos concretizar a Equação de Euler (usando (2) em (1)temos que):³

c⁻_t^θ = 1 +r 1 +ρc⁻_t+1^θ (ct+1

ct

)^θ = 1 +r 1 +ρ θln(1 +gc) = ln(1 +r

1 +ρ)

θln(1 +gc) = ln(1 +r)−ln(1 +ρ) mas como ln(1 +x)≈x para x”pequeno”, temos:

θgc=r−ρ

o que nos dá a seguinte expressão para a taxa de crescimento do consumo per capita:

gc= 1

θ(r−ρ) (3)

1Note que:

u⁰ = c⁻^θ u⁰⁰ = −θc⁻^θ⁻¹

2Pela regra de L´Hôpital podemos demonstrar que:

θlim→1

c¹⁻^θ−1 1−θ = lnc

3A taxa de crescimento do consumo está relacionada com ^c^t+1_c

t da seguinte forma:

gc = ct+1−ct

c_t gc = ct+1

c_t −1 ct+1

c_t = 1 +gc

Note que em equilíbrio a taxa de crescimento do consumo será constante.

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• Assim, temos que o sinal (positivo, negativo ou zero) da evolução do consumo dependerá da comparação entre r (o modo / taxa como o mercado premeia a poupança) e ρ (o modo / taxa como o consumidor penaliza o adiar o consumo / o aumentar a poupança):

r > ρ=⇒gc>0⇐⇒ct+1 > ct

r = ρ=⇒gc= 0 ⇐⇒ct+1 =ct

r < ρ=⇒gc<0⇐⇒ct+1 < ct

• Note que para uma dada diferença entre r e ρ, gc será tanto maior em (valor absoluto) quanto menor for θ (o coeficiente de aversão ao risco relativo). Intuitivamente, quanto maior for a aversão ao risco, menos se aprecia fluctuações no consumo / mais se aprecia a ”estabilidade”.

No limite, a aversão ao risco será infinita θ −→ ∞, e o consumidor, neste caso, terá gc = 0, ou estabilidade máxima, independentemente do valor de(r−ρ).

• Resolução Formal do Problema do Consumidor (incompleto):

{maxc(t)}^∞0

U0 = Z _∞

0

e⁻^ρtu(c(t))dt sujeito a :

da

dt = ra+ (w−c)

• Para resolvermos este problema de optimização é conveniente trabal- harmos a partir da função auxiliar Hamiltoneano:

J = e⁻^ρtu(c(t))

| {z }

função objectivo instântena

+ |{z}λ

mulitplicador

∗[ ra+ (w−c)

| {z }

restrição orçamental

] (4)

• O multiplicador / ”shadow value” dá-nos o impacto na nossa função objectivo de se aliviar a restrição marginalmente / de se ter mais uma unidade de riqueza. É o preço da state variable. As condições de primeira ordem são as seguintes:

dJ

dc = 0 ⇐⇒e⁻^ρtu⁰(c)−λ= 0⇐⇒e⁻^ρtu⁰(c) =λ (5) dλ

dt =−dJ

da ⇐⇒λ^. =−rλ⇐⇒

.

λ

λ =−r (6)

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• Podemos aplicar os logaritmos e derivar em ordem ao tempo (5):

e⁻^ρtu⁰(c) = λ⇐⇒lne⁻^ρt+ lnu⁰(c) = lnλ

⇐⇒ −ρ+ u⁰⁰∗c^. u⁰ =

.

λ

λ ⇐⇒ −ρ+u⁰⁰∗c^. u⁰ =−r

⇐⇒ −ρ+ u⁰⁰∗c u⁰

c.

c =

.

λ

λ ⇐⇒ −ρ+ u⁰⁰∗c

u⁰ gc=−r

⇐⇒ gc= ( 1

−u⁰⁰∗c u⁰

)(r−ρ)

• O termo(⁻^u_u⁰⁰₀^∗^c)dependerá da forma funcional assumida para a função instântena de utilidade. No caso de CRRA temos que ⁻^u_u⁰⁰₀^∗^c =θ comθ como o parâmetro/constante de aversão relativa ao risco.

• No caso do modelo de Ramsey-Cass-Koopman (ver hipóteses no Cap.

2 do Romer), temos crescimento da população e um n.^o constante de famílias, que enfretam o seguinte problema:

max

{c(t)}^∞0

U = Z _∞

t=0

e⁻^ρtu(C(t))L(t)

H dt ⇔ max

{c(t)}^∞0

U = Z _∞

t=0

e⁻

ρ0

z }| {

(ρ−n)^tu(C(t))dt

C(t) é o consumo por membro da família H n.^o de famílias

u(C(t)) = C(t)¹⁻^θ−1

1−θ , θ >0, ρ−n−(1−θ)g >0

• Condição de transversalidade:

slim→∞e⁻^R(s)K(s)

H ≥0, R(s) =e⁻^U⁰^s^r(t)dt

o que elimina a possibilidade de Ponzi-schemes (esquemas em pirâmide).

