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Open Formas gerais do Teorema da Dominação de Pietsch

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Academic year: 2018

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(1)

Centro de Ciˆencias Exatas e da Natureza

Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica

Curso de Mestrado em Matem´atica

Formas Gerais do Teorema da Domina¸c˜ao de

Pietsch

Luiz Ancelmo Dias Gomes

(2)

Centro de Ciˆencias Exatas e da Natureza

Programa de P´os-Gradu¸c˜ao em Matem´atica

Curso de Mestrado em Matem´atica

Formas Gerais do Teorema da

Domina¸c˜

ao de Pietsch

por

Luiz Ancelmo Dias Gomes

sob orienta¸c˜ao do

Prof. Dr. Joedson Silva dos Santos

(3)

G633f Gomes, Luiz Ancelmo Dias.

Formas gerais do Teorema da Dominação de Pietsch / Luiz Ancelmo Dias Gomes.- João Pessoa, 2016.

57f.

Orientador: Joedson Silva dos Santos Dissertação (Mestrado) - UFPB/CCEN

1. Matemática. 2. Operadores absolutamente somantes. 3. Teorema da Dominação de Pietsch. 4. Espaços de Banach.

(4)
(5)

`

(6)

Agradecimentos

Agrade¸co a Deus por todos os milagres realizados em minha vida. Aos meus pais, Jos´e Ancelmo Pereira Gomes e Maria Dagra¸ca Dias Gomes pelos ensinamentos e sacrif´ıcios desde que nasci. A todos os parentes e amigos, que de uma maneira ou de outra me ajudaram a realizar esta conquista.

Agrade¸co ao meu orientador Joedson Silva dos Santos, por confiar em meu potencial desde a minha gradua¸c˜ao, pela sua competˆencia e prestatividade como orientador e pela amizade verdadeira. Agrade¸co tamb´em sua esposa Jo´ılma pela receptividade e hospitalidade sempre que precisei ir a sua casa.

A todos os professores que tive o privil´egio de conhecer na UFS e UFPB, em especial, Adecarlos Costa Carvalho, Alan Almeida Santos, Arl´ucio da Cruz Viana, Cleto Brasileiro Miranda Neto, ´Eder Mateus de Souza, Everaldo Souto de Medeiros, Flank David Morais Bezerra, Marta ´Elid Amorim Mateus, Pedro Antonio G´omez Venegas e Uberlandio Batista Severo. A banca examinadora Diogo Diniz Pereira da Silva e Silva e Jamilson Ramos Campos.

(7)

Neste trabalho estudamos uma vers˜ao geral do Teorema da Domina¸c˜ao de Pietsch, devido a Pellegrino, Santos e Seoane-Sep´ulveda, que melhora a vers˜ao unificada presente em [3] e recupera conhecidos teoremas de domina¸c˜ao do tipo Pietsch onde a abordagem unificada parece n˜ao funcionar.

Palavras-Chave:

(8)

Abstract

In this work we study a general version of the Pietsch Domination Theorem, due to Pellegrino, Santos and Seoane-Sep´ulveda, that improves the unified version present in [3] and recovers known Pietsch Domination-type theorems where the unified approach seems not to work.

Key-Words:

(9)

1 Operadores Lineares Absolutamente Somantes 1

1.1 Resultados Preliminares . . . 1

1.2 Ideais de Operadores Lineares . . . 14

1.3 O Teorema da Domina¸c˜ao de Piesch . . . 17

2 Vers˜oes Abstratas do Teorema da Domina¸c˜ao de Pietsch 22 2.1 O Teorema da Domina¸c˜ao de Pietsch Unificado (TDPU) . . . 22

2.1.1 Aplica¸c˜oes Lineares p-somantes . . . 23

2.1.2 Aplica¸c˜oes Lipschitzτ(p)-somantes . . . 23

2.1.3 Aplica¸c˜oes Multilinearesp-dominadas . . . 24

2.1.4 Aplica¸c˜oes Multilineares (q1, . . . , qn)-dominadas . . . 25

2.2 O Teorema da Domina¸c˜ao de Pietsch Generalizado (TDPG) . . . 26

2.3 Melhoramento do Teorema da Domina¸c˜ao de Pietsch Unificado . . . 34

3 Aplica¸c˜oes do TDPG e do TDPU 39 3.1 Aplica¸c˜oes multilineares (q1, . . . , qn)-dominadas . . . 39

3.2 Aplica¸c˜oes Lipschitz (p, r, s)-somantes . . . 41

3.3 Aplica¸c˜oes Lipschitz-Cohen fortemente p-somantes . . . 45

3.4 Aplica¸c˜oes Lipschitz τ(p)-somantes . . . 47

(10)

Introdu¸c˜

ao

Dizemos que uma sequˆencia (xn)∞n=1 em um espa¸co normadoX ´eincondicionalmente

som´avel quando a s´erie P∞n=1(n) converge para toda permuta¸c˜ao σ : N −→ N. Se a

s´erie P∞n=1kxnk converge, dizemos que a sequˆencia (xn)∞n=1 ´e absolutamente som´avel.

Ocorre que no conjunto dos n´umeros reais, as sequˆencias incondicionalmente som´aveis s˜ao exatamente as absolutamente som´aveis, esse resultado deve-se a Dirichlet. O mesmo vale em espa¸cos de dimens˜ao finita. Na verdade, em espa¸cos vetoriais normados esses conceitos servem para caracterizar espa¸cos de Banach, a saber: um espa¸co vetorial normado X

´e Banach se, e somente se, toda sequˆencia absolutamente som´avel ´e incondicionalmente som´avel. Por outro lado, em qualquer espa¸co de Banach de dimens˜ao infinita, existe uma sequˆencia incondicionalmente som´avel que n˜ao ´e absolutamente som´avel (veja o Teorema de Dvoretzky-Rogers em [6]). Ent˜ao, ´e natural pensarmos em operadores entre espa¸cos de Banach de dimens˜ao infinita que levam sequˆencias incondicionalmente som´aveis em sequˆencias absolutamente som´aveis. Diante desta situa¸c˜ao, Alexander Grothendieck, nos anos 50, abriu as portas da teoria dos operadores absolutamente somantes.

(11)
(12)

Estrutura dos T´

opicos Apresentados

O cap´ıtulo 1, foi escrito para fornecer uma discreta introdu¸c˜ao ao assunto. Nele apresentaremos alguns dos principais resultados necess´arios para um estudo da teoria linear de operadores absolutamente somantes, dentre eles o Teorema da Domina¸c˜ao de Pietsch.

No cap´ıtulo 2, trataremos da vers˜oes unificada e generalizada do Teorema da Domina¸c˜ao de Pietsch. Embora a vers˜ao unificada pare¸ca ser inoperante em alguns casos ela ´e muito aplicada e, por isso, vamos mostrar um significante melhoramento dessa abordagem unificada.

O cap´ıtulo 3 tratar´a de algumas aplica¸c˜oes do TDPG e do TDPU. Veremos que a vers˜ao generalizada recupera o teorema da domina¸c˜ao de Pietsch para o caso das aplica¸c˜oes multilineares (q1, . . . , qn)-dominadas [8], das aplica¸c˜oes Lipschitz (p, r, s)-somantes [5] e das

aplica¸c˜oes Lipschitz-Cohen fortemente p-somantes [18]. Veremos tamb´em uma recente aplica¸c˜ao da vers˜ao unificada do teorema da domina¸c˜ao de Pietsch para a classe das aplica¸c˜oes Lipschitz τ(p)-somantes [12].

(13)

• Exceto quando mencionado o contr´ario, X, X1, . . . , Xn, Y e H denotar˜ao espa¸cos de

Banach;

• Por K denotaremos o corpo dos n´umeros reais R ou o corpo dos n´umeros complexos

C. Fica convencionado que todo espa¸co vetorial ser´a munido do corpo de escalaresK;

• SendoX um espa¸co vetorial normado, indicaremos pork · kX a norma definida emX. Quando n˜ao houver ambiguidade, denotamos simplesmente pork · k;

• O espa¸co dos operadores lineares limitados de X em Y ser´a expresso por L(X;Y). QuandoY =K, escrevemosL(X;K) =Xe chamaremos dedual topol´ogico de X;

• Os elementos de Xser˜ao representados por x, y, a, etc. Denotaremos: x(y) :=

hx, yi;

• Indicaremos por BX a bola fechada unit´aria deX;

• Se 1< p <∞, denotamos porpoexpoente conjugadodep, ou seja, 1/p+1/p= 1;

• Sendo 1≤p <∞, simbolizamos por ℓp o espa¸co das sequˆencias (xn)∞n=1 em K tal que

a s´erie P∞n=1|xn|p converge;

• Dado um conjunto A, a fun¸c˜ao identicamente igual a 1 em A ser´a denotada por 1A.

(14)

Chapter 1

Operadores Lineares Absolutamente

Somantes

1.1

Resultados Preliminares

Veremos nesta se¸c˜ao alguns dos principais resultados da teoria linear dos operadores absolutamente somantes.

Defini¸c˜ao 1.1.1 Sejam 1≤p <∞e X um espa¸co de Banach. Uma sequˆencia (xn)∞n=1 em

X ´efortemente p-som´avelse a s´erie P∞n=1kxnkp converge.

Denotaremos por ℓp(X) o conjunto de todas as sequˆencias fortemente p-som´aveis em

X. Se 1≤p <∞, definimos a seguinte norma em ℓp(X):

k(xn)∞n=1kp :=

X

n=1

kxnkp

!1/p

.

Para p=∞, definimos

∞(X) :=

(

(xn)∞n=1 ∈XN ; sup

n∈N

kxnk<

)

com a norma

k(xn)∞n=1k∞:= sup

n∈N

kxnk.

Pode-se mostrar de forma similar ao caso escalar que, se 1≤p≤ ∞, ent˜ao (ℓp(X),k · kp)

´e um espa¸co de Banach. Al´em disso, sepq, ent˜ao ℓp(X)⊂ℓq(X).

Defini¸c˜ao 1.1.2 Sejam 1≤p <∞e X um espa¸co de Banach. Uma sequˆencia (xn)∞n=1 em

X ´e fracamente p-som´avel se para todo x Xa s´erie P∞

n=1|hx, xni|p converge. Ou

seja, para todo xX, a sequˆencia (hx, x

(15)

Denotaremos por ℓp,w(X) o conjunto das sequˆencias fracamente p-som´aveis em X. Se

1≤p <∞, definimos uma norma para ℓp,w(X) como sendo

k(xn)∞n=1kp,w := sup xB

X

X

n=1

|hx, xn)i|p

!1/p

.

Sep=∞, definimos

,w(X) :=

(

(xn)∞n=1 ∈X

N

; sup

n∈N

|hx, xni|<, para todo x∗ ∈X

)

com a norma

k(xn)∞n=1k∞,w := sup xB

X

k(hx, xni)∞n=1k∞.

´

E conhecido que, se 1≤ p ≤ ∞, ent˜ao (ℓp,w(X),k · kp,w) ´e um espa¸co de Banach (veja

[19, Proposi¸c˜ao 2.3.4]).

Observa¸c˜ao 1.1.3 Quandop=∞temos ℓw,∞(X) =∞(X). Com efeito,

k(xn)∞n=1k∞= sup

n∈N

kxnk

= sup

n∈N

sup

xB

X

|hx, xni|

= sup

xB

X

sup

n∈N

|hx, xni|

= sup

xB

X

k(hx, xni)∞n=1k∞

=k(xn)∞n=1k∞,w. (1.1)

Observa¸c˜ao 1.1.4 Seu:X −→Y ´e um operador linear limitado, ent˜ao as aplica¸c˜oes b

us :ℓp(X)−→ℓp(Y) ; (xn)∞n=1 7→(uxn)∞n=1

e

b

uw :ℓp,w(X)−→ℓp,w(Y) ; (xn)∞n=1 7→(uxn)∞n=1

s˜ao operadores lineares limitados tais que kbusk=kbuwk=kuk. Com efeito, fica claro queubw

´e linear. Al´em disso,

kbuwk= sup

(xn)∞n=1Bℓp,w(X)

kubw((xn)∞n=1)kp,w

= sup

(xn)∞n=1Bℓp,w(X)

sup

yB

Y

X

n=1

|hy, uxni|p

(16)

=kuk sup

(xn)∞n=1∈Bℓp,w(X)

sup

yB

Y

ky∗k

X

n=1

|hy, ux

ni|p

kykkuk

!1/p

≤ kuk sup

(xn)∞n=1Bℓp,w(X)

sup

xB

X

X

n=1

|hx, xni|p

!1/p

=kuk sup

(xn)∞n=1∈Bℓp,w(X)

k(xn)∞n=1kp,w

=kuk. (1.2)

Com isso, tamb´em fica claro que ubw est´a bem definida.

Por outro lado, dadoxBX, vemos que (xn)∞n=1 = (x,0,0, . . .)∈Bℓp,w(X). Logo

kuk ≤ sup

kxk≤1

kuxk

= sup

k(x,0,0,...)kp,w≤1

kbuw((xn)∞n=1)kp,w

≤ kubwk. (1.3)

Analogamente, mostra-se que kbusk=kuk.