De notar que esta equação acima está relacionada com a imposição que o valor actual dos rendimentos ao longo da vida mais a riqueza inicial não é inferior ao valor actual dos consumos ao longo da vida.

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• No óptimo, temos: _. C(t)

C(t) = r(t)−ρ

θ (7)

• O consumo por unidade efectiva de trabalho é dado por:

c(t) = C(t)/A(t) =⇒ c(t).

c(t) =

.

C(t) C(t) −

.

A(t) A(t) c(t).

c(t) = r(t)−ρ

θ −g

c(t).

c(t) = r(t)−ρ−θg

θ (8)

• Assumimos mercados perfeitos e depreciação nula:

f⁰(k(t)) =r(t) (9)

• Assim, podemos escrever a equação que governa o crescimento do consumo por unidade efectiva de trabalho da seguinte forma (substituir (9) em (8)):

c(t).

c(t) = f⁰(k(t))−ρ−θg θ

• Note que:

f⁰(k(t)) = ρ+θg ⇐⇒

c(t).

c(t) = 0 f⁰(k(t)) > ρ+θg ⇐⇒

c(t).

c(t) >0 f⁰(k(t)) < ρ+θg ⇐⇒

c(t).

c(t) <0

Podemos definirk^∗ como ok que satisfaz a seguinte condição:

f⁰(k^∗) =ρ+θg

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Por construção, temos que gc= 0 quando k =k^∗. Como f⁰⁰ <0 temos que:

k = k^∗ =⇒gc= 0 k > k^∗ =⇒gc<0 k < k^∗ =⇒gc>0

• A Figure 2.1 do Romer é o diagrama de fase, que sintetiza a dinâmica de c:

(8)

(9)

• A dinâmica do k(t)é dada pela seguinte expressão:

.

k(t) =f(k(t))−c(t)

| {z }

i(t)=s(t)

−(n+d+g)k(t) (10)

• Podemos resolver (10) de modo a quantificar o c(t) que para um dado k(t) mantém k(t) constante (

.

k(t) = 0 =⇒ c(t) = f(k(t))−(n+d+ g)k(t)). O resultado está na Figure 2.2 (phase diagram dek(t)).

• A seguintefigura sumaria a informação das duasfiguras anteriores num só diagrama de fase.

• A evolução das variáveis de interessse - c(t) e k(t) - é ilustrada na seguinte figura. Há que ter em atenção que num dado momento k é pre-determinado (state variable) mas c não é, pelo que se ajusta de modo a que a economia siga o caminho óptimo.

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• Note que no equilíbrio o consumo não é máximo:

Equilíbrio c(t).

c(t) = f⁰(k(t))−ρ−θg θ

c(t).

c(t) = 0⇒f⁰(k^Eq.) =ρ+θg Golden Rule (c máximo) f⁰(k^GR) = n+g

Como temos:

ρ−n−(1−θ)g >0⇐⇒ρ+θg > n+g =⇒k^E < k^GR

Intuitivamente, atingir o k^GR implica um sacrífico que não é compen- sado, pois os consumidores descontam o futuro.

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• A solução descentraliza do modelo de Ramsey-Cass-Koopmans é first- best, no sentido do primeiro teorema de bem-estar: não é possível, a partir do equilíbrio descentralizado, o social-planner promover uma alteração Pareto-eficiente. Intuitivamente, não existem falhas de mercado.

• Podemos utilizar este tipo defiguras para analisar o impacto de alter- ações em parâmetros que descrevem a economia.

• A seguinte figura descreve o impacto de, subitamente e para o todo o sempre, os consumidores descontarem menos lentamente os períodos futuros (mais pacientes...):

• Podemos introduzir o estado na economia da seguinte forma. O estado arrecada receitas para fazer despesas que nem contribuem para a utilidade nem para a produção. Assumimos que todos os períodos o estado mantém o saldo orçamental equilibrado, pelo que a poupança por unidade efectiva de trabalho será agora f−c−G, o que influencia, por sua vez, a acumulação de capital (10):

.

k(t) = [f(k(t))−G(t)]

| {z }

rendimento disponível (G=T)

−c(t)−(n+d+g)k(t)

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• De seguida ilustramos o impacto duma subida permanente, não antecipada do nível dos gastos.

• De notar que como os agentes são racionais e forward-looking, há que distinguir entre alterações antecipadas e alterações não antecipadas.

Por definição de alteração não antecipada, os agentes só reagem quando a alteração efectivamente acontece. No entanto, se a alteração for antecipada os agentes podem reagir à mesma quando souberem que ela ocorrerá, mesmo antes da data em que ocorra a alteração efectiva. Há que destinguir, ainda, entre alterações transitórias e permamentes.

• Caso o aumento dos gastos seja transitório, temos o seguinte efeito em c ek:

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