Observa¸c˜ao 1.1.5 ℓp(X)⊂ℓp,w(X). De fato, se x= (xn)∞n=1 ∈ℓp(X), ent˜ao

sup

xB

X

X

n=1

|hx, x

ni|p

!1/p

≤ sup

xB

X

X

n=1

kxkp

kxnkp

!1/p

X

n=1

kxnkp

!1/p

<. (1.4)

A inclus˜ao da observa¸c˜ao acima ´e sempre estrita quando X tem dimens˜ao infinita (veja [6, Teorema 10.5]).

Seja 1≤p < ∞, defina

ℓp,u(X) :=

(xj)∞j=1 ∈ℓp,w(X) ; limn→∞k(xj)∞j=nkp,w = 0

.

Tal conjunto ´e um subespa¸co fechado deℓp,w(X) (veja [19, Proposi¸c˜ao 2.3.6]) e nos auxiliar´a

em alguns resultados importantes no decorrer do texto.

Em virtude das Observa¸c˜oes 1.1.4 e 1.1.5, vemos que todo operador linear limitado

u :X −→Y induz um operador limitado u: ℓp(X)−→ ℓp,w(Y), onde u(xn)∞n=1 = (uxn)∞n=1

que leva sequˆencias fortemente p-som´aveis de X `a sequˆencias fracamente p-som´aveis de

Y. Em geral, n˜ao ´e qualquer operador linear limitado u que induz a correspondˆencia (xn)∞n=1 7→ (uxn)∞n=1 a levar sequˆencias fracamente p-som´aveis em sequˆencias fortemente

(17)

Exemplo 1.1.6 Seja X um espa¸co de Banach com dimens˜ao infinita e id : X −→ X a identidade em X. Por [6, Teorema 10.5], existe uma sequˆencia (yn)∞n=1 ∈ ℓp,w(X)\ℓp(X).

Assim,

c

id:ℓp,w(X)−→ℓp(X) ; cid((xn)∞n=1) = (id(xn))n∞=1 = (xn)∞n=1

n˜ao pode ser definida.

Lema 1.1.7 Se (λn)∞n=1 ´e uma sequˆencia de escalares tal que |

P

nMλn| ≤ 1 para todo

conjunto finito M ⊂N, ent˜ao P∞n=1|λn| ≤4.

Demonstra¸c˜ao. Observe que dado k ∈N,

k

X

n=1

|λn| ≤ k

X

n=1

|Re(λn)|+ k

X

n=1

|Im(λn)|

= X

nMRe+

Re(λn) +

X

nMRe

(−Re(λn)) +

X

nMIm+

Im(λn) +

X

nMIm

(−Im(λn))

onde

MRe+ ={n∈ {1, . . . , k} ; Re(λn)≥0},

MRe− ={n∈ {1, . . . , k} ; Re(λn)<0},

MIm+ ={n∈ {1, . . . , k} ; Im(λn)≥0}

e

MIm− ={n∈ {1, . . . , k} ; Im(λn)<0}.

Por hip´otese, tem-se que |PnMλn| ≤ 1, para todo M ⊂ N finito. Assim tomando

M =MRe+ temos

X

nMRe+

Re(λn)

≤1.

AnalogamentePnMReRe(λn)

, PnMIm+ Re(λn)

, PnMImRe(λn)

≤1. LogoPkn=1|λn| ≤

4, para todok ∈N. Portanto P∞

n=1|λn| ≤4.

O pr´oximo resultado nos possibilitar´a tratar das sequˆencias incondicionalmente som´aveis em termos mais pr´aticos.

Proposi¸c˜ao 1.1.8 Uma sequˆencia (xj)∞j=1 em X ´e incondinionalmente som´avel se, e

somente se, (xj)∞j=1∈1,u(X).

Demonstra¸c˜ao. Seja (xj)∞j=1 em X uma sequˆencia incondionalmente som´avel. Logo (por

[19, Teorema 1.1.2]), dado ε > 0, existe ∈ N tal que para todo M ⊂ N finito, onde

M ⊂ {nε, nε+ 1, . . .}, tem-se

PjM xj

(18)

Note que X

jM

hx, xji

x∗supB

X∗ X

jM

hx, xji

= sup

xB

X∗ *

x, X

jM

xj + = X

jM

xj < ε

8. (1.5)

Aplicando o Lema 1.1.7 tem-se que

X

j=

|x∗(xj)|<

ε

2.

Logo, se n > nε, ent˜ao

k(xj)∞j=nk1,w = sup xB

X

X

j=n

|hx, xji|

≤ sup

xB

X

X

j=

|hx, xji|

ε 2 < ε e portanto

lim

n→∞k(xj) ∞

j=nk1,w = 0.

Logo (xj)∞j=1 ∈1,u(X).

Reciprocamente, suponha que (xj)∞j=1∈1,u(X). Assim, para todoε >0, existe∈N

tal que n implica k(xj)∞j=nk1,w < ε. Dado M ⊂ N finito tal que M ⊂ {nε, nε+ 1. . .},

segue que X

jM

xj

x∗supB

X

X

jM

|hx, xji| ≤ sup xB

X

X

j=n

|hx, xji|< ε,

sempre quen. De [19, Teorema 1.1.2], segue que (xj)∞j=1´e incondicionalmente som´avel.

S˜ao do nosso interesse nesta se¸c˜ao os operadores lineares que levam sequˆencias de1,u(X)

em sequˆencias de 1(Y). Definimos tais operadores como absolutamente somantes. De

forma mais geral, segue a defini¸c˜ao.

(19)

um operador induzido

b

u:ℓq,w(X)−→ℓp(Y) ; ub((xn)∞n=1) = (uxn)∞n=1.

Denotamos por Πp,q(X;Y) o conjunto dos operadores (p;q)-somantes de X em Y. Se

p=q, escrevemos Πp(X;Y) em vez de Πp,q(X;Y).

Proposi¸c˜ao 1.1.10 Seja u∈ L(X;Y). As seguintes afirmativas s˜ao equivalentes: (i) u ´e (p;q)-somante;

(ii) Existe K >0 tal que

n

X

k=1

kuxkkp

!1/p

K sup

xB

X

n

X

k=1

|hx, xki|q

!1/q

(1.6)

para quaisquer n∈N e x1, . . . , xnX;

(iii) Existe K >0 tal que

X

k=1

kuxkkp

!1/p

K sup

xB

X

X

k=1

|hx, xki|q

!1/q

sempre que (xk)∞k=1 ∈ℓq,w(X);

(iv) Existe K >0 tal que

X

k=1

kuxkkp

!1/p

K sup

xB

X

X

k=1

|hx, x

ki|q

!1/q

se (xk)∞k=1 ∈ℓq,u(X);

(v) (uxk)∞k=1 ∈ℓp(X) sempre que (xk)∞k=1 ∈ℓq,u(X).

Al´em disso, denotando por πp,q(u) o ´ınfimo das constantes K que satisfazem (1.6),

tem-se que πp,q(u) = kbuk.

Demonstra¸c˜ao.

(i)⇒(ii) Suponha u:X −→Y (p;q)-somante. Logo existe um operador

b

u:ℓq,w(X)−→ℓp(Y)

tal que ub((xn)∞n=1) = (uxn)∞n=1. Queremos mostrar que ub ´e limitado. Como ℓq,w(X) e

ℓp(Y) s˜ao espa¸cos de Banach, basta mostrar que ub tem gr´afico fechado. De fato, suponha

que x(k)∞

k=1 converge para x = (xn)

n=1 em ℓq,w(X) e que ub

x(k)∞

k=1

converge para

(20)

De x(k)k−→→∞ x temos que para todo ε >0, existe k

1 ∈N tal que

kk1 ⇒ kx(k)−xkq,w= sup

xB

X

X

n=1

Dx, x(nk)−xnE q!1/q

< ε.

Logo, para todo xB

X∗ e n∈N,

kk1 ⇒

Dx, x(nk)−xnE< ε.

Assim, para todo n∈N,

sup

xB

X

Dx, x(nk)−xnE=kx(nk)−xnk ≤ε.

Logo

x(nk) k→∞

−→ xn,n ∈N

e portanto

u(x(nk))k−→→∞ u(xn),n∈N. (1.7)

Como ubx(k)∞

k=1

converge paray= (yn)∞n=1, dado ε >0, existe k2 ∈N tal que

kk2 ⇒

bux(k)−y

p < ε.

Da´ı

kk2 ⇒

X

n=1

ux(nk)−yn

p

!1/p

< ε.

Logo, para todo n∈N,

kk2 ⇒

ux(nk)

yn

< ε.

Assim sendo,

ux(nk)k−→→∞ yn,n∈N. (1.8)

Por (1.7), (1.8) e pela unicidade do limite, tem-se que u(xn) = yn, para todo n ∈ N.

Assimub(x) = y e portanto ub ´e limitado.

Logo, para qualquer sequˆencia finita (xk)nk=1 em X

n

X

k=1

kuxkkp

!1/p

≤ k(uxk)nk=1kp

=kbu((xk)nk=1)kp

≤ kubkk(xk)nk=1kq,w

=kbuk sup

xB

X

n

X

k=1

|hx, xki|q

!1/q

(21)

Al´em disso,

πp,q(u)≤ kbuk. (1.9)

(ii)⇒(iii) Suponha que para quaisquer x1, . . . , xnX e n∈N, exista K >0 tal que n

X

k=1

kuxkkp

!1/p

K sup

xB

X

n

X

k=1

|hx, xki|q

!1/q

.

Seja (xn)∞n=1 ∈ℓq,w(X), ent˜ao

k(uxk)∞k=1kp =

X

k=1

kuxkkp

!1/p

= lim

n→∞

n

X

k=1

kuxkkp

!1/p

= sup

n∈N n

X

k=1

kuxkkp

!1/p

≤sup

n∈N

K sup

xB

X

n

X

k=1

|hx, xki|q

!1/q

=K sup

xB

X

sup

n∈N n

X

k=1

|hx, xki|q

!1/q

=K sup

xB

X

X

k=1

|hx, xki|q

!1/q

.

(iii)⇒(i) De (iii) segue que (uxk)∞k=1 ∈ℓp(Y), se (xk)∞k=1 ∈ℓq,w(X). Logo u´e

(p;q)-somante. Al´em disso,

kbuk= sup

(xn)∞n=1Bℓq,w(X)

kbu((xn)∞n=1)kp

= sup

(xn)∞n=1∈Bℓq,w(X)

X

n=1

kuxnkp

!1/p

≤ sup

(xn)∞n=1Bℓq,w(X)

Kk(xn)∞n=1kq,w.

Portanto, kbuk ≤πp,q(u). De (1.9), segue que kbuk=πp,q(u).

(iii)⇒(iv) Decorre da defini¸c˜ao de ℓq,u(X).

(iv)⇒(v) ´Obvio.

(v)⇒(ii) Suponha que (uxk)∞k=1 ∈ℓp(Y) sempre que (xk)∞k=1 ∈ℓq,u(X). Definindo

(22)

onde u((xn)∞n=1) = (uxn)∞n=1. Tem-se por (v) que u est´a bem definido e claramente temos

que ´e linear. Analogamente ao caso de ub, mostra-se que u´e limitado.

Assim, dado x1, . . . , xnX, para todo n∈N, (x1, . . . , xn,0, . . .)∈ℓq,w(X). Logo, n

X

k=1

kuxkkp

!1/p

=k(uxk)nk=1kp

=ku((xk)nk=1)kp

≤ kuk sup

xB

X

n

X

k=1

|hx, xki|q

!1/q

.

Observa¸c˜ao 1.1.11 Se p < q ent˜ao o ´unico operador (p;q)-somante ´e o nulo. De fato, podemos supor que X 6= {0}. Como p < q ent˜ao existe uma sequˆencia (λk)∞k=1 ∈ ℓqℓp

(a saber, tome (λk)∞k=1 =

1

kα/q

k=1, com 1 < α < q/p). Seja 0 6= xX. Logo

(λkx)∞k=1 ∈ℓq,w(X). De fato,

sup

xB

X

X

k=1

|hx, λkxi|q

!1/q

=

X

k=1

|λk|q

!1/q

· kxk<.

Suponha que exista 0 6= u ∈ Πp,q(X;Y). Logo, pela Proposi¸c˜ao 1.1.10 , existe K > 0

tal que

n

X

k=1

ku(λkx)kp

!1/p

K sup

xB

X

n

X

k=1

|hx, λkxi|q

!1/q

,

∴kuxk

n

X

k=1

|λk|p

!1/p

K sup

xB

X

|hx, xi|

n

X

k=1

|λk|q

!1/q

,

∴kuxk

n

X

k=1

|λk|p

!1/p

Kkxk

n

X

k=1

|λk|q

!1/q

. (1.10)

Dividindo os membros de (1.10) porkxke passando ao supremo quando xBX tem-se

que

kuk

n

X

k=1

|λk|p

!1/p

K

n

X

k=1

|λk|q

!1/q

<∞ (absurdo!).

Logo, u≡0.

Corol´ario 1.1.12 Seja u ∈ L(X;Y). Ent˜ao u ∈ Πp,1(X;Y) se, e somente se, (uxk)∞k=1 ∈

ℓp(Y) sempre que (xk)∞k=1 ´e incondicionalmente som´avel. Em particular, u ´e absolutamente

(23)

Observa¸c˜ao 1.1.13 Como kbuk=πp,q(u) e kbu((xk)∞k=1)kp ≤ kbukk(xk)∞k=1kq,w, ent˜ao

X

k=1

kuxkkp

!1/p

πp,q(u) sup xB

X

X

k=1

|hx, x

ki|q

!1/q

.

Ou seja, o ´ınfimo πp,q(u) ´e atingido.

Teorema 1.1.14 (Desigualdade de Grothendiech) Existe uma constante positiva KG

tal que, para todo espa¸co de Hilbert H, todo n ∈ N, toda matriz (aij)n×n e quaisquer

x1, . . . , xn, y1, . . . , ynBH a seguinte desigualdade ´e satisfeita:

n

X

i,j=1

aijhxi, yji

KG|sisup|,|tj|≤1

n

X

i,j=1

aijsitj (1.11)

Demonstra¸c˜ao. Veja [6, Theorem 1.14].

Teorema 1.1.15 (Teorema de Grothendiech) L(1, ℓ2) = Π1(1, ℓ2) e π1(T) ≤ KGkTk

para cada T ∈ L(1, ℓ2).

Demonstra¸c˜ao. Veja [6, Theorem 1.13].

Proposi¸c˜ao 1.1.16p,q(X;Y), πp,q(·)) ´e um espa¸co vetorial normado.

Demonstra¸c˜ao. Sejam u, v ∈ Πp,q(X;Y) e λ ∈ K. Mostraremos que u +λv satisfaz a

desigualdade (1.6) para todo u, v ∈Πp,q(X;Y) e todoλ ∈K.

Pela Proposi¸c˜ao 1.1.10 temos que

m

X

k=1

kuxkkp

!1/p

πp,q(u) sup xB

X

m

X

k=1

|hx, xki|q

!1/q

e

m

X

k=1

kvxkkp

!1/p

πp,q(v) sup xB

X

m

X

k=1

|hx, xki|q

!1/q

para todom ∈N ex1, . . . , xmX. Logo m

X

k=1

k(u+λv)xkkp

!1/p

m

X

k=1

kuxkk+|λ|kvxkkp

!1/p

m

X

k=1

kuxkkp

!1/p

+|λ|

m

X

k=1

kvxkkp

!1/p

≤(πp,q(u) +|λ|πp,q(v)) sup xB

X

m

X

k=1

|hx, xki|q

!1/q

(24)

Portantou+λv ∈Πp,q(X;Y). Al´em disso, πp,q(·) define uma norma sobre Πp,q(X;Y).

Com efeito, sejamu, v ∈Πp,q(X;Y) eλ∈K. ComoK >0 na Proposi¸c˜ao 1.1.10,πp,q(u)≥0

para todou∈Πp,q(X;Y). Mais ainda,

πp,q(u) = 0 ⇔ kbuk= 0 ⇔ ub= 0 ⇔ u= 0.

Por fim, da desigualdade (1.12) (tomando λ= 1) segue que

πp,q(u+v)≤πp,q(u) +πp,q(v).

Note tamb´em que

πp,q(λv) =

cλu =|λ| kubk=|λ|πp,q(v).

Logo πp,q(·) de fato ´e uma norma e portanto (Πp,q(X;Y), πp,q(·)) ´e um espa¸co vetorial

normado.

Observa¸c˜ao 1.1.17 Se u ∈ Πp,q(X;Y), ent˜ao kuk ≤ πp,q(u). De fato, tomando n = 1 na

desigualdade (1.6),

kuk= sup

kxk≤1

kuxk

≤ sup

kxk≤1

πp,q(u) sup xB

X

|hx, xi|

=πp,q(u) sup

kxk≤1

kxk

πp,q(u).

Lema 1.1.18 Sejam 1≤p <e po conjugado de p. Se (x

n)∞n=1 ∈ℓp,w(X) e (an)nℓp,

ent˜ao sn =Pni=1aixi converge.

Demonstra¸c˜ao. Sejan > m, temos

ksnsmk=

n

X

i=m+1

aixi

= supxB

X

n

X

i=m+1

aihx, xii

≤  

n

X

i=m+1

|ai|p

 

1/p

· sup

xB

X

 

n

X

i=m+1

|hx, xii|p

 

1/p

. (1.13)

Assim, fazendon, m→ ∞segue queksnsmk −→0. ComoX ´e um espa¸co de Banach

tem-se que (sn)n converge.

O pr´oximo resultado estabelecer´a uma caracteriza¸c˜ao das sequˆencias fracamente p -som´aveis.

(25)

Lema 1.1.19 Seja x = (xi)∞i=1 ∈ ℓp,w(X). Ent˜ao o operador ux : ℓp∗ −→ X tal que

ux((ai)∞i=1) =

P∞

i=1aixi ´e cont´ınuo.

Demonstra¸c˜ao. Pelo Lema 1.1.18, ux est´a bem definido. Al´em disso, sabemos que, para

todo a (

p)∗, existe a = (ai)i∞=1 ∈ ℓp∗ com kak

p∗ = ka∗k e ha, yi =

P∞

i=1aiyi, para todo

y= (yi)∞i=1 ∈ℓp. Assim,

kuk= sup

aBℓp

ku(a)k

= sup

aBℓp

X

i=1

aixi

= sup

aBℓp

sup

xB

X

*

x,

X

i=1

aixi

+

= sup

xB

X

sup

aBℓp

X

i=1

aihx, xii

= sup

xB

X

sup

aB

(ℓp)∗

|ha,(hx, xii)∞i=1i|

= sup

xB

X

k(hx, xii)∞i=1kp

=k(xi)∞i=1kp,w. (1.14)

Em particular, ux ´e cont´ınuo.

Proposi¸c˜ao 1.1.20 A correspondˆencia u 7→ (uen)n (onde en = (δn,j)∞j=1) produz um

isomorfismo isom´etrico de L(ℓp∗;X) em p,w(X) quando 1 < p <. Se p = 1, ent˜ao

L(c0;X)´e isometricamente isomorfo a 1,w(X).

Demonstra¸c˜ao. Suponha 1< p <∞ e considere o operador linear

T :L(ℓp∗;X)−→p,w(X)

definido por T u= (uen)n.

Afirma¸c˜ao 1: (en)nℓp,w(ℓp∗).

De fato, ´e claro que para todo n ∈N, enℓp∗. Como p ´e isometricamente isomorfo a

(ℓp∗)∗, para cadaa∗ ∈ B(

p∗)∗ existe uma (´unica) sequˆencia a = (an)

n=1 = (ha, eni)∞n=1 ∈ℓp

onde kakp =kak e ha,(y

n)∞n=1i=

P∞

n=1anyn, para todo (yn)∞n=1 ∈lp∗. Assim

k(en)nkp,w = sup aB

(ℓp∗)∗

X

n=1

|ha, eni|p

(26)

= sup

(an)∞n=1∈Bℓp

X

n=1

|an|p

!1/p

= 1.

Afirma¸c˜ao 2: T est´a bem definido. Dadou∈ L(ℓp∗;X)

kT ukp,w =k(uej)∞j=1kp,w

= sup

xB

X∗   ∞ X j=1

|hx, ueji|p

 

1/p

= sup

xB

X∗   ∞ X j=1

|hx∗◦u, eji|p

 

1/p

=kuk sup

xB

X

kx∗k  

X

j=1

|hxu, e

ji|p

kxkpkukp

 

1/p

≤ kuk sup

bB

(ℓp∗)∗

 

X

j=1

|hb, eji|p

 

1/p

<.

pois, (en)nℓp,w(ℓp∗).

Afirma¸c˜ao 3: T ´e uma isometria sobre sua imagem. Claramente T ´e linear. Ademais,

kT ukp,w =k(uen)nkp,w

= sup

xB

X

X

n=1

|hx, ueni|p

!1/p

= sup

xB

X

k(hx, ueni)∞n=1kp

= sup

xB

X

sup

bB

(ℓp)∗

|hb,(hx, ueni)∞n=1i|

= sup

xB

X

sup

(bn)∞n=1∈Bℓp

∞ X n=1

bnhx, ueni

= sup

(bn)∞n=1Bℓp

sup

xB

X∗ *

x,

X

n=1

bnuen

+

= sup

(bn)∞n=1Bℓp

∞ X n=1

bnuen

(27)

Como P∞n=1bnuen < ∞ (aplique o Lema 1.1.18 sabendo que (uen)nℓp,w(X) e

(bn)∞n=1 ∈ℓp∗), segue que

sup

(bn)∞n=1Bℓp

X

n=1

bnuen

=(bn)∞sup

n=1∈Bℓp

u

X

n=1

bnen

!

= sup

(bn)∞n=1Bℓp

ku((bn)∞n=1)k=kuk.

Afirma¸c˜ao 4: T ´e sobrejetivo.

Dado x = (xn)∞n=1 ∈ ℓp,w(X), tome ux : ℓp∗ −→ X tal que ux((an)∞

n=1) =

P∞

n=1anxn.

Pelo Lema 1.1.19, ux ∈ L(ℓp∗;X). Al´em disso, para todo n ∈ N, uxen = xn, portanto,

T ux = (uxen)n∞=1 = (xn)∞n=1.

O caso p= 1 ´e an´alogo.

1.2

Ideais de Operadores Lineares

Tanto a classe das aplica¸c˜oes lineares absolutamente somantes quanto suas generaliza¸c˜oes s˜ao estudadas na forma de ideais de operadores. Desta maneira, podemos identificar se classes mais gerais conservam boas propriedades da classe inicial.

Defini¸c˜ao 1.2.1 Um ideal de operadores I ´e uma subclasse de todos os operadores lineares cont´ınuos entre espa¸cos de Banach, tal que, para quaisquer espa¸cos de Banach X e

Y as componentes I(X;Y) =L(X;Y)∩ I satisfazem:

(i) I(X;Y) ´e um subespa¸co vetorial deL(X;Y) que cont´em todos os operadores de posto finito;

(ii) seu∈ L(X0;X), v ∈ I(X;Y) e t∈ L(Y;Y0), ent˜ao a composi¸c˜aotvu ∈ I(X0;Y0).

Defini¸c˜ao 1.2.2 Umideal normado(I,k · kI) ´e um ideal de operadoresI munido de uma fun¸c˜ao k · kI :I −→[0,+∞) tal que:

(i) k · kI restrita a I(X;Y) ´e uma norma para quaisquer espa¸cos de Banach X e Y;

(ii) kidKkI = 1, onde idK :K−→K ´e a identidade;

(iii) Seu∈ L(X0;X),v ∈ I(X;Y) e t∈ I(Y;Y0), ent˜ao ktvukI ≤ ktkkvkIkuk.

(28)

Proposi¸c˜ao 1.2.4 Se 1 ≤ qp <, ent˜aop,q, πp,q(·)) ´e um ideal normado de

operadores lineares.

Demonstra¸c˜ao. Primeiramente vamos mostrar que Πp,q ´e um ideal de operadores. De

fato, dados X eY espa¸cos de Banach, pela Proposi¸c˜ao 1.1.16 sabemos que Πp,q(X;Y) ´e um

subespa¸co de L(X;Y).

Fixe 06=zXe y Y. Considere u:X −→Y onde u(x) =hz, xiy. Note que u ´e

(p;q)-somante, pois dados m∈N e x1, . . . , xmX temos

 

m

X

j=1

kuxjkp

 

1/p

=  

m

X

j=1

|hz, xji|pkykp

kzkp

kzkp

 

1/p

≤ kykkz∗k  

m

X

j=1

|hz, x

ji|q

kzkq

 

1/q

≤ kykkz∗k sup

yB

X

 

m

X

j=1

|hy, xji|q

 

1/q

.

Pela Proposi¸c˜ao 1.1.10, u ´e (p;q)-somante. Al´em disso, πp,q(u)≤ kykkz∗k= kuk ≤πp,q(u).

Portanto, πp,q(u) =kykkz∗k.

Dadow∈ L(X;Y) operador linear de posto finito, sejaǫ={yj}mj=1 uma base deIm(w).

Nos anexos em (A2) vemos que w(·) = Pm j=1

D

z

j,·

E

yj para certos z1∗, . . . , zm∗ ∈ X∗. Como

cada parcela desta soma ´e (p;q)-somante, segue que w ∈ Πp,q(X;Y). Consequentemente,

Πp,q(X;Y) cont´em os operadores de posto finito deX em Y.

Sejam agora t ∈ L(X0;X), v ∈ Πp,q(X;Y) e u ∈ L(Y;Y0) com X0 e Y0 espa¸cos de

Banach. Considere os operadores

ℓq,w(X0) bt

w

−→ℓq,w(X)−→bv ℓp(Y) bu

s

−→ℓp(Y0).

Pela Observa¸c˜ao 1.1.4 e pela Proposi¸c˜ao 1.1.10, sabemos que kbtwk=ktk, kbvk=π p,q(v)

e kbusk=kuk. Al´em disso,

b

us vb btw :ℓq,w(X0)−→ℓp(Y0)

´e tal que

b

us vb tbw((xn)∞n=1) =ubs vb((txn)∞n=1) = ubs((vtxn)∞n=1) = (uvtxn)n∞=1 =uvtd(xn)∞n=1.

Assim, uvtd : ℓq,w(X0) −→ ℓp(Y0) est´a bem definido, ou seja, uvt ∈ Πp,q(X0;Y0) com

πp,q(uvt) =kuvtdk=kubs vb btwk ≤ kubskkbvkktbwk=kbuskπp,q(v)ktbwk=kukπp,q(v)ktk.

Note ainda que para todox∈K,

|x|=k(x,0. . .)kp

(29)

πp,q(idK)k(x,0, . . .)kq,w

=πp,q(idK)|x|.

Logo πp,q(idK)≥1.

Como qp,  

m

X

j=1

|idK(xj)|p

 

1/p

≤  

m

X

j=1

|idK(xj)|q

 

1/q

=  

m

X

j=1

|xj|q

 

1/q

= 1· sup

ϕBK∗  

m

X

j=1

|ϕ(xj)|p

 

1/p

.

Logo πp,q(idK)≤1, ou seja,πp,q(idK) = 1. Portanto (Πp,q, πp,q(·)) ´e um ideal normado.

Proposi¸c˜ao 1.2.5 Seja 1≤qp <ent˜aop,q, πp,q(·))´e um ideal de Banach.

Demonstra¸c˜ao. Dados X e Y espa¸cos de Banach, seja (un)∞n=1 uma sequˆencia de Cauchy

em Πp,q(X;Y). Como k · k ≤ πp,q(·), segue que (un)∞n=1 ´e uma sequˆencia de Cauchy em

L(X;Y). Logo (un)∞n=1 converge para algum u ∈ L(X;Y). Queremos mostrar que u ´e

(p;q)-somante. De fato, para cada n∈N, defina

c

un:ℓq,w(X)−→ℓp(Y); (xk)∞k=1 7→(unxk)∞k=1.

Como kucnk = πp,q(un), tem-se que (cun)∞n=1 ´e de Cauchy em L(ℓq,w(X);ℓp(Y)) que ´e um

espa¸co de Banach. Logo (ucn)∞n=1 converge para algum w ∈ L(ℓq,w(X);ℓp(Y)). Denote

(yk)∞k=1 = w((xk)∞k=1). Assim, seja x = (xk)∞k=1 ∈ ℓq,w(X) \ {0}. Dado ε > 0, existe

n0 ∈N tal que

nn0 =⇒ kcunwk<

ε

kxkq,w. Da´ı,

nn0 =⇒ kucn((xk)k∞=1)−w((xk)∞k=1)kp <

ε

kxkq,w · kxkq,w.

Assim

X

k=1

kunxkykkp

!1/p

< ε.

Portanto, para todo k∈N

(30)

ou seja, lim

n→∞unxk =yk para todo k∈N. Como limn→∞un =u em L(X;Y), ent˜ao limn→∞unxk=

uxk em Y, para todo k ∈ N. Pela unicidade do limite, (uxk)∞k=1 = (yk)∞k=1 ∈ ℓp(Y).

Conclu´ımos que

b

u((xk)∞k=1) = (uxk)∞k=1 = (yk)∞k=1 =w((xk)∞k=1).

Assimub =w ∈ L(ℓq,w(X);ℓp(Y)). Portanto, u∈Πp,q(X;Y) e ent˜ao Πp,q(X;Y) ´e completo.

1.3

O Teorema da Domina¸c˜

ao de Piesch

Teorema 1.3.1 Sejam K um espa¸co compacto de Hausdorff e x∈ C(K)

funcional linear positivo (hx, ui ≥ 0 se u 0) com hx,1i= 1. Ent˜ao, existe uma ´unica medida regular de

probabilidade µ, definida na σ-algebra de Borel de K 1, onde

hx, ui= Z

Kudµ

para todo uC(K).

Demonstra¸c˜ao. Veja [1, Theorem 4.2.10].

Corol´ario 1.3.2 Seja P(K) o conjunto formado por todas as medidas de probabilidade em K, ent˜ao a aplica¸c˜ao

Φ :P(K)−→ {xC(K)

; x´e positivo e hx,Ii= 1}

µ 7→ Φ(µ) :C(K)−→R

ϕ 7→ Φ(µ)(ϕ) :=RKϕdµ ´e bijetiva e al´em disso Φ(P(K))⊂BC(K)∗.

Demonstra¸c˜ao. Do Teorema 1.3.1 segue que Φ ´e bijetiva. Note ainda que, dadoµP(K), kΦ(µ)k= sup

ϕBC(K)

Z

Kϕdµ

≤ sup

ϕBC(K)

Z

K|ϕ|≤1.

Lema 1.3.3 Sejam X e Y espa¸cos de Banach, u : X −→ Y um operador p-somante e MX um subconjunto finito. Defina, para cada M,

ΨM :BX∗ −→R ; ΨM(x∗) :=

X

xM

(kuxkpπp(u)p|hx, xi|p),

G = {ΨM ; MX f inito} e F sua envolt´oria convexa. Ent˜ao, para todo Ψ ∈ F, existe

um x

Ψ ∈BXtal que Ψ(xΨ)≤0.

(31)

Demonstra¸c˜ao. E conveniente considerar´ M como uma sequˆencia finita em X. Dessa forma, repeti¸c˜oes ser˜ao admitidas quando realizamos uni˜ao desses conjuntos.

Como |Jx| ´e cont´ınuo em BX∗ e |Jx(x∗)| = |hx, xi| para todo xM, segue que

ΨMC(BX∗). Logo F ⊂C(BX∗).

Dado Ψ ∈ F, existem k ∈ N, λ1, . . . , λk ∈ [0,1] tal que Pkj=1λj = 1 e Ψ =Pkj=1λjΨMj

para alguns ΨMj ∈ G. Defina

MΨ :=

k

[

j=1

n

λ1j/px ; xMj

o

.

Como |Jx| ´e cont´ınua emBX∗ (compacta na topologia fraca *), existe x0BX∗ tal que

sup

xB

X

X

xMΨ

|hx, xi|p = X

xMΨ

|hx0, xi|p.

Assim,

Ψ(x0) =

k

X

j=1

λjΨMj(x

0)

=

k

X

j=1

λj

X

xMj

(kuxkpπp(u)p|hx∗0, xi|

p

)

=

k

X

j=1

X

xMj

ku(λj1/px)k p

πp(u)p|hx∗0, λj1/pxi| p

= X

yMΨ

ku(y)kpπp(u)p

X

xMΨ

|hx0, yi|p ≤0.

A ´ultima desigualdade segue diretamente da hip´otese. Tome x

0 =x∗Ψ e tem-se o resultado.

Lema 1.3.4 Seja P ={f ∈ C(BX∗)2 ; f(ϕ)>0, para todo ϕBX∗}. Ent˜ao P ´e aberto e

convexo.

Demonstra¸c˜ao. Com efeito, dadosf, gP e λ∈[0,1],λf+ (1−λ)g ´e cont´ınuo emBX∗.

Al´em disso, como f(ϕ), g(ϕ) >0 para todo ϕBX∗ segue que λf(ϕ) + (1−λ)g(ϕ) >0.

Logo, para todo λ∈[0,1], λf+ (1−λ)gP. Assim, P ´e convexo. Dado fP, como BX∗ ´e σ(X∗;X)-compacto, existe x

0 ∈ BX∗ tal que f(x

0) =

min

xB

X

f(x∗). Dado gC(BX∗) tal quekfgk

< ε=f(x∗0)/2,

|f(x∗)−g(x∗)| ≤ kfgk< εx∗ ∈BX.

2A bolaX´e compacta na topologia fraca estrela. Para mais detalhes, consultar o Teorema de

(32)

Assim, g(x)> f(x)εf(x

0)>0. O que implica emB(f, ε)⊂P. Portanto P ´e aberto.

Teorema 1.3.5 (Teorema da Domina¸ao de Pietsch) Suponha que 1≤p <e que u: X −→Y ´e um operador linear limitado entre espa¸cos de Banach. Ent˜ao u ´e p-somante se, e somente se, existe uma constante C > 0 e uma medida regular de probabilidade de Borel µem BXtal que

kuxk ≤C

Z

BX

| hx, xi |pdµ

!1/p

(1.15)

para todo xX.

Demonstra¸c˜ao.

Suponha que existeC >0 e uma medidaµcomo acima tal que (1.15) ´e satisfeita. Tome

x1, . . . , xnX. Logo

kuxjkpCp

Z

BX

|hx, xji|dµ,

para todoj = 1, . . . , k. Da´ı,

k

X

j=1

kuxjkpCp k

X

j=1

Z

BX

|hx, xji|pdµ

=Cp

Z

BX

k

X

j=1

|hx, xji|pdµ

Cp

Z

BX

sup

ϕxB

X

k

X

j=1

|hx, xji|pdµ

=Cp sup

xB

X

k

X

j=1

|hx, xji|p

Z

BX

=Cp sup

xB

X

k

X

j=1

|hx, xji|p.

Por fim, segue de (A1) nos anexos que u´ep-somante. Agora, suponha queu seja p-somante. Considere

ΨM :BX∗ −→R ; ΨM(x∗) :=

X

xM

(kuxkpπp(u)p|hx, xi|p),

G o conjunto formado por todos os ΨM e F sua envolt´oria convexa. Pelos Lemas 1.3.3 e

1.3.4, tem-se que F ∩P =∅e, aliados ao Teorema de Hahn-Banach (1a. vers˜ao geom´etrica),

existem µ0 ∈C(BX∗)∗ e a∈R tais que

(33)

para todo ΨM ∈ F e para todo fP.

Afirma¸c˜ao 1: µ0 ´e positiva.

Observe que tomando M ={0}, temos que Ψ{0} ≡0, pois para todo ϕBX∗,

Ψ{0}(x∗) =ku(0)kp+πp(u)p|hx,0i|p = 0.

Logo

0≤a < µ0(f)

para todofP (ou seja, para todo fC(BX∗) onde f >0).

Em geral, dado hC(BX∗), comh≥0, defina para cada n ∈N,

hn(x∗) = h(x∗) +

1

n.

Portanto, lim

n→∞hn =h. Como µ0 ´e cont´ınua, segue que limn→∞µ0(hn) =µ0(h)≥0. Logo µ0 ´e

positivo.

Defina agora µ : C(BX∗) −→ R tal que µ(f) := 1

µ0(1)µ0(f), para todo fC(BX

∗).

Assim,

µest´a bem definido, pois µ0(1)>0 e µ0 est´a bem definido;

µ´e positiva e µ(1) = 1. Claramente.

Pelo Teorema 1.3.1 e por µ(1) = 1 sabemos que µ´e identificada com uma medida de Borel regular de probabilidade em BX∗.

Afirma¸c˜ao 2: a = 0

De fato, j´a mostramos que a ≥ 0. Dado n ∈ N a fun¸c˜ao fn : BX∗ −→ R tal que

fn(x∗) = 1/n pertence a P. Al´em disso, lim

n→∞fn = 0. Comoµ0 ´e cont´ınuo,

lim

n→∞µ0(fn) =µ0(0) = 0.

Como a < µ0(fn) para todo n ∈N, segue que a≤0 e portanto a= 0.

Note que dado xX,

µ(Ψ{x}) =

µ0(Ψ{x})

µ0(1)

a = 0,

e da´ıµ(Ψ{x})≤0. Assim,

Z

BX

Ψ{x}(x∗)=

Z

BX

(34)

=kuxkp Z

BX

πp(u)p

Z

BX

|hx, xi|pdµ≤0 E ent˜ao

kuxk ≤πp(u)

Z

BX

|hx, xi|pdµ

!1/p

.

Usando a inclus˜ao dos espa¸cos Lp, segue imediatamente o seguinte corol´ario.

(35)

Vers˜

oes Abstratas do Teorema da

Domina¸c˜

ao de Pietsch

2.1

O Teorema da Domina¸c˜

ao de Pietsch Unificado

(TDPU)

Sejam X,Y e E conjuntos n˜ao vazios, F uma fam´ılia de aplica¸c˜oes de X em Y, K um espa¸co topol´ogico compacto de Hausdorff e G um espa¸co de Banach. Considere tamb´em as aplica¸c˜oes

R :K×E×G−→[0,+∞) e

S:F ×E×G−→[0,+∞).

Defini¸c˜ao 2.1.1 Sejam 0 < p <∞ e f ∈ F. Dizemos quef ´eR-S-abstrata p-somante se existe uma constante C >0 tal que

 

n

X

j=1

S(f, xj, bj)p

 

1/p

Csup

ϕK n

X

t=1

R(ϕ, xt, bt)1/p

!1/p

,

para todon ∈N, x1, . . . , xnE e b1, . . . , bnG.

Observa¸c˜ao 2.1.2 Para que possamos abordar a vers˜ao unificada do TDP, ser˜ao consideradas as seguintes condi¸c˜oes:

(1) Dadof ∈ F existe um x0 ∈E tal que R(ϕ, x0, b) = S(f, x0, b) = 0 para todo bG;

(2) DadosxE e bG a aplica¸c˜ao

Rx,b :K −→[0,+∞) ; Rx,b(ϕ) =R(ϕ, x, b)

Referências

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